2024-2025学年浙教版数学八年级上册冲刺重高专题培优讲义课件 专题12 等腰直角三角形

专题12 等腰直角三角形 冲刺重高专题培优讲义 浙教版数学八年级上册 知识梳理 【1】两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形. 【2】等腰直角三角形的两个锐角都等于45°，三边之比为 【3】等腰直角三角形是轴对称图形，斜边上的中线所在的直线是对称轴，并且将其分成两个等腰直角三角形. 知识梳理 【4】等腰直角三角形既是特殊的等腰三角形又是特殊的直角三角形. （1）从角的角度看，等腰直角三角形三个内角分别为 和 ； （2）从边的角度看，等腰直角三角形两条直角边相等，斜边长是直角边长的 倍； （3）从重要线段角度看，等腰直角三角形斜边上的中线、斜边上的 高线和直角的角平分线“三线合一”； （4）从图形结构上看，等腰直角三角形 斜边上的中线将其分成两个小的等腰直角三角形. 重点突破 知识点一：等腰直角三角形的性质 【例1】将两把大小不同的等腰直角三角形三 角尺按图1所示的方式放置，图2是由它抽 象出的几何图形，点 在同一条直线 上，连结 重点突破 （1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）. 思路点拨根据等腰直角三角形的性质，可以得出 . [答案] 解题过程 证明如下： 与 均为等腰直角三角形， ，即 在 和 中， 重点突破 （2）求证： 思路点拨由 可以得出 进而得出 即可得出结论， [答案] 解题过程 又 方法提炼 本题考查等腰直角三角形的性质的运用、全等三角形的判定及性质的运用、垂直的判定，解答时利用等腰直角三角形结合图形的旋转变换找出全等三角形是关键. 重点突破 【跟踪训练1】如图，在 中， 是 的高线， 是 的中点， 与 分别交于 点 （1）求证： 重点突破 [答案] 是 的高线， 又 在 和 中， 重点突破 （2）若 ，求 的长. [答案] 连结 是 的中点， 垂直平分 在 中， 重点突破 知识点二：等腰直角三角形的综合应用 【例2】如图，在 中， 是 的中点，点 分别在线段 上，且 重点突破 （1）求证： 为等腰直角三角形. 思路点拨连结 .根据等腰直角三角形的性质可得 , , 证明 ，根据全等三角形对应边相等可得 ，从 而行证. [答案] 解题过程 如图1，连结 重点突破 是 的中点， 又 在 和 中， 又 为等腰直角三角形. 重点突破 （2）求证： 思路点拨同(1)理证得 ，根据会等三角形的面积相等即 可得证. [答案] 解题过程 同（1）理可证 ， ，即 重点突破 （3）如果点 运动到 的延长线上，点 在射线 上且保持 还仍然是等腰直角三角形吗？请画图并说明理由. 思路点拨依然成立，仍然证明 ，即可推出答案. [答案] 解题过程 仍然成立.如图2，连结 重点突破 是 的中点， 又 在 和 中， 又 为等腰直角三角形. 重点突破 【跟踪训练2】如图，已知在等腰直角三角形 中， 平分 ，与 相交于点 ，延 长 到点 ，使 ，连结 （1）求证： [答案] 在等腰直角三角形 中， ， 又 重点突破 （2）延长 交 于点 ，求证： [答案] 又 平分 又 重点突破 （3）在（2）的条件下，若 是 边的中点，连结 与 相交于 点 试探索 之间的数量关系，并说明理由. [答案] 理由如下： 连结 是 边的中点， 是 的垂直平分线 在 中有 重点突破 【例3】如图1，在 和 中， 重点突破 （1）求证： 思路点拨过点 作 于点 过点 作 交 的延长线于点 ,根据全等三角形的性质可得 ，根据三角形的面积公式即可得证。 重点突破 [答案] 解题过程如图3，过点 作 于点 ， 过点 作 交 的延长线于点 ， 重点突破 （2）如图 是 的中线， 的延长线交 于点 ，求 证： 思路点拨延长 到点 使 ，连结 ，证明 ，推出 ， ，则 ，求出 ，根据 证明 ，推 出 ，求出 ，进而求得 即可得证， 重点突破 [答案] 解题过程如图4，延长 到点 使 ，连结 是 的中线， 重点突破 又 在 和 中， 课后练习 A组 基础巩固 1.如图，直线 ，将含有 角的三角尺 的 直角顶点 放在直线 上，若 ，则 的度 数为 ( ) B A. B. C. D. 课后练习 2.如图，将一副三角尺重叠摆放，使得 角的顶点与 等腰直角三角形的直角顶点重合，且 于点 ， 与 交于点 ，则 的度数为 ( ) B A. B. C. D. 课后练习 3.如图，在 中， 为 边上的中线， 为 边上的中线，若 ， 则 的长为 ( ) C A. B. C. D.3 课后练习 4.如图所示为一副七巧板拼成的图形，若已知等腰直角 三角形 的面积是1，则正方形 的边长是 ( ) D A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图，在 中， ，以 为边在 的左侧作等边三角形 ，连结 ，则 ____ 30 课后练习 6.如图， 是 的角平分线， 于点 ，则 的周长是___ 8 7.如图，已知 和 中， 是 的中点，连结 若 ，则 的 面积为_ _. <m></m> 课后练习 8.如图 都是等腰直 角三角形，连结 （1）求证： 课后练习 [答案] 都是等腰直角三角形， ，即 在 和 中， 课后练习 （2）将 绕点 逆时针旋转，使 三点在同一直线上（如图 2）.试猜想线段 和 有什么关系，并证明你的猜想. [答案] 证明如下： 都是等腰直角三角形， ，即 课后练习 在 和 中， 对顶角相等， ，即 课后练习 B组 能力提升 9.如图，正方形 的面积 ，以 为斜 边，向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角 形的一条直角边为边，向外作正方形，其面积标记 为 按照此规律继续下去，则 的值为 ( ) B A. B. C. D. 课后练习 10.将两把同样大小的含 角的三角尺按如图所 示的方式放置，其中一把三角尺的锐角顶点与另一 把三角尺的直角顶点重合于点 ，且另三个锐角顶 <m></m> 点 在同一条直线上.若 ，则 _ _______. 课后练习 [解析] 如图，过点 作 于点 在 中， 两把同样大小的含 角的三角尺， 课后练习 在 中，根据勾股定理，得 故答案为 课后练习 11.如图，在 中， ，点 在 上， 于点 为 的中点.当 时， 的面积是 _ __ <m></m> 课后练习 [解析] 为 的中点， 课后练习 ， 的面积 故答案为 课后练习 12.在等腰直角三角形 中，已知 ，点 分别在 上. （1）如图1，若 ，求证： 是等腰三角形. 课后练习 [答案] ， 在等腰直角三角形 中， ，即 是等腰三角形. 课后练习 （2）如图2，若 ，点 在 上移动，且满足 于点 ，试问：此时 的长度是否变化？若变化， 请说明理由；若不变，请予以证明. [答案] 的长不变， 证明如下： 如图，过点 作 于点 ， 是等腰直角三角形， 课后练习 又 在 和 中， 的长不变，为5. 课后练习 13.如图，在 中， ，过点 作射线 ，使 ，点 在 上，连结 ， 过点 作 的垂线交 于点 ，连结 （1）求证： 课后练习 [答案] 如图，设 与直线 的交点为 课后练习 课后练习 （2）求证： [答案] 如图，过点 作 于点 于点 课后练习 ， ， 课后练习 （3）延长 到点 ，使 ，连结 ，求证： [答案] ， 又 课后练习 C组 思维拓展 14.如图，在等腰直角三角形 的斜边 上取 两点 不与点 重合 ，使 ， 记 ，试判断以 为边长的三角形的形状，并说明理由. 课后练习 [答案] 以 为边长的三角形的形状为直角三角 形.理由如下： 如图，将 绕点 逆时针旋转 ，得 ，连结 ， 即 课后练习 在 和 中， 又 ， 以 为边长的三角形的形状为直角三角形. $$