24.6 正多边形与圆 （3个知识点+6个题型+巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（沪科版）

24.6 正多边形与圆 课程标准 学习目标 ①了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系； ②能用尺规作图：圆的内接正方形和内接正六边形 1.了解正多边形的定义和正多边形的中心、半径、边心距、中心角等相关概念。 2.会根据正多边形与圆的关系，通过用量角器等分圆的方法作出圆内接正多边形，能用尺规作出特殊的正多边形。 3.了解正多边形的性质，并能够结合圆的对称性，进行角度的计算。 4.会在正多边形内部，根据圆的性质构造直角三角形解决问题。 知识点01 正多边形的概念 ·各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形 【即学即练1】一个正多边形，绕它的对角线的交点旋转后可以和原图形重合，这是个正 边形。 A． B．正五边形 C．正方形 D．正三角形 知识点02 用等分圆周的方法作正多边形 ·用量角器等分圆周：在一个圆中，先用量角器作一个等于的圆周角，这个角所对的弧就是圆周的,然后在圆周上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，从而作出正n边形 ·用尺规等分圆周：对于一些特殊的正n边形，可以用直尺和圆规来等分圆周。 ·正四边形的作法：用直尺和圆规作⊙Ｏ的两条互相垂直的直径，就可以把⊙Ｏ分成４等份，从而作出正四边形；再逐次平分各边所对的弧，就可以作出正八边形、正十六边形等。 正四边形 → 正八边形 【即学即练2】已知：⊙O，点A在圆上．求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD． ·正六边形的作法：设⊙Ｏ的半径为Ｒ，通常先作出⊙Ｏ的一条直径ＡＢ，然后分别以点Ａ，Ｂ为圆心、Ｒ为半径作弧，与⊙Ｏ交于点Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ，从而得到⊙Ｏ的６等分点，作出正六边形；再逐次等分各边所对的弧，就可作出正十二边形、正二十四边形等；连接６等分圆周的相间两个点，得到正三角形。 正六边形 正三角形 【即学即练3】已知六边形是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形的全部图形，并写出作法． 知识点03 正多边形的性质及相关概念 ·任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,并且这两个圆是同心圆。 ·正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角，正ｎ边形的每个中心角都等于． 【即学即练4】一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 ·正多边形都是轴对称图形，一个正n边形一其有n条对称轴，每一条对称轴都通过正多边形的中心；如果一个正多边形有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 【即学即练5】如图，正六边形内接于，半径为，则这个正六边形的边心距的长为（    ） A． B． C． D． 【即学即练6】如图，正五边形内接于，连接，则为（    ）    A． B． C． D． 【即学即练7】边长为6的正三角形的外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 易错提示1.正多边形的外接圆与内切圆是同心圆，正多边形的中心是其外接圆与内切圆的圆心 易错提示2.正多边形的半径是其外接圆的半径；正多边形的边心距是其中心到边的距离 正多边形的中心：O 正多边形的半径：OC 边心距：OG 【题型一：正多边形的中心角】 例1．（2024·安徽宿州·二模）如图，四边形内接于圆，且、都是圆的内接正五边形的边，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 例2.（23-24九年级下·安徽淮北·阶段练习）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形的中心，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式2.（2024·安徽合肥·二模）如图，正方形内接于，点E在上连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【题型二：求正多边形的边心距】 例3．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图，正八边形内接于，且的半径为，则的面积为（    ）    A．8 B． C． D．16 变式3．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）将刻度尺按如图所示的方式放置在正六边形上，顶点C，F分别对应直尺上的刻度12和4，则与之间的距离为（    ） A．8 B． C． D．4 【方法技巧与总结】构造直角三角形解三角形求边心距：①连接外接圆圆心和多边形的顶点，作圆心到多边形边的垂线段；②运用勾股定理解直角三角形。 【题型三：根据正多边形的性质计算面积】 例4．已知一个三角形的内心与外心重合，若它的内切圆的半径为2，则它的外接圆的面积为（     ） A． B． C． D． 例5.（2024·四川攀枝花·一模）早在1800多年前，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为（    ） A．3 B． C． D．6 变式5.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，可得π的估计值为（　　）    A． B． C． D． 【题型四：正多边形与圆综合】 例6．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，正方形与等边内接于，，则等于（　　） A． B． C． D． 例7.（2024·安徽合肥·三模）如图，正六边形内接与，若的半径为5，则等于（    ） A．8 B． C． D．9 【题型五：割圆术】 例8．（22-23九年级上·安徽淮南·阶段练习）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设半径为1的圆的面积与其内接正n边形的面积差为，如图①，图②，若用圆的内接正八边形和内接正十二边形逼近半径为1的圆，求的值． 【题型六：尺规作圆的内接正多边形】 例9．仔细阅读以下画图过程，并解决问题： 如图1，已知及圆上一点.作法： ①如图2，连接并以为边作交于点； ②在圆上依次取点，点，点，点，使得； ③顺次连接各点，得到六边形； ④如图3，过点作的切线，交延长线于点，作直线．             解决问题： (1)若六边形的面积为，求的半径的长； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由． 变式9.（2024·甘肃临夏·中考真题）根据背景素材，探索解决问题． 平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形 背景素材 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述． 已知条件 点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为 操作步骤 ①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆； ③以的长为半径，在上顺次截取； ④顺次连接，，，，，得到正六边形． 问题解决 任务一 根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法） 任务二 将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标：______． 一、选择题 1．（2024·安徽·一模）如图，点是正五边形的中心，连接，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏常州·期末）如图，将圆周六等分，是其中两个等分点，点分别在优弧、劣弧上，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽合肥·二模）如图，正五边形的外接圆为，点是劣弧上一点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽合肥·三模）下列命题：①各角相等的多边形是正多边形；②任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④在正多边形中，中心角与正多边形的每个外角相等．其中，真命题的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（2024·安徽合肥·一模）如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·安徽淮南·三模）如图，正三角形和正六边形都内接于连接则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2024·安徽淮北·二模）如图，是正五边形和正六边形的外接圆，连接和，则的度数为 ． 8．（2024·安徽合肥·二模）如图，正五边形内接于，点F在弧上．若，则的大小等于 °． 9．（2024九年级下·安徽·专题练习）如图，是正六边形的外接圆，点是上一点，则的度数为 ． 10．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，正八边形内接于，M是弧上的一点，连接，，求的度数． 三、解答题 11．（21-22九年级上·西藏日喀则·阶段练习）如图，正方形是半径为R的圆内接四边形，若，求正方形的边长与边心距． 12．（2024·上海闵行·二模）沪教版九年级第二学期的教材给出了正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．同时还提到了一种用直尺和圆规作圆的内接正六边形和圆的内接正五边形的方法，但课本上并未证明．我们现开展下列探究活动． 活动一：如图1，展示了一种用尺规作的内接正六边形的方法． ①在上任取一点，以为圆心、为半径作弧，在上截得一点； ②以为圆心，为半径作弧，在上截得一点；再如此从点逐次截得点、、； ③顺次连接、、、、、． (1)根据正多边形的定义，我们只需要证明__________，________ （请用符号语言表示，不需要说明理由），就可证明六边形是正六边形． 活动二：如图2，展示了一种用尺规作的内接正五边形的方法． ①作的两条互相垂直的直径和； ②取半径的中点；再以为圆心、为半径作弧，和半径相交于点； ③以点为圆心，以的长为半径作弧，与相截，得交点． 如此连续截取3次，依次得分点、、，顺次连接、、、、，那么五边形是正五边形． (2)已知的半径为2，求边的长，并证明五边形是正五边形． （参考数据：，，，，．） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.6 正多边形与圆 课程标准 学习目标 ①了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系； ②能用尺规作图：圆的内接正方形和内接正六边形 1.了解正多边形的定义和正多边形的中心、半径、边心距、中心角等相关概念。 2.会根据正多边形与圆的关系，通过用量角器等分圆的方法作出圆内接正多边形，能用尺规作出特殊的正多边形。 3.了解正多边形的性质，并能够结合圆的对称性，进行角度的计算。 4.会在正多边形内部，根据圆的性质构造直角三角形解决问题。 知识点01 正多边形的概念 ·各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形 【即学即练1】一个正多边形，绕它的对角线的交点旋转后可以和原图形重合，这是个正 边形。 A． B．正五边形 C．正方形 D．正三角形 【答案】六 知识点02 用等分圆周的方法作正多边形 ·用量角器等分圆周：在一个圆中，先用量角器作一个等于的圆周角，这个角所对的弧就是圆周的,然后在圆周上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，从而作出正n边形 ·用尺规等分圆周：对于一些特殊的正n边形，可以用直尺和圆规来等分圆周。 ·正四边形的作法：用直尺和圆规作⊙Ｏ的两条互相垂直的直径，就可以把⊙Ｏ分成４等份，从而作出正四边形；再逐次平分各边所对的弧，就可以作出正八边形、正十六边形等。 正四边形 → 正八边形 【即学即练2】已知：⊙O，点A在圆上．求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD． 【答案】见解析 【分析】作直径AC，过点O作BD⊥AC交⊙O于B，D，连接AB，BC，CD，AD即可． 【详解】如图，四边形ABCD即为所求作． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． ·正六边形的作法：设⊙Ｏ的半径为Ｒ，通常先作出⊙Ｏ的一条直径ＡＢ，然后分别以点Ａ，Ｂ为圆心、Ｒ为半径作弧，与⊙Ｏ交于点Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ，从而得到⊙Ｏ的６等分点，作出正六边形；再逐次等分各边所对的弧，就可作出正十二边形、正二十四边形等；连接６等分圆周的相间两个点，得到正三角形。 正六边形 正三角形 【即学即练3】已知六边形是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形的全部图形，并写出作法． 【答案】 解析：连接并延长到F，使得，连接BO并延长到E，使得，连接，，， 如图，六边形即为所求． 知识点03 正多边形的性质及相关概念 ·任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,并且这两个圆是同心圆。 ·正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角，正ｎ边形的每个中心角都等于． 【即学即练4】一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算；熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关键． 根据正多边形的边数周角中心角，计算即可得解． 【详解】解：这个多边形的边数是， 故答案为：C． ·正多边形都是轴对称图形，一个正n边形一其有n条对称轴，每一条对称轴都通过正多边形的中心；如果一个正多边形有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 【即学即练5】如图，正六边形内接于，半径为，则这个正六边形的边心距的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形和圆，正六边形的性质，垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形，运用垂径定理求出是解答本题的关键． 连接，，证明是等边三角形，得到，由垂径定理求出，在利用勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接，， ，， 是等边三角形， ， ， ， 故选：． 【即学即练6】如图，正五边形内接于，连接，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，正五边形的内角为，，则，然后计算求解，即可． 【详解】解：由题意知，正五边形的内角为，， ∴ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形的内角，正多边形和圆的综合．解题的关键在于熟练掌握，正边形的内角为． 【即学即练7】边长为6的正三角形的外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，连接，作，求解，，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，作， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆，垂径定理的应用，等边三角形的性质，勾股定理的应用，含的三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 易错提示1.正多边形的外接圆与内切圆是同心圆，正多边形的中心是其外接圆与内切圆的圆心 易错提示2.正多边形的半径是其外接圆的半径；正多边形的边心距是其中心到边的距离 正多边形的中心：O 正多边形的半径：OC 边心距：OG 【题型一：正多边形的中心角】 例1．（2024·安徽宿州·二模）如图，四边形内接于圆，且、都是圆的内接正五边形的边，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求正多边形的中心角、圆周角定理 【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形与圆的性质和圆周角定理是解题的关键． 连接，，，先根据正五边形的性质，求出，从而求得，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，，，如图，    ∵AB、BC都是圆的内接正五边形的边， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 例2.（23-24九年级下·安徽淮北·阶段练习）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形的中心，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求正多边形的中心角、三线合一 【分析】根据点O为正六边形的中心，得到，，继而得到，，解答即可． 本题考查了正多边形的性质，中心角的计算，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握多边形的性质和中心角的计算是解题的关键． 【详解】∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 变式2.（2024·安徽合肥·二模）如图，正方形内接于，点E在上连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理、求正多边形的中心角 【分析】本题考查正多边形和圆，连接，易得：，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：连接，则： ∴， ∵正方形内接于， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【题型二：求正多边形的边心距】 例3．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图，正八边形内接于，且的半径为，则的面积为（    ）    A．8 B． C． D．16 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查多边形面积．根据题意将正八边形对角线依次连接后再连接，先求出中间正方形面积，再求出周边四个三角形面积后相加即可得到本题答案． 【详解】解：将正八边形对角线依次连接后再连接，使与交点为，如下图：    ∵的半径为，正八边形每个内角为，即， ∴是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴在中应用勾股定理：， ∴， ∵四边形是正方形， ∴四边形的面积为：， ∴， ∴面积为：， ∴， 故选：C． 变式3．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）将刻度尺按如图所示的方式放置在正六边形上，顶点C，F分别对应直尺上的刻度12和4，则与之间的距离为（    ） A．8 B． C． D．4 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、正多边形的内角问题、求正多边形的中心角 【分析】本题考查了正多边形的性质，含直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识；设正六边形的中心为O，连接，过A作于点G；由已知得，则，且，得是等边三角形，则得，，由勾股定理即可求得，即与之间的距离． 【详解】解：设正六边形的中心为O，连接，如图，过A作于点G， ∵顶点C，F分别对应直尺上的刻度12和4， ∴， ∵多边形为正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∵， 即与之间的距离为． 故选：B． 【方法技巧与总结】构造直角三角形解三角形求边心距：①连接外接圆圆心和多边形的顶点，作圆心到多边形边的垂线段；②运用勾股定理解直角三角形。 【题型三：根据正多边形的性质计算面积】 例4．已知一个三角形的内心与外心重合，若它的内切圆的半径为2，则它的外接圆的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正多边形和圆的综合、求特殊三角形外接圆的半径、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形 【分析】根据题意判断三角形是等边三角形，作出图形，根据内切圆的半径为2求出外接圆的半径，利用圆面积公式即可求出答案．本题考查了正多边形与圆、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一个三角形的内心与外心重合， ∴该三角形是等边三角形， 根据题意，如图，是等边三角形，其内心外心均为点O，连接OB，过点O作于点D，则， ∵，平分， ∴， 在中， ， ∴的外接圆半径为4， ∴它的外接圆的面积为， 故选：D 例5.（2024·四川攀枝花·一模）早在1800多年前，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为（    ） A．3 B． C． D．6 【答案】A 【知识点】正多边形和圆的综合、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，含30度角的直角三角形性质．如图，过A作于C，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过A作于C，      ∵圆的内接正十二边形的圆心角为，， ∴， ∴， ∴这个圆的内接正十二边形的面积为， 故选：A． 变式5.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，可得π的估计值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接正n边形，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理等知识．如图，圆心为，由圆的内接正八边形可知，，，作于，则，由勾股定理得，求得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，圆心为，    由圆的内接正八边形可知，，， 作于，则， ∴， ∴， 由勾股定理得，即， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【题型四：正多边形与圆综合】 例6．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，正方形与等边内接于，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正多边形和圆的综合、圆周角定理 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．由圆内接正多边形的性质证得，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，，再根据三角形外角的性质及平行线的性质求得，即可求出． 【详解】解：连接，，， 正方形与等边内接于， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 故选：D 例7.（2024·安徽合肥·三模）如图，正六边形内接与，若的半径为5，则等于（    ） A．8 B． C． D．9 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用垂径定理求值、正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、垂径定理，连接、，，交于，证明为等边三角形，，，得出，再由垂径定理结合解直角三角形，计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、，，交于， ， ∵正六边形内接与， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴垂直平分，即， ∴，， ∴， 故选：C． 【题型五：割圆术】 例8．（22-23九年级上·安徽淮南·阶段练习）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设半径为1的圆的面积与其内接正n边形的面积差为，如图①，图②，若用圆的内接正八边形和内接正十二边形逼近半径为1的圆，求的值． 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合、求正多边形的中心角、解直角三角形的相关计算 【分析】由题意知，由此计算即可． 【详解】解：如图， 由题意知，圆的内接正八边形的中心角度数为，内接正十二边形的中心角度数为， ∴ ． 【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【题型六：尺规作圆的内接正多边形】 例9．仔细阅读以下画图过程，并解决问题： 如图1，已知及圆上一点.作法： ①如图2，连接并以为边作交于点； ②在圆上依次取点，点，点，点，使得； ③顺次连接各点，得到六边形； ④如图3，过点作的切线，交延长线于点，作直线．             解决问题： (1)若六边形的面积为，求的半径的长； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)的半径为2 (2)直线与相切，理由见解析 【知识点】正多边形和圆的综合、证明某直线是圆的切线 【分析】本题考查了正多边形与圆，切线的判定； （1）根据题意得出六边形为圆内接正六边形，过作于点， 设的半径为，进而根据的面积为即个等边三角形的面积，得出的半径的长； （2）连接，证明，得出即可得证． 【详解】（1）解：在中，且，      ， ，； 又 六边形为圆内接正六边形， 过作于点， 设的半径为， 则有， ， ， 解得． 答：的半径为2． （2）直线与相切．   理由：连接． 为的切线， ， ，     与相切 ． 变式9.（2024·甘肃临夏·中考真题）根据背景素材，探索解决问题． 平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形 背景素材 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述． 已知条件 点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为 操作步骤 ①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆； ③以的长为半径，在上顺次截取； ④顺次连接，，，，，得到正六边形． 问题解决 任务一 根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法） 任务二 将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标：______． 【答案】任务一：见解析；任务二： 【知识点】坐标与图形、利用弧、弦、圆心角的关系求解、尺规作图——正多边形、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】本题考查尺规作图，弧、弦、圆心角的关系，旋转的性质．利用数形结合的思想是解题关键． 任务一：根据操作步骤作出，再根据弧、弦、圆心角的关系，分别作出，即得出，最后顺次连接即可； 任务二：由旋转的性质可知，即得出，即此时点所在位置的坐标为． 【详解】解：任务一：如图，正六边形即为所作； 任务二：如图， 由旋转可知， ∴， ∴． 故答案为：． 一、选择题 1．（2024·安徽·一模）如图，点是正五边形的中心，连接，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、求正多边形的中心角 【分析】先求出的度数，根据三角形内角和，及等边对等角，即可求解， 本题考查了多边形的中心角，等边对等角，三角形内角和，解题的关键是：熟练掌握相关定理． 【详解】解：连接OB， ∵和是正五边形的中心角， ∴， ∵， ∴， 故选：． 2．（23-24九年级上·江苏常州·期末）如图，将圆周六等分，是其中两个等分点，点分别在优弧、劣弧上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查圆周角定理，正多边形和圆，根据正多边形与圆的性质以及圆周角定理即可得出答案，掌握正六边形的性质以及圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意可知， ， ∴所对的弧是， ∵所对的弧是， ∴，即， 故选：． 3．（2024·安徽合肥·二模）如图，正五边形的外接圆为，点是劣弧上一点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正多边形和圆的综合、已知圆内接四边形求角度、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了正五边形的性质，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，根据正五边形的性质求出，再根据圆内接四边形的性质求出，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握正五边形和圆内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．（2024·安徽合肥·三模）下列命题：①各角相等的多边形是正多边形；②任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④在正多边形中，中心角与正多边形的每个外角相等．其中，真命题的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查的是正多边形的概念以及正多边形与圆的关系，根据正多边形的性质以及正多边形与圆的关系逐一进行判断即可． 【详解】解：各边相等各角相等的多边形是正多边形，只有各角相等的多边形不一定是正多边形，如矩形，故①是假命题； 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆，故②为真命题； 正六边形中由外接圆半径与边长可构成等边三角形，所以外接圆半径与边长相等，故③为真命题； 在正多边形中，中心角与正多边形的每个外角相等，都等于，故④为真命题. 故选：B． 5．（2024·安徽合肥·一模）如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求正多边形的中心角、圆周角定理、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了求正五边形的中心角，圆周角定理，三角形内角和定理，连接，求出，即得到，由，可得，与相加得到，即可求解，掌握正五边形的性质和圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵正五边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴， 故选：． 6．（2024·安徽淮南·三模）如图，正三角形和正六边形都内接于连接则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正多边形和圆的综合、等边对等角 【分析】本题考查的是正多边形与圆，等腰三角形的性质，先求解，，再进一步结合等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵正三角形， ∴， ∵， ∴， ∵正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选D 二、填空题 7．（2024·安徽淮北·二模）如图，是正五边形和正六边形的外接圆，连接和，则的度数为 ． 【答案】/24度 【知识点】正多边形和圆的综合、求正多边形的中心角 【分析】本题考查正多边形与圆，连接，根据正多边形的性质可得：，进而得到，，再根据即可求解． 【详解】解：连接， 根据题意得：， ， ， ， 故答案为：． 8．（2024·安徽合肥·二模）如图，正五边形内接于，点F在弧上．若，则的大小等于 °． 【答案】48 【知识点】三角形内角和定理的应用、圆周角定理、正多边形和圆的综合 【分析】连接，利用中心角，圆周角定理，三角形内角和定理计算即可． 本题考查了正多边形的中心角，圆周角定理，三角形内角和定理，熟练掌握中心角的计算，圆周角定理是解题的关键． 【详解】连接， ∵正五边形内接于，点F在弧上． ∴， ∵， ∴， 故答案为：48． 9．（2024九年级下·安徽·专题练习）如图，是正六边形的外接圆，点是上一点，则的度数为 ． 【答案】/120度 【知识点】正多边形和圆的综合、圆周角定理 【分析】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理的知识．根据多边形的内角和定理求出的度数，再利用圆周角定理及其推论解答即可． 【详解】解：是正六边形， ， 是正六边形的外接圆， ． 故答案为：． 10．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，正八边形内接于，M是弧上的一点，连接，，求的度数． 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题主要考查正多边形和圆的有关计算，先求出所对圆心角的度数，再根据圆周角定理求解即可 【详解】解：如图，连接OA，OB． ∵正八边形是的内接正八边形， ∴， ∴． 三、解答题 11．（21-22九年级上·西藏日喀则·阶段练习）如图，正方形是半径为R的圆内接四边形，若，求正方形的边长与边心距． 【答案】正方形ABCD的边长为，边心距为． 【知识点】用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合 【分析】过点O作，垂足为E，利用圆内接四边形的性质求出，然后在中，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：过点O作，垂足为E， ∵正方形是半径为R的⊙O内接四边形，， ， ． 在中，， 由勾股定理可得 ， ， ， ， 即半径为6的圆内接正方形ABCD的边长为，边心距为． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，以及勾股定理，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形每个中心角都等于． 12．（2024·上海闵行·二模）沪教版九年级第二学期的教材给出了正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．同时还提到了一种用直尺和圆规作圆的内接正六边形和圆的内接正五边形的方法，但课本上并未证明．我们现开展下列探究活动． 活动一：如图1，展示了一种用尺规作的内接正六边形的方法． ①在上任取一点，以为圆心、为半径作弧，在上截得一点； ②以为圆心，为半径作弧，在上截得一点；再如此从点逐次截得点、、； ③顺次连接、、、、、． (1)根据正多边形的定义，我们只需要证明__________，________ （请用符号语言表示，不需要说明理由），就可证明六边形是正六边形． 活动二：如图2，展示了一种用尺规作的内接正五边形的方法． ①作的两条互相垂直的直径和； ②取半径的中点；再以为圆心、为半径作弧，和半径相交于点； ③以点为圆心，以的长为半径作弧，与相截，得交点． 如此连续截取3次，依次得分点、、，顺次连接、、、、，那么五边形是正五边形． (2)已知的半径为2，求边的长，并证明五边形是正五边形． （参考数据：，，，，．） 【答案】(1)， (2)，证明五边形是正五边形见详解 【知识点】尺规作图——正多边形、正多边形和圆的综合、圆周角定理、用勾股定理解三角形 【分析】（1）各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，据此即可获得答案； （2）首先结合题意并根据勾股定理解得，进而可得，易得，再在中，由勾股定理解得，即可确定的值；连接，，，，，结合为直径易得，利用三角函数可得，由圆周角定理可得，进而可得，然后利用全等三角形的性质可证明，，即可证明结论． 【详解】（1）解：根据正多边形的定义，我们只需要证明，，就可证明六边形是正六边形． 故答案为：，； （2）解：根据题意，可得，， ∵点为半径的中点， ∴， ∴在中，， ∵以为圆心、为半径作弧，和半径相交于点， ∴， ∴， ∴在中，， ∵以点为圆心，以的长为半径作弧，与相截，得交点， ∴； 如下图，连接，，，，， ∵为直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴五边形是正五边形． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、多边形的定义和性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、解直角三角形等知识，正确理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$