27.4 直线与圆的位置关系（8大题型提分练）（题型专练）数学沪教版五四制九年级下册

27.4 直线与圆的位置关系 知识点一 相离、相切、相交的概念 ★1、相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离； ★2、相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点； ★3、相交：当直线与圆有两个公共点（即交点）时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的割线。 知识点二 直线和圆的位置关系 ★1、根据直线与圆公共点个数的情祝，相应得到直线与圆的位置关系有三种：相离，相切，相交。 ★2、数量关系描述： 如果的半径长为，圆心到直线的距离为，那么 直线和相交⇔⇔2个； 直线和相切⇔⇔1个； 直线和相离⇔⇔0个. 位置关系⇔数量关系⇔公共点个数 【注意】一个圆的位置和大小，由圆心和半径长确定；直线与圆的位置关系，应与圆心和半径长有关。 知识点三 切线的性质与判定定理 ★1、切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可。 ★2、切线的判定方法： ①直线与圆有唯一公共点： ②直线到圆心的距离等于该圆的半径； ③切线的判定定理。 ★3、切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 ★4、作圆的切线：过上一点作的切线。 作法：①联结；②过点作直线垂直于。 则直线就是所求作的切线。 【注意】（1）在解决有关圆的切线问题时，常常需要作过切点的半径； （2）过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中道其中两个条件就能推出最后一个。 知识点四 切线长定理 ★1、切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长； ★2、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 4、三角形的内切圆和内心：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。 题型一 判断直线和圆的位置关系 解题技巧提炼 1.根据公共点个数判断。当直线和圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线和圆有唯一公共点，叫做直线和圆相切；直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 2.根据圆心到直线的距离 d与圆半径 r的关系判断。当 d < r时，直线与圆相交; 当 d = r时，直线与圆相切; 当 d > r时，直线与圆相离 1、已知的半径为3，圆心到直线的距离为2，则与直线的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相离 【答案】B 【解析】解：圆心到直线的距离圆的半径3， 直线与圆的位置关系为相交． 故选：B 2、的三边，，的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是（     ） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是 【答案】C 【解析】解：∵， ∴为直角三角形，且， 设斜边上的高为，则， ∴， ∴以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是相切，故选：C． 3、已知的半径r为，圆心O到直线l的距离d为，直线l与的公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 【答案】A 【解析】解：∵的半径r为，圆心O到直线l的距离d为， 即圆心O到直线l的距离大于圆的半径， ∴直线l和相离， ∴直线l与没有公共点．故选：A． 4、已知等边三角形的边长为，以点A为圆心，以长为半径作，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．外离 【答案】A 【解析】过点A作于点D， 根据等腰三角形三线合一得：， 根据勾股定理得：， ∴， 以长为半径作，则与的位置关系是相交，故选：A． 5、在平面直角坐标系中，过点的直线与以为圆心、4为半径的圆的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】A 【解析】解：∵点与C的距离为， ∴点在以为圆心、4为半径的圆内， ∴过点的直线与以为圆心、4为半径的圆的位置关系是相交．故选：A． 6、 的半径为 ，点 到直线 的距离为 ，当 时， 与 相切． 【答案】/5厘米 【解析】解：当时， 与相切；故答案为：． 题型二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 解题技巧提炼 1.当直线与圆相交时，d < r； 2.当直线与圆相切时，d = r； 3.当直线与圆相离时，d > r。 1、已知的半径是5，直线与相交，圆心到直线的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【解析】的半径为5，直线与相交， 圆心到直线的距离的取值范围是，故选：A． 2、如图，中，，，，如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得， ∴，， 过点作于点， ∴， ∴， ∴如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是，故选：A． 3、在平面直角坐标系中，以点为圆心，r为半径的圆与坐标轴有且只有3个公共点，则r的值是（    ） A．3 B．4 C．3或4 D．4或5 【答案】D 【解析】解：圆心的坐标为， 圆心到轴的距离为4，到轴的距离为3， 当圆与轴相切时，与轴相交，此时圆与坐标轴有且只有3个公共点，， 当圆经过原点时，圆与坐标轴有且只有3个公共点，， 即r的值是4或5，故选：D． 4、如图，，，若与射线只有一个交点，则半径r的取值范围是 ． 【答案】或 【解析】解：如图，作于， ∵， ∴， ∴当时，与射线相切，此时只有一个交点； 当时，与射线有两个交点； ∴当时，与射线只有一个交点； 综上，当与射线只有一个交点时，半径r的取值范围是或， 故答案为：或． 5、在中，，，，若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的范围是 ． 【答案】或 【解析】解：如图，在中， 根据勾股定理，， 分两种情况： 圆与斜边相切时， 连接圆心与切点， 根据切线的性质可知：， ， ， 即； 点在圆内部、点在圆上或圆外时， 此时， 即， ， 此时以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点； 故答案为：或． 6、在平面直角坐标系中，圆心的坐标为，以半径在坐标平面内作圆，当满足 时，圆与坐标轴有4个交点． 【答案】且 【解析】解：圆心的坐标为， ∴圆心到原点的距离为， 当且时，圆与坐标轴有4个交点． 故答案为：且． 题型三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 1、如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵圆的半径为 ∴当直线与圆相交时，直线与圆心的距离， 故选：C． 2、如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：过点作于E，作于F，作于G，作于H， 由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切， 又∵的半径为6， ∴，，，， ∵点 到矩形某条边的距离为8，且， ∴点 到矩形某条边的距离为8，这条边可以是， 故选：C． 3、已知圆的半径等于5，直线l与圆没有交点，则圆心到直线l的距离d的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：因为直线l与圆没有交点，所以直线l与圆相离， 所以圆心到直线的距离大于圆的半径，即． 故答案为：. 4、已知的半径为6，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围 ． 【答案】/ 【解析】解：∵的半径是6，点O到直线l的距离为d， ∴直线l与相切或相交， ∴． 故答案为：． 5、已知的半径为7，直线l与相交，点O到直线l的距离为4，则上到直线l的距离为3的点的个数为 个． 【答案】3 【解析】解：如图，∵的半径为7，点O到直线l的距离为4，即， ∴， 在上截取，过点D作，交于A、B两点， ∴上到直线l的距离为3的点为A、B、C， 故答案为：3．    6、如图，的半径是3，点A在上，点P是所在平面内一点，且，过点P作直线l，使． （1）点O到直线l距离的最大值为 ； （2）若点M，N是直线l与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为 ． 【答案】 5 【解析】解：（1）如图1， ， 当点在圆外且，，三点共线时，点到直线的距离最大， 最大值为； （2）如图2，，是直线与的公共点，当线段的长度最大时， 线段是的直径， ， ， ，， ， 故答案为：5，． 题型四 已知直线和圆的位置关系求解动圆问题 解题技巧提炼 1.根据动圆的圆心轨迹计算：如果动圆的圆心在一条直线上运动，可设圆心坐标（x,y），根据已知条件列出圆心坐标满足的方程，从而确定圆心的轨迹。 2.根据动圆与已知直线的位置关系计算： 1 先确定动圆圆心的坐标； 2 再求圆心到直线的距离 d； 3 根据距离 d和半径的大小确定位置。 1、如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作，当与直线AB相切时，点P的坐标是（） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B， ∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4， ∴A（-4，0），B（0，-3）， ∴OA=4，OB=3， ∴AB=5， 设⊙P与直线AB相切于D， 连接PD， 则PD⊥AB，PD=1， ∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO， ∴△APD∽△ABO， ∴， ∴， ∴AP=， ∴OP=或OP=， ∴P或P， 故选：B． 2、如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．    【答案】/ 【解析】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离d的取值范围是， 故答案为：．    3、如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为 秒．    【答案】2或10 【解析】解：当位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； ∴(秒)； 当位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． ∴(秒)； 故答案为：2或10 4、如图，直角坐标系中，⊙A的半径为3，点A的坐标为(﹣3，﹣4)，若将⊙A沿y轴方向平移，平移后，使⊙A上只有3个点到x轴的距离为2，则平移后点A的坐标为 ． 【答案】(﹣3，﹣1)或(﹣3，1) 【解析】解：如图，观察图像可知，当A（﹣3，﹣1）或A′（﹣3，1）时⊙A上只有3个点到x轴的距离为2． 故答案为：（﹣3，﹣1）或（﹣3，1）． 5、如图，在中，，，，点为边上动点，过点作垂线交于点当点由点运动至点时，点运动路径长 ． 【答案】 【解析】解：以为直径的圆与交于两点，说明点进行的往复运动，当圆与相切时，最大，此时，连接，则， ，，， ，设圆的半径为， 在中，， ， ， 点进行的往复运动， 路径长为， 故答案为：． 6、如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为 时，与直线相切． 【答案】或 【解析】解：当在射线上，设与相切于点E，P移动到M时，连接． ∵与直线相切， ∴， ∵在中，，， ∴， 则， ∵以的速度沿由A向B的方向移动， ∴移动时与直线相切． 当在射线上时，同理可求移动时与直线相切．故答案为：或． 题型五 切线的理解与运用 解题技巧提炼 1.切线的性质 1 切线与圆只有一个公共点； 2 圆心到切线的距离等于圆的半径； 3 切线垂直于过切点的半径。 2.切线的运用 ①求线段长度：利用切线的性质，结合相似三角形、勾股定理等知识，可以求解与切线相关的线段长度。 ②求角度：借助切线与半径的垂直关系，以及圆周角、圆心角等知识，可以求出与切线相关的角度。 1、如图，为的切线，切点为，交于点，点在上．若的度数是，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：切于点， ， ， ， ，故选：B． 2、如图，点P在抛物线y＝x2﹣3x+1上运动，若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，则符合上述条件的所有的点P共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】解：∵若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切， ∴x＝y或x＝﹣y， 当x＝y时，即x2﹣3x+1＝x， ∵Δ＝b2﹣4ac＝12＞0， ∴方程有两个不相等的实数解； 当x＝﹣y时，即x2﹣3x+1＝﹣x， ∵Δ＝b2﹣4ac＝0， ∴方程有两个相等的实数解； 综上可知符合上述条件的所有的点P共有3个，故选：B． 3、如图，是的直径，点D在上，过点D作的切线交的延长线于点C．若，则的半径为（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【解析】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的半径为6．故选：B． 4、在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 【解析】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°， ∵∠ABT=∠ATB=45°， ∴∠BAT=90°， 又∵AB是圆O的直径， ∴AT是圆O的切线， 故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）． 5、一动点在二次函数的图像上自由滑动，若以点为圆心，1为半径的圆与坐标轴相切，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【解析】解：如图所示： 则可分两种情况： ①当与x轴相切时，则点P的纵坐标为1，令， 解得，， 此时点P的坐标为：或， ②当与y轴相切时，点P的横坐标为1或-1，则此时点P的坐标为：或， 综上所述：点P的坐标为：或或， 故答案为：或或． 6、如图，在同心，大的直径交小于、，大的两弦、交于，且，，弦与小切于，过作于．小的半径为． (1)的长为__________； (2)试问弦与小是什么位置关系？请证明你的结论； 【答案】(1) (2)相切，证明见解析 【解析】（1）解：连接， ∵弦与小切于，小的半径为， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：； （2）解：相切． 证明：过作于，连接， ∵，，， ， ， ， ∴， 即为小的半径， ∴与小相切． 题型六 切线的性质和判定的综合应用 解题技巧提炼 1. 定义法：若直线与圆只有一个公共点，则直线是圆的切线。 2. 数量关系法：设圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r，若 d = r，则直线是圆的切线。 3. 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。先确定直线经过半径的外端，再证明直线垂直于这条半径。可以通过证明两个直角三角形全等或利用勾股定理等方法来证明垂直关系。 特别提醒：方法3是判定切线的重要方法，在证明题中经常用到。 1、如图，是的直径，是上一点，是外一点，过点作，垂足为，连接．若使切于点，添加的下列条件中，不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、 ， ， 当时，则，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意； B、 ， ，则， ， ， 当时，则，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意； C、当时，， ， ， ，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意； D、当时，由得到，则是等腰三角形，无法确定，不能得到切于点，该选项不正确，符合题意； 故选：D． 2、已知：如图，是的直径，是的切线，与相交于点，连接并延长与相交于点，且点为的中点，，． (1)求的半径； (2)求证：与相切． 【答案】(1)(2)见解析 【解析】（1）解：（1）设的半径为 ， 是的直径，是的切线， ， 在中，， ， 解得， 的半径为； （2）证明：连接， ，， 是的中位线， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 即， 与相切． 3、如图，是的直径，是的切线，于点E，交于点，连接．求证：是的切线． 【答案】证明：如图，连接， 是的切线， ， ， 是的垂直平分线， ， 又，， ， ， 是的半径， 是的切线． 4、如图，平分与相切于点，延长交于点，过点作，垂足为．求证：是的切线． 【答案】证明：与相切于点，且是的半径， ， 平分， ， 点在上， ， 是的切线． 5、如图，已知四边形中，，点是的中点，，以为直径作半圆． (1)求证：是的切线； (2)若与的交点是的中点，的半径为2，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【解析】（1）证明：如图，延长交的延长线于点，过点作，垂足为， 点是的中点， ， 又，， ， ， ，即， ， ， 即点在上， 是的切线； （2）解：如图，连接， 点是的中点，， ， 是等边三角形， ， 的半径， ， 在中，，， ． 6、如图，是半圆的直径，是切线，点A是半圆上一点，且，连接，，． (1)与的位置关系为________； (2)求证：； (3)若四边形是平行四边形，当时，求的值． 【答案】(1)(2)见解析(3)4 【解析】（1）∵是切线， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵是的直径，， ∴， ∴． 题型七 尺规作图---过圆外一点作圆的切线 解题技巧提炼 1.连接圆心与圆外一点 特别提醒：这条线段在后续作图中起着关键作用。 2.作该线段的垂直平分线：以连接的线段为斜边，作其垂直平分线。垂直平分线与圆的交点即为切点。 作图依据：圆的切线垂直于过切点的半径，而垂直平分线的性质是垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。所以，垂直平分线上的点到圆外那一点和圆心的距离相等，满足切线的性质。 1、如图，用尺规过圆外一点P作已知圆O的切线，下列作法无法得到为切线的是（　　） A．  作中垂线交于点D，再以D为圆心，为半径，作圆D交圆O于点A，连接 B．  以O为圆心，为半径作圆弧交延长线于D，再以D为圆心，为半径作弧，两弧交于点A，连接 C．  先用尺规过点D作垂线，再以O为圆心，为半径画弧交垂线于B，再以P为圆心，为半径画弧交圆O于点A，连接 D．  以P为圆心，为半径画弧，再以O为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接交圆O于点A，连接 【答案】D 【解析】解：A、连接，    为直径， ，可得到为切线． B、过点O作，垂足为E，为以为圆的直径，    ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为半径，可得到为切线． C、先用尺规过点作垂线，再以为圆心，为半径画弧交垂线于，再以为圆心，为半径画弧交圆于点，连接， ， ，可得到为切线．    D、以为圆心，为半径画弧，再以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，是等边三角形，连接交圆于点，连接，如果为切线，则，必须为中点，   故选：D． 2、过圆外一点P做的切线，尺规作图保留作图痕迹，用两种方法． 【答案】见解析 【解析】解：根据题意，画图如下： 则和即为所求． 3、如图，在的方格中，点A，B，C为格点． (1)利用无刻度的直尺在图1中画出的中线． (2)在图2中标出的外心Q并画出外接圆的切线． 【答案】(1)图见解析；(2)图见解析； 【解析】（1）解：如图所示，根据正方形对角线互相垂直平分得到与交点，连接即为所求， ； （2）解：如图所示，点是，边垂直平分线的交点，连接根据格点垂直即为所求， ． 4、如图，已知是的直径，C是半圆上一点（不与点A，B重合）． (1)用尺规过点C作的切线，交的延长线于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求的直径． 【答案】(1)作图见解析；(2)12 【解析】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：是切线，的半径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， 故的直径为12． 5、下面是小明设计的“过圆外一定点作圆的切线”的尺规作图的过程． 已知：如图，点P是外一定点． 求作：的过点P的切线． 作法： （1）连接； （2）作线段的垂直平分线，交于点C； （3）以点C为圆心，长为半径作圆，分别交于点A，B； （4）作直线，． ∴直线，就是所求作的的切线． 请根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题： 使用直尺和圆规，按照上述作法完成作图（保留作图痕迹），并证明直线，是的切线． 【答案】解：（1）连接； （2）作线段的垂直平分线，交于点C； （3）以点C为圆心，长为半径作圆，分别交于点A，B； （4）作直线，． ∴直线，就是所求作的的切线． 证明：连接，． 由作法可知，是的直径， 则， ∴，， ∴直线，就是所求作的的切线． 6、已知：和外一点． (1)如图甲，和是的两条切线，、分别为切点，求证：； (2)尺规作图：在图乙中，过点作的两条切线、、、为切点（要求：保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）如图，连接，，． ，是切线， ，， ． 在和中， ， ， ． （2）以为直径作，两圆交于点、， 直线、即为所求； 题型八 切线长定理的理解运用 解题技巧提炼 1.注意切线长与切线的区别，切线是直线，而切线长是线段的长度。 2.解题思路 ①求线段长度：已知圆外一点到圆心的距离、圆的半径以及切线长的关系，可以利用切线长定理和勾股定理来求解线段长度。 ②证明线段相等或角相等：利用切线长定理证明一些线段相等或角相等的问题。 ③计算角度：根据切线长定理中圆心与圆外一点的连线平分两条切线的夹角这一性质，可以计算相关角度。 特别提醒：切线长定理常常与勾股定理、全等三角形、等腰三角形等知识结合使用。在解题时，要善于综合运用这些知识，找到解题的突破口。 1、如图，为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交于点C，D．F为⊙O上的点，连若，则的周长和的度数分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：连接，如图所示： 由切线的性质以及切线长定理得：，，， ∵， ∴ ∴； 的周长，故选：D 2、如图，分别切于点切于点C，分别交于点M，，若，则的周长是 ． 【答案】/15厘米 【解析】解：∵切于点C， ∴，， ∴ ． 3、如图，，是的切线，A，B是切点，若，则 ． 【答案】 【解析】解：，是的切线，，为切点， 平分，， ，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4、已知：如图，是的内切圆，．若，，求的半径r；若，，，求的半径r． 【答案】3； 【解析】解：如图； 设、、与的切点分别为D、E、F； 在，，，； 根据勾股定理； 四边形中，，； 则四边形是正方形； 由切线长定理，得：，，； 则； 即：． 当，，， 由以上可得： ； 即：． 则的半径r为：． 5、如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 【答案】10 【解析】解：∵是的切线， ∴； ∵过点C的切线分别交于点D、E， ∴； ∵的周长20， ∴， ∴， 即， ∴． 6、如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．连接交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若点E是的中点，的半径为6，求的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】（1）证明：∵，是的两条切线，切点分别为，， ∴，， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴； （2）∵，点是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵的半径为6， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 27.4 直线与圆的位置关系 知识点一 相离、相切、相交的概念 ★1、相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离； ★2、相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点； ★3、相交：当直线与圆有两个公共点（即交点）时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的割线。 知识点二 直线和圆的位置关系 ★1、根据直线与圆公共点个数的情祝，相应得到直线与圆的位置关系有三种：相离，相切，相交。 ★2、数量关系描述： 如果的半径长为，圆心到直线的距离为，那么 直线和相交⇔⇔2个； 直线和相切⇔⇔1个； 直线和相离⇔⇔0个. 位置关系⇔数量关系⇔公共点个数 【注意】一个圆的位置和大小，由圆心和半径长确定；直线与圆的位置关系，应与圆心和半径长有关。 知识点三 切线的性质与判定定理 ★1、切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可。 ★2、切线的判定方法： ①直线与圆有唯一公共点： ②直线到圆心的距离等于该圆的半径； ③切线的判定定理。 ★3、切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 ★4、作圆的切线：过上一点作的切线。 作法：①联结；②过点作直线垂直于。则直线就是所求作的切线。 【注意】（1）在解决有关圆的切线问题时，常常需要作过切点的半径； （2）过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中道其中两个条件就能推出最后一个。 知识点四 切线长定理 ★1、切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长； ★2、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 4、三角形的内切圆和内心：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。 题型一 判断直线和圆的位置关系 解题技巧提炼 1.根据公共点个数判断。当直线和圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线和圆有唯一公共点，叫做直线和圆相切；直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 2.根据圆心到直线的距离 d与圆半径 r的关系判断。当 d < r时，直线与圆相交; 当 d = r时，直线与圆相切; 当 d > r时，直线与圆相离 1、已知的半径为3，圆心到直线的距离为2，则与直线的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相离 2、的三边，，的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是（     ） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是 3、已知的半径r为，圆心O到直线l的距离d为，直线l与的公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 4、已知等边三角形的边长为，以点A为圆心，以长为半径作，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．外离 5、在平面直角坐标系中，过点的直线与以为圆心、4为半径的圆的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 6、 的半径为 ，点 到直线 的距离为 ，当 时， 与 相切． 题型二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 解题技巧提炼 1.当直线与圆相交时，d < r； 2.当直线与圆相切时，d = r； 3.当直线与圆相离时，d > r。 1、已知的半径是5，直线与相交，圆心到直线的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 2、如图，中，，，，如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3、在平面直角坐标系中，以点为圆心，r为半径的圆与坐标轴有且只有3个公共点，则r的值是（    ） A．3 B．4 C．3或4 D．4或5 4、如图，，，若与射线只有一个交点，则半径r的取值范围是 ． 5、在中，，，，若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的范围是 ． 6、在平面直角坐标系中，圆心的坐标为，以半径在坐标平面内作圆，当满足 时，圆与坐标轴有4个交点． 题型三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 1、如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 2、如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 3、已知圆的半径等于5，直线l与圆没有交点，则圆心到直线l的距离d的取值范围是 ． 4、已知的半径为6，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围 ． 5、已知的半径为7，直线l与相交，点O到直线l的距离为4，则上到直线l的距离为3的点的个数为 个． 6、如图，的半径是3，点A在上，点P是所在平面内一点，且，过点P作直线l，使． （1）点O到直线l距离的最大值为 ； （2）若点M，N是直线l与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为 ． 题型四 已知直线和圆的位置关系求解动圆问题 解题技巧提炼 1.根据动圆的圆心轨迹计算：如果动圆的圆心在一条直线上运动，可设圆心坐标（x,y），根据已知条件列出圆心坐标满足的方程，从而确定圆心的轨迹。 2.根据动圆与已知直线的位置关系计算： 1 先确定动圆圆心的坐标； 2 再求圆心到直线的距离 d； 3 根据距离 d和半径的大小确定位置。 1、如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作，当与直线AB相切时，点P的坐标是（） A． B．或 C． D．或 2、如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．    3、如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为 秒．    4、如图，直角坐标系中，⊙A的半径为3，点A的坐标为(﹣3，﹣4)，若将⊙A沿y轴方向平移，平移后，使⊙A上只有3个点到x轴的距离为2，则平移后点A的坐标为 ． 5、如图，在中，，，，点为边上动点，过点作垂线交于点当点由点运动至点时，点运动路径长 ． 6、如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为 时，与直线相切． 题型五 切线的理解与运用 解题技巧提炼 1.切线的性质 1 切线与圆只有一个公共点； 2 圆心到切线的距离等于圆的半径； 3 切线垂直于过切点的半径。 2.切线的运用 ①求线段长度：利用切线的性质，结合相似三角形、勾股定理等知识，可以求解与切线相关的线段长度。 ②求角度：借助切线与半径的垂直关系，以及圆周角、圆心角等知识，可以求出与切线相关的角度。 1、如图，为的切线，切点为，交于点，点在上．若的度数是，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2、如图，点P在抛物线y＝x2﹣3x+1上运动，若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，则符合上述条件的所有的点P共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3、如图，是的直径，点D在上，过点D作的切线交的延长线于点C．若，则的半径为（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 4、在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 5、一动点在二次函数的图像上自由滑动，若以点为圆心，1为半径的圆与坐标轴相切，则点的坐标为 ． 6、如图，在同心，大的直径交小于、，大的两弦、交于，且，，弦与小切于，过作于．小的半径为． (1)的长为__________； (2)试问弦与小是什么位置关系？请证明你的结论； 题型六 切线的性质和判定的综合应用 解题技巧提炼 1. 定义法：若直线与圆只有一个公共点，则直线是圆的切线。 2. 数量关系法：设圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r，若 d = r，则直线是圆的切线。 3. 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。先确定直线经过半径的外端，再证明直线垂直于这条半径。可以通过证明两个直角三角形全等或利用勾股定理等方法来证明垂直关系。 特别提醒：方法3是判定切线的重要方法，在证明题中经常用到。 1、如图，是的直径，是上一点，是外一点，过点作，垂足为，连接．若使切于点，添加的下列条件中，不正确的是（    ）    A． B． C． D． 2、已知：如图，是的直径，是的切线，与相交于点，连接并延长与相交于点，且点为的中点，，． (1)求的半径； (2)求证：与相切． 3、如图，是的直径，是的切线，于点E，交于点，连接．求证：是的切线． 4、如图，平分与相切于点，延长交于点，过点作，垂足为．求证：是的切线． 5、如图，已知四边形中，，点是的中点，，以为直径作半圆． (1)求证：是的切线； (2)若与的交点是的中点，的半径为2，求的长． 6、如图，是半圆的直径，是切线，点A是半圆上一点，且，连接，，． (1)与的位置关系为________； (2)求证：； (3)若四边形是平行四边形，当时，求的值． 题型七 尺规作图---过圆外一点作圆的切线 解题技巧提炼 1.连接圆心与圆外一点 特别提醒：这条线段在后续作图中起着关键作用。 2.作该线段的垂直平分线：以连接的线段为斜边，作其垂直平分线。垂直平分线与圆的交点即为切点。 作图依据：圆的切线垂直于过切点的半径，而垂直平分线的性质是垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。所以，垂直平分线上的点到圆外那一点和圆心的距离相等，满足切线的性质。 1、如图，用尺规过圆外一点P作已知圆O的切线，下列作法无法得到为切线的是（　　） A．  作中垂线交于点D，再以D为圆心，为半径，作圆D交圆O于点A，连接 B．  以O为圆心，为半径作圆弧交延长线于D，再以D为圆心，为半径作弧，两弧交于点A，连接 C．  先用尺规过点D作垂线，再以O为圆心，为半径画弧交垂线于B，再以P为圆心，为半径画弧交圆O于点A，连接 D．  以P为圆心，为半径画弧，再以O为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接交圆O于点A，连接 2、过圆外一点P做的切线，尺规作图保留作图痕迹，用两种方法． 3、如图，在的方格中，点A，B，C为格点． (1)利用无刻度的直尺在图1中画出的中线． (2)在图2中标出的外心Q并画出外接圆的切线． 4、如图，已知是的直径，C是半圆上一点（不与点A，B重合）． (1)用尺规过点C作的切线，交的延长线于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求的直径． 5、下面是小明设计的“过圆外一定点作圆的切线”的尺规作图的过程． 已知：如图，点P是外一定点． 求作：的过点P的切线． 作法： （1）连接； （2）作线段的垂直平分线，交于点C； （3）以点C为圆心，长为半径作圆，分别交于点A，B； （4）作直线，． ∴直线，就是所求作的的切线． 请根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题： 使用直尺和圆规，按照上述作法完成作图（保留作图痕迹），并证明直线，是的切线． 6、已知：和外一点． (1)如图甲，和是的两条切线，、分别为切点，求证：； (2)尺规作图：在图乙中，过点作的两条切线、、、为切点（要求：保留作图痕迹，不写作法）． 题型八 切线长定理的理解运用 解题技巧提炼 1.注意切线长与切线的区别，切线是直线，而切线长是线段的长度。 2.解题思路 ①求线段长度：已知圆外一点到圆心的距离、圆的半径以及切线长的关系，可以利用切线长定理和勾股定理来求解线段长度。 ②证明线段相等或角相等：利用切线长定理证明一些线段相等或角相等的问题。 ③计算角度：根据切线长定理中圆心与圆外一点的连线平分两条切线的夹角这一性质，可以计算相关角度。 特别提醒：切线长定理常常与勾股定理、全等三角形、等腰三角形等知识结合使用。在解题时，要善于综合运用这些知识，找到解题的突破口。 1、如图，为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交于点C，D．F为⊙O上的点，连若，则的周长和的度数分别为（   ） A． B． C． D． 2、如图，分别切于点切于点C，分别交于点M，，若，则的周长是 ． 3、如图，，是的切线，A，B是切点，若，则 ． 4、已知：如图，是的内切圆，．若，，求的半径r；若，，，求的半径r． 5、如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 6、如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．连接交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若点E是的中点，的半径为6，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$