4.1正弦与余弦（8大题型提分练）数学湘教版九年级上册

4.1 正弦与余弦 题型一 正弦与余弦的概念辨析 1、在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值、余弦值的变化情况是（    ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的2倍 C．都没有变化 D．不能确定 2、在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 3、如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 5、如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 题型二 求角的正弦（余弦）值 6、在中，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 7、如图，点A、B、C为正方形网格纸中的3个格点，则的值是 ． 8、在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点，如果与x轴正半轴的夹角，那么的余弦值是 ． 9．如图，在的网格中，每个小正方形的边长为，点，，均在格点上，是与网格线的交点，则的值是 ． 题型三 已知正弦（余弦）值求边长 10、在中，，，，则 ． 11、如图，在矩形中，，垂足为点E．若，，则的长为 ． 12、如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 13、如图，已知中，，，，，为边上的中线． (1)求的长； (2)求的值． 题型四 特殊角的三角函数值及混合运算 14．的值等于（   ） A．1 B． C． D． 15、在中，，则 ． 16、在锐角中，若，满足，求的度数． 17．计算：； 题型五 由特殊三角函数值判断三角形的形状 18、在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 19、如果中，，则下列结论正确的是（　　） A．是等边三角形 B．是钝角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形 20．在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 题型六 根据特殊角的三角函数值求角的度数 21、在中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 22、在中，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 23、已知α为锐角，且，则α等于 ． 24．如图，在矩形中，是上一点，，，则的度数是 ． 25．将一把直尺与一把三角尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为 ． 题型七 已知角的度数比较三角函数值的大小 26．若，则（    ） A． B． C． D． 27、三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型八 根据三角函数值判断锐角的取值范围 28．若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 29．若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 30．已知是锐角，且，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31、已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33、如图所示，点，轴于点B，将绕点逆时针旋转得到，求的正弦值和余弦值． 34、先化简，再求代数式的值，其中． 35、如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，． (1)求的长． (2)求的正弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1 正弦与余弦 题型一 正弦与余弦的概念辨析 1、在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值、余弦值的变化情况是（    ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的2倍 C．都没有变化 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确锐角三角函数的定义，知道变化前后的两个三角形相似．根据一个锐角的三边的长都扩大为原来的2倍，可知扩大后的度数没有发生变化，可以判断是否变化． 【详解】解：一个的三边的长都扩大为原来的2倍， 的度数没有发生变化， 锐角的正弦值、余弦值没有变化， 故选：C 2、在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在中，．锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴的对边与斜边的比， ∵的三边都缩小5倍， ∴的对边与斜边的比不变， ∴的值不变． 故选：C． 3、如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角函数的正弦值，根据正弦值的定义即可得出答案，熟练掌握正弦值的定义是解决本题的关键． 【详解】解：在中，，， 故选：C． 4．如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：在中，． 故选：C． 5、如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义，余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比． 根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案． 【详解】解：∵小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处， ∴且米 ∵ ∴ ∴米 故选： B． 题型二 求角的正弦（余弦）值 6、在中，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知锐角三角函数正弦的定义是解决问题的关键．由勾股定理得进而利用三角函数定义即可得解． 【详解】解：如图，根据勾股定理得， 故选．    7、如图，点A、B、C为正方形网格纸中的3个格点，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理、正弦等知识，熟练掌握正弦的定义是解题关键．结合网格，取的中点为格点，先利用勾股定理分别求出的长，再利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，且，然后根据正弦的定义求解即可得． 【详解】解：如图，结合网格，取的中点为格点， 设网格纸中的每个小正方形的边长为1， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故答案为：． 8、在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点，如果与x轴正半轴的夹角，那么的余弦值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，此题比较简单，易于掌握． 过点作轴于点，先通过勾股定理求出，再利用余弦的定义即可求解． 【详解】解：过点作轴于点 由题意得，， 则由勾股定理求得， ∴， 故答案为：． 9．如图，在的网格中，每个小正方形的边长为，点，，均在格点上，是与网格线的交点，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、余弦的定义，由勾股定理计算出，，，再由勾股定理逆定理判断出为直角三角形，，最后由余弦的定义即可得解． 【详解】解：由勾股定理可得：，，， ∵， ∴为直角三角形，， ∴， 故答案为：． 题型三 已知正弦（余弦）值求边长 10、在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，根据，结合，设，则，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， 设，则， ∴， ∴，解得：， ∴， 故答案为6． 11、如图，在矩形中，，垂足为点E．若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查矩形的性质、正弦的定义、同角的余角相等．根据同角的余角相等，得到，再根据正弦定义即可解得的长． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 12、如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 【答案】 【分析】作于，交的延长线于，于，则四边形是矩形，先证明，在中利用勾股定理求出，从而得出，再证明四边形是平行四边形，得到，从而解决问题． 本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形． 【详解】解：如图，过点作于，交的延长线于，过点作于点， 则四边形是矩形． ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在中， ，， ， ， ， ， 将沿直线翻折后，点落在点， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 13、如图，已知中，，，，，为边上的中线． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理和三角函数，熟练掌握相关知识即可解题． （1）运用余弦定义得到求得的长，再运用勾股定理即可求得的长； （2）运用，，再结合（1）结论运用勾股定理即可求得的长，从而求得的值． 【详解】（1）解：， ， 又，， ， ， ； （2）解：由（1）可知：， ， ， ， ， ． 题型四 特殊角的三角函数值及混合运算 14．的值等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，根据角的余弦值即可求解 【详解】解：， 故选：A 15、在中，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查特殊三角函数值，利用求出，则即可求解． 【详解】解：在中，， ， ， 故答案为：． 16、在锐角中，若，满足，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，三角形内角和定理，根据特殊角三角函数值求角的度数，先根据非负数的性质得到，则，再根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．计算：； 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 先根据二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值进行计算，再计算乘法，最后计算加减即可； 【详解】解： ； 题型五 由特殊三角函数值判断三角形的形状 18、在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值即可求出的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形 故选：A． 19、如果中，，则下列结论正确的是（　　） A．是等边三角形 B．是钝角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握根据三角函数值确定三角形的形状是解此题的关键． 根据特殊角的三角函数值，直接得出，的角度即可解答． 【详解】解：， ， 是等腰直角三角形． 故选C． 20．在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度，绝对值的非负性，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， 解得：，， ∴， ∴是钝角三角形， 故选B． 题型六 根据特殊角的三角函数值求角的度数 21、在中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查已知特殊角的三角函数值，求角度，根据，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 故选A． 22、在中，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据特殊角的三角函数值求角度，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．根据，求出，根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴． 故选：B． 23、已知α为锐角，且，则α等于 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查特殊角度三角函数，根据求解即可． 【详解】∵，， ∴， 解得， 故答案为：． 24．如图，在矩形中，是上一点，，，则的度数是 ． 【答案】/15度 【分析】首先根据题意得到，求出，然后根据三角形内角和定理和等边对等角求解即可． 【详解】∵， ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解直角三角形，矩形的性质，三角形内角和定理和等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 25．将一把直尺与一把三角尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为 ． 【答案】150 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，平行线的性质，先根据特殊角的三角函数值求出的度数，互余求出的度数，平行线的性质求出的度数，再利用互补关系，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵直尺的对边平行， ∴， ∴； 故答案为： 题型七 已知角的度数比较三角函数值的大小 26．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数，先将余弦函数、正弦函数进行转换，再根据正弦函数的增减性求解． 【详解】解：， 当时，随的增大而增大， ， ， ， 故选C． 27、三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，由，再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道，即可得出正确选项． 【详解】解：∵（）， ∴， 当时，正弦值是随着角的增大而增大， ∴ ∴， 故选：C． 题型八 根据三角函数值判断锐角的取值范围 28．若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在间变化，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），判定即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 29．若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，首先明确，，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析． 【详解】解：，正弦值随着角的增大而增大， ， ， 故选C． 30．已知是锐角，且，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键．先求出，及的近似值，然后得出结论即可． 【详解】 解：，，， 又∵解：，，， 又∵，余弦函数随角增大而减小， ∴ ． 故选：B． 31、已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性的应用，注意∶当角是锐角时，其正弦和正切随角度的增大而增大，余弦随角度的增大而减小；根据三角函数的增减性求解即可； 【详解】解：是锐角， ， ，，， ， 故选：A； 32．若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，以及余弦的性质，根据余弦值随着锐角度数的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选C． 33、如图所示，点，轴于点B，将绕点逆时针旋转得到，求的正弦值和余弦值． 【答案】，． 【分析】题目主要考查坐标与图形，旋转的性质及正弦函数及余弦函数的定义，根据题意得出，再由勾股定理确定，利用旋转的性质确定，即可求解． 【详解】解：∵点，轴于点B， ∴， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ． 34、先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式化简再求值，完全平方公式，特殊角三角函数值等．根据题意先整理括号内的再计算除法，将化简完成的式子代入特殊值求出即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∵， ∴． 35、如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，． (1)求的长． (2)求的正弦值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了正弦与余弦、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握正弦与余弦的概念是解题关键． （1）先根据余弦的定义可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得； （2）先求出，利用余弦可求出的长，从而可得的长，再在中，利用正弦的定义求解即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是边的中点， ∴， 所以的长为5． （2）解：∵是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 所以的正弦值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$