第12章 因式分解压轴训练-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（沪教版2024）

第12章 因式分解压轴训练 一、选择压轴 1．数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（　　） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 2．若k、n都是任意整数，如果的值总能被3整除，则不能取（    ） A． B．1 C．2 D．4 3．已知，，，则的值等于（    ） A．2 B．1 C．0 D． 4．已知关于的整式，其中，，，，为整数，且，下列说法：①的项数不可能小于等于3；②若，则不可能分解为一个整式的平方；③若，且，，，，均为正整数，则满足条件的共有4个．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知a，b，c是的三边长，且，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 6．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，分别对应下列六个字：节、我、爱、游、毕．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．爱毕节 B．我爱游 C．爱我毕节 D．我游毕节 7．计算 的结果为（   ） A． B． C． D． 8．在对多项式进行因式分解时，有一些多项式用提公因式法和公式法无法直接分解．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如：．下列说法： 因式分解：； 若，，是的三边长，且满足，则为等腰三角形； 若，，为实数且满足，则以，，作为三边能构成等腰三角形．其中正确的是（    ） A． B． C． D． 9．已知三个实数a，b，c满足，，则下列结论一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．若，则关于的说法正确的是（    ）． A．是正整数，而且是偶数 B．是正整数，而且是奇数 C．不是正整数，而是无理数 D．无法确定 二、填空压轴 11．若，则的值是 ． 12．已知，，则的值是 ． 13．若两个不等实数m，n满足， ，则的值等于 ． 14．若，则 ． 15．将三张边长分别为的正方形纸片按图1，图2两种不同方式摆放于两个长方形中．设图1中的阴影部分周长为，面积为，图2中的阴影部分周长为，面积为．若，则 ．    16．分解多项式的结果是 ． 17．已知，则的值为 ． 18．已知的三边为a、b、c，且满足，则的形状为 ． 三、解答压轴 19．若，求的值． 20．已知关于、的二次式可分解为两个一次因式的乘积，求的值． 21．小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项一次项系数，则．如图所示： 仿照上述解决下列问题： (1)因式分解：； 小亮做了如下分析： 一次项为：，则常数项为：； 则__________；=_________； （ ）（ ） (2)因式分解：： (3)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值． 22．已知（为任意整数），且比大5．求证：总能被5整除． 23．【阅读材料】19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”． 【知识应用】（1）利用“热门定理”把分解因式． 【知识迁移】热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有，像这样的方法统称为“配方法”． （2）请利用“配方法”分解因式： ①； ②． 24．我们知道：可以通过用不同的方法求解长方形面积，从而得到一些数学等式．如图1可以表示的数学等式：，请完成下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式： ； (2)从图3可知，因式分解： ； (3)结合图4，已知，，求的值． 25．【学习材料】拆项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，再分组进行因式分解． 例1因式分解： 解：原式 例2因式分解： 解：原式 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)因式分解： ； (2)运用拆项法因式分解：； (3)化简，并求该式的最小值． 26．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如∶ ，，，因此8，16，24都是“和谐数” (1)特例感知：判断40是否为“和谐数”，说明理由； (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； (3)拓展应用：设m，n为正整数，且，若 和都是“和谐数”．判断是否为“和谐数”，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 因式分解压轴训练 一、选择压轴 1．数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（　　） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【答案】D 【详解】解：A. 甲：，能进行因式分解，进入下一轮，即该选项不符合题意； B. 乙： ，能进行因式分解，进入下一轮，即该选项不符合题意； C. 丙：，能进行因式分解，进入下一轮，即该选项不符合题意； D. 丁：，不能进行因式分解，被淘汰，即该选项符合题意．     故选D． 2．若k、n都是任意整数，如果的值总能被3整除，则不能取（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】解： 的值总能被3整除， 总能被3整除， 整数为，1，4，均满足条件，故A、B、D选项不符合题意； 当为2时，，不能满足n为任意整数时，的值总能被3整除，故C选项符合题意； 故选：C． 3．已知，，，则的值等于（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 4．已知关于的整式，其中，，，，为整数，且，下列说法：①的项数不可能小于等于3；②若，则不可能分解为一个整式的平方；③若，且，，，，均为正整数，则满足条件的共有4个．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：根据，且，，，，为整数，可得a最小为0，则的项数至少是4项，故不可能小于等于3，故①正确； 若，则，假设可以分解为一个整式的平方， 设， 则 , ，，，，, ， ，, 这与矛盾， ∴假设不成立， 故，则不可能分解为一个整式的平方， ∴②正确； 若，且，，，，均为正整数， 则有，，，，， 或，，，，， 或，，，，共三种情况，故③错误； 故选：C． 5．已知a，b，c是的三边长，且，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】∵ ∴， ， ， ∵a，b，c是的三边长， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形， 故选：C． 6．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，分别对应下列六个字：节、我、爱、游、毕．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．爱毕节 B．我爱游 C．爱我毕节 D．我游毕节 【答案】C 【详解】， 信息中的汉字有：爱、毕、节、我． 所以结果呈现的密码信息可能为：爱我毕节． 故选：C． 7．计算 的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： =． 故选：D． 8．在对多项式进行因式分解时，有一些多项式用提公因式法和公式法无法直接分解．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如：．下列说法： 因式分解：； 若，，是的三边长，且满足，则为等腰三角形； 若，，为实数且满足，则以，，作为三边能构成等腰三角形．其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ， ，故正确； ， ∵，，是的三边长， ∴， ∴， ∴，故正确； ∴，，， ∵， ∴以，，作为三边不能构成三角形，故错误， 综上可知：， 故选：． 9．已知三个实数a，b，c满足，，则下列结论一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】A．若，则，即，则： ，故A正确； B．若，则， 把代入得： ， ∴， 把，代入得： ， 分解因式得：， ∴或 ∴或，故B错误； C．若，则， ∴， ∴，故C错误； D．若，则 把代入得：， ∴，故D错误． 故选：A． 10．若，则关于的说法正确的是（    ）． A．是正整数，而且是偶数 B．是正整数，而且是奇数 C．不是正整数，而是无理数 D．无法确定 【答案】B 【详解】设， 是偶数， 是奇数，选项符合题意， 故选：． 二、填空压轴 11．若，则的值是 ． 【答案】21 【详解】解：∵， ∴代入可得： ． 故答案为：21． 12．已知，，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：， ， 即， ， ， ， ． 故答案为：． 13．若两个不等实数m，n满足， ，则的值等于 ． 【答案】 【详解】解：∵， ，， ，， ， ∴． 故答案为：． 14．若，则 ． 【答案】 【详解】解：当时， 原式= =． 故答案为：． 15．将三张边长分别为的正方形纸片按图1，图2两种不同方式摆放于两个长方形中．设图1中的阴影部分周长为，面积为，图2中的阴影部分周长为，面积为．若，则 ．    【答案】/ 【详解】解：根据图1可知：， ， 根据图2可知：， ， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．分解多项式的结果是 ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为： 17．已知，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 解得：或， 当时，原式， 当时，原式， 故答案为： 18．已知的三边为a、b、c，且满足，则的形状为 ． 【答案】等腰三角形 【详解】∵， ∴， ∴ ， ， ， ， ∴或． 故答案为：等腰三角形． 三、解答压轴 19．若，求的值． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，，， ∴ ． 20．已知关于、的二次式可分解为两个一次因式的乘积，求的值． 【答案】6 【详解】解：， 设原式， 即， ，， ，， ． 答：的值为6． 21．小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项一次项系数，则．如图所示： 仿照上述解决下列问题： (1)因式分解：； 小亮做了如下分析： 一次项为：，则常数项为：； 则__________；=_________； （ ）（ ） (2)因式分解：： (3)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值． 【答案】(1)见详解 (2) (3)， 【详解】（1）解：一次项为：，则常数项为，则2；3； ∴； （2）解：一次项为：，则常数项为， 则； （3）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是： ；；；， 即整数的所有可能的值是：，． 22．已知（为任意整数），且比大5．求证：总能被5整除． 【答案】见解析 【详解】证明：为任意整数），且比大5， ， ， 总能被5整除． 23．【阅读材料】19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”． 【知识应用】（1）利用“热门定理”把分解因式． 【知识迁移】热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有，像这样的方法统称为“配方法”． （2）请利用“配方法”分解因式： ①； ②． 【答案】（1）；（2）①，② 【详解】解：（1） ． （2）①原式 ． ②原式 ． 24．我们知道：可以通过用不同的方法求解长方形面积，从而得到一些数学等式．如图1可以表示的数学等式：，请完成下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式： ； (2)从图3可知，因式分解： ； (3)结合图4，已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：根据题意，求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积，如图： 则可得：， 故答案为：； （2）根据题意，求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积，如图： 则可得：， 则， 故答案为：； （3）根据题意，补全图形并求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积，如图： 则可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴． 25．【学习材料】拆项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，再分组进行因式分解． 例1因式分解： 解：原式 例2因式分解： 解：原式 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)因式分解： ； (2)运用拆项法因式分解：； (3)化简，并求该式的最小值． 【答案】(1) (2) (3)，最小值为 【详解】（1）解： （2） （3） 当时，最小值为． 26．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如∶ ，，，因此8，16，24都是“和谐数” (1)特例感知：判断40是否为“和谐数”，说明理由； (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； (3)拓展应用：设m，n为正整数，且，若 和都是“和谐数”．判断是否为“和谐数”，说明理由． 【答案】(1)40是“和谐数”，理由见解析 (2)“和谐数”能被8整除，理由见解析 (3)是 “和谐数”，理由见解析 【详解】（1）解：设， 解得， ∴40是“和谐数”； （2）解：“和谐数”能被8整除， 理由： ， ∵k是正整数， ∴能被8整除， ∴能被8整除， ∴“和谐数”能被8整除； （3）解：∵是“和谐数”， ∴， ∴， ∴． ∵是“和谐数”，即是“和谐数”， ∴可设，其中k为正整数， ∴， ∴， ∴ ． ∵k为正整数， ∴和为两个连续正奇数， ∴为“和谐数”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$