第01讲 二次函数（2知识5题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（苏科版）

第01讲 二次函数 课程标准 学习目标 ①引导学生理解二次函数的定义，明确二次函数的一般形式为y=ax2+bx+c。 ②让学生通过实例感受二次函数在实际问题中的广泛应用，体会数学与生活的联系。 ③培养学生观察、分析和归纳的能力，能够从具体问题中抽象出二次函数模型。 1. 掌握二次函数的概念，能准确识别二次函数表达式。 2. 学会从实际问题中提取关键信息，建立二次函数模型。 知识点一、二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、 c为常数）的函数是二次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 1.任何一个二次函数的表达式都可以化为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、 c为常数）的形式；因此我们将y=ax2+bx+c（a≠0，）叫做二次函数的一般式. 2.在一般式中，只有a≠0时，函数y=ax2+bx+c才是二次函数. 3.二次函数的几种特殊形式：若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2. 知识点二、实际问题中的二次函数及自变量的取值范围 一般地，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、 c为常数）的自变量x可以取任意实数，但在实际问题中，要保证自变量的取值范围使实际问题有意义. 题型01 识别二次函数 1．下列函数中，是关于x的二次函数的是（　　） A．y＝x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C． D．y＝﹣x（x+3） 【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论． 【解答】解：A、y＝x﹣1是一次函数，不是二次函数，不符合题意； B、当a＝0时，y＝bx+c不是二次函数，不符合题意； C、y不是二次函数，不符合题意； D、y＝﹣x（x+3）＝﹣x2﹣3x是二次函数，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键． 2．下列函数中，y关于x的二次函数是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝x（x﹣1） C． D．y＝（x﹣1）2﹣x2 【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论． 【解答】解：A、当a＝0时，y＝bx+c不是二次函数； B、y＝x（x﹣1）＝x2﹣x是二次函数； C、y不是二次函数； D、y＝（x﹣1）2﹣x2＝﹣2x+1为一次函数． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键． 3．下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C．y＝2x2﹣1 D． 【分析】根据二次函数的定义对各选项进行判断即可． 【解答】解：y是x的二次函数的是y＝2x2﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量． 4．已知函数： ①y2＝﹣x2； ②； ③y＝6x2﹣2x+3； ④y＝3x3﹣2x+1． 其中是二次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据二次函数的定义，对题目中给出的函数逐一进行判断即可得出答案． 【解答】解：①∵y2＝﹣x2不符合二次函数的定义， ∴①不是二次函数； ②∵符合二次函数的定义， ∴②是二次函数； ③∵y＝6x2﹣2x+3符合二次函数的定义 ∴③是二次函数； ④∵y＝3x3﹣2x+1不符合二次函数的定义， ∴④不是二次函数； 综上所述：是二次函数的是②③，共2个． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解决问题的关键． 题型02 根据二次函数的定义求参数的值 1．如果函数是二次函数，那么k等于（　　） A．3 B．0 C．﹣2 D．﹣1 【分析】根据题意利用二次函数一般形式：形如“y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）”的函数为二次函数，即可列方程和不等式，求解得到本题答案． 【解答】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得k＝0， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的定义，关键是根据题意找到等量关系式． 2．若y＝（2﹣a）是二次函数，则a的值是（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D．不能确定 【分析】利用二次函数定义可得a2﹣2＝2且2﹣a≠0，再解即可． 【解答】解：由题意得：a2﹣2＝2且2﹣a≠0， 解得：a＝﹣2， 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 3．若是关于x的二次函数，则m的值为 　　． 【分析】根据二次函数的一般式求解即可． 【解答】解：∵是关于x的二次函数， ∴m2﹣2＝2且m+2≠0， 解得m＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查二次函数的一般式，解答的关键是熟知二次函数的一般式y＝ax2+bx+c（a≠0）． 4．已知是y关于x的二次函数，求m的值． 【分析】根据二次函数的定义列式计算，得到答案． 【解答】解：由题意得，m2+2m﹣1＝2， 解得m＝1或﹣3， ∵m+3≠0， ∴m≠﹣3， ∴m的值为1． 【点评】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是关键． 题型03 根据二次函数的定义求参数的取值范围 1．若函数y＝mx（x﹣1）﹣x2是关于x的二次函数，则m的取值范围是（　　） A．m≠0 B．m≠﹣1 C．m≠1 D．m≠±1 【分析】根据二次函数的定义解答即可． 【解答】解：∵y＝mx（x﹣1）﹣x2＝mx2﹣mx﹣x2＝（m﹣1）x2﹣mx是关于x的二次函数， ∴m﹣1≠0， ∴m≠1， 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数． 2．若y＝（a﹣2）x2+（a﹣1）x是关于x的二次函数，则a的取值范围是（　　） A．a≠2 B．a≠1 C．a≠2且a≠1 D．a为全体实数 【分析】根据二次函数定义可得a﹣2≠0，再解即可． 【解答】解：由题意得：a﹣2≠0， 解得：a≠2， 故选：A． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 3．如果函数y＝（k﹣1）x2+kx﹣1（k是常数）是二次函数，那么k的取值范围是 　　． 【分析】根据二次函数定义得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【解答】解：∵函数y＝（k﹣1）x2+kx﹣1（k是常数）是二次函数， ∴k﹣1≠0， 解得k≠1． 故答案为：k≠1． 【点评】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 4．（1）已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1，若这个函数是二次函数，求m的取值范围； （2）已知函数y＝（m2+m）是二次函数，求m的值． 【分析】（1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案； （2）直接利用一元二次方程的定义得出关于m的等式求出即可． 【解答】解：（1）函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1是二次函数， 即m2﹣m≠0， 即m≠0且m≠1， ∴当m≠0且m≠1，这个函数是二次函数； （2）由题意得：m2﹣2m﹣1＝2，m2+m≠0， 解得：m1＝3，m2＝﹣1（不合题意舍去）， 所以m的值为3． 【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确解一元二次方程是解题关键． 题型04 二次函数的一般形式 1．二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫作 　　．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是 　　，b是 　　，c是 　　．y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫作二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数 　　这个关键条件． 【分析】直接根据二次函数的定义解答即可． 【解答】解：二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫作二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不等于0这个关键条件． 故答案为：二次函数，二次项系数，一次项系数，常数项，不等于0． 【点评】此题考查的是二次函数，掌握其定义是解决此题的关键． 2．在二次函数y＝2x2﹣3x+1中，二次项系数与一次项系数的和是 　　． 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项；由题意可得二次项系数是2，常数项是﹣3，再求和即可． 【解答】解：在二次函数y＝2x2﹣3x+1中，二次项为2x2，其系数为2，一次项为﹣3x，其系数为﹣3， 则二次项系数与一次项系数的和是：2+（﹣3）＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义，属于基础题． 3．将二次函数y＝﹣2（x﹣2）2化成一般形式，其中二次项系数为　　，一次项系数为　　，常数项为　　． 【分析】通过去括号，移项，可以把方程化成二次函数的一般形式，然后确定二次项系数，一次项系数，常数项． 【解答】解：y＝﹣2（x﹣2）2变形为：y＝﹣2x2+8x﹣8， 所以二次项系数为﹣2；一次项系数为8；常数项为﹣8． 故答案为：﹣2，8，﹣8． 【点评】本题考查的是二次函数的一般形式，通过去括号，移项，合并同类项，得到二次函数的一般形式，确定二次项系数，一次项系数，常数项的值． 4．二次函数y＝（x﹣2）（1﹣x）﹣3x的二次项系数是 　　，一次项系数是 　　，常数项是 　　． 【分析】先将二次函数y＝（x﹣2）（1﹣x）﹣3x转化为一般式，进而即可得出答案． 【解答】解：∵y＝（x﹣2）（1﹣x）﹣3x＝﹣x2﹣2， ∴该二次函数的二次项系数是﹣1，一次项系数是0，常数项是﹣2． 故答案为：﹣1；0；﹣2． 【点评】此题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义及一般式是解决问题的关键． 题型05 实际问题中自变量的取值范围 1．直角三角形的一条直角边长为x cm，两条直角边的和为7cm，面积为y cm2，写出变量y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围，并说明这个函数是不是二次函数． 【分析】根据直角三角形的面积公式可得yx（7﹣x），再由两条直角边的和为7cm可得x的取值范围，再利用二次函数定义判定这个函数是二次函数． 【解答】解：由题意得：yx（7﹣x）x2x， ∵两条直角边的和为7cm， ∴0＜x＜7． 这个函数是二次函数． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，以及由实际问题列二次函数解析式，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 2．如图所示，一个矩形的长为4cm，宽为3cm，如果将这个矩形的长与宽都增加xcm，那么这个矩形的面积增加ycm2． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）这个函数是二次函数吗？为什么？ （3）求自变量的取值范围． 【分析】（1）根据题意，算出原来矩形的面积，再算边长增加后的面积，然后列出y与x的函数关系式； （2）结合（1）得到的函数关系式，根据所学过的函数表达式即可判断； （3）因为边长的增加量是非负数，即可写出x的取值范围． 【解答】解：（1）∵矩形的长为4cm，宽为3cm， ∴矩形的面积＝4×3＝12（cm2）． ∵矩形的长与宽都增加xcm， ∴增加后矩形的面积＝（4+x）（3+x）cm2， ∴y＝（4+x）（3+x）﹣12，即y＝x2+7x， 故y与x之间的函数关系式为y＝x2+7x． （2）∵一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数， ∴y＝x2+7x是二次函数； （3）∵x为矩形增加的长与宽， ∴自变量x的取值范围为x≥0． 【点评】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 3．如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），用长为24m的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设花圃的宽AB为x（m），面积为y（m2）．写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围． 【分析】用含x的式子表示出BC，再根据矩形的面积公式写出y关于x的函数关系式，根据墙的长度及篱笆的长可求得自变量x的取值范围． 【解答】解：花圃的宽AB为x（m），则长BC为（24﹣3x）m， ∴y＝x（24﹣3x） ＝﹣3x2+24x， ∵墙的最大可用长度为10m， ∴24﹣3x≤10， ∴x， ∵篱笆长为24m， ∴3x＜24， ∴x＜8， ∴x＜8， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x2+24x，自变量x的取值范围是x＜8． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用． 1．若方程y＝mx2﹣4x﹣5是关于x的二次函数，则m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m≠0 C．m≠2 D．m≠﹣2 【分析】根据二次函数的定义进行求解即可． 【解答】解：∵y＝mx2﹣4x﹣5是关于x的二次函数， ∴m≠0， 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义，熟知二次函数的定义是解题的关键：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a≠0）且a、b、c是常数的函数叫做二次函数． 2．如果函数y＝（m﹣1）x|m|+1﹣3x+2是二次函数，则m的值是（　　） A．±1 B．﹣1 C．2 D．1 【分析】根据题意可知，函数中含x的项的最高次为2次，且其项系数不为零，据此即可作答． 【解答】解：根据题意得：， 解得m＝﹣1， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．掌握这个定义是解题的关键． 3．下列函数是二次函数的是（　　） A．y＝3x+1 B．y＝ax2+bx+c C． D． 【分析】根据二次函数的定义进行解答即可． 【解答】解：A、y＝3x+1是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； B、a＝0时不二次函数，故不符合题意； C、y是二次函数，符合题意； D、y不是二次函数，故不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 4．若y＝（m+1）xm2﹣4m﹣5是二次函数，则m＝（　　） A．7 B．﹣1 C．﹣1或7 D．以上都不对 【分析】根据二次函数的定义得出关于m的不等式和方程，求出m的值即可． 【解答】解：∵y＝（m+1）xm2﹣4m﹣5是二次函数， ∴m+1≠0且m2﹣4m﹣5＝2， 解得m＝2． 故选：D． 【点评】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 5．若是关于x的二次函数，则m的值为 　﹣1　． 【分析】根据二次函数的定义求解． 【解答】解：∵y＝（m﹣3）2x﹣1是关于x的二次函数， ∴m2﹣2m﹣1＝2且m﹣3≠0， 解得m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是注意二次项的系数不能为0． 6．已知二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝　3　，一次项系数b＝　﹣5　． 【分析】根据二次函数的定义即可求解． 【解答】解：二次函数y＝1﹣5x+3x2的二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5， 故答案为：3；﹣5． 【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 7．若函数y＝mx2+x﹣3是关于x的二次函数，则m满足条件是 　m≠0　． 【分析】根据二次函数的定义，即可求解． 【解答】解：∵函数y＝mx2+x﹣3是关于x的二次函数， ∴m≠0． 故答案为：m≠0． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a≠0）形式的函数称为二次函数是解题的关键． 8．如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为　y＝2x2﹣4x+4　． 【分析】由AAS证明△AHE≌△BEF，得出AE＝BF＝x，AH＝BE＝2﹣x，再根据勾股定理，求出EH2，即可得到y与x之间的函数关系式． 【解答】解：如图所示： ∵四边形ABCD是边长为2的正方形， ∴∠A＝∠B＝90°，AB＝2． ∴∠1+∠2＝90°， ∵四边形EFGH为正方形， ∴∠HEF＝90°，EH＝EF． ∴∠1+∠3＝90°， ∴∠2＝∠3， 在△AHE与△BEF中， ∵， ∴△AHE≌△BEF（AAS）， ∴AE＝BF＝x，AH＝BE＝2﹣x， 在Rt△AHE中，由勾股定理得： EH2＝AE2+AH2＝x2+（2﹣x）2＝2x2﹣4x+4； 即y＝2x2﹣4x+4（0＜x＜2）， 故答案为：y＝2x2﹣4x+4． 【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题难度适中，求出y与x之间的函数关系式是解题的关键． 9．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝（a﹣2）x2+（b+2）x﹣3． （1）当　a≠2　时，x，y之间是二次函数关系； （2）当　a＝2且b≠﹣2　时，x，y之间是一次函数关系． 【分析】（1）根据二次函数的定义进行解答； （2）根据一次函数的定义进行解答． 【解答】解：（1）当x，y之间是二次函数关系时，a﹣2≠0即a≠2； 故答案为：a≠2； （2）当x，y之间是一次次函数关系时，a﹣2＝0且b+2≠0，即a＝2且b≠﹣2； 故答案为：a＝2且b≠﹣2． 【点评】本题考查了一次函数、二次函数的定义，属于基础题，熟记定义即可解题． 10．在函数①y＝ax2+bx+c，②y＝（x﹣1）2﹣x2，③y＝5x2，④y＝﹣x2+2中，y关于x的二次函数是　④　．（填写序号） 【分析】根据形如y＝ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，可得答案． 【解答】解：①a＝0时y＝ax2+bx+c是一次函数， ②y＝（x﹣1）2﹣x2是一次函数； ③y＝5x2不是整式，不是二次函数； ④y＝﹣x2+2是二次函数， 故答案为：④． 【点评】本题考查了二次函数，形如y＝ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，注意二次项的系数不能为零． 11．已知函数是关于x的二次函数，求m的值． 【分析】根据二次函数的定义可得出一元二次方程和一元一次不等式，解之即可得到答案． 【解答】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 由①解得：m＝±2， 由②解得：m≠2， ∴m＝﹣2． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义，直接开平方法解一元二次方程，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 12．已知函数y＝（a+3）（a+2）x+3． （1）当a为何值时，y为x的二次函数？ （2）当a为何值时，y为x的一次函数？ 【分析】（1）根据二次函数的定义得到得a+3≠0且a2+a﹣4＝2，然后解不等式和方程即可得到满足条件的a的值； （2）根据一次函数的定义分类讨论：当a+3＝0时，y是x的一次函数；当a2+a﹣4＝0且a+2≠0时，y是x的一次函数；当a2+a﹣4＝1且a+3+a+2≠0时，y是x的一次函数，然后分别解方程或不等式即可． 【解答】解：（1）根据题意得a+3≠0且a2+a﹣4＝2， 解得a＝2， 即当a为2时，y是x的二次函数； （2）当a+3＝0时，即a＝﹣3时，y是x的一次函数； 当a2+a﹣4＝0且a+2≠0时，y是x的一次函数，解得a； 当a2+a﹣4＝1且a+3+a+2≠0时，y是x的一次函数，解得a； 即当a为﹣3或或时，y是x的一次函数． 【点评】本考查了二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．也考查了一次函数的定义． 13．下列函数是不是二次函数？如果是二次函数，请分别写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）y＝﹣0.9x2+2x﹣3； （2）y＝﹣2x2﹣7； （3）y＝﹣x2+x； （4）y＝（x+1）（x﹣1）﹣x2． 【分析】根据二次函数的定义，一般形式：y＝ax2+bx+c（a≠0），其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项；对于（1）符合二次函数的一般形式，确定a，b，c即可，对于（2）中的一次项可以看作0x，对于（3）常数项可以看作0，对于（4）化简后为y＝（x+1）（x﹣1）﹣x2＝﹣1，由此可以解答本题． 【解答】解：（1）是二次函数，二次项系数是﹣0.9、一次项系数是2、常数项是﹣3； （2）是二次函数，二次项系数是﹣2、一次项系数是0、常数项是﹣7； （3）是二次函数，二次项系数是﹣1、一次项系数是1、常数项是0； （4）y＝（x+1）（x﹣1）﹣x2 ＝x2﹣1﹣x2 ＝﹣1， 不是二次函数． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 14．在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是2：1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米． （1）求y与x之间的关系式． （2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽． 【分析】（1）依题意可得总费用＝镜面玻璃费用+边框的费用+加工费用，可得y＝6x×30+45+2x2×120化简即可． （2）根据共花了195元，即玻璃的费用+边框的费用+加工费＝195元，即可列出方程求解． 【解答】解：（1）y＝（2x+2x+x+x）×30+45+2x2×120 ＝240x2+180x+45； （2）由题意可列方程为 240x2+180x+45＝195， 整理得8x2+6x﹣5＝0，即（2x﹣1）（4x+5）＝0， 解得x1＝0.5，x2＝﹣1.25（舍去） ∴x＝0.5， ∴2x＝1， 答：镜子的长和宽分别是1m和0.5m． 【点评】本题是一道一元二次方程的应用题，解这类题关键是理解题意，建立恰当的关系式予以求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二次函数 课程标准 学习目标 ①引导学生理解二次函数的定义，明确二次函数的一般形式为y=ax2+bx+c。 ②让学生通过实例感受二次函数在实际问题中的广泛应用，体会数学与生活的联系。 ③培养学生观察、分析和归纳的能力，能够从具体问题中抽象出二次函数模型。 1. 掌握二次函数的概念，能准确识别二次函数表达式。 2. 学会从实际问题中提取关键信息，建立二次函数模型。 知识点一、二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、 c为常数）的函数是二次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 1.任何一个二次函数的表达式都可以化为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、 c为常数）的形式；因此我们将y=ax2+bx+c（a≠0，）叫做二次函数的一般式. 2.在一般式中，只有a≠0时，函数y=ax2+bx+c才是二次函数. 3.二次函数的几种特殊形式：若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2. 知识点二、实际问题中的二次函数及自变量的取值范围 一般地，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、 c为常数）的自变量x可以取任意实数，但在实际问题中，要保证自变量的取值范围使实际问题有意义. 题型01 识别二次函数 1．下列函数中，是关于x的二次函数的是（　　） A．y＝x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C． D．y＝﹣x（x+3） 2．下列函数中，y关于x的二次函数是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝x（x﹣1） C． D．y＝（x﹣1）2﹣x2 3．下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C．y＝2x2﹣1 D． 4．已知函数： ①y2＝﹣x2； ②； ③y＝6x2﹣2x+3； ④y＝3x3﹣2x+1． 其中是二次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 根据二次函数的定义求参数的值 1．如果函数是二次函数，那么k等于（　　） A．3 B．0 C．﹣2 D．﹣1 2．若y＝（2﹣a）是二次函数，则a的值是（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D．不能确定 3．若是关于x的二次函数，则m的值为 　　． 4．已知是y关于x的二次函数，求m的值． 题型03 根据二次函数的定义求参数的取值范围 1．若函数y＝mx（x﹣1）﹣x2是关于x的二次函数，则m的取值范围是（　　） A．m≠0 B．m≠﹣1 C．m≠1 D．m≠±1 2．若y＝（a﹣2）x2+（a﹣1）x是关于x的二次函数，则a的取值范围是（　　） A．a≠2 B．a≠1 C．a≠2且a≠1 D．a为全体实数 3．如果函数y＝（k﹣1）x2+kx﹣1（k是常数）是二次函数，那么k的取值范围是 　　． 4．（1）已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1，若这个函数是二次函数，求m的取值范围； （2）已知函数y＝（m2+m）是二次函数，求m的值． 题型04 二次函数的一般形式 1．二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫作 　　．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是 　　，b是 　　，c是 　　．y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫作二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数 　　这个关键条件． 2．在二次函数y＝2x2﹣3x+1中，二次项系数与一次项系数的和是 　　． 3．将二次函数y＝﹣2（x﹣2）2化成一般形式，其中二次项系数为　　，一次项系数为　　，常数项为　　． 4．二次函数y＝（x﹣2）（1﹣x）﹣3x的二次项系数是 　　，一次项系数是 　　，常数项是 　　． 题型05 实际问题中自变量的取值范围 1． 直角三角形的一条直角边长为x cm，两条直角边的和为7cm，面积为y cm2，写出变量y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围，并说明这个函数是不是二次函数． 2．如图所示，一个矩形的长为4cm，宽为3cm，如果将这个矩形的长与宽都增加xcm，那么这个矩形的面积增加ycm2． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）这个函数是二次函数吗？为什么？ （3）求自变量的取值范围． 3．如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），用长为24m的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设花圃的宽AB为x（m），面积为y（m2）．写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围． 1．若方程y＝mx2﹣4x﹣5是关于x的二次函数，则m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m≠0 C．m≠2 D．m≠﹣2 2．如果函数y＝（m﹣1）x|m|+1﹣3x+2是二次函数，则m的值是（　　） A．±1 B．﹣1 C．2 D．1 3．下列函数是二次函数的是（　　） A．y＝3x+1 B．y＝ax2+bx+c C． D． 4．若y＝（m+1）xm2﹣4m﹣5是二次函数，则m＝（　　） A．7 B．﹣1 C．﹣1或7 D．以上都不对 5．若是关于x的二次函数，则m的值为 　 　． 6．已知二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝　 　，一次项系数b＝　 　． 7．若函数y＝mx2+x﹣3是关于x的二次函数，则m满足条件是 　 　． 8．如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为　 　． 9．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝（a﹣2）x2+（b+2）x﹣3． （1）当　 　时，x，y之间是二次函数关系； （2）当　 　时，x，y之间是一次函数关系． 10．在函数①y＝ax2+bx+c，②y＝（x﹣1）2﹣x2，③y＝5x2，④y＝﹣x2+2中，y关于x的二次函数是　 　．（填写序号） 11．已知函数是关于x的二次函数，求m的值． 12．已知函数y＝（a+3）（a+2）x+3． （1）当a为何值时，y为x的二次函数？ （2）当a为何值时，y为x的一次函数？ 13．下列函数是不是二次函数？如果是二次函数，请分别写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）y＝﹣0.9x2+2x﹣3； （2）y＝﹣2x2﹣7； （3）y＝﹣x2+x； （4）y＝（x+1）（x﹣1）﹣x2． 14．在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是2：1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米． （1）求y与x之间的关系式． （2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$