第1章 直角三角形的边角关系（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（广东省专用,北师大版）

第1章 直角三角形的边角关系 （单元培优卷 北师大版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．已知 ，则α的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， 故选：D． 2．把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 【答案】A 【详解】因为三边的长度都扩大为原来的倍，所得的三角形与原三角形相似， 所以锐角的大小没改变，所以锐角的正弦值也不变． 故选A． 3．在中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 故选A． 4．如图是一座楼梯的示意图，是铅垂线，是水平线，与的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知，楼梯的宽度为，则需要的地毯的面积至少为（    ） A． B． C．（ D． 【答案】D 【详解】解：在中， ∵． ∴， 需要的地毯的面积至少为． 故选D． 5．的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴； 故选D． 6．如图，网格中小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意得：，， ，， ，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故选：A． 7．如图，在中，，，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过C作于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 故选D． 8．某班的同学想测量一教楼的高度，如图，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度 ，在离C点30米的D处，测得以教楼顶端A的仰角为37°，则一教楼的高度约为（    ）米．（结果精确到0.1米）（参考数据：，，， ） A．24.1 B．23.7 C．18.1 D．20.2 【答案】B 【详解】延长交直线于点， ∵在中， ， ∴设， 则， 又∵， ∴， ， ∵， ， 在中， ， (米)， ∵， ∴(米)， 故选： B. 9．如图，已知的终边，直线的方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意：直线的方程为， 令，则，令，则， ∴点坐标为，点坐标为， 故，； ∴，， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 10．中国古代数学家赵爽用四个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为，为直角三角形中的较大锐角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵小正方形与每个直角三角形面积均为， ∴大正方形的面积为， ∴小正方形的边长为，大正方形的边长为， 设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，其中， ∴，其中， 解得：，(不符合题意，舍去)， ． 故选：B． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．已知α为锐角，且，则α等于 ． 【答案】/55度 【详解】∵，， ∴， 解得， 故答案为：． 12．如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】9 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：9． 13．在菱形中，，，，则的值是 ． 【答案】 【详解】 解：， 设， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14．如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的北偏东方向有一灯塔．轮船继续向北航行2小时后到达处，发现灯塔在它的北偏东方向，则的距离为 海里． 【答案】 【详解】解：如图， 设，在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 15．已知中，，，，如果解这个三角形有2解，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：如图：过B作边上的高． ∵，， ∴， ∵这个三角形有2解， ∴以B为圆心，以半径的圆与射线有两个交点， 当与射线掐有一个交点时，即点C与点H重合， ∴； 当以B为圆心，以半径的圆与射线有两个交点的临界点，即， 综上，的取值范围是． 故答案为：． 16．如图，河流两岸，互相平行，点，是河岸上的两座建筑物，点，是河岸b上的两点，，的距离约为米，某人在河岸上的点处测得，，则河流的宽度约为 米． 【答案】 【详解】解：过点作于点， 则 ，，， ， ∴， ， ，， ， 解得：， 故答案为：． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）求出图中的正弦值、余弦值和正切值． 【答案】，，． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，，． 18．（4分）求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 19．（6分）跳楼机是游乐园常见的大型机动游戏设备（如图），小明同学想测算跳楼机的上升速度，将其抽象成如图所示的示意图，跳楼机从地面处发射，前以的平均速度竖直上升到达处．此时小明在处观测跳楼机的仰角为．跳楼机以不同的速度再继续上升后到达处，此时小明在处测得跳楼机的仰角为．求跳楼机在段的平均速度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，，，） 【答案】跳楼机在段的平均速度约为 【详解】解：． 又，． ，， ，， 故跳楼机在段的平均速度约为． 20．（6分）如图，在某建筑物上挂着宣传条幅，小明站在点处，看条幅顶端，测得仰角为，再往条幅方向前行80米到达点处，看到条幅顶端，测得仰角为． (1)求宣传条幅的长（小明的身高不计，结果保留根号）； (2)小明从点到点用了2分钟，按照这个速度，小明从点到点所用的时间为多少分钟？ 【答案】(1) (2)1分钟 【详解】（1）解：设， 在中， ∴． 则， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：建筑物的长为． （2）∵， ∴小明的速度为（米分）， 由（1）知， 则， 即按照这个速度，小明从点到点所用的时间为1分钟． 21．（8分）如图，在南北方向的海岸线上，有、两艘巡逻船，现均收到故障船的求救信号．已知、两船相距海里，船在船的北偏东60°方向上，船在船的东南方向上，上有一观测点，测得船正好在观测点的南偏东75°方向上． (1)分别求出与，与之间的距离和（如果运算结果有根号，请保留根号）． (2)已知距观测点处100海里范围内有暗礁．若巡逻船沿直线去营救船，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：，） 【答案】(1)与之间的距离为200海里；与之间的距离为海里； (2)巡逻船沿直线去营救船，在去营救的途中无触暗礁危险． 【详解】（1）解：作于， 设海里， 在中，， 在中，， ， 则， 解得，， ， ，，， 作于， 设，则， ，， ， ， 则， 解得，，则， ∵， ∴， 答：与之间的距离为200海里；与之间的距离为海里； （2）解：由（1）得 ∴巡逻船沿直线去营救船，在去营救的途中无触暗礁危险． 22．（10分）如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形． (1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）； (2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明． 【答案】(1)②④ (2)见解析 【详解】（1）解：当时，如图可知，均为锐角， ∴， ∴是等腰三角形，无法得到是直角三角形；故①错误； ②当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故②正确； 若是直角三角形，则：， ∵， ∴， ∴， ∴，与不符；故③错误； 当， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故④正确； 综上：可以选择的是②④； 故答案为：②④； （2）选择②，证明如下： 当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 选择④，证明如下： 当， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 23．（10分）在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． （2）∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． （3）在中，，， ∴． ∴的值为． 24．（12分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中边上找到一点D，连接，使； (2)在图②中边上找到一点E，连接，使； (3)在图③中边上找到一点F，连接，使． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【详解】（1）解：如图①中，点D即为所求； ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图②中，点E即为所求； ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 根据（1）得：， ∴． （3）解：如图③中，点F即为所求． ． 25．（12分）如图，考古人员在某古墓大门处探测到古墓内有一个青铜古物，但大门正北方向有一间封闭墓室，考古人员无法沿直线进行挖掘．经勘测，考古人员发现有两条挖掘线路可以到达青铜古物处，即线路①；线路②．其中点在点的正东方向处，点在点北偏西方向，点在点的正北方向，点在点的西北方向处，点在点的正西方向，点在点北偏东方向． (1)求点，之间的距离．（结果保留一位小数） (2)受周围环境的影响，考古人员挖掘线路①的平均速度是，挖掘线路②的平均速度是，请通过计算估计哪条挖掘线路能更快地到达青铜古物处．（参考数据：，， 【答案】(1) (2)估计挖掘线路①能更快地到达青铜古物处 【详解】（1）如图，过点作交的延长线于点， 在中， ∵，， ∴， ∴，      ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，     ∴． 答：点，之间的距离约是． （2）在中，， ∴. 根据题意，可知， ∴是等边三角形， ∴，   由（1）可知， ∴线路①的总长度是， ∴挖掘线路①需要的时间是， ∵线路②的总长度是， ∴挖掘线路②需要的时间是， ∵， ∴估计挖掘线路①能更快地到达青铜古物处． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 直角三角形的边角关系 （单元培优卷 北师大版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．已知 ，则α的度数为（   ） A． B． C． D． 2．把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 3．在中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图是一座楼梯的示意图，是铅垂线，是水平线，与的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知，楼梯的宽度为，则需要的地毯的面积至少为（    ） A． B． C．（ D． 5．的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．如图，网格中小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则等于（   ） A．2 B． C． D． 7．如图，在中，，，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 8．某班的同学想测量一教楼的高度，如图，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度 ，在离C点30米的D处，测得以教楼顶端A的仰角为37°，则一教楼的高度约为（    ）米．（结果精确到0.1米）（参考数据：，，， ） A．24.1 B．23.7 C．18.1 D．20.2 9．如图，已知的终边，直线的方程为，则（    ） A． B． C． D． 10．中国古代数学家赵爽用四个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为，为直角三角形中的较大锐角，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．已知α为锐角，且，则α等于 ． 12．如图，在中，，，，则的长为 ． 13．在菱形中，，，，则的值是 ． 14．如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的北偏东方向有一灯塔．轮船继续向北航行2小时后到达处，发现灯塔在它的北偏东方向，则的距离为 海里． 15．已知中，，，，如果解这个三角形有2解，则的取值范围是 ． 16．如图，河流两岸，互相平行，点，是河岸上的两座建筑物，点，是河岸b上的两点，，的距离约为米，某人在河岸上的点处测得，，则河流的宽度约为 米． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）求出图中的正弦值、余弦值和正切值． 18．（4分）求值： (1)； (2) ． 19．（6分）跳楼机是游乐园常见的大型机动游戏设备（如图），小明同学想测算跳楼机的上升速度，将其抽象成如图所示的示意图，跳楼机从地面处发射，前以的平均速度竖直上升到达处．此时小明在处观测跳楼机的仰角为．跳楼机以不同的速度再继续上升后到达处，此时小明在处测得跳楼机的仰角为．求跳楼机在段的平均速度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，，，） 20．（6分）如图，在某建筑物上挂着宣传条幅，小明站在点处，看条幅顶端，测得仰角为，再往条幅方向前行80米到达点处，看到条幅顶端，测得仰角为． (1)求宣传条幅的长（小明的身高不计，结果保留根号）； (2)小明从点到点用了2分钟，按照这个速度，小明从点到点所用的时间为多少分钟？ 21．（8分）如图，在南北方向的海岸线上，有、两艘巡逻船，现均收到故障船的求救信号．已知、两船相距海里，船在船的北偏东60°方向上，船在船的东南方向上，上有一观测点，测得船正好在观测点的南偏东75°方向上． (1)分别求出与，与之间的距离和（如果运算结果有根号，请保留根号）． (2)已知距观测点处100海里范围内有暗礁．若巡逻船沿直线去营救船，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：，） 22．（10分）如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形． (1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）； (2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明． 23．（10分）在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 24．（12分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中边上找到一点D，连接，使； (2)在图②中边上找到一点E，连接，使； (3)在图③中边上找到一点F，连接，使． 25．（12分）如图，考古人员在某古墓大门处探测到古墓内有一个青铜古物，但大门正北方向有一间封闭墓室，考古人员无法沿直线进行挖掘．经勘测，考古人员发现有两条挖掘线路可以到达青铜古物处，即线路①；线路②．其中点在点的正东方向处，点在点北偏西方向，点在点的正北方向，点在点的西北方向处，点在点的正西方向，点在点北偏东方向． (1)求点，之间的距离．（结果保留一位小数） (2)受周围环境的影响，考古人员挖掘线路①的平均速度是，挖掘线路②的平均速度是，请通过计算估计哪条挖掘线路能更快地到达青铜古物处．（参考数据：，， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$