第4章 图形的相似（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（广东省专用,北师大版）

第4章 图形的相似（单元培优卷 北师大版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设，则， ∴， 故选：A． 2．下列各组线段中，成比例线段的是（   ） A．1，2，3，4 B．1，2，3，6 C．2，3，4，5 D．1，3，5，6 【答案】B 【详解】解：A：，不符合题意； B：，符合题意； C：，不符合题意； D：，不符合题意； 故选：B 3．在的地图上，A，B两地相距，那么A，B两地的实际距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设A，B两地的实际距离是，， 由题意得： 解得： 即A，B两地的实际距离是； 故选：C． 4．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ∴ ∴ A、当时，可通过“两角对应相等，两个三角形相似”可证，故不符合题意； B、当时，可通过“两角对应相等，两个三角形相似”可证，故不符合题意； C、当时，可通过“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”可证，故不符合题意； D、当时，无法证明两个三角形相似，故符合题意； 故选：D ． 5．已知，的周长是周长的一半，，，则边上的高等于（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【详解】解：∵，的周长是周长的一半， ∴与的相似比为， ∴与的面积比为， ∵， ∴的面积为 ∵，则边上的高等于 故选：B． 6．如图，是的边上一点，已知，．，若的面积为，则的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴的面积的面积为， ∴的面积的面积， ∵的面积为， ∴的面积为， 故选． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：当位似图形与在y轴同侧时， ∵，相似比为2， ∴； 当位似图形与在y轴两侧时， ∵，相似比为2， ∴； 故选：D． 8．如图，在中，，，则图中共有（   ）对相似三角形 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∵、， ∴， ∴， 综上，图中共有4对相似三角形． 故选C． 9．如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ，，，； 选项A、C、D正确，不符合题意；选项B错误，不符合题意． 故选：B． 10．如图，在钝角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D的运动速度为，动点E的运动速度为，如果两点同时出发，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间为（   ） A．4.5s B．4.5s或5.76s C．6.76s D．5.76s或6.76s 【答案】B 【详解】解：设运动时间为， 由题意，得：， ∴， 当时：则，即， 解得：； 当时：则，即， 解得：； 综上：或； 故选B． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．如图，某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车的倒车镜设计在整个车身黄金分割点的位置，如果车头与倒车镜的水平距离为米，则该车车身总长为 米． 【答案】/ 【详解】解：设该车车身总长为米， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的根， 该车车身总长为：米， 故答案为：． 12．在某一时刻，测得一根长为1米的竹竿影长为1.6米，同时同地测得一栋居民楼的影长为96米，那么这栋居民楼的高度为 米． 【答案】60 【详解】解：设栋楼的高度是米， 由题意得：， 解得：． 故答案为：60． 13．已知，若与相似比为，与相似比为，则与相似比为 ． 【答案】 【详解】解：∵与相似比为，与相似比为， ∴，， 即，， ∴与相似比为， 故答案为：． 14．如图，、相交于点，点、分别在、上，．若，则 ． 【答案】18 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：18． 15．如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是 ． 【答案】 【详解】解：设方格的边长为1， 则，， 五边形五边形， ∴五边形与五边形的相似比是为， 故答案为：． 16．早在西汉时期，我国天文学家就提出了一种测量日高的公式——“重差术”．如图，用长度为的杆子（“表”）在间距为的两个地点测日影，测得影长分别为、，用这种方式计算出的日高公式 ．（用、、、的代数式表示） 【答案】 【详解】如图， 根据题意有：，，，，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， 同理， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）△ABC的三个顶点的坐标分别为，，，以O为位似中心，在第四象限内，画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与的相似比为，并写出点，，的坐标． 【答案】图见解析，，，． 【详解】解：链接并延长，取， 同理可得：点和点， 依次连接，如图所示，即为所求： ，，． 18．（4分）如图，相交于点O，． (1)求证：； (2)已知，的面积为6，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵，又， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 解得． 所以的面积为． 19．（6分）已知：如图 (1)，，，求； (2)，，，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 20．（6分）已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设 则： （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 21．（8分）在△ABC与中，． (1)求证：． (2)直接写出△ABC与的面积比． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴． 22．（10分）如图，在△ABC中，D为边上一点，E为边上一点，且． (1)求证：； (2)求与四边形的面积比． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴ （2）解：∵，， ∴ ∴ 23．（10分）如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米． (1)求小明的身高； (2)小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 【答案】(1)米 (2)变短了，变短了米 【详解】（1）解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即 解得，． 即小明的身高为米． （2）解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴（米）， ∴小明的身影变短了，变短了米． 24．（12分）如图，在△ABC中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P、Q两点同时移动； (1)当移动几秒时，的面积为8． (2)若两点同时分别从A、B出发，经过多长时间△ABC与相似？ 【答案】(1)2秒或4秒 (2)3秒或秒 【详解】（1）解：设运动时间为t秒时，由题意知，，， ∴， 解得或4， ∴当移动2秒或4秒时，的面积为8， 答：当移动2秒或4秒时，的面积为8； （2）解：分两种情况： ①当时，则， 即， 解得：， ②当时， 则， 即， 解得：， 综上，当移动3秒或秒时，△ABC与相似． 25．（12分）已知矩形ABCD，点E、F分别在AD、DC边上运动，连接BF、CE，记BF、CE交于点P. (1)如图1，若，，于P， ①求证：； ②求线段的长度； (2)如图2，若，，求. 【答案】(1)①见详解② (2) 【详解】（1）解：① 四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ②∵， ， ， ； （2）四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 图形的相似（单元培优卷 北师大版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．下列各组线段中，成比例线段的是（   ） A．1，2，3，4 B．1，2，3，6 C．2，3，4，5 D．1，3，5，6 3．在的地图上，A，B两地相距，那么A，B两地的实际距离是（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，的周长是周长的一半，，，则边上的高等于（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 6．如图，是的边上一点，已知，．，若的面积为，则的面积为（  ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 8．如图，在中，，，则图中共有（   ）对相似三角形 A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 10．如图，在钝角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D的运动速度为，动点E的运动速度为，如果两点同时出发，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间为（   ） A．4.5s B．4.5s或5.76s C．6.76s D．5.76s或6.76s 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．如图，某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车的倒车镜设计在整个车身黄金分割点的位置，如果车头与倒车镜的水平距离为米，则该车车身总长为 米． 12．在某一时刻，测得一根长为1米的竹竿影长为1.6米，同时同地测得一栋居民楼的影长为96米，那么这栋居民楼的高度为 米． 13．已知，若与相似比为，与相似比为，则与相似比为 ． 14．如图，、相交于点，点、分别在、上，．若，则 ． 15．如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是 ． 16．早在西汉时期，我国天文学家就提出了一种测量日高的公式——“重差术”．如图，用长度为的杆子（“表”）在间距为的两个地点测日影，测得影长分别为、，用这种方式计算出的日高公式 ．（用、、、的代数式表示） 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）△ABC的三个顶点的坐标分别为，，，以O为位似中心，在第四象限内，画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与的相似比为，并写出点，，的坐标． 18．（4分）如图，相交于点O，． (1)求证：； (2)已知，的面积为6，求的面积． 19．（6分）已知：如图 (1)，，，求； (2)，，，求． 20．（6分）已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 21．（8分）在△ABC与中，． (1)求证：． (2)直接写出△ABC与的面积比． 22．（10分）如图，在△ABC中，D为边上一点，E为边上一点，且． (1)求证：； (2)求与四边形的面积比． 23．（10分）如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米． (1)求小明的身高； (2)小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 24．（12分）如图，在△ABC中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P、Q两点同时移动； (1)当移动几秒时，的面积为8． (2)若两点同时分别从A、B出发，经过多长时间△ABC与相似？ 25．（12分）已知矩形ABCD，点E、F分别在AD、DC边上运动，连接BF、CE，记BF、CE交于点P. (1)如图1，若，，于P， ①求证：； ②求线段的长度； (2)如图2，若，，求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$