精品解析：福建省福州第十一中学2024-—2025学年九年级上学期10月月考数学试卷

福州第十一中学2024-2025学年第一学期九年级数学学科十月份适应性练习 完成时间：120分钟 满分：150分 一、选择题 1. 下列图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题关键．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A.不是中心对称图形，不符合题意； B. 不是中心对称图形，不符合题意； C. 不是中心对称图形，不符合题意； D. 是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 函数的最大值是3 C. 抛物线开口向上 D. 顶点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标和最值，进而求解． 【详解】解：， 对称轴为直线，最大值为，顶点坐标为， ∵， ∴开口向下， 故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 3. 用配方法解方程时，将方程化为的形式，则a的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法进行计算即可求解，熟练掌握配方法是解题关键． 【详解】解： ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数得图像与几何变换，熟知二次函数图像平移得法则是解题的关键． 根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是． 故选C． 5. 用一条长的绳子围成一个面积为的长方形，设该长方形一边长为，则下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该长方形一边长为，则长方形的另一边长为，再根据长方形面积计算公式列出对应的方程即可． 【详解】解：设该长方形一边长为，则长方形的另一边长为， 由题意得，， 故选：C． 6. 正五边形绕它的对称中心旋转后能与自身完全重合，则旋转角度至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转对称图形的性质，根据旋转的性质和正五边形的特点解答． 【详解】解：正五边形绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合， 则其旋转的角度至少为． 故选：C． 7. 在平面直角坐标系中，将点绕着原点O 顺时针旋转到， 则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，即可得出结果． 【详解】解：如图所示，将点绕着原点O 顺时针旋转到， 则点的坐标为， 故选A． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——旋转，正确根据题意画出旋转后对应点的位置是解题的关键． 8. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点、、在同一条直线上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．由旋转可得：，，，进而得到：，，即可求解． 【详解】解：由旋转可得：，，， ，， ， 故选：B． 9. 已知为一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. 0 C. 7 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出，，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵为一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 10. 已知，是抛物线上的点，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】分别讨论a>0和a<0的情况，画出图象根据图象的增减性分析x与y的关系． 【详解】根据题意画出大致图象： 当a>0时，x=1为对称轴，|x-1|表示为x到1的距离， 由图象可知抛物线上任意两点到x=1的距离相同时，对应的y值也相同， 当抛物线上的点到x=1的距离越大时，对应的y值也越大，由此可知A、C正确． 当a<0时， x=1为对称轴，|x-1|表示为x到1的距离， 由图象可知抛物线上任意两点到x=1的距离相同时，对应的y值也相同， 当抛物线上的点到x=1的距离越大时，对应的y值也越小，由此可知B、C正确． 综上所述只有C正确． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，关键在于画出图象，结合图象增减性分类讨论． 二、填空题 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点中心对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查中心对称，掌握若点关于原点中心对称的点的坐标是，即可解题． 【详解】解：点关于原点中心对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 已知抛物线与x轴的一个交点坐标为，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标为 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键；由题意易得二次函数的对称轴为直线，然后问题可求解． 【详解】解：由抛物线可知对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴此抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为， ∴此抛物线与x轴的另一个交点坐标为； 故答案为． 13. 如图，在中，直径于点E，，则弦的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 由垂径定理得，设的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 14. 如图，二次函数与一次函数的图象相交于A，B两点，则不等式的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象可直接进行求解． 【详解】解：由图象可得：当时，则有； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． 15. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接!则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过作交的延长线点，则，利用勾股定理求出，即得到，解题即可． 【详解】∵绕点逆时针旋转得到， ∴， 连接,则为等边三角形， ∴° ∵， ∴， ∴过作交的延长线点， ∴ ∴在中， ， ∴， ∴, ∴在中， ， 故答案为:． 【点睛】本题考查勾股定理，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，构造直角三角形利用勾股定理计算是解题的关键． 16. 如图，矩形中，，，的平分线交于点，为线段上一动点，点为的中点，则线段长的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的性质，两点距离公式等知识．建立平面直角坐标系，求出的解析式，设点，可求点坐标，由两点距离公式和二次函数性质可求的最大值． 【详解】解：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， ，， 点，点，点， 为的角平分线， ， ， ， 点， 设直线的解析式为， 将点，代入上式，得： ，解得： 直线解析式为， 设点， 为的中点， 点， ， ， 当时，的长有最大值，最大值为， 故答案为：． 三、解答题 17. 解方程． 【答案】， 【解析】 【分析】利用配方法求解即可． 【详解】解： 移项，得： 配方，得：，即 直接开平方，得： ∴， 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18. 求证：关于x的方程，无论m取何值总有实数根． 【答案】 证明：当时， ∴，此时满足方程有实数根； 当时， ∵ ∴ ∴方程总有实数根； 综上所述无论m取何值总有实数根． 【解析】 【分析】对m进行分类讨论，当，解得；当时，由，因为，所以，即可证明无论m取何值总有实数根． 【详解】略 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，涉及到根据根的情况求参数，难度适中，注意要对m进行分类讨论． 19. 如图，在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，． （1）将绕原点O顺时针旋转，作出旋转后的； （2）作出关于点成中心对称的图形，并写出对应点的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 解：如图所示，即为所求， ∴，，． 【解析】 【分析】本题考查了作图—旋转变换，中心对称图形的特征；旋转的性质包括①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等． （1）根据网络结构以及旋转性质，，先找出点A、B、C旋转后所对应的点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网络结构以及中心对称图形的性质，先找出点、、点成中心对称后所对应的点、、的位置，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 卡塔尔世界杯完美落幕．在一场比赛中，球员甲在离对方球门30米处的O点起脚吊射（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门），假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时,足球达到最大高度8米．如图所示，以球员甲所在位置O点为原点，建立平面直角坐标系． （1）求满足条件的抛物线的函数表达式； （2）如果葡萄牙球员C罗站在球员甲前3米处，C罗跳起后最高能达到2.88米，那么C罗能否在空中截住这次吊射？ 【答案】（1） （2）C罗能在空中截住这次吊射 【解析】 【分析】（1）根据题意得出二次函数的顶点坐标，进而求出二次函数解析式； （2）将代入函数表达式，求出y值，然后与2.88相比较即可得出答案． 本题主要考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题关键． 【小问1详解】 由题意可得，足球距离点O米时，足球达到最大高度8米， 设抛物线解析式为：， 把代入解析式得：， 解得：， 故抛物线解析式为：； 【小问2详解】 当时， 故C罗能在空中截住这次吊射． 21. 如图，中，，，将绕点顺时针旋转，得到（、两点为对应点），画出旋转后的图形，并求出线段的长．（要求尺规作图，保留作图痕迹） 【答案】 如图， 【解析】 【分析】在上截取，过点作，且，则连接得到，再利用等腰三角形的性质得到，，利用旋转的性质得到，，于是可判断点在上，所以． 【详解】解：，， ，， 绕点顺时针旋转，得到， ，， ， 点在上， ． 【点睛】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了等腰直角三角形的性质． 22. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、． （1）求证：、、三点共线； （2）若，求点到的距离． 【答案】（1） 证明：连接， 由旋转的性质，可得，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴、、三点共线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接BD，证明即可； （2）先求得DE=BC=2，再结合（1）的结论可得BE，作于点H，根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）证得是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 由旋转的性质，可得， ∵、、三点共线， ∴， 作于点H， 在中，， 即， 即， ∴到的距离为． 【点睛】本题考查了旋转的性质、解直角三角形的知识，掌握旋转的性质是解答本题的关键． 23. 2023年第31届成都大运会吉祥物“蓉宝”，以大熊猫“芝麻”为原型创作，寓意成都为大熊猫之乡，其青春与活力的形象深受大家的喜爱．某商场销售一批“蓉宝”玩偶摆件，进价为每个30元，售价为每个48元，平均每天可售出100个．商场计划将“蓉宝”降价销售，据市场调研发现：每降价元，平均每天可多售出20个． （1）若商场要尽快减少库存，且希望每天获利2400元，则每个“蓉宝”应降价多少？ （2）若每个“蓉宝”降价元（为整数），商场平均每天获得的利润最大，求的值． 【答案】（1）若商场要尽快减少库存，且希望每天获利2400元，则每个“蓉宝”应降价元 （2）商场平均每天获得的利润最大时，的值为或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意，正确列出一元二次方程以及二次函数关系式是解此题的关键． （1）设每个“蓉宝”应降价元，则平均每天可售出个，根据利润单个商品的利润数量，列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）设商场平均每天获得的利润为，根据利润单个商品的利润数量，列出二次函数，根据二次函数的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：设每个“蓉宝”应降价元，则平均每天可售出个， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 商场要尽快减少库存， ， 若商场要尽快减少库存，且希望每天获利2400元，则每个“蓉宝”应降价元； 【小问2详解】 解：设商场平均每天获得的利润为， 由题意得：， ，，为整数， 当或时，最大， 商场平均每天获得的利润最大时，的值为或． 24. 如图，在中，．，点始终在的上方，且，点为射线上任意一点（点与点不重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，直线交直线于点． （1）如图，当时，求证； （2）当点为边的中点时，连接，求的最大值； （3）如图，若，时，求的面积． 【答案】（1） 证明：如图，∵，将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ，， ， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证得，再利用三角形得内角和定理及垂直定义即可得证； （2）如图，取中点，连接、，由勾股定理得．由直角三角形的性质得，又根据中位线的性质得，进而三角形的三边关系即可求解； （3）连接，过点作于点，过点作交延长线于点，于点，证，得，进而求得，再利用勾股定理及三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，取中点，连接、， ， ． ， 点为的中点， 当、、三点共线时，最大 此时，； 【小问3详解】 解：如图，连接，过点作于点，过点作交延长线于点，于点， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，三角形的中位线性质以及直角三角形的斜边上中线等于斜边的一半等，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 25. 已知点A为抛物线对称轴右侧上一动点，直线AB：与抛物线有且只有一个交点A，且与轴交于点B，点C的坐标为，直线交抛物线于点，连接，，． （1）用含k的代数式表示b； （2）求证：； （3）在点A运动过程中，是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由． 【答案】（1）； （2） 证明：由题意可知，联立， 解得， 点A坐标是， 又点B坐标是，点C坐标是， ， 由勾股定理，得， ； （3）是，2． 【解析】 【分析】（1）令，得到，由直线与抛物线有且只有一个交点，根据根的判别式等于0，即可得到答案； （2）联立，求得点A坐标，再用喊k的代数式表示出，的长，即得答案； （3）设直线的表达式为，将点A坐标是代入，得到，联立 ，求出点D坐标，再分别用含k的代数式表示和，即可得到答案． 【小问1详解】 令， 整理得 ， 直线与抛物线有且只有一个交点， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 点A在抛物线上运动的过程中，是定值．理由如下： 设直线的表达式为， 将点A坐标是代入， 得 ，即， 联立 ， 解得（舍去），， 点D坐标是， 又点A坐标是，点B坐标是，点C坐标是， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数与线段的综合问题，二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数与几何图形的面积问题，准确的字母运算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州第十一中学2024-2025学年第一学期九年级数学学科十月份适应性练习 完成时间：120分钟 满分：150分 一、选择题 1. 下列图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 函数的最大值是3 C. 抛物线开口向上 D. 顶点坐标为 3. 用配方法解方程时，将方程化为的形式，则a的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 4. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 5. 用一条长的绳子围成一个面积为的长方形，设该长方形一边长为，则下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 正五边形绕它的对称中心旋转后能与自身完全重合，则旋转角度至少为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，将点绕着原点O 顺时针旋转到， 则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点、、在同一条直线上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知为一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. 0 C. 7 D. 11 10. 已知，是抛物线上的点，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点中心对称的点的坐标是_______． 12. 已知抛物线与x轴的一个交点坐标为，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标为 __________． 13. 如图，在中，直径于点E，，则弦的长为______． 14. 如图，二次函数与一次函数的图象相交于A，B两点，则不等式的解为______． 15. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接!则的长是________． 16. 如图，矩形中，，，的平分线交于点，为线段上一动点，点为的中点，则线段长的最大值是______． 三、解答题 17. 解方程． 18. 求证：关于x的方程，无论m取何值总有实数根． 19. 如图，在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，． （1）将绕原点O顺时针旋转，作出旋转后的； （2）作出关于点成中心对称的图形，并写出对应点的坐标． 20. 卡塔尔世界杯完美落幕．在一场比赛中，球员甲在离对方球门30米处的O点起脚吊射（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门），假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时,足球达到最大高度8米．如图所示，以球员甲所在位置O点为原点，建立平面直角坐标系． （1）求满足条件的抛物线的函数表达式； （2）如果葡萄牙球员C罗站在球员甲前3米处，C罗跳起后最高能达到2.88米，那么C罗能否在空中截住这次吊射？ 21. 如图，中，，，将绕点顺时针旋转，得到（、两点为对应点），画出旋转后的图形，并求出线段的长．（要求尺规作图，保留作图痕迹） 22. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、． （1）求证：、、三点共线； （2）若，求点到的距离． 23. 2023年第31届成都大运会吉祥物“蓉宝”，以大熊猫“芝麻”为原型创作，寓意成都为大熊猫之乡，其青春与活力的形象深受大家的喜爱．某商场销售一批“蓉宝”玩偶摆件，进价为每个30元，售价为每个48元，平均每天可售出100个．商场计划将“蓉宝”降价销售，据市场调研发现：每降价元，平均每天可多售出20个． （1）若商场要尽快减少库存，且希望每天获利2400元，则每个“蓉宝”应降价多少？ （2）若每个“蓉宝”降价元（为整数），商场平均每天获得的利润最大，求的值． 24. 如图，在中，．，点始终在的上方，且，点为射线上任意一点（点与点不重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，直线交直线于点． （1）如图，当时，求证； （2）当点为边的中点时，连接，求的最大值； （3）如图，若，时，求的面积． 25. 已知点A为抛物线对称轴右侧上一动点，直线AB：与抛物线有且只有一个交点A，且与轴交于点B，点C的坐标为，直线交抛物线于点，连接，，． （1）用含k的代数式表示b； （2）求证：； （3）在点A运动过程中，是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $