24.4 直线与圆的位置关系（5个知识点+7个题型+巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（沪科版）

24.4 直线与圆的位置关系 课程标准 学习目标 ①了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念； ②*能用尺规作图:过圆外一点作圆的切线； ③*探索并证明切线长定理:过圆外一点的两条切线长相等 1.了解直线与圆相交、相切、相离的三种位置关系，了解三种位置关系的性质和判定方法，并能应用它们解决相关问题； 2.掌握切线的性质和判定方法，并能应用它们解决相关问题； 3.了解切线长的概念和切线长定理，能够应用切线长定理解决有关问题。 知识点01 直线与圆的位置关系 ·相交：直线与圆有两个公共点，这时我们说这条直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线； ·相切：直线与圆有一个公共点，这时我们说这条直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点； ·相离：直线与圆没有公共点，这时我们说这条直线与圆相离。 设⊙Ｏ的半径为ｒ，圆心Ｏ到直线ｌ的距离为ｄ，由上述直线与圆的位置关系可知： （1）ｌ与⊙Ｏ 相交ｄ＜ｒ；（２）直线ｌ与⊙Ｏ相切ｄ＝ｒ；（３）直线ｌ与⊙Ｏ相离ｄ＞ｒ． 【即学即练1】已知的直径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是 ． 【即学即练2】（2024·上海杨浦·三模）已知点A在半径为3的圆O上，如果点A到直线的距离是6，那么圆O与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上答案都不对 知识点02 圆的切线的性质定理 ·圆的切线垂直于经过切点的半径。几何表述：l与圆O交于点P，连接OP，OP⊥l ·过圆上一点的切线作法：①连接ＯＰ；②过点Ｐ作直线ｌ⊥ＯＰ；则直线ｌ即为所作 【即学即练3】如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】如图，是的切线，B为切点，与交于点C，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 知识点03 圆的切线的判定定理 ·经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【即学即练5】圆O的圆心到直线L的距离是5厘米，直线L与圆O有唯一公共点，问圆O的半径是（     ）厘米？ A． B． C． D． 【即学即练6】如图，是的直径，点D是延长线上的一点，点C在上，且，，求证：是的切线 知识点04 切线长的概念和切线长定理 ·切线长的概念：过圆外一点能够作圆的两条切线， 切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长。 ·切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等， 圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。 ·过圆外一点引切线的作法： ①连接ＯＰ． ②以ＯＰ为直径作圆，设此圆交⊙Ｏ于点Ａ、Ｂ． ③连接ＰＡ、ＰＢ． 则直线ＰＡ、ＰＢ即为所作 【即学即练7】如图，切于，切于，交于，连接，下列结论中，错误的是（　　）．    A． B． C． D．以上都不对 *知识点05 圆与圆的位置关系 ·设⊙Ｏ１、⊙Ｏ２的半径分别为ｒ，Ｒ（Ｒ＞ｒ），两圆圆心间的距离（简称圆心距）Ｏ１Ｏ２＝ｄ． d＜R-r R-r＜d＜R+r d＞R+r ·和切线有关的辅助线的作法：连接圆心与切点 应用：证明某直线是圆的切线 一般步骤：①连接该直线和圆的交点与圆心（圆的半径）；②证明该直线与所作的半径垂直（证明直角三角形的方法：角度代换证明两个锐角互余、勾股定理逆定理、锐角三角函数值等解三角形的相关知识） 案例：内接于，是的直径，交于点E，交于点F，且，求证：是的切线． 方法：连接OC →说明OC⊥DC：角度等量代换→命题方式见题型一 【题型一：切线的证明与解三角形】 例1.如图，在中，，以为直径的分别交于点，点在的延长线上，且．    (1)求证：直线是的切线； (2)若,求线段的长． 变式1-1.已知等边，，以为直径的半圆与边交于点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 变式1-2.（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，与边长为a的等边的边、分别交于点D、点E，是直径，过点D作于点F． (1)求证：是的切线； (2)连接，当是的切线时，求的半径r． 变式1-3.（2024·安徽六安·一模）如图，内接于，是的直径，交于点E，交于点F，且．      (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 例2.在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题： 如图1，中，．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：A，E，B，D四点共圆； (2)如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线． 【方法技巧与总结】 证明切线的一般步骤：①连接该直线和圆的交点与圆心（圆的半径）；②证明该直线与所作的半径垂直（证明直角三角形的方法：角度代换证明两个锐角互余、勾股定理逆定理、锐角三角函数值等解三角形的相关知识） 【题型二：运用切线长定理转化线段关系】 例3．如图，P为外一点，分别切于A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 变式3-1．（2024·安徽芜湖·二模）如图，内切于，切点分别为，且，则 ． 变式3-2．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图，在中，，点D是边上一点，以为直径的与边相切于点E，与边交于点F，过点E作于点H，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【方法技巧与总结】 此类问题，关键是灵活运用角平分线的性质找到等量线段，再进行转化线段的等量关系。 【题型三：切线长与点到圆上的距离最值问题】 例4．（2021·安徽安庆·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最大值与最小值之差是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【方法技巧与总结】①圆外一点到圆上一点的最长线段是：到圆心的距离+半径，最短是：到圆心的距离-半径；②利用相似三角形、切线长定理、勾股定理解三角形求未知边长。 【题型四：坐标与图形——动态问题与最值】 例5．（2023·四川广元·九年级统考期中）如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 例6．（2023·山东临沂·九年级校考期中）如图，直线与x轴、y轴分别相交于、B两点，，圆心的坐标为，与y轴相切于原点O，若将沿x轴向右移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 例7.已知抛物线，M是抛物线上一动点，以点M为圆心，1个单位长度为半径作．当与x轴相切时，点M的坐标为 ． 【题型五：动态问题与函数图象】 例8．如图，点A在半径为2的上，过线段上的一点作直线，与过点的切线交于点，且，设，则的面积关于的函数图象大致是（    ）   A.  B．  C．  D．   【题型六：切线长定理和解直角三角形的应用】 例9．（23-24九年级下·安徽芜湖·阶段练习）安徽省科技馆是大型公益性科普教育场所，开馆以来，吸引了大量学生和家长前去参观和体验．如图1，这是馆内的一个全国最大的球状屏幕，图2是它的示意图，是球屏的平面图，的直径为28米，是测角仪，高度为0.5米．垂直水平地面，此时测得球屏视线最上部的仰角为，即，视线最下部的仰角为，即．视线与相切，切点分别为和．求点到的距离．（参考数据：，，，，，） 变式9.（2023·安徽·模拟预测）图1是建筑工地搬砖平板车示意图，图2是平板车停放在水平地面上时侧面示意图，车把手与车板组成线段，车轮和车板相切于点，车轮直径为，车轮和地面接触点为，求车把手到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 【方法技巧与总结】此类问题需要①数学建模：结合切线的性质构造相似三角形或直角三角形；②解三角形：运用切线长定理、勾股定理、锐角三角函数值、相似三角形对应边成比例求未知线段长。 【题型七：尺规作图——作圆的切线】 例10．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，已知是的直径，C是半圆上一点（不与点A，B重合）． (1)用尺规过点C作的切线，交的延长线于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求的直径． 例11．（23-24九年级上·山东烟台·期末） (1)尺规作图：已知及圆外一点P，过点P作圆的两条切线，切点分别是点A、点B；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接并延长，交于点D，连接，求的度数． 【方法技巧与总结】①根据题意进行分类讨论；②分析几何关系，用含t的式子表示相关线段的长。 一、选择题 1．下列说法正确的是（    ） A．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．等弦所对的弧相等 2.（23-24九年级上·安徽淮北·期末）已知的直径为，圆心O到直线l的距离为，则直线l与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 3.（2023·江苏常州·九年级统考期中）如图，在中，，分别过，两点作的切线，两切线相交于点，则的度数（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图， 中， ， ，它的周长为．若 与 ， ， 三边分别切于 ， ， 点，则 的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）为的直径的延长线上一点，为上一点，分别连接平分，交于，则下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若切于点，则 二、填空题 5.已知的半径是2，圆心到直线的距离是3，则直线和的位置关系是 ． 6．（23-24九年级下·安徽安庆·开学考试）已知圆的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的公共点的个数为 个． 7.（2023·安徽·模拟预测）如图，四边形为菱形，且顶点都在上，过点作的切线，与的延长线相交于点．若的半径为2，则的长为 ．    8．（2024·安徽宿州·二模）《数书九章》中的“遥度圆城”问题如下：在一座圆形城堡中，有正东、正南、正西和正北四个门，出南门A向东走一段路程到达点B后（相切圆形城堡于点A），刚好看到北门E的正北方向的一棵大树C，即相切圆形城堡于点D．若，，已知经过圆形城堡的圆心O，则圆形城堡的直径为 . 三、解答题 9．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离为，试判断直线与的位置关系，并说明理由． 10．（2024·安徽合肥·三模）如图，是的弦，过点O作的垂线交于点C，垂足为点D过点C作的平行线交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 11．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，中，，． (1)求作：，使得圆心O落在边上，且经过A、C两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）； (2)求证：是的切线． 12．（2024·安徽黄山·一模）如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点E，连接，．    (1)求证：是的切线． (2)若，求的长． 13．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）在学完圆的相关知识后，小东设计了一个“过直线外一点作该直线的垂线”的方法． 下面是小东设计的尺规作图过程． 已知：如图，直线和直线外一点． 求作：直线，使得． 作法：如图， 在直线上取一点点在点的左侧，连接； 作线段的垂直平分线，交于点； 以点为圆心，长为半径作圆，交直线于点； 作直线，则直线即为所求作的直线． 根据小东设计的尺规作图过程，完成下列问题： (1)使用直尺和圆规，补全图保留作图痕迹 (2)完成下面的证明． 证明：为的直径， ____________填推理的依据 ． 直线即为所求作的直线． (3)如图，小红过点作了一条直线，若，请判断直线与的位置关系，并说明理由． 14．（2024·安徽合肥·二模）如图，为的一条弦，与相切于，平分，与交于，连接． (1)若，求的度数； (2)过点作于，求证：． 15．（2024·安徽合肥·一模）如图，是的直径，，是延长线上一点，在上，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 16.如图，在中，，点在上，以为半径的圆交于点，的垂直平分线交于，交于，连接．    (1)判断直线与圆的位置关系，并说明理由； (2)若，，，求线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.4 直线与圆的位置关系 课程标准 学习目标 ①了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念； ②*能用尺规作图:过圆外一点作圆的切线； ③*探索并证明切线长定理:过圆外一点的两条切线长相等 1.了解直线与圆相交、相切、相离的三种位置关系，了解三种位置关系的性质和判定方法，并能应用它们解决相关问题； 2.掌握切线的性质和判定方法，并能应用它们解决相关问题； 3.了解切线长的概念和切线长定理，能够应用切线长定理解决有关问题。 知识点01 直线与圆的位置关系 ·相交：直线与圆有两个公共点，这时我们说这条直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线； ·相切：直线与圆有一个公共点，这时我们说这条直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点； ·相离：直线与圆没有公共点，这时我们说这条直线与圆相离。 设⊙Ｏ的半径为ｒ，圆心Ｏ到直线ｌ的距离为ｄ，由上述直线与圆的位置关系可知： （1）ｌ与⊙Ｏ 相交ｄ＜ｒ；（２）直线ｌ与⊙Ｏ相切ｄ＝ｒ；（３）直线ｌ与⊙Ｏ相离ｄ＞ｒ． 【即学即练1】已知的直径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，求出的半径，与圆心到直线的距离进行比较即可得出位置关系，解题的关键能根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判断直线与圆的位置关系． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， ∵， ∴直线与相交． 【即学即练2】（2024·上海杨浦·三模）已知点A在半径为3的圆O上，如果点A到直线的距离是6，那么圆O与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上答案都不对 【答案】D 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离；根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答即可； 【详解】A在半径为3的圆O上，如果点A到直线的距离是6， 圆O与直线a的位置关系可能是相切或相离， 故选：D. 知识点02 圆的切线的性质定理 ·圆的切线垂直于经过切点的半径。几何表述：l与圆O交于点P，连接OP，OP⊥l ·过圆上一点的切线作法：①连接ＯＰ；②过点Ｐ作直线ｌ⊥ＯＰ；则直线ｌ即为所作 【即学即练3】如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理，连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的两锐角互余可得答案．掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：A． 【即学即练4】如图，是的切线，B为切点，与交于点C，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，根据切线的性质可判断，再由可得出，在等腰中求出即可． 【详解】解：∵是的切线，B为切点， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 知识点03 圆的切线的判定定理 ·经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【即学即练5】圆O的圆心到直线L的距离是5厘米，直线L与圆O有唯一公共点，问圆O的半径是（     ）厘米？ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知直线L是圆O的切线，据此即可解答． 【详解】解：直线L与圆O有唯一公共点， ∴直线L是圆O的切线， ∵圆O的圆心到直线L的距离是5厘米， ∴圆O的半径是， 故选：C． 【点睛】本题考查切线的判定与性质，掌握切线的性质是解题的关键． 【即学即练6】如图，是的直径，点D是延长线上的一点，点C在上，且，，求证：是的切线 【答案】连接，证明即可． ∵，， ∴； ∴， ∴， ∴， ∴是的切线. 知识点04 切线长的概念和切线长定理 ·切线长的概念：过圆外一点能够作圆的两条切线， 切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长。 ·切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等， 圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。 ·过圆外一点引切线的作法： ①连接ＯＰ． ②以ＯＰ为直径作圆，设此圆交⊙Ｏ于点Ａ、Ｂ． ③连接ＰＡ、ＰＢ． 则直线ＰＡ、ＰＢ即为所作 【即学即练7】如图，切于，切于，交于，连接，下列结论中，错误的是（　　）．    A． B． C． D．以上都不对 【答案】D 【分析】连接，，根据切线长定理可得，再证明，问题得解． 【详解】连接，，如图，    ∵切于，切于， ∴，即是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴，即平分， ∴，即A、B、C三项都正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握切线长定理，是解答本题的关键． *知识点05 圆与圆的位置关系 ·设⊙Ｏ１、⊙Ｏ２的半径分别为ｒ，Ｒ（Ｒ＞ｒ），两圆圆心间的距离（简称圆心距）Ｏ１Ｏ２＝ｄ． d＜R-r R-r＜d＜R+r d＞R+r ·和切线有关的辅助线的作法：连接圆心与切点 应用：证明某直线是圆的切线 一般步骤：①连接该直线和圆的交点与圆心（圆的半径）；②证明该直线与所作的半径垂直（证明直角三角形的方法：角度代换证明两个锐角互余、勾股定理逆定理、锐角三角函数值等解三角形的相关知识） 案例：内接于，是的直径，交于点E，交于点F，且，求证：是的切线． 方法：连接OC →说明OC⊥DC：角度等量代换→ 命题方式见题型一 【题型一：切线的证明与解三角形】 例1.如图，在中，，以为直径的分别交于点，点在的延长线上，且．    (1)求证：直线是的切线； (2)若,求线段的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）本题主要考查切线的证明，连接，利用直径所对圆周角是直角，可以推导，在结合等腰三角形的三线合一性质， 可以推导出，最终导角可以证明，最后证明切线． （2）本题主要考查利用三角函数在圆中解三角形，灵活转化已知角到直角三角形中去是解决问题的关键，连接，可以利用三角函数，求得， 在连接，在中利用等面积法可求长，进而求出的值，最终解直角三角形，即可直接求解长． 【详解】（1）证明：连接； ∵是直径； ∴； ∵； ∴； ∴； ∵； ∴； ∵; ∴； 即； ∴直线是的切线．    （2）解：连接； ∵是直径； ∴； ∵； ∴； 在中； ； ∵； ∴； ∴； 在中，由勾股定理得； ∵； ∴ 在中； ； ∴； ∴； 在中； ； 在中； ； ∴；    变式1-1.已知等边，，以为直径的半圆与边交于点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、证明某直线是圆的切线、等边三角形的性质、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了切线的判定，等边三角形的性质以及解直角三角形， （1）连接，根据等边三角形的性质得，根据得是等边三角形，，则，于是可判断，又，则，根据切线的判定定理可得是的切线； （2）先证明为的中位线，得到，在中，由，得，根据含度的直角三角形三边的关系得，所以，然后在中，根据正弦的定义计算的长； 掌握切线的判定，解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，如图， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ， ， ∵， ， 是的切线； （2）解：∵，点为的中点， 为的中位线， ， 由（1）得， ∴， 在中，， ， ， ∴, ∵， ∴， 在中，，， ∴． 变式1-2.（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，与边长为a的等边的边、分别交于点D、点E，是直径，过点D作于点F． (1)求证：是的切线； (2)连接，当是的切线时，求的半径r． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、证明某直线是圆的切线、圆周角定理、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）连接，证明即可证明是的切线； （2）连接，得到先计算，再计算，结合，计算，接着利用切线长定理，证明是等边三角形，得到解答即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵等边， ∴， ∵，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，是的切线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了切线的证明，勾股定理，等边三角形的判定和性质，切线长定理，三角形函数的应用，熟练掌握切线的判定定理，三角函数的应用是解题的关键． 变式1-3.（2024·安徽六安·一模）如图，内接于，是的直径，交于点E，交于点F，且．      (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、证明某直线是圆的切线、圆周角定理、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】（1）连接，只要证明，即可证明是的切线； （2）作于G，证明，求得，，在中，利用勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：作于G，则，      ∵， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设， 在中，， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，切线的判定，圆周角定理，三角形中位线定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 例2.在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题： 如图1，中，．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：A，E，B，D四点共圆； (2)如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）旋转，得到，，进而得到，证明，推出，即可得证； （2）连接，等边对等角，得到，圆周角定理，得到，根据三角形的内角和定理，推出，即，即可得证． 【详解】（1）证明：由旋转的性质，得，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴A，E，B，D四点共圆； （2）证明：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵是四边形的外接圆， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质，圆周角定理，切线的判定．掌握相关性质和定理，是解题的关键． 【方法技巧与总结】 证明切线的一般步骤：①连接该直线和圆的交点与圆心（圆的半径）；②证明该直线与所作的半径垂直（证明直角三角形的方法：角度代换证明两个锐角互余、勾股定理逆定理、锐角三角函数值等解三角形的相关知识） 【题型二：运用切线长定理转化线段关系】 例3．如图，P为外一点，分别切于A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【知识点】应用切线长定理求解 【分析】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得和则可求得答案． 【详解】解：∵分别切于A、B，切于点E， ∴， ∴， 即的周长为12， 故选：D． 变式3-1．（2024·安徽芜湖·二模）如图，内切于，切点分别为，且，则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、应用切线长定理求解 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，正方形的判定和性质，切线长定理，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握相关性质定理． 根据勾股定理逆定理得出，连接，推出四边形是正方形，设，根据切线长定理得出，进而求出，则，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 连接， ∵内切于， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 设， 则， ∵， ∴， 解得：， ∴， 根据勾股定理可得：， 故答案为：． 变式3-2．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图，在中，，点D是边上一点，以为直径的与边相切于点E，与边交于点F，过点E作于点H，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】解直角三角形的相关计算、切线的性质定理 【分析】本题主要考查了切线的性质，锐角三角函数的定义，角平分线的判定与性质等知识，熟练运用切线的性质是解题的关键． （1）连接，易证，继而结合已知证明，然后利用角平分线的性质即可证得EH=EC； （2）由，设，，根据的长可求得a的值， 再根据即可求得答案． 【详解】（1）如图，连接， ∵与相切， ∴，且， ∴, ∴， ， ∴， ∴，且，， ∴； （2）∵， ∴设，， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴． 【方法技巧与总结】 此类问题，关键是灵活运用角平分线的性质找到等量线段，再进行转化线段的等量关系。 【题型三：切线长与点到圆上的距离最值问题】 例4．（2021·安徽安庆·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最大值与最小值之差是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】切线的应用、相似三角形的判定与性质综合 【分析】设⊙O与AC相切于点D，连接OD，过点O作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，MN最小值为OP﹣OF＝5，当N在AB边上时，M与B重合时，MN最大值＝13，则可得出答案． 【详解】解：如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，过点O作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F， 此时垂线段OP最短，PF最小值为OP﹣OF， ∵AC＝12，BC＝9， ∴AB＝＝＝15， ∵∠OPB＝90°， ∴OP∥AC， ∵点O是AB的三等分点， ∴， ∴OP＝8， ∵⊙O与AC相切于点D， ∴OD⊥AC， ∴OD∥BC， ∴， ∴OD＝3， ∴MN最小值为OP﹣OF＝8﹣3＝5， 如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长， MN最大值＝OB+OE＝10+3＝13， ∴MN长的最大值与最小值的差是13﹣5＝8． 故选：D． 【点睛】本题考查切线的性质、三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确找到点MN取得最大值、最小值时的位置． 【方法技巧与总结】①圆外一点到圆上一点的最长线段是：到圆心的距离+半径，最短是：到圆心的距离-半径；②利用相似三角形、切线长定理、勾股定理解三角形求未知边长。 【题型四：坐标与图形——动态问题与最值】 例5．（2023·四川广元·九年级统考期中）如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当P位于位置时，取得最小值，故可求解． 此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到取得最小值时P的位置． 【详解】连接，∵，∴，∵，∴， 要使取得最小值，则需取得最小值， 连接，交于点，当P位于位置时，取得最小值， 过点M作轴于点Q， 则， ∴， 又， ∴， ∴， 故选D． 例6．（2023·山东临沂·九年级校考期中）如图，直线与x轴、y轴分别相交于、B两点，，圆心的坐标为，与y轴相切于原点O，若将沿x轴向右移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由切线的性质，含角的直角三角形的性质，求出圆与直线相切时，的横坐标，即可解决问题． 【详解】解：如图，当圆与直线相切时，切点是和，    连接，， ，， ， ， 同理：， 的横坐标是，的横坐标是， 的横坐标的范围大于1且小于5时，当与该直线相交， 横坐标为整数的点的坐标是，，，共有3个． 故选：B． 【点睛】本题考查切线的性质，坐标与图形的性质，关键是求出圆于直线相切时，的横坐标． 例7.已知抛物线，M是抛物线上一动点，以点M为圆心，1个单位长度为半径作．当与x轴相切时，点M的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查切线的性质，抛物线的性质，解一元二次方程，根据当的半径是1，与x轴相切，则M的纵坐标是1或即可求解． 【详解】解：∵与x轴相切， ∴M到x轴的距离为1， 当时，，解得：， ∴； 当时，，解得：， ∴点M坐标为或； 故答案为：或或． 【题型五：动态问题与函数图象】 例8．如图，点A在半径为2的上，过线段上的一点作直线，与过点的切线交于点，且，设，则的面积关于的函数图象大致是（    ）    A．    B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据已知得出与x之间的函数关系式，进而得出函数是二次函数，当时，取到最小值为，即可得出图象．此题主要考查了动点函数的图象，根据已知得出与x之间的函数解析式是解题关键． 【详解】解：∵A点在半径为2的上，过线段上的一点P作直线，与过A点的切线交于点B，且， ∴，， ∴， 解得：， ∴ ， 故此函数为二次函数， ∵， ∴当时，取到最小值为， 根据四个选项的图象只有D符合要求． 故选：D． 【题型六：切线长定理和解直角三角形的应用】 例9．（23-24九年级下·安徽芜湖·阶段练习）安徽省科技馆是大型公益性科普教育场所，开馆以来，吸引了大量学生和家长前去参观和体验．如图1，这是馆内的一个全国最大的球状屏幕，图2是它的示意图，是球屏的平面图，的直径为28米，是测角仪，高度为0.5米．垂直水平地面，此时测得球屏视线最上部的仰角为，即，视线最下部的仰角为，即．视线与相切，切点分别为和．求点到的距离．（参考数据：，，，，，） 【答案】点至的距离为3.3米． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、应用切线长定理求解 【分析】本题主要考查切线长定理和解直角三角形-----仰角俯角问题，连接，求出米和米，从而可解决问题． 【详解】解：如图，连接． 与相切， 平分． ， ． 又的直径为28米， 米． 在中，米． 由题意得四边形是矩形， 米． 在中，米， 米． 答：点至的距离为3.3米． 变式9.（2023·安徽·模拟预测）图1是建筑工地搬砖平板车示意图，图2是平板车停放在水平地面上时侧面示意图，车把手与车板组成线段，车轮和车板相切于点，车轮直径为，车轮和地面接触点为，求车把手到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】 【知识点】应用切线长定理求解、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了切线长定理、解直角三角形．解题的关键在于明确点A到地面的距离，从而作辅助线． 过点作于点，连接，通过解直角三角形求得，然后根据切线长定理可得，再解直角三角形求解． 【详解】解：过点作于点，连接． ． 在中，， ， ． 都是圆的切线， ． 在中， ． 答：车把手到地面的距离约为． 【方法技巧与总结】此类问题需要①数学建模：结合切线的性质构造相似三角形或直角三角形；②解三角形：运用切线长定理、勾股定理、锐角三角函数值、相似三角形对应边成比例求未知线段长。 【题型七：尺规作图——作圆的切线】 例10．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，已知是的直径，C是半圆上一点（不与点A，B重合）． (1)用尺规过点C作的切线，交的延长线于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求的直径． 【答案】(1)作图见解析 (2)12 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理、解直角三角形的相关计算、过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 【分析】本题考查作图-复杂作图，切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题不，属于中考常考题型． （1）过点C作交的延长线于点D即可； （2）证明是等边三角形，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：是切线，的半径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， 故的直径为12． 例11．（23-24九年级上·山东烟台·期末） (1)尺规作图：已知及圆外一点P，过点P作圆的两条切线，切点分别是点A、点B；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接并延长，交于点D，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】圆周角定理、切线的性质和判定的综合应用、过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 【分析】本题考查作图—复杂作图、圆周角定理、切线的判定与性质，熟练掌握圆周角定理、切线的判定与性质是解答本题的关键． （1）连接，作线段的垂直平分线，交于点M，再以点M为圆心，的长为半径画圆，分别交于点，连接即可． （2）连接，由切线的性质可得即，由圆周角定理得到，根据四边形内角和为即可得的答案． 【详解】（1）解：如图，连接，作线段的垂直平分线，交于点M，再以点M为圆心，的长为半径画圆，分别交于点，连接 由圆周角定理可得，， ∵为的半径， ∴为的切线． 则即为所求； （2）解：连接， ∵为的两条切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【方法技巧与总结】①根据题意进行分类讨论；②分析几何关系，用含t的式子表示相关线段的长。 一、选择题 1．下列说法正确的是（    ） A．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．等弦所对的弧相等 【答案】A 【知识点】有关切线的说法辨析 【分析】根据相关概念逐项分析即可． 【详解】A、弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心，正确； B、平分弦的直径不一定垂直于弦，也不一定平分弦所对的弧，错误； C、垂直于半径，且过半径外端点的直线是圆的切线，错误； D、等弦所对的弧不一定相等，错误； 故选：A． 【点睛】本题考查圆的有关性质，掌握垂径定理的概念及其推论是解题关键． 2.（23-24九年级上·安徽淮北·期末）已知的直径为，圆心O到直线l的距离为，则直线l与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系的知识，解决本题的关键是熟记位置关系及名称．圆心到直线的距离d和圆的半径r，直线与圆的位置关系：①当时，直线与圆相离；②当时，直线与圆相切；③当时，直线与圆相交．先求出圆的半径，然后根据直线与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， ∵， ∴直线l与相交． 故选A． 3．（2023·江苏常州·九年级统考期中）如图，在中，，分别过，两点作的切线，两切线相交于点，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，首先根据圆周角定理求得，再结合切线的性质可得，然后根据四边形内角和为，求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵， ∴， ∵均为的切线， ∴， ∵在四边形中，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、多边形内角和等知识，利用圆周角定理确定是解题关键． 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图， 中， ， ，它的周长为．若 与 ， ， 三边分别切于 ， ， 点，则 的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】等边三角形的判定和性质、应用切线长定理求解 【分析】本题主要考查了切线长定理的应用，解题的关键是求出的值．根据切线长定理求出，，，得出等边三角形，推出，根据，求出，进而求出，即可求出答案． 【详解】解：∵与三边分别切于三点， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）为的直径的延长线上一点，为上一点，分别连接平分，交于，则下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若切于点，则 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定的综合应用 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，切线的判定和性质．利用等腰三角形的性质结合三角形的外角性质即可判断选项A、B、D正确；假设成立，证明是等边三角形，推出是的切线，与题设相矛盾，可判断选项C不正确． 【详解】解：连接， ∵平分， ∴设， 若， ∴， 则，选项A正确，不符合题意； 若，又∵， ∴， ∴，选项B正确，不符合题意； 若切于点， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，选项D正确，不符合题意； 连接，假设成立， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上，即， ∴切于点， 而题设并没有是的切线这一条件， ∴假设不成立，选项C不正确，符合题意． 故选：C． 二、填空题 5.已知的半径是2，圆心到直线的距离是3，则直线和的位置关系是 ． 【答案】相离 【分析】本题考查了由数量关系来判断直线与圆位置关系的方法，根据圆心到直线的距离和圆半径的之间关系可得出直线与圆之间的位置关系．正确利用与的大小关系判断直线与圆的位置关系是解题关键． 【详解】解：∵的半是2，圆心到直线的距离是3， ∴， 即， ∴直线和的位置关系是相离； 故答案为：相离． 6．（23-24九年级下·安徽安庆·开学考试）已知圆的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的公共点的个数为 个． 【答案】0 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，属于基础题型，掌握判断的方法是关键根据圆心到直线的距离与圆的半径的关系可判断直线和圆的位置关系，即可得出答案． 【详解】解：∵圆的直径为， ∴圆的半径为， ∵圆心与直线的距离是，， ∴直线与圆相离，所以直线与圆没有公共点． 故答案为：0． 7.（2023·安徽·模拟预测）如图，四边形为菱形，且顶点都在上，过点作的切线，与的延长线相交于点．若的半径为2，则的长为 ．    【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、切线的性质和判定的综合应用、证明某直线是圆的切线 【分析】本题考查了圆的综合题，菱形的性质，切线的判定与性质，正确添加辅助线，注意数形结合思想的应用是解题的关键． 连接，由菱形的性质得，再由三角函数即可解答． 【详解】解：连接．   四边形是菱形， ， ， ， ， 是的切线， ， ， ． 8．（2024·安徽宿州·二模）《数书九章》中的“遥度圆城”问题如下：在一座圆形城堡中，有正东、正南、正西和正北四个门，出南门A向东走一段路程到达点B后（相切圆形城堡于点A），刚好看到北门E的正北方向的一棵大树C，即相切圆形城堡于点D．若，，已知经过圆形城堡的圆心O，则圆形城堡的直径为 . 【答案】4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、应用切线长定理求解、切线的性质定理 【分析】此题考查了切线长定理、切线的性质、相似三角形的判定和性质等知识，求出，，连接，则，证明，则，即可求出答案． 【详解】解：∵相切圆形城堡于点A，相切圆形城堡于点D． ∴，， ∴， ∴， 连接，则， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴圆形城堡的直径为 故答案为：4． 三、解答题 9．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离为，试判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】相离，理由见解析． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系，先解一元二次方程，得到的半径，再根据的半径与圆心到直线的距离大小比较即可判断求解，掌握直线和圆的位置关系的判断方法是解题的关键． 【详解】解：相离，理由如下： 解方程得，，， ∵的半径是一元二次方程的一个根， ∴的半径为， ∵圆心到直线的距离为， ∴， ∴直线与的位置关系是相离． 10．（2024·安徽合肥·三模）如图，是的弦，过点O作的垂线交于点C，垂足为点D过点C作的平行线交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用垂径定理求值、证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了切线的判定，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是： （1）证明，根据切线的判定即可； （2）利用垂径定理求出，在中，利用正弦的定义求出，在中，利用余弦的定义求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 11．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，中，，． (1)求作：，使得圆心O落在边上，且经过A、C两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】证明某直线是圆的切线、圆周角定理、作垂线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了作图，圆周角定理，切线的判定，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）作垂直平分线即可得到答案； （2）连接，利用已知条件得到，进而求出即可． 【详解】（1）解：根据垂直平分线的性质，作垂直平分线即可． 如图1，即为所求作的图； （2）证明：如图2，连接， ， ， 又， ， ， ， 点C在上， 是的切线． 12．（2024·安徽黄山·一模）如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点E，连接，．    (1)求证：是的切线． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【知识点】用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线 【分析】本题考查的是切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理． （1）连接，根据等腰三角形的性质得到，由得到，得，于是得到结论； （2）设的半径为r，则，由得到关于r的方程，即可求出半径，进而求出的长． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：在中，， 由题意得，， 设的半径为r，则， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 13．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）在学完圆的相关知识后，小东设计了一个“过直线外一点作该直线的垂线”的方法． 下面是小东设计的尺规作图过程． 已知：如图，直线和直线外一点． 求作：直线，使得． 作法：如图， 在直线上取一点点在点的左侧，连接； 作线段的垂直平分线，交于点； 以点为圆心，长为半径作圆，交直线于点； 作直线，则直线即为所求作的直线． 根据小东设计的尺规作图过程，完成下列问题： (1)使用直尺和圆规，补全图保留作图痕迹 (2)完成下面的证明． 证明：为的直径， ____________填推理的依据 ． 直线即为所求作的直线． (3)如图，小红过点作了一条直线，若，请判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)；直径所对的圆周角为直角 (3)直线与相切，详见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线 【分析】 本题是圆的综合题，主要考查了直径所对的圆周角是直角，直线与圆的位置关系，尺规作图等知识，熟练掌握圆的切线的判定定理是解题的关键． （1）根据作图步骤，画出图形即可； （2）根据直径所对的圆周角是直角可得答案； （3）连接，根据，，等量代换即可说明，从而得出结论． 【详解】（1） 解：补全图形如图： （2） 证明：为的直径， ，直径所对的圆周角为直角， ． 直线即为所求作的直线． 故答案为：；直径所对的圆周角为直角； （3） 解：直线与相切，理由如下： 连接， ， ， 由题意可知，， ， ， ， ， 即， ， 又为的半径， 直线与相切． 14．（2024·安徽合肥·二模）如图，为的一条弦，与相切于，平分，与交于，连接． (1)若，求的度数； (2)过点作于，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、利用垂径定理求解其他问题 【分析】（1）分别连接，，，由于平分，可得即得，与相切于，可得，根据圆周角定理可得，即可得出结果； （2）分别连接，，延长交于，连接，根据，为直径，可得，，得到，即证结论． 【详解】（1）解：如图1， 分别连接，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， ∵与相切于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图2， 分别连接，，延长交于，连接， ∵，为直径， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆与三角形的综合题，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，证明三角形相似是解题的关键． 15．（2024·安徽合肥·一模）如图，是的直径，，是延长线上一点，在上，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接，如图，由直径所对的圆周角是直角得到，则，再证明，即，即可证明结论； （2）先解直角三角形得到，再证明，得到，设，，由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，即， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或(不合题意舍去)， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，等边对等角，直径所对的圆周角是直角等等，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键． 16.如图，在中，，点在上，以为半径的圆交于点，的垂直平分线交于，交于，连接．    (1)判断直线与圆的位置关系，并说明理由； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，中垂线的性质，得到，进而得到，推出，即可； （2）勾股定理求出，解直角三角形得到，过点作，垂径定理求出的长，进而得到的长，中垂线，得到的长，再解直角三角形，求出的长即可． 【详解】（1）解：直线与圆相切，理由如下： 连接，则：，    ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线与圆相切； （2）∵，， ∴， ∴， 过点作，则：，，    ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，垂径定理，中垂线的性质，勾股定理．熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$