24.5 三角形的内切圆（2个知识点+5个题型+巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（沪科版）

24.5 三角形的内切圆 课程标准 学习目标 ①了解三角形的内心与外心； ②能用尺规作图：作三角形的外接圆、内切圆。 1.理解三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形等概念； 2.会用尺规作三角形的内切圆； 3.掌握三角形内切圆的性质并利用其性质进行推理或计算。 知识点01 三角形内切圆的相关概念及性质 ·概念：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 ·性质：三角形的内心到三角形的三边距离相等，该距离是三角形内切圆的半径。 【即学即练1】直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的内切圆半径为 ． 【即学即练2】若等边三角形ABC的边长为，则它的内切圆半径为 ． 知识点02 三角形内切圆的作法 ·利用角平分线上的点到两边的距离相等来作图 ①确定圆心：作△ＡＢＣ的∠Ｂ、∠Ｃ平分线ＢＥ、ＣＦ，设它们交于点I； ②确定一个切点：过点Ｉ作ＩＤ⊥ＢＣ于点Ｄ； ③确定其他切点：以点Ｉ为圆心、ＩＤ为半径作⊙Ｉ． 则⊙Ｉ即为所作△ABC的内切圆 【即学即练3】尺规作图：已知，如图，求作：的内切圆（保留作图痕迹，不写作法） ·三角形的内切圆面积的表示方法：的内切圆与交于点D、E、F，连接OD、OF、OE，根据切线长定理与切线的性质，可知OD⊥AB、OF⊥AC、OE⊥BC 因此可以用两种方式表示的面积： ①直接求；②分割成三个高相等、底分别为三条边的三个三角形求面积和 ①；② 应用：根据三角形的内切圆运用等面积法求内切圆的半径： 【题型一：根据三角形的内切圆的性质进行角度转化】 例1．（2024·安徽合肥·一模）如图，在中，，是的内切圆，M，N，K是切点，连接，．交于E，D两点．点F是上的一点，连接，，则的度数是 ． 变式1.（22-23九年级上·安徽芜湖·阶段练习）已知，点为的外心，点为的内心． （1）若，则 ； （2）若，则 ． 【题型二：根据三角形内切圆的性质求内切圆的半径】 例2．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图，在小正方形的边长均为1的正方形网格中，点A、B、C都是格点． (1)在图中仅用无刻度的直尺作的平分线； (2)连接，求内切圆的半径． 例3．（21-22九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，圆是的内切圆，其中，，求其内切圆的半径． 变式3.如图，已知，是的内切圆，切点分别为，，． （）若，，，则的半径为 ； （）若的半径为，的面积为，且，则 ． 【方法技巧与总结】①等面积法；②切线长定理；③解三角形。 【题型三：辅助圆求最值】 例4．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，分别经过原点O和点的动直线a，b，其夹角，点M是中点，连接，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 例5．（2024·安徽池州·二模）在中，，，、是的两条角平分线，分别交、于点、，且、交于点，过点作于点，则的最大值为（    ） A． B．2 C．1 D． 【方法技巧与总结】①根据条件作辅助圆：三角形的内切圆或外接圆；②根据轴对称的性质转化线段关系，利用三点共线求线段和的最值或求一点到圆上点距离的最值；③利用相似、锐角三角函数值解三角形。 【题型四：三角形的内心与外心】 例6．（23-24九年级下·安徽合肥·期中）下面就是欧拉发现的一个定理：在中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则．若的外接圆的半径为，内切圆的半径为，则的外心与内心之间的距离为 ． 【题型五：三角形的内心、外心与圆综合】 例7．（2024·安徽合肥·一模）如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的一点，是的内心，的延长线交半圆于点，连结． (1)求证：； (2)若，求的长． 例8．（2023九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，O是内心，点E，F都在大边上，已知．    (1)求证：O是的外心； (2)若，求的大小． 例9.如图，为的外接圆，是的中点，接交于点，延长至点，使得平分． (1)求证：直线是的切线． (2)若的半径为，，求的长． (3)在（）的前提下，点在上，的内心在边上，求的长． 1．（2024·安徽合肥·一模）如图，在中，，是的内心，连接、，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为．若，，则的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.（2024九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 4．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：； (2)如果，于．求证：． 5.（2024·安徽六安·模拟预测）已知是等边三角形，点O是的内心，E，F分别是和边上的点，且，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分交于点D，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，当点E，F分别位于和的延长线上时，请探究线段，和D之间的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.5 三角形的内切圆 课程标准 学习目标 ①了解三角形的内心与外心； ②能用尺规作图：作三角形的外接圆、内切圆。 1.理解三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形等概念； 2.会用尺规作三角形的内切圆； 3.掌握三角形内切圆的性质并利用其性质进行推理或计算。 知识点01 三角形内切圆的相关概念及性质 ·概念：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 ·性质：三角形的内心到三角形的三边距离相等，该距离是三角形内切圆的半径。 【即学即练1】直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的内切圆半径为 ． 【答案】2 【分析】可求，由即可求解． 【详解】解：如图，，，， ， ， ， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理，面积法，会用面积转化是解题的关键． 【即学即练2】若等边三角形ABC的边长为，则它的内切圆半径为 ． 【答案】 【知识点】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、解直角三角形的相关计算 【分析】根据正三角形内切圆的性质，应用特殊三角函数值进行求解即可； 【详解】解：如图，是等边三角形ABC的内切圆， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：.    【点睛】本题主要考查三角形内切圆的性质、解直角三角形，正确理解题意是解题的关键. 知识点02 三角形内切圆的作法 ·利用角平分线上的点到两边的距离相等来作图 ①确定圆心：作△ＡＢＣ的∠Ｂ、∠Ｃ平分线ＢＥ、ＣＦ，设它们交于点I； ②确定一个切点：过点Ｉ作ＩＤ⊥ＢＣ于点Ｄ； ③确定其他切点：以点Ｉ为圆心、ＩＤ为半径作⊙Ｉ． 则⊙Ｉ即为所作△ABC的内切圆 【即学即练3】尺规作图：已知，如图，求作：的内切圆（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】根据角的平分线的交点是内切圆的圆心，作图如下： 则即为所求． ·三角形的内切圆面积的表示方法：的内切圆与交于点D、E、F，连接OD、OF、OE，根据切线长定理与切线的性质，可知OD⊥AB、OF⊥AC、OE⊥BC 因此可以用两种方式表示的面积： ①直接求；②分割成三个高相等、底分别为三条边的三个三角形求面积和 ①；② 应用：根据三角形的内切圆运用等面积法求内切圆的半径： 【题型一：根据三角形的内切圆的性质进行角度转化】 例1．（2024·安徽合肥·一模）如图，在中，，是的内切圆，M，N，K是切点，连接，．交于E，D两点．点F是上的一点，连接，，则的度数是 ． 【答案】/62.5度 【知识点】三角形内角和定理的应用、圆周角定理、三角形内心有关应用 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内心的性质，三角形内角和定理，先根据三角形内心的性质得，，进而求出，即可求出，然后根据圆周角定理得出答案． 【详解】∵是的内切圆， ∴，是的角平分线， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 变式1.（22-23九年级上·安徽芜湖·阶段练习）已知，点为的外心，点为的内心． （1）若，则 ； （2）若，则 ． 【答案】 /100度 /125度 【知识点】三角形内切圆与外接圆综合、判断三角形外接圆的圆心位置、三角形内心有关应用 【分析】（1）如图，证明；求出，进而求出即可解决问题； （2）根据圆周角定理得到，根据三角形的内心的性质得到平分平分，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：（1）如图，的内心为点， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，点为的外心， ， ， 点为的内心， 平分平分， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心、外接圆与外心，掌握圆周角定理、三角形的内心的概念和性质是解题的关键． 【题型二：根据三角形内切圆的性质求内切圆的半径】 例2．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图，在小正方形的边长均为1的正方形网格中，点A、B、C都是格点． (1)在图中仅用无刻度的直尺作的平分线； (2)连接，求内切圆的半径． 【答案】(1)图形见解析； (2)． 【知识点】一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系、勾股定理与网格问题、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）取的中点P，作射线，即可； （2）由（1）得：为等腰三角形，，可得内切圆的圆心在上，，在上取内切圆的圆心O，连接，过点O作于点D，则的长为内切圆的半径，证明，可得，，设内切圆的半径为r，则，可得，在中，根据勾股定理，求出r，即可求解． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； 理由：∴，，． ∴， ∴为等腰三角形， 由作法得：， ∴平分； （2）解：由（1）得：为等腰三角形，， ∵平分， ∴内切圆的圆心在上，． 如图，在上取内切圆的圆心O，连接，过点O作于点D，则的长为内切圆的半径， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 设内切圆的半径为r，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即内切圆的半径为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的内切圆，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的内切圆的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 例3．（21-22九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，圆是的内切圆，其中，，求其内切圆的半径． 【答案】． 【知识点】用勾股定理解三角形、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】过B作BD⊥AC于D，切点分别为E、F、G，连结OE，OF，OG，根据勾股定理BD=，根据△ABC面积两种求法列等式得出即可． 【详解】解：过B作BD⊥AC于D，切点分别为E、F、G，连结OE，OF，OG， 设AD=x，CD=8-x, 其内切圆的半径为r， 根据勾股定理，即， 解方程得， ∴BD=， ∵圆是的内切圆， ∴OE⊥AC，OF⊥AB，OG⊥BC，OE=OF=OG=r， ∴S△ABC=， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形内切圆的性质，勾股定理，三角形面积，掌握三角形内切圆的性质，勾股定理，三角形面积公式是解题关键． 变式3.如图，已知，是的内切圆，切点分别为，，． （）若，，，则的半径为 ； （）若的半径为，的面积为，且，则 ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、应用切线长定理求解 【分析】（）连接，由，利用等面积法即可求解； （）利用等面积法求出三角形的周长，再根据切线长定理进行转换即可求解； 本题考查了三角形的内切圆与内心，解直角三角形，切线长定理，解题的关键是作出辅助线，利用三角形等面积法进行求解． 【详解】解：（）连接， ∵是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∵，，， ∴，， ∴，， 设的半径为，则， ∵， ∴， 即， 解得， 故答案为：； （）∵的面积为， ∴， ∴即， ∴， ∵是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∴， ， ， ， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 【方法技巧与总结】①等面积法；②切线长定理；③解三角形。 【题型三：辅助圆求最值】 例4．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，分别经过原点O和点的动直线a，b，其夹角，点M是中点，连接，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、求一点到圆上点距离的最值、三角形内切圆与外接圆综合 【分析】作的外接圆，连接，取的中点Q，连接，证明是等边三角形，求出，得到点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出，当M在与的交点时，连接交于M，此时有最小值，根据等边三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：作的外接圆，连接，取的中点Q，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出， 当M在与的交点时，连接交于M，此时有最小值， ∵是等边三角形，， ∴， ∵，， ∴． ∴的最小值是， 故选：C． 【点睛】本题考查坐标与图形，点到圆上的距离，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线构造三角形外接圆是解题的关键． 例5．（2024·安徽池州·二模）在中，，，、是的两条角平分线，分别交、于点、，且、交于点，过点作于点，则的最大值为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【知识点】解直角三角形的相关计算、三角形内切圆与外接圆综合、圆周角定理、垂径定理的推论 【分析】由P为两条角平分线的交点，得出P为的内心，进而可证出，过作，连，，作交于点H，利用圆周角定理和垂径定理可得的值，然后可得A点到的距离最大值是6，进而即可得解． 【详解】∵P为两条角平分线的交点， ∴P为的内心， ∴， 如图，过点作交点M， ∴在中，， ∴， 如图，过作，连，，作交于点H， ∵所对的圆周角为，圆心角为， ∴， ∵，， ∴，， ∴在中，， ∴是个定值， 又∵， ∴当三点共线时，A点到的距离最大值是6， ∴的最大值是6， ∴， ∴，即的最大值为2， 故选：B． 【点晴】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的内切圆，外接圆，三角函数等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【方法技巧与总结】①根据条件作辅助圆：三角形的内切圆或外接圆；②根据轴对称的性质转化线段关系，利用三点共线求线段和的最值或求一点到圆上点距离的最值；③利用相似、锐角三角函数值解三角形。 【题型四：三角形的内心与外心】 例6．（23-24九年级下·安徽合肥·期中）下面就是欧拉发现的一个定理：在中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则．若的外接圆的半径为，内切圆的半径为，则的外心与内心之间的距离为 ． 【答案】 【知识点】三角形内心有关应用、 三角形外接圆的说法辨析 【分析】本题考三角形的内心与外心，理解题意是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，， ∴的外心与内心之间的距离， 故答案为：． 【题型五：三角形的内心、外心与圆综合】 例7．（2024·安徽合肥·一模）如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的一点，是的内心，的延长线交半圆于点，连结． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、三角形内心有关应用、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角三角性的判定和性质，三角形的内心等知识： （1）根据是半圆的直径，可得，从而得到，进而得到，即可求证； （2）过点O作于点E，可得，从而得到，进而得到，可得到，，再证得是等腰直角三角形，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的内心， ∴是的角平分线， ∴， ∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点O作于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 例8．（2023九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，O是内心，点E，F都在大边上，已知．    (1)求证：O是的外心； (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2)的度数是 【知识点】 三角形外接圆的说法辨析、三角形内心有关应用 【分析】 （1）连接，证，推出即可； （2）根据三角形的内角和定理求出，再根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】（1） 证明：连接，    ∵O是的内心， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴O是的外心； （2） 解：∵O是的外心， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理， ∴ ， 答：的度数是． 【点睛】 本题主要考查对三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 例9.如图，为的外接圆，是的中点，接交于点，延长至点，使得平分． (1)求证：直线是的切线． (2)若的半径为，，求的长． (3)在（）的前提下，点在上，的内心在边上，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【知识点】三角形内心有关应用、证明某直线是圆的切线、圆周角定理、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】（）连接，由是的中点，可推导出垂直平分，进而得到，由得到，又根据三角形外角性质可得，结合平分即可得到，即可求证； （）由垂直平分得到，，利用勾股定理求出，得到的长，再利用勾股定理即可求出的长； （）连接，由点为的内心，得到，，进而得到，，利用角的关系可得到，即可得到． 【详解】（1）解：连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， ， ， ， ∴， ∴直线是的切线； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵点为的内心， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，线段垂直平分线的判定和性质，弧、弦、圆心角之间的关系，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，圆周角定理，勾股定理，掌握这些性质定理是解题的关键． 1．（2024·安徽合肥·一模）如图，在中，，是的内心，连接、，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内心有关应用、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理， 求出，得，根据三角形内角和定理求出即可．熟练掌握三角形内角和定理的运用是关键． 【详解】解：为的内心， ，， ， ， ， 即， ． 故选：． 2．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为．若，，则的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】三角形内心有关应用、应用切线长定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查切线长定理、三角形的内接圆及勾股定理，根据切线长定理得到，，，代入求解即可得到答案，解题的关键是理解切线长定理、三角形的内接圆的性质． 【详解】解：设半径为， 在四边形中，， 四边形为矩形． 又因为， 四边形为正方形． 则， 由切线长定理易知：，， ， 在中，， ． 整理，得：， 解得（负值舍去）， 故答案为：B． 3.（2024九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) (2)1 【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心、切线的性质、三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）由切线的性质可得，由四边形内角和定理和直角三角形的性质可求解； （2）由三角形面积的和差关系列出等式计算即可解答． 【详解】（1）解：，是的切线， ， 又， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接，，，， ，，是的切线， ，，， ，，， ， ， ， ． ， 的半径为1． 4．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：； (2)如果，于．求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、判断三角形外接圆的圆心位置、三角形内心有关应用 【分析】本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的外接圆和外心，全等三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键． （1）根据圆周角定理和角平分线的定义得到，然后根据等角对等边即可得到结论； （2）先求得，证明，然后证明，再根据全等三角形的对应边相等得到结论． 【详解】（1）连接， ∵点是的内心， ． ． ． （2）连接交于，连接． 同（1）得 点在线段的垂直平分线上． 又点在的垂直平分线上 垂直平分，即：，且． ． ． 5.（2024·安徽六安·模拟预测）已知是等边三角形，点O是的内心，E，F分别是和边上的点，且，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分交于点D，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，当点E，F分别位于和的延长线上时，请探究线段，和D之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)，理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、三角形内心有关应用 【分析】（1）三角形内心得，则，且，即可证明； （2）由（1）可知，则和．结合角平分的性质证得，有，结合即可； （3）由等边三角形的内心的，则和．即可证明，有和．结合角平分线得，有，结合即可证明． 【详解】（1）证明：是等边三角形，点O是的内心， ， ，． ， ， ，即． 在和中， ． （2）证明：由（1）可知， ，． 平分， ． 在和中， ， ． ， ． （3）解：． 理由：是等边三角形，点O是的内心， ， ，，． ， ， ，即． 在和中， ， ，． 平分， ． 在和中， ， ． ， ． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、三角形的内心、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质和角平分线的性质，解题的关键是熟悉三角形的内心和全等的性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$