4.6相似多边形（7大题型提分练）数学浙教版九年级上册

（浙教版）九年级数学上册《第4章 相似三角形》 4.6 相似多边形 知识点一 相似多边形的概念 ◆1、相似多边形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形. 【注意】两个多边形相似，必须同时具备三个条件： (1)边数相同； (2)角分别相等； (3)边成比例. ◆2、相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 【注意】当用符号“∽”表示两个多边形相似时，要把对应顶点的字母写在对应位置上. ◆3、图形的相似：一般地，由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中保持形状不变（大小可以改变），这样的图形改变叫做图形的相似．当两个相似多边形的相似比为1时，这两个多边形全等. 知识点二 相似多边形的性质 性质1：相似多边形的对应角相等，对应边成比例； 性质2：相似多边形的周长之比等于相似比. 性质3：相似多边形的面积之比等于相似比的平方. 、 题型一 相似图形 1．（2023秋•滑县期末）下面几对图形中，相似的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•青阳县期末）下列各组图形一定相似的是（　　） A．所有等腰三角形都相似 B．所有等边三角形都相似 C．所有菱形都相似 D．所有矩形都相似 3．（2023秋•衡南县期末）下列四组图形中，不是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•辽中区期末）下列说法不一定正确的是（　　） A．所有的等边三角形都相似 B．有一个角是100°的等腰三角形相似 C．所有的正方形都相似 D．所有的矩形都相似 5．（2023秋•霍邱县期末）下列每个选项中的两个图形一定相似的是（　　） A．两个等腰三角形 B．两个正五边形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 6．（2023秋•富川县校级期末）下列说法错误的是（　　） A．任意两个矩形都相似 B．任意两个正六边形都相似 C．任意两个正方形都相似 D．有一个角对应相等的菱形相似 题型二 利用相似多边形的性质求角度 1．（2023秋•铁西区期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，则下列结论正确的是（　　） A．∠D＝81° B．∠F＝85° C．∠G＝79° D．∠H＝80° 2．（2024春•江岸区校级月考）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，α＝　 ． 3．（2023秋•新化县期末）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠D′的度数为 　 　． 4．（2023秋•新城区校级期中）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H的度数为 　 　°． 5．（2023秋•简阳市期中）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠A的度数是 　 　°． 题型三 利用相似多边形的性质求线段长 1．（2023秋•锦江区校级月考）若四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，且AB：A′B′＝3：5，已知B′C′＝15，则BC的长是（　　） A．25 B．9 C．20 D．15 2．（2024春•任城区校级期末）一个四边形ABCD各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形A1B1C1D1最短边为8．则四边形A1B1C1D1的最长边长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．20 3．（2024•凉州区一模）如图，已知矩形ABCD∽矩形BCFE，AE＝4，EB＝1，则BC的长为 　 ． 4．（2024•凉州区一模）五边形ABCDE～五边形A′B′C′D'E′相似比为1：3．若AB＝2，则A′B′＝　 　． 5．（2024秋•秦都区校级月考）如图，已知五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似且相似比为3：4，CD＝1.2cm．则C′D′的长为 　 cm． 6．（2023秋•沙坡头区校级期中）图中的两个四边形相似，则x+y＝　 ． 7．（2024秋•二七区校级月考）如图，矩形ABCD的边AB＝2，点E、F分别在边BC、AD上，且四边形ABEF为正方形．若矩形CDFE与矩形ABCD相似，则AD的长为 　 　． 8．（2023秋•西安期中）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，在它的左侧补一个矩形ABFE，使得新矩形EFCD∽矩形AEFB，求AE的长． 题型四 利用相似多边形的性质求周长或面积 1．（2024•红桥区模拟）若两个相似多边形的面积之比为1：3，则它们的相似比为（　　） A．1： B．1：3 C．1：6 D．1：9 2．（2023秋•遂宁期末）两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 3．（2023秋•商南县校级期末）已知两个相似四边形的相似比是1：2，较小四边形的周长为6，则较大四边形的周长为（　　） A．6 B．12 C．24 D．36 4．（2024春•桓台县期末）两个相似多边形的周长之比为1：4，则它们的面积之比为（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 5．（2023秋•会宁县校级期末）已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为18cm，则较大多边形的周长为（　　） A．24cm B．27cm C．28cm D．32cm 6．（2023秋•河北期末）如图，小康利用复印机将一张长为5cm，宽为3cm的矩形图片放大，其中放大后的长为10cm，则放大后的矩形的面积为（　　） A．60cm2 B．58cm2 C．56cm2 D．50cm2 7．（2024秋•海曙区校级月考）若四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的相似比为，且两个四边形的面积和为91，则四边形ABCD的面积是 　 　． 8．（2023秋•榆阳区期中）如图，把一个矩形剪去一个边长和它的宽相等的正方形，若剩下的矩形与原矩形相似． （1）求原矩形的长和宽的比． （2）若AB＝4，求矩形ABCD的面积． 题型五 利用相似多边形的性质求线段比 1．（2024•张北县校级开学）如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形ABCD和四边形EFGH的相似比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1 2．（2024秋•鼓楼区校级月考）如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝a，宽BC＝b，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD与矩形ABCD相似，则a：b等于（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•长阳县校级期中）把矩形ABCD对折，折痕为MN，且矩形DMNC与矩形ABCD相似，则矩形ABCD的长AD与宽AB的比为（　　） A．1： B．1： C．：1 D．：1 4．（2024•龙岩模拟）如图，矩形ABCD，小福在矩形左边分割出正方形ABEF，然后小龙在右边矩形FECD的一组对边EF，CD上分别取中点M，N分割出矩形FMND和矩形MECN，最后小马把矩形FMND半分割成矩形FMHG和矩形GHND，若矩形GHND与矩形ABCD相似，则矩形ABCD的宽与长的比（　　） A． B． C． D． 5．（2024春•威海期末）如图1是古希腊时期的巴台农神庙（ParthenomTemple），把图1中用虚线表示的矩形画成图2矩形ABCD，当以矩形ABCD的宽AB为边作正方形ABEF时，惊奇地发现矩形CDFE与矩形ABCD相似，则等于（　　） A． B． C． D． 6．（2023秋•鄞州区期末）如图，矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形AFED与原矩形ABCD相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 　 　． 7．（2023秋•镇海区期末）如图，把一个大长方形ABCD划分成三个全等的小长方形，若每一个小长方形均与大长方形ABCD相似，则AD：CD的值为 　 　． 题型六 相似多边形的判定 1．（2023秋•曲阳县期末）如图，有甲，乙、丙三个矩形，其中相似的是（　　） A．甲与丙 B．甲与乙 C．乙与丙 D．三个矩形都不相似 2．（2023秋•庐江县期末）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，下列四个矩形中与矩形ABCD相似的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•石家庄期中）已知矩形的长与宽分别为4和3，下列矩形与它相似的是（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•虹口区期末）如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024•海门区校级模拟）如图所示，判断四边形ABCD与四边形EFGH是否相似，请说明理由． 6．（2023•库尔勒市校级模拟）我们知道，如果两个四边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个四边形叫做相似四边形．仅有对应角相等的两个四边形不一定相似，如正方形与两邻边长为1和2的矩形就不是相似四边形． （1）仅有对应边成比例的两个四边形 　 　相似（填“一定”、“不一定”或“一定不”）； （2）如图，在四边形ABCD和四边形A'B'C'D'中，∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，， 求证：四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'． 题型七 相似多边形的性质与判定的综合 1．（2023秋•滨江区期末）如图，把一个矩形ABCD划分成三个全等的小矩形． （1）若原矩形ABCD的长AB＝6，宽BC＝4．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由． （2）若原矩形的长AB＝a，宽BC＝b，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长a与宽b应满足的关系式． 2．（2023秋•西安校级月考）如图在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，E、F分别是AB、CD上的点，且AE＝DF＝8，两动点M、N都以2cm/s的速度分别从C、F两点沿CB、FE向B、E两点运动，判断当M、N运动多长时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，并证明你的结论． 3．（2023秋•海曙区校级月考）已知，矩形的一组邻边长分别为6和a，画一线段把它分割成两个矩形，若这两个矩形相似，且其中一个矩形有一边长为4，求a的值． 4．（2023春•鄂州期中）书籍和纸张的长与宽比值都有固定的尺寸，如常用的A3、A4、A5的纸张长与宽的比值都相等．一长方形纸张对折后的小长方形的长与宽的比值与原长方形的长与宽的比值相等． （1）求满足这样条件的长方形的长与宽的比值； （2）如图所示的长方形ABCD长与宽之比也满足以上条件，其中宽AB＝2．点P是AD上一点，将△BPA沿BP折叠得到△BPE，当BE垂直AC时，求AP的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）九年级数学上册《第4章 相似三角形》 4.6 相似多边形 知识点一 相似多边形的概念 ◆1、相似多边形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形. 【注意】两个多边形相似，必须同时具备三个条件： (1)边数相同； (2)角分别相等； (3)边成比例. ◆2、相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 【注意】当用符号“∽”表示两个多边形相似时，要把对应顶点的字母写在对应位置上. ◆3、图形的相似：一般地，由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中保持形状不变（大小可以改变），这样的图形改变叫做图形的相似．当两个相似多边形的相似比为1时，这两个多边形全等. 知识点二 相似多边形的性质 性质1：相似多边形的对应角相等，对应边成比例； 性质2：相似多边形的周长之比等于相似比. 性质3：相似多边形的面积之比等于相似比的平方. 题型一 相似图形 1．（2023秋•滑县期末）下面几对图形中，相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据形状相同对应角相等、对应边成比例的图形为相似图形，对各组图形逐一进行分析，即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：C选项为相似图形， 故选：C． 【点评】本题主要考查的是相似图形的判断，掌握相似图形的概念及特征是解决此题的关键． 2．（2023秋•青阳县期末）下列各组图形一定相似的是（　　） A．所有等腰三角形都相似 B．所有等边三角形都相似 C．所有菱形都相似 D．所有矩形都相似 【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可． 【解答】解：任意两个等腰三角形的对应边不一定成比例，不一定相似，A错误； 任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例，一定相似，B正确； 任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，C错误； 任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，D错误； 故选：B． 【点评】本题考查的是相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键． 3．（2023秋•衡南县期末）下列四组图形中，不是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【解答】解：A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是相似形的定义，是基础题． 4．（2023秋•辽中区期末）下列说法不一定正确的是（　　） A．所有的等边三角形都相似 B．有一个角是100°的等腰三角形相似 C．所有的正方形都相似 D．所有的矩形都相似 【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，选出正确答案． 【解答】解：A、所有的等边三角形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确； B、有一个角是100°的等腰三角形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确； C、所有的正方形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确； D、所有的矩形，属于不唯一确定图形，不一定相似，故错误． 故选：D． 【点评】本题考查的是相似形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同． 5．（2023秋•霍邱县期末）下列每个选项中的两个图形一定相似的是（　　） A．两个等腰三角形 B．两个正五边形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 【分析】根据图形相似的判定判断．如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形相似．选项中只有B符合． 【解答】解：A、两个等边三角形相似，但是两个等腰三角形并不一定相似，三个角度没有确定，故A不正确； B、两个正五边形角度相等，放大缩小后可以完全重合，两图形相似，故B正确； C、两个正方形相似，两个矩形虽然角度相等，但是边不一定对应成比例，故不一定相似，故C不正确； D、两个平行四边形对应角度不一定相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似，故D不正确． 故选：B． 【点评】本题考查了相似图形的判定，严格根据定义，可以得出答案． 6．（2023秋•富川县校级期末）下列说法错误的是（　　） A．任意两个矩形都相似 B．任意两个正六边形都相似 C．任意两个正方形都相似 D．有一个角对应相等的菱形相似 【分析】根据相似图形的定义，对应的角相等，对应边的比相等对每个命题进行判断． 【解答】解：A、任意两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定成比例，所以不一定相似，符合题意； B、任意两个正六边形的对应角都是60°，对应边的比成比例，所以一定相似，不符合题意； C、任意两个正方形的对应角都是90°，对应边的比成比例，所以一定相似，不符合题意； D、一个角对应相等的两个菱形满足满足四个角分别对应相等，四条边对应成比例，所以一定相似，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查的是相似图形的判定，掌握相似多边形各自的判定方法是解题的关键． 题型二 利用相似多边形的性质求角度 1．（2023秋•铁西区期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，则下列结论正确的是（　　） A．∠D＝81° B．∠F＝85° C．∠G＝79° D．∠H＝80° 【分析】直接利用相似多边形的性质得出对应角相等进而得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似， ∴∠B＝∠F＝79°，∠A＝∠E＝116°，∠C＝∠G＝85°， ∴∠D＝∠H＝360°﹣79°﹣116°﹣85°＝80°． 故选：D． 【点评】此题主要考查了相似多边形的性质，正确得出对应角相等是解题关键． 2．（2024春•江岸区校级月考）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，α＝　 ． 【分析】根据相似多边形的性质得出∠A′＝∠A＝62°，∠B′＝∠B＝75°，再由四边形的内角和等于360°即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴∠A′＝∠A＝62°，∠B′＝∠B＝75°， ∵∠D′＝140°， ∴α＝360°﹣140°﹣62°﹣75°＝83°． 故答案为：83°． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应角相等是解题的关键． 3．（2023秋•新化县期末）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠D′的度数为 　 　． 【分析】利用相似多边形的性质以及四边形的内角和定理求解． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′＝102°， ∴∠D′＝360′﹣102°﹣90°﹣120°＝48°． 故答案为：48°． 【点评】本题考查相似多边形的性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是掌握相似多边形的性质． 4．（2023秋•新城区校级期中）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H的度数为 　 　°． 【分析】根据相似多边形的对应角相等得出∠B＝∠F＝70°，再根据四边形内角和即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠F＝70°， ∴∠B＝∠F＝70°， ∴∠H＝∠D＝360°﹣70°﹣80°﹣90°＝120°， 故答案为：120． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 5．（2023秋•简阳市期中）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠A的度数是 　 　°． 【分析】根据相似多边形的定义求出∠D＝130°，进而根据四边形的内角和求出∠A即可． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴∠D＝∠D′＝130°， ∴∠A＝360°﹣60°﹣75°﹣130°＝95°． 故答案为：95． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等． 题型三 利用相似多边形的性质求线段长 1．（2023秋•锦江区校级月考）若四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，且AB：A′B′＝3：5，已知B′C′＝15，则BC的长是（　　） A．25 B．9 C．20 D．15 【分析】由相似多边形的性质推出AB：A′B′＝BC：B′C′，代入有关数据，即可求出BC的值． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴AB：A′B′＝BC：B′C′， ∵AB：A′B′＝3：5，B′C′＝15， ∴BC＝9． 故选：B． 【点评】本题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例． 2．（2024春•任城区校级期末）一个四边形ABCD各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形A1B1C1D1最短边为8．则四边形A1B1C1D1的最长边长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．20 【分析】设四边形A1B1C1D1最长边长为x，根据相似多边形的性质列得2：8＝5：x，从而求出x． 【解答】解：设四边形A1B1C1D1最长边长为x， ∵四边形ABCD相似四边形A1B1C1D1， ∴2：8＝5：x， 解得x＝20， 故选：D． 【点评】考查了相似多边形的性质，理解并掌握相似多边形的性质是解题的关键． 3．（2024•凉州区一模）如图，已知矩形ABCD∽矩形BCFE，AE＝4，EB＝1，则BC的长为 　 ． 【分析】先根据矩形的性质得到AD＝EF＝BC，再求出AB＝AE+BE＝5，最后根据相似多边形对应边成比例得到，据此代值计算即可． 【解答】解∵四边形ABCD和四边形BCFE都是矩形， ∴AD＝BC，EF＝BC， ∴AD＝EF＝BC， ∵AE＝4，EB＝1， ∴AB＝AE+BE＝5， ∵矩形ABCD∽矩形BCFE， ∴，即， ∴（负值舍去）， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质． 4．（2024•凉州区一模）五边形ABCDE～五边形A′B′C′D'E′相似比为1：3．若AB＝2，则A′B′＝　 　． 【分析】利用相似五边形的对应边之比等于相似比求解即可． 【解答】解：∵五边形ABCDE～五边形A′B′C′D'E′相似比为1：3． ∴， ∵AB＝2， ∴A′B′＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应边的比即为相似比是解本题的关键． 5．（2024秋•秦都区校级月考）如图，已知五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似且相似比为3：4，CD＝1.2cm．则C′D′的长为 　 cm． 【分析】根据题意，相似比为3：4，则，即可． 【解答】解：∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似，且相似比为3：4，CD＝1.2cm， ∴， ∴C′D′＝1.6cm， 故答案为：1.6． 【点评】本题考查相似多边形的知识，解题的关键是掌握相似多边形的性质． 6．（2023秋•沙坡头区校级期中）图中的两个四边形相似，则x+y＝　 ． 【分析】根据相似多边形的性质：对应边成比例即可求解． 【解答】解：由于两个四边形相似，它们的对应边成比例， 所以 18：4＝x：8＝y：6， 解得x＝36，y＝27， 则x+y＝36+27＝63． 故答案为：63． 【点评】本题考查相似多边形的性质．掌握相似多边形对应边成比例是解题的关键． 7．（2024秋•二七区校级月考）如图，矩形ABCD的边AB＝2，点E、F分别在边BC、AD上，且四边形ABEF为正方形．若矩形CDFE与矩形ABCD相似，则AD的长为 　 　． 【分析】根据正方形的性质，矩形的性质，相似多边形的性质列出比例式，计算即可． 【解答】解：∵四边形ABEF为正方形， ∵AB＝AF＝EF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝2， ∵矩形CDFE∽矩形ADCB， ∴，即， 整理得，AD2﹣2AD﹣4＝0， 解得，AD1＝1（舍去），AD2＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键． 8．（2023秋•西安期中）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，在它的左侧补一个矩形ABFE，使得新矩形EFCD∽矩形AEFB，求AE的长． 【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD＝2，从而根据矩形的性质可得EF＝AB＝2，然后利用相似多边形的性质可得，进行计算即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形， ∴AB＝AD＝2， ∵四边形EFBA是矩形， ∴EF＝AB＝2， ∵矩形EFCD∽矩形AEFB， ∴， ∴， 解得：AE1或AE1（舍去）， ∴AE的长为1． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 题型四 利用相似多边形的性质求周长或面积 1．（2024•红桥区模拟）若两个相似多边形的面积之比为1：3，则它们的相似比为（　　） A．1： B．1：3 C．1：6 D．1：9 【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方解答． 【解答】解：∵两个相似多边形的面积之比为1：3， ∴两个相似多边形的相似比为1：． 故选：A． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的面积之比等于相似比的平方． 2．（2023秋•遂宁期末）两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 【分析】根据相似多边形的性质求出相似比，根据相似多边形的性质求出周长比． 【解答】解：∵两个相似多边形的面积之比是1：4， ∴这两个相似多边形的相似比是1：2， 则这两个相似多边形的周长之比是1：2， 故选：A． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 3．（2023秋•商南县校级期末）已知两个相似四边形的相似比是1：2，较小四边形的周长为6，则较大四边形的周长为（　　） A．6 B．12 C．24 D．36 【分析】相似三角形的周长之比等于相似比． 【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是1：2， ∴它们的周长之比也是1：2， ∵较小三角形的周长为6cm， ∴较大的三角形的周长为2×6＝×12（cm）． 故选：B． 【点评】本题考查对相似三角形性质：（1）相似三角形周长的比等于相似比； （2）相似三角形面积的比等于相似比的平方； （3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 4．（2024春•桓台县期末）两个相似多边形的周长之比为1：4，则它们的面积之比为（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算． 【解答】解：相似多边形的周长的比是1：4， 周长的比等于相似比，因而相似比是1：4， 面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为1：16； 故选：D． 【点评】本题考查相似多边形的性质；熟记相似多边形的性质是关键． 5．（2023秋•会宁县校级期末）已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为18cm，则较大多边形的周长为（　　） A．24cm B．27cm C．28cm D．32cm 【分析】根据相似多边形面积之比等于相似比的平方求出相似比，根据相似多边形周长之比等于相似比去周长比，列式计算即可． 【解答】解：两个相似多边形的面积比是9：16， ∴两个相似多边形的相似比是3：4， ∴两个相似多边形的周长比是3：4， 设较大多边形的周长为为xcm， 由题意得，18：x＝3：4， 解得，x＝24， 故选：A． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 6．（2023秋•河北期末）如图，小康利用复印机将一张长为5cm，宽为3cm的矩形图片放大，其中放大后的长为10cm，则放大后的矩形的面积为（　　） A．60cm2 B．58cm2 C．56cm2 D．50cm2 【分析】由相似多边形的对应边成比例，即可求解． 【解答】解：设放大后的宽是x cm， ∵放大前后的两个矩形相似， ∴5：10＝3：x， ∴x＝6， ∴放大后的宽是6cm， 放大后的矩形的面积＝10×6＝60（cm2）． 故选：A． 【点评】本题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形的性质． 7．（2024秋•海曙区校级月考）若四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的相似比为，且两个四边形的面积和为91，则四边形ABCD的面积是 　 　． 【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，得到四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积比为，设四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积分别为4k，9k，根据两个四边形的面积和为91，列出方程进行求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的相似比为， ∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积比为， 设四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积分别为4k，9k， 则：4k+9k＝91， 13k＝91， k， k＝7， ∴四边形ABCD的面积为4×7＝28； 故答案为：28． 【点评】本题考查相似多边形，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 8．（2023秋•榆阳区期中）如图，把一个矩形剪去一个边长和它的宽相等的正方形，若剩下的矩形与原矩形相似． （1）求原矩形的长和宽的比． （2）若AB＝4，求矩形ABCD的面积． 【分析】（1）设原矩形的长边是a，短边是b，根据原矩形的长：宽＝剩下矩形的长：宽，可列出a2﹣ab﹣b2＝0，用公式法解关于a的方程，即可得出结论； （2）根据（1）中结论和相似多边形的性质，棵求出AD的长，再利用矩形的面积公式，即可求出矩形ABCD的面积． 【解答】解：（1）设原矩形的长边是a，短边是b，那么剪去的正方形的边长是b，剩下的矩形的长边是b，短边是a﹣b， 根据题意得：a：b＝b：（a﹣b）， ∴a2﹣ab﹣b2＝0， 用公式法解关于a的方程得：a1b，a2b（不符合题意，舍去）， ∴原矩形的长和宽的比为； （2）由（1）得：， ∵AB＝4， ∴， ∴． 【点评】本题考查相似多边形的性质、矩形的性质、正方形的性质以及公式法解一元二次方程，掌握相似多边形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． 题型五 利用相似多边形的性质求线段比 1．（2024•张北县校级开学）如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形ABCD和四边形EFGH的相似比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1 【分析】利用勾股定理求出两个四边形对应边的边长，可得，据此可得答案． 【解答】解：由题意得，，，，AB＝8，，，，EF＝4， ∴， ∴四边形ABCD和四边形EFGH的相似比是2：1， 故选：C． 【点评】本题主要考查了相似多边形的性质与判定，利用勾股定理求出两个四边形对应边的边长是解题的关键． 2．（2024秋•鼓楼区校级月考）如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝a，宽BC＝b，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD与矩形ABCD相似，则a：b等于（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，得b：a：b，根据比例的基本性质，得a2＝2b2．则可求得ab，故a：b可求． 【解答】解：∵b：a：b， ∴a2＝2b2， ∴ab， 则a：b：1． 故选：A． 【点评】本题考查相似多边形的性质，矩形的性质，根据题意正确写出比例式是关键． 3．（2023秋•长阳县校级期中）把矩形ABCD对折，折痕为MN，且矩形DMNC与矩形ABCD相似，则矩形ABCD的长AD与宽AB的比为（　　） A．1： B．1： C．：1 D．：1 【分析】设矩形ABCD的长AD＝x，宽AB＝y，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得． 【解答】解：设矩形ABCD的长AD＝x，宽AB＝y，则DMADx． ∵矩形DMNC与矩形ABCD相似． ∴，即 即y2x2． ∴x：y：1．故选D． 【点评】本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键． 4．（2024•龙岩模拟）如图，矩形ABCD，小福在矩形左边分割出正方形ABEF，然后小龙在右边矩形FECD的一组对边EF，CD上分别取中点M，N分割出矩形FMND和矩形MECN，最后小马把矩形FMND半分割成矩形FMHG和矩形GHND，若矩形GHND与矩形ABCD相似，则矩形ABCD的宽与长的比（　　） A． B． C． D． 【分析】设FG＝DG＝a，DN＝CN＝b，由矩形GHND与矩形ABCD相似得，求出，解方程得，先求出，进而可求出． 【解答】解：由题意得，AB＝EF＝CD，FG＝DG，DN＝CN． 设FG＝DG＝a，DN＝CN＝b， 则FD＝2a，AB＝EF＝CD＝2b， ∵ABEF是正方形， ∴AF＝AB＝2b， ∴AD＝2a+2b． ∵矩形GHND与矩形ABCD相似， ∴， ∴， ∴a2+ab﹣b2＝0， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的性质，相似多边形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 5．（2024春•威海期末）如图1是古希腊时期的巴台农神庙（ParthenomTemple），把图1中用虚线表示的矩形画成图2矩形ABCD，当以矩形ABCD的宽AB为边作正方形ABEF时，惊奇地发现矩形CDFE与矩形ABCD相似，则等于（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正方形的性质可得BE＝AB，再根据矩形的性质可得AB＝CD，从而可得BE＝CD，然后利用相似多边形的性质可得，从而可得，进而可得点E是BC的黄金分割点，然后根据黄金分割的定义可得，从而进行计算即可解答． 【解答】解：∵四边形ABEF是正方形， ∴BE＝AB， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD， ∴BE＝CD， ∵矩形CDFE与矩形ABCD相似， ∴， ∴， ∴点E是BC的黄金分割点， ∴， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，正方形的性质，黄金分割，熟练掌握相似多边形的性质，以及黄金分割的定义是解题的关键． 6．（2023秋•鄞州区期末）如图，矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形AFED与原矩形ABCD相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 　 　． 【分析】设AF＝a，AD＝b，根据矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，可得EC＝2a，NCb，矩形AFED与原矩形ABCD相似列出比例式即可解答． 【解答】解：设AF＝a，AD＝b， ∵矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形， ∴EC＝2a，NCb， ∴CD＝3a， ∵矩形AFED∽矩形ABCD， ∴， 即， ∴ba， ∴原矩形的较长边与较短边的比值为：． 故答案为：． 【点评】本题考查相似多边形的性质，解答本题的关键是掌握相似图形的性质． 7．（2023秋•镇海区期末）如图，把一个大长方形ABCD划分成三个全等的小长方形，若每一个小长方形均与大长方形ABCD相似，则AD：CD的值为 　 　． 【分析】根据题意可得，矩形ADCB∽矩形DEFA，然后利用相似多边形的性质可得，从而可得，进行计算即可解答． 【解答】解：如图： 由题意得：，矩形ADCB∽矩形DEFA， ∴， ∴， ∴， ∴AD2：CD2＝1：3， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 题型六 相似多边形的判定 1．（2023秋•曲阳县期末）如图，有甲，乙、丙三个矩形，其中相似的是（　　） A．甲与丙 B．甲与乙 C．乙与丙 D．三个矩形都不相似 【分析】如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答． 【解答】解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为2：3，1.5：2＝3：4，2：3， ∴甲和丙相似， 故选：A． 【点评】本题主要考查相似多边形的概念，一定要考虑对应角相等，对应边成比例． 2．（2023秋•庐江县期末）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，下列四个矩形中与矩形ABCD相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用相似多边形对应边的比相等，即可找出结论． 【解答】解：∵2， ∴A选项中的矩形与矩形ABCD相似． 故选：A． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，牢记“相似多边形对应边的比相等”是解题的关键． 3．（2023秋•石家庄期中）已知矩形的长与宽分别为4和3，下列矩形与它相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似图形的定义：所有的对应边对应成比例，所有的对应角相等，进行判断即可． 【解答】解：因为矩形的所有内角均为90°， ∴所有矩形的对应角均相等， ∴当两个矩形相似时，长比长等于宽比宽， ∴满足题意的只有C选项， 故选：C． 【点评】本题考查相似图形．熟练掌握相似图形的定义，是解题的关键． 4．（2023秋•虹口区期末）如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】如果两个四边形的四条边对应成比例，且四个角对应相等，那么这两个四边形相似，据此求解即可． 【解答】解：设每个小正方形的边长为1， 则已知四边形的四条边分别为1，，2，． 选项A中的四边形的四条边分别为，2，2，，两个四边形的四条边对应不成比例，不符合题意； 选项B中的四边形的四条边分别为2，，，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项B中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意； 选项C中的四边形的四条边分别为2，，，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项C中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意； 选项D中的四边形的四条边分别为2，2，4，2，两个四边形的四条边对应成比例． 将已知四边形表示为四边形ABCD，将选项D中的四边形表示为EFGH． 如图，连接AC、EG，则AC，EG＝2． 在△ABC与△EFG中， ∵， ∴△ABC∽△EFG， ∴∠BAC＝∠FEG，∠B＝∠F，∠ACB＝∠EGF． 在△ADC与△EHG中， ∵， ∴△ADC∽△EHG， ∴∠DAC＝∠HEG，∠D＝∠H，∠ACD＝∠EGH， ∴∠BAD＝∠FEH，∠B＝∠F，∠DCB＝∠HGF，∠D＝∠H， 又∵， ∴四边形ABCD∽四边形EFGH． 故选：D． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握相关定理与性质是解题的关键． 5．（2024•海门区校级模拟）如图所示，判断四边形ABCD与四边形EFGH是否相似，请说明理由． 【分析】先根据四边形内角和计算出∠D＝∠H＝50°，则两个四边形的对应角相等，但不能确定对应边的比相等，根据相似多边形的定义可判断四边形ABCD与四边形EFGH不一定相似． 【解答】解：不一定相似．理由如下： ∵∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝50°，∠H＝360°﹣∠E﹣∠F﹣∠C＝50°， ∴∠D＝∠H， ∵四边形ABCD与四边形EFGH的对应边的比值不能确定相等， ∴四边形ABCD与四边形EFGH不一定相似． 【点评】本题考查了相似多边形：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．相似多边形的对应角相等；对应边的比相等． 6．（2023•库尔勒市校级模拟）我们知道，如果两个四边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个四边形叫做相似四边形．仅有对应角相等的两个四边形不一定相似，如正方形与两邻边长为1和2的矩形就不是相似四边形． （1）仅有对应边成比例的两个四边形 　 　相似（填“一定”、“不一定”或“一定不”）； （2）如图，在四边形ABCD和四边形A'B'C'D'中，∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，， 求证：四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'． 【分析】（1）直接判断即可； （2）只要证明各角对应相等、各边对应成比例即可． 【解答】解：（1）仅有对应边成比例的两个四边形不一定相似； 故答案为：不一定； （2）连接AC，A'C'，如图， ∵∠B＝∠B′， ∴△ABC∽△A′B′C′， ∴∠BAC＝∠B′A′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，， ∵∠BAD＝∠B′A′D′，∠BCD＝∠B′C′D′， ∴∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC， ∠D′A′C′＝∠B′A′D′﹣∠B′A′C′， ∴∠DAC＝∠D′A′C′， 同理∠DCA＝∠D′C′A′， ∴△ADC∽△A′D′C′， ∴， ∴， ∵∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠BCD＝∠B′C'D′， ∴∠D＝∠D′ ∴四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'． 【点评】本题考查的多边形的相似，解题的关键是证明各边对应成比例，各角对应相等． 题型七 相似多边形的性质与判定的综合 1．（2023秋•滨江区期末）如图，把一个矩形ABCD划分成三个全等的小矩形． （1）若原矩形ABCD的长AB＝6，宽BC＝4．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由． （2）若原矩形的长AB＝a，宽BC＝b，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长a与宽b应满足的关系式． 【分析】（1）根据划分后小矩形的长为AD＝4，宽为AE＝2，可得，进而可判断结论； （2）根据划分后小矩形的长为AD＝b，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得a与b的关系式． 【解答】解：（1）不相似．理由如下： ∵原矩形ABCD的长AB＝6，宽BC＝4， ∴划分后小矩形的长为AD＝4，宽为AE＝6÷3＝2， 又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例， ∴每个小矩形与原矩形不相似． （2）∵原矩形的长AB＝a，宽BC＝b， ∴划分后小矩形的长为AD＝b，宽为， 又∵每个小矩形与原矩形相似， ∴ ∴，即a2＝3b2． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据两矩形相似得到比例式． 2．（2023秋•西安校级月考）如图在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，E、F分别是AB、CD上的点，且AE＝DF＝8，两动点M、N都以2cm/s的速度分别从C、F两点沿CB、FE向B、E两点运动，判断当M、N运动多长时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，并证明你的结论． 【分析】设运动ts时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，分FN是矩形的长和FN是矩形的宽两种情况列出比例式，分别求解即可． 【解答】解：设运动ts时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似， 由题意或， 解得t＝4或1． 当t＝4时，NF＝8， ∵， ∵CFNM与AEFD都是矩形， ∴矩形CFNM与矩形AEFD相似． 同理可证当t＝1时矩形CFNM与矩形AEFD相似． 【点评】本题考查了相似多边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 3．（2023秋•海曙区校级月考）已知，矩形的一组邻边长分别为6和a，画一线段把它分割成两个矩形，若这两个矩形相似，且其中一个矩形有一边长为4，求a的值． 【分析】根据题意画出图形，再分4≤a＜6和a＞6两种情况进行讨论． 【解答】解：设AB＜AD， 如图1，当4≤a＜6，则AB＝a，AD＝6，CF＝DE＝2， 当矩形ABFE∽矩形DEFC时， ，即，解得a＝2； 当矩形ABFE∽矩形EFCD时， ，即．不成立，故此种情况不存在； 如图2，若a≥6，则AB＝6，BC＝a，此时BF＝4，DE＝a﹣4， 当矩形ABFE∽矩形DEFC时， ，即，解得a＝13； 当矩形ABFE∽矩形EFCD时， ，即，解得a＝8． 如图3，当a＝4时，矩形AEFD≌矩形EBCF， 综上所述，a＝2，4，8或13． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 4．（2023春•鄂州期中）书籍和纸张的长与宽比值都有固定的尺寸，如常用的A3、A4、A5的纸张长与宽的比值都相等．一长方形纸张对折后的小长方形的长与宽的比值与原长方形的长与宽的比值相等． （1）求满足这样条件的长方形的长与宽的比值； （2）如图所示的长方形ABCD长与宽之比也满足以上条件，其中宽AB＝2．点P是AD上一点，将△BPA沿BP折叠得到△BPE，当BE垂直AC时，求AP的长． 【分析】（1）设长方形的长与宽分别为a，b．根据对折后的小长方形的长与宽的比值与原长方形的长与宽的比值相等，构建关系式解决问题即可． （2）如图1中，延长PE、BC交于点G，证明AC＝PG，PG＝BG即可解决问题． 【解答】解：（1）设长方形的长与宽分别为a，b． 由题意：， ∴a2＝2b2， ∴． （2）①如图1中，延长PE、BC交于点G， ∵∠PEB＝90°， ∴PE⊥BE， ∵BE⊥AC，BE⊥PE， ∴PG∥AC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝2，AD∥BG，∠ABC＝90°， ∴四边形APGC是平行四边形， ∴PG＝AC2， ∵AD∥BC， ∴∠APB＝∠GBP， ∵∠APB＝∠GPB， ∴∠GBP＝∠GPB， ∴GP＝GB＝2， ∴AP＝CG＝BG＝BC＝22． 【点评】考查了矩形的性质，旋转变换，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！28 学科网（北京）股份有限公司 $$