精品解析：湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高二上学期模块测试数学试题

2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期模块测试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是 A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 4. 如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知正方体的棱长为，为的中点，则点到平面的距离等于（ ） A. B. C. D. 6. 当点到直线（为任意实数）的距离取最大值时，则（ ） A. B. C. D. 7. 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知圆的圆心为点，直线与圆交于，两点，点在圆上，且，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下面三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. D. 4 10. 已知圆，则（ ） A. 圆与直线必有两个交点 B. 圆上存在4个点到直线的距离都等于1 C. 若圆与圆恰有三条公切线，则 D. 已知动点在直线上，过点向圆引两条切线，，为切点，则的最小值为8 11. 已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 与所成角的余弦值为 D. 动点P的轨迹长为 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 12. 已知，方程表示圆，则______． 13. 设圆满足：（1）截轴所得弦长为2；（2）被轴分成两段圆弧，其弧长的比为.在满足条件（1）、（2）的所有圆中，圆心到直线的距离最小的圆的方程为__________. 14. 正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，M是的中点，在侧棱上存在一点，使得，则______． 四、解答题：本题共6小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，圆C：，直线l：． （1）若直线l与圆C相切于点N，求切点N的坐标； （2）若，直线l上有且仅有一点A满足：过点A作圆C的两条切线AP、AQ，切点分别为P，Q，且使得四边形APCQ为正方形，求m的值． 16. 已知坐标平面内三点. （1）求直线的斜率和倾斜角； （2）若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； （3）若是线段上一动点，求的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 18. 如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面为菱形，已知，． （1）当时，求三棱柱的体积； （2）设点P为侧棱上一动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 19. 古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的倍． （1）求点的轨迹的方程； （2）过点作直线，交轨迹于，两点，，不在y轴上． （i）过点作与直线垂直的直线，交轨迹于，两点，记四边形的面积为，求的最大值； （ii）设轨迹与轴正半轴的交点为，直线，相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期模块测试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 2. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 3. 已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是 A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 【答案】B 【解析】 【详解】化简圆到直线的距离 ， 又 两圆相交. 选B 4. 如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用向量法求解. 【详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，， ，， 则与所成角的余弦值为：. 5. 如图，已知正方体的棱长为，为的中点，则点到平面的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用点面距的向量公式，可得答案. 【详解】由题意建立空间直角坐标系，如下图： 则，，，， 取，，， 设平面的法向量为，则，可得， 令，则，，所以平面的一个法向量， 点到平面的距离. 故选：C. 6. 当点到直线（为任意实数）的距离取最大值时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先得直线恒过点，注意到当时，点到直线的距离最大，然后根据题意列出方程即可求解. 【详解】将直线方程整理为：， 由得：， 直线恒过点， 当时，点到直线的距离最大， 显然，否则不垂直， 从而. 故选：C. 7. 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心和半径，比较半径和；要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，用圆心到直线的距离公式，可求得结果． 【详解】圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0整理为， ∴圆心坐标为（2，2），半径为3， 要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为， 则圆心到直线的距离应小于等于， ∴， ∴， ∴，， ∴， 直线l的倾斜角的取值范围是， 故选B． 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离等知识，是中档题． 8. 已知圆的圆心为点，直线与圆交于，两点，点在圆上，且，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设弦的重点为，得到，化简，即可求解. 【详解】 设弦的中点为，由题可知圆的半径为， 因为，，所以， 所以，， 可得，解得. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下面三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意，利用分类讨论思想，分为三线交于一点和至少有两条直线平行两种情况，分别剪力方程，可得答案. 【详解】当三条直线交于一点时，由，解得直线和直线的交点的坐标， 由点在直线上可得，解得或，故AC正确； 至少有两条直线平行或重合时，即，，中至少有两条直线的斜率相等， 当时，；当时，；若，则需有，不可能，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知圆，则（ ） A. 圆与直线必有两个交点 B. 圆上存在4个点到直线的距离都等于1 C. 若圆与圆恰有三条公切线，则 D. 已知动点在直线上，过点向圆引两条切线，，为切点，则的最小值为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线切过定点且该定点在圆内可判断A；求出圆的圆心到直线的距离可判断B；将圆化成标准形式，转化为两圆外切可判断C；由，且当最小时最小时可判断D. 【详解】对于A，将直线整理得， 由，解得，所以直线过定点， 因为，所以该定点在圆内，则圆与直线必有两个交点，故A正确； 对于B，圆的圆心到直线的距离为， 所以过圆心且与直线平行的直线与圆相交有两个点到直线的距离为1， 与直线平行且与圆相切，并且与直线在圆心同侧的直线到的距离为1， 所以只有三个点满足题意，故B错误； 对于C，将圆化成标准形式为， 因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，所以， 解得，故C正确； 对于D，连接，，， 因为，为切点，所以，， 所以，且当最小时，最小， 所以当与直线垂直时，， 又因为半径为2，所以，， 又，，所以垂直平分，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 与所成角的余弦值为 D. 动点P的轨迹长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式、空间向量数量积的运算性质逐一判断即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则， 所以， 由平面，得，即， 化简可得：， 所以动点P在直线上， 对于选项A：，所以与不垂直，所以A选项错误； 对于选项B：平面平面，所以平面，B选项正确； 对于选项C：，C选项正确； 对于选项D：动点P在直线上，且P为侧面上的动点，则P在线段上，，所以，D选项正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 12. 已知，方程表示圆，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二元二次方程表示圆的充要条件，列式求解即得. 【详解】依题意，解得或2， 当时，方程为，即表示圆，符合题意； 当时，方程为，即， 得，不表示圆，不符合题意， 综上，. 故答案为：. 13. 设圆满足：（1）截轴所得弦长为2；（2）被轴分成两段圆弧，其弧长的比为.在满足条件（1）、（2）的所有圆中，圆心到直线的距离最小的圆的方程为__________. 【答案】或 【解析】 【详解】设圆的圆心为，半径为， 则点到轴，轴的距离分别为． 由题设知圆截x轴所得劣弧对的圆心角为90°， 知圆截轴所得的弦长为，故， 又圆截y轴所得的弦长为2，所以有． 从而得．又点到直线的距离为， 所以， 当且仅当时上式等号成立，此时，从而取得最小值． 由此有，解此方程组得或 由于知． 于是，所求圆的方程是，或． 解法二：同解法一，得 ∴，得① 将代入①式，整理得② 把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负， 即，得．∴有最小值1， 从而有最小值． 将其代入②式得．解得． 将代入，得．由得． 综上．由知同号． 于是，所求圆的方程是或． 【点睛】本题易错的地方，到轴的距离，不能正确利用基本不等式． 14. 正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，M是的中点，在侧棱上存在一点，使得，则______． 【答案】##0.125 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，由题设分别写出四点的坐标，利用垂直关系即可求解． 【详解】正三棱柱中，在平面内过作，以为原点建立空间直角坐标系， 则，设， 则，由， 得，解得， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，圆C：，直线l：． （1）若直线l与圆C相切于点N，求切点N的坐标； （2）若，直线l上有且仅有一点A满足：过点A作圆C的两条切线AP、AQ，切点分别为P，Q，且使得四边形APCQ为正方形，求m的值． 【答案】（1）或 （2）3. 【解析】 【分析】（1）设切点坐标，由切点和圆心连线与切线垂直以及切点在圆上建立关系式，求解切点坐标即可；（2）由圆的方程可得圆心坐标及半径，由APCQ为正方形，可得|AC|＝可得圆心到直线的距离为，可得m的值． 【小问1详解】 解：设切点为，则有，解得： 或，所以切点的坐标为或. 【小问2详解】 解：圆C：的圆心（1，0），半径r＝2， 设，由题意可得， 由四边形APCQ为正方形，可得|AC|＝，即，由题意直线l⊥AC，圆C：（x﹣1）2+y2＝4，则圆心（1，0）到直线的距离， 可得，m＞0，解得m＝3. 16. 已知坐标平面内三点. （1）求直线的斜率和倾斜角； （2）若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； （3）若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】（1）斜率为1，倾斜角为； （2）； （3）. 【解析】 【分析】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角； (2) 设，根据求解即可； (3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案. 【小问1详解】 解：因为直线的斜率为. 所以直线的倾斜角为； 【小问2详解】 解：如图，当点在第一象限时，. 设，则，解得， 故点的坐标为； 【小问3详解】 解：由题意得为直线的斜率. 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，. 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 【答案】（1） 因为底面，，底面， 所以，， 又底面是正方形，所以， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设． 依题意得，，，． 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则有 即取，则， 因为平面，因此平面． （2） 依题意得， 因为， 所以． 由已知，且，平面， 所以平面． （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，由证明； （2）由，结合，利用线面垂直的判定定理证明； （3）求得平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，由求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意得，且，． 设平面的一个法向量为， 则 即，取． 易知平面的一个法向量为， 所以． 所以平面与平面的夹角为． 18. 如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面为菱形，已知，． （1）当时，求三棱柱的体积； （2）设点P为侧棱上一动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为O，根据等边三角形可知，，再计算出各个长度可知，根据线面垂直判定定理可证平面，即为三棱柱的高，根据体积公式求出即可； （2）根据及余弦定理解出，以为原点建立合适空间直角坐标系，找出点的坐标，求出平面的一个法向量，设，求出，根据直线面所成角的正弦值等于线与法向量夹角的余弦值的绝对值建立等式，构造新函数，根据二次函数性质即可求得范围. 【小问1详解】 解：如图，取的中点为O， 因为为菱形，且，所以为正三角形， 又有为正三角形且边长为2，则，， 且，，所以， 所以，因为又， 平面，平面，所以平面， 所以三棱柱的体积． 【小问2详解】 在中，，， 由余弦定理可得， 所以，由（1），， 又，平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面，所以在平面内作，则平面， 以，，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示： 则，，，， ，， 设是平面的一个法向量， ，， 则，即， 取得，设， 则 ， 设直线与平面所成角为， 则 ， 令，则在单调递增， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为． 19. 古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的倍． （1）求点的轨迹的方程； （2）过点作直线，交轨迹于，两点，，不在y轴上． （i）过点作与直线垂直的直线，交轨迹于，两点，记四边形的面积为，求的最大值； （ii）设轨迹与轴正半轴的交点为，直线，相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程． 【答案】（1）； （2）（i）； （ii）由题可得，设，， 联立，消得，， 则，， 所以直线OP的方程为，直线CQ的方程为， 联立，解得， 则， 所以， 所以点N在定直线上． 【解析】 【分析】（1）设，根据两点距离公式建立方程，整理即可求解；（2）易知直线的斜率存在，设直线方程为，利用点到直线的距离公式和几何法求弦长表示；（i）结合点线距公式、基本不等式和三角形面积公式，分类讨论当时的取值范围即可；（ii）设，，直线方程联立圆得方程，利用韦达定理表示，同时表示和的方程，求出交点的坐标即可证明． 【小问1详解】 设点，由题意可得， 即，化简得， 所以点P的轨迹的方程为； 【小问2详解】 由题可知直线的斜率存在， 设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， （i）若，则直线的斜率不存在， 易得，，则， 若，则直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 ， 当且仅当即时，取等号，又，所以的最大值为； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $