精品解析：河南省潢川第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

潢川一中2024-2025学年高一上期第一次月考 数学试题 2024.10.19 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 设函数，则（ ） A. B. 4 C. 6 D. 8 4. 下列选项中的函数在上为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 5 D. 7 6. ，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 命题，为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的值域为，则的定义域可以为（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则下列关于的说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 当时，的单调增区间为， C. 当时的值域 D. 当时，的值域为 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数是奇函数，且，则________ 13. 函数的单调递减区间为________ 14. 已知函数，且对任意，都有成立，则实数的取值范围是________ 四.解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 已知集合， （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数 （1）证明：函数在区间上是增函数； （2）当，求函数的值域. 17. 若正实数，满足： （1）求的最大值； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 18. 已知函数是上的偶函数，当，， （1）求函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 19. 已知函数是奇函数，且. （1）求实数，的值； （2）若函数在区间递增，求实数的取值范围； （3）设，若对，，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潢川一中2024-2025学年高一上期第一次月考 数学试题 2024.10.19 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合并运算即可求解. 【详解】，， 则. 故选：. 2. 已知函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根式、分式的意义列式求函数的定义域. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C. 3. 设函数，则（ ） A. B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的值，再代入即可求解. 【详解】, 故选：D 4. 下列选项中的函数在上为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义域以及奇函数的定义，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，的定义域为，定义域不为，故不符合， 对于B，定义域为，且，故为偶函数，不符合， 对于C，定义域为，且，故为奇函数，符合， 对于D，定义域为，且，故不为奇函数，不符合， 故选：C 5. 若关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据，3是方程的根，由韦达定理可求的值. 【详解】因为不等式的解集为，所以，3是方程的根， 根据韦达定理，得：， 所以. 故选：A 6. ，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】首先要解出不等式的解集，然后根据充分条件和必要条件的定义来判断. 【详解】不等式的解集为. ：，：. 由能推出，因为这个范围是的一部分； 但是由不能推出，例如满足但不满足. 所以是的必要不充分条件. 故选:B. 7. 命题，为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，结合判别式即可求解. 【详解】由于，为真命题，故，解得， 故选：A 8. 已知不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数，在区间为单调递增函数，求得，根据题意，转化为不等式，结合分式不等式的解法，即可求解. 【详解】令函数， 可得函数在区间为单调递增函数，所以， 因为不等式对任意的恒成立，即， 由，即，解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用不等式的性质可判断A,C正确；通过举反例说明B,D错误即得. 【详解】对于A，因，，利用不等式的同向可加性，则有，故A正确； 对于B，不妨取，但，故B错误； 对于C，因，，故由不等式的同向可加性，可得，故C正确； 对于D，因，不妨取，显然，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数的值域为，则的定义域可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】， 且， 故时，的值域为，不符合， 当或，或时，值域均为，符合要求， 故选：BCD 11. 已知，则下列关于的说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 当时，的单调增区间为， C. 当时的值域 D. 当时，的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的判定方法判断A的真假；结合函数的奇偶性与对勾函数的单调性判断B的真假；利用基本不等式，结合函数的奇偶性判断C的真假；求函数的值域判断D的真假. 【详解】对A：因为当时，函数定义域为；当时，函数定义域为；当时，函数定义域为， 且，所以当时，必为偶函数.故A正确； 对B：当时，为偶函数， 且当时，（当且仅当即时取“”）， 所以在上单调递增，在上单调递减. 又函数是偶函数，所以函数的单调递增区间为：，.故B错误； 对C：当时，为偶函数， 且当时，（当且仅当即时取“”）， 所以函数在上的值域为， 又，为偶函数，所以函数在上的值域为，故C正确； 对D：当，为偶函数， 且当时， 设，则在上单调递增，且当时，；当时，；当时，. 所以当时，； 又，为偶函数，所以函数的值域为，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点拨：判断函数的奇偶性，首先应该确定函数的定义域，观察定义域的特点，若函数的定义域关于原点对称，再进一步讨论与的关系，确定函数的奇偶性；若函数的定义域不关于原点对称，则函数时非奇非偶函数. 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数是奇函数，且，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数定义计算即可. 【详解】因为函数是奇函数，且， 所以. 故答案为：. 13. 函数的单调递减区间为________ 【答案】 【解析】 【分析】分段讨论去绝对值，由函数解析式判断单调性. 【详解】由，可得函数的单调递减区间为. 故答案为： 14. 已知函数，且对任意，都有成立，则实数的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到函数在R上单调递增，然后根据分段函数单调性的判断方法求实数的取值范围即可. 【详解】对任意，都有成立， 由函数单调性定义可得函数在R上单调递增， 则根据分段函数单调性的判断方法，得，解得． 实数的取值范围 故答案为： 四.解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 已知集合， （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），或. （2） 【解析】 【分析】（1）解集合A中的不等式得到集合A，代入集合B，由交集和并集的定义求和； （2）由，解不等式求实数的取值范围. 【小问1详解】 集合或， 时，， ，或. 【小问2详解】 集合或，， 若，则或，解得或， 所以实数的取值范围为. 16. 已知函数 （1）证明：函数在区间上是增函数； （2）当，求函数的值域. 【答案】（1）证明：任取，且， 由， 因，故，，故， 即函数在区间上是增函数； （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数的单调性的定义证明即得； （2）利用已证的函数单调性，即可求得函数在给定区间上的值域. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）已证：函数在区间上是增函数，故在上也是增函数， 则，即，故函数的值域为. 17. 若正实数，满足： （1）求的最大值； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 【答案】（1）1 （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式，求的最大值； （2）由，利用基本不等式求的最小值； （3）由，利用基本不等式求最小值即可. 【小问1详解】 正实数，满足：， 则有，得，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为1. 【小问2详解】 正实数，满足：， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【小问3详解】 正实数，满足：， ， ，当且仅当，即时等号成立， 则， 所以时，的最小值为2. 18. 已知函数是上的偶函数，当，， （1）求函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义求时，函数的解析式，即可得结果； （2）根据函数解析式以及奇偶性分析函数的单调性，结合单调性和对称性可得，运算求解即可. 【小问1详解】 当时，则， 由题意可得：， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 因为的开口向下，对称轴为， 可知函数在内单调递增， 且函数是上的偶函数，可知函数在内单调递减， 若，则， 整理可得，解得或， 所以实数的取值范围为. 19. 已知函数是奇函数，且. （1）求实数，的值； （2）若函数在区间递增，求实数的取值范围； （3）设，若对，，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质及即可求解； （2）由对称轴与区间的位置关系即可求解； （3）求得两个函数值域，由集合间的包含关系即可求解. 【小问1详解】 因为函数是奇函数，且， 所以解得： 【小问2详解】 由（1）得：， 因为函数在区间递增， 所以，即. 【小问3详解】 对于，当，易知值域为， 由对，，使得成立， 可得在区间的值域为在区间上值域的子集， 的对称轴为， 当时，可知在区间上单调递增，此时值域为， 所以，可得，解得：. 当，可知在区间上单调递减，此时值域为， 所以，可得，解得：. 综上所述：实数的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $