第4章 等可能条件下的概率（七大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

第4章 等可能条件下的概率（七大题型提分练） 题型一 等可能性 1．下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮 C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球 【答案】A 【解析】解：A，掷一枚质地均匀的骰子，任一点数的概率都是六分之一，故该选项正确； B，篮球运动员定点投篮，投中与否的概率并不相等，故该选项错误； C，掷一个矿泉水瓶盖，因瓶盖质地不均匀，正反面出现的概率并不相等，故该选项错误； D，从装有若干小球的透明袋子摸球，摸到某一颜色小球的概率不一定相等，故该选项错误； 故选A． 2．在“抛一枚均匀硬币”的实验中，如果现在没有硬币，则下面各个实验中不能代替此实验的是（ ） A．两个形状大小完全相同，但一红一白的两个乒乓球 B．扔一枚正六面体的骰子 C．人数均等的男生、女生，以抽签的方式随机抽取一人 D．两张扑克，“方块”代替“正面”，“梅花”代替“反面” 【答案】B 【解析】解：在抛硬币事件中出现的情况只有两种，A、C、D事件中出现的情况也为两种， 而B出现的情况为六种， 故选B． 3．一只不透明的盒子中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，会出现哪些等可能的结果？_______________________________. 【解析】解：会出现5种等可能的结果，分别是：红球1，红球2，白球1，白球2，白球3． 故答案为：红球1，红球2，白球1，白球2，白球3  4．有下列说法： 在一个装有除颜色以外都相同的红、白、蓝三根竹签的盒子中，任意抽出一根竹签，抽到三种颜色中任何一种颜色的竹签的可能性相同； 掷一枚质地均匀的骰子，出现六种点数中任何一种点数的可能性相同； 抛掷一枚普通的图钉，落地时针尖朝上和针尖朝下具有等可能性． 其中，正确的是           填序号 【解析】解：在一个装有涂颜色以外都相同的红、白、蓝三根竹签的盒子中，任意抽出一根竹签，抽到三种颜色中任何一种颜色的竹签的可能性相同，都是，故正确； 掷一枚质地均匀的骰子，出现六种点数中任何一种点数的可能性相同，都是，故正确； 抛掷一枚普通的图钉，图钉的分布不均匀，落地时针尖朝上的可能性大于针尖朝下的可能性，故错误． 故答案为： 5．从一副充分洗匀的扑克牌中任取一张. （1）这张牌是红色、黑色的可能性哪个大？ （2）抽出的牌是5和抽出的牌是10，这两个事件是等可能性的吗？ （3）抽出红桃5和黑桃10的可能性相等吗？ （4）抽出的牌是5和抽出王的可能性还相等吗？若不相等，哪个事件发生的可能性小？ 【解析】解：（1）红色和黑色牌数目相等，那么任取一张，这张牌是红色、黑色的可能性一样大． （2）5和10的数目相等，抽出的牌是5和抽出一张牌是10，这两个事件是等可能的. （3）红桃5和黑桃10都只有一张，抽出红桃5和黑桃10的可能性相同． （4）抽出的牌是5和抽出王的可能性不相等. 6．不透明的盒子里有1号球（红色）、2号球（红色）、3号球（红色）、4号球（白色）、5号球（白色）、6号球（绿色），这6个球的形状和大小完全一样．小丽从这个盒子里任意摸出一个球． （1）能够事先确定小丽摸出的球的颜色吗？ （2）小丽摸到每一种颜色的球的可能性一样吗？ （3）如果想让小丽摸到红色球和白色球的结果是等可能性的，该怎么办？写出你的方案． 【解析】（1）解：∵盒子中的小球有红色、白色、绿色， ∴不能够事先确定小丽摸出的球的颜色； （2）解：∵红色球有3个，白色球有2个，绿色球有1个，， ∴小丽摸到每一种颜色的球的可能性不一样； （3）解：答案不唯一，如把1号球先取出来，再摸球． 题型二 等可能条件下简单事件的概率 1．（2023·山东东营·中考真题）剪纸是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．小文购买了以“剪纸图案”为主题的5张书签，他想送给好朋友小乐一张．小文将书签背面朝上（背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（     ）            A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：共有5个书签图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是第2张与第4张书签图片，共2张， ∴小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是， 故选：C． 2．（2024·辽宁·中考真题）一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（    ） A．摸出白球 B．摸出红球 C．摸出绿球 D．摸出黑球 【答案】B 【解析】解：A、摸出白球的概率为，不符合题意； B、摸出红球，符合题意； C、摸出绿球，不符合题意； D、摸出黑球，不符合题意； 故选：B． 3．（2024·贵州·中考真题）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（    ） A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中 C．小星定点投篮10次，一定投中4次 D．小星定点投篮4次，一定投中1次 【答案】A 【解析】解：小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，则由概率的意义可知，小星定点投篮1次，不一定能投中，故选项A正确，选项B错误； 小星定点投篮10次，不一定投中4次，故选项C错误； 小星定点投篮4次，不一定投中1次，故选项D错误 故选：A． 4．（2024·湖南·模拟预测）在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将5个标有“北斗”，2个标有“天眼”，3个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（ ） A．摸出“北斗”小球的可能性最大 B．摸出“天眼”小球的可能性最大 C．摸出“高铁”小球的可能性最大 D．摸出三种小球的可能性相同 【答案】A 【解析】解：有5个标有“北斗”，2个标有“天眼”，3个标有“高铁”的小球， 小红从盒中随机摸出1个小球，摸出标有“北斗”的概率是； 摸出标有“天眼”的概率是； 摸出标有“高铁”的概率是， ， 摸出标有“北斗”小球的可能性最大． 故选：A． 5．（2024·湖北·中考真题）中国古代杰出的数学家祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶、杨辉，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是 ． 【解析】解：共有5位数学家，赵爽是其中一位， 所以，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是， 故答案为： 6．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，电路图上有3个开关和1个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发亮． 任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率是 ．    【解析】解：闭合开关或者同时闭合开关、，都可使小灯泡发光， 任意闭合其中一个开关共有3种等可能的结果，小灯泡发光的只有闭合这1种结果， 小灯泡发光的概率为． 故答案为：． 7．（2024·四川泸州·中考真题）在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为 ． 【解析】解：设黄球的个数为x个， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴黄球的个数为3个． 故答案为：3． 8．（2024·山东潍坊·中考真题）小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是 ． 【解析】解：由题意可得，共有种结果：红红，黄黄，蓝蓝；红红，蓝黄，黄蓝；黄红，红黄，蓝蓝；黄红，蓝黄，红蓝；蓝红，红黄，黄蓝；蓝红，黄黄，红蓝； 其中每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的有种结果， ∴每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）小明从一定高度随机掷一枚质地均匀的硬币，他已经掷了两次硬币，结果都是“正面朝上”．那么，你认为小明第三次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性相同吗？如果不同，哪种可能性大？说说你的理由，并与同伴交流． 【解析】由于硬币质地均匀，并且是“没有记忆”的，所以第3次掷硬币，“正面朝上”的可能性和“反面朝上”的可能性一样大，都是． 10．（23-24九年级上·广东梅州）一则广告声称本次活动的中奖率为 ，其中一等奖的中奖率为 ．小明看到这则广告后，想：“我抽 张就会有 张中奖，抽 张就会有 张中一等奖．”你认为小明的想法对吗？ 【解析】解：抽张有可能都不中奖，也有可能都中奖，还有可能中一张或几张，事先不能确定．一等奖中奖率为 ，是指在总数为 张奖券的情况下， 张会有 张中一等奖，但是当总数不确定时， 张奖券中，有可能会有张或几张中一等奖，也有可能不会中一等奖，事先不能确定．所以小明的想法不对． 题型三 画树状图或列表法求概率 1．（2024·山东济南·中考真题）3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参力口其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种， 小红和小丽恰好选到同一个活动的概率为， 故选：C． 2．（2024·黑龙江大庆·中考真题）“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”是大庆市四个有代表性的旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：设铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”四个景点分别用A、B、C、D表示，列表如下： 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选择“铁人王进喜纪念馆”的结果数有种， ∴这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率为， 故选：D． 3．（2023·四川德阳·中考真题）在6，7，8，9四个数字中任意选取两个数字，则这两个数字之和为奇数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：列表如下： 6 7 8 9 6 13 14 15 7 13 15 16 8 14 15 17 9 15 16 17 所有等可能的结果数为12个，和为奇数的结果数有8个， ∴在6，7，8，9四个数字中任意选取两个数字，则这两个数字之和为奇数的概率是； 故选C 4．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）甲，乙两名同学玩“石头、剪子、布”的游戏，随机出手一次，甲获胜的概率是 ． 【答案】 【解析】解：根据题意画出树状图如图所示：   ， 共有9种等可能的结果，甲获胜的情况有3种， 甲获胜的概率是：， 故答案为：． 5．（2023·山东·中考真题）用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为 ． 【解析】解：0不能在最高位，而且个位数字与十位数字不同， 列表如下： 1 2 3 0 10 20 30 1 21 31 2 12 32 3 13 23 一共有可以组成9个数字，偶数有10、12、20、30、32， ∴是偶数的概率为． 故答案为：． 6．（2023·江苏盐城·中考真题）随着盐城交通的快速发展，城乡居民出行更加便捷.如图，从甲镇到乙镇有乡村公路和省级公路两条路线；从乙镇到盐城南洋国际机场，有省级公路、高速公路和城市高架三条路线.小华驾车从甲镇到盐城南洋国际机场接人（不考虑其他因素）. (1)从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率为_________． (2)用列表或画树状图的方法，求小华两段路程都选省级公路的概率． 【解析】（1）从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率为， 故答案为：． （2）列表如下： C D E A AC AD AE B BC BD BE 共有6种等可能的结果，其中两段路程都选省级公路只有，共1种， ∴小华两段路程都选省级公路的概率． 7．（2024九年级下·云南·学业考试）丽江市以打造“一滴水经过丽江”中国最佳研学旅游目的地为目标，不断整合名人故居和文化遗产、遗迹及丰富的自然、生态资源等研学游资源，目前已形成了生物多样性研学旅、非遗研学之旅、红色研学之旅、冰川研学之旅（分别记为，，，）等经典旅游线路．甲、乙两名同学想在这4个旅游线路中随机选择一个为暑假出行做准备，假设这两名同学选择的旅游线路不受任何因素影响，且每一个线路被选到的可能性相等．记甲同学的选择为，乙同学的选择为． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求甲、乙两名同学选择同一个旅游线路的概率． 【解析】（1）根据题意列表如下： x y A B C D A B C D 共有以上16种等可能结果． （2）解：由（1）可知其中甲、乙两位同学选择同一个旅游线路的结果有4种： 甲、乙两位同学都选择同一个旅游线路的概率为． 题型四 与图形面积有关的概率问题 1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图：连接，，设，则圆的直径为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴小正方形的面积为：， 则飞镖落在阴影区域的概率为：． 故选：C． 2．（2024·山东东营·中考真题）如图，四边形是平行四边形，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形． ∴，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为． 故选：A． 3．（2023·辽宁·中考真题）如图，等边三角形是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往内投一粒米，落在阴影区域的概率为 ．    【答案】 【解析】解：∵一粒米可落在9个等边三角形内的任一个三角形内，而落在阴影区域的只有5种可能， ∴一粒米落在阴影区域的概率为； 故答案为：． 4．（2024·吉林长春·模拟预测）如图的正六边形地面上，标有编号、、、的4个小三角形地面是空地，另外2个小三角形地面是草坪，除此以外小三角形地面完全相同． (1)一只飞行的麻雀，将随意落在图中的地面上，问麻雀落在草坪上的概率是______； (2)现从4个小三角形空地中任意选取2个种植草坪，则刚好选取和两个小三角形空地种植草坪的概率是多少？（用树形图或列表法求解） 【解析】（1）解：根据题意可得：麻雀落在草坪上的概率， 故答案为：． （2）解：根据题意画出树状图如图所示： 由图可知，一共有12种情况，刚好选取和两个小三角形空地的情况有2种， ∴刚好选取和两个小三角形空地的概率． 5．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个扇形区域，其中红色扇形区域的圆心角为，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形的颜色即为转出的颜色，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止） ．    (1)转动转盘一次，转出黄色的概率是___； (2)转动转盘两次，如果一次转出红色，一次转出蓝色，那么就可以配成紫色．请利用列表或画树状图的方法，求转动转盘两次，可以配成紫色的概率． 【解析】（1）解：∵红色扇形区域的圆心角为， ∴黄色扇形区域的圆心角为， ∴转动转盘一次，转出黄色的概率是， 故答案为：； （2）解：∵红色和黄色扇形区域的圆心角都是， ∴两个蓝色扇形区域总的扇形的圆心角也是， 根据题意列表如下： 红 黄 蓝 红 （红，红） （红，黄） （红，蓝） 黄 （黄，红） （黄，黄） （黄，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝） 由列表可得：共有9种等可能的情况数，其中转动转盘两次可以配成紫色的有（红，蓝）和（蓝，红），共2种情况， ∴转动转盘两次，可以配成紫色的概率是． 题型六 游戏公平性问题 1．（2023九年级上·全国·专题练习）小颖、小明两人做游戏，掷一枚硬币，双方约定：正面朝上小颖胜，反面朝上小明胜，则这个游戏（　） A．公平 B．对小颖有利 C．对小明有利 D．无法确定 【答案】A 【解析】解：掷一枚硬币，共有2种等可能的结果，其中正面朝上的结果数为1，反面朝上的结果数为1， ∴小颖胜的概率为，小明胜的概率为， ∵， ∴这个游戏是公平的． 故选：A． 2．（2024·浙江·模拟预测）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小金和小华一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球，小金先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（    ） A．一定是小金获胜 B．一定是小华获胜 C．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小金获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小金获胜 【解析】解：假设两人第一次都摸到红球，若第二次小金摸到红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第二次小金摸到白球，小华摸到红球，则小华获胜； 故A、B都不正确； 若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小金先摸球，则小金先摸到2个红球，所以一定是小金获胜， 故C正确； 若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小金摸到红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第四次小金摸到白球，小华摸到红球，则小华获胜； 故D不正确． 故选：C． 3．（2023·河北石家庄·模拟预测）甲、乙两人一起玩如图4的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏（   ）    A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．公平性不可预测 【答案】A 【解析】列表如下：    总的情况数为8种，为正数的情况有4种，为非正数的情况有4种， 指针指向的数的和为正数的概率为：； 指针指向的数的和为非正数的概率为：； ∵，概率相同， ∴甲、乙获胜的概率相同， 即游戏对二人公平， 故选：A． 4．（2023·四川成都·二模）口袋中有10个球（每个球除颜色外都相同），其中白球x个，红球个，其余为蓝球．从袋中随机摸出一个球，摸到红球则甲获胜，摸到蓝球则乙获胜．要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该等于 ． 【答案】2 【解析】解：由题意：要想游戏公平，则双方取胜的概率应相等， ∵是放回试验， ∴红球与蓝球的个数应相等，也为个， 列方程可得：， 解得， 故答案为：2． 5．（2022·山西太原·一模）在课后服务时间，甲乙两班进行篮球比赛，在选择比赛场地时，裁判员采用了同时掷两枚完全相同硬币的方法：如果两枚硬币朝上的面不同，则甲班优先选择场地；否则乙班优先选择场地．这种选择场地的方法对两个班级 （填“公平”或“不公平”）． 【答案】公平 【解析】解：根据题意画树状图如下： 由上图可知， (甲班优先选择场地)， (乙班优先选择场地)， 故这两个队优先选择比赛场地的可能性相等， 这种选择场地的方法对两个班级公平． 6．（2023·河南驻马店·三模）小明和小亮两人用如图所示的转盘（转盘被分成四个面积相等的扇形）做游戏，两人各转动转盘一次，转盘停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上，不记，重新转动），如果两人转得的数字之和为奇数，则小明胜；如果两人转得的数字之和为偶数，则小亮胜，你对这个游戏公平性的评价是 ．（填“公平”“对小明有利”或“对小亮有利”）    【解析】根据题意，画树状图如下．    由树状图，可知共有16种等可能的结果，其中和为奇数的结果有6种，和为偶数的结果有10种， ∴，． ∵， ∴这个游戏对小亮有利， 故答案为：对小亮有利． 7．（2024·吉林长春·模拟预测）准备三张纸片，两张纸片上各画一个三角形，另一张纸片画一个正方形（如图所示）．如果将这三张纸片放在一个盒子里搅匀．甲、乙两人制定了这样的游戏规则：随机地抽取两张纸片，可能拼成一个菱形（取出的是两张画三角形的纸片），也可能拼成一个房子（取出的是一张画三角形、一张画正方形的纸片）．若拼成一个菱形，则甲赢；若拼成一个房子，则乙赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【解析】解：不公平， ∵一共有三张纸片，两张纸片上各画一个三角形，另一张纸片画一个正方形， ∴取两张纸片共有三种情况：两张三角形，三角形A和正方形，三角形B和正方形， ∴可能拼成3个图形，拼成菱形有1种，拼成房子有2种情况， 所有拼成菱形的概率是，拼成房子的概率是， 故拼成菱形的概率小于拼成房子的概率． ∴游戏不公平． 8．（2024·青海西宁·一模）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀． (1)若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为__________； (2)若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案设计对甲、乙双方公平吗？说明理由． 【解析】（1）解：∵不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4， ∴从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为：， 故答案为：； （2）解：画树状图得： ∴共有12种等可能的结果， ∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有共6种情况， ∴， ∴这种游戏方案设计对甲、乙双方公平． 9．（2024·山东青岛·二模）在一次数学兴趣小组活动中，王小和李立两位同学设计了如图所示的两个转盘游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则王小获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于12，则李立获胜（若指针停在等分线上，则重转一次，直到指针指向某一份内为止）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．    【解析】解：列表如下： 乙和甲 6 7 8 9 3 9 10 11 12 4 10 11 12 13 5 11 12 13 14 由表可知共有12种等可能的结果，小于12的情况数有6种，大于12的情况数有3种， ∴王小获胜的概率，李立获胜的概率， ， 游戏对双方不公平． 题型七 概率的其他应用 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）“交通文明，让长沙与我一起白头偕老”．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为， ∴他遇到绿灯的概率是：． 故选：C． 2．（2024·河北沧州·一模）某小区门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如图所示，小明抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是（    ） 内容 时间/秒 日期 4 星期 3 时间 6 天气 3 A．日期 B．星期 C．时间 D．天气 【答案】C 【解析】解：由题意可得， ，，，， ∵， ∴大可能看到的内容是时间， 故选：C． 3．（2022·河北·二模）A、B、C三人作扔石子的游戏，结果如图所示，这个游戏是以石子离散的程度(即“散度”)的最小值者为胜，你认为可用"数" 来表示这个“散度”． 【解析】解：如图，分别作圆覆盖5点，所作圆的最小半径即可作为“数”表示这个“散度”： 故答案为：覆盖5点的圆的最小半径（答案不唯一）． 4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下： 收集数据 77 78 76 72 84 75 91 85 78 79 82 78 76 79 91 91 76 74 75 85 75 91 80 77 75 75 87 85 76 77 整理、描述数据 成绩/分 72 74 75 76 77 78 79 80 82 84 85 87 91 人数/人 1 1 a 4 3 3 b 1 1 1 3 1 4 分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 80 c 78 解决问题 (1)表格中的______；______；______； (2)分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为______分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为______分； (3)学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率． 【解析】（1）解：根据收集的数据知；； 出现最多的是75分，有5人，众数为75分，则； 故答案为：5；2；75； （2）解：∵由统计图可知中位数为78分， ∴如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，成绩目标应定为78分， 如果想确定一个较高的目标，成绩目标应定为80分， 因为在样本的众数，中位数和平均数中，平均数最大， 可以估计，如果成绩目标定为80分，努力一下都能达到成绩目标． 故答案为：78；80； （3）解：画树状图表示所有等可能结果如图所示， 共有种等可能结果，A，B两名队员恰好同时被选中的情况有种， ∴A，B两名队员恰好同时被选中的概率为， 答：A，B两名队员恰好同时被选中的概率为． 5．（2024·河北邯郸·模拟预测）一款游戏的规则如下：如图1为游戏棋盘，从起点到终点共7步：如图2是一个被分成4个大小相等的扇形的转盘，转动转盘，待转盘自动停止后，此时称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止），每次棋子按照指针所指的数字前进相应的步数，若棋子最终能恰好落在终点的视为通过游戏．比如：如果第一次转动转盘指针所指数字为3，则棋子从起点前进3步到达C，第二次转动转盘指针所指数字为2，则棋子从C前进2步到达E，……，直到棋子到达终点或超过终点停止． (1)转动转盘一次，“转盘停止后指针指向3”这一事件是________（填序号即可） ①不可能事件    ②必然事件    ③随机事件 (2)转动转盘一次，“转盘停止后指针指向2”这一事件的概率为________； (3)请利用画树状图或列表的方法求转动转盘两次能通过游戏的概率． 【解析】（1）解：由题意知，转动转盘一次“转盘停止后指针指向3”这一事件是随机事件， 故答案为：③ （2）解：由题意知，转动转盘一次“转盘停止后指针指向2”这一事件的概率为， 故答案为：； （3）解：由题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中转动转盘两次能通过游戏共有和两种等可能的结果， ∵， ∴转动转盘两次能通过游戏的概率为． 1．下列试验中，①抛掷一枚质地均匀的硬币，结果出现“正面朝上”与出现“反面朝上”；②在三张相同的小纸条上分别标上1，2，3这3个号码，做成3支签放在一个盒子中，搅匀后从中抽到“1号签”，“2号签”，3号签”，③一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中摸出“红球”与“白球”，试验是结果具有等可能性的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】解：①抛掷一枚质地均匀的硬币，结果出现“正面朝上”与出现“反面朝上”，可能性相同； ②在三张相同的小纸条上分别标上1，2，3这3个号码，做成3支签放在一个盒子中，搅匀后从中抽到“1号签”，“2号签”，3号签”， 可能性相同； ③一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中摸出“红球”与“白球”， 摸出“红球”的可能性大，可能性不同． 故选：C． 2．（2024·广东深圳·中考真题）二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在夏季的有六个， 则抽到的节气在夏季的概率为， 故选：D． 3．（2024·贵州黔东南·二模）盒子里有10张卡片（除卡片正面上的图片不一样，其他都一样），其中有6张卡片上印有黄果树瀑布，3张卡片上印有梵净山，1张卡片上印有西江千户苗寨．小星从中随机摸出一张卡片，准备去卡片上的地方游玩，则下列说法正确的是（    ） A．一定会去梵净山 B．去黄果树瀑布的可能性最大 C．不可能去西江千户苗寨 D．去三个地方的可能性一样 【答案】B 【解析】解：．根据题意有的可能去梵净山，原说法错误，故该选项不符合题意； ．去黄果树瀑布的可能性是，去梵净山的可能性是，去西江千户苗寨的可能性是，所以去黄果树瀑布的可能性最大，说法正确，故该选项符合题意； ．有的可能性去西江千户苗寨，原说法错误，故该选项不符合题意； ．由B可知去三个地方的可能性不一样，原说法错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 4．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）某校在劳动课上，设置了植树、种花、除草三个劳动项目．九年一班和九年二班都通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一个项目，则这两个班级恰好都抽到种花的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：设分别表示植树、种花、除草三个劳动项目，列表如下， 共有9种等可能结果，符合题意得出有1种， ∴这两个班级恰好都抽到种花的概率是， 故选：D． 5．（2024·福建·中考真题）哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种不同情况，和是偶数的共有2种情况，故和是偶数的概率是， 故选：B 6．（2021·贵州黔西·模拟预测）小明和小刚各自掷一枚质地均匀的正方体骰子，若两人的点数之和是奇数，则小明积1分，若两人的点数之和是偶数，则小刚积1分，此游戏（    ） A．对小明有利 B．对小刚有利 C．是公平的 D．无法判断 【答案】C 【解析】解：解：设(x，y)表示小明抛掷骰子点数是x，小刚抛掷骰子点数是y，则该概率属于古典概型．所有的基本事件是： (1， 1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)， (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)， (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)， 即有36种基本事件， 其中点数之和为奇数的基本事件有： (1，2)， (1，4)， (1，6)，(2，1)， (2，3)， (2，5)， (3，2)， (3，4)， (3，6)，(4，1)， (4，3)， (4，5)，(5，2)， (5，4)， (5，6)，(6，1)， (6，3)， (6，5)， 即有18种， 所以小刚得(1分)的概率是， 则小明得(1分)的概率是， 则小明获胜的概率与小刚获胜的概率相同，游戏公平． 故选：C． 7．（2024·湖南长沙·中考真题）某乡镇组织“新农村，新气象”春节联欢晚会，进入抽奖环节．抽奖方案如下：不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有3个，蓝球有5个，每次摇匀后从中随机摸一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖，每个家庭有且只有一次抽奖机会，小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为 ． 【解析】解：小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为， 故答案为：． 8．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，在正方形中，分别以四个顶点为圆心，以边长的一半为半径画圆弧，若随机向正方形内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米粒落在图中阴影部分的概率为 ．    【解析】解：设正方形的边长为，则4个扇形的半径为， ， 故答案为：． 9．（2024·四川·中考真题）某校组织多项活动加强科学教育，八年级（一）班分两批次确定项目组成员，参加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生．现从项目组中随机抽取1人承担联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中，男生为 人． 【解析】解：设第一批次确定的人员中，男生为x人， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：5． 10．（2024·上海·中考真题）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有 个绿球． 【解析】解：设袋子中绿球有个， ∵摸到绿球的概率是， ∴球的总数为个， ∴白球的数量为个， ∵每种球的个数为正整数， ∴，且x为正整数， ∴，且x为正整数， ∴x的最小值为1， ∴绿球的个数的最小值为3， ∴袋子中至少有3个绿球， 故答案为：3． 11．（2023·山东潍坊·中考真题）投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的概率是 ．    【解析】解：由题意，画出树状图如下：      由图可知，投掷两枚骰子，朝上一面的点数的所有等可能的结果共有36种，其中，投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的结果有6种， 则投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的概率为， 故答案为：． 12．（2023·黑龙江大庆·中考真题）新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科．某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为 ． 【解析】解：根据题意列出表格如下： 思想政治 地理 化学 生物 思想政治 思想政治，地理 思想政治，化学 思想政治，生物 地理 地理，思想政治 地理，化学 地理，生物 化学 化学，思想政治 化学，地理 化学，生物 生物 生物，思想政治 生物，地理 生物，化学 由表格可得，共有12种等可能的结果，其中该同学恰好选择地理和化学两科的有2种结果， 某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为：， 故答案为：． 13．（2022·河北秦皇岛·一模）如图，把一个质地均匀的转盘，分成两个扇形，其中有一个扇形的圆心角为120°，在每个扇形上标上数字．保持指针不动，转动转盘，转盘停止后，指针会指向某个扇形，并相应得到这个扇形所标的数字（若指针指向分割线，当做指向该分割线右边的扇形）． (1)转动转盘一次，求得到负数的概率； (2)数学王老师提出一个问题“转动转盘两次，将得到的数字相加，求和为0的概率”．嘉嘉发现这个问题有点难，便向淇淇请教，淇淇经过认真思考后，把写有“-1”的扇形，均分成两个小扇形，再求解这个问题就容易多了，请你按照淇淇的思路求解上述问题． 【解析】（1）解：由题意得：P（得到负数）； （2）解：把含有-1的扇形分成相等的两部分，则由题意可列表如下： 1 -1 -1 1 2 0 0 -1 0 -2 -2 -1 0 -2 -2 一共有九种等可能结果，其中和为0有四种等可能结果， 因此P（和为0）． 14．（2024·山东青岛·中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【解析】（1）解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同， ∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种， ∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为， ∴小明和小红获胜的概率相同， ∴该游戏对双方公平． 15．（2024·四川遂宁·中考真题）遂宁市作为全国旅游城市，有众多著名景点，为了解“五一”假期同学们的出游情况，某实践探究小组对部分同学假期旅游地做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告： xx小组关于xx学校学生“五一”出游情况调查报告 数据收集 调查方式 抽样调查 调查对象 xx学校学生 数据的整理与描述 景点 A：中国死海 B：龙凤古镇 C：灵泉风景区 D：金华山 E：未出游 F：其他 数据分析及运用 （1）本次被抽样调查的学生总人数为______，扇形统计图中，______，“：龙凤古镇”对应圆心角的度数是______； （2）请补全条形统计图； （3）该学校总人数为人，请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数； （4）未出游中的甲、乙两位同学计划下次假期从、、、四个景点中任选一个景点旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择同一景点的概率． 【解析】解：（1）本次被抽样调查的学生总人数为， 组的人数为：， ∴， ∴ B：龙凤古镇”对应圆心角的度数是 故答案为：，，． （2）根据（1）可得组人数为人，补全统计图，如图所示， （3）解： 答：请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数为人； （4）列表如下， 共有种等可能结果，其中他们选择同一景点的情形有种， ∴他们选择同一景点的概率为 16．（2024·山东济宁·中考真题）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表． 【收集数据】 八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95． 八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95． 【描述数据】 八年级（1）班20名学生成绩统计表 分数 80 85 90 95 100 人数 3 3 a b 3 【分析数据】 八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表 统计量 班级 平均数 中位数 众数 方差 八年级（1）班 95 41.5 八年级（3）班 91 90 26.5 【应用数据】 根据以上信息，回答下列问题． (1)请补全条形统计图： (2)填空：______，______； (3)你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由； (4)从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率． 【解析】（1）解：由八年级（3）班20名学生成绩统计可得90分学生有7人，95分学生有6人，补全条形统计图如图所示： （2）解：由八年级（1）班20名学生成绩统计可得，， ∴， 一共20名学生，中位数应该为第10名与第11名的平均数， ． （3）解：八年级（1）班和八年级（3）班的平均成绩相同，但八年级（1）班的中位数和众数都比八年级（3）班高，即八年级（1）班高分段人数较多．因此八年级（1）班成绩较好． （4）解：设八年级（1）班的三名100分的学生用A、B、C表示．八年级（3）班的两名100分的学生用X、Y表示，则随机抽两名学生的所有情况如下： (1)班 　（3）班 A B C X Y A AB AC AX AY B BA BC BX BY C CA CB CX CY X XA XB XC XY Y YA YB YC YX 一共有20种情况．其中两名同学在同一个班级的有共8种， ∴所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率为： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 等可能条件下的概率（七大题型提分练） 题型一 等可能性 1．下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮 C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球 2．在“抛一枚均匀硬币”的实验中，如果现在没有硬币，则下面各个实验中不能代替此实验的是（ ） A．两个形状大小完全相同，但一红一白的两个乒乓球 B．扔一枚正六面体的骰子 C．人数均等的男生、女生，以抽签的方式随机抽取一人 D．两张扑克，“方块”代替“正面”，“梅花”代替“反面” 3．一只不透明的盒子中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，会出现哪些等可能的结果？_______________________________. 4．有下列说法： 在一个装有除颜色以外都相同的红、白、蓝三根竹签的盒子中，任意抽出一根竹签，抽到三种颜色中任何一种颜色的竹签的可能性相同； 掷一枚质地均匀的骰子，出现六种点数中任何一种点数的可能性相同； 抛掷一枚普通的图钉，落地时针尖朝上和针尖朝下具有等可能性． 其中，正确的是           填序号 5．从一副充分洗匀的扑克牌中任取一张. （1）这张牌是红色、黑色的可能性哪个大？ （2）抽出的牌是5和抽出的牌是10，这两个事件是等可能性的吗？ （3）抽出红桃5和黑桃10的可能性相等吗？ （4）抽出的牌是5和抽出王的可能性还相等吗？若不相等，哪个事件发生的可能性小？ 6．不透明的盒子里有1号球（红色）、2号球（红色）、3号球（红色）、4号球（白色）、5号球（白色）、6号球（绿色），这6个球的形状和大小完全一样．小丽从这个盒子里任意摸出一个球． （1）能够事先确定小丽摸出的球的颜色吗？ （2）小丽摸到每一种颜色的球的可能性一样吗？ （3）如果想让小丽摸到红色球和白色球的结果是等可能性的，该怎么办？写出你的方案． 题型二 等可能条件下简单事件的概率 1．（2023·山东东营·中考真题）剪纸是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．小文购买了以“剪纸图案”为主题的5张书签，他想送给好朋友小乐一张．小文将书签背面朝上（背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（     ）            A． B． C． D． 2．（2024·辽宁·中考真题）一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（    ） A．摸出白球 B．摸出红球 C．摸出绿球 D．摸出黑球 3．（2024·贵州·中考真题）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（    ） A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中 C．小星定点投篮10次，一定投中4次 D．小星定点投篮4次，一定投中1次 4．（2024·湖南·模拟预测）在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将5个标有“北斗”，2个标有“天眼”，3个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（ ） A．摸出“北斗”小球的可能性最大 B．摸出“天眼”小球的可能性最大 C．摸出“高铁”小球的可能性最大 D．摸出三种小球的可能性相同 5．（2024·湖北·中考真题）中国古代杰出的数学家祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶、杨辉，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是 ． 6．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，电路图上有3个开关和1个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发亮． 任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率是 ．    7．（2024·四川泸州·中考真题）在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为 ． 8．（2024·山东潍坊·中考真题）小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是 ． 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）小明从一定高度随机掷一枚质地均匀的硬币，他已经掷了两次硬币，结果都是“正面朝上”．那么，你认为小明第三次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性相同吗？如果不同，哪种可能性大？说说你的理由，并与同伴交流． 10．（23-24九年级上·广东梅州）一则广告声称本次活动的中奖率为 ，其中一等奖的中奖率为 ．小明看到这则广告后，想：“我抽 张就会有 张中奖，抽 张就会有 张中一等奖．”你认为小明的想法对吗？ 题型三 画树状图或列表法求概率 1．（2024·山东济南·中考真题）3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参力口其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江大庆·中考真题）“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”是大庆市四个有代表性的旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川德阳·中考真题）在6，7，8，9四个数字中任意选取两个数字，则这两个数字之和为奇数的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）甲，乙两名同学玩“石头、剪子、布”的游戏，随机出手一次，甲获胜的概率是 ． 5．（2023·山东·中考真题）用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为 ． 6．（2023·江苏盐城·中考真题）随着盐城交通的快速发展，城乡居民出行更加便捷.如图，从甲镇到乙镇有乡村公路和省级公路两条路线；从乙镇到盐城南洋国际机场，有省级公路、高速公路和城市高架三条路线.小华驾车从甲镇到盐城南洋国际机场接人（不考虑其他因素）. (1)从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率为_________． (2)用列表或画树状图的方法，求小华两段路程都选省级公路的概率． 7．（2024九年级下·云南·学业考试）丽江市以打造“一滴水经过丽江”中国最佳研学旅游目的地为目标，不断整合名人故居和文化遗产、遗迹及丰富的自然、生态资源等研学游资源，目前已形成了生物多样性研学旅、非遗研学之旅、红色研学之旅、冰川研学之旅（分别记为，，，）等经典旅游线路．甲、乙两名同学想在这4个旅游线路中随机选择一个为暑假出行做准备，假设这两名同学选择的旅游线路不受任何因素影响，且每一个线路被选到的可能性相等．记甲同学的选择为，乙同学的选择为． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求甲、乙两名同学选择同一个旅游线路的概率． 题型四 与图形面积有关的概率问题 1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东东营·中考真题）如图，四边形是平行四边形，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·辽宁·中考真题）如图，等边三角形是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往内投一粒米，落在阴影区域的概率为 ．    4．（2024·吉林长春·模拟预测）如图的正六边形地面上，标有编号、、、的4个小三角形地面是空地，另外2个小三角形地面是草坪，除此以外小三角形地面完全相同． (1)一只飞行的麻雀，将随意落在图中的地面上，问麻雀落在草坪上的概率是______； (2)现从4个小三角形空地中任意选取2个种植草坪，则刚好选取和两个小三角形空地种植草坪的概率是多少？（用树形图或列表法求解） 5．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个扇形区域，其中红色扇形区域的圆心角为，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形的颜色即为转出的颜色，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止） ．    (1)转动转盘一次，转出黄色的概率是___； (2)转动转盘两次，如果一次转出红色，一次转出蓝色，那么就可以配成紫色．请利用列表或画树状图的方法，求转动转盘两次，可以配成紫色的概率． 题型六 游戏公平性问题 1．（2023九年级上·全国·专题练习）小颖、小明两人做游戏，掷一枚硬币，双方约定：正面朝上小颖胜，反面朝上小明胜，则这个游戏（　） A．公平 B．对小颖有利 C．对小明有利 D．无法确定 2．（2024·浙江·模拟预测）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小金和小华一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球，小金先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（    ） A．一定是小金获胜 B．一定是小华获胜 C．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小金获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小金获胜 3．（2023·河北石家庄·模拟预测）甲、乙两人一起玩如图4的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏（   ）    A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．公平性不可预测 4．（2023·四川成都·二模）口袋中有10个球（每个球除颜色外都相同），其中白球x个，红球个，其余为蓝球．从袋中随机摸出一个球，摸到红球则甲获胜，摸到蓝球则乙获胜．要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该等于 ． 5．（2022·山西太原·一模）在课后服务时间，甲乙两班进行篮球比赛，在选择比赛场地时，裁判员采用了同时掷两枚完全相同硬币的方法：如果两枚硬币朝上的面不同，则甲班优先选择场地；否则乙班优先选择场地．这种选择场地的方法对两个班级 （填“公平”或“不公平”）． 6．（2023·河南驻马店·三模）小明和小亮两人用如图所示的转盘（转盘被分成四个面积相等的扇形）做游戏，两人各转动转盘一次，转盘停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上，不记，重新转动），如果两人转得的数字之和为奇数，则小明胜；如果两人转得的数字之和为偶数，则小亮胜，你对这个游戏公平性的评价是 ．（填“公平”“对小明有利”或“对小亮有利”）    7．（2024·吉林长春·模拟预测）准备三张纸片，两张纸片上各画一个三角形，另一张纸片画一个正方形（如图所示）．如果将这三张纸片放在一个盒子里搅匀．甲、乙两人制定了这样的游戏规则：随机地抽取两张纸片，可能拼成一个菱形（取出的是两张画三角形的纸片），也可能拼成一个房子（取出的是一张画三角形、一张画正方形的纸片）．若拼成一个菱形，则甲赢；若拼成一个房子，则乙赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 8．（2024·青海西宁·一模）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀． (1)若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为__________； (2)若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案设计对甲、乙双方公平吗？说明理由． 9．（2024·山东青岛·二模）在一次数学兴趣小组活动中，王小和李立两位同学设计了如图所示的两个转盘游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则王小获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于12，则李立获胜（若指针停在等分线上，则重转一次，直到指针指向某一份内为止）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．    题型七 概率的其他应用 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）“交通文明，让长沙与我一起白头偕老”．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北沧州·一模）某小区门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如图所示，小明抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是（    ） 内容 时间/秒 日期 4 星期 3 时间 6 天气 3 A．日期 B．星期 C．时间 D．天气 3．（2022·河北·二模）A、B、C三人作扔石子的游戏，结果如图所示，这个游戏是以石子离散的程度(即“散度”)的最小值者为胜，你认为可用"数" 来表示这个“散度”． 4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下： 收集数据 77 78 76 72 84 75 91 85 78 79 82 78 76 79 91 91 76 74 75 85 75 91 80 77 75 75 87 85 76 77 整理、描述数据 成绩/分 72 74 75 76 77 78 79 80 82 84 85 87 91 人数/人 1 1 a 4 3 3 b 1 1 1 3 1 4 分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 80 c 78 解决问题 (1)表格中的______；______；______； (2)分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为______分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为______分； (3)学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率． 5．（2024·河北邯郸·模拟预测）一款游戏的规则如下：如图1为游戏棋盘，从起点到终点共7步：如图2是一个被分成4个大小相等的扇形的转盘，转动转盘，待转盘自动停止后，此时称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止），每次棋子按照指针所指的数字前进相应的步数，若棋子最终能恰好落在终点的视为通过游戏．比如：如果第一次转动转盘指针所指数字为3，则棋子从起点前进3步到达C，第二次转动转盘指针所指数字为2，则棋子从C前进2步到达E，……，直到棋子到达终点或超过终点停止． (1)转动转盘一次，“转盘停止后指针指向3”这一事件是________（填序号即可） ①不可能事件    ②必然事件    ③随机事件 (2)转动转盘一次，“转盘停止后指针指向2”这一事件的概率为________； (3)请利用画树状图或列表的方法求转动转盘两次能通过游戏的概率． 1．下列试验中，①抛掷一枚质地均匀的硬币，结果出现“正面朝上”与出现“反面朝上”；②在三张相同的小纸条上分别标上1，2，3这3个号码，做成3支签放在一个盒子中，搅匀后从中抽到“1号签”，“2号签”，3号签”，③一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中摸出“红球”与“白球”，试验是结果具有等可能性的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2024·广东深圳·中考真题）二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·贵州黔东南·二模）盒子里有10张卡片（除卡片正面上的图片不一样，其他都一样），其中有6张卡片上印有黄果树瀑布，3张卡片上印有梵净山，1张卡片上印有西江千户苗寨．小星从中随机摸出一张卡片，准备去卡片上的地方游玩，则下列说法正确的是（    ） A．一定会去梵净山 B．去黄果树瀑布的可能性最大 C．不可能去西江千户苗寨 D．去三个地方的可能性一样 4．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）某校在劳动课上，设置了植树、种花、除草三个劳动项目．九年一班和九年二班都通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一个项目，则这两个班级恰好都抽到种花的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·福建·中考真题）哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（2021·贵州黔西·模拟预测）小明和小刚各自掷一枚质地均匀的正方体骰子，若两人的点数之和是奇数，则小明积1分，若两人的点数之和是偶数，则小刚积1分，此游戏（    ） A．对小明有利 B．对小刚有利 C．是公平的 D．无法判断 7．（2024·湖南长沙·中考真题）某乡镇组织“新农村，新气象”春节联欢晚会，进入抽奖环节．抽奖方案如下：不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有3个，蓝球有5个，每次摇匀后从中随机摸一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖，每个家庭有且只有一次抽奖机会，小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为 ． 8．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，在正方形中，分别以四个顶点为圆心，以边长的一半为半径画圆弧，若随机向正方形内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米粒落在图中阴影部分的概率为 ．    9．（2024·四川·中考真题）某校组织多项活动加强科学教育，八年级（一）班分两批次确定项目组成员，参加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生．现从项目组中随机抽取1人承担联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中，男生为 人． 10．（2024·上海·中考真题）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有 个绿球． 11．（2023·山东潍坊·中考真题）投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的概率是 ．    12．（2023·黑龙江大庆·中考真题）新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科．某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为 ． 13．（2022·河北秦皇岛·一模）如图，把一个质地均匀的转盘，分成两个扇形，其中有一个扇形的圆心角为120°，在每个扇形上标上数字．保持指针不动，转动转盘，转盘停止后，指针会指向某个扇形，并相应得到这个扇形所标的数字（若指针指向分割线，当做指向该分割线右边的扇形）． (1)转动转盘一次，求得到负数的概率； (2)数学王老师提出一个问题“转动转盘两次，将得到的数字相加，求和为0的概率”．嘉嘉发现这个问题有点难，便向淇淇请教，淇淇经过认真思考后，把写有“-1”的扇形，均分成两个小扇形，再求解这个问题就容易多了，请你按照淇淇的思路求解上述问题． 14．（2024·山东青岛·中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 15．（2024·四川遂宁·中考真题）遂宁市作为全国旅游城市，有众多著名景点，为了解“五一”假期同学们的出游情况，某实践探究小组对部分同学假期旅游地做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告： xx小组关于xx学校学生“五一”出游情况调查报告 数据收集 调查方式 抽样调查 调查对象 xx学校学生 数据的整理与描述 景点 A：中国死海 B：龙凤古镇 C：灵泉风景区 D：金华山 E：未出游 F：其他 数据分析及运用 （1）本次被抽样调查的学生总人数为______，扇形统计图中，______，“：龙凤古镇”对应圆心角的度数是______； （2）请补全条形统计图； （3）该学校总人数为人，请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数； （4）未出游中的甲、乙两位同学计划下次假期从、、、四个景点中任选一个景点旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择同一景点的概率． 16．（2024·山东济宁·中考真题）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表． 【收集数据】 八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95． 八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95． 【描述数据】 八年级（1）班20名学生成绩统计表 分数 80 85 90 95 100 人数 3 3 a b 3 【分析数据】 八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表 统计量 班级 平均数 中位数 众数 方差 八年级（1）班 95 41.5 八年级（3）班 91 90 26.5 【应用数据】 根据以上信息，回答下列问题． (1)请补全条形统计图： (2)填空：______，______； (3)你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由； (4)从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$