第23章 解直角三角形（考点串讲）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（沪科版）

九年级沪科版数学上册 单元考点串讲 第23章 解直角三角形 目录/CONTENTS 易错易混 典例剖析 考点透视 课本复习题 重难点突破 考点透视 B 典例剖析 C D A 120° B C 45° 易错易混 1.在Rt△ABC中，∠C = 90°，a=5，b= ，求 ∠A 的各个三角函数． 解：∵a2+b2=c2，∴c= . 复习题A组 2.等腰三角形ABC的腰AB=AC=8，底边BC= 6，求∠B的各个三角函数． 解：如图，过A作AD⊥BC于D，则BD=3， 3.求下列各式的值： (1) tan230°+2sin 60°+tan 45°·sin 30°－ tan 60°+cos230°； 解：(1) (2) (2) (3) (3) 4.用计算器求下列锐角的三角函数值：(精确到 0. 000 1) sin 27°49'，cos 21°23'， tan 86°7' 解：sin 27°49'≈0.466 6， cos 21°23'≈0.931 2， tan 86°7'≈14.731 7. 5.选择： (1) 在Rt△ABC中，∠C=90°，下列关系中一定正确的是( ). (A) sin A + cos B = 0 (B) sin A －cos B = 0 (C) sin A > 1 (D) sin A = 0 B (2) 在Rt△ABC中，如果各边的长度都扩大到 原来的2倍，那么锐角A的各个三角函数值 ( )． (A) 也都扩大到原来的 2 倍 (B) 都缩小到原来的一半 (C) 没有变化 (D) 不能确定 C 6.填空： (1) 北偏东 40°，也就是东偏北 ； (2) 若从点A看点B的俯角为 35°10'，则从点 B看点A的仰角应为 ； (3) 在△ABC中，∠C= 90°，如果已知c、∠B，那么a= ；b= ； 50° 35°10' c∙cosB c∙sinB (4) 在△ABC中，∠C= 90°，tan A = ，AC= 6，则BC= ，AB = . 2 7.填空： (1) 已知 2sin A －1 = 0，则锐角A= ； (2) 已知 －3tan A=0，则锐角A= ； 30° 30° 8.在Rt△ABC中，∠C= 90°，AC = 12， cos A = ，求tan A和BC的值. 解：由题意可得AB= 则 ∴ 9.如图，在△ABC中，∠C= 90°，斜边上的高 CD= ，BD = 1，解此直角三角形. 解：如图，tanB= ∴∠B=60°，则∠A=30°. ∴ 10.已知：矩形的对角线长为 10 cm，对角线与一边的夹角为 40°，求矩形面积(精确到1 cm2). 解：由题意可得，矩形的两边长分别为10×sin 40°，10×cos 40°， ∴矩形的面积为10×sin 40°×10×cos 40°≈49 (cm2). 11.设在▱ABCD中，∠A 是锐角.证明： S▱ABCD = AB·ADsin A. 证明：如图，过D作DE⊥AB于E， ∵sin A= ， ∴DE=AD∙sin A， ∴S▱ABCD=AB∙DE=AB∙ADsin A. C D A B E 12.已知，在四边形 ABCD 中，AB// DC，∠A = ∠B = 60°，DC = 2，AB = 6，求四边形 ABCD 的面积(结果保留根号)． 解：如图，过C作CE⊥AB于E， 过D作DF⊥AB于F. 在Rt△CBE中，BE= (AB－EF)=2， 所以CE= ， 所以S四边形ABCD= (2+6)× = . 13.一船向东航行，上午9:00到达一座灯塔 P 的西南68 n mile的M处，上午11 :00到达这座灯塔的正南的N处，求这船的航行速度(结果保留根号)． 解：如图可知，MN=68×sin45°= 故这船的航行速度为 解：如图所示，站在C点测建筑物AB的仰角α与俯角β， 则AE=24tan α， CD=BE=24tan β， AB=AE+BE=24tan α+24tanβ. E α β 14.如图，两个建筑物 AB，CD，已知它们之间的距离是24 m.假如你身边只有一架测角器(可测俯角、仰角)，你将如何测量出这两个建筑物的高？ 15.如图为建造楼梯的设计图，虚线AC为楼梯的倾斜线，倾斜线与地板的夹角θ1为倾斜角，一般情况下，倾斜角越小，上楼梯越省力.现把楼梯的倾斜角由θ1减至θ2，这样楼梯占用地板的长度将由d1增加到d2.已知：d1=4 m，θ1= 40°，θ2= 36°，求楼梯占用地板的长度增加了多少米.(精确到 0. 01 m) 解：在Rt△ABC中，BC=d1，∠ACB=θ1， AB=BC∙tan∠ACB，∴AB=d1∙tanθ1=4tan40°， 同理，在Rt△ABD中，AB=d2∙tanθ2=d2∙tan 36°， ∴d2∙tan 36°=4tan 40°， ∴d2=4tan 40°÷tan 36°≈4.62 (m)， ∴d2－d1≈4.62－4=0.62 (m). 答：楼梯占用地板的长度约增加了0.62 m. 1.在平面直角坐标系的第一象限中，有一点P(x，y) ，记r= . 若OP与 x 轴正方向所夹的锐角为α，则 sin α = ，cos α＝ ， tan a= . 复习题B组 2.填空： (1) 若0°<α< 45°，且sin2α= ，则α= . (2) 已知： sin α= ，且α为某等腰三角形的一个底角，那么这个等腰三角形的各角大小分别为 . 30° 60°、60°、60° 3.已知： A为任意锐角，求证： (1) sin2A + cos2A = l； 解：(1) 如图，在Rt△ABC中， (2) (2) 如图，在Rt△ABC中， 4.在△ABC中，∠C=90°，sin A = ，求 cos A 和 tan A的值. 解：如图，∵sin A = ，∴设BC=3k， AB=5k，则AC= D 解：作CD⊥AB，垂足为D，根据题意得∠BAC=45°，∠ACB=105°，则∠B=30°，AC=20×1.5=30(n mile)， 在Rt△ADC中， CD=AC∙sin45°=30× = (n mile)， 5.如图，一航船在A处测到北偏东45°的方向上有一灯塔B，航船向东以20 n mile/h的速度航行1.5 h到达C处，又测到灯塔B在北偏东15°的方向上，求此时航船与灯塔相距多少海里(结果保留根号)． 在Rt△BCD中， BC=CD÷sinB= (n mile)， 即此时航船与灯塔相距 n mile. 解：过D作DF⊥AC于F，则DF=CE. ∵i=1∶ ，∴∠DAF=30°， 在Rt△ADF中，AD=1000 m， ∴DF=AD·sin∠DAF=500 m. ∵∠DAB=∠BAC－∠DAC=45°－30°=15°， F 6.如图，某人在山脚A处测得山顶B的仰角为 45°，他从A处沿着坡度 i = 1∶ 的斜坡前进1 000 m到达D处，这时测得山顶B的仰角为60°，求山高BC的值(结果保留根号)． ∠DBE=90°－∠BDE=90°－60°=30°， ∠ABD=∠ABE－∠DBE=45°－30°=15°，∴∠DAB=∠DBA，∴DA=DB=1000 m . 在Rt△BDE中 BE=BD∙sin∠BDE=1000× =500 (m)，∴BC=BE+EC=500 +500 (m). 7.如图，在兴修引水渠时，水渠的横断面一般设计成四边形 ABCD，AD∥BC，且∠ABC=∠DCB=120°，记AB+BC+CD=l，在l一定的情况下，问如何确定AB，CD的值，使水渠的流量最大？(在水流速度一定的情况下，流量与横断面面积成正比) 解：由题意可知∠D=60°，CH⊥AD，BK⊥AD， 在Rt△CDH中，设CD=x，则有DH=CD∙cosD= CH=CD∙sinD= ∴AK=DH= KH=BC=l－2x， ∴AD=AK+KH+HD=l－x，∴S梯形ABCD 当 时，S梯形ABCD有最大值， ∴当 ，即AB=CD= 时， 水渠的流量最大. 8.在△ABC中，∠C=90°，两直角边分别为a，b，且a，b满足方程a2－3ab +2b2＝0，求sinA的值． 解：∵a2－3ab +2b2＝0， ∴(a－b)(a－2b)=0， 解得a=b或a=2b. 当a=b时，∠A=∠B=45°， ∴sinA=sin 45°= ； 当a=2b时， E D 解：如图，过点A作一条南北方向的射线AE，再作BD⊥CA交CA的延长线于D. 则可得∠BAE=62°，∠CAE=54°，∠BAC=∠BAE+∠CAE=116°， 9.根据百慕大三角(图中△ABC)的位置及相关 数据求百慕大三角的面积(参考数据： sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05). ∴∠BAD=180°－∠BAC=64°. ∵BD=AB∙sin∠BAD=1700×sin64°≈1530(km). ∴S△ABC= AC∙BD≈ ×2700×1530=2065500 (km2). 1.在锐角三角形 ABC 中，已知 AB = 8，AC = 10，S△ABC = 20 ，求 ∠A的各个三角函数. 解：如图，过点C作CD⊥AB于D. ∵S△ABC= ×AB×CD=20 ，AB=8，∴CD=5 ， ∴AD= 复习题C组 证明：如图，在凸四边形ABCD中，AC与BD为对角线且相交于O点， 过A作AE⊥BD于E点，过C作CF⊥BD于F点. 2.已知：凸四边形的两条对角线分别为l1，l2，且所夹锐角为α. 求证：四边形的面积S为 l1l2sinα. 设AC=l1，BD=l2，∠AOB=α， ∴S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD 3.在△ABC中，有 ，请画一个锐角三角形并给出证明. 证明：如图，作锐角三角形ABC，作AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E， CF⊥AB于点F，在Rt△AFC中，CF=b∙sin∠BAC， 在Rt△BFC中，CF=a∙sin∠ABC， 故b∙sin∠BAC=a∙sin∠ABC， ∴ 同理可证 4.在△ABC中，AB=4，AC=2，∠A=120°，求 tanB的值． 解：如图，过点C作CD⊥BA， 交BA的延长线于点D， 则∠DAC=180°－120°=60°， ∴AD=AC·cos∠DAC=2× =1， CD=AC·sin∠DAC= ， 5.在学习一次函数时，通过描点画图，直观地得出正比例函数y=kx (k>0)的图象是一条直线现在，你能对这个结论给出证明吗？ 证明：设正比例函数y=kx (k>0)的图象上任意两点A(x1，kx1)，B(x2，kx2)，且x1≠x2.分别过A，B作x轴的垂线AC，BD， 则在Rt△AOC中， 同理tan∠BOD=k， ∴∠AOC=∠BOD. 又∵C，D都在x轴上， ∴点O，A，B在一条直线上，即正比例函数y=kx (k>0)的图象是一条直线. 解：如图，连接一对对应点AA′，则AA′=5 . 因为在网格中，以AA′为对角线的矩形是正方形，所以直线AA′与水平方向所夹的角为45°， 6.如图，△A'B'C'是由△ABC平移后得到的，△ABC中任一点P(x0，y0)经平移后得△A'B'C'中对应点P'(x0+5，y0＋5)，给出这个平移的方向和距离. 所以△ABC平移的方向是北偏东45°，平移的距离是5 个单位长度. 突破一：锐角三角函数与二次函数、反比例函数的综合应用 重难点突破 突破二：解直角三角形的应用 考点1：求锐角的三角函数: 1.正方形网格中，∠AOB的如图放置，则cos∠AOB的值为(　　) A.eq \f(1,2)　　 B．eq \f(\r(2),2)　　 C．eq \f(\r(3),2)　　 D．eq \f(\r(3),3) 【思路分析】可将∠AOB通过巧作高置于直角三角形中，再运用三角函数的定义求解． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则tanA的值是(　　) A.eq \f(12,13)　 　 B．eq \f(5,13)　 　 C．eq \f(12,5)　 　 D．eq \f(5,12) 3．(杭州中考)在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝ . eq \f(\r(3),2)或eq \f(2\r(5),5) 4．(海南中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是　　. eq \f(3,5) 考点2：　特殊的三角函数值 5(庆阳中考)在△ABC中，若∠A、∠B满足|cosA－eq \f(\r(3),2)|＋(1－tanB)2＝0，则∠C的大小是(　　) A．45° B．60° C．75° D．105° 【思路分析】先利用特殊角的三角函数值表求出∠A、∠B的度数，再利用三角形内角和定理求出∠C即可． 6．已知α为锐角，tanα＝eq \r(3)，则cosα等于(　　) A.eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2) C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),3) 7．在△ABC中，若|sinA－eq \f(1,2)|＋(eq \f(\r(3),3)－tanB)2＝0，则∠C的度数为 . 考点3：解直角三角形 8．(杭州中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则(　　) A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB 9．(安徽中考)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A.若AC＝4，cosA＝eq \f(4,5)，则BD的长度为(　　) A.eq \f(9,4) B．eq \f(12,5) C．eq \f(15,4) D．4 10．在△ABC中，∠C＝90°，b＝eq \r(5)，三角形面积为eq \f(5,2)，则斜边c＝_____，∠A的度数是 . 11．(鄂尔多斯中考)如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称 这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠A＝ 90°，则tan∠ABC＝ . eq \r(10) eq \f(\r(3),2)或eq \f(2\r(3),3) (2)过点D作DE⊥AB于点E，∵tanB＝eq \f(3,4)，可设DE＝3y，则BE＝4y，∵BE2＋DE2＝BD2，∴(3y)2＋(4y)2＝12，解得y＝－eq \f(1,5)(舍)，或y＝eq \f(1,5)，∴DE＝eq \f(3,5)，∴sinα＝eq \f(DE,AD)＝eq \f(\r(2),10). 12．(梧州中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tanB＝eq \f(3,4). (1)求AD的长； (2)求sinα的值． 解：(1)∵tanB＝eq \f(3,4)，可设AC＝3x，得BC＝4x，∵AC2＋BC2＝AB2，∴(3x)2＋(4x)2＝52，解得x＝－1(舍去)，或x＝1，∴AC＝3，BC＝4，∵BD＝1，∴CD＝3，∴AD＝eq \r(CD2＋AC2)＝3eq \r(2)； 13. (威海中考)一副三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长． 【思路分析】过点BG⊥CF于点G.先解Rt△ACB求出BC的长，再解Rt△CBG求出BG、CG的长，解Rt△BGD求出DG的长，从而可借助关系式CD＝CG－DG求出CD的长． 【规范解答】解：过点B作BG⊥FD于点G，在Rt△ACB中，AC＝10，∠A＝60°， ∴BC＝10·tan60°＝10eq \r(3).在Rt△CBG中，BG＝BC×sin30°＝5eq \r(3)，CG＝BC×cos30°＝15.在Rt△BGD中，∠E＝45°，则∠BDG＝45°，∴DG＝5eq \r(3)，∴CD＝CG－DG＝15－5eq \r(3). 考点4:解直角三角形的实际应用 14．(盘锦中考)如图，池塘边一棵垂直于水面BM的笔直大树AB在点C处折断，AC部分倒下，点A与水面上的点E重合，部分沉入水中后，点A与水中的点F重合，CF交水面于点D，DF＝2 m，∠CEB＝30°，∠CDB＝45°，求CB部分的高度(精确到0.1 m．参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73)． 解：设CB部分的高度为x m．∵∠BDC＝∠BCD＝45°， ∴BC＝BD＝x m．CD＝eq \f(BC,sin45°)＝eq \f(x,sin45°)＝eq \r(2)x. ∵∠BEC＝30°，∴CE＝2BC＝(2x)m. ∵CE＝CF＝CD＋DF，∴2x＝eq \r(2)x＋2，解得x＝2＋eq \r(2). ∴BC＝2＋eq \r(2)≈3.4 m．答：CB部分的高度约为3.4 m. 15．(鞍山中考)如图为某海域示意图，其中灯塔D的正东方向有一岛屿C.一艘快艇以每小时20 nmile的速度向正东方向航行，到达A处时测得灯塔D在东北方向上，继续航行0.3 h，到达B处时测得灯塔D在北偏东30°方向上，同时测得岛屿C恰好在B处的东北方向上，此时快艇与岛屿C的距离是多少？(结果精确到1 nmile.参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73， eq \r(6)≈2.45) 解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F.则DE∥CF，∠DEA＝∠CFA＝90°.∵DC∥EF，∴四边形CDEF为平行四边形．又∵∠CFE＝90°，∴▱CDEF为矩形，∴CF＝DE.∵∠DAB＝45°，∠DBE＝60°，∠CBF＝45°.设DE＝x，∵tan∠DAB＝eq \f(DE,AE)，∴AE＝eq \f(x,tan45°)＝x.∵tan∠DBE＝eq \f(DE,BE)，∴BE＝eq \f(x,tan60°)＝eq \f(\r(3),3)x.∵AB＝20×0.3＝6 nmile，AE－BE＝AB，∴x－eq \f(\r(3),3)x＝6，解得x＝(9＋3eq \r(3)) nmile，∴CF＝DE＝(9＋3eq \r(3)) nmile.∵sin∠CBF＝eq \f(CF,BC)， ∴BC＝eq \f(CF,sin45°)＝eq \f(9＋3\r(3),\f(\r(2),2))＝9eq \r(2)＋3eq \r(6)≈20 nmile. 答：此时快艇与岛屿C的距离约为20 nmile. 16.如图，某大楼的顶部有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1∶eq \r(3)，AB＝10m，AE＝15m. (1)求点B距水平面AE的高度BH； (2)求广告牌CD的高度(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：eq \r(2)≈1.414， eq \r(3)≈1.732)． 【规范解答】解：(1)由山坡AB的坡度i＝1∶eq \r(3)，得坡角∠BAH＝30°.∵AB＝10m，∴BH＝5m；　 (2)过点B作BM⊥CE于点M.∵AB＝10m，BH＝5m，∴AH＝5eq \r(3)m.∴HE＝AH＋AE＝(5eq \r(3)＋15)m＝BM.在Rt△CBM中，∠MBC＝45°，∴MC＝BM＝(5eq \r(3)＋15)m.∴CE＝MC＋ME＝(5eq \r(3)＋20)m.在Rt△ADE中，∴DE＝AE·tan60°＝15eq \r(3)m.∴CD＝CE－DE＝5eq \r(3)＋20－15eq \r(3)＝20－10eq \r(3)≈2.7m. 【思路分析】(1)利用坡度的定义可直接求解；(2)过点B作BM⊥CE于点M，先解Rt△CBM，求出MC、MB的长，从而可求出CE、DE的长，再由CD＝CE－DE可求解． 【易错分析】 1．解直角三角形时，思维定式误以为∠C是直角而导致错解． 2．题中无图，画图情形不唯一时，考虑问题不全面而导致漏解． 3．不能正确理解锐角三角函数的取值范围导致出错． 4．对仰角、俯角、坡角、方向角等概念理解不透彻导致出错． 【专题概述】此类问题通常从锐角三角函数入手，将其转化为线段之比，再进一步转化为含待定字母的等式，从而得以解决． 1．已知二次函数y＝x2－kx＋k－1(k＞2)． (1)求证：抛物线y＝x2－kx＋k－1(k＞2)与x轴必有两个交点； (2)抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，若tan∠OAC＝3，求抛物线的表达式． (1)证明：Δ＝(－k)2－4(k－1)＝k2－4k＋4＝(k－2)2，∵k＞2，∴Δ＞0.∴抛物线与x轴必有两个交点；　 (2)解：∵抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，∴A(1,0)、B(k－1,0)、C(0，k－1)． 在Rt△AOC中，tan∠OAC＝eq \f(OC,OA)＝3，∴eq \f(k－1,1)＝3，解得k＝4.∴y＝x2－4x＋3. 2．(东营中考)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A， 与反比例函数y＝eq \f(m,x)的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO＝eq \f(1,2)， OB＝4，OE＝2. (1)求反比例函数的解析式； (2)若点D是反比例函数图象在第四象限内的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF，如果S△BAF＝4S△DFO，求点D的坐标． 解：(1)在Rt△BCE中，tan∠ABO＝eq \f(CE,BE)＝eq \f(1,2).∵BE＝OB＋OE＝6.∴CE＝3.∴C(－2,3)，将C(－2,3)代入y＝eq \f(m,x)中，解得m＝－6.反比例函数解析式为y＝－eq \f(6,x)；　 (2)设点D的坐标为(n，－eq \f(6,n))(n＞0)．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝4，tan∠ABO＝eq \f(1,2)，∴OA＝OB·tan∠ABO＝4×eq \f(1,2)＝2.∴S△BAF＝eq \f(1,2)AF·OB＝eq \f(1,2)(OA＋AF)·OB＝eq \f(1,2)(2＋eq \f(6,n))×4＝4＋eq \f(12,n).∵点D在反比例函数y＝－eq \f(6,x)第四象限的图象上，∴S△DFO＝eq \f(1,2)×|－6|＝3.∵S△BAF＝4S△DFO，∴4＋eq \f(12,n)＝4×3＝12，解得n＝eq \f(3,2).∴点D的坐标为(eq \f(3,2)，－4)． 3．(达州中考)矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3.分别以OB、OA所在直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点(不与B、C重合)，过点F的反比例函数y＝eq \f(k,x)(k＞0)的图象与边AC交于点E. (1)当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标； (2)连接EF，求∠EFC的正切值； (3)如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式． 解：(1)易求反比例函数的解析式为y＝eq \f(6,x)，∵E点的纵坐标为3，∴E(2,3)；　 (2)∵F点的横坐标为4，∴F(4，eq \f(k,4))，∴CF＝BC－BF＝3－eq \f(k,4)＝eq \f(12－k,4). ∵E的纵坐标为3，∴E(eq \f(k,3)，3)，∴CE＝AC－AE＝4－eq \f(k,3)＝eq \f(12－k,3). 在Rt△CEF中，tan∠EFC＝eq \f(CE,CF)＝eq \f(4,3)； (3)由(2)知，CF＝eq \f(12－k,4)，CE＝eq \f(12－k,3)， eq \f(CE,CF)＝eq \f(4,3)，过点E作EH⊥OB于H，∴EH＝OA＝3，∠EHG＝∠GBF＝90°，∴∠EGH＋∠HEG＝90°，由折叠知，EG＝CE，FG＝CF，∠EGF＝∠C＝90°，∴∠EGH＋∠BGF＝90°，∴∠HEG＝∠BGF，∵∠EHG＝∠GBF＝90°，∴△EHG∽△GBF，∴eq \f(EH,BG)＝eq \f(EG,FG)＝eq \f(CE,CF)，∴eq \f(3,BG)＝eq \f(4,3)，∴BG＝eq \f(9,4).在Rt△FBG中，FG2－BF2＝BG2，∴(eq \f(12－k,4))2－(eq \f(k,4))2＝eq \f(81,16)，∴k＝eq \f(21,8)，∴反比例函数解析式为y＝eq \f(21,8x). 【专题概述】解直角三角形实际应用题的常见图形类型及辅助线作法如下： 1．(南京中考)已知不等臂跷跷板AB长4m.如图1，当AB的一端A碰到地面时，AB与地面的夹角为α.如图2，当AB的另一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为β.求跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH(用含α、β的式子表示)． INCLUDEPICTURE"B328.TIF" 　 解：在Rt△AHO中，sinα＝eq \f(OH,OA)，∴OA＝eq \f(OH,sinα).在Rt△BHO中，sinβ＝eq \f(OH,OB)，∴OB＝eq \f(OH,sinβ).∵AB＝4，∴OA＋OB＝4，即eq \f(OH,sinα)＋eq \f(OH,sinβ)＝4.∴OH＝eq \f(4sinαsinβ,sinα＋sinβ)(m)． 2．(泸州中考)如图，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距离AB为90m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E(A、E、B 在同一水平线上)点测得D点的仰角为30°，测得C点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C、D间的距离(计算结果用根号表示，不取近似值)． 解：由题意知：BC＝6AD，AE＋BE＝AB＝90m.在Rt△ADE中，tan30°＝eq \f(AD,AE)，sin30°＝eq \f(AD,DE)，∴AE＝eq \f(AD,\f(\r(3),3))＝eq \r(3)AD，DE＝2AD；在Rt△BCE中，tan60°＝eq \f(BC,BE)，sin60°＝eq \f(BC,CE)，∴BE＝eq \f(BC,\r(3))＝2eq \r(3)AD，CE＝eq \f(2\r(3)BC,3)＝4eq \r(3)AD；∵AE＋BE＝AB＝90m，∴eq \r(3)AD＋2eq \r(3)AD＝90，∴AD＝10eq \r(3)(m)．∴DE＝20eq \r(3)m，CE＝120m.∵∠DEA＋∠DEC＋∠CEB＝180°，∠DEA＝30°，∠CEB＝60°，∴∠DEC＝90°∴CD＝eq \r(DE2＋CE2)＝eq \r(15600)＝20eq \r(39)(m)答：这两座建筑物顶端C、D间的距离为 20eq \r(39)m. 3．某校教学楼后紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长为eq \f(5,2) eq \r(106)米，坡度i＝9∶5.为了减缓坡面防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡． (1)求改造前坡顶到地面的距离BE的长； (2)如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削退到F处，问BF至少是多少米才能确保安全？ 解：(1)∵i＝eq \f(BE,AE)＝eq \f(9,5)，设BE＝9k，AE＝5k(k为正数)，则在Rt△AEB中，∠BEA＝90°，AB＝eq \f(5,2) eq \r(106)米，AB2＝BE2＋AE2，即(eq \f(5,2) eq \r(106))2＝(9k)2＋(5k)2，解得k＝eq \f(5,2)，∴BE＝9×eq \f(5,2)＝22.5(米)；　 (2)由(1)得AE＝12.5，设BF＝x，作FH⊥AD于点H，则eq \f(FH,AH)＝tan∠FAH，由题意得eq \f(22.5,x＋12.5)≤tan45°，即x≥10.所以坡顶B沿BC至少削退10米，才能确保安全． 4．(常德中考)图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小相同(即AB＝CD)，将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离(结果保留一位小数，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8, eq \r(2)≈1.4) 解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE＝CM， 如图所示：∵AB＝CD，AB＋CD＝AD＝2，∴AB＝CD＝1.在Rt△ABE中，AB＝1，∠A＝37°，∴BE＝AB·sin∠A≈0.6，AE＝AB·cos∠A≈0.8.在Rt△CDF中，CD＝1，∠D＝45°，∴CF＝CD·sin∠D≈0.7，DF＝CD·cos∠D≈0.7.∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CM，又∵BE＝CM，∴四边形BEMC为平行四边形，∴BC＝EM，CM＝BE.在Rt△MEF中，EF＝AD－AE－DF＝0.5，FM＝CF＋CM＝1.3， ∴BC＝EM＝eq \r(0.52＋1.32)≈1.4.答：B与C之间的距离约为1.4米． $$