23.2　解直角三角形及其应用 教案 2024-2025学年沪科版数学九年级上册

课题 23.2　解直角三角形及其应用 课时 第1课时　解直角三角形 教学目标 1.理解直角三角形中除直角外的五个元素的关系,会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 2.通过综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力. 教学 重难点 【重点】直角三角形的解法. 【难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用. 教学活动 教学流程 师生活动 设计意图 课前小测 1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°. (1)若∠A=30°,BC=3,则AC=　3　;  (2)若∠B=60°,AC=3,则BC=　　;  (3)若∠A=α,AC=3,则BC=　3tan α　;  (4)若∠A=α,BC=m,则AC=　　.  第1题图 第2题图 2.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,sin B=,求BC的长及∠A的正切值. 解:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AB=10,sin B=, ∴AC=AB·sin B=6, ∴BC===8, ∴tan A===. 学生通过课前预习初步学会在直角三角形中利用已知元素求未知元素,检测学生的掌握情况,可为课堂教学开展提供参考. 情境导入 问题:如图所示,有两棵树,一棵高8 m,另一棵高2 m,两树相距8 m,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞多远? 通过创设情境调动学生学习的积极性,让学生体会数学与生活的联系,点燃学生的求知欲.引出本节课所要探究的问题. 续表 合作探究 探究:解直角三角形的概念 1.如图所示,在Rt△ABC中, ∠C=90°,除直角外,还有哪些元素?这些元素之间有什么关系? (1)三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理); (2)两锐角之间的关系:∠A+ ∠B= 90°; (3)边角之间的关系: sin A==,cos A==,tan A==. sin B==,cos B==,tan B==. 2.在Rt△ABC中,∠C=90°. (1)如果∠A=75°,斜边AB=6,你能求出这个直角三角形的其他元素吗? sin A=⇒BC=AB·sin A=6×sin 75°. ∠A+∠B=90°⇒∠B=90°-∠A=90°-75°=15°. (2)如果AC=2.4,斜边AB=6,你能求出这个直角三角形的其他元素吗? AB2=AC2+BC2⇒BC==≈5.5, cos A= ⇒cos A==0.4 ⇒∠A≈66°. ∠A+∠B=90°⇒∠B=90°-∠A≈90°-66°=24°. 归纳小结: 事实上,在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果再知道两个元素(其中至少有一个是边),这个三角形就可以确定下来,这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素. 在直角三角形中,除直角外,由已知元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形. 典型分析: 【例1】 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=42°6',c=287.4,解这个直角三角形.(精确到0.1) 解:由cos B=,得a=ccos B=287.4×0.742 0=213.3, 由sin B=,得b=csin B=287.4×0.670 4=192.7, ∠A = 90°- 42°6' = 47°54'. 【例2】 如图所示,在△ABC 中,∠A=55°,b=20 cm,c=30 cm,求三角形的面积 (精确到 0.1 cm2). 解:如图所示,作 AB 上的高 CD. 在Rt△ACD 中, ∵ CD = AC · sin A = b sin A, ∴S△ABC=AB·CD=cbsin A. 当∠A = 55°,b = 20 cm,c = 30 cm 时,有 S△ABC=cb sin A=×20×30 sin 55°=×20×30×0.819 2≈245.8(cm2). 培养学习及时概括知识的能力,构建知识框架. 本例除直角外,已知一边一角,根据边角之间的关系求其余元素. 本例区别于例1,题干中的三角形ABC不是直角三角形,则需先构造直角三角形,然后根据边角之间的关系求其余元素. 续表 随堂检测 1.根据下列条件,解直角三角形. 在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,a = 30,∠B = 80°. 解:由cos B=,得c==≈172.8. 由tan B=,得b=a×tan B=30×5.671 3≈170.1. 由∠A+∠B=90°,得∠A=90°-∠B=90°-80°=10°. 2.在四边形 ABCD 中,AB∥CD,AB=4,CD=8,AD=6,∠D=43°,求四边形的面积(精确到0.1). 解:如图所示,过点A作边CD 上的高 AE, ∴AE = AD · sin 43°= 6 sin 43°, S四边形ABCD=(AB+CD)×AE =(4+8)×6 sin 43° =×12×6×0.682 0 ≈24.6. 进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,及时了解学生掌握知识的情况. 课堂小结 1.通过本节课的学习,你有哪些收获?还有哪些疑惑? 2.本节课所学解直角三角形的概念是什么? 3.在本节课的学习过程中,你感受到了哪些研究问题的思想方法? 便于学生对本节课的知识进行及时整理和归纳,加深理解. 作业布置 自主完成课本P125练习T1~T3 板书设计 第1课时　解直角三角形 解直角三角形的概念: 如图所示,在Rt△ABC中, ∠C=90°,除直角外,还有哪些元素?这些元素之间有什么关系? (1)三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理); (2)两锐角之间的关系:∠A+∠B= 90°; (3)边角之间的关系: sin A==,cos A==,tan A==, sin B==,cos B==,tan B==. 教学反思 课题 23.2　解直角三角形及其应用 课时 第2课时　仰角、俯角和方向角 教学目标 1.了解仰角、俯角、方向角,学会把实际问题转化为解直角三角形问题,并通过解直角三角形进一步解决实际问题. 2.通过综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、锐角三角函数等有关知识,解决测量问题. 教学 重难点 【重点】仰角、俯角、方向角的概念及运用. 【难点】仰角、俯角、方向角的概念及运用. 教学活动 教学流程 师生活动 设计意图 课前小测 1.在下列所给的直角三角形中,不能求出解的是(　B　) A.已知一直角边和所对的锐角 B.已知一直角和斜边 C.已知两直角边 D.已知斜边和一锐角 2.由A测得B的仰角为36°,由B去测A的俯角为　 36°　.  3.一棵树在地面上的影子长为10米,在树影一端B测得树顶A的仰角为45°,则树高　10　米;若仰角为60°,树高　 10　米.  4.如图所示,一艘轮船由西向东航行,在A处测得灯塔P在北偏东60°的方向,继续向东航行40海里后到B处,测得灯塔P在北偏东30°的方向,此时轮船与灯塔之间的距离是　40　海里.  学生通过课前预习初步认识仰角、俯角、方向角,检测学生的掌握情况,可为课堂教学开展提供参考. 情境导入 问题:某探险者某天到达如图所示的点A 处时,他准备估算出离他的目的地,海拔为3 500 m的山峰顶点B处的水平距离.他能想出一个可行的办法吗? 通过创设情境调动学生学习的积极性,让学生体会数学与生活的联系,点燃学生的求知欲.引出本节课所要探究的问题. 合作探究 探究一:仰角、俯角的概念 1.平时观察物体时,我们的视线相对于水平线来说可有几种情况? 2.如图所示,在进行高度测量时,由视线与水平线所夹的角中,当视线在水平线上方时叫做仰角,当视线在水平线下方时叫做俯角. 通过对比学习,有利于学生对仰角和俯角概念的理解,符合学生认知规律. 续表 合作探究 探究二:方位角、方向角的概念 1.从某点的正北方向沿顺时针方向旋转到目标方向所形成的角,叫做方位角. 如图①所示:OA的方位角为30°,OB的方位角为135°. ① ② 2.从正北方向或正南方向到目标方向所形成的锐角叫做方向角. 如图②所示:OA的方向角为北偏东25°;OB的方向角为南偏东70°;OC的方向角为南偏西50°;OD的方向角为北偏西45°,也叫西北方向. 典型分析: 【例1】 学生要测量校园内一颗水杉树的高度,他站在距离水杉树8 m的E处,测得树顶的仰角为∠ACD=52°,已知测角器的高度CE=1.6 m,问树高AB为多少米?(精确到0.1 m) 思路点拨:在Rt△ACD中,利用直角三角形边角关系求解.水杉树的高度为AD和DB的总和. 答案:树高AB为11.8 m. 【例2】 如图所示,某校九年级学生要测量当地电视塔的高度AB,因为不能直接到达塔底B处,他们在与电视塔成一直线的C,D两处的地面上,用测角器测得电视塔顶部A的仰角分别为45°和30°,同时量得CD为50 m,已知测角器高为1 m,问电视塔的高度为多少米?(精确到1 m) 思路点拨:图中,仰角45°和30°分别在Rt△AC1B1, Rt△AD1B1中,在两个三角形中分别利用直角三角形边角关系可求解,注意电视塔的高度是由 AB1+ BB1构成. 解:设AB1=x m.在Rt△AC1B1中,由∠AC1B1=45°,得C1B1=AB1. 在Rt△AD1B1中,由∠AD1B1=30°,得 tan∠AD1B1==, 即=,解得x=25(+1). 经检验,x=25(+1)是原方程的根, ∴AB=AB1+B1B=25(+1)+1≈69(m). 答:电视塔的高度约为69 m. 通过对比学习,有利于学生对方位角和方向角概念的理解,符合学生认知规律. 通过对例题的解答,学生加深了对仰角、俯角意义的理解,并能熟练加以运用. 让学生经历利用仰角、俯角测量不可以到达底部的物体高度的探究过程,增强直角三角形的边角关系在物体高度测量问题中的应用,进一步提高学生的建模思想及把实际问题转化成数学问题的能力. 续表 合作探究 【例3】 如图所示,一船以20 n mile/h的速度向东航行,在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上,继续航行 1 h到达B处,再测得灯塔C在北偏东30°方向上.已知灯塔C四周 10 n mile内有暗礁,问这船继续向东航行是否安全? 思路点拨:这船继续向东航行是否安全,取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于10 n mile. 解:过点C作CD⊥AB,设CD= x n mile, 则在Rt△ACD中,AD==, 在Rt△BCD中,BD==, 由AB=AD-BD,得20=-, 解得x=10>10. 答:这船继续向东航行是安全的. 让学生经历利用方向角解题的探究过程,增强直角三角形的边角关系在方向角问题中的应用,进一步提高学生的建模思想及把实际问题转化成数学问题的能力. 随堂检测 1.侦察机在P观测目标R的俯角为30°,向东航行2分到达点Q,此时观测目标R的俯角为45°,符合条件的示意图是(　A　) A B C D 2.一辆汽车从A地沿北偏东50°方向行驶5千米到达B地,再从B地沿南偏东10°方向行驶5千米到达C地,则A,C两地相距(　D　)千米. A.10 B.5 C.5 D.5 3.如图所示,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80 n mile的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处,海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01 n mile)? 解:如图所示,过点P作PC⊥AB于点C,在Rt△APC中,PC=PA·sin 65°≈72.505. 在Rt△BPC中,∠B=34°,sin B=, ∴PB=≈≈129.66(n mile). 答:海轮所在的B处距离灯塔P大约129.66 n mile. 进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,及时了解学生掌握知识的情况. 续表 课堂小结 1.通过本节课的学习,你有哪些收获?还有哪些疑惑? 2.本节课所学仰角、俯角和方向角的概念是什么? 3.在本节课的学习过程中,你感受到了哪些研究问题的思想方法? 便于学生对本节课的知识进行及时整理和归纳,加深理解. 作业布置 自主完成课本P128练习T1~T2 板书设计 第2课时　仰角、俯角和方向角 1.仰角、俯角:由视线与水平线所夹的角中,当视线在水平线上方时叫做仰角,当视线在水平线下方时叫做俯角. 2.方位角和方向角:从某点的正北方向沿顺时针方向旋转到目标方向所形成的角,叫做方位角.从正北方向或正南方向到目标方向所形成的锐角叫做方向角. 教学反思 课题 23.2　解直角三角形及其应用 课时 第3课时　坡度、坡角与其他应用 教学目标 1.理解坡角、坡度的概念,会运用解直角三角形的有关知识解决与坡角、坡度有关的实际问题. 2.经历运用解直角三角形有关知识解决与坡角、坡度有关的实际问题的过程,提升解决问题的能力. 教学 重难点 【重点】坡角和坡度的概念及运用. 【难点】坡角和坡度的概念及运用. 教学活动 教学流程 师生活动 设计意图 课前小测 1.斜坡的坡度是1∶,则坡角α =　 30　度.   2.斜坡的坡角是45°,则坡比是　1∶1　.  3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是　1∶　.  4.如图所示,河堤横断面迎水坡AB的坡度是1∶2,坡面AB=6,则堤高是　6　.  学生通过课前回忆坡度、坡比等概念,检测学生的掌握情况,可为课堂教学开展提供参考. 情境导入 问题:如图所示,从山脚到山顶有两条路AB与BC,问哪条路比较陡?如何用数量来刻画哪条路陡呢? 通过创设情境调动学生学习的积极性,让学生体会数学与生活的联系,点燃学生的求知欲.引出本节课所要探究的问题. 合作探究 探究一:坡度与坡角 1.什么是坡角? 2.什么是坡度(或坡比) ? 3.坡度与坡角的关系是什么? 归纳小结: (1)如图所示,坡面的铅垂高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度 (或坡比),记作i,即 i = h∶ l .坡度通常写成 1∶m的形式,如i=1∶6. (2)i==tan α,即坡度等于坡角的正切值. 复习坡角、坡度知识,让学生明确坡度的概念并能根据图形写出坡度的符号表示;坡度i与坡角α之间的关系,即坡度i为坡角α的正切. 续表 合作探究 探究二:直线倾斜角的正切与直线的斜率 1.我们学过一次函数y=x+1,如何在平面直角坐标系内确定它的图象的位置? 2.在直角坐标系下,过一点能不能确定一条直线?确定一条直线的几何要素有哪些? 归纳小结:确定直线的要素除了一个点之外,还有直线的方向,也就是直线的倾斜程度. 经过一点可以作出无数条直线. 3.什么是直线的倾斜角? 直线l与x轴相交时,取x轴为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. 4.什么是直线的斜率? 定义:我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用k表示,即 k=tan α(α≠90°). 典型分析: 【例1】 如图所示,铁路路基的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,路基顶宽BC=9.8 m,路基高BE=5.8 m,斜坡AB的坡度i=1∶1.6,斜坡CD的坡度i'=1∶2.5,求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1 m)与斜坡的坡角α和β(精确到1°)的值. 答案:铁路路基下底宽约为33.6 m,斜坡的坡角α和β分别约为32°和22°. 【例2】 已知:在直线y=kx+b上有任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),这条直线向上方向与x轴正方向所夹的锐角为α. 求证:tan α==k. 证明:由α是锐角,可知直线y=kx+b是上升的,即函数y=kx+b的值随x值的增大而增大. 如图所示,设x1<x2,则y1<y2.过点P1,P2作x轴的垂线,垂足分别为Q1,Q2,再过点P1作x轴的平行线P1R交P2Q2于点R,得 ∠P2P1R=α. 在Rt△P2P1R中,tan α===. ∵P1,P2都在直线y=kx+b上, ∴∴k=, ∴tan α==k. 复习一次函数图象,以此推导出直线的倾斜角、斜率的知识,让学生感受到新知识是自然生成的、根据需要生成的,而不是只为“做题”,而是为解决问题产生的! 进一步感知坡度、坡角与实际生活的密切联系,认识将知识应用于实践的意义. 进一步感知平面直角坐标系中直线的倾斜角、斜率的概念. 续表 随堂检测 1.如图所示,河坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶,坝高BC=3 m,则坡面AB的长度是 　6　m.  第1题图 第2题图 2.如图所示,小明爬一土坡,他从A 处爬到B 处所走的路程AB=4 m,此时,他离地面的高度h 为2 m,则这个土坡的坡角为　30°　.  3.直线y=x的向上方向与x轴正方向所夹的锐角为　45°　.  4.一段路基的横断面是梯形,高为4米,上底的宽是12米,路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°,求路基下底的宽 (精确到0.1米,≈1.732,≈1.414). 解:过点D作DE⊥AB,过点C作CF⊥AB,垂足分别为E,F,如图所示. 由题意可知,DE=CF=4 米,CD=EF=12 米. 在Rt△ADE中,AE==4(米). 在Rt△BCF中,BF=≈6.93(米). 因此 AB=AE+EF+BF≈4+12+6.93≈22.9(米). 答: 路基下底的宽约为22.9米. 进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,及时了解学生掌握知识的情况. 课堂小结 1.通过本节课的学习,你有哪些收获?还有哪些疑惑? 2.本节课所学的坡角、坡度和直线的倾斜角、斜率概念是什么? 3.在本节课的学习过程中,你感受到了哪些研究问题的思想方法? 便于学生对本节课的知识进行及时整理和归纳,加深理解. 作业布置 自主完成课本P129练习T1~T2 板书设计 第3课时　坡度、坡角与其他应用 1.坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作 α. 2.坡度 (或坡比) :如图①所示,坡面的铅垂高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度 (或坡比),记作i, 即 i = h∶ l . 3.坡度与坡角的关系:如图①所示,i==tan α,即坡度等于坡角的正切值. 4.直线的倾斜角:如图②所示,直线l与x轴相交时,取x轴为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. 5.直线的斜率:我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用k表示,即 k=tan α(α≠90°). 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$