第3期 空间向量与立体几何 核心素养综合测评-【数理报】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版2019）

书 一、空间两点间的距离 ① 设 ａ ＝ （ｘ，ｙ，ｚ），用公式 ｜ａ｜＝ ａ槡 ２ ＝ ｘ２＋ｙ２＋ｚ槡 ２求解． ②设Ａ（ｘ１，ｙ１，ｚ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２，ｚ２），则 →ＡＢ＝（ｘ２－ｘ１，ｙ２－ｙ１， ｚ２－ｚ１），｜ →ＡＢ｜＝ （ｘ２－ｘ１）２＋（ｙ２－ｙ１）２＋（ｚ２－ｚ１）槡 ２． 例１如图 １所示，在长 方体 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中， ＡＢ＝ＢＣ＝２，ＡＡ１ ＝槡２，Ｅ， Ｆ分别是面 Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，面 ＢＣＣ１Ｂ１的中心，则Ｅ，Ｆ两点 间的距离为 ． 解：以点Ａ为原点，→ＡＢ，→ＡＤ，ＡＡ→ １的方向为ｘ，ｙ，ｚ轴的 正方向建立空间直角坐标系， 则点 Ｅ（１，１，槡２）， (Ｆ ２，１，槡２)２ ，所以 ｜→ＥＦ｜＝ （２－１）２＋（１－１）２ (＋ 槡２２－槡 )２槡 ２ ＝槡６２． 二、点Ａ到直线ａ的距离 如图２，设Ｂ为直线ａ上一点，ａ为 直线ａ的方向向量，→ＡＢ在向量ａ方向上 的投影向量的模为 →ＡＢ·ａ ｜ａ｜ ，则点 Ａ 到直线ａ的距离ｄ＝ ｜→ＡＢ｜２ (－ →ＡＢ·ａ｜ａ )｜槡 ２ ． 例２（２０２３辽宁锦州高二期末）直线ｌ的方向向量 为ｍ＝（１，０，－１），且ｌ过点Ａ（１，１，１），则点Ｐ（－１，２， １）到ｌ的距离为 （　　） （Ａ）槡２ （Ｂ）槡３ （Ｃ）槡６ （Ｄ）２槡２ 解：依题意， 直线ｌ的一个单位方向向量为 μ＝ ｍ｜ｍ｜ (＝ 槡２２，０，－槡２)２ ，→ＰＡ＝（２，－１，０）， 所以｜→ＰＡ｜＝ ２２＋（－１）２＋０槡 ２ ＝槡５， →ＰＡ·μ＝槡２， 所以ｄ＝ →ＰＡ２－（→ＰＡ·μ）槡 ２ ＝ ５－槡 ２＝槡３． 故选：（Ｂ）． 三、两平行直线ａ，ｂ之间的距离 如图３，两平行直线 ａ，ｂ之间的距 离可以看成直线ｂ上一点Ａ到直线ａ的 距离，则ｄ＝ ｜→ＡＢ｜２ (－ →ＡＢ·ａ｜ａ )｜槡 ２ ， 其中Ａ∈ｂ，Ｂ∈ａ，ａ是直线ａ的方向向量． 四、异面直线ａ，ｂ之间的距离 如图４，设Ａ∈ａ，Ｂ∈ｂ，直线ａ，ｂ的 公共法向量为ｎ，则异面直线ａ，ｂ之间的 距离为向量 →ＡＢ在ｎ方向上投影向量的 模，即ｄ＝｜ →ＡＢ·ｎ｜ ｜ｎ｜ ，其中ｎ⊥ａ，ｎ⊥ｂ， Ａ∈ａ，Ｂ∈ｂ． 例３在正四棱柱ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，已知ＡＢ＝２， ＡＡ１ ＝１，求异面直线ＡＢ１与Ａ１Ｃ１的距离． 解：由已知ＤＡ，ＤＣ，ＤＤ１两两垂直， 故以Ｄ为原点，→ＤＡ，→ＤＣ，ＤＤ→ １为ｘ，ｙ，ｚ轴的正方向， 建立空间直角坐标系， 则 Ａ（２，０，０），Ｂ１（２，２，１），Ａ１（２，０，１），Ｃ１（０，２，１）， Ｂ（２，２，０）， 故ＡＢ→ １ ＝（０，２，１），Ａ１Ｃ→ １ ＝（－２，２，０），Ｂ１Ｃ→ １ ＝ （－２，０，０）， 设向量ｎ⊥ＡＢ→ １，ｎ⊥Ａ１Ｃ→ １，ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， 则 ２ｙ＋ｚ＝０， －２ｘ＋２ｙ＝０{ ，取ｘ＝１，可得ｙ＝１，ｚ＝－２， 所以满足条件的一个向量ｎ＝（１，１，－２）， 所以异面直线ＡＢ１与Ａ１Ｃ１的距离为向量Ｂ１Ｃ → １在向 量ｎ上的投影向量的模，即 ｜Ｂ１Ｃ → １·ｎ｜ ｜ｎ｜ ＝ ２ 槡６ ＝槡６３． 五、点Ａ到平面α的距离 如图５，设ｎ为平面α的法向量， ＡＢ是平面α的一条斜线，Ｂ∈α，则点 Ａ到平面α的距离等于向量→ＡＢ在ｎ方 向上投影向量的模，即ｄ＝｜ →ＡＢ·ｎ｜ ｜ｎ｜ ． 例４如图 ６所示，正方体 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的棱长为１，Ｏ 是底面 Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的中心，则 Ｏ 到 平 面 ＡＢＣ１Ｄ１ 的 距 离 为 ． 解：以Ｄ为原点，→ＤＡ，→ＤＣ，ＤＤ→ １的方向为 ｘ，ｙ，ｚ轴正 方向建立空间直角坐标系， 易得 (Ｏ １２，１２， )１ ，Ａ（１，０，０），Ｄ１（０，０，１），Ｂ（１， １，０）， →ＡＢ＝（０，１，０），ＡＤ→ １＝（－１，０，１），→ＡＯ (＝ －１２，１２，)１ ， 设平面ＡＢＣ１Ｄ１的法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， →ＡＢ·ｎ＝ｙ＝０， ＡＤ→ １·ｎ＝－ｘ＋ｚ＝０ { ， 令ｘ＝１，则ｎ＝（１，０，１）， 所以Ｏ到平面ＡＢＣ１Ｄ１的距离 ｄ＝｜ →ＡＯ·ｎ｜ ｜ｎ｜ ＝ －１２＋１ 槡２ ＝槡２４． 点评：本题考查点到平面的距离的求法，常用的方 法有等体积法，垂线法，空间向量方法，利用空间向量方 法求解是比较方便的方法． 六、直线到平面的距离、两平行平面的距离都可转 化为点到平面的距离 如图７，直线ｌ到平面α的距离可转化为直线ｌ上一 点Ａ到平面 α的距离，即直线 ｌ到平面 α的距离 ｄ＝ ｜→ＡＢ·ｎ｜ ｜ｎ｜ ． 如图８，与平面α平行的平面β到平面α的距离等于 平面β上一点Ａ到平面α的距离，即ｄ＝｜ →ＡＢ·ｎ｜ ｜ｎ｜ ． 例５如图９，在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，侧面ＰＡＤ⊥底 面ＡＢＣＤ，侧棱ＰＡ＝ＰＤ＝槡２，底面ＡＢＣＤ为直角梯形， 其中ＢＣ∥ＡＤ，ＡＢ⊥ＢＣ，ＡＤ＝２ＡＢ＝２ＢＣ＝２．求点Ａ 到平面ＰＣＤ的距离． 解：取ＡＤ的中点为Ｏ，连接ＯＣ，ＯＰ． 分别以 →ＯＣ，→ＯＤ，→ＯＰ的方向为 ｘ轴、ｙ轴、ｚ轴正方向 建立如图１０所示的空间直角坐标系， 则Ａ（０，－１，０），Ｃ（１，０，０），Ｐ（０，０，１），Ｄ（０，１，０）． 设平面ＰＣＤ的法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）． 因为 →ＣＰ＝（－１，０，１），→ＣＤ＝（－１，１，０）， 所以 ｎ·→ＣＰ＝０， ｎ·→ＣＤ＝０{ ，即 －ｘ＋ｚ＝０， －ｘ＋ｙ＝０{ ， 令ｘ＝１，则ｙ＝ｚ＝１，所以ｎ＝（１，１，１）． 又因为 →ＡＣ＝（１，１，０）， 所以点Ａ到平面ＰＣＤ的距离ｄ＝｜ｎ· →ＡＣ｜ ｜ｎ｜ ＝ ２槡３ ３． 点评：在利用向量求点到平面的距离中，最重要的 是能表示此点与平面内一点组成的向量及平面的法向 量．由于向量有方向，所以要特别注意，此点与平面内一 点组成的向量与其平面的法向量的夹角． ! ! ! ! " ! # # " ! ! " $ % " " " % " ! # ! ! " & ! ! $ ! ! " ! " ! % ! !" # $ # ' ! " % ! " # " ( % " " " ! " ) " * "! ! & + % # $ , ! " - . % # ! " - ! ' ! "( ) " * "! / ! ) * " ! / ! ! * ! " ! #"$ %! !"#$" &(&*&$'"!( !"#$ %& + '()*+,-. %&' !(")*+, !"#$%&' ()*+,-.!/0 1!23456789 +5:;<=>?@*A @BC'DEF G:; @HI34* JKL M<=!234,N OPMA@QRS 1BCT/67UV W XYZ[34\834 ]^_^`, ;aZA @bcdTefg Nh $(ij, ()klmnK , hop-.!/378 Zq1!2r4,+9< O>?@8 A@pBC 'DEF G:;@JK st<O!2r4,Gu$ vwxyz{O>?@8 |}z8n~}5€ [‚ƒA@g N -./0„…†‡ ˆ‰Š‹ŒŽ8d ‘X’“[‡ˆ‰ Š‹5”•\–—z ! ˜™A‘XšYZ [›œžŸ\8;  –]¡¢£¤! !2¥¦¢x§ [!¨`©ª\8«¬ ¬x­ƒ|®, T¯8°±²% !2³´, =µ¶¥8 A[· DEV N³´9, =̧ [T¹‚º¯ »,N+st, =‚º¯»V ¼¼g ¯»DEe8 A½M UV N³´9, =c½M, c¾8¿ j¯»À2ŒÁÂ5 ÃÄ8ŏdCAÆ Ç8ÈE8A–]%É8 ÊËÌ\zÍ8ÊËÎ 'Ï*ÊËÐ2ÑÒu 12342 5678 )*+%,-.9:; / 0 1 ) *.<=> 1 % , - .?@A 1 ) *.B C 1 ) *.D E , - 2 3 4.? F 5 6 2 3 4.?GH , 7 8 3 9.I J , 7 8 : ;.KLM NOP Q R STU V W XYZ [\] V^_ ` L abc de: Qfg #fh [:i jE* 4kR l Z mno Npq <4,-. NOP <4=>. rno ?@,-. [st AB,-. uvw CDEF. xyz {|}~-€ {|}-‚ƒ„…†‡ˆ‰ {|}-Š‹ŒŽ‘€’ “”•–—˜Ž‘™š›) ˜œž™š09:; Ÿ ¡¢£¤›)8¥0-."*/($($0¦1, §¨©¥0&"/&%' !"#$%&'()*+,'-. 书书书 １６． （１５ 分 ） （２０２４ 广 东 深 圳 阶 段 练 习 ） 如 图 １０ ， 在 正 方 体 ＡＢＣＤ － Ａ １ Ｂ １ Ｃ １ Ｄ １ 中 ，Ｅ 在 Ａ １ Ｄ １ 上 ， 且 Ａ １ →Ｅ ＝ ２ ＥＤ → １ ，Ｆ 在 对 角 线 Ａ １ Ｃ 上 ， 且 Ａ １ →Ｆ ＝ ２３ →ＦＣ．若 →ＡＢ ＝ ａ ， →ＡＤ ＝ ｂ ，ＡＡ → １ ＝ ｃ． （１ ） 用 ａ ，ｂ ，ｃ 表 示 →ＥＢ ； （２ ） 求 证 ：Ｅ ，Ｆ ，Ｂ 三 点 共 线 ． １７． （１５ 分 ） （２０２４ 河 北 期 中 ） 如 图 １１ ，在 正 四 棱 锥 Ｐ － ＡＢＣＤ 中 ，Ｅ ，Ｆ 分 别 为 ＰＡ ，ＰＣ 的 中 点 ， →ＤＧ ＝ ２ →Ｇ Ｐ． （１ ） 求 证 ：Ｂ ，Ｅ ，Ｇ ，Ｆ 四 点 共 面 ； （２ ） 记 四 棱 锥 Ｐ － ＢＥＧＦ 的 体 积 为 Ｖ １ ，四 棱 锥 Ｐ － ＡＢＣＤ 的 体 积 为 Ｖ ２ ， 求 Ｖ １ Ｖ ２ 的 值 ． １８． （１７ 分 ） （２０２４ 浙 江 绍 兴 期 末 ） 如 图 １２ ，在 梯 形 ＡＢＣＤ 中 ，ＡＢ ∥ ＣＤ ， Ｅ 是 线 段 ＡＢ 上 的 一 点 ，ＢＥ ＝ ＣＤ ＝ ＣＥ ＝ 槡 ２ ，ＢＣ ＝ ２ ，将 △ ＡＤ Ｅ 沿 Ｄ Ｅ 翻 折 到 △ ＰＤ Ｅ 的 位 置 ． （１ ） 如 图 １３ ，若 平 面 ＰＥＤ 与 平 面 ＥＤ Ｂ 的 夹 角 为 直 角 ，Ｍ ，Ｎ 分 别 是 ＢＣ ， ＰＥ 的 中 点 ，若 直 线 Ｍ Ｎ 与 平 面 ＰＢＣ 所 成 角 为 θ ，ｓｉｎ θ ＞ 槡 ３６ ，求 平 面 ＰＢＣ 与 平 面 ＰＥＣ 夹 角 的 余 弦 值 的 取 值 范 围 ； （２ ） 我 们 把 和 两 条 异 面 直 线 都 垂 直 相 交 的 直 线 叫 做 两 条 异 面 直 线 的 公 垂 线 ，点 Ｋ 为 线 段 ＣＥ 的 中 点 ，Ｇ ，Ｈ 分 别 在 线 段 ＰＫ ，ＣＤ 上 （ 不 包 含 端 点 ） ， 且 ＧＨ 为 ＰＫ ，ＣＤ 的 公 垂 线 ，如 图 １４ 所 示 ，记 四 面 体 ＣＫＧＨ 的 内 切 球 半 径 为 ｒ，求 证 ： １ｒ ＞ ( ２ １ＫＧ ＋ １) ＣＨ ． １９． （１７ 分 ） （２０２４ 重 庆 阶 段 练 习 ） 类 似 平 面 解 析 几 何 中 的 曲 线 与 方 程 ，在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ，可 以 定 义 曲 面 （ 含 平 面 ）Ｓ 的 方 程 ，若 曲 面 Ｓ 和 三 元 方 程 Ｆ （ｘ，ｙ，ｚ） ＝ ０ 之 间 满 足 ：① 曲 面 Ｓ 上 任 意 一 点 的 坐 标 均 为 三 元 方 程 Ｆ （ｘ，ｙ，ｚ） 的 解 ；② 以 三 元 方 程 Ｆ （ｘ，ｙ，ｚ） ＝ ０ 的 任 意 解 （ｘ ０ ，ｙ ０ ，ｚ０ ） 为 坐 标 的 点 均 在 曲 面 Ｓ 上 ，则 称 曲 面 Ｓ 的 方 程 为 Ｆ （ｘ，ｙ，ｚ） ＝ ０ ，方 程 Ｆ （ｘ，ｙ，ｚ） ＝ ０ 的 曲 面 为 Ｓ．已 知 曲 面 Ｃ 的 方 程 为 ｘ ２１ ＋ ｙ ２１ － ｚ ２４ ＝ １． （１ ） 已 知 直 线 ｌ过 曲 面 Ｃ 上 一 点 Ｑ （１ ，１ ，２ ） ，以 ｄ ＝ （ － ２ ，０ ， － ４ ） 为 方 向 向 量 ，求 证 ：直 线 ｌ 在 曲 面 Ｃ 上 （ 即 ｌ 上 任 意 一 点 均 在 曲 面 Ｃ 上 ） ； （２ ） 已 知 曲 面 Ｃ 可 视 为 平 面 ｘＯ ｚ 中 某 双 曲 线 的 一 支 绕 ｚ 轴 旋 转 一 周 所 得 的 旋 转 面 ；同 时 ，过 曲 面 Ｃ 上 任 意 一 点 ， 有 且 仅 有 两 条 直 线 ， 使 得 它 们 均 在 曲 面 Ｃ 上 ．设 直 线 ｌ′在 曲 面 Ｃ 上 ，且 过 点 Ｔ （ 槡 ２ ，０ ，２ ） ，求 异 面 直 线 ｌ与 ｌ′所 成 角 的 余 弦 值 ． ¦ ª « ¬ ­ ® ¯ ! ° , ±*”²³´µ¶·¯¢¸¹º‚ ! )»!"#$%&'( ±*”²³´µ¶·¯¢¸¹º‚ ! )»)"*$%&+( ! " ! ! # ' % " " " ! " # " % " ( ! " ( ! # ' 0 % " ( - ! " " ! % 1 0 # 2 ( - % # ( ! - 3 4 % " # ( ! ! " & ! " ) ! " * 书 专项小练一 １．Ａ；　２．Ａ；　３．ＡＢＤ；　４．－８；　５．２∶－３∶－４． ６．解：因为Ａ（１，２，３），Ｂ（２，０，－１），Ｃ（３，－２，０）， 所以→ＡＢ＝（１，－２，－４），→ＡＣ＝（２，－４，－３）． 设平面α的一个法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）． 则有 ｎ·→ＡＢ＝０， ｎ·→ＡＣ＝０{ ，即 ｘ－２ｙ－４ｚ＝０， ２ｘ－４ｙ－３ｚ＝０{ ，解得 ｘ＝２ｙ， ｚ＝０{ ． 令ｙ＝１，则ｘ＝２．故平面α的一个法向量为ｎ＝（２，１，０）． 专项小练二 １．Ｄ；　２．Ａ；　３．ＡＢＣ．　４． 槡５ ３４３４ ；　５．４或 －１６． ６．解：由ＰＥ∶ＥＤ＝２∶１，知在 ＢＤ上取点 使ＢＦ∶ＦＤ＝２∶１， 根据三角形相似易知 ＰＢ∥ ＥＦ，又因为 ＰＢ 平面 ＣＥＦ，且 ＥＦ 平面ＣＥＦ，从而ＰＢ∥平面ＣＥＦ， 由题可得ＰＡ⊥ＡＢ，ＰＡ⊥ＡＤ，又 ＡＢ∩ＡＤ＝Ａ，所以ＰＡ⊥面ＡＢＣＤ，过 点Ａ作 ＡＧ⊥ ＢＣ，因为 ＡＧ 平面 ＡＢＣＤ，所以ＰＡ⊥ＡＧ，所以ＡＰ，ＡＧ，ＡＤ两两垂直，以Ａ为原点，→ＡＧ， →ＡＤ，→ＡＰ的方向为ｘ，ｙ，ｚ轴正方向建立空间直角坐标系．如右图． 则Ｐ（０，０，ａ）， (Ｃ 槡３２ａ，１２ａ， )０ ， (Ｆ 槡３６ａ，１２ａ， )０ ， (Ｅ ０， ２ ３ａ， １ ３ )ａ ，则→ (ＰＥ＝ ０，２３ａ，－２３ )ａ ，→ (ＣＥ＝ －槡３２ａ，１６ａ， １ ３ )ａ ，→ (ＣＦ＝ －槡３３ａ，０， )０ ． 设平面ＣＥＦ的法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），则 ｎ·→ＣＥ＝－槡３２ａｘ＋ １ ６ａｙ＋ １ ３ａｚ＝０， ｎ·→ＣＦ＝－槡３３ａｘ＝ { ０  ｘ＝０，ｙ＋２ｚ＝０{ ， 于是令ｚ＝１，得ｘ＝０，ｙ＝－２，则ｎ＝（０，－２，１）． 所以ＰＢ与平面ＣＥＦ间的距离ｄ＝｜ｎ· →ＰＥ｜ ｜ｎ｜ ＝ 槡２５ ５ａ， 从而异面直线ＰＢ与ＣＥ的距离为 槡２５５ａ． 一、单项选择题 １～４　ＣＢＣＣ　５～８　ＡＢＡＣ 二、多项选择题 ９．ＡＣ；　１０．ＡＢＣ；　１１．ＡＢＤ． 三、填空题 １２．槡６２；　１３．槡３－１；　１４． ９ ２． 四、解答题 １５．证明：（１）由题可得ＡＡ１，ＡＢ，ＡＣ两两互相垂直，以Ａ为坐标 原点，分别以ＡＡ→ １，→ＡＢ，→ＡＣ的方向为ｘ轴、ｙ轴、ｚ轴的正方向，建立空间 直角坐标系． 设正方形ＡＡ１Ｃ１Ｃ的边长为２，则Ａ（０，０，０），Ａ１（２，０，０），Ｂ（０，２， ０），Ｂ１（２，２，０），Ｃ（０，０，２），Ｃ１（２，０，２），Ｍ（１，０，０），Ｎ（１，１，１）． 由题意知ＡＡ１⊥Ａ１Ｂ１，ＡＡ１⊥Ａ１Ｃ１，又因为Ａ１Ｃ１∩Ａ１Ｂ１＝ Ａ１，Ａ１Ｃ１，Ａ１Ｂ１平面Ａ１Ｂ１Ｃ１，所以ＡＡ１⊥平面Ａ１Ｂ１Ｃ１． 因为ＡＡ→ １＝（２，０，０），→ＭＮ＝（０，１，１），所以→ＭＮ·ＡＡ→ １＝０，即 ＭＮ⊥ＡＡ１．又因为ＭＮ平面Ａ１Ｂ１Ｃ１，故ＭＮ∥平面Ａ１Ｂ１Ｃ１． （２）设平面ＭＢＣ１与平面 ＢＢ１Ｃ１Ｃ的法向量分别为 ｎ１ ＝ （ｘ１，ｙ１，ｚ１），ｎ２ ＝（ｘ２，ｙ２，ｚ２）． 因为→ＭＢ＝（－１，２，０），ＭＣ→ １ ＝（１，０，２）， 所以 ｎ１· →ＭＢ＝－ｘ１＋２ｙ１ ＝０， ｎ·ＭＣ→ １ ＝ｘ１＋２ｚ１ ＝０{ ， 令ｘ１＝２，则平面ＭＢＣ１的一个法向量为ｎ１＝（２，１，－１）． 因为ＢＢ→ １ ＝（２，０，０），Ｂ１Ｃ→ １ ＝（０，－２，２）， 可得 ｎ２·ＢＢ → １ ＝０， ｎ２·Ｂ１Ｃ → １ ＝０ { ， 即 ２ｘ２ ＝０， －２ｙ２＋２ｚ２ ＝０ { ， 令ｙ２＝１，则平面ＢＢ１Ｃ１Ｃ的一个法向量为ｎ２＝（０，１，１）． 因为ｎ１·ｎ２ ＝２×０＋１×１＋（－１）×１＝０， 所以ｎ１⊥ｎ２，所以平面ＭＢＣ１⊥平面ＢＢ１Ｃ１Ｃ． １６．解：（１）以点Ｄ为原点，→ＤＡ，→  ＤＣ，ＤＤ→ １为 ｘ，ｙ，ｚ轴的正方 向建立空间直角坐标系，则 Ｂ（１，２，０），Ｄ（０，０，０），Ａ１（１，０，１）， Ｃ１（０，２，１），Ｃ（０，２，０），Ｄ１（０，０，１），所以 →  ＢＤ＝（－１，－２，０）， Ａ１ → Ｂ＝（０，２，－１）， 所以Ａ１ → Ｂ在→ＢＤ上的投影向量的大小为｜Ａ１ → Ｂ·→ＢＤ｜ →｜ＢＤ｜ ＝ 槡４５５， 又 ｜Ａ１ → Ｂ｜＝槡５，所以点 Ａ１ 到直线 ＢＤ的距离 ｄ１ ＝ （槡５）２ (－ 槡４５)５槡 ２ ＝ 槡３５５． （２）ＤＣ→ １＝（０，２，１），设平面ＢＤＣ１的法向量ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， 则 ｎ·→  ＢＤ＝０， ｎ·ＤＣ→ １ ＝０{ ，所以 －ｘ－２ｙ＝０， ２ｙ＋ｚ＝０{ ， 取ｙ＝１，可得ｘ＝－２，ｚ＝－２，所以ｎ＝（－２，１，－２）是 平面ＢＤＣ１的一个法向量，向量Ａ１ → Ｂ在 ｎ上的投影向量的模为 ｜Ａ１ → Ｂ·ｎ｜ ｜ｎ｜ ＝ ４ ３，所以点Ａ１到平面ＢＤＣ１的距离为 ４ ３． （３）ＣＤ→ １＝（０，－２，１），ＢＡ→ １＝（０，－２，１），所以ＣＤ→ １∥ＢＡ→ １，所 以ＣＤ１∥ＢＡ１，又ＣＤ１平面Ａ１ＢＤ，ＢＡ１平面Ａ１ＢＤ，所以ＣＤ１∥ 平面Ａ１ＢＤ，所以异面直线ＢＤ，ＣＤ１之间的距离与点Ｃ到平面Ａ１ＢＤ 的距离相等，设平面Ａ１ＢＤ的法向量ｍ＝（ｘ１，ｙ１，ｚ１）， 则 ｍ·→ＢＤ＝０， ｍ·ＢＡ→ １ ＝０{ ，所以 －ｘ１－２ｙ１ ＝０， －２ｙ１＋ｚ１ ＝０ { ， 取ｙ１＝１，可得ｘ１＝－２，ｚ１＝２，所以ｍ＝（－２，１，２）是平面 Ａ１ＢＤ的一个法向量，向量 →ＣＤ＝（０，－２，０）在ｍ上的投影向量的模 为 →｜ＣＤ·ｍ｜ ｜ｍ｜ ＝ ２ ３，所以点Ｃ到平面Ａ１ＢＤ的距离为 ２ ３，故异面直 线ＢＤ，ＣＤ１之间的距离为 ２ ３． １７．（１）证明：连接ＢＤ交ＣＥ于点Ｇ，连接ＦＧ， 由ＤＥ∥ＢＣ，得ＤＧＧＢ＝ ＤＥ ＢＣ，在△ＡＢＣ中，由ＤＥ∥ＢＣ， 得 ＤＥ ＢＣ＝ ＡＤ ＡＣ＝ ４ ６ ＝ ２ ３，于是 ＤＧ ＧＢ＝ ＤＥ ＢＣ＝ ２ ３， 则 ＤＧ ＤＢ＝ ２ ５ ＝ ＰＦ ＰＢ，ＰＤ∥ＦＧ， 而又ＦＧ平面ＣＥＦ，ＰＤ平面ＣＥＦ， 所以ＰＤ∥平面ＣＥＦ． （２）解：由ＤＥ⊥ＣＤ，ＤＥ⊥ＰＤ，ＣＤ∩ＰＤ＝Ｄ，ＣＤ，ＰＤ平 面 ＰＣＤ，得ＤＥ⊥平面ＰＣＤ，又ＰＣ平面ＰＣＤ，则ＤＥ⊥ＰＣ，又 ＤＥ∥ＢＣ，因此ＰＣ⊥ＢＣ，直线ＣＰ，ＣＤ，ＣＢ两两垂直，以Ｃ为坐 标原点，ＣＤ，ＣＢ，ＣＰ所在直线分别为ｘ轴，ｙ轴，ｚ轴建立空间直 角坐标系， 则 Ｄ（２，０，０），Ｂ（０，３，０），Ｅ（２，２，０），Ｐ（０，０， 槡２ ３）， (Ｆ ０， ６ ５， 槡６３)５ ， →ＣＥ＝（２，２，０），→ (ＣＦ＝ ０，６５，槡６３)５ ，→  ＰＤ＝（２，０，－槡２３）， 设→  →  ＰＨ＝ｔＰＤ（０＜ｔ＜１）， 则→ → →  ＣＨ＝ＣＰ＋ＰＨ＝（２ｔ，０，槡２３－ 槡２３ｔ）， 设平面ＣＦＥ的法向量ｍ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， 则 ｍ·→ＣＦ＝ ６５ｙ＋ 槡６３ ５ｚ＝０， ｍ·→ＣＥ＝２ｘ＋２ｙ＝０ { ， 令ｚ＝１，得ｍ＝（槡３，－槡３，１）， 设平面ＨＣＦ的法向量ｎ＝（ａ，ｂ，ｃ）， 则 ｎ·→ＣＦ＝ ６５ｂ＋ 槡６３ ５ｃ＝０， ｎ·→ＣＨ＝２ｔａ＋ 槡２３（１－ｔ）ｃ＝０ { ， 令ｃ＝ｔ，得ｎ＝（槡３（ｔ－１），－槡３ｔ，ｔ）， 设平面ＨＣＦ与平面ＣＦＥ的夹角为θ， 则ｃｏｓθ＝｜ｃｏｓ〈ｍ，ｎ〉｜＝｜ｍ·ｎ｜｜ｍ｜｜ｎ｜ ＝ ｜７ｔ－３｜ 槡７· ７ｔ２－６ｔ＋槡 ３ ＝ １７， 解得ｔ＝ １２或ｔ＝ ５ １４，所以 ＰＨ ＰＤ＝ １ ２或 ＰＨ ＰＤ＝ ５ １４． １８．（１）解：平面ＰＭＮ中，→ＰＭ＝（１，－２，１），→ＰＮ＝（２，－１，０）． 设平面ＰＭＮ的法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， 所以 →ＰＭ·ｎ＝０， →  ＰＮ·ｎ＝０{ ，即 ｘ－２ｙ＋ｚ＝０， ２ｘ－ｙ＝０{ ， 令ｘ＝１，则ｙ＝２，ｚ＝３，所以ｎ＝（１，２，３）． 设平面ＰＭＮ任意一点Ｑ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， 当Ｑ不同于Ｐ，有→  ＰＱ⊥ｎ；当Ｑ与Ｐ重合，则有→  ＰＱ＝０； 所以→  ＰＱ·ｎ＝０． 所以（ｘ－１，ｙ－３，ｚ＋１）·（１，２，３）＝０， 化简得ｘ＋２ｙ＋３ｚ－４＝０． 所以平面ＰＭＮ的方程为ｘ＋２ｙ＋３ｚ－４＝０． （２）平面Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃｚ＋Ｄ＝０的法向量可取ｍ＝（Ａ，Ｂ，Ｃ）． 证明如下： 设 Ｐ１（ｘ１，ｙ１，ｚ１），Ｐ２（ｘ２，ｙ２，ｚ２）为平面Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃｚ＋Ｄ＝ ０的任意两个点， 则Ａｘ１＋Ｂｙ１＋Ｃｚ１＋Ｄ＝０，Ａｘ２＋Ｂｙ２＋Ｃｚ２＋Ｄ＝０． 两式相减得Ａ（ｘ２－ｘ１）＋Ｂ（ｙ２－ｙ１）＋Ｃ（ｚ２－ｚ１）＝０， 即ｍ·Ｐ１Ｐ → ２ ＝０，即ｍ⊥Ｐ１Ｐ → ２， 所以平面Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃｚ＋Ｄ＝０的法向量可取ｍ＝（Ａ，Ｂ，Ｃ）． 记Ｈ（ｘ０，ｙ０，ｚ０），因为Ａ，Ｂ，Ｃ不同时为０，所以不妨令Ｃ≠０， 平面Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃｚ＋Ｄ＝０上可取点 (Ｇ ０，０，－Ｄ )Ｃ ， 所以→ (ＧＨ＝ ｘ０，ｙ０，ｚ０＋Ｄ )Ｃ ， 则点Ｈ到平面Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃｚ＋Ｄ＝０的距离 ｄ＝ →｜ＧＨ·ｍ｜ ｜ｍ｜ ＝ ｜Ａｘ０＋Ｂｙ０＋Ｃｚ０＋Ｄ｜ Ａ２＋Ｂ２＋Ｃ槡 ２ ． １９．解：（１）点 Ｏ为四面体 Ａ１－Ａ２Ａ３Ａ４外接球的球心，即 ＯＡ１ ＝ＯＡ２ ＝ＯＡ３ ＝ＯＡ４，且 Ａ１Ｏ⊥ 面 Ａ２Ａ３Ａ４，Ａ２Ｏ⊥ 面 Ａ１Ａ３Ａ４，Ａ３Ｏ⊥面Ａ１Ａ２Ａ４，Ａ４Ｏ⊥面Ａ１Ａ２Ａ３，则空间四面体Ａ１－ Ａ２Ａ３Ａ４的每一条棱都相等，即Ａ１Ａ２ ＝Ａ１Ａ３ ＝Ａ１Ａ４ ＝Ａ２Ａ３ ＝ Ａ３Ａ４ ＝Ａ４Ａ２． （２）在四面体Ａ１－Ａ２Ａ３Ａ４中，不妨 令ＯＡ１＝ＯＡ２＝ＯＡ３＝ＯＡ４＝３，Ａ１Ａ２＝ Ａ１Ａ３＝Ａ１Ａ４＝Ａ２Ａ３＝Ａ３Ａ４＝Ａ４Ａ２＝ａ， 在面Ａ２Ａ３Ａ４内作点Ｏ的射影Ｏ′，连 接Ｏ′Ａ２， 在等边△Ａ２Ａ３Ａ４中，Ｏ′为其外心， 则Ｏ′Ａ２ ＝ ２ ３ × 槡３ ２ａ＝ 槡３ ３ａ， 在Ｒｔ△Ａ１Ｏ′Ａ２中（如图１），可得 Ｏ′Ａ１ ＝ ａ２－Ｏ′Ａ槡 ２ ２ ＝ ａ２ (－ 槡３３ )ａ槡 ２ ＝槡６３ａ， (所以 槡６３ａ－ )３ ２ (＋ 槡３３ )ａ ２ ＝３２， 解得ａ＝ 槡２６，所以Ｏ′Ａ１ ＝槡 ６ ３ａ＝ 槡６ ３ × 槡２６＝４， 又因为Ａ１Ｏ⊥面Ａ２Ａ３Ａ４，且垂足为Ｏ′， 故以Ｏ′为原点，以Ａ４Ｏ′、Ｏ′Ａ１所 在直线为ｘ、ｚ轴，建立如图２所示的空 间直角坐标系，则Ｏ′（０，０，０），Ａ１（０，０， ４），Ａ２（槡２，－槡６，０），Ａ３（槡２，槡６，０）， Ａ４（－槡２２，０，０），Ｏ（０，０，１）， 因为 ＯＡ′４＝ ２ ３ＯＡ１，即ＯＡ′ → ４ ＝ ２ ３ＯＡ → ４，则 Ａ′(４ － 槡４２３，０， )１３ ，所 以Ａ２Ａ → ３ ＝（０，槡２６，０），Ａ３Ａ′ → ４ (＝ － 槡７２３，－槡６， )１３ ， 设平面Ａ２Ａ３Ａ′４的一个法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， 则 Ａ２Ａ → ３⊥ｎ， Ａ３Ａ′ → ４⊥ｎ { ， 即 槡２６ｙ＝０， － 槡７２３ｘ－槡６ｙ＋ １ ３ｚ＝０ { ， 令ｘ＝１，得ｎ＝（１，０，槡７２）， 又ＯＡ→ １ ＝（０，０，３）， 所以 ｃｏｓ〈ＯＡ→ １，ｎ〉＝ 槡２１２ 槡３ １１×３ ＝ 槡７ ２２ ３３ ， 故ＯＡ１与面Ａ２Ａ３Ａ′４所成角θ的正弦 值为 槡 ７ ２２ ３３ ． !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! 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" # $ % & ' ( ) * + ,! , - 3 & & ! 3 & 2 & " # * & & & 3 ) &! 2 ,! , ! & 书书书 空 间 向 量 的 应 用 核 心 素 养 综 合 测 评 ◆ 数 理 报 社 试 题 研 究 中 心 第 Ⅰ 卷 选 择 题 （ 共 ５８ 分 ） 一 、 单 项 选 择 题 ： 本 大 题 共 ８ 小 题 ， 每 小 题 ５ 分 ， 共 ４０ 分 ．在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 １． （ ２０ ２４ 贵 州 遵 义 高 二 统 考 期 中 ） 在 空 间 直 角 坐 标 系 Ｏ － ｘｙ ｚ 中 ， Ａ（ － １， ０， － ２） ，Ｂ （ ０， １， ２） ，则 ｃｏ ｓ〈 → ＯＡ ， → ＯＢ 〉 ＝ （ 　 　 ） （ Ａ ） ４ ５ （ Ｂ） － ４ ５ （ Ｃ） ２ ５ （ Ｄ ） － ２ ５ ２． （ ２０ ２４ 河 南 焦 作 期 中 ） 图 １ 所 示 的 明 矾 晶 体 可 近 似 看 作 一 个 正 八 面 体 Ｐ － ＡＢ ＣＤ － Ｑ （ 图 ２） ，其 中 Ｐ － ＡＢ ＣＤ ，Ｑ － ＡＢ ＣＤ 均 为 所 有 棱 长 都 相 等 的 正 四 棱 锥 ，若 → ＡＢ ＝ ａ， → ＡＤ ＝ ｂ， → ＡＰ ＝ ｃ， 则 → ＰＱ ＝ （ 　 　 ） （ Ａ ） ａ ＋ ｂ ＋ ２ｃ （ Ｂ） ２ａ ＋ ２ｂ ＋ ２ｃ （ Ｃ） － ａ － ｂ ＋ ２ｃ （ Ｄ ） ａ ＋ ｂ － ２ｃ ３． 空 间 有 四 点 Ａ， Ｂ， Ｃ， Ｄ ， 其 中 → ＡＢ ＝ （ ２ｍ ，ｍ ，２ ） ， → ＣＤ ＝ （ ｍ ，ｍ ＋ １， － ５） ，且 → → ( ＡＢ ＋ ＣＤ ＝ ５， １３ ３ ， － ) ３ ，则 直 线 ＡＢ 与 ＣＤ （ 　 　 ） （ Ａ ） 平 行 （ Ｂ） 重 合 （ Ｃ） 必 定 相 交 （ Ｄ ） 必 定 垂 直 ４． 已 知 空 间 四 边 形 ＡＢ ＣＤ ，点 Ｅ， Ｆ 分 别 是 ＡＢ 与 ＡＤ 边 上 的 点 ，Ｍ ，Ｎ 分 别 是 ＢＣ 与 ＣＤ 边 上 的 点 ，若 → ＡＥ ＝ λ → ＡＢ ， → ＡＦ ＝ λ → ＡＤ ， → ＣＭ ＝ μ → ＣＢ ， → ＣＮ ＝ μ → ＣＤ ， 则 向 量 → ＥＦ 与 → Ｍ Ｎ 满 足 的 关 系 为 （ 　 　 ） （ Ａ ） → → ＥＦ ＝ Ｍ Ｎ （ Ｂ） → ＥＦ ∥ → Ｍ Ｎ （ Ｃ） → → ｜ ＥＦ ｜ ＝ ｜ Ｍ Ｎ ｜ （ Ｄ ） → ｜ ＥＦ ｜ ≠ → ｜ Ｍ Ｎ ｜ ５． （ ２０ ２４ 湖 南 益 阳 高 二 统 考 期 末 ） 如 图 ３ 所 示 空 间 直 角 坐 标 系 Ａ － ｘｙ ｚ中 ，Ｐ （ ｘ， ｙ， ｚ） 是 正 三 棱 柱 ＡＢ Ｃ － Ａ １ Ｂ １ Ｃ １ 的 底 面 Ａ １ Ｂ １ Ｃ １ 内 一 动 点 ，Ａ １ Ａ ＝ ＡＢ ＝ ３， 直 线 ＰＡ 和 底 面 ＡＢ Ｃ 所 成 角 为 π ３ ，则 Ｐ 点 坐 标 满 足 （ 　 　 ） （ Ａ ） ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ３ （ Ｂ） ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ ｚ２ ＝ ３ （ Ｃ） ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ２７ （ Ｄ ） ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ ｚ２ ＝ ２７ ６． （ ２０ ２４ 上 海 市 静 安 区 阶 段 模 拟 ） 如 图 ４， 四 个 棱 长 为 １ 的 正 方 体 排 成 一 个 正 四 棱 柱 ，Ａ Ｂ 是 一 条 侧 棱 ，Ｐ ｉ（ ｉ ＝ １， ２， … ， ８ ） 是 上 底 面 上 其 余 的 八 个 点 ，则 → ＡＢ · ＡＰ→  ｉ（ ｉ ＝ １， ２， … ，８ ） 的 不 同 值 的 个 数 为 （ 　 　 ） （ Ａ ） １ （ Ｂ） ２ （ Ｃ） ４ （ Ｄ ） ８ ７． （ ２０ ２４ 江 西 阶 段 练 习 ） 已 知 正 方 体 ＡＢ ＣＤ － Ａ １ Ｂ １ Ｃ １ Ｄ １ 的 棱 长 为 ２， Ｆ 是 棱 Ａ １ Ｄ １ 的 中 点 ，若 点 Ｐ 在 线 段 ＣＤ 上 运 动 ，则 点 Ｐ 到 直 线 ＢＦ 的 距 离 的 最 小 值 为 （ 　 　 ） （ Ａ ） 槡 ５ ３ （ Ｂ） 槡２ ５ ３ （ Ｃ） 槡２ ５ ５ （ Ｄ ） 槡４ ５ ５ ８． （ ２０ ２４ 安 徽 合 肥 期 中 ） 在 如 图 ５ 所 示 的 结 构 对 称 的 实 验 装 置 中 ，底 面 框 架 ＡＢ ＣＤ 是 边 长 为 ２ 的 正 方 形 ， 两 等 腰 三 角 形 框 架 ＡＤ Ｅ， ＢＣ Ｆ 的 腰 长 均 为 槡 ３， ＥＦ 平 行 于 框 架 ＡＢ ＣＤ 所 在 的 平 面 ，Ｅ Ｆ ＝ １， 活 动 弹 子 Ｍ ，Ｎ 分 别 在 ＥＦ ，Ａ Ｃ 上 移 动 ，Ｍ ，Ｎ 之 间 用 有 弹 性 的 细 线 连 接 ，且 ３Ｍ Ｆ ＝ 槡 ２Ａ Ｎ 始 终 成 立 ，则 当 Ｍ Ｎ 的 长 度 取 得 最 小 值 时 ，Ｍ Ｆ ＝ （ 　 　 ） （ Ａ ） １ ２ （ Ｂ） １０ １７ （ Ｃ） ２１ ３４ （ Ｄ ） １１ １７ 二 、 多 项 选 择 题 ： 本 题 共 ３ 小 题 ， 每 小 题 ６ 分 ， 共 １８ 分 ．在 每 小 题 给 出 的 选 项 中 ， 有 多 项 符 合 题 目 要 求 ．全 部 选 对 的 得 ６ 分 ， 部 分 选 对 的 得 部 分 分 ， 有 选 错 的 得 ０ 分 ． ９． （ ２０ ２４ 广 东 高 二 统 考 阶 段 练 习 ） 已 知 空 间 三 点 Ａ（ ４， １， ９） ，Ｂ （ １０ ， － １， ６） ，Ｃ （ ２， ４， ３） ，则 下 列 结 论 正 确 的 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） ｜ ＡＢ ｜ ＝ ｜ ＡＣ ｜ （ Ｂ） 点 Ｐ（ ８ ， ２， ０） 在 平 面 ＡＢ Ｃ 内 （ Ｃ） ＡＢ ⊥ ＡＣ （ Ｄ ） 若 → ＡＢ ＝ ２ → ＣＤ ，则 Ｄ ( 的 坐 标 为 １， － ５， － ) ３ ２ １０ ．（ ２０ ２４ 河 南 商 丘 期 中 ） 金 刚 石 是 天 然 存 在 的 最 硬 的 物 质 ，如 图 ６ 所 示 是 组 成 金 刚 石 的 碳 原 子 在 空 间 排 列 的 结 构 示 意 图 ，组 成 金 刚 石 的 每 个 碳 原 子 ，都 与 其 相 邻 的 ４ 个 碳 原 子 以 完 全 相 同 的 方 式 连 接 ．从 立 体 几 何 的 角 度 来 看 ，可 以 认 为 ４ 个 碳 原 子 分 布 在 一 个 正 四 面 体 的 四 个 顶 点 处 ， 而 中 间 的 那 个 碳 原 子 处 于 与 这 ４ 个 碳 原 子 距 离 都 相 等 的 位 置 ，如 图 ７ 所 示 ．这 就 是 说 ， 图 ７ 中 有 ＡＥ ＝ ＢＥ ＝ ＣＥ ＝ Ｄ Ｅ， 若 正 四 面 体 ＡＢ ＣＤ 的 棱 长 为 ２， 则 下 列 结 论 正 确 的 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） → ＡＥ · → ＣＤ ＝ ０ （ Ｂ） → → → → ＥＡ ＋ ＥＢ ＋ ＥＣ ＋ ＥＤ ＝ ０ （ Ｃ） → ｜ ＡＥ ｜ ＝ 槡 ６ ２ （ Ｄ ） → ＡＥ · → ＡＣ ＝ １ ２ １１ ．（ ２０ ２４ 河 南 南 阳 阶 段 练 习 ） 有 很 多 立 体 图 形 都 体 现 了 数 学 的 对 称 美 ，其 中 半 正 多 面 体 是 由 两 种 或 两 种 以 上 的 正 多 边 形 围 成 的 多 面 体 ， 半 正 多 面 体 因 其 最 早 由 阿 基 米 德 研 究 发 现 ， 故 也 被 称 作 阿 基 米 德 体 ． 如 图 ８， 这 是 一 个 棱 数 为 ２４ ，棱 长 为 槡 ２ 的 半 正 多 面 体 ， 它 的 所 有 顶 点 都 在 同 一 个 正 方 体 的 表 面 上 ， 可 以 看 成 是 由 一 个 正 方 体 截 去 八 个 一 样 的 四 面 体 所 得 ．若 点 Ｅ 为 线 段 ＢＣ 上 的 动 点 ，则 下 列 结 论 正 确 的 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） 存 在 点 Ｅ， 使 得 Ａ， Ｆ， Ｄ ，Ｅ 四 点 共 面 （ Ｂ） 存 在 点 Ｅ， 使 Ｄ Ｅ ⊥ Ｄ Ｆ （ Ｃ） 存 在 点 Ｅ， 使 得 直 线 Ｄ Ｅ 与 平 面 ＣＤ Ｆ 所 成 角 为 π ３ （ Ｄ ） 存 在 点 Ｅ， 使 得 直 线 Ｄ Ｅ 与 直 线 ＡＦ 所 成 角 的 余 弦 值 为 槡３ ５ １０ 第 Ⅱ 卷 非 选 择 题 （ 共 ９２ 分 ） 三 、 填 空 题 ： 本 题 共 ３ 小 题 ， 每 小 题 ５ 分 ， 共 １５ 分 ． １２ ．已 知 矩 形 ＡＢ ＣＤ ，Ｐ 为 平 面 ＡＢ ＣＤ 外 一 点 ＰＡ ⊥ 平 面 ＡＢ ＣＤ ，且 Ｍ ，Ｎ 分 别 为 ＰＣ ，Ｐ Ｄ 上 的 点 ，且 → → ＰＭ ＝ Ｍ Ｃ， → ＰＮ ＝ ２ → ＮＤ ， → → → → Ｎ Ｍ ＝ ｘＡ Ｂ ＋ ｙＡ Ｄ ＋ ｚＡ Ｐ， 则 ｘ ＋ ｙ ＋ ｚ ＝ ． １３ ．（ ２０ ２４ 河 北 邢 台 期 末 ） 若 给 定 一 向 量 组 Ａ ＝ ｛ ａ １ ，ａ ２ ，… ，ａ ｎ ｝ 和 向 量 ｃ， 若 存 在 一 组 实 数 ｋ １ ，ｋ ２ ，… ，ｋ ｎ ，使 得 ｃ ＝ ｋ １ ａ １ ＋ ｋ ２ ａ ２ ＋ … ＋ ｋ ｎ ａ ｎ ，则 称 向 量 ｃ能 由 向 量 组 Ａ 线 性 表 示 ，或 称 向 量 ｃ是 向 量 组 Ａ 的 线 性 组 合 ．若 Ａ ＝ ｛ ｅ １ ＋ ｅ ２ ， ｅ ２ － ｅ ３ ｝ ，ｃ ＝ ｅ １ ＋ ｍ ｅ ３ ，ｅ １ ，ｅ ２ ，ｅ ３ 为 三 个 不 共 面 的 空 间 向 量 ，且 向 量 ｃ 是 向 量 组 Ａ 的 线 性 组 合 ，则 ｍ ＝ ． １４ ．（ ２０ ２４ 模 拟 预 测 ） 已 知 长 方 体 ＡＢ ＣＤ － Ａ １ Ｂ １ Ｃ １ Ｄ １ 中 ，Ａ Ｂ ＝ ＢＣ ＜ ＢＢ １ ，点 Ｍ 是 线 段 ＣＣ １ 上 靠 近 点 Ｃ 的 三 等 分 点 ， 记 直 线 Ａ １ Ｂ， ＡＤ １ 的 夹 角 为 α １ ，直 线 Ａ １ Ｂ， ＢＤ 的 夹 角 为 α ２ ，直 线 ＡＭ ，Ｂ Ｄ 的 夹 角 为 α ３ ，则 α １ ， α ２ ， α ３ 之 间 的 大 小 关 系 为 ．（ 横 线 上 按 照 从 小 到 大 的 顺 序 进 行 书 写 ） 四 、 解 答 题 ： 本 题 共 ５ 小 题 ， 共 ７ ７ 分 ．解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ． １５ ．（ １３ 分 ） （ ２０ ２４ 山 东 青 岛 期 末 ） 在 正 四 棱 柱 ＡＢ ＣＤ － Ａ １ Ｂ １ Ｃ １ Ｄ １ 中 （ 如 图 ９） ，Ａ Ａ １ ＝ ２Ａ Ｂ ＝ ４， 点 Ｅ 在 线 段 ＣＣ １ 上 ，且 ＣＣ→ １ ＝ ４ → ＣＥ ，点 Ｆ 为 ＢＤ 中 点 ． （ １） 求 点 Ｄ １ 到 直 线 ＥＦ 的 距 离 ； （ ２） 求 证 ：Ａ １ Ｃ ⊥ 平 面 ＢＤ Ｅ． a " ^ $ ¼ & ' ( ½ * + , - ¾ ¿ … ! µ À ! " # $ % & ' ( ./012™.3 a " ^ $ Á & ' ( ½ * + , -  ¿ … ! F à ) " * $ % & + ( . ' ! " ( - ! 3 ! & # ' ! ' 3 ! 3 - - 3 ) * ( ! " ( ) ( ' ( ( ( " ( 2 ( # ( & ( 3 ' - ! 2 ! ' / - " % 0 $ ! # ! $ ' % " - ' 3 ! 3 - 3 " 3 ! A - % " ! $ ' ! ) ! " $ - ' ! ( ! ' 4版数丹格”： 商中数学·是停性处感革一人数A抛：量13丽 详细答案 详细答案 售中数学·这停性必棒星一引人数A假：复13■ 数理极1版 们的言：得1口g2过：一4山-1 m…、(霄4坐] 高中数学·选择性必修第一册（人教A版）2024年 -小子十-41w4t24r十 第1~3期参考答案 …√-（打 、乎4告4a 字住十挂挂。44+ -国un4)早4到 平可过（年不）（十 ,过：时 平利动.（平 七2，十2速士过过识，上这士过 之2海，小平平2a ,,平：意11t 时0国。k-2-32,-1以-43,41，-414 小 :请动+开-+计+3 红适请，计，.-配，请 gi-0 -4小3+1。节1的-，开 园这.日：毫这2，“a十 3t,w.d-4,m 十减-试谢速：十口.-：：十】记 度，-44，-克41~ A内·A 4446:4+-+4天4 规过时：卫， 1m浸-(）￥4时观 过，已，国4-。 +子十十+4十十+中%… 鞋4m■单，子士两系利期网用 减十动：词，记H 用，4子 可动十女 1年年++甲+。14m 国4可人 -:++排…-✉ s8:4:,1量可.以。 4,(以号} 重七一4阳与年A年已年+4利 减，，记，动 法t门名年了 矿：藏时（子，斗 时十女“吉4子 +网 Te-.m m天4n4:字作-7记，过 利 ,上南表人0州44-生有码 …w- m子 1w7t+m4月+L3-A3-34 ，子十某，十过 44-记编元 国。过5。t,414月 质a卡het人e+天 调g:手3：有 ,一w6g4情a 4m地子)子 青-子脚科4 (( =▣十湾博3，的 ,十时，动 3清：-4千4喻：很=下 园，十子1七十+ f-m…平o 月中4到传色e+材址4卡1.+44-住i别，0量e4 有华社 n1an.时接可，成 。-c-1a ,a,:深。a..w V.0 1t,-t,减-，t,2 48…+,键，十子子 之建请，减：，金上两其民青相 裙家：十卫4十可-这 41 量河-漏，，号：动-清，2 。1-据，，裙，5 请记溪，子对十减子泥， 4堂得-4建性-634速， 4由九L■上有道的P风请代里 日读✉士显含配家4 由a请，式，十，言，4国，中显 十这4克过过，0海 1:中4这：斗过，子之 年441年44非4，料非年车4年卡44色 4+,42 下，发北两了眼产地卡g由中进”密有3项 t1过带：d之■信用，汽专无年：通角 利对，这。过 希了清年。图时1了4：送 年年不=4》4 tw过.过-是，，，这，十过 n￥a,1绿-deT 2该过，，2，时，千动，感，十 生y为博演两内L作流克票我与通 减-十时.4子，分动，4（牛计， 期-子位 0.+d6, +动叫+4于2于1津，4河 mP::子25中4 :t,以，：十 ,+7.+.+, 罩，留：过，古过4 司可灵：作配：2 A时中4力料 同共，转华线的上华4一自年年广年加 金程：减，2己 己（以}tn ,2过a4 望，请请， 2版数理教w 商中数学·是停性处感革一人数A抛：量13丽 详细答案 详细答案 商中数学·区择必棒星一引人数A型：复13■ 数理极3版 里44L57年2命年4e -1 4++个n4攻】题E+子a: 园出中餐通有十 2i了。0.414-4-转4 4配 s+1十十2家：4=4 (中月）买4 54 4可（平“十】 九名441,24打4利里是0年4年e● 属.：0-，2 ,+十 , 油国年问出·直地油件 长山原0州流年 调司：以山湿。y 十子.千 为料到■子算44 ▣ (共→ ,甲中中 1毛m.李 1对，1,1及-1减。上上 中4与的风背 明重 同-d-at-- :2 身. 时n通：U严，准一点U+1A -、- 小华.县卡 m… t,界子)3.在子 wi。+-十+ 得理鲜后中4年年4年件 t于1- t,,请，过-议.山请动.d 楼封城世直中十光种于刻料临进以6 ￥。年4到：年1+1#=411.+4 年44相，#块种非每海中■ w[与。)十 了=1人44=.-=H- +t.6++]t.++w}m(+计 可平合十刊| fa暴，w 一(w四wnan 一味，品平 可a1Es4,+= 平分州可：个-子于】 --…品 a:n+引 “山-学可 4 4…）+）a √一}一号，华+中. g:444s与：+444：45， 1 阳g分情#热到减，g 月年4理，油国上他华+在4以 7(444）民 w4+子4已+ 4 ◆… …√有 om- ()