第1期 1.1～1.3-【数理报】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版2019）

4版数丹格”： 商中数学·是停性处感革一人数A抛：量13丽 详细答案 详细答案 售中数学·这停性必棒星一引人数A假：复13■ 数理极1版 们的言：得1口g2过：一4山-1 m…、(霄4坐] 高中数学·选择性必修第一册（人教A版）2024年 -小子十-41w4t24r十 第1~3期参考答案 …√-（打 、乎4告4a 字住十挂挂。44+ -国un4)早4到 平可过（年不）（十 ,过：时 平利动.（平 七2，十2速士过过识，上这士过 之2海，小平平2a ,,平：意11t 时0国。k-2-32,-1以-43,41，-414 小 :请动+开-+计+3 红适请，计，.-配，请 gi-0 -4小3+1。节1的-，开 园这.日：毫这2，“a十 3t,w.d-4,m 十减-试谢速：十口.-：：十】记 度，-44，-克41~ A内·A 4446:4+-+4天4 规过时：卫， 1m浸-(）￥4时观 过，已，国4-。 +子十十+4十十+中%… 鞋4m■单，子士两系利期网用 减十动：词，记H 用，4子 可动十女 1年年++甲+。14m 国4可人 -:++排…-✉ s8:4:,1量可.以。 4,(以号} 重七一4阳与年A年已年+4利 减，，记，动 法t门名年了 矿：藏时（子，斗 时十女“吉4子 +网 Te-.m m天4n4:字作-7记，过 利 ,上南表人0州44-生有码 …w- m子 1w7t+m4月+L3-A3-34 ，子十某，十过 44-记编元 国。过5。t,414月 质a卡het人e+天 调g:手3：有 ,一w6g4情a 4m地子)子 青-子脚科4 (( =▣十湾博3，的 ,十时，动 3清：-4千4喻：很=下 园，十子1七十+ f-m…平o 月中4到传色e+材址4卡1.+44-住i别，0量e4 有华社 n1an.时接可，成 。-c-1a ,a,:深。a..w V.0 1t,-t,减-，t,2 48…+,键，十子子 之建请，减：，金上两其民青相 裙家：十卫4十可-这 41 量河-漏，，号：动-清，2 。1-据，，裙，5 请记溪，子对十减子泥， 4堂得-4建性-634速， 4由九L■上有道的P风请代里 日读✉士显含配家4 由a请，式，十，言，4国，中显 十这4克过过，0海 1:中4这：斗过，子之 年441年44非4，料非年车4年卡44色 4+,42 下，发北两了眼产地卡g由中进”密有3项 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→ＡＢ－２→ＡＣ），求向量→ＡＭ 的模． 分析：利用向量的坐标运算求出 →ＡＢ，→ＡＣ的坐标，便 可得 →ＡＭ的坐标，再由→ＡＭ的坐标求模． 解： →ＡＢ＝（２，６，－３），→ＡＣ＝（－４，３，１）， 则 →ＡＭ ＝ １２（ →ＡＢ－２→ＡＣ） (＝ ５，０，－５ )２ ， 所以｜→ＡＭ｜＝ ５２＋０２ (＋ －５ )２槡 ２ ＝５槡５２． 点评：本题给出了确定未知向量的坐标的方法，关 键是正确地进行向量的坐标运算． 二、求角度 例２已知空间三点Ａ（１，２，３），Ｂ（２，－１，５），Ｃ（３，２， －５），设ａ＝→ＡＢ，ｂ＝→ＡＣ，若ａ与ｂ的夹角为θ，求ｃｏｓθ． 分析：要求 ｃｏｓθ，则应利用向量夹角的坐标公式进 行计算． 解：因为 →ＡＢ＝（１，－３，２），→ＡＣ＝（２，０，－８）， 所以｜ａ｜＝｜→ＡＢ｜＝ １２＋（－３）２＋２槡 ２ ＝槡１４， ｜ｂ｜＝｜→ＡＣ｜＝ ２２＋０２＋（－８）槡 ２ ＝２槡１７． 所以ｃｏｓθ＝ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝ ａ·ｂ｜ａ｜·｜ｂ｜＝－ 槡２３８ ３４ ． 点评：利用向量的夹角的坐标公式，我们可以求出 空间向量的夹角，进而解决空间中的夹角问题，这也是 向量法求空间角的最重要的思路． 例３在长方体 ＯＡＢＣ－Ｏ１Ａ１Ｂ１Ｃ１ 中，ＯＡ＝２，ＡＢ＝３，ＡＡ１＝２，Ｅ为ＢＣ的 中点，求ＡＯ１与Ｂ１Ｅ所成角的余弦值． 解：建立空间直角坐标系 Ｏ－ｘｙｚ 如图１所示． 由题意得 Ａ（２，０，０），Ｏ１（０，０，２）， Ｂ１（２，３，２），Ｅ（１，３，０），所以 →ＡＯ１ ＝（－２，０，２），Ｂ１→ Ｅ＝ （－１，０，－２），所以ｃｏｓ〈→ＡＯ１，Ｂ１→ Ｅ〉＝ －２ ２槡１０ ＝－槡１０１０， 即ＡＯ１与Ｂ１Ｅ所成角的余弦值为槡 １０ １０． 点评：由夹角公式求向量 ａ，ｂ的夹角，关键是利用 向量的夹角公式．一般是把向量用坐标表示或用一组基 底表示出来，再求其他有关的向量． 三、处理平行问题 例４已知Ａ（１，５，－２），Ｂ（２，４，４），Ｃ（ａ，３，ｂ＋２），如 果Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线，则ａ＋ｂ＝ ． 分析：Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线，可转化为→ＡＢ∥ →ＡＣ． 解：因为 Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线，所以→ＡＢ∥ →ＡＣ，而→ＡＢ＝ （１，－１，６），→ＡＣ＝（ａ－１，－２，ｂ＋４），则ａ－１１ ＝ －２ －１＝ ｂ＋４ ６ ，所以ａ＝３，ｂ＝８．所以ａ＋ｂ＝１１． 点评：三点共线问题一般可转化为两向量平行问题 来求解，而用坐标法判定两向量平行则主要依据以下定 理：若 ｂ≠０，ａ＝（ｘ１，ｙ１，ｚ１），ｂ＝（ｘ２，ｙ２，ｚ２），则 ａ∥ ｂｘ１ ＝λｘ２，ｙ１ ＝λｙ２，ｚ１ ＝λｚ２． 四、处理垂直问题 例５已知ａ＝（２，－１，３），ｂ＝（－４，２，ｘ），ｃ＝（１， －ｘ，２），若（ａ＋ｂ）⊥ｃ，则ｘ＝ ． 分析：先运用向量的坐标运算法则计算出 ａ＋ｂ的 坐标，再利用向量垂直的充要条件列方程，解之即得ｘ． 解：ａ＋ｂ＝（－２，１，ｘ＋３），ｃ＝（１，－ｘ，２）． 因为（ａ＋ｂ）⊥ｃ， 所以 －２－ｘ＋２（ｘ＋３）＝０， 解得ｘ＝－４． 点评：破解此题的主要依据是空间向量垂直的充要 条件，通过列方程即可求解． 例６在直三棱柱 ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中，∠ＡＢＣ＝９０°， ｜ＢＣ｜＝２，｜ＣＣ１｜＝４，Ｄ为ＣＣ１的中点． 求证：Ｂ１Ｄ⊥平面ＡＢＤ． 证明：如图２，以Ｂ为坐标原点，建立空间直角坐标 系，则Ｂ（０，０，０），Ｄ（０，２，２），Ｂ１（０，０，４）． 设ＢＡ＝ａ，则Ａ（ａ，０，０）， 所以 →ＢＡ＝（ａ，０，０），→ＢＤ＝（０，２，２）， Ｂ１ → Ｄ＝（０，２，－２）． 因为Ｂ１ → Ｄ·→ＢＡ＝０，Ｂ１→ Ｄ·→ＢＤ＝０， 所以Ｂ１Ｄ⊥ＢＡ，Ｂ１Ｄ⊥ＢＤ． 又ＢＡ∩ＢＤ＝Ｂ， 因此Ｂ１Ｄ⊥平面ＡＢＤ． 点评：运用空间向量的坐标运算，把证明问题化为 计算问题，简捷方便． 五、巧解探究性问题 例７已知矩形ＡＢＣＤ，ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，Ｍ，Ｎ分别是 ＡＢ，ＰＣ的中点，∠ＰＤＡ＝θ，能否确定θ，使直线ＭＮ是直 线ＡＢ与ＰＣ的公垂线？若能确定，求出θ的值；若不能确 定，请说明理由． 解：如图３，以点 Ａ为坐标原点建 立空间直角坐标系，设 Ａ（０，０，０）， Ｄ（２ａ，０，０），Ｂ（０，２ｂ，０），Ｃ（２ａ，２ｂ，０）， 那么Ｐ（０，０，２ａｔａｎθ），Ｍ（０，ｂ，０）， Ｎ（ａ，ｂ，ａｔａｎθ）， 所以 →ＡＢ＝（０，２ｂ，０），→ＰＣ＝（２ａ， ２ｂ，－２ａｔａｎθ），→ＭＮ＝（ａ，０，ａｔａｎθ）． 因为 →ＡＢ· →ＭＮ＝（０，２ｂ，０）·（ａ，０，ａｔａｎθ）＝０， 所以 →ＡＢ⊥ →ＭＮ，即ＡＢ⊥ＭＮ恒成立． 若ＭＮ⊥ＰＣ，则 →ＭＮ·→ＰＣ＝（ａ，０，ａｔａｎθ）·（２ａ，２ｂ， －２ａｔａｎθ）＝２ａ２－２ａ２ｔａｎ２θ＝０，得ｔａｎ２θ＝１． 因为θ为锐角，所以ｔａｎθ＝１，即θ＝４５°． 即当θ＝４５°时，直线ＭＮ是直线ＡＢ与ＰＣ的公垂线． 点评：当图形中有三条直线两两垂直时，通过建立 空间直角坐标系，往往能够迅速地解决该题． 书 一、结论多解型 例１如右图所示，在正方体 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，①（ →ＡＢ＋ →ＢＣ）＋ＣＣ→ １；②（ＡＡ→ １ ＋Ａ１Ｄ→ １）＋ Ｄ１Ｃ → １；③（ →ＡＢ ＋ ＢＢ→ １） ＋ Ｂ１Ｃ→ １； ④（ＡＡ→ １＋Ａ１Ｂ→ １）＋Ｂ１Ｃ→ １．上列各式 中运算的结果为向量ＡＣ→ １的共有 （将以上运算 结果为ＡＣ→ １的序号填到横线上）． 分析：根据向量的运算法则逐个将各式化简作出判断． 解：①（→ＡＢ＋→ＢＣ）＋ＣＣ→ １＝→ＡＣ＋ＣＣ→ １＝ＡＣ→ １；②（ＡＡ→ １ ＋Ａ１Ｄ → １）＋Ｄ１Ｃ → １ ＝ＡＤ → １＋Ｄ１Ｃ → １ ＝ＡＣ → １；③（ →ＡＢ＋ＢＢ→ １）＋ Ｂ１Ｃ → １＝ＡＢ → １＋Ｂ１Ｃ → １＝ＡＣ → １；④（ＡＡ → １＋Ａ１Ｂ → １）＋Ｂ１Ｃ → １＝ＡＢ → １ ＋Ｂ１Ｃ → １ ＝ＡＣ → １．所以运算结果是ＡＣ → １的有①②③④． 点评：结论开放型创新问题，结论是不确定或不唯 一的，解题时要注意运用相应的解题策略，如举反例、特 殊值法、排除法、等价转化、数形结合等． 二、知识交汇型 例２已知空间任意一点Ｏ和不共线的三点Ａ，Ｂ，Ｃ， 满足 →ＯＰ＝ｘ→ＯＡ＋ｙ→ＯＢ＋ｚ→ＯＣ（ｘ∈Ｒ，ｙ∈Ｒ，ｚ∈Ｒ），则 “ｘ＋ｙ＋ｚ＝１＂是“点Ｐ位于平面ＡＢＣ内”的 （　　） （Ａ）充分不必要条件 （Ｂ）必要不充分条件 （Ｃ）充要条件 （Ｄ）既不充分又不必要条件 分析：根据共面向量定理，结合充要条件的概念作 出判断． 解：若空间任意一点 Ｏ和不共线的三点 Ａ，Ｂ，Ｃ，满 足 →ＯＰ＝ｘ→ＯＡ＋ｙ→ＯＢ＋ｚ→ＯＣ（ｘ∈Ｒ，ｙ∈Ｒ，ｚ∈Ｒ），且ｘ ＋ｙ＋ｚ＝１，则点Ｐ位于平面ＡＢＣ内，反之，若点Ｐ位于 平面ＡＢＣ内，且→ＯＰ＝ｘ→ＯＡ＋ｙ→ＯＢ＋ｚ→ＯＣ（ｘ∈Ｒ，ｙ∈Ｒ， ｚ∈Ｒ），则ｘ＋ｙ＋ｚ＝１．故选（Ｃ）． 点评：本题只要是空间向量与逻辑条件的交汇问 题，解题的关键是熟练掌握充分条件、必要条件、充要条 件的概念． 三、探索型 例３已知Ａ，Ｂ，Ｃ三点不共线，对平面ＡＢＣ外的任一 点 Ｏ，若 →ＯＭ＝２→ＯＡ－→ＯＢ－→ＯＣ，则点Ｍ是否与Ａ，Ｂ，Ｃ一 定共面，并说明理由． 分析：若确定点Ｍ是否与Ａ，Ｂ，Ｃ一定共面，就看是 否存在实数对（ｘ，ｙ），使得→ＡＭ ＝ｘ→ＡＢ＋ｙ→ＡＣ成立． 解：点Ｍ与Ａ，Ｂ，Ｃ不共面，理由如下： 假设点Ｍ与Ａ，Ｂ，Ｃ一定共面， 则存在实数对（ｘ，ｙ），使得→ＡＭ ＝ｘ→ＡＢ＋ｙ→ＡＣ成立． 于是对平面ＡＢＣ外任一点Ｏ，→ＯＭ＝（１－ｘ－ｙ）→ＯＡ ＋ｘ→ＯＢ＋ｙ→ＯＣ，比较原式，由基本定理得 １－ｘ－ｙ＝２， ｘ＝－１， ｙ＝－１ { ， 此方程组无解，这与假设矛盾， 所以不存在ｘ，ｙ使→ＡＭ ＝ｘ→ＡＢ＋ｙ→ＡＣ成立． 所以点Ｍ与Ａ，Ｂ，Ｃ不共面． 点评：本题主要考查了空间向量的共面向量定理， 考查了方程思想的运用，从结论入手降低了思维难度． 书 高中数学 选择性必修全三册 人教Ａ版 编辑计划 ２０２４年７～１２月 第１期　 §１．１空 间向量及其运算、§１．２ 空间向量基本定理、 §１．３空间向量及其运 算的坐标表示 第２期　 §１．４空 间向量的应用 第３期　空间向量 与立体几何 核心素养 综合测评 第４期　核心素养 阶段测评（一） 第５期　 §２．１直 线的倾斜角与斜率 第６期　 §２．２直 线的方程 第７期　§２．３直线 的交点坐标与距离公式 第８期　 §２．４圆 的方程 第９期　 §２．５直 线与圆、圆与圆的位置 关系 第 １０期　直线和 圆的方程 核心素养综 合测评 第 １１期　核心素 养阶段测评（二） 第 １２期　 §３．１ 椭圆 第 １３期　 §３．２ 双曲线 第 １４期　 §３．３ 抛物线 第 １５期　圆锥曲 线的方程 核心素养综 合测评 第 １６期　核心素 养阶段测评（三） 第 １７期　学业水 平测评（一） 第 １８期　学业水 平测评（二） （下转２，３版中缝） 书 １７．（１５分）（２０２４浙江校联考阶段练习）如图１０，在 四面体ＡＢＣＤ中，设→ＣＡ＝ａ，→ＣＢ＝ｂ，→ＣＤ＝ｃ． （１）若→ＢＥ＝ ２３ →ＢＣ，Ｆ是ＡＤ的中点，用ａ，ｂ，ｃ表示 →ＥＦ； （２）若→ＣＡ，→ＣＢ，→ＣＤ两两垂直，求证：△ＡＢＤ为锐角三 角形． １８．（１７分）正四棱柱 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，底面 ＡＢＣＤ是边长为４的正方形，Ａ１Ｃ１与Ｂ１Ｄ１交于点Ｎ，ＢＣ１ 与Ｂ１Ｃ交于点Ｍ，且ＡＭ⊥ＢＮ． （１）用向量方法求ＡＡ１的长； （２）对于ｎ个向量ａ１，ａ２，…，ａｎ，如果存在不全为零 的ｎ个实数λ１，λ２，…，λｎ，使得λ１ａ１＋λ２ａ２＋… ＋λｎａｎ ＝０，则称ｎ个向量ａ１，ａ２，…，ａｎ叫做线性相关，否则称 为线性无关．试判断→ＡＭ，→ＢＮ，→ＣＤ是否线性相关． １９．（１７分）（２０２４江苏常州统考期中）空间中，两两 互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如 果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称 为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数 轴的夹角均为６０°，我们将这种坐标系称为“斜６０°坐标 系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜６０°坐标 系”下向量的斜６０°坐标：ｉ，ｊ，ｋ，分别为“斜６０°坐标系” 下三条数轴（ｘ轴、ｙ轴、ｚ轴）正方向的单位向量，若向量 ｎ＝ｘｉ＋ｙｊ＋ｚｋ，则ｎ与有序实数组（ｘ，ｙ，ｚ）相对应，称向 量的斜６０°坐标为［ｘ，ｙ，ｚ］，记作ｎ＝［ｘ，ｙ，ｚ］． （１）若ａ＝［１，２，３］，ｂ＝［－１，１，２］，求ａ＋ｂ的斜 ６０°坐标； （２）在平行六面体 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ＡＢ＝ＡＤ ＝２，ＡＡ１ ＝３，∠ＢＡＤ＝∠ＢＡＡ１ ＝∠ＤＡＡ１ ＝６０°，如图 １１，以｛→ＡＢ，→ＡＤ，ＡＡ→ １｝为基底建立“空间斜６０°坐标系”． ①若→ＢＥ＝ＥＢ→ １，求向量ＥＤ→ １的斜６０°坐标； ②若→ＡＭ ＝［２，ｔ，０］，且→ＡＭ⊥ＡＣ→ １，求 →                                                                                                                                                             ｜ＡＭ｜． 书 空间向量三定理是指空间向量基本定理、共线向量 定理和共面向量定理，它们既相区别又紧密联系．下面 分别解读这三个定理，供同学们参考． 一、共线向量定理 对于任意两个空间向量ａ，ｂ（ｂ≠０），ａ∥ｂ的充要 条件是存在实数λ，使ａ＝λｂ． 说明：（１）在此定理中必须要有ｂ≠０这个条件，因 为０与任意一个非零向量共线． （２）在ａ＝λｂ中，对于确定的λ和ｂ，ａ＝λｂ表示空 间中与ｂ平行或共线且长度为｜λｂ｜的所有向量． （３）利用共线向量定理可以证明两条直线平行或 三点共线问题． 二、共面向量定理 如果两个向量ａ，ｂ不共线，那么向量 ｐ与向量 ａ，ｂ 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（ｘ，ｙ），使 ｐ＝ｘａ＋ｙｂ． 说明：（１）由于空间的任意两个非零向量 ａ，ｂ都可 以通过平移，转化到一个平面内，因此它们总是共面的． 规定：０与任意两个非零向量共面． （２）共面向量定理给出了平面的向量表示，它既是 判断三个向量是否共面的依据，又是已知共面条件的另 一种表示形式，可以借此将已知共面条件化为向量式， 以便进行向量运算． （３）三个向量共面是指它们所在的基线平行于同一平 面或在同一平面内，并不是指它们的基线一定在同一平面 内，利用此定理可以证明四点共面、点线共面、线面平行等． 三、空间向量基本定理 如果三个向量ａ，ｂ，ｃ不共面，那么对任意一个空间向 量ｐ，存在唯一的有序实数组（ｘ，ｙ，ｚ），使得ｐ＝ｘａ＋ｙｂ＋ｚｃ． 这时不共面的三个向量 ａ，ｂ，ｃ叫做空间的一个基 底，记作｛ａ，ｂ，ｃ｝，其中ａ，ｂ，ｃ都叫做基向量． 说明：（１）空间任意三个不共面的向量都可以作为 空间向量的一个基底，同时由于０与任意一个非零向量 共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面 就隐含着它们都是非零向量． （２）用三个不共面的已知向量组ａ，ｂ，ｃ可以线性表 示出空间的任意一个向量，而且表示的结果是唯一的． 四、依据共线向量定理、共面向量定理和空间向量 基本定理可以有下面的具体结论： （１）Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线 →ＡＢ∥ →ＡＣ 存在实数 ｘ，使 →ＡＣ＝ｘ→ＡＢ存在唯一的一对实数ｘ，ｙ，使得→ＯＣ＝ｘ→ＯＡ＋ ｙ→ＯＢ，且ｘ＋ｙ＝１． （２）判断空间四点是否共面我们有两个结论：设 Ａ， Ｂ，Ｃ三点不共线，则：①Ｐ，Ａ，Ｂ，Ｃ四点共面的充要条件 是：存在有序实数对（ｘ，ｙ），使→ＡＰ＝ｘ→ＡＢ＋ｙ→ＡＣ；②Ｐ，Ａ， Ｂ，Ｃ四点共面的充要条件是：对空间任意一点 Ｏ，都有 →ＯＰ＝ｘ→ＯＡ＋ｙ→ＯＢ＋ｚ→ＯＣ，且ｘ＋ｙ＋ｚ＝１． !"#$ %& ! 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T"#$%&'nU !"#$%&'()*+,'-. 书 专项小练一　空间向量及其运算 １．下列关于空间向量的命题中，正确的个数是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　①在同一条直线上的单位向量都相等； ②只有零向量的模等于０； ③在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ＡＤ → １与ＢＣ → １是相 等向量； ④在空间四边形ＡＢＣＤ中，→ＡＢ与→ＣＤ是相反向量； ⑤在三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中，与ＡＡ → １的模一定相 等的向量一共有３个； （Ａ）２ （Ｂ）３ （Ｃ）４ （Ｄ）５ ２．已知单位向量 ａ，ｂ，ｃ两两垂直，则（２ａ－２ｂ＋ ４ｃ）·（－ａ－３ｂ＋２ｃ）＝ （　　） （Ａ）８ （Ｂ）１０ （Ｃ）１２ （Ｄ）０ ３．（多选）在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，下面四 个命题正确的是 （　　） （Ａ）（Ａ１ → Ａ＋Ａ１→ Ｄ１＋Ａ１→ Ｂ１）２ ＝３（Ａ１→ Ｂ１）２ （Ｂ）Ａ１ → Ｃ·（Ａ１→ Ｂ１－Ａ１→ Ａ）＝０ （Ｃ）→ＡＤ１与Ａ１→ Ｂ的夹角为６０° （Ｄ）此正方体的体积为 →｜ＡＢ·→ＡＡ１·→ＡＤ｜ ４．在直三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中，若 →ＣＡ＝ａ，→ＣＢ＝ ｂ，ＣＣ→ １ ＝ｃ，则Ａ１→ Ｂ＝ ．（用ａ，ｂ，ｃ表示） ５．在空间四边形ＡＢＣＤ中，→ＡＢ＝ａ－２ｃ，→ＣＤ＝５ａ＋ ６ｂ－８ｃ，设对棱 ＡＣ，ＢＤ的中点分别为 Ｅ，Ｆ，则→ＥＦ＝ ． ６．（２０２４河南开封统考期末）如下图，在空间四边 形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，ＡＤ＝５，∠ＡＢＣ＝∠ＢＡＤ ＝１２０°，ＡＤ⊥ＢＣ． （１）求→ＢＡ·→ＢＣ； （２）求ＣＤ的长． 专项小练二　空间向量基本定理 １．若ａ＝ｅ１＋ｅ２＋ｅ３，ｂ＝ｅ１＋ｅ２－ｅ３，ｃ＝ｅ１－ｅ２ ＋ｅ３，ｄ＝ｅ１＋２ｅ２＋３ｅ３，又有ｄ＝αａ＋βｂ＋γｃ，则α， β，γ分别是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （Ａ）５２，－１，－ １ ２ （Ｂ） ５ ２，１， １ ２ （Ｃ）－５２，１，－ １ ２ （Ｄ） ５ ２，１，－ １ ２ ２．已知空间向量 ａ＝（－１，２，３），ｂ＝（２，－１， －４），则下列向量中，使｛ａ，ｂ，ｃ｝能构成空间的一个基 底的向量是 （　　） （Ａ）ｃ＝（－８，７，１８） （Ｂ）ｃ＝（１，１，－１） （Ｃ）ｃ＝（－２，４，－８） （Ｄ）ｃ＝（－２，１，４） ３．（多选）在下列命题中正确的是 （　　） （Ａ）已知 ａ，ｂ，ｃ是空间三个向量，则空间任意一 个向量ｐ总可以唯一表示为ｐ＝ｘａ＋ｙｂ＋ｚｃ （Ｂ）若→ＡＢ，→ＣＤ所在的直线是异面直线，则→ＡＢ，→ＣＤ 不共面 （Ｃ）三个向量ａ，ｂ，ｃ两两共面，但向量ａ，ｂ，ｃ不一 定共面 （Ｄ）已知Ａ，Ｂ，Ｃ三点不共线，若 →ＯＤ＝ １２ →ＯＡ＋ １ ３ →ＯＢ＋１６ →ＯＣ，则Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四点共面 ４．在正三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中，Ｍ为△Ａ１Ｂ１Ｃ１的 重心，若 →ＡＢ＝ａ，→ＡＣ＝ｂ，ＡＡ→ １ ＝ｃ，则 →ＣＭ＝ ． （用ａ，ｂ，ｃ表示） ５．（２０２４湖北校联考期中）已知Ｍ，Ａ，Ｂ，Ｃ为空间 中四点，任意三点不共线，且 →ＯＭ ＝－３→ →ＯＡ＋ｘＯＢ＋ →ｙＯＣ，若Ｍ，Ａ，Ｂ，Ｃ四点共面，则ｘ＋ｙ＝ ． ６．如右图，四棱锥 Ｐ－ ＡＢＣＤ中，底面ＡＢＣＤ为矩形，侧 棱ＰＤ⊥底面ＡＢＣＤ，Ｅ为棱ＰＣ 的中点， →ＢＦ＝３→ＦＰ，连接 ＤＦ， ＤＥ，其中Ｑ为ＤＥ的中点，→ＤＡ＝ ａ，→ＤＰ＝ｂ，→ＤＣ＝ｃ． （１）请用ａ，ｂ，ｃ，表示向量→ＦＱ； （２）｜ａ｜＝２，｜ｂ｜＝｜ｃ｜＝１，求→ＡＦ·→ＦＱ的值． 专项小练三　空间向量及其运算的坐标 １．（２０２４安徽芜湖统考期末）在空间直角坐标系 Ｏｘｙｚ中，点Ａ（０，１，－１），Ｂ（１，１，２），点Ａ关于ｙ轴对称 的点为Ｃ，点Ｂ关于平面ｘＯｚ对称的点为Ｄ，则向量→ＣＤ 的坐标为 （　　） （Ａ）（－１，２，－１） （Ｂ）（１，－２，１） （Ｃ）（－１，０，１） （Ｄ）（１，０，－１） ２．已知向量ａ＝（－３，２，１），ｂ＝（１，ｘ，－１），且ａ ·ｂ＝２，则ｘ的值为 （　　） （Ａ）３　　　 （Ｂ）４　　　 （Ｃ）５　　　 （Ｄ）６ ３．（多选）已知向量 ａ＝（１，２，３），ｂ＝（３，０， －１），ｃ＝（－１，５，－３），下列选项正确的是 （　　） （Ａ）（ａ·ｂ）·ｃ＝ｂ·ｃ （Ｂ）（ａ＋ｂ）·ｃ＝ａ·（ｂ＋ｃ） （Ｃ）（ａ＋ｂ＋ｃ）２ ＝ａ２＋ｂ２＋ｃ２ （Ｄ）｜ａ＋ｂ＋ｃ｜＝｜ａ－ｂ－ｃ｜ ４．（２０２４海口课时练）在空间直角坐标系中，已知 Ａ（１，－２，１），Ｂ（２，２，２），点Ｐ在ｘ轴上，且满足｜ＰＡ｜＝ ｜ＰＢ｜，则点Ｐ的坐标为 ． ５．若向量ａ＝（１，λ，２），ｂ＝（２，－１，２），且ａ与ｂ 的夹角的余弦值为 ８ ９，则λ＝ ． ６．已知Ａ（１，２，３），Ｂ（２，１，２），Ｐ（１，１，２），Ｏ为坐标 原点，点Ｑ在直线ＯＰ上运动，当→ＱＡ·→ＱＢ取最小值时， 求点Ｑ的坐标． 书 第Ⅰ卷 选择题 （共５８分） 一、单项选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０ 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．在空间四边形ＯＡＢＣ中，化简→ → →ＯＡ＋ＡＢ－ＣＢ＝ （　　） （Ａ）→ＯＣ （Ｂ）→ＯＡ （Ｃ）→ＡＣ （Ｄ）→ＯＢ ２．已知点Ａ（－２，３，０），Ｂ（１，３，２），→ＡＤ＝３→ＡＢ，则点 Ｄ的坐标为 （　　） （Ａ）（－１１，３，－６） （Ｂ）（９，０，６） （Ｃ）（７，３，６） （Ｄ）（－１，１５，６） ３．（２０２４山东济宁月考）如 图１，在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，底 面ＡＢＣＤ为平行四边形，ＡＣ与 ＢＤ交于点 Ｏ，Ｇ为 ＢＤ上一点， ＢＧ＝３ＧＤ，→ＰＡ＝ａ，→ＰＢ＝ｂ，→ＰＣ ＝ｃ，则→ＰＧ＝ （　　） （Ａ）１２ａ－ ３ ４ｂ＋ １ ２ｃ （Ｂ） ３ ４ａ－ １ ２ｂ＋ ３ ４ｃ （Ｃ）３４ａ－ １ ２ｂ－ １ ２ｃ （Ｄ） １ ２ａ＋ ３ ４ｂ－ １ ２ｃ ４．已知空间向量→ＰＡ＝（１，２，４），→ＰＢ＝（５，－１，３）， →ＰＣ＝（ｍ，ｎ，－１），则“Ｐ，Ａ，Ｂ，Ｃ四点共面”是“１０ｍ＋ １７ｎ＝－１１”的 （　　） （Ａ）充分不必要条件 （Ｂ）充要条件 （Ｃ）必要不充分条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件 ５．（２０２４山东枣庄第三中 学校考阶段练习）如图２，在正 方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，点Ｍ 是ＣＣ１上靠近点Ｃ的三等分点， 点Ｎ满足→ →ＡＮ＝ｔＡＭ，若Ｎ为ＡＭ 与平面ＢＤＡ１的交点，则ｔ＝ （　　） （Ａ）１３ （Ｂ） ２ ５ （Ｃ） ３ ７ （Ｄ） ３ ８ ６．如图３，某圆锥 ＳＯ的轴截 面ＳＡＣ，其中ＳＡ＝槡５ＡＯ，点 Ｂ是 底面圆周上的一点，且 ｃｏｓ∠ＢＯＣ ＝２３，点Ｍ是线段ＳＡ的中点，则 异面直线ＳＢ与ＣＭ所成角的余弦 值是 （　　） （Ａ） 槡２ ３５３５ （Ｂ） 槡６ ６５ ６５ （Ｃ） 槡１３ １５ （Ｄ） 槡３ ５ ７．（２０２４浙江於潜中学期中） 在如图 ４所示的平行六面体 ＡＢＣＤ－Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′中，已知 ＡＢ＝ ＡＡ′＝ＡＤ，∠ＢＡＤ ＝∠ＢＡＡ′＝ ∠ＤＡＡ′＝６０°，→ＢＭ＝１４ →ＢＣ，Ｎ为 Ｃ′Ｄ′上一点，且 →Ｄ′Ｎ＝λ →Ｄ′Ｃ′，若 ＤＭ⊥ＡＮ，则λ＝ （　　） （Ａ）１２ （Ｂ） １ ３ （Ｃ） １ ４ （Ｄ） １ ５ ８．如图５，正方形ＡＢＢ１Ａ１的边长为１２，其内有两点 Ｐ，Ｑ，点Ｐ到边ＡＡ１，Ａ１Ｂ１的距离分别为３，２，点 Ｑ到边 ＢＢ１，ＡＢ的距离也是３和２．现将正方形卷成一个圆柱， 使得ＡＢ和Ａ１Ｂ１重合（如图６）．则此时Ｐ，Ｑ两点间的距 离为 （　　） （Ａ）６ １＋π槡 ２ π （Ｂ）６ ２＋π槡 ２ π （Ｃ）６ ３＋π槡 ２ π （Ｄ）６ ４＋π槡 ２ π 二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８ 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分． ９．（２０２４广东东莞联考）已知空间向量 ａ＝（－２， －１，１），ｂ＝（３，４，５），则下列结论正确的是 （　　） （Ａ）（２ａ＋ｂ）∥ａ （Ｂ）５｜ａ｜＝槡３｜ｂ｜ （Ｃ）ａ⊥（５ａ＋４ｂ） （Ｄ）ａ在ｂ上的投影向量的长度为槡２２ １０．（２０２４江苏徐州期中）下列命题正确的是 （　　） （Ａ）已知向量ａ＝（１，１，ｘ），ｂ＝（－３，ｘ，９），若ｘ＜ ３ １０，则〈ａ，ｂ〉为钝角 （Ｂ）若存在实数λ，μ使得→ＡＢ＝λ→ＢＣ＋μ→ＢＤ，则Ａ， Ｂ，Ｃ，Ｄ四点共面 （Ｃ）已知空间直角坐标系Ｏ－ｘｙｚ中的点Ａ的坐标 为（１，１，１），平面α过点Ａ且与直线ＯＡ垂直，动点Ｐ（ｘ， ｙ，ｚ）是平面α内的任一点，则点Ｐ的坐标满足ｘ＋ｙ＋ｚ ＝０ （Ｄ）对空间任意一点Ｏ与不共线的三点Ａ，Ｂ，Ｃ，若 → → → →ＯＰ＝ｘＯＡ＋ｙＯＢ＋ｚＯＣ，其中ｘ，ｙ，ｚ∈Ｒ且ｘ＋ｙ＋ｚ＝ １，则Ｐ，Ａ，Ｂ，Ｃ四点共面 １１．（２０２４江苏常州期中）在三棱锥Ｍ－ＡＢＣ中，下 列说法正确的是 （　　） （Ａ）若→ＡＤ＝ １３ →ＡＢ＋２３ →ＡＣ，则→ＢＣ＝３→ＢＤ （Ｂ）若Ｇ为△ＡＢＣ的重心，则 →ＭＧ＝１３ →ＭＡ＋１３ →ＭＢ ＋１３ →ＭＣ （Ｃ）若→ＭＡ·→ＢＣ＝０，→ＭＣ·→ＡＢ＝０，则 →ＭＢ·→ＡＣ＝０ （Ｄ）若三棱锥Ｍ－ＡＢＣ的棱长都为２，Ｐ，Ｑ分别为 ＭＡ，ＢＣ的中点，则 →｜ＰＱ｜＝２ 第Ⅱ卷 非选择题 （共９２分） 三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分． １２．（２０２４河北邢台统考阶段练习）在平行六面体 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｅ，Ｆ分别在棱 ＢＢ１和 ＤＤ１上，且 ＤＦ＝１２ＤＤ１．记 → → →ＥＦ＝ｘＡＢ＋ｙＡＤ＋ｚＡＡ→ １，若ｘ＋ｙ＋ｚ＝ １ ４，则 ＢＥ ＢＢ１ ＝ ． １３．（２０２４上海市育才中学校 考期末）在空间直角坐标系中，点 Ｐ坐标可记为（ｘ，ｙ，ｚ）：定义柱面 坐标系，在柱面坐标系中，点 Ｐ坐 标可记为（ｒ，θ，ｚ）．如图７所示，空 间直角坐标（ｘ，ｙ，ｚ）与柱面坐标 （ｒ，θ，ｚ）之间的变换公式为：ｘ＝ ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθ，ｚ＝ｚ．则在柱面坐标系中，点 (Ａ １，π２， )２ 与点Ｂ（２，θ，－１）两点距离的最小值为 ． １４．（２０２４山东烟台第一中学摸底测试）已知空间 向量ａ，ｂ，｜ａ｜＝２，｜ｂ｜＝１，〈ａ，ｂ〉＝６０°，则使向量ａ ＋λｂ与λａ－２ｂ的夹角为钝角的实数 λ的取值范围是 ． 四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． １５．（１３分）如图８，四棱柱ＡＢＣＤ－Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′是平行 六面体． （１）化简 １２ → →ＡＡ′＋ＢＣ＋２３ →ＡＢ，并在图中标出结果； （２）设Ｍ是底面ＡＢＣＤ的中心，Ｎ在侧面ＢＣＣ′Ｂ′的 对角线ＢＣ′上，且ＢＮ＝３４ＢＣ′，设 →ＭＮ＝α→ＡＢ＋β→ＡＤ＋ γ→ＡＡ′，试求α，β，γ的值． １６．（１５分）如图９，正三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１的侧棱 长为４，底面边长为２，Ｄ为ＡＣ１的中点． （１）以｛→ＡＢ，→ＡＣ，ＡＡ→ １｝为空间的一组基底表示向量 →ＢＤ，Ｂ１→ Ｃ； （２）线段ＣＢ１上是否存在一点Ｅ，使得ＢＤ⊥ＡＥ？若 存在，求 →｜ＡＥ｜；若不存在，请说明理由                                                                                                                                                             ． !"#$ ! %& ! " # $ % &' ( 书 一、对空间向量概念理解不透导致错误 　　　　　　　　　　　　　　　例１下列命题中，正确命题的个数是 （　　） ①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点 也相同； ②若空间向量ａ，ｂ满足｜ａ｜＝｜ｂ｜，则ａ＝±ｂ； ③在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，必有 →ＡＣ＝Ａ１Ｃ→ １； ④若空间向量ｍ，ｎ，ｐ满足ｍ＝ｎ，ｎ＝ｐ，则ｍ＝ｐ； ⑤若空间向量ａ∥ｂ，ｂ∥ｃ，则ａ∥ｃ． （Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）４ 错解：由向量的性质知，②③④⑤正确．故选（Ｄ）． 剖析：本题②没有准确理解向量模的定义，而是简 单地与实数的绝对值类比导致错误；⑤没有考虑零向量 与任意向量共线这种特殊情况． 正解：两个向量相等，只需方向相同，模相等，而不一定 起点相同，终点相同，①不正确；空间向量ａ，ｂ的模相等，只 需向量ａ，ｂ的长度相等，方向不确定，不一定是相等向量或 相反向量，②不正确；在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，向量 →ＡＣ与Ａ１Ｃ→ １的方向相同，模相等， 所以 →ＡＣ＝Ａ１Ｃ→ １，③正确；根据向 量相等的定义知，④正确；当向量 ｂ为零向量时，不能保证ａ∥ｃ，⑤ 不正确．故选（Ｂ）． 二、对向量夹角的含义认 识不清导致错误 例２如右图，已知空间四 边形 ＡＢＣＤ的四条边和对角线长都为ａ，点Ｅ，Ｆ，Ｇ分别 是ＡＢ，ＡＤ，ＤＣ的中点，则下列四个向量的数量积中结果 为ａ２的有 ．（填序号即可） ①２→ＢＡ·→ＡＣ；②２→ＡＤ·→ＢＤ；③２→ＧＦ·→ＡＣ；④２→ＥＦ·→ＣＢ． 错解：①２→ＢＡ·→ＡＣ＝２ → →｜ＢＡ｜｜ＡＣ｜ｃｏｓ６０°＝２ａ· ａｃｏｓ６０°＝ａ２；②２→ＡＤ·→ＢＤ＝２ → →｜ＡＤ｜｜ＢＤ｜ｃｏｓ６０°＝ ２ａ·ａｃｏｓ６０°＝ａ２；③２→ＧＦ·→ＡＣ＝２ → →｜ＧＦ｜｜ＡＣ｜ｃｏｓ０°＝２· ａ ２·ａｃｏｓ０°＝ａ ２；④２→ＥＦ·→ＣＢ＝２ → →｜ＥＦ｜｜ＣＢ｜ｃｏｓ６０°＝ ２· ａ２·ａｃｏｓ６０°＝ ａ２ ２． 故填①②③． 剖析：求解本题时对两个向量的夹角认识不清，没 有考虑向量的方向，误把三角形内角或平行线所成的角 当作向量的夹角． 正解：①２→ＢＡ·→ＡＣ＝２ → →｜ＢＡ｜｜ＡＣ｜ｃｏｓ１２０°＝２ａ· ａｃｏｓ１２０°＝－ａ２；②２→ＡＤ·→ＢＤ＝２ → →｜ＡＤ｜｜ＢＤ｜ｃｏｓ６０° ＝２ａ·ｃｏｓ６０°＝ａ２；③２→ＧＦ·→ＡＣ＝２ → →｜ＧＦ｜｜ＡＣ｜ｃｏｓ１８０° ＝２·ａ２·ａｃｏｓ１８０°＝－ａ ２；④２→ＥＦ·→ＣＢ＝２ → →｜ＥＦ｜｜ＣＢ｜ ｃｏｓ１２０°＝２· ａ２·ａｃｏｓ１２０°＝－ ａ２ ２． 故填②． 三、混淆向量性质与实数性质导致错误 例３已知ａ，ｂ都是非零向量，且向量ａ＋３ｂ与７ａ－５ｂ 垂直，向量ａ－４ｂ与７ａ－２ｂ垂直，求向量ａ与ｂ的夹角． 错解：由题意知， （ａ＋３ｂ）·（７ａ－５ｂ）＝０， （ａ－４ｂ）·（７ａ－２ｂ）＝０{ ， 即 ７ａ２＋１６ａ·ｂ－１５ｂ２ ＝０， ７ａ２－３０ａ·ｂ＋８ｂ２ ＝０{ ． 两式相减，得４６ａ·ｂ－２３ｂ２＝０，即ｂ（２ａ－ｂ）＝０． 又ｂ≠０， 所以２ａ－ｂ＝０，即ｂ＝２ａ，ａ与ｂ同向共线． 所以ａ与ｂ的夹角为０． 剖析：错解中，进行向量运算时误用实数的性质，即对 实数ａ，ｂ，若ａｂ＝０，则必有ａ＝０，ｂ＝０，但对向量而言，若 满足ａ·ｂ＝０，则不一定有ａ＝０，ｂ＝０，还可能ａ⊥ｂ． 正解：由错解知，ｂ２ ＝２ａ·ｂ． 代入７ａ２＋１６ａ·ｂ－１５ｂ２ ＝０，得ａ２ ＝２ａ·ｂ． 所以ａ２ ＝ｂ２ ＝２ａ·ｂ． 所以ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝ ａ·ｂ｜ａ｜｜ｂ｜＝ １ ２｜ａ｜ ２ ｜ａ｜２ ＝ １２． 又０≤〈ａ，ｂ〉≤π， 所以〈ａ，ｂ〉＝π３，即向量ａ与ｂ的夹角为 π ３． 四、将向量与平面平行误以为线面平行导致错误 例４已知ＡＢ，ＣＤ是异面直线，ＣＤα，ＡＢ∥α，Ｍ， Ｎ分别是ＡＣ，ＢＤ的中点，求证：ＭＮ∥α． 错解：因为ＣＤα，ＡＢ∥α，且ＡＢ，ＣＤ是异面直线， 所以在平面α内存在向量 ａ，ｂ，使得→ＡＢ＝ａ，→ＣＤ＝ ｂ，且两个向量不共线． 因为Ｍ，Ｎ分别是ＡＣ，ＢＤ的中点， 所以 →ＭＮ＝１２（ → → → → → →ＭＡ＋ＡＢ＋ＢＮ＋ＭＣ＋ＣＤ＋ＤＮ）＝ １ ２（ → →ＡＢ＋ＣＤ）＝ １２（ａ＋ｂ）． 根据共面向量的充要条件知， →ＭＮ∥α，即ＭＮ∥α． 剖析：错解中没有理解向量与平面平行的含义， →ＭＮ＝ １ ２（ａ＋ｂ）说明向量表示的有向线段所在的直线与平面可 能平行，也可能在平面内，不能由此直接得出 ＭＮ∥α． 正解：同错解，得 →ＭＮ＝ １２（ａ＋ｂ）． 所以 →ＭＮ，ａ，ｂ共面． 所以ＭＮ∥α或ＭＮα． 若ＭＮα，则ＡＢ，ＣＤ必在平面α内． 这与已知ＡＢ，ＣＤ是异面直线矛盾． 故ＭＮ∥α． 书 （上接１，４版中缝） 第 １９期　 §４．１ 数列的概念 第 ２０期　 §４．２ 等差数列 第 ２１期　 §４．３ 等比数列 第２２期　数列 核 心素养综合测评 第 ２３期　核心素 养阶段测评（四） 第 ２４期　 §５．１ 导数的概念及其意义 ２０２５年１～６月 第 ２５期　 §５．２ 导数的运算 第２６期　§５．３导 数在研究函数中的应用 第 ２７期　一元函 数的导数及其应用 核 心素养综合测评 第 ２８期　核心素 养阶段测评（五） 第 ２９期　学业水 平测评（三） 第 ３０期　学业水 平测评（四） 第 ３１期　 §６．１ 分类加法计数原理与分 步乘法计数原理 第 ３２期　 §６．２ 排列与组合 第 ３３期　 §６．３ 二项式定理 第 ３４期　计数原 理 核心素养综合测评 第 ３５期　核心素 养阶段测评（六） 第 ３６期　 §７．１ 条件概率与全概率公式 第３７期　 §７．２离 散型随机变量及其分布列 第３８期　 §７．３离 散型随机变量的数字特征 第 ３９期　 §７．４ 二项分布与超几何分布 第 ４０期　 §７．５ 正态分布 第 ４１期　随机变 量及其分布 核心素养 综合测评 第 ４２期　核心素 养阶段测评（七） 第 ４３期　 §８．１ 成对数据的统计相关 性，§８．２一元线性回 归模型及其应用 第 ４４期　 §８．３ 列联表与独立性检验 第 ４５期　成对数 据的统计分析 核心素 养综合测评 第 ４６期　学业水 平测评（五） 第 ４７期　核心素 养阶段测评（八） 第 ４８期　学业水 平测评（六） !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! '()*+,-./0123456 " 7#1 $ 8 !"#$%&' ! 9: ';< ) # ' " $ ! & # ) $ * " ( ! ! $ $ ! * + , " ! " ! , ! , $ " # $! !! "! - #! ! - " - ! " " % & & ( " ! # " & " & % ! ( " ! ( $ ! , " # - !! $! #! "! ! ! ) ! ! - # " $ - " - $ ! . ()*+, ! " '()*=,-./0123>56 " 7%1 & 8 $ ! " # ! " . (#/$"$0% % / " 1 * ! ' 0 " )?@ABCDE(F $ ! , $ $ ! $ - # " " $ # $ ! & &