23.3.4相似三角形的应用 导学案 2024—2025学年华东师大版九年级数学上册

华东师大版九年级数学上册 第23章图形的相似 23.3.4 相似三角形的应用 备课人：乔永存 学习目标： 1.能利用相似三角形的有关性质解决实际生活中的高度和宽度问题. 2.会抓住实际问题的实质并构造相似三角形模型进行方案设计. 3.进一步体会数学建模思想，发展把实际问题抽象成数学问题的能力. 一、情境导入 有一年春天，古希腊数学家泰勒斯来到埃及看到人们都在看告示，便上去看。原来告示上写着法老要找世界上最聪明的人来测量金字塔的高度。于是他就找法老，法老问泰勒斯用什么工具来量金字塔。泰勒斯说只用一根木棍和一把尺子，他把木棍插在金字塔旁边，等木棍的影子和木棍一样长的时候，他量了金字塔影子的长度和金字塔底面边长的一半。把这两个长度加起来就是金字塔的高度了。泰勒斯真是世界上最聪明的人，他不用爬到金字塔的顶上就方便量出了金字塔的高度。同学们学完本节课后，便知泰勒斯的测量原理了！ 2、 探究新知 知识点1 利用相似三角形测高 例6：古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O'B'，比较木棒的影长A'B'与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB.如果O'B'=1 米，A'B'=2米，AB=274 米，求金字塔的高度OB. 典例示范： 解：∵太阳光线是平行光线， ∴∠OAB=∠O′A′B′. ∵∠ABO=∠A′B′O′=90°， ∴△OAB∽△O′A′B′(两角分别相等的两个三角形相似)， ∴OB/O′B′=AB/A′B′， ∴OB=AB×O′B′/A′B′=274×1/2=137(米). 答：金字塔的高度OB为137米. 例题反思： 1.利用太阳光下的影子测物高，需要测量哪些数据？ 2.在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长有什么关系？ 3.对于不能直接测量的物高（如旗杆），除了上述方法外，你还能想到哪些测量方法？ 知识点2： 利用相似三角形测两地距离 例7：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后，再选定点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD=118米，DC =61米，EC =50米，求河的宽度AB.(精确到0.1米) 典例示范： 解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABD=∠ECD=90°， ∴△ABD∽△ECD(两角分别相等的两个三角形相似)， ∴AB/EC=BD/CD， ∴AB=BD×EC/CD=118×50/21≈ 96.7(米). 答：河的宽度AB约为为96.7米. 例题反思： 1. 例7中测量河宽是构造哪个模型的相似？ 2. 除了例7的测河宽方法外，你还能想到哪些测量方法？请画图说明. 3. 通过例6和例7的学习，对于不能直接测量的物高和两地距离，我们解决这类问题的思路是什么？ 三、能力提升 （2023年河南中考第20题）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB=30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EG的距离AF=11m，BH=20cm．求树EG的高度（结果精确到0.1m）． 答案：约等于9.1 m. 四、当堂检测 1. 在某一时刻，测得一根高为 1.8m 的竹竿的影长为 3m，同时测得一栋楼的影长为 90m，这栋楼的高度是多少？ 解：设这栋楼的高度是 x m． 由题意得:x/90=1.8/3 解得 x = 54. 因此这栋楼的高度是 54m. 2．如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30 m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5 m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于点B，测出AB＝6 m，则池塘的宽DE为( ) A．25 m B．30 m C．36 m D．40 m 答案： C 4. 如图所示，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，求点光源 S 到平面镜的距离 SA 的长为 多少？ 答案：12 cm 5、 畅谈收获 这节课我学到了什么？（从知识、思想，方法） 我的收获是.................. 我还有............的疑惑. 课堂小结： 一、相似三角形的应用主要有如下两个方面： 1.测高: 常用计算公式：杆高/杆影=物高/物影 2.测距: 常构造 “A型或 X型”相似. 二、解决问题思路： 找（构造）相似————列方程————求解作答. 六、分层布置作业 1.必做作业：教材P74第1题，P75 第3题，P76 第6题 2.选做作业：为了测量路灯（OS）的高度,把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上,测得竹竿的影子（BC）长为1米,然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB′）,再把竹竿竖立在地面上, 测得竹竿的影长（B ′ C ′）为1.8米,求路灯离地面的高度. 学科网（北京）股份有限公司 $$