第8期 双曲线（一）-【数理报】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版2019）

书 ★经典再现　一目了然 例题 双曲线４ｘ２－ｙ２＋６４＝０上一点Ｐ到它的一 个焦点的距离等于１，那么点Ｐ到另一个焦点的距离等 于 ． 解析：把方程化为标准方程，得 ｙ２ ６４－ ｘ２ １６＝１．不妨 设Ｆ１，Ｆ２分别是双曲线的两个焦点，点Ｐ到焦点 Ｆ１的 距离等于１，求点Ｐ到焦点Ｆ２的距离． 因为双曲线的实轴长为１６，由｜｜ＰＦ２｜－｜ＰＦ１｜｜＝ １６，即｜｜ＰＦ２｜－１｜＝１６，解得｜ＰＦ２｜＝１７或｜ＰＦ２｜＝ －１５（舍去）．即点Ｐ到另一个焦点的距离等于１７． ★举一反三　一叶知秋 变式１设Ｆ１，Ｆ２分别是双曲线 ｙ２ ６４－ ｘ２ １６＝１的两个 焦点，点Ｐ到焦点Ｆ１的距离等于１６．５，求点Ｐ到焦点Ｆ２ 的距离． 对于此变式，下列解法正确吗？为什么？ 解：因为双曲线的实轴长为１６， 由｜｜ＰＦ２｜－｜ＰＦ１｜｜＝１６，即｜｜ＰＦ２｜－１６．５｜＝１６， 解得｜ＰＦ２｜＝０．５或｜ＰＦ２｜＝３２．５． 剖析：上述解答是错误的，其错因在于忽视了对点 Ｐ位置的判断．若设Ｆ１，Ｆ２分别是双曲线的上、下焦点， 则条件｜ＰＦ１｜＝１６．５限制了Ｐ点只能在双曲线的上支 上，不可能在下支上，因为下支上到焦点Ｆ１的最短距离 为ｃ＋ａ＝４槡５＋８≈１６．９４＞｜ＰＦ１｜，因此并无｜ＰＦ２｜＝ ０．５的情形．故正确结果应为｜ＰＦ２｜＝３２．５． ★反馈沟通　一丝不苟 变式２设Ｆ１，Ｆ２分别是双曲线 ｙ２ ６４－ ｘ２ １６＝１的两个 焦点，点Ｐ到焦点Ｆ１的距离等于４槡５＋８，求点Ｐ到焦点 Ｆ２的距离． 分析：由于｜ＰＦ１｜＝４槡５＋８＝ｃ＋ａ， 所以此时点Ｐ在双曲线的上支上或下顶点处． 解：因为双曲线的实轴长为１６， 由｜｜ＰＦ２｜－｜ＰＦ１｜｜＝１６，即｜｜ＰＦ２｜－４槡５－８｜＝１６， 解得｜ＰＦ２｜＝２４＋４槡５或｜ＰＦ２｜＝４槡５－８． 即点Ｐ到焦点Ｆ２的距离等于２４＋４槡５或４槡５－８． ★触类旁通　一网打尽 变式３设Ｆ１，Ｆ２分别是双曲线 ｙ２ ６４－ ｘ２ １６＝１的两个 焦点，点Ｐ到焦点Ｆ１的距离等于１９，求点Ｐ到焦点Ｆ２的 距离． 分析：由于｜ＰＦ１｜＝１９＞ｃ＋ａ， 所以此时点Ｐ在双曲线的两支上． 解：因为双曲线的实轴长为１６， 由 ｜｜ＰＦ２｜－｜ＰＦ１｜｜＝１６，即｜｜ＰＦ２｜－１９｜＝１６， 解得｜ＰＦ２｜＝３５或｜ＰＦ２｜＝３． 即点Ｐ到焦点Ｆ２的距离等于３５或３． 小结：一般地，对于双曲线 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞ ０）或ｙ ２ ａ２ －ｘ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０），Ｆ１，Ｆ２分别是双曲线 的两个焦点，Ｐ是双曲线上的一点． ①若｜ＰＦ１｜＝ｄ≥ｃ＋ａ，则｜ＰＦ２｜＝ｄ±２ａ； ②若｜ＰＦ１｜＝ｄ＜ｃ＋ａ，则｜ＰＦ２｜＝ｄ＋２ａ． 书 双曲线是重要的圆锥曲线之一，能否正确理解双 曲线的定义是解决双曲线问题的前提，本文就双曲线 定义中的几个关键点进行分析，供同学们参考． 一、常数２ａ＞０ 在双曲线的定义中，条件 ｜｜ＭＦ１｜－｜ＭＦ２｜｜＝ ２ａ（２ａ＜｜Ｆ１Ｆ２｜），其中２ａ＞０是不容忽视的．如果２ａ ＝０，则点Ｍ的轨迹是线段Ｆ１Ｆ２的垂直平分线． 例１动点Ｐ到点Ｍ（１，０）与点Ｎ（３，０）的距离之差 的绝对值为０，则点Ｐ的轨迹是 （　　） （Ａ）双曲线 （Ｂ）双曲线的一支 （Ｃ）两条射线 （Ｄ）线段ＭＮ的垂直平分线 解析：由平面几何知识得｜｜ＰＭ｜－｜ＰＮ｜｜＝０，此 时点Ｐ到点Ｍ、点Ｎ的距离相等，即点Ｐ的轨迹是线段 ＭＮ的垂直平分线，故选（Ｄ）． 二、常数２ａ＜｜Ｆ１Ｆ２｜ 在双曲线的定义中，如果２ａ＞｜Ｆ１Ｆ２｜，点Ｍ的轨 迹不存在；如果２ａ＝｜Ｆ１Ｆ２｜，点Ｍ的轨迹是以Ｆ１，Ｆ２为 端点的射线（方向与有向线段Ｆ１Ｆ → ２或Ｆ２Ｆ → １同向）． 例２一炮弹在某处爆炸，在Ａ处听到爆炸声的时间 比在Ｂ处晚２ｓ，问爆炸点应在怎样的曲线上？ 解析：记爆炸声在２ｓ内的路程为λ． （１）当｜ＡＢ｜＞λ时，由声速及Ａ，Ｂ两处听到爆炸 声的时间差，可知 Ａ，Ｂ两处与爆炸点的距离的差为定 值，因此爆炸点应位于以Ａ，Ｂ为焦点的双曲线上． 因为爆炸点离Ａ处比Ｂ处远，所以爆炸点应在靠近 Ｂ处的一支上． （２）当｜ＡＢ｜＝λ时，爆炸点应在ＡＢ的延长线上． 三、绝对值｜｜ＭＦ１｜－｜ＭＦ２｜｜ 如果｜ＭＦ１｜－｜ＭＦ２｜＝２ａ（０＜２ａ＜｜Ｆ１Ｆ２｜），则 点Ｍ的轨迹为双曲线靠近点 Ｆ２的一支；如果｜ＭＦ１｜ －｜ＭＦ２｜＝－２ａ（０＜２ａ＜｜Ｆ１Ｆ２｜），则点Ｍ的轨迹为 双曲线靠近点Ｆ１的一支． 例３一动圆与两圆Ｃ１：ｘ ２＋ｙ２ ＝１和Ｃ２：ｘ ２＋ｙ２－ ８ｘ＋１２＝０都外切，则动圆圆心Ｐ的轨迹为 （　　） （Ａ）抛物线　　　　　（Ｂ）圆 （Ｃ）双曲线的一支 （Ｄ）椭圆 解析：设动圆半径为ｒ，则由题设得 ｜ＰＣ１｜＝１＋ｒ，｜ＰＣ２｜＝２＋ｒ， 于是有｜ＰＣ２｜－｜ＰＣ１｜＝１，即点Ｐ的轨迹是以Ｃ１， Ｃ２为焦点的双曲线且靠近Ｃ１的那一支，故选（Ｃ）． 四、隐含条件｜ＭＦ１｜＋｜ＭＦ２｜≥｜Ｆ１Ｆ２｜ 设Ｆ１，Ｆ２为双曲线的两个焦点，由三角形的任意两 边之和大于第三边得对于双曲线上任一点 Ｍ，有 ｜ＭＦ１｜＋｜ＭＦ２｜≥｜Ｆ１Ｆ２｜，这是双曲线中的一个隐含 条件，解题中要注意应用． 例４已知Ｆ１，Ｆ２是双曲线 ｘ２ ４－ ｙ２ ９＝１的两个焦点， 点Ｐ在双曲线上，若点Ｐ到焦点Ｆ１的距离等于５，则点 Ｐ到焦点Ｆ２的距离为 ． 解析：由双曲线的方程得双曲线的实轴长为４，虚 轴长为６，焦距为 槡２１３． 由双曲线的定义得｜｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜｜＝４， 即｜５－｜ＰＦ２｜｜＝４，解得｜ＰＦ２｜＝１或｜ＰＦ２｜＝９． 由｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜≥｜Ｆ１Ｆ２｜＝槡２１３，知｜ＰＦ２｜＝ １应舍去，故点Ｐ到焦点Ｆ２的距离为９． 编后语：双曲线的定义是本节的重要概念，只有 准确理解并正确运用双曲线的定义，才能有效地、快 速地解决双曲线问题．同学们在学习时一定要准确 记忆，为后续内容打下坚实基础． 书 一、已知双曲线方程探求渐近线方程 例１双曲线３ｘ２－ｙ２ ＝３的渐近线方程为 （　　） （Ａ）ｙ＝±３ｘ　　　　（Ｂ）ｙ＝±１３ｘ （Ｃ）ｙ＝±槡３ｘ （Ｄ）ｙ＝±槡 ３ ３ｘ 解：令３ｘ２－ｙ２ ＝０，解之得ｙ＝±槡３ｘ． 此即为所求的渐近线方程．故选（Ｃ）． 拓展：根据双曲线的标准方程求其渐近线方程的方 法是：将双曲线标准方程中等号右边的“１”改写为“０”， 求解即可．换言之，双曲线ｍｘ２－ｎｙ２＝ａ（ｍ＞０，ｎ＞０， ａ≠０）的渐近线方程为槡ｍｘ±槡ｎｙ＝０．此结论在解题 中可直接应用． 二、已知渐近线方程探求双曲线方程 例２求与双曲线ｘ ２ １６－ ｙ２ ９ ＝１共渐近线且过点 Ａ（３槡３，－３）的双曲线的方程． 解：设与 ｘ２ １６－ ｙ２ ９ ＝１共渐近线的双曲线的方程为 ｘ２ １６－ ｙ２ ９ ＝λ． 因为所求双曲线过点Ａ（３槡３，－３）， 所以 （３槡３） ２ １６ － （－３）２ ９ ＝λ，从而有λ＝ １１ １６． 故所求双曲线的方程为 ｘ２ １１－ １６ｙ２ ９９ ＝１． 拓展：此法简单易行，避免了对焦点位置的研究讨论． 我们把这种解法推广到一般情形． 结论１：与双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１有共同渐近线的双曲 线的方程可表示为 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝λ（λ≠０，λ∈Ｒ），与双曲 线 ｙ２ ａ２ －ｘ ２ ｂ２ ＝１有共同渐近线的双曲线的方程可表示为 ｙ２ ａ２ －ｘ ２ ｂ２ ＝λ（λ≠０，λ∈Ｒ），实际上就是将标准方程中 的１换成了非零的待定系数λ． 结论２：若双曲线的渐近线方程是 ｙ＝±ｂａｘ，则双 曲线的方程可表示为 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝λ（λ≠０，λ∈Ｒ）． 结论３：若双曲线的渐近线方程是ｙ＝±ｋｘ，则双曲 线的方程可表示为ｙ２－（ｋｘ）２ ＝λ（λ≠０，λ∈Ｒ）． 书 热点问题１：求双曲线的方程 例１设双曲线与椭圆ｘ ２ ２５＋ ｙ２ １６＝１有共同的焦点，且 与椭圆的一个交点为Ａ －３，１６( )５ ，求双曲线的方程． 分析：由于双曲线与椭圆共焦点，可由椭圆方程得 到焦点坐标，进而可设双曲线的标准方程，然后利用Ａ点 在双曲线上进行求解． 解：由椭圆方程得其焦点为（－３，０）或（３，０）， 所以双曲线的焦点在ｘ轴上． 设双曲线方程为 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）． 由题知双曲线两焦点分别为 Ｆ１（－３，０），Ｆ２（３，０）， 又Ａ －３，１６( )５ 在双曲线上，则２ａ＝｜｜ＡＦ１｜－｜ＡＦ２｜｜＝ １８ ５，所以ａ＝ ９ ５． 又ｃ＝３，得ｂ２ ＝ｃ２－ａ２ ＝１４４２５． 因此双曲线的方程为 ２５ｘ２ ８１ － ２５ｙ２ １４４＝１． 热点问题２：求双曲线中的最值问题 例２设点Ｐ是双曲线ｘ ２ ５－ ｙ２ ４ ＝１右支上的任意一 点，Ｆ１，Ｆ２分别是其左、右焦点，若Ａ（５，２）是平面内一定 点，求｜ＰＦ２｜＋｜ＰＡ｜的最小值． 分析：由双曲线的定义，将 ｜ＰＦ２｜＋｜ＰＡ｜转化为 ｜ＰＦ１｜＋｜ＰＡ｜－２ａ是解题的关键． 解：如右图，由双曲线的定义 可知｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜＝２ａ＝２槡５， 所以｜ＰＦ２｜＝｜ＰＦ１｜－２槡５， 故｜ＰＦ２｜＋｜ＰＡ｜＝｜ＰＦ１｜＋｜ＰＡ｜ －２槡５． 因为｜ＰＦ１｜＋｜ＰＡ｜≥｜ＡＦ１｜＝２槡１７，所以当Ａ，Ｐ， Ｆ１三点共线时，｜ＰＦ２｜＋｜ＰＡ｜取得最小值２槡１７－２槡５． 热点问题３：求双曲线离心率的取值范围 例３双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的两个焦点 为Ｆ１，Ｆ２，若Ｐ为双曲线上一点，且｜ＰＦ１｜＝２｜ＰＦ２｜，求双 曲线离心率的取值范围． 分析：欲求双曲线离心率的取值范围，需求出ａ与ｃ 的关系，根据题设特点，可利用双曲线的定义及三角形 三边关系求解． 解：由双曲线的定义，得｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜＝２ａ． 又｜ＰＦ１｜＝２｜ＰＦ２｜， 解得｜ＰＦ１｜＝４ａ，｜ＰＦ２｜＝２ａ． 又因为｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜≥｜Ｆ１Ｆ２｜， 即４ａ＋２ａ≥２ｃ， 所以 ｃ ａ≤３，即ｅ≤３． 又ｅ＞１，所以１＜ｅ≤３． 热点问题４：双曲线中有关对称的探索性问题 例４已知直线ｙ＝ｋｘ＋１与双曲线３ｘ２－ｙ２ ＝１相 交于Ａ，Ｂ两点，那么是否存在实数ｋ使得Ａ，Ｂ两点关于 直线ｘ－２ｙ＝０对称？若存在，求出ｋ的值；若不存在，说 明理由． 分析：对于探索性题目，我们一般假设符合题设条 件的ｋ存在，从这个假设出发，如果能够推导出 ｋ的值， 则说明这样的ｋ是存在的；如果推导不出ｋ的值，或者说 推导出矛盾的结果，这就说明满足条件的ｋ值不存在． 解：设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），假设存在实数ｋ，使Ａ，Ｂ 两点关于直线ｘ－２ｙ＝０对称，则ｋ＝ ｙ１－ｙ２ ｘ１－ｘ２ ＝－２，且 线段ＡＢ的中点（ｘ０，ｙ０）满足ｘ０－２ｙ０ ＝０． 由 ３ｘ２１－ｙ ２ １ ＝１， ３ｘ２２－ｙ ２ ２ ＝ { １两式相减得 ３（ｘ１＋ｘ２）（ｘ１－ｘ２）＝（ｙ１＋ｙ２）（ｙ１－ｙ２）， 所以３· ｘ１＋ｘ２ ｙ１＋ｙ２ ＝ ｙ１－ｙ２ ｘ１－ｘ２ ，所以３· ｘ０ ｙ０ ＝－２， 即ｙ０ ＝－ ３ ２ｘ０．又ｘ０ ＝２ｙ０，所以ｙ０ ＝－ ３ ２·２ｙ０， 即ｙ０ ＝－３ｙ０，所以ｙ０ ＝０，从而ｘ０ ＝０． 而点（０，０）不在直线ｙ＝ｋｘ＋１上，故满足条件的ｋ 的值不存在． ! !" #$% 书 在求解双曲线方程的过程中，若能根据题目的特 点，巧妙设出相应的双曲线方程，则可达到避繁就简 的目的．本文介绍几例，说明求双曲线方程的“巧设”． 一、若双曲线过两个已知点，可设为 ｍｘ２－ｎｙ２ ＝ １（ｍｎ≠０）． 例１求经过点Ｐ（－３，２槡７），Ｑ（－６槡２，－７）的双 曲线的标准方程． 解：设双曲线的方程为ｍｘ２－ｎｙ２ ＝１（ｍｎ≠０）． 因为点Ｐ，Ｑ在双曲线上， 所以 ９ｍ－２８ｎ＝１， ７２ｍ－４９ｎ＝１{ ， 解得ｍ＝－１７５，ｎ＝－ １ ２５． 故所求双曲线的标准方程为 ｙ２ ２５－ ｘ２ ７５＝１． 点评：根据双曲线过两个已知点求双曲线的标准 方程，一般采用待定系数法进行求解．由于双曲线的 标准方程有两种形式，如果不知焦点在ｘ轴上还是在ｙ 轴上，则常常需要先判断出焦点在哪条轴上，这无疑 是比较麻烦的．实质上这类题目可以事先不加以判 断，而直接设双曲线方程为ｍｘ２－ｎｙ２ ＝１（ｍｎ≠０）， 这个方程实际上包括了两种情况． 二、若已知双曲线的渐近线ｂｘ±ａｙ＝０，则可设为 ｂ２ｘ２－ａ２ｙ２ ＝λ（λ≠０）． 例２已知双曲线的一条渐近线方程为ｘ－２ｙ＝０， 且双曲线过点Ｐ（４，３），求双曲线的标准方程． 解：因为双曲线的一条渐近线方程为ｘ－２ｙ＝０， 所以可设双曲线方程为ｘ２－４ｙ２ ＝λ（λ≠０）． 因为Ｐ（４，３）在双曲线上， 所以４２－４×３２ ＝λ， 即λ＝－２０． 故所求双曲线的标准方程为 ｙ２ ５－ ｘ２ ２０＝１． 点评：本题若按照常规解法，需要根据双曲线上 的已知点和渐近线的位置关系确定双曲线焦点的位 置．而上面解法则是根据双曲线的渐近线方程，进行 逆向思维，即以ｂｘ±ａｙ＝０为渐近线的双曲线方程设 为ｂ２ｘ２－ａ２ｙ２ ＝λ（λ≠０），简化了解题过程． 三、若双曲线与椭圆 ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１共焦点，可设为 ｘ２ ａ２－λ ＋ ｙ ２ ｂ２－λ ＝１（ｂ２ ＜λ＜ａ２）． 例３已知双曲线与椭圆ｘ ２ ３６＋ ｙ２ ２７＝１有共同的焦 点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为 Ａ（４，槡１５），求 双曲线的标准方程． 解：设双曲线方程为 ｘ２ ３６－λ ＋ ｙ ２ ２７－λ ＝１（２７＜λ ＜３６）． 因为点Ａ（４，槡１５）在双曲线上， 所以 ４２ ３６－λ ＋（槡１５） ２ ２７－λ ＝１， 解得λ＝３２，或λ＝０（舍去）． 故所求双曲线的标准方程为 ｘ２ ４－ ｙ２ ５ ＝１． 点评：此类题型还可以进一步拓展：与双曲线 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）有公共焦点的双曲线系方程 可设为 ｘ２ ａ２－λ － ｙ ２ ｂ２＋λ ＝１（－ｂ２ ＜λ＜ａ２）． ! 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œ2ðä.ñ‡äòóôõö.ÅƨŽ¶¿®²Ç÷ø ! ! !"#$% ¼0Œxùúûüýþÿ˜!"u#/žÿ ! § $%ÿ '/ž ! &' 7() ! 5* +:: 书 １．（２０２４陕西西安阶段练习）已知双曲线Ｃ：ｘ ２ ｍ ＋ ｙ２ ２－ｍ＝１，则ｍ的取值范围为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ａ）（－∞，０） （Ｂ）（０，２） （Ｃ）（２，＋∞） （Ｄ）（－∞，０）∪（２，＋∞） ２．双曲线ｍｘ２＋ｙ２＝１的虚轴长是实轴长的２倍， 则ｍ＝ （　　） （Ａ）４　　 （Ｂ）－４ （Ｃ）－１４ｘ　　 （Ｄ） １ ４ ３．（２０２４江西期末）已知点Ｐ是双曲线Ｃ：ｘ２－ｙ ２ １５ ＝１上一点，Ｆ１，Ｆ２分别为Ｃ的左、右焦点，若｜ＰＦ１｜＝ ７，则｜ＰＦ２｜＝ （　　） （Ａ）５ （Ｂ）１３ （Ｃ）５或９ （Ｄ）５或６ ４．方程ｍｘ２＋ｎｙ２＋ｍｎ＝０（ｍ＜０＜ｎ）所表示的 曲线的焦点坐标是 ． ５．如右图，已知双曲线以长方形 ＡＢＣＤ的顶点Ａ，Ｂ为左、右焦点，且过 Ｃ，Ｄ两顶点．若ＡＢ＝４，ＢＣ＝３，则此 双曲线的标准方程为 ． ６．已知圆Ｃ：ｘ２＋ｙ２－６ｘ－４ｙ＋ ８＝０．以圆Ｃ与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个 焦点和顶点，求该双曲线的标准方程． １．（２０２４江苏扬州开学考试）双曲线ｘ ２ １６－ ｙ２ ９ ＝１ 的离心率为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （Ａ）４３ （Ｂ） 槡７ ４ （Ｃ）５４ （Ｄ） ４ ５ ２．（２０２４广西桂林课堂练习）双曲线ｘ２－４ｙ２ ＝４ 的渐近线方程是 （　　） （Ａ）ｙ＝±２ｘ （Ｂ）ｙ＝±１２ｘ （Ｃ）ｙ＝±１４ｘ （Ｄ）ｙ＝± 槡５ ２ｘ ３．中心在原点，实轴在ｘ轴上，一个焦点在直线３ｘ －４ｙ＋１２＝０上的等轴双曲线方程是 （　　） （Ａ）ｘ２－ｙ２ ＝８ （Ｂ）ｘ２－ｙ２ ＝４ （Ｃ）ｙ２－ｘ２ ＝８ （Ｄ）ｙ２－ｘ２ ＝４ ４．已知双曲线ｘ ２ ４－ ｙ２ ｍ ＝１的离心率为２，则实数 ｍ＝ ． ５．过双曲线的右焦点 Ｆ２作垂直于实轴的弦 ＰＱ， Ｆ１为左焦点且 ∠ＰＦ１Ｑ＝ π ２，则双曲线的离心率是 ． ６．求与椭圆 ｙ ２ １６９＋ ｘ２ １４４＝１有相同焦点，且过点 （０，２）的双曲线的标准方程，并写出该双曲线的实轴 长、焦距、离心率以及渐近线方程． 书 专项小练一 １．Ｂ；　２．Ｃ；　３．Ｄ．　４．ｘ ２ ９ ＋ ｙ２ ５ ＝１；　５．４． ６．解：因为ＰＦ１⊥ＰＦ２，所以在Ｒｔ△Ｆ１ＰＦ２中， ｜Ｆ１Ｆ２｜＝２｜ＰＯ｜＝１０，所以ｃ＝５． 设Ｆ１（－５，０），Ｆ２（５，０）， 所以｜ＰＦ１｜＝ 槡４５，｜ＰＦ２｜＝ 槡２５． 故２ａ＝｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝ 槡６５，所以ａ＝ 槡３５， 则ｂ２＝ａ２－ｃ２＝２０．故椭圆的标准方程为ｘ ２ ４５＋ ｙ２ ２０＝１． 专项小练二 １．Ｂ；　２．Ｂ；　３．Ｄ．　４．３；　５．２或４． ６．解：因为椭圆的焦点在ｘ轴上，对称轴为坐标轴，所以可设 其方程为 ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）．由椭圆过点（５，０），即其一个 顶点坐标为（５，０），所以ａ＝５．又ｅ＝ ２５，所以ｃ＝２，所以ｂ ２＝ ａ２－ｃ２＝２５－４＝２１，所以椭圆的标准方程为ｘ ２ ２５＋ ｙ２ ２１＝１． 一、单项选择题　１～４　ＡＢＢＡ　５～８　ＣＤＡＢ 二、多项选择题　９．ＢＣ；　１０．ＡＢＤ；　１１．ＡＣＤ． 三、填空题　１２．槡２５５；　１３．槡３；　１４． ９ ８． 四、解答题 １５．解：直线ｘ－２ｙ＋２＝０与坐标轴的交点为（０，１），（－２，０）． 当焦点在ｘ轴上时，设椭圆的方程为ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）， 由题意知，ｃ＝２，ｂ＝１，所以ａ２ ＝５， 所以椭圆的标准方程为 ｘ２ ５ ＋ｙ ２ ＝１； 当焦点在ｙ轴上时，设椭圆的方程为ｘ ２ ｂ２ ＋ｙ ２ ａ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）， 由题意知，ｂ＝２，ｃ＝１，所以ａ２ ＝５， 所以椭圆的标准方程为 ｙ２ ５ ＋ ｘ２ ４ ＝１． 故该椭圆的标准方程为 ｘ２ ５ ＋ｙ ２ ＝１或ｙ ２ ５ ＋ ｘ２ ４ ＝１． １６．解：（１）因为ａ＝５，ｂ＝３，所以ｃ＝４． 又｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝２ａ＝１０，｜Ｆ１Ｆ２｜＝２ｃ＝８， 所以△Ｆ１ＰＦ２的周长为 ｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＋｜Ｆ１Ｆ２｜＝２ａ＋２ｃ＝１０＋８＝１８． （２）设｜ＰＦ１｜＝ｔ１，｜ＰＦ２｜＝ｔ２，则ｔ１＋ｔ２ ＝１０． ① 在△Ｆ１ＰＦ２中，由余弦定理可得 ｔ２１＋ｔ２２－２ｔ１ｔ２ｃｏｓ６０°＝８２． ② 由①２－②，得ｔ１ｔ２ ＝１２， 所以Ｓ△Ｆ１ＰＦ２＝ １ ２ｔ１ｔ２ｓｉｎ６０°＝ １ ２ ×１２× 槡３ ２ ＝ 槡３３． １７．解：（１）设点Ｆ１关于直线ｘ－ｙ＋３＝０的对称点为Ｆ３（ｘ，ｙ）， 则 ｙ－０ ｘ＋１·１＝－１， ｘ－１ ２ － ｙ＋０ ２ ＋３＝０ { ，解得 ｘ＝－３，ｙ＝２{ ，即Ｆ３（－３，２）． 由“对称性和两点之间线段最短”，可知 ｜ＭＦ１｜＋｜ＭＦ２｜≥｜Ｆ２Ｆ３｜＝ 槡２５． 故｜ＭＦ１｜＋｜ＭＦ２｜的最小值为 槡２５． （２）设Ｍ是椭圆Ｅ与直线ｘ－ｙ＋３＝０的一个公共点， 则｜ＭＦ１｜＋｜ＭＦ２｜＝２ａ． 由（１）可知｜ＭＦ１｜＋｜ＭＦ２｜≥｜Ｆ２Ｆ３｜＝ 槡２５， 所以椭圆Ｅ离心率ｅ＝ ｃａ≤ １ 槡５ ＝槡５５， 故椭圆Ｅ离心率的最大值为槡５５． １８．（１）解：因为ｅ＝ ｃａ ＝ 槡６ ３，所以ａ ２ ＝３ｂ２， 所以椭圆Ｃ的方程为ｘ ２ ３ｂ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１． 又因为椭圆Ｃ过点Ｍ（１，１）， 代入方程解得ａ２ ＝４，ｂ２ ＝ ４３， 所以椭圆Ｃ的方程为ｘ ２ ４ ＋ ３ｙ２ ４ ＝１． （２）证明：①当圆Ｏ的切线ｌ的斜率存在时， 设直线ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ＋ｍ， 则圆心Ｏ到直线ｌ的距离ｄ＝ ｜ｍ｜ ｋ２＋槡 １ ＝１， 所以１＋ｋ２ ＝ｍ２． 将直线ｌ的方程和椭圆Ｃ的方程联立， 得到（１＋３ｋ２）ｘ２＋６ｋｍｘ＋３ｍ２－４＝０． 设直线ｌ与椭圆Ｃ相交于Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）两点， 则 ｘ１＋ｘ２ ＝－ ６ｋｍ １＋３ｋ２ ， ｘ１ｘ２ ＝ ３ｍ２－４ １＋３ｋ２ { ， 所以→ＯＡ·→  ＯＢ＝ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２ ＝（１＋ｋ２）ｘ１ｘ２＋ｋｍ（ｘ１＋ｘ２）＋ｍ２ ＝（１＋ｋ２）·３ｍ ２－４ １＋３ｋ２ ＋ｋｍ (· － ６ｋｍ１＋３ｋ )２ ＋ｍ２ ＝４ｍ ２－４－４ｋ２ １＋３ｋ２ ＝０； ②当圆的切线ｌ的斜率不存在时，验证得→ＯＡ·→  ＯＢ＝０． 综上所述，→ＯＡ·→  ＯＢ为定值０． １９．解：（１）连接ＯＭ，易知ＯＭ∥Ｆ２Ｎ且｜ＯＭ｜＝ １ ２｜Ｆ２Ｎ｜， 所以｜Ｆ２Ｎ｜＝４，又点Ｐ在Ｆ１Ｎ的垂直平分线上， 所以｜ＰＦ１｜＝｜ＰＮ｜， 所以｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝｜ＰＦ２｜＋｜ＰＮ｜＝｜Ｆ２Ｎ｜＝４＞ 槡２３， 满足椭圆定义，所以ａ＝２，ｃ＝槡３，ｂ＝１， 所以曲线Ｃ的方程为ｘ ２ ４ ＋ｙ ２ ＝１． （２）由（１）知离心率ｅ＝槡３２λ＝ ３ ４． 所以椭圆Ｃλ的标准方程为 ｘ２ ３ ＋ ４ｙ２ ３ ＝１， 设Ｑ（ｘ０，ｙ０）为椭圆Ｃλ异于四个顶点的任意一点， 直线ＱＭ１，ＱＮ１的斜率分别为ｋＱＭ１，ｋＱＮ１， 则ｋＱＭ１·ｋＱＮ１ ＝ ｙ０ ｘ０＋槡３ · ｙ０ ｘ０－槡３ ＝ ｙ２０ ｘ２０－３ ， 又 ｘ２０ ３ ＋ ４ｙ２０ ３ ＝１ｙ ２ ０ ＝ １ ４（３－ｘ ２ ０）， 所以ｋＱＭ１·ｋＱＮ１ ＝－ (１４ ｋＱＭ１≠± )１２ ． 设直线ＱＭ１的斜率为ｋ，则直线ＱＮ１的斜率为 － １ ４ｋ． 所以直线ＱＭ１为ｙ＝ｋ（ｘ＋槡３），设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）， 由 ｙ＝ｋ（ｘ＋槡３）， ｘ２ ４ ＋ｙ ２＝１{ ，得（１＋４ｋ２）ｘ２＋槡８３ｋ２ｘ＋１２ｋ２－４＝０， 则ｘ１＋ｘ２ ＝ － 槡８３ｋ２ １＋４ｋ２ ，ｘ１ｘ２ ＝ １２ｋ２－４ １＋４ｋ２ ， 所以｜ＡＢ｜＝ １＋ｋ槡 ２｜ｘ１－ｘ２｜ ＝ １＋ｋ槡 ２ （ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ槡 ２ ＝ ４（１＋ｋ２） １＋４ｋ２ ， 同理可得｜ＤＥ｜＝１＋１６ｋ ２ １＋４ｋ２ ， 所以｜ＡＢ｜＋｜ＤＥ｜＝４（１＋ｋ ２） １＋４ｋ２ ＋１＋１６ｋ ２ １＋４ｋ２ ＝５． ! !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$%&'()*+,-./0123+ ! 4 !"#$%&' ,56789: ;<=>?$3 @56A8B CDEF(GH&3 ! 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ÉS1Êʇ‡EË Ì5 Œ 1NOP ÍÎ&À ÅÏSÐfÑÒRS& ÓÔÕÖMÕERS5 \)Àŗ™¨o×= E%Ø:Ù& ±l²^ ÚÛÜ@ÝÞ& ¯ßR S¸¹& à½E)áâ Eãä5 ±l²^M³ ´å æçèéêvbë ®%ìíåîïèðñ5 òOó+& ÀÅôõö o×=E%؇@:4 ÷ø5 #()ÀÅ6[ y5 ÀÅ\ižòOù ú(ûüRS& ÀÅý ô\iTþÿ!"ÀÅ z{ERS5 ! 书 第Ⅰ卷 选择题 （共５８分） 一、单项选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０ 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．（２０２４江苏淮安期末）已知双曲线 Ｃ：ｘ ２ ａ２ －ｙ２ ＝ １（ａ＞０）的左、右焦点分别为Ｆ１，Ｆ２，若双曲线Ｃ上存在 点Ｐ满足｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜＝４，则双曲线Ｃ的一条渐近线 方程为 （　　） （Ａ）ｘ＋４ｙ＝０ （Ｂ）４ｘ＋ｙ＝０ （Ｃ）２ｘ＋ｙ＝０ （Ｄ）ｘ＋２ｙ＝０ ２．（２０２４广东深圳期末）双曲线ｘ ２ ９－ ｙ２ １６＝１的左右 焦点分别是 Ｆ１与 Ｆ２，Ｍ是双曲线左支上的一点，且 ｜ＭＦ１｜＝７，则｜ＭＦ２｜＝ （　　） （Ａ）１ （Ｂ）１３ （Ｃ）１或１３ （Ｄ）３ ３．（２０２４广西开学考试）椭圆ｘ ２ ５＋ ｙ２ ９ ＝１的上顶点 到双曲线ｘ２－ｙ２ ＝１的渐近线的距离为 （　　） （Ａ）槡２ （Ｂ） 槡 ３２ ２ （Ｃ）２ （Ｄ） ３ ２ ４．（２０２４北京门头沟一模）已知双曲线 Ｃ经过点 （０，１），离心率为２，则Ｃ的标准方程为 （　　） （Ａ）ｘ２－ｙ ２ ３ ＝１ （Ｂ） ｘ２ ３－ｙ ２ ＝１ （Ｃ）ｙ２－ｘ ２ ３ ＝１ （Ｄ） ｙ２ ３－ｘ ２ ＝１ ５．（２０２４江苏模拟）奥运五环，不仅象征五大洲的 团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动 员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按 以下比例（如图１）：若圆半径均为１２，则相邻圆圆心水 平距离为２６，两排圆圆心垂直距离为１１，设五个圆的圆 心分别为 Ｏ１，Ｏ２，Ｏ３，Ｏ４，Ｏ５，若双曲线 Ｃ以 Ｏ１，Ｏ３为焦 点、以直线Ｏ２Ｏ４为一条渐近线，则Ｃ的离心率为 （　　） （Ａ）槡２９０１１ （Ｂ） 槡２９０ １３ （Ｃ） １３ １１ （Ｄ） １２ ５ ６．已知双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１和椭圆ｘ ２ ｍ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ ０，ｍ＞ｂ＞０）的离心率互为倒数，那么以ａ，ｂ，ｍ为边的 三角形一定是 （　　） （Ａ）直角三角形 （Ｂ）等腰三角形 （Ｃ）锐角三角形 （Ｄ）钝角三角形 ７．（２０２４内蒙古包头一模）已知双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝ １（ａ＞０，ｂ＞０）的右焦点为Ｆ（２，０），若Ｆ关于渐近线ｙ ＝ ｂａｘ的对称点 Ｒ恰好落在渐近线 ｙ＝－ ｂ ａｘ上，则 △ＯＲＦ的面积为 （　　） （Ａ）槡３ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）槡２３ ８．（２０２４山东济南模拟）由伦敦著名建筑事务所 ＳｔｅｙｎＳｔｕｄｉｏ设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑 是数学与建筑完美结合造就 的艺术品．若将如图 ２所示 的大教堂外形弧线的一段近 似看成双曲线 ｙ２ ａ２ －ｘ ２ ｂ２ ＝ １（ａ＞０，ｂ＞０）下支的一部 分，且此双曲线的一条渐近线为３ｘ＋槡７ｙ＝０，下焦点到 下顶点的距离为１，则该双曲线的方程为 （　　） （Ａ）ｙ ２ ９－ ｘ２ ７ ＝１ （Ｂ） ｙ２ ７－ ｘ２ ９ ＝１ （Ｃ）ｙ ２ ３－ｘ ２ ＝１ （Ｄ）ｙ ２ ６３－ ｘ２ ４９＝１ 二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８ 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分． ９．（２０２４山东滨州阶段测试）若方程 ｘ ２ ３－ｔ＋ ｙ２ ｔ－１＝ １所表示的曲线为Ｃ，则下面四个命题中正确的是 （　　） （Ａ）若Ｃ为椭圆，则１＜ｔ＜３ （Ｂ）若Ｃ为双曲线，则ｔ＞３或ｔ＜１ （Ｃ）曲线Ｃ可能是圆 （Ｄ）若Ｃ为椭圆，且长轴在ｙ轴上，则１＜ｔ＜２ １０．（２０２４河北唐山模拟）已知直线ｌ经过双曲线Ｃ： ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左焦点，且与Ｃ交于Ａ，Ｂ 两点，若存在两条直线，使得｜ＡＢ｜的最小值为４，则下 列四个点中，Ｃ经过的点为 （　　） （Ａ）（４，槡２３） （Ｂ）（－ 槡２３，２） （Ｃ）（－ 槡２７，－ 槡２６） （Ｄ）（３，－槡５） １１．（２０２４山西太原五中一模）已知 Ｆ１（－２，０）， Ｆ２（２，０）是双曲线Ｃ： ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左， 右焦点，且Ｆ２到Ｃ的一条渐近线的距离为槡２，Ｏ为坐标 原点，点Ｍ（１，槡３），Ｐ为Ｃ右支上的一点，则 （　　） （Ａ）ａ＝ｂ＝槡２ （Ｂ）过点Ｍ且斜率为１的直线与Ｃ有两个不同的交点 （Ｃ）若ＰＦ１，ＰＦ２斜率存在，则ｋＰＦ１·ｋＰＦ２ ＝１ （Ｄ）｜ＰＭ｜＋｜ＰＦ１｜的最小值为２＋ 槡２２ 第Ⅱ卷 非选择题 （共９２分） 三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分． １２．（２０２４山东烟台期末）若方程ｍｘ２＋（２－ｍ）ｙ２ ＝１表示焦点在ｙ轴上的双曲线，则实数ｍ的取值范围 为 ． １３．（２０２４北京平谷模拟预测）已知双曲线 Ｃ：ｘ２－ ｙ２ ｍ ＝１的左、右焦点分别为Ｆ１，Ｆ２，并且经过Ｍ（－２，槡６） 点，则｜ＭＦ１｜－｜ＭＦ２｜＝ ；双曲线Ｃ的渐近线 方程为 ． １４．（２０２４上海黄浦阶段练习）数学家华罗庚曾说： “数缺形时少直观，形少数时难人微．”事实上，很多代 数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与 （ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）槡 ２相关的代数问题，可以转化为点 Ａ（ｘ，ｙ）与点Ｂ（ａ，ｂ）之间的距离的几何问题．结合上述 观点，可得方程｜ ｘ２＋４ｘ＋槡 ５－ ｘ ２－４ｘ＋槡 ５｜＝２的 解为 ． 四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． １５．（１３分）已知双曲线与椭圆ｘ ２ ２５＋ ｙ２ ９ ＝１共焦点， 它们的离心率之和为 １４ ５，求双曲线的方程与离心率． １６．（１５分）已知双曲线的中心为原点，对称轴为坐 标轴，且过点Ａ（－ 槡２７，－３），Ｂ（７，槡６２），求双曲线的方 程． １７．（１５分）（２０２４湖北福建龙岩阶段练习）已知点 Ａ（－槡３，０）和Ｂ（槡３，０），动点Ｃ到Ａ，Ｂ两点的距离之差 的绝对值为２，点Ｃ的轨迹与经过点（２，０）且倾斜角为 π ４的直线交于Ｄ，Ｅ两点． （１）求点Ｃ的轨迹方程； （２）求线段ＤＥ的长                                                                                                                                                             ． ! QRSTUVW"X HYZ+ " [3 ()*+, ! " \"#$]&'(^*+,-H_01[3+ ! 4 ! ! ! ! ! &( &( ! " ! & ! - ! , ! # -- ! - ! & 书 高中数学·选择性必修第一册（北师大版）２０２４年８月 第５～８期参考答案 第５期 直线与圆核心素养综合测评 一、单项选择题　１～４　ＤＡＢＡ　５～８　ＡＣＤＤ 提示： ３．由ａｘ＋ｙ＋３ａ－１＝０可得ａ（ｘ＋３）＋ｙ－１＝０， 令 ｘ＋３＝０， ｙ－１＝０{ ，可得ｘ＝－３，ｙ＝１，所以Ｎ（－３，１）． 设直线２ｘ＋３ｙ－６＝０关于点Ｎ对称的直线方程为２ｘ＋３ｙ ＋ｃ＝０（ｃ≠－６）， 则 ｜－６＋３－６｜ ４＋槡 ９ ＝｜－６＋３＋ｃ｜ ４＋槡 ９ ， 解得ｃ＝１２或ｃ＝－６（舍去）， 所以所求直线方程为２ｘ＋３ｙ＋１２＝０，故选（Ｂ）． ４．方程ｘ２＋ｙ２＋（ｋ－１）ｘ＋２ｋｙ＋ｋ＝０表示圆的条件为（ｋ －１）２＋（２ｋ）２－４ｋ＞０，即５ｋ２－６ｋ＋１＞０，解得ｋ＞１或ｋ＜ １ ５，又知该方程不表示圆，所以ｋ的取值范围为 １ ５≤ｋ≤１，又因 为ｋ {∈ －２，０，４５，}３ ，所以满足条件的ｋ＝ ４５，即ｋ的取值集 {合为 }４５ ，故选（Ａ）． ５．设Ｍ（ｍ，ｎ），故有ｍ２＋ｎ２ ＝１，即ｎ２ ＝１－ｍ２， 由→ →ＰＭ＝ＭＮ，则点Ｍ为ＰＮ中点， 故Ｎ（２＋２ｍ，２ｎ），故有（２＋２ｍ）２＋（２ｎ）２ ＝１， 即有（２＋２ｍ）２＋４（１－ｍ２）＝１，整理得８ｍ＋８＝１， 即ｍ＝－７８． ６．记Ａ（２，０），则ｋ＝ ｙｘ－２为直线ＡＰ的斜率， 故当直线ＡＰ与半圆ｘ２＋（ｙ－１）２ ＝１（ｘ＞０）相切时， 得ｋ最小，此时设ＡＰ：ｙ＝ｋ（ｘ－２），故｜－１－２ｋ｜ ｋ２＋槡 １ ＝１， 解得ｋ＝－４３或ｋ＝０（舍去），即ｋｍｉｎ＝－ ４ ３．故选：（Ｃ）． ７．当圆 Ｃ与 ｘ轴相切时，设圆心 Ｃ（ａ，ａ＋７），半径 ｒ＝ ｜ａ＋７｜，故 ａ２＋（ａ＋７）槡 ２ ＝２＋｜ａ＋７｜，即ａ２－４＝４｜ａ＋ ７｜，解得ａ＝－４或ａ＝８，所以圆Ｃ的方程（ｘ＋４）２＋（ｙ－３）２ ＝９或（ｘ－８）２＋（ｙ－１５）２ ＝２２５； 当圆Ｃ与ｙ轴相切时，设圆心Ｃ（ａ，ａ＋７），半径ｒ＝｜ａ｜，故 ａ２＋（ａ＋７）槡 ２ ＝２＋｜ａ｜，即（ａ＋７）２＝４＋４｜ａ｜，解得ａ＝ －３或ａ＝－１５，所以圆Ｃ的方程为（ｘ＋３）２＋（ｙ－４）２＝９或（ｘ ＋１５）２＋（ｙ＋８）２ ＝２２５，则满足条件的圆Ｃ有４个． ８．设Ｐ（ｘ，ｙ），根据线段ＭＮ的中点为Ｐ， 则ＣＰ⊥ＭＮ，即ＣＰ⊥ＡＰ，所以→ＣＰ·→ＡＰ＝０， 又→ＡＰ＝（ｘ＋６，ｙ＋８），→ＣＰ＝（ｘ，ｙ）， 所以ｘ（ｘ＋６）＋ｙ（ｙ＋８）＝０，即（ｘ＋３）２＋（ｙ＋４）２＝２５， 所以点Ｐ的轨迹是以（－３，－４）为圆心，半径为５的圆在圆 Ｃ内的一部分．故选：（Ｄ）． 二、多项选择题 ９．ＡＤ；　１０．ＢＣ；　１１．ＡＣＤ． 提示： ９．ｌ：ｘ－ａｙ＋１＝０（ａ∈ Ｒ）整理为：ａｙ＝ｘ＋１，恒过定点 （－１，０），故（Ａ）正确； 当ａ＝０时，直线ｌ与ｘ轴垂直，故（Ｂ）错误； 当ｍ＝－１时，两直线重合，故（Ｃ）错误； 因为１×ａ＋１×（－ａ）＝０，故直线ｌ与直线ｌ′一定垂直，故 （Ｄ）正确．故选（Ａ）（Ｄ）． １０．依题意，设Ｐ（２ｃｏｓθ，２ｓｉｎθ）， 则｜ＰＡ｜２＝（２ｃｏｓθ＋２）２＋（２ｓｉｎθ＋２）２＝１２＋８ｃｏｓθ＋８ｓｉｎθ， ｜ＰＢ｜２＝（２ｃｏｓθ＋２）２＋（２ｓｉｎθ－６）２＝４４＋８ｃｏｓθ－２４ｓｉｎθ， ｜ＰＣ｜２＝（２ｃｏｓθ－４）２＋（２ｓｉｎθ＋２）２＝２４－１６ｃｏｓθ＋８ｓｉｎθ， 所以｜ＰＡ｜２＋｜ＰＢ｜２＋｜ＰＣ｜２ ＝８０－８ｓｉｎθ， 又ｓｉｎθ∈［－１，１］，则８０－８ｓｉｎθ∈［７２，８８］． 故选：（Ｂ）（Ｃ）． １１．设Ａ（ｘ，ｙ）， 由重心坐标公式 １ ６ ＝ ｘ＋（－１）＋０ ３ ， ２ ３ ＝ ｙ＋０＋２ ３ { ， 解得 ｘ＝ ３２，ｙ＝０{ ， 所以 (Ａ ３２， )０ ，故选项（Ａ）正确； ｜ＡＢ｜＝｜ＡＣ｜＝ ５２，｜ＢＣ｜＝槡５，所以△ＡＢＣ不是等边三 角形，故选项（Ｂ）错误； ｜ＡＢ｜＝｜ＡＣ｜，△ＡＢＣ的外心、重心、垂心都位于线段ＢＣ的 垂直平分线上，线段ＢＣ (的中点的坐标为 －１２， )１ ，线段ＢＣ所 在直线的斜率ｋＢＣ ＝ ２－０ ０－（－１）＝２，线段ＢＣ垂直平分线的方程 为ｙ－１＝－ (１２ ｘ＋ )１２ ，即２ｘ＋４ｙ－３＝０，△ＡＢＣ的欧拉线 方程为２ｘ＋４ｙ－３＝０，故选项（Ｃ）正确； 因为线段ＡＢ的垂直平分线方程为ｘ＝ １４，△ＡＢＣ的外心Ｍ 为线段ＢＣ的垂直平分线与线段ＡＢ的垂直平分线的交点，所以交 点Ｍ的坐标满足 ２ｘ＋４ｙ－３＝０， ｘ＝ １４ { ， 解得 (Ｍ １４， )５８ ，外接圆 半径 (ｒ＝｜ＭＢ｜＝ １４ ＋ )１ ２ (＋ )５８槡 ２ ＝ １２５槡６４，所以 △ＡＢＣ (外接圆的方程为 ｘ－ )１４ ２ (＋ ｙ－ )５８ ２ ＝１２５６４，故选 项（Ｄ）正确．故选：（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）． 三、填空题　１２ (． －１１３，１ )１３ ；　１３．－２；　１４．７２２５． 提示： １２．因为点（５ａ＋１，１２ａ）在圆（ｘ－１）２＋ｙ２＝１的内部，所以（５ａ ＋１－１）２＋（１２ａ）２＜１，即ａ２＜ １１６９，解得ａ (∈ －１１３，１ )１３ ． １３．依题意知，直线ｌ的斜率为ｋ＝ｔａｎ１３５°＝－１，则直线ｌ１ 的斜率为１，于是有２＋１３－ａ＝１，所以ａ＝０．又直线ｌ２与ｌ１平行，所 以１＝－２ｂ，即ｂ＝－２，所以ａ＋ｂ＝－２． １４．根据题意作出图１，ＡＢ为两圆 的公切线，切点分别为Ａ，Ｂ． Ｃ１（２，２），Ｃ２（－１，－１），所以直 线Ｃ１Ｃ２的斜率ｋ＝１，显然与直线ＡＢ 的斜率不相同，所以ｒ１≠ｒ２． 不妨设０＜ｒ１ ＜ｒ２ 过Ｃ１作ＡＢ的平行线交ＡＣ２于点Ｅ， 则ＥＣ２ ＝ｒ２－ｒ１，ＡＢ＝ＥＣ１且ＡＢ∥ ＥＣ１，Ｃ１Ｃ２ ＝ （２＋１）２＋（２＋１）槡 ２ ＝ 槡３２＝ｒ１＋ｒ２． ① 所以直线ＡＢ与直线Ｃ１Ｃ２的夹角的正切值为： ｔａｎα＝ １－７１＋７ ＝ ３ ４． 在Ｒｔ△ＥＣ１Ｃ２中， ＥＣ２ ＥＣ１ ＝ ３４，所以ＥＣ１＝ ４ ３（ｒ２－ｒ１）， 又ＥＣ２１＋ＥＣ２２ ＝Ｃ１Ｃ２２，整理得 [ ： ４ ３（ｒ２－ｒ１ ]） ２ ＋（ｒ２－ｒ１）２＝１８，解得ｒ２－ｒ１＝ 槡 ９２ ５，② 联立①②， 得：ｒ１ ＝ 槡 ３２ ５，ｒ２ ＝ 槡１２２ ５ ，所以ｒ１ｒ２ ＝ 槡３２ ５ × 槡１２２ ５ ＝ ７２ ２５． 四、解答题 １５．解：依题意，设ｌ与ｔ的关系式为：ｌ＝ｋｔ＋ｂ，ｋ，ｂ是常数， 于是得 １２．５０６＝４０ｋ＋ｂ， １２．５１２＝８０ｋ＋ｂ{ ，解得 ｋ＝０．０００１５， ｂ＝１２．５{ ． 则所求直线的方程为ｌ＝００００１５ｔ＋１２．５， 当ｔ＝１００时，ｌ＝１２．５１５ｍ． １６．解：（１）设Ｑ（ｘ，ｙ）．由已知得ｋＭＮ ＝３， 又ＰＱ⊥ＭＮ，可得ｋＰＱ·ｋＭＮ ＝－１， 即 ｙ ｘ－３×３＝－１． ① 由已知得ｋＰＮ ＝－２，又ＰＮ∥ＭＱ，可得ｋＰＮ ＝ｋＭＱ， 即 ｙ＋１ ｘ－１＝－２． ② 联立①②，解得ｘ＝０，ｙ＝１，即Ｑ（０，１）． （２）设Ｑ（ｘ′，０）． 因为∠ＮＱＰ＝∠ＮＰＱ，所以ｋＮＱ ＝－ｋＮＰ． 又ｋＮＱ ＝ ２ ２－ｘ′，ｋＮＰ ＝－２， 所以 ２ ２－ｘ′＝２，即ｘ′＝１，所以Ｑ（１，０）． 又因为Ｍ（１，－１），所以ＭＱ垂直于ｘ轴． 所以直线ＭＱ的倾斜角为９０°． １７．解：（１）以 Ｂ为原点，正东方向为 ｘ 轴正方向建立如图２所示的直角坐标系，则 Ａ地的坐标是（－４００，０），台风中心移动路 径所在直线的斜率ｋ＝１，所以台风中心移 动路径所在的直线方程为ｙ＝ｘ＋４００． （２）以Ｂ为圆心，３００千米为半径作圆， 和直线ｙ＝ｘ＋４００相交于Ａ１，Ａ２两点． 设台风中心移到Ａ１时，城市Ｂ开始受台风影响（危险区）， 直到Ａ２时，解除影响． 因为点Ｂ到直线ｙ＝ｘ＋４００的距离ｄ＝ 槡２００２（千米）， 所以｜Ａ１Ａ２｜＝２ ３００２－（ 槡２００２）槡 ２ ＝２００（千米）． 而 ２００ ２０＝１０（小时），所以城市Ｂ处于危险区城的时间是１０小时． １８．解：（１）因为Ａ（１，１）和Ｂ（２，－２）， 所以线段ＡＢ的中点坐标为 ３ ２，－( )１２ ， 直线ＡＢ的斜率为ｋＡＢ ＝ －２－１ ２－１ ＝－３， 故线段ＡＢ的垂直平分线方程为ｙ＝－１２ ＋ １ ３ ｘ－( )３２ ， 即ｘ－３ｙ－３＝０． 由 ｘ－３ｙ－３＝０， ｘ－ｙ＋１＝０{ ，解得 ｘ＝－３， ｙ＝－２{ ．则Ｃ（－３，－２）． 半径ｒ＝｜ＡＣ｜＝ （１＋３）２＋（１＋２）槡 ２ ＝５， 所以圆Ｃ的标准方程为（ｘ＋３）２＋（ｙ＋２）２ ＝２５． （２）设Ｍ的坐标为（ｘ，ｙ），Ｑ（ｘ′，ｙ′）， 由Ｍ是线段ＰＱ的中点，有 ｘ＝ｘ′＋５２ ， ｙ＝ｙ′＋０２ { ，得 ｘ′＝２ｘ－５，ｙ′＝２ｙ{ ， 又因为Ｑ（ｘ′，ｙ′）是圆Ｃ上的动点， 所以（ｘ′＋３）２＋（ｙ′＋２）２ ＝２５， 即（２ｘ－５＋３）２＋（２ｙ＋２）２ ＝２５， 整理得（ｘ－１）２＋（ｙ＋１）２ ＝２５４． 则线段ＰＱ中点Ｍ的轨迹方程是（ｘ－１）２＋（ｙ＋１）２＝２５４． １９．解：当ｘ≥０，ｙ≥０时，曲线Ｃ (的方程可化为 ｘ－ )１２ ２ (＋ ｙ－ )１２ ２ ＝ １２； 当ｘ≤０，ｙ≥０时，曲线Ｃ (的方程可化为 ｘ＋ )１２ ２ (＋ ｙ － )１２ ２ ＝ １２； 当ｘ≥０，ｙ≤０时，曲线Ｃ (的方程可化为 ｘ－ )１２ ２ (＋ ｙ ＋ )１２ ２ ＝ １２； 当ｘ≤０，ｙ≤０时，曲线Ｃ ( 的方程可化为 ｘ＋ )１２ ２ (＋ ｙ＋ )１２ ２ ＝ １２； 作出曲线Ｃ的图象（如图３）． （１）由图可知，曲线Ｃ是四个半径为槡２２ 的半圆围成的图形， 即曲线Ｃ围成的图形的周长是 ４×１２ ×２×π× 槡２ ２ ＝ 槡２２π． （２）曲线Ｃ所围成的面积为四个半圆的面积与边长为槡２的 正方形的面积之和， 从而曲线Ｃ所围成图形的面积为 ４×１２π× １ ２ ＋（槡２） ２ ＝２＋π． （３）因为Ｐ（ｍ，ｎ）到直线３ｘ＋４ｙ－１２＝０的距离为 ｄ＝｜３ｍ＋４ｎ－１２｜ ３２＋４槡 ２ ＝｜３ｍ＋４ｎ－１２｜５ ， 所以｜３ｍ＋４ｎ－１２｜＝５ｄ． 当ｄ最小时，易知Ｐ（ｍ，ｎ）在曲线Ｃ的第一象限内的图象上， 因为曲线Ｃ (的第一象限内的图象是圆心为 １２， )１２ ，半径 为槡 ２ ２的半圆， (所以圆心 １２， )１２ 到３ｘ＋４ｙ－１２＝０的距离 书 所以ｋＱＭ１·ｋＱＮ１ ＝－ (１４ ｋＱＭ１≠± )１２ ． 设直线ＱＭ１的斜率为ｋ，则直线ＱＮ１的斜率为 － １ ４ｋ． 所以直线ＱＭ１为ｙ＝ｋ（ｘ＋槡３），设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）， 由 ｙ＝ｋ（ｘ＋槡３）， ｘ２ ４ ＋ｙ ２ ＝１{ ， 得（１＋４ｋ２）ｘ２＋槡８３ｋ２ｘ＋１２ｋ２－４＝０， 则ｘ１＋ｘ２ ＝ － 槡８３ｋ２ １＋４ｋ２ ，ｘ１ｘ２ ＝ １２ｋ２－４ １＋４ｋ２ ， 所以｜ＡＢ｜＝ １＋ｋ槡 ２｜ｘ１－ｘ２｜ ＝ １＋ｋ槡 ２ （ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ槡 ２ ＝ ４（１＋ｋ２） １＋４ｋ２ ， 同理可得｜ＤＥ｜＝１＋１６ｋ ２ １＋４ｋ２ ， 所以｜ＡＢ｜＋｜ＤＥ｜＝４（１＋ｋ ２） １＋４ｋ２ ＋１＋１６ｋ ２ １＋４ｋ２ ＝５． 第８期２版 专项小练一 １．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｃ． ４．（ 槡± ｎ－ｍ，０）；　５． ｘ２ ９ － ｙ２ １６＝１（ｘ≥３）． ６．解：由条件知椭圆的焦点为（０，±３）， 设双曲线的标准方程为 ｙ２ ａ２ －ｘ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）， 则ａ２＋ｂ２ ＝９． ① 将ｙ＝４代入椭圆方程，得ｘ２ ＝１５， 则 １６ ａ２ －１５ ｂ２ ＝１． ② 由①②解得 ａ２ ＝４， ｂ２ ＝５{ ，或 ａ２ ＝３６， ｂ２ ＝－{ ２７（舍去）． 故双曲线的标准方程为 ｙ２ ４ － ｘ２ ５ ＝１． 专项小练二 １．Ｃ；　２．Ｂ；　３．Ａ．　４．１２；　５．１＋槡２． ６．解：由于椭圆 ｙ ２ １６９＋ ｘ２ １４４＝１的焦点为（０，－５），（０，５）， 焦点在ｙ轴上， 故设双曲线的方程为 ｙ２ ａ２ －ｘ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）． 因为双曲线过点（０，２）， 所以将该点代入双曲线方程得ａ２ ＝４， 故ｃ＝５，ａ＝２．于是ｂ２ ＝ｃ２－ａ２ ＝２１． 所以双曲线的标准方程是 ｙ２ ４ － ｘ２ ２１＝１，双曲线的实轴长为 ４，焦距为１０，离心率ｅ＝ ｃａ ＝ ５ ２，渐近线方程为ｙ＝± 槡２２１ ２１ｘ． 第８期３，４版 双曲线同步核心素养测评（一） 一、单项选择题　１～４　ＤＢＢＣ　５～８　ＢＡＡＡ 提示： １．由题意得２ａ＝４，ａ＝２，故渐近线方程为ｙ＝±１２ｘ． ２．由题得ａ＝３， 由双曲线定义可知｜ＭＦ２｜－｜ＭＦ１｜＝２ａ＝６， 所以｜ＭＦ２｜＝６＋７＝１３．故选：（Ｂ）． ３．椭圆ｘ ２ ５ ＋ ｙ２ ９ ＝１的上顶点为Ａ（０，３）， 双曲线ｘ２－ｙ２ ＝１的渐近线方程为ｙ＝±ｘ， 则点Ａ到ｙ＝±ｘ的距离为ｄ＝ ３ 槡２ ＝ 槡３２２．故选：（Ｂ）． ４．由题意知，双曲线的焦点在ｙ轴上， 设双曲线的方程为 ｙ２ ａ２ －ｘ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）， 由题得ａ＝１，ｅ＝ ｃａ ＝２，所以ｃ＝２， 所以ｂ２ ＝ｃ２－ａ２ ＝４－１＝３， 所以双曲线的标准方程为ｙ２－ｘ ２ ３ ＝１．故选：（Ｃ）． ５．依题意，以点 Ｏ２为原点，直 线Ｏ１Ｏ３为ｘ轴建立平面直角坐标 系，如右图，点Ｏ４（－１３，－１１）， 设双曲线Ｃ的方程为ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０），其渐近线为 ｙ ＝± ｂａｘ，因直线Ｏ２Ｏ４为一条渐近 线， 则有 ｂ ａ ＝ １１ １３，双曲线 Ｃ的离心率为 ｅ＝ ａ２＋ｂ槡 ２ ａ ＝ １ (＋ ｂ )ａ槡 ２ ＝ １ (＋ １１)１３槡 ２ ＝槡２９０１３ ．故选：（Ｂ）． ６．由题意得ｅ１ｅ２ ＝ ａ２＋ｂ槡 ２ ａ · ｍ２－ｂ槡 ２ ｍ ＝１， 所以（ａ２＋ｂ２）（ｍ２－ｂ２）＝ａ２ｍ２， 得ｍ２ ＝ａ２＋ｂ２，所以三角形为直角三角形． ７．设ＲＦ与渐近线ｙ＝ ｂａｘ的交点为Ｐ， 由题意可知｜ＯＦ｜＝２，∠ＰＯＦ＝６０°，ＰＯ⊥ＰＦ， 所以｜ＰＦ｜＝槡３，｜ＰＯ｜＝１， 则Ｓ△ＯＲＦ ＝２Ｓ△ＰＯＦ ＝２× １ ２ ×槡３×１＝槡３．故选：（Ａ）． ８．因为双曲线ｙ ２ ａ２ －ｘ ２ ｂ２ ＝１的渐近线方程为 ±ａｘ＋ｂｙ＝０， 又双曲线的一条渐近线为３ｘ＋槡７ｙ＝０，所以 ａ ｂ ＝ ３ 槡７ ， 即槡７ａ＝３ｂ，又下焦点到下顶点的距离为１， 所以ｃ－ａ＝１，结合ｃ２ ＝ａ２＋ｂ２解得ａ２ ＝９，ｂ２ ＝７， 故选：（Ａ）． 二、多项选择题　９．ＢＣ；　１０．ＡＣＤ；　１１．ＡＤ． 提示： ９．若Ｃ为椭圆，则 ３－ｔ＞０， ｔ－１＞０， ３－ｔ≠ｔ－１ { ， 所以１＜ｔ＜３且ｔ≠２，故 （Ａ）错误； 若Ｃ为双曲线，则（３－ｔ）（ｔ－１）＜０，所以ｔ＞３或ｔ＜１， 故（Ｂ）正确； 若Ｃ为圆，则３－ｔ＝ｔ－１，所以ｔ＝２，故（Ｃ）正确； 若Ｃ为椭圆，且长轴在ｙ轴上，则 ３－ｔ＞０， ｔ－１＞０， ｔ－１＞３－ｔ { ， 所以２＜ｔ ＜３，故（Ｄ）错误．故选：（Ｂ）（Ｃ）． １０．若直线ｌ与Ｃ的两支交于顶点Ａ，Ｂ，则｜ＡＢ｜ｍｉｎ＝２ａ， 若直线ｌ与Ｃ的一支交于Ａ，Ｂ两点，则通径最短， ｜ＡＢ｜ｍｉｎ＝ ２ｂ２ ａ，由题意得 ２ｂ２ ａ ＝２ａ＝４，解得ａ＝ｂ＝２， 则双曲线Ｃ的方程为ｘ ２ ４ － ｙ２ ４ ＝１， 把四个选项分别代入方程，则（Ｂ）选项表示的点不在双曲线 上，（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）选项表示的点在双曲线上．故选（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）． １１．设双曲线的半焦距为ｃ＝２， 其中一条渐近线为ｙ＝ ｂａｘｂｘ－ａｙ＝０， 因为Ｆ２到Ｃ的一条渐近线的距离为槡２， 即ｄ＝｜２ｂ－ａ×０｜ ａ２＋ｂ槡 ２ ＝２ｂｃ ＝ ２ｂ ２ ＝槡２， 所以ｂ＝槡２，又ｃ＝２，所以ａ＝槡２，故（Ａ）正确； 对于（Ｂ），由题得过点Ｍ且斜率为１的直线为ｙ＝ｘ＋槡３－１， 联立 ｙ＝ｘ＋槡３－１， ｘ２－ｙ２ ＝２{ ， 消去ｙ得：ｘ＝－槡３，ｙ＝－１， 只有一个交点，故（Ｂ）错误； 对于（Ｃ），设Ｐ（ｘ０，ｙ０），则 ｘ２０ ２－ ｙ２０ ２ ＝１，ｋＰＦ１·ｋＰＦ２＝ ｙ０ ｘ０＋２ · ｙ０ ｘ０－２ ＝ ｙ２０ ｘ２０－４ ＝ ｘ２０－２ ｘ２０－４ ≠１，故（Ｃ）错误； 对于（Ｄ），由双曲线的定义可知 ｜ＰＭ｜＋｜ＰＦ１｜＝｜ＰＭ｜＋ ｜ＰＦ２｜＋２ａ≥｜ＭＦ２｜＋２ａ＝２＋槡２２，当且仅当Ｐ，Ｍ，Ｆ２三点共 线时取得等号，故（Ｄ）正确．故选：（Ａ）（Ｄ）． 三、填空题 １２．（－∞，０）；　１３．－２，ｙ＝±槡２ｘ；　１４．ｘ＝± 槡 ２３ ３． 提示： １２．由题可得２－ｍ＞０，且ｍ＜０， 解得：ｍ＜０，即实数ｍ的取值范围是（－∞，０）． １３．因为双曲线Ｃ过Ｍ（－２，槡６）， 则（－２）２－（槡６） ２ ｍ ＝１，解得ｍ＝２， 显然点Ｍ（－２，槡６）在双曲线Ｃ：ｘ２－ ｙ２ ２ ＝１的左支上， 而实半轴长ａ＝１，虚半轴长ｂ＝槡２， 所以｜ＭＦ１｜－｜ＭＦ２｜＝－２，双曲线Ｃ的渐近线方程为ｙ＝±槡２ｘ． １４．由｜ ｘ２＋４ｘ＋槡 ５－ ｘ２－４ｘ＋槡 ５｜＝２， 得｜ （ｘ＋２）２＋（１－０）槡 ２－ （ｘ－２）２＋（１－０）槡 ２｜＝２． 其几何意义为平面内一点（ｘ，１）与两定点（－２，０），（２，０） 距离之差的绝对值为２． 平面内与两定点（－２，０），（２，０）距离之差的绝对值为２的 点的轨迹是双曲线． 设该双曲线的方程为 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）， 则 ２ａ＝２， ｃ＝２， ｃ２ ＝ａ２＋ｂ２ { ， 解得ａ＝１，ｂ＝槡３． 所以该双曲线的方程是ｘ２－ｙ ２ ３ ＝１． 令ｙ＝１，解得ｘ＝± 槡２３３． 四、解答题 １５．解：可设双曲线的方程为ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）． 由椭圆方程知椭圆的半焦距是４，离心率为 ４５， 则可得双曲线的焦点坐标是（－４，０），（４，０），即ｃ＝４． 双曲线的离心率ｅ＝１４５ － ４ ５ ＝２． 由ｅ＝ ｃａ ＝２，得ａ＝２，从而ｂ ２ ＝４２－２２ ＝１２． 所以双曲线的方程为 ｘ２ ４ － ｙ２ １２＝１． １６．解：当双曲线的焦点在ｘ轴上时， 设双曲线的方程为ｍｘ２－ｎｙ２ ＝１（ｍ＞０，ｎ＞０）， 则 ｍ（－ 槡２７）２－ｎ（－３）２ ＝１， ｍ·７２－ｎ（槡６２）２ ＝１ { ， 即 ２８ｍ－９ｎ＝１， ４９ｍ－７２ｎ＝１{ ． 解得 ｍ＝ １２５， ｎ＝ １７５ { ．所以双曲线的方程为ｘ２２５－ｙ２７５＝１． 当双曲线的焦点在ｙ轴上时， 设双曲线的方程为ｐｙ２－ｑｘ２ ＝１（ｐ＞０，ｑ＞０）， 则 ｐ（－３）２－ｑ（－ 槡２７）２ ＝１， ｐ（槡６２）２－ｑ·７２ ＝１ { ， 即 ９ｐ－２８ｑ＝１， ７２ｐ－４９ｑ＝１{ ． 解得 ｐ＝－１７５， ｑ＝－１{ ２５（舍去）． 综上所述，所求双曲线的方程为 ｘ２ ２５－ ｙ２ ７５＝１． １７．解：（１）设点Ｃ（ｘ，ｙ），则｜｜ＣＡ｜－｜ＣＢ｜｜＝２， 所以Ｃ的轨迹是双曲线且焦点在ｘ轴上， 由２ａ＝２，２ｃ＝｜ＡＢ｜＝ 槡２３，得ａ２ ＝１，ｂ２ ＝２， 故点Ｃ的轨迹方程是ｘ２－ｙ ２ ２ ＝１． （２）由已知条件得直线方程为ｙ＝ｘ－２， 与ｘ２－ｙ ２ ２ ＝１联立，消去ｙ得ｘ ２＋４ｘ－６＝０， 因为Δ＞０，所以直线与双曲线有两个交点． 设Ｄ（ｘ１，ｙ１），Ｅ（ｘ２，ｙ２），则ｘ１＋ｘ２ ＝－４，ｘ１ｘ２ ＝－６， 所以｜ＤＥ｜＝ １＋ｋ槡 ２｜ｘ１－ｘ２｜ ＝槡２ （ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ槡 ２ ＝ 槡４５． １８．（１）解：由条件知ｅ２ ＝１＋ｂ ２ ａ２ ＝２，所以 ｂａ ＝１． 可设双曲线的方程为ｘ２－ｙ２ ＝λ（λ∈Ｒ且λ≠０）， 因为点（４，－槡１０）在双曲线上，所以λ＝４２－１０＝６． 因此所求双曲线的方程为ｘ２－ｙ２ ＝６． （２）证明：ｋｘ－ｙ－３ｋ＋ｍ＝０即为ｋ（ｘ－３）＋（ｍ－ｙ）＝０， 其过定点Ｍ（３，ｍ）．又Ｍ在双曲线上， 所以３２－ｍ２ ＝６，解得ｍ＝±槡３，即Ｍ（３，±槡３）． 又双曲线的焦点为Ｆ１（－ 槡２３，０），Ｆ２（槡２３，０）， 当Ｍ的坐标为 （３，槡３）时， ｋＦ１Ｍ·ｋＦ２Ｍ ＝ 槡３ ３＋ 槡２３ × 槡３ ３－ 槡２３ ＝－１； 当Ｍ的坐标为（３，－槡３）时，ｋＦ１Ｍ·ｋＦ２Ｍ ＝－１．所以Ｆ１Ｍ⊥Ｆ２Ｍ． １９．解：（１）方程ｍ（ｘ２＋ｙ２－２ｘ＋１）＝（３ｘ＋４ｙ＋１）２， 即ｍ［（ｘ－１）２＋ｙ２］＝（３ｘ＋４ｙ＋１）２， 显然ｍ＞０，则槡ｍ （ｘ－１）２＋ｙ槡 ２ ＝｜３ｘ＋４ｙ＋１｜， 即 （ｘ－１）２＋ｙ槡 ２ ｜３ｘ＋４ｙ＋１｜ ３２＋４槡 ２ ＝ ３ ２＋４槡 ２ 槡ｍ ＝ ５ 槡ｍ ， 可得动点（ｘ，ｙ）到定点（１，０）和定直线３ｘ＋４ｙ＋１＝０的距 离的比为常数 ５ 槡ｍ ， 由双曲线的定义，可得 ５ 槡ｍ ＞１，解得０＜ｍ＜２５， 即ｍ的取值范围为（０，２５）． （２）由ｘ２＋ｙ２＋３ｘ－４ｙ＋２５４ ＝（３ｘ－４ｙ） ２ ( 得 ｘ＋ )３２ ２ ＋（ｙ－２）槡 ２ ＝｜３ｘ－４ｙ｜， (即 ｘ＋ )３２ ２ ＋（ｙ－２）槡 ２ ＝｜３ｘ－４ｙ｜ ３２＋４槡 ２ ×５， 表示动点（ｘ，ｙ） (到定点 －３２， )２ 的距离与到定直线３ｘ－ ４ｙ＝０的距离之比等于５， 所以该圆锥曲线的离心率为５，该曲线为双曲线． ! ! " !"#$%&'()*+,-./012!3+ "#$ 4 ! 5"6$3&'(7*+,-.8012!3+ "#$ 4 !"#$ !"#$ ! " # $ ! ! " "" " % " % # % ! % $ % % # $ # %&% &% % $ ! " ! % " # ! !! % & ! ' ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) &$ &! ! $ $ ! &! &$ & % "! $ 书 从而可得方程组 πａｂ＝ 槡２３π， ｅ＝ ｃａ ＝ １ ２， ａ２ ＝ｂ２＋ｃ２ { ， 解得 ａ＝２， ｂ＝槡３， ｃ＝１ { ． 故椭圆Ｃ的标准方程为ｘ ２ ４ ＋ ｙ２ ３ ＝１，故选（Ａ）． ５．在大椭圆中，ａ＝２０，ｂ＝１０，则ｃ＝ ａ２－ｂ槡 ２ ＝ 槡１０３， 则椭圆离心率为ｅ＝槡３２． 因为两椭圆扁平程度相同，所以离心率相等， 所以在小椭圆中，ｅ′＝槡３２， 结合题意知ｂ′＝５，得（ｅ′）２ ＝（ａ′） ２－（ｂ′）２ （ａ′）２ ＝ ３４， 解得ａ′＝１０，所以小椭圆的长轴长为２０ｃｍ．故选：（Ｃ）． ６．设椭圆的方程为ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）， 由已知得Ａ（ａ，０），Ｂ（０，ｂ），Ｆ（－ｃ，０）， 则→ＢＦ＝（－ｃ，－ｂ），→ＢＡ＝（ａ，－ｂ）． 因为离心率ｅ＝ ｃａ ＝ 槡５－１ ２ ，所以ｃ＝ 槡５－１ ２ ａ， 则ｂ＝ ａ２－ｃ槡 ２ ＝ ａ２ (－ 槡５－１２ )ａ槡 ２ ＝ 槡５－１槡２ ａ． 所以→ＢＦ·→ＢＡ＝ｂ２－ａｃ＝０，所以∠ＡＢＦ＝９０°． ７．依题意，Ａ（０，槡ｎ），Ｂ（０， 槡－ ｎ），设点Ｐ（ｘ０，ｙ０）， 则有 ｘ２０ ｍ ＋ ｙ２０ ｎ ＝１，即ｘ ２ ０ ＝ ｍ ｎ（ｎ－ｙ ２ ０）， 则ｋＡＰ·ｋＢＰ ＝ ｙ０ 槡－ ｎ ｘ０ · ｙ０ 槡＋ ｎ ｘ０ ＝ ｙ２０－ｎ ｘ２０ ＝－ｎｍ ＝－ ４ ３， 即 ｍ ｎ ＝ ３ ４， 显然曲线Ｃ是焦点在ｙ轴上的椭圆， 槡ａ＝ ｎ， 槡ｂ＝ ｍ， 所以Ｃ的离心率为ｅ＝ １－ｍ槡 ｎ ＝ １－槡 ３ ４ ＝ １ ２． ８．如图１，设椭圆的左焦点为Ｅ， 则｜ＢＥ｜＋｜ＢＦ｜＝２ａ， 因为点Ａ，Ｂ关于原点对称， 所以四边形为平行四边形． 由｜ＡＦ｜＝２｜ＢＦ｜得 ｜ＢＦ｜＝ ２ ３ａ，｜ＢＥ｜＝ ４ ３ａ． 在△ＥＢＦ中，ｃｏｓ∠ＥＢＦ ＝｜ＢＥ｜ ２＋｜ＢＦ｜２－｜ＥＦ｜２ ２｜ＢＥ｜｜ＢＦ｜ ＝ １６ ９ａ ２＋４９ａ ２－４ｃ２ ２×４３ａ× ２ ３ａ ＝ ５４ － ９ ４ｅ ２， 所以ｃｏｓ∠ＢＦＡ＝－ｃｏｓ∠ＥＢＦ＝ ９４ｅ ２－５４． 由→ＦＡ·→ＦＢ≤ ４９ａ ２，得 → →｜ＦＡ｜｜ＦＢ｜ｃｏｓ∠ＢＦＡ＝ ４３ａ× ２ ３ａ (× ９４ｅ２－ )５４ ≤ ４９ａ２，整理得ｅ２≤ ７９． 又０＜ｅ＜１，所以ｅ (∈ ０，槡７]３ ． 二、多项选择题　９．ＢＣ；　１０．ＡＢＤ；　１１．ＡＣＤ． 提示： ９．易知Ｆ１（－４，０），Ｆ２（４，０）分别为椭圆 ｘ２ ２５＋ ｙ２ ９ ＝１的两 个焦点，Ｅ１（０，－４），Ｅ２（０，４）分别为椭圆 ｙ２ ２５＋ ｘ２ ９ ＝１的两个焦 点．若点Ｐ仅在椭圆ｘ ２ ２５＋ ｙ２ ９ ＝１上，则Ｐ到Ｆ１（－４，０），Ｆ２（４，０） 两点的距离之和为定值，到 Ｅ１（０，－４），Ｅ２（０，４）两点的距离之 和不为定值，故（Ａ）错误； 两个椭圆关于直线ｙ＝ｘ与ｙ＝－ｘ对称，则曲线Ｃ关于直线 ｙ＝ｘ，ｙ＝－ｘ均对称，故（Ｂ）正确； 曲线Ｃ所围区域在边长为６的正方形内部，所以面积必小于 ３６，故（Ｃ）正确； 曲线Ｃ所围区域在半径为３的圆外部，所以曲线的总长度大 于圆的周长６π，故（Ｄ）错误．故选：（Ｂ）（Ｃ）． １０．由题设，椭圆中ｂ＝ｃ＝槡２，则ａ＝ ｂ２＋ｃ槡 ２ ＝２，故椭 圆的长轴长为４，（Ａ）正确； ｜ＡＢ｜＝｜ＯＡ｜＋｜ＯＢ｜＝槡２＋｜ＯＡ｜，且槡２≤ ＯＡ≤２，故 ｜ＡＢ｜∈［槡２２，２＋槡２］，（Ｂ）正确； 令∠ＡＯＦ＝θ，则 Ｓ△ＡＢＦ ＝Ｓ△ＡＯＦ ＋Ｓ△ＢＯＦ ＝ １ ２ ｜ＯＡ｜· ｜ＯＦ｜ｓｉｎθ＋１２｜ＯＢ｜·｜ＯＦ｜ｓｉｎ（π－θ）＝ 槡２ ２（槡２＋｜ＯＡ｜） ｓｉｎθ，若θ＝π６，此时｜ＯＡ｜＜２，则Ｓ△ＡＢＦ ＝ 槡２ ４（槡２＋｜ＯＡ｜）＜ １＋槡２ ２ ，（Ｃ）错误； 由椭圆定义知｜ＡＦ｜＋｜ＡＧ｜＝２ａ＝４，故△ＡＦＧ的周长为 ｜ＦＧ｜＋４＝ 槡２２＋４，（Ｄ）正确．故选（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）． １１．图２，在Ｒｔ△ＡＤＯ，由于ＡＯ＝ｒ，ＡＤ＝６０ｃｍ，ＣＤ＝２０ｃｍ， ＤＯ＝（ｒ－２０）ｃｍ，所以（ｒ－２０）２＋６０２ ＝ｒ２，解得ｒ＝１００ｃｍ； 对于（Ａ），太阳光线与地面所成角为 π４时，如图３将伞还原 成完整的球状，光线将打在半球上，球冠被完整照射，于是投影形 成完整的圆，正确； 对于（Ｂ），太阳光线与地面所成角为 π６时，如图４球冠只有 部分被照射，故不能形成椭圆，错误； 对于（Ｃ），太阳光线与地面所 成角为 π ３，且伞柄沿着光线方向 时，球冠被完整照射，如图５，而由 于ＡＢ与地面成一定角度，ＡＢ投影 被拉长，故形成影子为椭圆，短轴长 度不变，长轴被拉长为原来的 ２ 槡３ 倍，则 ｂ ａ ＝ 槡３ ２，离心率为 １ ２，正确； 对于（Ｄ），太阳光线与地面所成角为 π６时，如图６，当ＡＢ垂 直于光线，可最大程度拉长影长，而且球冠被完整照射，故投影成 椭圆，此时长轴长为｜ＡＢ｜× １ ｓｉｎπ６ ＝２｜ＡＢ｜＝２４０ｃｍ，正确． 故选：（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）． 三、填空题　１２．槡２５５；　１３．槡３；　１４． ９ ８． 提示： １２．由题意知：Ｆ（－ｃ，０）（ｃ＞０）， 则直线ｌ：ｙ＝－槡３３（ｘ＋ｃ），即ｘ＋槡３ｙ＋ｃ＝０， 因为ｌ与圆ｘ２＋ｙ２ ＝ｂ２相切，所以 ｜ｃ｜ １＋槡 ３ ＝ｂ，即ｃ＝２ｂ， 所以ｃ２ ＝４ｂ２ ＝４ａ２－４ｃ２， 所以ｅ２ ＝ｃ ２ ａ２ ＝ ４５，所以椭圆的离心率ｅ＝ 槡２５ ５． １３．如图 ７所示，因为 ＰＭ⊥ Ｆ１Ｑ且｜ＰＦ１｜＝｜ＰＱ｜＝２， 所以Ｍ为Ｆ１Ｑ的中点， 又因为Ｏ为 Ｆ１Ｆ２的中点，ＯＭ ⊥ｘ轴，所以ＰＱ⊥ｘ轴， 所以△ＰＦ１Ｑ为等边三角形， 所以∠ＰＦ１Ｆ２ ＝３０°， 可得｜ＰＦ１｜＝ ４ｃ 槡３ ＝２， 解得ｃ＝槡３２，所以椭圆Ｃ的焦距为２ｃ＝槡３． １４．因为点Ｐ是椭圆Ｃ上的动点，所以ｍ＋ｎ＝８， 所以 ４ｍ＋ｎ ｍｎ ＝ ４ ｎ ＋ １ ｍ ＝ (１８ ４ｎ ＋１ )ｍ ·（ｍ＋ｎ）＝ (１８ ５＋４ｍｎ ＋ｎ )ｍ ≥ (１８ ５＋２ ４ｍｎ ×ｎ槡 )ｍ ＝ ９８， 当且仅当 ４ｍ ｎ ＝ ｎ ｍ，即ｍ＝ ８ ３，ｎ＝ １６ ３时，等号成立． 四、解答题 １５．解：直线ｘ－２ｙ＋２＝０与坐标轴的交点为（０，１），（－２，０）． 当焦点在ｘ轴上时，设椭圆的方程为ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）， 由题意知，ｃ＝２，ｂ＝１，所以ａ２ ＝５， 所以椭圆的标准方程为 ｘ２ ５ ＋ｙ ２ ＝１； 当焦点在ｙ轴上时，设椭圆的方程为ｘ ２ ｂ２ ＋ｙ ２ ａ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）， 由题意知，ｂ＝２，ｃ＝１，所以ａ２ ＝５， 所以椭圆的标准方程为 ｙ２ ５ ＋ ｘ２ ４ ＝１． 故该椭圆的标准方程为 ｘ２ ５ ＋ｙ ２ ＝１或ｙ ２ ５ ＋ ｘ２ ４ ＝１． １６．解：（１）因为ａ＝５，ｂ＝３，所以ｃ＝４． 又｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝２ａ＝１０，｜Ｆ１Ｆ２｜＝２ｃ＝８， 所以△Ｆ１ＰＦ２的周长为 ｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＋｜Ｆ１Ｆ２｜＝２ａ＋２ｃ＝１０＋８＝１８． （２）设｜ＰＦ１｜＝ｔ１，｜ＰＦ２｜＝ｔ２，则ｔ１＋ｔ２ ＝１０． ① 在△Ｆ１ＰＦ２中，由余弦定理可得 ｔ２１＋ｔ２２－２ｔ１ｔ２ｃｏｓ６０°＝８２． ② 由①２－②，得ｔ１ｔ２ ＝１２， 所以Ｓ△Ｆ１ＰＦ２＝ １ ２ｔ１ｔ２ｓｉｎ６０°＝ １ ２ ×１２× 槡３ ２ ＝ 槡３３． １７．解：（１）设点Ｆ１关于直线ｘ－ｙ＋３＝０的对称点为Ｆ３（ｘ，ｙ）， 则 ｙ－０ ｘ＋１·１＝－１， ｘ－１ ２ － ｙ＋０ ２ ＋３＝０ { ，解得 ｘ＝－３，ｙ＝２{ ，即Ｆ３（－３，２）． 由“对称性和两点之间线段最短”，可知 ｜ＭＦ１｜＋｜ＭＦ２｜≥｜Ｆ２Ｆ３｜＝ 槡２５． 故｜ＭＦ１｜＋｜ＭＦ２｜的最小值为 槡２５． （２）设Ｍ是椭圆Ｅ与直线ｘ－ｙ＋３＝０的一个公共点， 则｜ＭＦ１｜＋｜ＭＦ２｜＝２ａ． 由（１）可知｜ＭＦ１｜＋｜ＭＦ２｜≥｜Ｆ２Ｆ３｜＝ 槡２５， 所以椭圆Ｅ离心率ｅ＝ ｃａ≤ １ 槡５ ＝槡５５， 故椭圆Ｅ离心率的最大值为槡５５． １８．（１）解：因为ｅ＝ ｃａ ＝ 槡６ ３，所以ａ ２ ＝３ｂ２， 所以椭圆Ｃ的方程为ｘ ２ ３ｂ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１． 又因为椭圆Ｃ过点Ｍ（１，１）， 代入方程解得ａ２ ＝４，ｂ２ ＝ ４３， 所以椭圆Ｃ的方程为ｘ ２ ４ ＋ ３ｙ２ ４ ＝１． （２）证明：①当圆Ｏ的切线ｌ的斜率存在时， 设直线ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ＋ｍ， 则圆心Ｏ到直线ｌ的距离ｄ＝ ｜ｍ｜ ｋ２＋槡 １ ＝１， 所以１＋ｋ２ ＝ｍ２． 将直线ｌ的方程和椭圆Ｃ的方程联立， 得到（１＋３ｋ２）ｘ２＋６ｋｍｘ＋３ｍ２－４＝０． 设直线ｌ与椭圆Ｃ相交于Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）两点， 则 ｘ１＋ｘ２ ＝－ ６ｋｍ １＋３ｋ２ ， ｘ１ｘ２ ＝ ３ｍ２－４ １＋３ｋ２ { ， 所以→ＯＡ·→  ＯＢ＝ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２ ＝（１＋ｋ２）ｘ１ｘ２＋ｋｍ（ｘ１＋ｘ２）＋ｍ２ ＝（１＋ｋ２）·３ｍ ２－４ １＋３ｋ２ ＋ｋｍ (· － ６ｋｍ１＋３ｋ )２ ＋ｍ２ ＝４ｍ ２－４－４ｋ２ １＋３ｋ２ ＝０； ②当圆的切线ｌ的斜率不存在时，验证得→ＯＡ·→  ＯＢ＝０． 综上所述，→ＯＡ·→  ＯＢ为定值０． １９．解：（１）连接ＯＭ，易知ＯＭ∥Ｆ２Ｎ且｜ＯＭ｜＝ １ ２｜Ｆ２Ｎ｜， 所以｜Ｆ２Ｎ｜＝４，又点Ｐ在Ｆ１Ｎ的垂直平分线上， 所以｜ＰＦ１｜＝｜ＰＮ｜， 所以｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝｜ＰＦ２｜＋｜ＰＮ｜＝｜Ｆ２Ｎ｜＝４＞ 槡２３， 满足椭圆定义，所以ａ＝２，ｃ＝槡３，ｂ＝１， 所以曲线Ｃ的方程为ｘ ２ ４ ＋ｙ ２ ＝１． （２）由（１）知离心率ｅ＝槡３２λ＝ ３ ４． 所以椭圆Ｃλ的标准方程为 ｘ２ ３ ＋ ４ｙ２ ３ ＝１， 设Ｑ（ｘ０，ｙ０）为椭圆Ｃλ异于四个顶点的任意一点， 直线ＱＭ１，ＱＮ１的斜率分别为ｋＱＭ１，ｋＱＮ１， 则ｋＱＭ１·ｋＱＮ１ ＝ ｙ０ ｘ０＋槡３ · ｙ０ ｘ０－槡３ ＝ ｙ２０ ｘ２０－３ ， 又 ｘ２０ ３ ＋ ４ｙ２０ ３ ＝１ｙ ２ ０ ＝ １ ４（３－ｘ ２ ０）， 书 ｄ′＝ ３×１２ ＋４× １ ２ －１２ ３２＋４槡 ２ ＝１７１０， 从而ｄｍｉｎ＝ｄ′－槡 ２ ２ ＝ １７－ 槡５２ １０ ， 即｜３ｍ＋４ｎ－１２｜ｍｉｎ＝ １７－ 槡５２ ２ ． 第６期１版 专项小练一 １．Ｂ；　２．ＡＢＤ；　３．Ｄ．　４．１或 －１；　５．ｘ ２ ２５＋ ｙ２ １６＝１． ６．解：以ＢＣ所在的直线为ｘ轴，ＢＣ的中垂线为ｙ轴， 建立平面直角坐标系． 因为点Ｍ为△ＡＢＣ的重心， 所以｜ＭＢ｜＋｜ＭＣ｜＝ ２３ ×３９＝２６＞｜ＢＣ｜＝２４． 根据椭圆定义可知，点Ｍ的轨迹是以Ｂ，Ｃ为焦点的椭圆， 所以ａ＝１３，ｃ＝１２，则ｂ＝５． 故△ＡＢＣ重心Ｍ的轨迹方程为ｘ ２ １６９＋ ｙ２ ２５＝１（ｙ≠０）． 专项小练二 １．Ｃ；　２．Ｄ；　３．Ｂ．　４．８；　５．ｘ ２ ２５＋ ｙ２ ９ ＝１． ６．解：由已知条件得椭圆的焦点在ｘ轴上，其中ｃ＝ 槡２２，ａ＝ ３，从而ｂ＝１，所以其标准方程是ｘ ２ ９ ＋ｙ ２＝１． 联立方程组 ｘ２ ９ ＋ｙ ２＝１， ｙ＝ｘ＋２ { ， 消去ｙ，得１０ｘ２＋３６ｘ＋２７＝０． 设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），线段 ＡＢ的中点为 Ｍ（ｘ０，ｙ０），那么 ｘ１＋ｘ２＝－ １８ ５，即ｘ０＝ ｘ１＋ｘ２ ２ ＝－ ９ ５，所以ｙ０＝ｘ０＋２＝ １ ５． 故线段ＡＢ的中点坐标为 －９５，( )１５ ． 第６期３，４版 椭圆同步核心素养测评（一） 一、单项选择题　１～４　ＣＣＢＤ　５～８　ＢＢＤＤ 提示： ２．椭圆方程化为标准形式后，可以得ａ２ ＝１，ｂ２ ＝ １８， 所以ｃ２ ＝ａ２－ｂ２ ＝ ７８，则ｃ＝ 槡１４ ４ ． 又焦点在ｘ轴上，所以焦点坐标为 ±槡１４４ ，( )０． ３．因为椭圆的右焦点坐标是（１，０），所以右焦点到直线ｙ＝ 槡３ｘ的距离ｄ＝槡 ３ ２，故选（Ｂ）． ４．椭圆ｘ ２ ２５＋ ｙ２ ９ ＝１的长轴长为５×２＝１０，短轴长为２×３ ＝６，焦距为２ ２５－槡 ９＝８，离心率为 ４ ５， 椭圆 ｘ２ ２５－ｋ＋ ｙ２ ９－ｋ＝１（ｋ＜９）的长轴长为２ ２５槡 －ｋ，短轴 长为２ ９槡 －ｋ， 焦距为２ （２５－ｋ）－（９－ｋ槡 ）＝８，离心率为 ４ ２５槡 －ｋ ， 所以两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离心 率也不相等．故选：（Ｄ）． ５．由题意得２ａ＝８，２ｂ＝４， 所以ａ＝４，ｂ＝２，则ｃ＝ ４２－２槡 ２ ＝ 槡２３， 所以椭圆的离心率为：ｅ＝ ｃａ ＝ 槡２３ ４ ＝ 槡３ ２．故选：（Ｂ）． ６．因为Ｍ（１，０）为线段ＯＢ的中点，且Ｂ（ｂ，０），所以ｂ＝２， 又ｅ＝槡２２，所以 ｃ ａ ＝ １－ ｂ２ ａ槡 ２ ＝ １－ ４ ａ槡 ２ ＝ 槡２ ２，所以ａ ＝ 槡２２，所以椭圆Ｃ的标准方程为 ｘ２ ４ ＋ ｙ２ ８ ＝１．故选：（Ｂ）． ７．依题意，顶点Ａ到Ｂ，Ｃ两点的距离和为｜ＡＢ｜＋｜ＡＣ｜＝ １６＞｜ＢＣ｜＝２，所以顶点Ａ的轨迹是椭圆除去Ｂ，Ｃ两点，故２ａ＝ １６，ｃ＝１．所以顶点Ａ的轨迹方程为ｙ ２ ６４＋ ｘ２ ６３＝１（ｘ≠０）． ８．由题可得圆Ｂ的圆心为Ｂ（３，０），半径为Ｒ＝１０， 设动圆的圆心为Ｃ，半径为ｒ， 由圆Ｃ在圆Ｂ的内部与其相切，则Ｒ－ｒ＝ＣＢ， 由圆Ｃ过点Ａ，则Ｒ－ＣＡ＝ＣＢ，即１０＝ＣＡ＋ＣＢ， 所以动点Ｃ的轨迹为以Ａ，Ｂ为焦点的椭圆， 则ａ＝５，ｃ＝｜ＡＢ｜２ ＝３，ｂ＝ ａ ２－ｃ槡 ２ ＝４， 所以其轨迹方程为 ｘ２ ２５＋ ｙ２ １６＝１．故选：（Ｄ）． 二、多项选择题 ９．ＣＤ；　１０．ＢＤ；　１１．ＡＢＤ． 提示： ９．由２ｃ＝２，则ｃ＝１．过点Ｆ的弦长最小值为２ｂ ２ ａ≥２，即ｂ ２ ≥ａ，即有ａ２－ｃ２≥ａ，即ａ２－ａ－１≥０，解得：ａ≥槡５＋１２ 或ａ ≤１－槡５２ （舍），ｅ＝ ｃ ａ≤ １ 槡５＋１ ２ ＝槡５－１２ ．故选：（Ｃ）（Ｄ）． １０．ａ２ ＝８，ｂ２ ＝４，所以ｃ２ ＝８－４＝４． 所以ａ＝ 槡２２，ｂ＝２，ｃ＝２，ｅ＝ ｃ ａ ＝ 槡２ ２． 焦距２ｃ＝４，｜ＭＦ１｜＋｜ＭＦ２｜＝２ａ＝ 槡４２， 当Ｍ为短轴的端点时△ＭＦ１Ｆ２的面积取得最大值， 是 １ ２｜Ｆ１Ｆ２｜ｂ＝ｂｃ＝４．故选（Ｂ）（Ｄ）． １１．由（３－槡５）ａ２ ＝２ｃ２，得 ｃ２ ａ２ ＝３－槡５２ ， 解得ｅ＝ ｃａ ＝ 槡５－１ ２ ，（Ａ）正确； 由（槡５－１）ａ２ ＝２ｂ２，得（槡５－１）ａ２ ＝２（ａ２－ｃ２）， 整理得（３－槡５）ａ２ ＝２ｃ２， 即 ｃ２ ａ２ ＝３－槡５２ ，解得ｅ＝ ｃ ａ ＝ 槡５－１ ２ ，（Ｂ）正确； 由（２－槡５）ａ２－ｂ２＝２ｃ２，得（２－槡５）ａ２－（ａ２－ｃ２）＝２ｃ２， 整理得（１－槡５）ａ２ ＝ｃ２，无解，（Ｃ）错误； 由（３－槡５）ｂ２ ＝（槡５－１）ｃ２， 得（３－槡５）（ａ２－ｃ２）＝（槡５－１）ｃ２， 整理得（３－槡５）ａ２ ＝２ｃ２，即 ｃ２ ａ２ ＝３－槡５２ ， 解得ｅ＝ ｃａ ＝ 槡５－１ ２ ，（Ｄ）正确．故选（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）． 三、填空题 １２．３；　１３．ｘ ２ １２＋ ｙ２ ９ ＝１；　１４． 槡２ ２． 提示： １２．由题意可知，６＋ｂ２ ＝９，所以ｂ２ ＝３． １３．设椭圆的左、右焦点分别为Ｆ１， Ｆ２，椭圆短轴的一个端点为 Ｂ，如图１， 已知 △ＢＦ１Ｆ２是正三角形，可得 ｂ＝ 槡３ｃ． 由 ｂ＝槡３ｃ， ａ－ｃ＝槡３， ａ２ ＝ｂ２＋ｃ２ { ， 解得 ａ＝ 槡２３， ｂ＝３， ｃ＝槡３ { ． 所以椭圆的标准方程是 ｘ２ １２＋ ｙ２ ９ ＝１． １４．设圆柱的底面半径为 ｒ，依题意知， 最长母线与最短母线所在截面如图２所示． 所以ＤＥ＝ＡＢ＝２ｒ， 从而ＣＤ＝ ２ｒｓｉｎ４５°＝ 槡２２ｒ， 因此在椭圆中长轴长２ａ＝ 槡２２ｒ， 短轴长２ｂ＝２ｒ， 所以ｃ２＝ａ２－ｂ２＝２ｒ２－ｒ２＝ｒ２ｃ＝ｒ， 所以ｅ＝ ｃａ ＝ １ 槡２ ＝槡２２． 四、解答题 １５．解：由题知ｃ＝４，当点Ｐ为短轴端点时， △ＰＦ１Ｆ２的面积取得最大值１２， 所以 １ ２ ×８×ｂ＝１２，解得ｂ＝３． 因为ａ２ ＝ｂ２＋ｃ２ ＝２５， 所以椭圆的方程为 ｘ２ ２５＋ ｙ２ ９ ＝１． １６．解：（１）由题意设椭圆方程为ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）． 由椭圆过点（５，０），知其一个顶点坐标为（５，０），所以ａ＝５． 又ｅ＝ ２５，所以ｃ＝２，所以ｂ ２ ＝ａ２－ｃ２ ＝２１． 故椭圆的标准方程为 ｘ２ ２５＋ ｙ２ ２１＝１． （２）由（１）可得，椭圆的长轴长为２ａ＝１０，短轴长为２ｂ＝ 槡２ ２１，焦点坐标为（±２，０），顶点坐标为（±５，０），（０，±槡２１）． １７．解：因为△ＡＢＦ２的周长为８，所以 ｜ＡＢ｜＋｜ＡＦ２｜＋｜ＢＦ２｜＝８ ｜ＡＦ１｜＋｜ＢＦ１｜＋｜ＡＦ２｜＋｜ＢＦ２｜＝８ （｜ＡＦ１｜＋｜ＡＦ２｜）＋（｜ＢＦ１｜＋｜ＢＦ２｜）＝８ ２ａ＋２ａ＝８ａ＝２， 由题意可得：ａｂπ＝ 槡２３π，即ａｂ＝ 槡２３，解得ｂ＝槡３． 因为椭圆的焦点在ｘ轴上，所以Ｃ的标准方程为：ｘ ２ ４＋ ｙ２ ３ ＝１． １８．解：假设ｌ存在，则ｌ不垂直于ｘ轴， 设ｌ的直线方程为ｙ－２＝ｋ（ｘ－２），Ｑ１（ｘ１，ｙ１），Ｑ２（ｘ２，ｙ２）， 联立方程组 ｙ－２＝ｋ（ｘ－２）， ｘ２ ４ ＋ ｙ２ ３ ＝１ { ， 消去ｙ得 （４ｋ２＋３）ｘ２＋１６ｋ（１－ｋ）ｘ＋１６ｋ２－３２ｋ＋４＝０． ① 由根与系数的关系得ｘ１＋ｘ２ ＝ １６ｋ（ｋ－１） ４ｋ２＋３ ， 方程①有两个不同解的前提条件是Δ＝８ｋ－１＞０， 即ｋ＞ １８．又Ｑ１Ｑ２的中点Ｂ的坐标为（２，２）， 所以 １６ｋ（ｋ－１） ４ｋ２＋３ ＝４，解得ｋ＝－３４． 而 －３４ １ ８，＋( )∞ ，故不存在这样的直线ｌ． １９．解：（１）由题意得ａ＝２，ｂ＝槡３ｃ， 又因为ａ２ ＝ｂ２＋ｃ２，所以ａ２ ＝４，ｂ２ ＝３，ｃ２ ＝１． 所以椭圆Ｃ的方程为ｘ ２ ４ ＋ ｙ２ ３ ＝１． （２）设直线ＡＤ的方程为：ｙ＝ｋ（ｘ－２）（ｋ≠０）， 令ｘ＝０得ｙ＝－２ｋ，即Ｅ（０，－２ｋ）， 联立 ｙ＝ｋ（ｘ－２）， ｘ２ ４ ＋ ｙ２ ３ ＝１ { ，得（３＋４ｋ２）ｘ２－１６ｋ２ｘ＋１６ｋ２－１２＝０， 所以ｘ１＋ｘ２ ＝ １６ｋ２ ３＋４ｋ２ ，ｘ１·ｘ２ ＝ １６ｋ２－１２ ３＋４ｋ２ ， 则 (Ｐ ８ｋ２３＋４ｋ２，－ ６ｋ３＋４ｋ )２ ，→  (ＯＰ＝ ８ｋ２３＋４ｋ２，－ ６ｋ３＋４ｋ )２ ， →  ＥＱ＝（ｍ，２ｋ），由题可得→  ＯＰ·→  ＥＱ＝０， (即 ８ｋ２３＋４ｋ２，－ ６ｋ３＋４ｋ )２ ·（ｍ，２ｋ）＝０， 解得ｍ＝ ３２，所以存在定点 (Ｑ ３２， )０ ． 第７期２版 专项小练一 １．Ｂ；　２．Ｃ；　３．Ｄ．　４．ｘ ２ ９ ＋ ｙ２ ５ ＝１；　５．４． ６．解：因为ＰＦ１⊥ＰＦ２，所以在Ｒｔ△Ｆ１ＰＦ２中， ｜Ｆ１Ｆ２｜＝２｜ＰＯ｜＝１０，所以ｃ＝５． 设Ｆ１（－５，０），Ｆ２（５，０）， 所以｜ＰＦ１｜＝ 槡４５，｜ＰＦ２｜＝ 槡２５． 故２ａ＝｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝ 槡６５，所以ａ＝ 槡３５， 则ｂ２＝ａ２－ｃ２＝２０．故椭圆的标准方程为ｘ ２ ４５＋ ｙ２ ２０＝１． 专项小练二 １．Ｂ；　２．Ｂ；　３．Ｄ．　４．３；　５．２或４． ６．解：因为椭圆的焦点在ｘ轴上，对称轴为坐标轴，所以可设 其方程为 ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）．由椭圆过点（５，０），即其一个 顶点坐标为（５，０），所以ａ＝５．又ｅ＝ ２５，所以ｃ＝２，所以ｂ ２＝ ａ２－ｃ２ ＝２５－４＝２１，所以椭圆的标准方程为ｘ ２ ２５＋ ｙ２ ２１＝１． 第７期３，４版 椭圆同步核心素养测评（二） 一、单项选择题　１～４　ＡＢＢＡ　５～８　ＣＤＡＢ 提示： １．方程 ｘ ２ ４－ｍ＋ ｙ２ ｍ＋３＝１表示椭圆， 则 ４－ｍ＞０， ｍ＋３＞０， ４－ｍ≠ｍ＋３ { ， 解得 －３＜ｍ＜４且ｍ≠ １２， 因此“方程 ｘ２ ４－ｍ＋ ｙ２ ｍ＋３＝１表示椭圆”是“－３＜ｍ＜４” 的充分不必要条件．故选（Ａ）． ２．对于椭圆ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０），有ｅ＝ ｃａ ＝ ｃ２ ａ槡２ ＝ ａ ２－ｂ２ ａ槡 ２ ＝ １ (－ ｂ )ａ槡 ２ ． 因为ｅ２ ＝ ５ ６ｅ１，所以 １－ ｂ２ 槡 ９ ＝ ５ ６ × １－槡 １ ５， 解得ｂ＝２．故选（Ｂ）． ３．设椭圆的左焦点为 Ｆ，由题意得 Ｍ（槡３，０）与 Ｆ（－槡３，０） 是椭圆的焦点，则直线ＡＢ过椭圆的左焦点Ｆ（－槡３，０），且｜ＡＢ｜ ＝｜ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜，所以△ＡＢＭ的周长为｜ＡＢ｜＋｜ＡＭ｜＋｜ＢＭ｜＝ （｜ＡＦ｜＋｜ＡＭ｜）＋（｜ＢＦ｜＋｜ＢＭ｜）＝４ａ＝８． ４．由题意得：πａｂ＝ 槡２３π，离心率：ｅ＝ ｃ ａ ＝ １ ２， ! ! ! " !"#$ !"#$ !"#$%&'()*+,-./012!3+ "#$ 4 5"6$3&'(7*+,-.8012!3+ "#$ 4 ! " # $ % & ! ! ' ! $ " $ ! ( % & ! ! ! ) $ " $ ! * ( + & ! # !"# , - . / 0 ! " ( % 0 . / ! $ % / ! " ! % ! % % / ! & / ! ' % ! ' ! $ ! ' / !