第2期 两条直线的平行与垂直，两条直线的交点坐标，平面直角坐标系中的距离公式-【数理报】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版2019）

书 高中数学·选择性必修第一册（北师大版）２０２４年７月 第１～４期参考答案 第１期２版 专项小练一 １．Ｃ；　２．Ｄ；　３．ＢＤ．　４．１２； ５．（１）槡３３或 － 槡３ ３，（２） ６π ７． ６．解：当２ｍ＝ｍ，即ｍ＝０时，直线ｌ垂直于ｘ轴，其斜率不存在； 当２ｍ≠ｍ，即ｍ≠０时，直线ｌ的斜率ｋ＝ ２－１ｍ－２ｍ＝－ １ ｍ． 专项小练二 １．Ａ；　２．Ｃ；　３．ＢＤ．　４．２ｘ－ｙ＋２＝０； ５．ｙ＝ ２ｘ， １ ３ｘ＋ ５０ ３ { ，０≤ｘ＜１０，１０≤ｘ≤４０． ６．解：经过点（１，２），且斜率为３ 的直线，即ｙ－２＝３（ｘ－１）， 化简得：ｙ＝３ｘ－１； 经过点（１，２），且斜率为 －３的直 线，即ｙ－２＝－３（ｘ－１）， 化简得：ｙ＝－３ｘ＋５． 图象如右图所示． 专项小练三 １．Ａ；　２．Ａ；　３．ＡＣ．　４．ｘ－４ｙ＋７＝０；　５．－３． ６．解：设ＡＣ边的中点为Ｄ，由中点坐标公式可求得Ｄ点的坐 标为（４，４），则直线ＢＤ即为所求． 由直线方程的两点式得 ｙ－０ ４－０＝ ｘ＋４ ４＋４， 即所求直线方程为ｘ－２ｙ＋４＝０． 第１期３，４版 直线的倾斜角、斜率，直线的方程同步核心素养测评 一、单项选择题 １～４　ＡＤＡＢ　５～８　ＡＤＤＤ 提示： ２．已知ｋｂ≠０，ｌ２：ｙ＝－ ｂ ｋｘ＋ｂ，由四个选项中的ｌ１可知ｋ＞ ０，可排除（Ａ），（Ｃ）；当ｂ＜０时，可排除（Ｂ）；当ｂ＞０时，（Ｄ）符 合题意． ３．由题意可知直线ｌ的斜率ｋ＝ｔａｎπ４ ＝１， 所以直线ｌ的方程为ｙ－３＝ｘ－１，即ｙ＝ｘ＋２， 所以它在ｙ轴上的截距为２． ４．因为直线ｌ的倾斜角为１５０°，所以ｔａｎ１５０°＝－槡３３， 由斜率的定义ｋ＝ ｙ２－ｙ１ ｘ２－ｘ１ 可知，取ｘ１ ＝ｙ１ ＝０， 解得一组解可以是ｘ２ ＝－３，ｙ２ ＝槡３， 所以直线的一个方向向量可以是（－３，槡３）． ５．由直线ｌ的方程为：２ｘ＋３ｙ－１＝０， 得斜率ｋ＝ｔａｎθ＝－２３， 则ｓｉｎ（θ－π）· (ｓｉｎ π２ － )θ ＝－ｓｉｎθ·ｃｏｓθ＝－ｓｉｎθ·ｃｏｓθ１ ＝－ｓｉｎθ·ｃｏｓθ ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ ＝ －ｔａｎθ ｔａｎ２θ＋１ ＝ ( ２ ３ － )２３ ２ ＋１ ＝ ６１３． ６．由 (ｆ π４ ) (－ｘ ＝ｆ π４ )＋ｘ 知函数ｆ（ｘ）的图象关于 直线ｘ＝π４对称，所以ｆ（０） (＝ｆ π )２ ，所以ａ＝－ｂ．由直线ａｘ －ｂｙ＋ｃ＝０知其斜率ｋ＝ ａｂ ＝－１，所以直线的倾斜角为 ３π ４． ７．因为点（－１，２） (和 槡３３， )０ 在直线ｌ：ａｘ－ｙ＋１＝０（ａ≠ ０）的同侧，所以（－ａ－２＋１ (）· 槡３３ａ－０＋ )１ ＞０，即（ａ＋１）（ａ ＋槡３）＜０，所以－槡３＜ａ＜－１．又知直线ｌ的斜率ｋ＝ａ，即－槡３ ＜ｋ＜－１，又因为直线倾斜角范围是［０，π），所以直线ｌ的倾斜角 (的取值范围为 ２π３，３π)４ ． ８．ｍ（ｘ＋１）＋ｎ（ｙ＋２）＝０可化为ｍｘ＋ｎｙ＋ｍ＋２ｎ＝０， ① 要使ｌ与两坐标轴能围成三角形，则ｍｎ≠０且ｍ＋２ｎ≠０， 由①令ｘ＝０得ｙ＝－ｍ＋２ｎｎ ；令ｙ＝０得ｘ＝－ ｍ＋２ｎ ｍ ． 依题意， １ ２ (× －ｍ＋２ｎ)ｎ (× －ｍ＋２ｎ)ｍ ＝ １２ × ｍ２＋４ｍｎ＋４ｎ２ ｍｎ ＝ １ ２ × ｍ ｎ ＋ ４ｎ ｍ ＋４ ＝６， 所以 ｍ ｎ ＋ ４ｎ ｍ ＋４＝１２或 ｍ ｎ ＋ ４ｎ ｍ ＋４＝－１２， 所以 ｍ ｎ ＋ ４ｎ ｍ ＝８或 ｍ ｎ ＋ ４ｎ ｍ ＝－１６． 设ｔ＝ ｍｎ，则ｔ＋ ４ ｔ ＝８或ｔ＋ ４ ｔ ＝－１６， 则ｔ２－８ｔ＋４＝０或ｔ２＋１６ｔ＋４＝０， 解得ｔ＝４± 槡２３或ｔ＝－８± 槡２ １５， 即 ｍ ｎ ＝４± 槡２３或 ｍ ｎ ＝－８± 槡２ １５， 所以这样的直线有４条． 二、多项选择题 ９．ＡＣＤ；　１０．ＢＤ；　１１．ＡＣＤ． 提示： ９．由ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０可知直线斜率ｋ＝－ａｂ ＞０， 直线在ｙ轴上的截距ｙ＝－ ｃｂ ＜０，满足条件的只有（Ｂ）， 所以不可能是（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）． １０．对于（Ａ）项，当ｘ＝２，ｙ＝６时，代入直线方程后得６≠２ －８，所以点（２，６）不在直线ｌ上，故（Ａ）项错误； 对于（Ｂ）项，易得直线ｌ的斜率为ｋ＝１，所以ｕ＝（１，１）为 直线ｌ的一个方向向量，故（Ｂ）项正确； 对于（Ｃ）项，令ｘ＝０得ｙ＝－８，所以直线ｌ在ｙ轴上的截距 为 －８，故（Ｃ）项错误； 对于（Ｄ）项，易得向量ｖ＝（１，－１）与直线ｌ的方向向量垂 直，故（Ｄ）项正确．故选（Ｂ）（Ｄ）． １１．对于（Ａ），整理ｍｘ＋ｙ＋１－３ｍ＝０，得ｍ（ｘ－３）＋ｙ＋ １＝０，令 ｘ－３＝０， ｙ＋１＝０{ ，解得 ｘ＝３， ｙ＝－１{ ，所以直线ｌ恒过点（３，－１）， （Ａ）正确； 对于（Ｂ），可知所求直线的斜率存在且不为０，设为ｋ， 则它的方程为ｙ－１＝ｋ（ｘ－１）． 令ｘ＝０，得ｙ＝１－ｋ，即该直线在ｙ轴上的截距为１－ｋ； 令 ｙ＝０，得ｘ＝１－１ｋ，即该直线在ｘ轴上的截距为１－ １ ｋ． 因为该直线在ｘ，ｙ轴上的截距相 等，所以１－ｋ＝１－１ｋ，解得ｋ＝±１， 所以所求直线的方程为ｘ－ｙ＝ ０或ｘ＋ｙ－２＝０，（Ｂ）错误； 对于（Ｃ），点Ｂ关于 ｘ轴的对称 点为Ｂ′（－１，－１），连接ＡＢ′交ｘ轴于 点Ｐ０，点Ｐ是 ｘ轴上任意一点，连接 ＢＰ０，ＡＰ，ＢＰ，ＰＢ′，如图１． 于是｜ＰＡ｜＋｜ＰＢ｜＝｜ＰＡ｜＋｜ＰＢ′｜≥｜ＡＢ′｜＝｜ＡＰ０｜＋ ｜Ｂ′Ｐ０｜＝｜ＡＰ０｜＋｜ＢＰ０｜， 当且仅当点Ｐ与Ｐ０重合时，等号成立， 因此（｜ＰＡ｜＋｜ＰＢ｜）ｍｉｎ＝｜ＡＢ′｜＝ ３２＋４槡 ２ ＝５，（Ｃ）正确； 对于（Ｄ），直线ｌ与ｘ，ｙ轴的正半轴分别交于Ａ，Ｂ两点，可知 直线ｌ的斜率为负数，设直线ｌ：ｙ－２＝ｋ（ｘ－３），ｋ＜０， 令ｘ＝０，得ｙ＝２－３ｋ，令ｙ＝０，得ｘ＝３－２ｋ，可知２－３ｋ ＞０，３－２ｋ ＞０， 所以Ｓ△ＡＯＢ ＝ １ ２ ×（２－３ｋ (） ３－２ )ｋ ＝ [１２ （－９ｋ）＋ ４ －ｋ＋ ]１２ ≥ １２（ 槡２ ３６＋１２）＝１２， 当且仅当 －９ｋ＝ ４－ｋ，即ｋ＝－ ２ ３时，等号成立， 所以△ＡＯＢ面积的最小值为１２，（Ｄ）正确． 故选（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）． 三、填空题 １２．４；　１３．５；　１４．９１４． 提示： １２．设直线ＡＢ的倾斜角为α， 则直线ＡＢ的斜率ｋ＝ｔａｎα＝ｔａｎ４５°＝１， 又ｋ＝３ｍ－６２＋ｍ ＝１，解得ｍ＝４． １３．因为ｆ（２）＝ａ０＋１＝２，所以Ａ（２，２）； 由ｋｘ－ｙ＋２ｋ－１＝０得ｙ＋１＝ｋ（ｘ＋２），所以直线恒过定 点Ｂ（－２，－１），所以｜ＡＢ｜＝ （－２－２）２＋（－１－２）槡 ２ ＝５． １４．以Ｃ为原点，ＤＣ，ＢＣ边分别为ｘ轴，ｙ轴建立平面直角坐 标系，如图２，则Ｎ（－１２０，－８０），Ｍ（－６０，－２００）， Ｎ关 于 ｘ轴 的 对 称 点 为 Ｎ′（－１２０，８０），Ｎ′关于 ｙ轴的对称 点为Ｎ″（１２０，８０）， 直线ＭＮ″方向为本球射出方向， 故 (ｔａｎ π２ － )θ ＝８０＋２００１２０＋６０ ＝１４９，ｔａｎθ＝ ９ １４． 四、解答题 １５．解：（１）依题意，（－１，槡３）是直线ｌ的一个方向向量， 所以直线ｌ的斜率ｋ＝－槡３， 所以直线ｌ的倾斜角为１２０°． （２）直线的倾斜角是钝角，则直线斜率ｋＡＢ＝ ｍ－３ １－ｍ＋１＜０， 解得ｍ＜２或ｍ＞３． 所以实数ｍ的范围是（－∞，２）∪（３，＋∞）． １６．解：（１）由题图知点Ａ（６０，６），Ｂ（８０，１０）． 由直线方程的两点式可求得直线ＡＢ的方程是ｘ－５ｙ－３０＝０． （２）依题意，令ｙ＝０，解得ｘ＝３０，即旅客最多可免费携带 ３０千克的行李． １７．解：（１）由直线的两点式方程，得边 ＡＣ所在直线的方程 为 ｙ－４ ０－４＝ ｘ－０ －８－０，即ｘ－２ｙ＋８＝０． 由直线的两点式方程，得边 ＡＢ所在直线的方程为ｙ－４６－４＝ ｘ－０ －２－０，即ｘ＋ｙ－４＝０． （２）由题意，得点Ｄ的坐标为（－４，２）， 由直线的两点式方程，得中线ＢＤ所在直线的方程为ｙ－２６－２＝ ｘ－（－４） －２－（－４），即２ｘ－ｙ＋１０＝０． １８．解：（１）选择①：由题意可设直线ｌ２的方程为ｙ－１＝ｋ（ｘ＋４）， 因为直线ｌ２的斜率是直线ｙ＝－ １ ４ｘ的斜率的２倍， 所以ｋ＝－１２， 所以直线ｌ２的方程为ｙ－１＝－ １ ２（ｘ＋４），即ｘ＋２ｙ＋２＝０． 选择②：由题意可设直线ｌ２的方程为 ｘ ２ｍ＋ ｙ ｍ ＝１，ｍ≠０， 因为直线ｌ２过点Ａ（－４，１），所以 －４ ２ｍ＋ １ ｍ ＝１，解得ｍ＝－１． 所以直线ｌ２的方程为 ｘ －２＋ ｙ －１＝１，即ｘ＋２ｙ＋２＝０． （２）由（１）可知直线ｌ２的方程为ｘ＋２ｙ＋２＝０， 令ｙ＝０，可得ｘ＝－２，所以直线ｌ２在ｘ轴上的截距为 －２， 所以直线ｌ１在ｘ轴上的截距为 －２． 故直线ｌ１过点（－２，０），代入ａｘ＋２ｙ－１２＝０，得 －２ａ＋２× ０－１２＝０，解得ａ＝－６． １９．（１）证明：由ｋｘ－ｙ＋２＋３ｋ＝０可得：ｋ（ｘ＋３）＋２－ｙ＝０， 由 ｘ＋３＝０， ２－ｙ＝０{ ，可得 ｘ＝－３， ｙ＝２{ ，所以ｌ经过定点Ｐ（－３，２）， 即直线ｌ过定点（－３，２），且定点在第二象限， 所以无论ｋ取何值，直线ｌ始终经过第二象限． （２）解：设直线ｌ的倾斜角为α，则０＜α＜ π２， 可得｜ＰＡ｜＝ ２ｓｉｎα ，｜ＰＢ｜＝ ３ｃｏｓα ， 书 １７．解：（１）设圆Ｐ的方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０，则由已知 得 １２＋０２＋Ｄ＋０＋Ｆ＝０， ４２＋０２＋４Ｄ＋０＋Ｆ＝０， ６２＋（－２）２＋６Ｄ－２Ｅ＋Ｆ＝０ { ， 解得 Ｄ＝－５， Ｅ＝７， Ｆ＝４ { ． 故圆Ｐ的方程为ｘ２＋ｙ２－５ｘ＋７ｙ＋４＝０． （２）由圆的对称性可知，圆心Ｐ的横坐标为１＋４２ ＝ ５ ２， 故圆心 (Ｐ ５２， )２ ，故圆Ｐ的半径为ｒ＝｜ＡＰ｜ (＝ １－ )５２ ２ ＋（０－２）槡 ２ ＝ ５２， 故圆Ｐ (的标准方程为 ｘ－ )５２ ２ ＋（ｙ－２）２ ＝２５４． １８．解：（１）设圆的标准方程为（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２＝ｒ２， 得到圆心坐标为（ａ，ｂ），半径为ｒ， 将Ａ与Ｂ的坐标代入圆方程得： （－１－ａ）２＋（１－ｂ）２ ＝ｒ２， （－２－ａ）２＋（－２－ｂ）２ ＝ｒ２， 消去ｒ，整理得ａ＋３ｂ＋３＝０， ① 将圆心坐标代入ｘ＋ｙ－１＝０得ａ＋ｂ－１＝０， ② 联立①②解得ａ＝３，ｂ＝－２， ｒ２ ＝（－１－３）２＋（１＋２）２ ＝２５， 则圆Ｃ的标准方程为（ｘ－３）２＋（ｙ＋２）２ ＝２５． （２）设Ｎ（ｘ１，ｙ１），Ｇ（ｘ，ｙ）， 因为线段ＭＮ的中点是Ｇ， 所以由中点公式得 ｘ１＋３ ２ ＝ｘ， ｙ１＋４ ２ { ＝ｙ ｘ１ ＝２ｘ－３，ｙ１ ＝２ｙ－４{ ． 因为Ｎ在圆Ｃ上，所以（２ｘ－６）２＋（２ｙ－２）２ ＝２５， 即（ｘ－３）２＋（ｙ－１）２ ＝２５４， 所以点Ｇ的轨迹方程是（ｘ－３）２＋（ｙ－１）２ ＝２５４． １９．解：（１）设Ｐ（ｘ，ｙ），则｜ＰＡ｜２＝（ｘ＋１）２＋ｙ２，｜ＰＢ｜２ ＝（ｘ－３）２＋ｙ２， 所以 ｜ＰＡ｜ ｜ＰＢ｜＝ （ｘ＋１）２＋ｙ槡 ２ （ｘ－３）２＋ｙ槡 ２ ＝ １３， 则９（ｘ＋１）２＋９ｙ２ ＝（ｘ－３）２＋ｙ２， 整理得曲线Ｃ的方程为ｘ２＋３ｘ＋ｙ２ ＝０． （２）由（１）得曲线Ｃ为圆，即Ｃ (： ｘ＋ )３２ ２ ＋ｙ２ ＝ ９４． 设其关于直线ｘ＋ｙ－２＝０对称的圆的圆心为（ｘ，ｙ）， 则 ｘ－３２ ２ ＋ ｙ ２ －２＝０， ｙ ｘ＋３２ ＝１{ ， 解得 ｘ＝２，ｙ＝ ７２{ ． 所以曲线Ｃ关于直线ｘ＋ｙ－２＝０对称的曲线方程为（ｘ－ ２）２ (＋ ｙ－ )７２ ２ ＝ ９４． （３） (由点 ５２， )３ 到圆心Ｃ的距离为 (ｄ＝ ５２ ＋ )３２ ２ ＋（３－０）槡 ２ ＝５． 因为圆Ｃ的半径ｒ＝ ３２， (所以点 ５２， )３ 到圆Ｃ的最短距离为ｄ－ｒ＝５－３２ ＝ ７２ ＞３，故在圆Ｃ上不存在点Ｄ，使得Ｄ (到点 ５２， )３ 的距离为３． 第４期２版 专项小练一 １．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｂ．　４．ｘ－ｙ－２＝０；　５．２． ６．解：已知圆的圆心为（０，０），半径为槡２， 圆心到直线的距离ｄ＝｜ｂ｜ 槡２ ． 当ｄ＜槡２，即 －２＜ｂ＜２时，直线与圆相交； 当ｄ＝槡２，即ｂ＝±２时，直线与圆相切； 当ｄ＞槡２，即ｂ＜－２或ｂ＞２时，直线与圆相离． 专项小练二 １．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ａ．　４．４ｘ＋３ｙ－２＝０；　５．外切． ６．解：设所求圆的圆心为Ｐ（ａ，ｂ）， 所以 （ａ－４）２＋（ｂ＋１）槡 ２ ＝１． ① （１）若两圆外切，则有 （ａ－２）２＋（ｂ＋１）槡 ２ ＝１＋２＝３． ② 由①②，解得ａ＝５，ｂ＝－１， 所以所求圆的方程为（ｘ－５）２＋（ｙ＋１）２ ＝１． （２）若两圆内切，则有 （ａ－２）２＋（ｂ＋１）槡 ２ ＝２－１＝１． ③ 由①③，解得ａ＝３，ｂ＝－１， 所以所求圆的方程为（ｘ－３）２＋（ｙ＋１）２ ＝１． 综上，可知所求圆的方程为（ｘ－５）２＋（ｙ＋１）２＝１或（ｘ－ ３）２＋（ｙ＋１）２ ＝１． 第４期３，４版 直线与圆、圆与圆的位置关系同步核心素养测评 一、单项选择题 １～４　ＣＤＤＡ　５～８　ＣＢＡＤ 提示： ２．两圆的圆心分别为：Ａ（３，－２），Ｂ（７，１）， 半径分别为：ｒ＝２，Ｒ＝６， 两圆心距为：｜ＡＢ｜＝ （７－３）２＋（１＋２）槡 ２ ＝５， 而Ｒ－ｒ＜｜ＡＢ｜＜Ｒ＋ｒ，所以两圆相交． ３．由题意可得圆心Ｃ（１，－４）到直线ｌ的距离ｄ≤５， 即 ｜３－４×（－４）＋ｍ｜ ５ ≤５，解得ｍ∈［－４４，６］． ４．因为圆Ｏ上恰有三个点到直线ｌ的距离等于１， 所以圆心Ｏ（０，０）到直线ｌ：ｙ＝ｘ＋ｂ的距离ｄ＝１， 所以 ｜ｄ｜ 槡２ ＝１，解得：ｂ＝槡２或ｂ＝－槡２． ５．设这１００个圆的半径从小到大依次为ｒ１，ｒ２，…，ｒ１００， 则由题知，ｒ２１ ＝１． 因为每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为 ２，即ｒ２２－ｒ２１ ＝１，ｒ２３－ｒ２２ ＝１，…，ｒ２９９－ｒ２９８ ＝１，ｒ２１００－ｒ２１００ ＝１， 即 ｒ２２ ＝１＋ｒ２１＝２，ｒ２３＝１＋ｒ２２＝３，…，ｒ２１００＝１＋ｒ２９９＝１００， 所以ｒ１００ ＝１０． ６．如图１，拱形桥ＡＣＢ， 以ＡＢ所在的直线为ｘ轴，以线段 ＡＢ的垂直平分线为ｙ轴，建立平面直 角坐标系，则 Ａ（－１０，０），Ｂ（１０，０）， Ｃ（０，５），圆心在ｙ轴上，设为Ｅ（０，ｂ）， 则有 ｜ＡＥ ｜＝｜ＣＥ ｜， 即 １００＋ｂ槡 ２ ＝｜５－ｂ｜， 整理可得２ｂ＋１５＝０，解得ｂ＝－１５２， 所以圆心为 (Ｅ ０，－１５)２ ，半径为｜ＣＥ｜＝｜５－ｂ｜＝２５２， 所以圆的方程为ｘ２ (＋ ｙ＋１５)２ ２ ＝６２５４． 设Ｄ（ａ，３），则有ａ２ (＋ ３＋１５)２ ２ ＝６２５４，解得ａ＝槡４６． 所以要使小船通过圆拱桥，船宽最长为 槡２ ４６． 因为６５＜槡４６＜７，所以１３＜ 槡２ ４６＜１４， 所以船宽最长约为１３米． ７．当射线 ＯＰ绕 Ｏ点从 ｘ轴正半轴逆时针匀速旋转到射线 ＯＣ时，所扫过的内部图形面积在变大，而且根据图２显示，变化 量ΔＳ也在变大； 当射线ＯＰ绕Ｏ点从射线ＯＣ逆时针匀速旋转到ｙ轴正半轴 时，所扫过的内部图形面积在变大，而且根据图３显示，变化量 ΔＳ在变小，综合选项可得，选项（Ａ）符合． ８．设Ｇ为△Ａ１Ａ２Ａ３的重心， 则Ａ１Ｂ → ｉ＋Ａ２Ｂ → ｉ＋Ａ３Ｂ → ｉ＝Ａ１ → Ｇ＋ＧＢ→ ｉ＋Ａ２→ Ｇ＋ＧＢ→ ｉ＋Ａ３→ Ｇ＋ＧＢ→ ｉ ＝３ＧＢ→ ｉ， 因为｜Ａ１Ｂ → ｉ＋Ａ２Ｂ → ｉ＋Ａ３Ｂ → ｉ｜＝ｉ，所以｜ＧＢ → ｉ｜＝ ｉ ３ ＝ｒｉ，即 Ｂｉ在以点Ｇ为圆心，ｒｉ＝ ｉ ３为半径的圆上面． 设点Ｇ与坐标原点重合， 则｜Ｂ１Ｂ２｜＋｜Ｂ２Ｂ３｜＋｜Ｂ３Ｂ４｜≥ｒ４ －ｒ１ ＝ ４ ３ － １ ３ ＝１，当且仅当Ｂ１，Ｂ２， Ｂ３都在线段ＯＢ４上时，等号成立， 又｜Ｂ１Ｂ２｜＋｜Ｂ２Ｂ３｜＋｜Ｂ３Ｂ４｜≤ｒ１ ＋ｒ２＋ｒ２＋ｒ３＋ｒ３＋ｒ４ ＝ １ ３ ＋ ２ ３ ×２ ＋１×２＋４３ ＝５，当且仅当Ｂ１，Ｏ，Ｂ２在线段Ｂ３Ｂ４上面，且Ｂ１在 线段ＯＢ３上，Ｂ２在线段ＯＢ４上时，等号成立． 综上所述，｜Ｂ１Ｂ２｜＋｜Ｂ２Ｂ３｜＋｜Ｂ３Ｂ４｜的取值范围为［１，５］． 二、多项选择题 ９．ＡＢＤ；　１０．ＡＢ；　１１．ＢＣＤ． 提示： ９．对于（Ａ），因为两个圆相交，所以有两条公切线，正确； 对于（Ｂ），将两圆方程作差可得 －２ｘ＋２ｙ－２＝０，即得公共 弦ＡＢ的方程为ｘ－ｙ＋１＝０，正确； 对于（Ｃ），直线ＡＢ经过圆Ｏ２的圆心（０，１），所以线段 ＡＢ是 圆Ｏ２的直径，故圆Ｏ２中不存在比ＡＢ长的弦，错误； 对于（Ｄ），圆Ｏ１的圆心坐标为（１，０），半径为２，圆心到直线 ＡＢ：ｘ－ｙ＋１＝０的距离为｜１＋１｜ 槡２ ＝槡２，所以圆Ｏ１上的点到直 线ＡＢ的最大距离为２＋槡２，正确． １０．对于（Ａ），将直线ｌ的方程变形为ｘ＋２－ｍ（ｙ＋１）＝０， 由 ｘ＋２＝０， ｙ＋１＝{ ０可得 ｘ＝－２， ｙ＝－１{ ， 所以直线ｌ过定点（－２，－１），（Ａ）正确； 对于（Ｂ），Ｃ被ｌ截得的弦长最长时，直线ｌ过圆心Ｃ（５，１）， 则７－２ｍ＝０，解得ｍ＝ ７２，（Ｂ）正确； 对于（Ｃ），圆Ｃ的圆心为Ｃ（５，１），半径为ｒ＝２， 当直线ｌ与Ｃ相切时，则｜７－２ｍ｜ １＋ｍ槡 ２ ＝２， 解得ｍ＝４５２８，（Ｃ）错； 对于（Ｄ），由（Ｃ）可知，直线 ｌ与 Ｃ相切时只有一种情况， （Ｄ）错． １１．设圆心为Ｃ，则Ｃ（－２，－５）， 圆的半径为５，所以圆与ｘ轴相切． 设切点为 Ｐ，则 Ｐ（－２，０），连接 ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ，ＭＣ，则｜ＰＭ｜＝６， 因为∠ＭＰＡ＝∠ＭＢＰ，∠ＰＭＡ＝ ∠ＢＭＰ，所以△ＭＰＡ∽△ＭＢＰ， 所以｜ＰＭ｜２＝｜ＭＡ｜｜ＭＢ｜＝３６． 设ＡＢ的中点为Ｎ，连接ＣＮ， 则ＣＮ⊥ＡＢ， 设圆心Ｃ到直线ＡＢ的距离ｄ，则０≤ｄ＜５， ｜ ＭＣ ｜＝ （４＋２）２＋５槡 ２ ＝ 槡６１， ｜ ＭＮ ｜＝ ｜ＭＣ｜２－ｄ槡 ２ ＝ ６１－ｄ槡 ２， ｜ＭＡ｜＋｜ＭＢ｜＝２｜ＭＡ｜＋｜ＡＢ｜＝２｜ＭＡ｜＋２｜ＡＮ｜＝ ２｜ＭＮ｜＝２ ６１－ｄ槡 ２， 因为 ２ ｜ＭＱ｜＝ １ ｜ＭＡ｜＋ １ ｜ＭＢ｜＝ ｜ＭＡ｜＋｜ＭＢ｜ ｜ＭＡ｜｜ＭＢ｜＝ ｜ＭＮ｜ １８ ， 所以｜ＭＱ｜＝ ３６｜ＭＮ｜＝ ３６ ６１－ｄ槡 ２ ， 因为０≤ｄ＜５，所以 槡３６ ６１ 槡６１ ≤｜ＭＱ｜＜６．故选（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）． 三、填空题 １２．６０°／π３；　１３．２；　１４．－槡２． 提示： １２．如图６，圆心（０，０）到直线槡３ｘ＋ ｙ－ 槡２ ３ ＝ ０的 距 离：｜ＯＤ｜＝ ｜槡２３｜ （槡３）２＋槡 １ ＝槡３，所以弦长： ｜ＡＢ｜＝２ ２２－（槡３）槡 ２ ＝２， 所以△ＯＡＢ为等边三角形，所以 ∠ＡＯＢ＝６０°． １３．圆Ｃ：ｘ２＋ｙ２－２ｙ＝０的圆心为（０，１），半径为１，因为四 边形 ＰＡＣＢ的面积 Ｓ＝ＰＡ·ＡＣ ＝ ＰＣ２－ＡＣ槡 ２·ＡＣ ＝ ＰＣ２－槡 １，而Ｓ最小值为２，所以ＰＣ的最小值为槡５，即圆心（０， １）到直线ｌ的距离｜０＋１＋４｜ ｋ２＋槡 １ ＝槡５，解得ｋ＝２． １４．圆Ｃ１：ｘ２＋ｙ２＋２ａｘ＋ａ２－４＝０的圆心Ｃ１（－ａ，０），半 径ｒ１ ＝２， 圆Ｃ２：ｘ２＋ｙ２－２ｂｙ－１＋ｂ２＝０的圆心Ｃ２（０，ｂ），半径ｒ２＝１， 由两个圆只有一条公切线可得两个圆内切，圆心距｜Ｃ１Ｃ２｜ ＝ ａ２＋ｂ槡 ２ ＝２－１＝１，可得ａ２＋ｂ２ ＝１． 设ａ＝ｃｏｓα，ｂ＝ｓｉｎα，ａ∈Ｒ， 所以ａ＋ｂ＝槡 (２ｓｉｎ α＋π )４ ∈［－槡２，槡２］， 当且仅当α＋π４ ＝－ π ２ ＋２ｋπ，ｋ∈Ｚ时， 即α＝－３４π＋２ｋπ，ｋ∈Ｚ时，ａ＋ｂ的最小值为 －槡２． 四、解答题 由于版面有限，解答题答案见报纸． ! ! " !"#$%&'()*+,-./012!3+ "#$ 4 ! 5"6$3&'(7*+,-.8012!3+ "#$ 4 !"#$ !"#$ ! " # $ ! % & ! ! $! $" ' ( ' " ! #$! $" ) % & ' # ! " $" $ $ $ $ $ $ $ $ (*+#'(& (*#'$" ( ! " ' , ) , ) # ( ! !! ' ! ) # & " ( ! ! " ! ! ' " ( ) ' " ( ) ! # ' ( ) ! ' - ! $ " # % ' ) , ( ! & ' # & ! ) ( ! % 书 所以 １ ２｜ＰＡ｜＋ １ ３｜ＰＢ｜＝ １ ｓｉｎα ＋ １ｃｏｓα ＝ｓｉｎα＋ｃｏｓαｓｉｎαｃｏｓα ． 令ｔ＝ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝槡 (２ｓｉｎ α＋π )４ ， 因为０＜α＜ π２，可得 π ４ ＜α＋ π ４ ＜ ３π ４， 槡２ ２ ＜ (ｓｉｎ α＋ π )４ ≤１，则ｔ＝槡 (２ｓｉｎ α＋π )４ ∈（１，槡２］． 将ｔ＝ｓｉｎα＋ｃｏｓα两边平方可得：ｔ２＝（ｓｉｎα＋ｃｏｓα）２ ＝ １＋２ｓｉｎα·ｃｏｓα，所以ｓｉｎαｃｏｓα＝ｔ ２－１ ２ ，所以 １ ２｜ＰＡ｜＋ １ ３｜ＰＢ｜ ＝ｓｉｎα＋ｃｏｓαｓｉｎαｃｏｓα ＝ ２ｔ ｔ２－１ ＝ ２ ｔ－１ｔ ， 因为ｙ＝ｔ－１ｔ在（１，槡２］上单调递增， 所以０＜ｔ－１ｔ≤ 槡２ ２， 故ｙ＝ １ ｔ－１ｔ ≥槡２，所以 ２ ｔ－１ｔ ≥ 槡２２，当且仅当ｔ＝槡２时 取等号，此时ｔ＝槡 (２ｓｉｎ α＋π )４ ＝槡２， 可得α＝ π４，所以ｋ＝ｔａｎα＝ｔａｎ π ４ ＝１， 所以直线ｌ的方程为ｘ－ｙ＋５＝０． 第２期２版 专项小练一 １．ＡＢＤ；　２．Ｄ；　３．Ｂ．　４．４；　５．垂直． ６．解：因为ｋＡＣ ＝ ２＋ 槡２２－２ ２－４ ＝－槡２， ｋＢＣ ＝ ２－ 槡２２－２ ０－４ ＝ 槡２ ２， 则ｋＡＣ·ｋＢＣ ＝－槡２×槡 ２ ２ ＝－１， 所以ＡＣ⊥ＢＣ．故△ＡＢＣ是直角三角形． 专项小练二 １．ＡＤ；　２．Ｃ；　３．Ｃ．　４．（－４，３）；　５．－３． ６．解：（１）解方程组 ３ｘ－ｙ＋４＝０， ｘ＋３ｙ＋２＝０{ ，得 ｘ＝－７５， ｙ＝－１５ { ， 所以这两条直线相交， (交点坐标是 －７５，－ )１５ ． （２）ｌ２：９ｘ－１５ｙ＋３０＝０可化为方程３ｘ－５ｙ＋１０＝０， 所以 ３ｘ－５ｙ＋１０＝０， ９ｘ－１５ｙ＋３０＝{ ０有无数多个解， 故ｌ１：３ｘ－５ｙ＋１０＝０与ｌ２：９ｘ－１５ｙ＋３０＝０重合． 专项小练三 １．Ｂ；　２．ＢＣＤ；　３．Ａ．　４．２或 －４；　５． 槡１２５５ ． ６．解：（１）由点到直线的距离公式可得 ｄ＝｜３×３－４×（－２）－１｜ ３２＋（－４）槡 ２ ＝１６５． （２）由直线ｙ＝６与ｘ轴平行，得ｄ＝｜６－（－２）｜＝８． （３）ｄ＝｜３｜＝３． 第２期３版 §１．４～§１．６同步核心素养测评 一、单项选择题 １～４　ＢＣＡＤ　５～８　ＡＢＢＡ 提示： １．因为 ｘ＋ｙ－５＝０， ３ｘ＋ｙ－３＝{ ０的解为 ｘ＝－１， ｙ＝６{ ，所以集合Ａ∩Ｂ中 的元素是两直线的交点（－１，６），即Ａ∩Ｂ＝｛（－１，６）｝． ２．由 ２ｘ＋ｙ－４＝０， ｘ－ｙ－２＝０{ ， ｘ＝２， ｙ＝０{ ，即两直线交点坐标为（２，０）， 代入ｋｘ－ｙ＋３＝０得：２ｋ－０＋３＝０ｋ＝－３２． 故选：（Ｃ）． ３．直线ｌ１：ｙ＝３ａｘ－２过定点Ａ（０，－２），直线ｌ２：ａ（２ｘ＋５ｙ） －（ｘ＋１）＝０过定点 (Ｂ －１， )２５ ， 所以｜ＡＢ｜＝ （－１－０）２ [＋ ２５ －（－２ ]）槡 ２ ＝１３５． ４．设Ｍ（ｘ，ｙ），且Ｍ１ → Ｍ ＝ ３２ＭＭ → ２， 则（ｘ－６，ｙ－２）＝ ３２（１－ｘ，７－ｙ）， 得 ｘ－６＝ ３２（１－ｘ）， ｙ－２＝ ３２（７－ｙ { ），解得 ｘ＝３，ｙ＝５{ ， 代入直线ｙ＝ｍｘ－７，得５＝３ｍ－７，解得ｍ＝４． ５．△ＡＢＣ的顶点为 Ａ（０，０），Ｂ（４，０），Ｃ（３，槡３），所以重心 (Ｇ ７３，槡３)３ ．设△ＡＢＣ的外心为Ｗ（２，ａ），则｜ＡＷ｜＝｜ＷＣ｜，即 ２２＋ａ槡 ２ ＝ （３－２）２＋（槡３－ａ）槡 ２，解得 ａ＝０，所以 Ｗ（２， ０），则该三角形的欧拉线即直线ＧＷ，其方程为ｙ－０＝ 槡３ ３ －０ ７ ３ －２ （ｘ －２），化简得槡３ｘ－ｙ－ 槡２３＝０． ６．当ｘ≥０时，由 －ａ｜ｘ｜＝－ａ＋ｘ可得，－ａｘ＝－ａ＋ｘ， 当ａ≠－１时，解得ｘ＝ ａａ＋１； 当ｘ＜０时，由 －ａ｜ｘ｜＝－ａ＋ｘ可得，ａｘ＝－ａ＋ｘ， 解得ｘ＝－ ａａ－１， 所以 ａ ａ＋１≥０， － ａａ－１＜０ { ，其中ａ＜０，解得ａ＜－１． ７．因为直线ｙ＝ｋｘ＋２０２３的斜率存在，所以ｘ１≠ｘ２， 由题意 ｙ１ ＝ｋｘ１＋２０２３， ｙ２ ＝ｋｘ２＋２０２３ { ， 则ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１ ＝ｘ１（ｋｘ２ ＋２０２３）－ｘ２（ｋｘ１ ＋２０２３）＝ ２０２３（ｘ１－ｘ２）≠０， 故ｌ１：ｘ１ｘ＋ｙ１ｙ＝１与ｌ２：ｘ２ｘ＋ｙ２ｙ＝１相交， 所以方程组总有唯一解，（Ａ），（Ｄ）错误，（Ｂ）正确； 若 ｘ＝１， ｙ＝{ ２是方程组的一组解，则 ｘ１＋２ｙ１ ＝１， ｘ２＋２ｙ２ ＝１ { ， 则点 Ｐ１（ｘ１，ｙ１），Ｐ２（ｘ２，ｙ２）在直线ｘ＋２ｙ＝１，即ｙ＝－ １ ２ｘ＋ １ ２上， 但已知这两个点在直线ｙ＝ｋｘ＋２０２３上，而这两条直线不是 同一条直线，所以 ｘ＝１， ｙ＝{ ２不可能是方程组的一组解，（Ｃ）错误． ８．由题意，联立两直线方程 ｙ＝ｘ＋２， ｙ＝ｋｘ－４{ ，化简得（ｋ－１）ｘ＝６， ｋ－１＝－６，即ｋ＝－５时，ｘ＝－１，ｙ＝１； ｋ－１＝－３，即ｋ＝－２时，ｘ＝－２，ｙ＝０； ｋ－１＝－２，即ｋ＝－１时，ｘ＝－３，ｙ＝－１； ｋ－１＝－１，即ｋ＝０时，ｘ＝－６，ｙ＝－４； ｋ－１＝１，即ｋ＝２时，ｘ＝６，ｙ＝８； ｋ－１＝２，即ｋ＝３时，ｘ＝３，ｙ＝５； ｋ－１＝３，即ｋ＝４时，ｘ＝２，ｙ＝４； ｋ－１＝６，即ｋ＝７时，ｘ＝１，ｙ＝３． 所以ｋ的值可以取８个，选项（Ａ）正确． 二、多项选择题 ９．ＡＣ；　１０．ＡＢＤ；　１１．ＢＣＤ． 提示： ９．联立方程 ｘ＋ｙ－３＝０， ｙ＝ｋｘ＋３ｋ－２{ ，解得 ｘ＝５－３ｋｋ＋１， ｙ＝６ｋ－２ｋ＋１ { ， 因为两直线的交点在第四象限， 所以 ５－３ｋ ｋ＋１ ＞０， ６ｋ－２ ｋ＋１ ＜０ { ，解得 －１＜ｋ＜ １３．故选（Ａ）（Ｃ）． １０．对于（Ａ）项，当ｋ＝０时，直线ｌ２的方程为ｘ＝０，此时直 线ｌ２的倾斜角为 π ２，故（Ａ）项正确； 对于（Ｂ）项，当ｋ＝－１２时，直线ｌ２的方程为ｘ－ｙ－１＝０， 与ｌ１重合，此时两直线有公共点； 当ｋ≠－１２时，有１×ｋ－（－１）×（ｋ＋１）＝２ｋ＋１≠０， 即ｌ１，ｌ２一定相交． 综上所述，对任意的实数ｋ，直线ｌ１与直线ｌ２都有公共点，故 （Ｂ）项正确； 对于（Ｃ）项，由（Ｂ）可知，当ｋ＝－１２时，直线ｌ２与ｌ１重合， 故（Ｃ）项错误； 对于（Ｄ）项，要使直线ｌ１与直线ｌ２垂直，则应有ｋ＋１－ｋ＝ ０，该方程无解，所以对任意的实数ｋ，直线ｌ１与直线ｌ２都不垂直， 故（Ｄ）项正确．故选（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）． １１．若是三条直线两两相交，且交点不重合，则这三条直线把 平面分成７部分； 如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成立： （１）直线ａｘ＋２ｙ＋８＝０过另外两条直线的交点． 由４ｘ＋３ｙ＝１０和２ｘ－ｙ＝１０的交点是（４，－２）， 代入解得：ａ＝－１； （２）直线ａｘ＋２ｙ＋８＝０分别与另外两条直线平行． 当ａｘ＋２ｙ＋８＝０与４ｘ＋３ｙ＝１０平行时， 有 ａ ４ ＝ ２ ３≠ ８ －１０，解得ａ＝ ８ ３； 当ａｘ＋２ｙ＋８＝０与２ｘ－ｙ＝１０平行时， 有 ａ ２ ＝ ２ －１≠ ８ －１０，解得ａ＝－４．故选（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）． 三、填空题 １２． 槡７ １０２０ ；　１３．槡２５；　１４．１． 提示： １２．由两直线平行可得ｍ＝２． 直线３ｘ＋ｙ－３＝０变形为６ｘ＋２ｙ－６＝０， 所以距离为ｄ＝ ｜１＋６｜ ６２＋２槡 ２ ＝ 槡７ １０２０ ． １３．设Ｂ关于直线ｙ＝ １３ｘ的对称点为Ｂ′（ｘ０，ｙ０）， 则 ｙ０－２ ｘ０－１ ＝－３， ｙ０＋２ ２ ＝ １ ３ × ｘ０＋１ ２ { ，解得Ｂ′（２，－１）． 由平面几何知识得 ｜ＡＣ｜＋｜ＢＣ｜的最小值即是｜Ｂ′Ａ｜＝ （２＋２）２＋（－１－１）槡 ２ ＝ 槡２５． １４．直线ｌ１：ｍｘ－ｙ＋ｍ＝０，即ｍ（ｘ＋１）－ｙ＝０，恒过定点 （－１，０），直线ｌ３：（ｍ＋１）ｘ－ｙ＋（ｍ＋１）＝０，即ｍ（ｘ＋１）＋ｘ －ｙ＋１＝０，也恒过定点（－１，０）， 所以直线ｌ１与ｌ３相交于定点Ａ（－１，０）． 由 ｘ＋ｍｙ－ｍ（ｍ＋１）＝０， （ｍ＋１）ｘ－ｙ＋（ｍ＋１）＝０{ ，解得 ｘ＝０， ｙ＝ｍ＋１{ ，可知 直线ｌ２与直线ｌ３相交于点Ｂ（０，ｍ＋１）． 由题可得直线ｌ１与直线ｌ２相互垂直，所以△ＡＢＣ是Ｃ为直角 的直角三角形． 因为点Ａ到 ｌ２：ｘ＋ｍｙ－ｍ（ｍ＋１）＝０的距离 ｜ＡＣ｜＝ ｜－１－ｍ（ｍ＋１）｜ １＋ｍ槡 ２ ＝ｍ ２＋ｍ＋１ １＋ｍ槡 ２ ，点Ｂ到ｌ１：ｍｘ－ｙ＋ｍ＝０的 距离｜ＢＣ｜＝｜－ｍ－１＋ｍ｜ ｍ２＋槡 １ ＝ １ ｍ２＋槡 １ ， 所以△ＡＢＣ的面积Ｓ＝ １２｜ＡＣ｜｜ＢＣ｜＝ １ ２× ｍ２＋ｍ＋１ ｍ２＋１ ＝ (１２ １＋ ｍｍ２＋ )１ ， ｍ＜０时，△ＡＢＣ的面积不可能取到最大值； ｍ＝０时，Ｓ＝ １２； ｍ＞０时， ｍ ｍ２＋１ ≤ ｍ ２ ｍ槡 ２ ＝ １２，当且仅当ｍ＝１时，等号 成立，此时Ｓｍａｘ＝ (１２ １＋ )１２ ＝ ３４． 综上，当ｍ＝１时，△ＡＢＣ的面积Ｓ取得最大值 ３４． 四、解答题 １５．解：如图１，设Ｐ（０，３）点关于 直线ｘ－ｙ＋１＝０的对称点的坐标为 Ｐ′（ａ，ｂ）， 则 ａ ２ － ｂ＋３ ２ ＋１＝０， ｂ－３ ａ ＝－１ { ， 解得ａ＝２，ｂ＝１， 所以Ｐ′（２，１）． 设Ｑ（－２，３），Ｎ为直线ｘ－ｙ＋１＝０上的点， 则｜ＰＮ｜＝｜ＰＮ′｜．则 ｜ＱＮ｜＋｜ＰＮ｜＝｜ＱＮ｜＋｜Ｐ′Ｎ｜≥ ｜ＱＰ′｜，当且仅当Ｑ，Ｎ，Ｐ′三点共线时取等号． 而｜ＱＰ′｜＝ （－２－２）２＋（３－１）槡 ２ ＝ 槡２５， 所以最短总路程为 槡２５． １６．解：（１）由 ２ｘ－ｙ＋３＝０， ３ｘ－ｙ＋２＝０{ ，解得 ｘ＝１， ｙ＝５{ ， 即两直线的交点坐标为（１，５）． 则直线经过点（１，５）和（２，３）， 由两点式方程得， ｙ－３ ５－３＝ ｘ－２ １－２， 化简得所求直线方程为２ｘ＋ｙ－７＝０． （２）由３ｘ＋ｙ－１＝０可得直线的斜率为 －３， 故平行于直线３ｘ＋ｙ－１＝０的直线的斜率为 －３， 结合（１）问可知：两条直线ｙ＝２ｘ＋３与３ｘ－ｙ＋２＝０的交 点为（１，５）， 由点斜式方程得，ｙ－５＝－３（ｘ－１）， 书 化简得所求直线方程为３ｘ＋ｙ－８＝０． １７．解：因为Ａ，Ｂ两点纵坐标不相等， 所以ＡＢ与ｘ轴不平行，而ＡＢ⊥ＣＤ， 所以ＣＤ与ｘ轴不垂直，则 －ｔ≠３，即ｔ≠－３． ①当ＡＢ与ｘ轴垂直时，－ｔ－３＝－２ｔ－４， 解得ｔ＝－１，此时Ｃ，Ｄ的纵坐标均为 －１， 所以ＣＤ∥ｘ轴，此时ＡＢ⊥ＣＤ，满足题意． ②当ＡＢ与ｘ轴不垂直时，由斜率公式 ｋＡＢ ＝ ４－２ －２ｔ－４－（－ｔ－３）＝－ ２ ｔ＋１， ｋＣＤ ＝ ３ｔ＋２－ｔ ３－（－ｔ）＝ ２（ｔ＋１） ｔ＋３ ， 因为ＡＢ⊥ＣＤ，所以ｋＡＢ·ｋＣＤ ＝－１， 即 － ２ｔ＋１· ２（ｔ＋１） ｔ＋３ ＝－１，解得ｔ＝１， 综上，ｔ的值为１或 －１． １８．解：（１）设ＡＢ边的垂直平分线所在的直线为ｌ， 由题可知ｋＡＢ ＝ ５－３ ２－１＝２，则ｋｌ＝－ １ ２， 又可知ＡＢ (的中点坐标为 ３２， )４ ， 所以ｌ的方程为ｙ－４＝－ (１２ ｘ－ )３２ ， 即ｙ＝－１２ｘ＋ １９ ４． （２）设Ｂ关于直线ｘ－ｙ＋３＝０的对称点Ｍ的坐标为（ａ，ｂ）， 则 ｂ－３ ａ－１＝－１， １＋ａ ２ － ３＋ｂ ２ ＋３＝０ { ，解得 ａ＝０，ｂ＝４{ ，所以Ｍ（０，４）， 由题可知Ａ，Ｍ两点都在直线ＡＣ上， 所以直线ＡＣ的斜率为５－４２－０＝ １ ２， 所以直线ＡＣ的方程为ｙ－４＝ １２（ｘ－０）， 所以ＡＣ所在直线的方程为ｘ－２ｙ＋８＝０． １９．解：显然四边形ＡＢＣＤ为等腰梯形， 因为ａ＞０，根据等腰梯形的对称性可知：当ｂ＞１或ｂ≤０时 不符合题意，所以０＜ｂ≤１． 当ａ＝ １２，ｂ＝１时，设直线ＥＣ：ｙ＝ １ ２ｘ＋１与ｙ轴的交点 Ｆ（０，１），根据等腰梯形的对称性可知符合题意； 当ａ＞１２，ｂ＝１时，设直线ｙ ＝ａｘ＋１与梯形上、下底分别交于 Ｍ，Ｎ，如图２， 因为三角形 ＭＣＦ与三角形 ＮＥＦ全等， 所以直线ｙ＝ａｘ＋ (１ ａ＞ )１２ 将四边形ＡＢＣＤ分割为面积 相等的两部分； 当０＜ａ＜ １２时，设直线ｙ＝ｂ与ｙ轴交于Ｇ点，与梯形的 两腰交于Ｑ，Ｐ， 由题直线ｙ＝ａｘ＋ｂ（ａ＞０） 将四边形ＡＢＣＤ分割为面积相等 的两部分，则设该直线与梯形的 两腰交于Ｋ，Ｈ．如图３， 可知：直线ＡＤ：ｙ＝ｘ＋４，ＢＣ： ｙ＝４－ｘ， 联立 ｙ＝ｘ＋４， ｙ＝ａｘ＋ｂ{ ，解得 ｘ＝４－ｂａ－１， ｙ＝４ａ－ｂａ－１ { ，即 (Ｋ ４－ｂａ－１，４ａ－ｂａ－ )１ ， 同理可得：Ｑ（ｂ－４，ｂ）， (Ｈ ４－ｂａ＋１，４ａ＋ｂａ＋ )１ ，Ｐ（４－ｂ，ｂ）． 由题意可得：Ｓ梯形ＡＢＰＱ －Ｓ△ＧＱＫ＋Ｓ△ＨＧＰ ＝ １ ２Ｓ梯形ＡＢＣＤ， 即 （８＋８－２ｂ）ｂ ２ － １ ２（４－ｂ (） ｂ－４ａ－ｂａ－ )１ ＋ １２（４－ ｂ (） ４ａ＋ｂａ＋１ )－ｂ ＝６， 整理得ａ２ ＝ｂ ２－８ｂ＋６ －１０ (∈ ０， )１４ ，且０＜ｂ≤１， 解得４－槡１０＜ｂ≤１． 综上所述：ｂ的取值范围是（４－槡１０，１］． 第３期２版 专项小练一 １．Ｂ；　２．Ｂ；　３．Ｃ．　４．（ｘ－２）２＋（ｙ＋１）２ ＝１；　５．４． ６．解：设圆（ｘ－３）２＋ｙ２ ＝９的圆心为Ｃ， 则Ｃ（３，０），圆的半径为３． 因为Ｐ为弦ＭＮ的中点，所以ｋＣＰ·ｋＭＮ ＝－１． 又ｋＣＰ ＝ １－０ １－３＝－ １ ２，所以ｋＭＮ ＝２． 所以直线ＭＮ的方程为ｙ－１＝２（ｘ－１）， 即２ｘ－ｙ－１＝０． 专项小练二 １．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｄ．　４．ｘ－ｙ＋１＝０；　５．（－∞，－１３）． ６．解：（１）因为ｘ２＋ｙ２ ＝０，所以ｘ＝０且ｙ＝０． 即方程表示一个点（０，０）． （２）原方程可化为（ｘ－１）２＋（ｙ－１）２ ＝５． 即方程表示圆心为（１，１），半径为槡５的圆． （３）原方程可化为（ｘ＋ａ）２＋（ｙ＋ｂ）２ ＝ａ２＋ｂ２， 当ａ＝ｂ＝０时，方程表示一个点（０，０）， 当ａ２＋ｂ２≠ ０时，方程表示圆心为（－ａ，－ｂ），半径为 ａ２＋ｂ槡 ２的圆． 第３期３，４版 圆的标准方程与一般方程同步核心素养测评 一、单项选择题 １～４　ＢＡＤＣ　５～８　ＢＣＢＡ 提示： １．方程ｘ２＋ｙ２－６ｘ＝０可化为（ｘ－３）２＋ｙ２＝９，所以圆心 坐标为（３，０），半径为槡９＝３． ２．由题意知动点Ｐ的轨迹是以（１，３）为圆心，２为半径的圆， 结合图形可知该圆经过第一、二象限． ３．因为以Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）为直径的两端点的圆的方程 为（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）＋（ｙ－ｙ１）（ｙ－ｙ２）＝０， 所以有（ｘ＋１）（ｘ－５）＋（ｙ－２）（ｙ＋６）＝０（ｘ２－４ｘ）＋ （ｙ２＋４ｙ）－１７＝０（ｘ－２）２＋（ｙ＋２）２ ＝２５． ４．由题意知Ｃ（６，－８），｜ＯＣ｜＝ ６２＋（－８）槡 ２ ＝１０．所以 以ＯＣ为直径的圆的半径为５，圆心为（３，－４），故所求圆的方程 为（ｘ－３）２＋（ｙ＋４）２ ＝２５． ５．把原圆的方程写成标准方程为（ｘ－２）２＋（ｙ＋３）２＝１０， 由于两圆共圆心，可设另一个圆方程为（ｘ－２）２＋（ｙ＋３）２＝ｒ２， 把ｘ＝１，ｙ＝－１代入所设方程，得（１－２）２＋（－１＋３）２＝ｒ２， 所以ｒ２＝５，所以所求的圆的方程为（ｘ－２）２＋（ｙ＋３）２＝５，化 简为ｘ２＋ｙ２－４ｘ＋６ｙ＋８＝０． ６．由题意知，满足条件的点Ｐ在平面内所组成的图形的面积 是以６为半径的圆的面积减去以２为半径的圆的面积，即３２π． ７．（３λ＋１）ｘ＋（２λ＋１）ｙ＝５λ＋２整理为（３ｘ＋２ｙ－５）λ＋ ｘ＋ｙ－２＝０， 令 ３ｘ＋２ｙ－５＝０， ｘ＋ｙ－２＝０{ ， 解得 ｘ＝１， ｙ＝１{ ， 所以定点Ｐ的坐标为Ｐ（１，１）， 代入圆的方程中（１＋２）２＋（１＋ １）２ ＞４，所以Ｐ（１，１）在圆外． 设圆Ｃ的半径为ｒ＝２，所以｜ＭＰ｜ 的最大值应该为｜ＰＣ｜＋ｒ（如图１）， 又｜ＰＣ｜＝ （－２－１）２＋（－１－１）槡 ２ ＝槡１３， 所以｜ＭＰ｜的最大值为槡１３＋２． ８．由题易得，Ｐ在两圆外，则｜ＰＭ｜的最小值为｜ＰＣ１｜－１， 同理｜ＰＮ｜的最小值为｜ＰＣ２｜－３，则｜ＰＭ｜＋｜ＰＮ｜的最小值 为｜ＰＣ１｜＋｜ＰＣ２｜－４．作 Ｃ１（２，３）关于 ｘ轴的对称点 Ｃ′１（２， －３）（图略），所以｜ＰＣ１｜＋｜ＰＣ２｜＝｜ＰＣ′１｜＋｜ＰＣ２｜≥｜Ｃ′１Ｃ２｜＝ 槡５２（当且仅当Ｃ′１，Ｐ，Ｃ２三点共线时，｜ＰＣ′１｜＋｜ＰＣ２｜取最小值）， 即（｜ＰＭ｜＋｜ＰＮ｜）ｍｉｎ＝（｜ＰＣ１｜＋｜ＰＣ２｜）ｍｉｎ－４＝ 槡５２－４． 二、多项选择题 ９．ＡＣ；　１０．ＡＣＤ；　１１．ＡＤ． 提示： ９．（Ａ）中，由ｘ２＋ｙ２－２ｘ＋４ｙ－４＝０， 得（ｘ－１）２＋（ｙ＋２）２ ＝９， 所以圆Ｃ的半径为３，其面积为π·３２ ＝９π，正确； （Ｂ）中，将ｘ２＋ｙ２－２ｙ＝０化为标准方程为 ｘ２＋（ｙ－１）２ ＝１，故圆心为（０，１），错误； （Ｃ）中，圆心坐标为（－１，－１）， ｜ＡＢ｜＝ ４＋槡 １６＝ 槡２５，ｒ＝槡５， 所以以线段ＡＢ为直径的圆的方程为 （ｘ＋１）２＋（ｙ＋１）２ ＝５，正确； （Ｄ）中，由圆Ｃ：（ｘ－２）２＋（ｙ＋４）２ ＝５， 可得圆Ｃ的圆心坐标为（２，－４），半径为槡５， 则｜ＯＣ｜＝ ２２＋（－４）槡 ２ ＝ 槡２５， 所以｜ＰＯ｜的最小值为｜ＯＣ｜－槡５＝槡５，错误． １０．依题意，１２ＡＢ·ＡＢ·ｓｉｎ π ３ ＝ 槡３ ４ＡＢ ２ ＝ 槡１２３， 解得ＡＢ＝ 槡４３．设ＡＢ边的中点为Ｄ， 则点Ｍ在ＣＤ上，且ＤＢ＝ 槡４３２ ＝ 槡２３， 且ＤＭ＝２，点Ｎ在以Ｍ为圆心，１为半径的圆上， →ＮＡ·→  ＮＢ＝（→ →ＮＤ＋ＤＡ）·（→ →  ＮＤ＋ＤＢ） ＝（→ＮＤ）２－（→  ＤＢ）２ →＝｜ＮＤ｜２－１２． 结合图形２可知 →｜ＮＤ｜ｍｉｎ＝２－１＝ １， →｜ＮＤ｜ｍａｘ＝２＋１＝３， 故→ＮＡ·→  ＮＢ∈［－１１，－３］． １１．选项（Ａ）：设ｙ＝ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ｘ， 因为ｆ（－ｘ）＝（－ｘ）３＋（－ｘ）＝－ｘ３－ｘ＝－ｆ（ｘ）， 所以函数ｙ＝ｘ３＋ｘ是奇函数，它的图象将圆Ｏ：ｘ２＋ｙ２＝１ 的周长与面积分别等分，如图３所示， 所以函数ｙ＝ｘ３＋ｘ是圆Ｏ的一个太极函数，故（Ａ）正确； 选项（Ｃ）：如图４所示：函数ｙ＝ｇ（ｘ）是偶函数，ｙ＝ｇ（ｘ）也 是圆Ｏ的一个太极函数，故（Ｃ）不正确； 选项（Ｂ）：根据选项（Ｃ）的分析，圆 Ｏ的太极函数可以是偶 函数不一定关于原点对称，故（Ｂ）不正确； 选项（Ｄ）：因为ｙ＝ｓｉｎｘ是 奇函数，所以它的图象将圆 ｘ２ ＋ｙ２ ＝１的周长与面积同时等 分，如图５所示，因此函数 ｙ＝ ｓｉｎｘ是圆 Ｏ的一个太极函数， 故（Ｄ）正确． 三、填空题 １２．（－２，１）；　１３．（－∞，１）； １４．（ｘ－４）２＋（ｙ－２）２＝１０（去掉（３，５），（５，－１）两点）． 提示； １２．由题意得ｍ２＋１＝３ｍ－１，解得ｍ＝１或２． 当ｍ＝１时，方程为ｘ２＋ｙ２＋４ｘ－２ｙ＋５２ ＝０，即（ｘ＋２） ２ ＋（ｙ－１）２ ＝ ５２，圆心为（－２，１）； 当ｍ＝２时，方程为５ｘ２＋５ｙ２＋８ｘ－４ｙ＋１０＝０， (即 ｘ＋ )４５ ２ (＋ ｙ－ )２５ ２ ＝－６５，不表示圆． 故圆心坐标是（－２，１）． １３．圆的方程变为（ｘ＋１）２＋（ｙ－２）２ ＝５－ａ， 所以其圆心为（－１，２），且５－ａ＞０，即ａ＜５． 又圆关于直线ｙ＝２ｘ＋ｂ成轴对称， 所以２＝－２＋ｂ，所以ｂ＝４． 所以ａ－ｂ＝ａ－４＜１．故答案为（－∞，１）． １４．设Ｃ（ｘ，ｙ），｜ＡＢ｜＝ （３－４）２＋（５－２）槡 ２ ＝槡１０， 因为△ＡＢＣ是以ＢＣ为底边的等腰三角形， 所以｜ＣＡ｜＝｜ＡＢ｜＝槡１０， 即点Ｃ的轨迹是以Ａ为圆心，槡１０为半径的圆． 又点Ａ，Ｂ，Ｃ构成三角形，即三点不可共线， 则轨迹中需去掉点 Ｂ（３，５）及点 Ｂ关于点 Ａ对称的点（５， －１），所以点Ｃ的轨迹方程为（ｘ－４）２＋（ｙ－２）２＝１０（去掉（３， ５），（５，－１）两点）． 四、解答题 １５．解：设圆心坐标为（ａ，－２ａ＋３），则圆的半径 ｒ＝ （ａ－０）２＋（－２ａ＋３－０）槡 ２ ＝ ５ａ２－１２ａ＋槡 ９＝ (５ ａ－ )６５ ２ ＋槡 ９ ５．当ａ＝ ６ ５时，ｒｍｉｎ＝ 槡３５ ５． (故所求圆的方程为 ｘ－ )６５ ２ (＋ ｙ－ )３５ ２ ＝ ９５． １６．解：如图６，以ＡＢ所在直线为ｘ轴， 弦ＡＢ的垂直平分线为ｙ轴，建立平面直角 坐标系．设圆弧的圆心为Ｃ，连接ＡＣ， 则ＡＯ＝ １２ｌ＝６， 所 以 ＯＣ ＝ ＡＣ２－ＯＡ槡 ２ ＝ ２９２－６槡 ２≈２８３７３， 即圆心的坐标为Ｃ（０，－２８３７３）， 所以圆弧 ) ＡＢ的方程为ｘ２＋（ｙ＋２８３７３）２＝２９２（－６≤ｘ≤ ６，ｙ≥０）． ! ! ! " !"#$ !"#$ !"#$%&'()*+,-./012!3+ "#$ 4 5"6$3&'(7*+,-.8012!3+ "#$ 4 !! " ! " #$" $! # # " ! $! $ $%&%!&' ! & ' ! ! $ ! # & ( ) ! ! $ * # + , ! - ( . " / &01 & ! # $ * # 2 ( . & ) 3 4 ! " 5 *.2 3 ) ( ! " $# &0$ # 6$ & ! # $# & &07!$" ! ( $ # &0)*+ $ & ! , ! - ( 8 * $ # 2 & 书 一、求倾斜角或斜率 直线的斜率和倾斜角是直线的重要性质之一，在 高考中主要考查基本概念的理解和在各种不同条件下 的相互转化，试题难度为中、低档题居多．要求同学们 理解直线的倾斜角和斜率的概念、过两点的直线斜率 的计算公式；理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能 根据直线的倾斜角求出直线的斜率． 例 １已知两点 Ａ（－２， －３），Ｂ（３，０），过点 Ｐ（－１， ２）的直线与线段 ＡＢ始终有 公共点，则直线ｌ的斜率 ｋ的 取值范围是 ． 分析：本题的本质即为 求过Ｐ点的直线和线段ＡＢ有 交点，那么由数形结合知直 线ＰＡ的斜率和直线ＰＢ的斜率为所求斜率范围的两个 边界点值． 解：如图所示，直线ＰＡ的斜率 ｋ１ ＝ ２－（－３） －１－（－２）＝５， 直线ＰＢ的斜率ｋ２ ＝ ０－２ ３－（－１）＝－ １ ２． 当直线ｌ由ＰＡ变化到与ｙ轴平行的位置ＰＣ时，它 的倾斜角由锐角α（ｔａｎα＝５）增至９０°，斜率的变化范 围是［５，＋∞）；当直线ｌ由ＰＣ变化到ＰＢ位置时，它的 倾斜角由９０°增至 (β ｔａｎβ＝－ )１２ ，斜率的变化范围 (是 －∞，－ ]１２ ． 所以直线ｌ (斜率的变化范围是 －∞，－ ]１２ ∪ ［５，＋∞）． 二、求直线的方程 掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、截距 式、两点式及一般式）的特点与适用范围；能根据问题 的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线 方程的斜截式与一次函数的关系．求直线方程要正确 的选择直线方程的形式，不同的方程有不同的限制条 件，尤其是用点斜式、斜截式求方程时要注意对斜率存 在性的讨论；用截距式时要注意对截距是否为０进行讨 论．在未作具体要求的情况下，最后的结果都要整理成 一般形式． 例２直线ｌ过点Ｐ（－２，３），且分别交ｘ轴、ｙ轴于Ａ， Ｂ两点，若点Ｐ恰为线段ＡＢ的中点，求直线ｌ的方程． 分析：由已知直线过一点且和两轴相交，可得直线 斜率存在，由点斜式可求直线方程，即求出斜率ｋ即可． 解：设直线ｌ的斜率为ｋ，又直线ｌ过点Ｐ（－２，３）， 所以直线ｌ的方程为ｙ－３＝ｋ（ｘ＋２）． 令ｘ＝０得ｙ＝２ｋ＋３；令ｙ＝０得ｘ＝－３ｋ－２， 所以 Ａ，Ｂ两点的坐标分别为 (Ａ －３ｋ －２， )０ ， Ｂ（０，２ｋ＋３）． 因为ＡＢ的中点为（－２，３）， 所以 －３ｋ－２＋０ ２ ＝－２， ０＋２ｋ＋３ ２ ＝３ { ， 解得ｋ＝ ３２． 所以直线ｌ的方程为ｙ－３＝３２（ｘ＋２），整理成一 般式为３ｘ－２ｙ＋１２＝０． 三、直线的平行关系和垂直关系的应用 要求理解能根据两条直线的斜率判定这两条直线 平行或垂直． 例３ａ为何值时，（１）直线２ｘ＋３ａｙ－１＝０与直线 （４ａ－１）ｘ－２ａｙ－ａ＝０平行？ （２）直线３ｘ＋２ａｙ＝２与直线２ａｘ＋３ｙ＝１垂直？ 分析：方程中 ｙ的系数中含有字母参数时，则应就 字母等于０和不等于０两种情况去讨论． 解：（１）当ａ≠０时，由题意知， 当 －２３ａ＝ ４ａ－１ ２ａ 且 １ ３ａ≠－ ａ ２ａ， 即ａ＝－１１２时，两直线平行； 当ａ＝０时，两直线分别为ｘ＝１２和ｘ＝０，也符合 题意． 故当ａ＝－１１２，或ａ＝０时，两直线平行． （２）当ａ≠０时，直线３ｘ＋２ａｙ＝２的斜率 ｋ１ ＝ －３２ａ，直线２ａｘ＋３ｙ＝１的斜率ｋ２＝－ ２ａ ３，当ｋ１ｋ２＝－１ 时两直线垂直．而ｋ１ｋ２ ＝－ ３ ２ａ (× －２ａ)３ ＝－１无解， 所以ａ≠０时两直线不可能垂直；当ａ＝０时，两直线分 别为ｘ＝ ２３和ｙ＝ １ ３，显然垂直． 故当ａ＝０时，两直线垂直． 四、求两直线的交点 要求理解二元一次方程组的解与两直线的交点坐 标之间的关系，体会数形结合思想，能用解方程组的方 法求两直线的交点坐标． 例４已知直线ｌ１：２ｘ－３ｙ＋１０＝０，ｌ２：３ｘ＋４ｙ－２＝ ０，则经过ｌ１和ｌ２的交点，且与直线ｌ３：３ｘ－２ｙ＋４＝０垂 直的直线ｌ的方程为 ． 分析：两直线有交点，即两直线有公共点，就是联 立ｌ１，ｌ２的方程，即方程组的解就是交点坐标，再由直线 垂直关系求斜率，由点斜式可求直线方程． 解：解方程组 ２ｘ－３ｙ＋１０＝０， ３ｘ＋４ｙ－２＝０{ ， 得交点坐标为（－２，２）． 又由ｌ⊥ｌ３，且ｋ３ ＝ ３ ２，得到ｋ＝－ ２ ３， 所以直线ｌ的方程为ｙ－２＝－２３（ｘ＋２）， 即２ｘ＋３ｙ－２＝０． 五、距离公式的应用 要求理解两点间的距离公式和点到直线的距离公 式及其简单应用；会求两条平行直线间的距离． 例５（１）两平行直线ｌ１：３ｘ－２ｙ－１＝０和ｌ２：３ｘ－ ２ｙ＋１＝０之间的距离为 ． （２）过点Ｐ（１，２）引直线，使点Ａ（２，３），Ｂ（４，－５） 到它的距离相等，求此直线的方程． 分析：（１）求两平行直线间的距离，可在两条直线 中任选一条，在其上任取一点，再代入点到直线的距离 公式，所求的点线距即为线线距． （２）可将过点Ｐ的直线ｌ的方程设出来，利用点到 直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可，同时不 要忘记考虑直线斜率是否存在． 解：（１）在直线ｌ１上任意取一点 (Ａ ０，－ )１２ ，则点 Ａ到直线ｌ２的距离，即是所求的两平行线间的距离ｄ＝ －２ (× － )１２ ＋１ ３２＋２槡 ２ ＝ 槡２ １３１３ ． 所以两平行直线ｌ１与ｌ２之间的距离为 槡 ２ １３ １３ ． （２）此直线过定点，只要求出斜率ｋ即可． ①当斜率不存在时，直线与ｘ轴垂直，方程为 ｘ＝ １．显然Ａ，Ｂ两点到此直线的距离不等，与所求矛盾． ②当斜率存在时，根据题意有ｙ－２＝ｋ（ｘ－１）， 整理成一般形式为ｋｘ－ｙ＋２－ｋ＝０． 因为点Ａ（２，３）、点Ｂ（４，－５）到它的距离相等， 所以 ｜２ｋ－３＋２－ｋ｜ ｋ２＋槡 １ ＝｜４ｋ＋５＋２－ｋ｜ ｋ２＋槡 １ ． 所以｜ｋ－１｜＝｜３ｋ＋７｜． 所以ｋ－１＝３ｋ＋７，或ｋ－１＝－（３ｋ＋７）． 解得ｋ＝－４，或ｋ＝－３２． 所以所求直线方程为４ｘ＋ｙ－６＝０，或３ｘ＋２ｙ－ ７＝０． 书 １８．（１７分）（２０２４大石桥市第三高级中学期中）在 △ＡＢＣ中，Ａ（２，５），Ｂ（１，３）． （１）求ＡＢ边的垂直平分线所在的直线方程； （２）若∠ＢＡＣ的角平分线所在的直线方程为ｘ－ｙ ＋３＝０，求ＡＣ所在直线的方程． １９．（１７分）（２０２４四川雅安阶段检测）已知点 Ａ（－４，０），Ｂ（４，０），Ｃ（２，２），Ｄ（－２，２），直线 ｙ＝ａｘ＋ ｂ（ａ＞０）将四边形ＡＢＣＤ分割为面积相等的两部分，求 ｂ的取值范围． 书 学习数学是需要通过做一定的练习，不断积累知识 与方法，从而更加深刻地理解概念和学会灵活运用基本 理论解决问题．因此在平时的学习中可以针对一个问 题，从多角度进行分析，争取寻找更多的解决方法，从而 达到上述目的．下面以一道直线相交题为例进行多解研 究． 例 一条直线ｌ被两直线ｌ１：３ｘ－ｙ＋１＝０，ｌ２：２ｘ＋ｙ －６＝０截得的线段的中点恰好是坐标原点，则该直线方 程为 ． 解法一：（方程法） 设所求直线ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ， 与ｌ１，ｌ２的交点分别是Ａ，Ｂ， 则由 ｙ＝ｋｘ， ３ｘ－ｙ＋１＝０{ ，解得 (Ａ １ｋ－３， ｋｋ－ )３ ； 由 ｙ＝ｋｘ， ２ｘ＋ｙ－６＝０{ ，解得 (Ｂ ６ｋ＋２，６ｋｋ＋ )２ ． 于是 １ ｋ－３＋ ６ ｋ＋２＝０，解得ｋ＝ １６ ７． 所以直线ｌ的方程为ｙ＝１６７ｘ， 即１６ｘ－７ｙ＝０． 解法回眸：本解法是最常规的一种解法，即根据题 意设出所求直线方程，然后通过解方程组求得两个交点 的坐标，再利用中点坐标公式建立方程求得直线斜率 ｋ 的值，进而求得直线方程，但整个过程的计算量比较大． 解法二：（坐标法） 设所求直线ｌ与ｌ１，ｌ２的交点分别是Ａ，Ｂ， 则由条件知Ａ，Ｂ关于原点对称． 由于点Ａ在直线ｌ１：３ｘ－ｙ＋１＝０上， 所以设点Ａ坐标（ａ，３ａ＋１）， 则点Ｂ的坐标为（－ａ，－３ａ－１）， 代入ｌ２的方程得２（－ａ）＋（－３ａ－１）－６＝０， 解得ａ＝－７５，故 (Ａ －７５，－１６)５ ． 所以直线ｌ的方程为ｙ－０＝ －１６５－０ －７５－０ （ｘ－０）， 即１６ｘ－７ｙ＝０． 解法回眸：本解法紧紧抓住交点及对称关系，通过 设出交点的坐标，充分利用点在直线上建立方程求得交 点的坐标，进而求得直线方程，整个过程运算量比较小． 解法三：（结构分析法） 设所求直线ｌ与ｌ１，ｌ２的交点分别是Ａ，Ｂ， 设Ａ（ｘ０，ｙ０），则Ｂ点坐标为（－ｘ０，－ｙ０）． 因为Ａ，Ｂ分别在ｌ１，ｌ２上， 所以 ３ｘ０－ｙ０＋１＝０， －２ｘ０－ｙ０－６＝０ { ， ① ② ① ×６＋②得１６ｘ０－７ｙ０ ＝０， 即点Ａ在直线１６ｘ－７ｙ＝０上． 又直线１６ｘ－７ｙ＝０过原点， 即原点Ｏ和Ａ点确定的直线方程为１６ｘ－７ｙ＝０． 所以直线ｌ的方程为１６ｘ－７ｙ＝０． 解法回眸：本解法主要是抓住所求直线上的两个 点，利用这两个点的坐标满足结构相同的方程，然后抽 象出所求直线的方程． 书 一、巧求函数最值 函数的最值问题一直是我们学习的难点，尤其当 函数中含有两个根式时，更是难上加难，而学习中，我 们应“明知山有虎，偏向虎山行”． 例１求函数ｙ＝ ｘ２＋６ｘ＋槡 ７３＋ ｘ ２－４ｘ＋槡 ８的 最小值． 巧转妙解： 将原函数变形为 ｙ＝ （ｘ＋３）２＋（０－８）槡 ２ ＋ （ｘ－２）２＋（０－２）槡 ２，并理解为点（ｘ，０）到（－３，８） 与（２，２）距离之和，易得最小值即为点（－３，８）关于 ｘ 轴的对称点（－３，－８）与点（２，２）之间的距离，为５槡５． 所以原函数的最小值为５槡５． 赋诗一首： 稀奇稀奇真稀奇，两个根式坐一起．根式里面是二 次，二次里面藏秘密．合理变形看仔细，原是两点间距 离．数形结合来分析，对称思想显神奇． 二、巧证不等式 不等式的证明也是我们学习的一个难点，目前还 没有学到．没学到的问题一定不能解决吗？关于这个问 题，我们来看下面一道例题． 例２已知 ａ，ｂ，ｃ，ｄ都是实数，求证： ａ２＋ｂ槡 ２ ＋ ｃ２＋ｄ槡 ２≥ （ａ－ｃ）２＋（ｂ－ｄ）槡 ２． 巧转妙解： 从题目的外表形式观察到，要证的结论的右端与 平面上两点间的距离公式很相似，而左端可看作是点 到原点的距离公式． 不妨设Ａ（ａ，ｂ），Ｂ（ｃ，ｄ）， 如图２所示，则 ｜ＡＢ｜＝ （ａ－ｃ）２＋（ｂ－ｄ）槡 ２， ｜ＯＡ｜＝ ａ２＋ｂ槡 ２， ｜ＯＢ｜＝ ｃ２＋ｄ槡 ２． 在△ＯＡＢ中，由三角形三边之间的关系知 ｜ＯＡ｜＋｜ＯＢ｜＞｜ＡＢ｜． 当且仅当线段ＡＢ过原点Ｏ时， ｜ＯＡ｜＋｜ＯＢ｜＝｜ＡＢ｜． 故 ａ２＋ｂ槡 ２ ＋ ｃ２＋ｄ槡 ２ ≥ （ａ－ｃ）２＋（ｂ－ｄ）槡 ２． 赋诗一首： 三个根式来“结义”，三个“距离”显本质．一张图 形现眼前，一目了然明道理．三角形与不等式，原来它 们有关系！有了关系好证题，披荆斩棘夺胜利！ ! " # $!%"&# '!(")$ % ! * " + &"#""$$ &"#"$$ &!"!$ % % ! !" # $ ! %& '() 书 一、应注意两种方法探究两条直线的位置关系 １．从“斜率”判断入手：两条直线ｌ１：ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１，ｌ２： ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２的位置关系：①ｌ１∥ｌ２ｋ１＝ｋ２，ｂ１≠ｂ２；②ｌ１ ⊥ｌ２ｋ１·ｋ２＝－１．当两条直线的斜率都不存在时，两条 直线也平行；当两条直线的一条斜率不存在，另一条的 斜率为０时，这两条直线也垂直． ２．从“系数比”判断入手：用“系数比”判断两条直 线ｌ１：Ａ１ｘ＋Ｂ１ｙ＋Ｃ１＝０，ｌ２：Ａ２ｘ＋Ｂ２ｙ＋Ｃ２＝０的位置 关系：①平行Ａ１Ｂ２－Ａ２Ｂ１ ＝０（斜率）且Ｂ１Ｃ２－Ｂ２Ｃ１ ≠０（在ｙ轴上截距）；②相交Ａ１Ｂ２－Ａ２Ｂ１≠０；③重合 Ａ１Ｂ２－Ａ２Ｂ１＝０且Ｂ１Ｃ２－Ｂ２Ｃ１＝０；④垂直Ａ１Ａ２＋ Ｂ１Ｂ２ ＝０． 二、应注意直线的交点和对应方程组解的一一对应 关系 １．感悟数与形的完美统一：要注意理解直线的交点 坐标与对应方程组解的一一对应关系． ２．两直线的交点求法：求两直线 Ａ１ｘ＋Ｂ１ｙ＋Ｃ１ ＝ ０（Ａ１Ｂ１≠０）与Ａ２ｘ＋Ｂ２ｙ＋Ｃ２＝０（Ａ２Ｂ２≠０）的交点坐 标， 只 需 求 两 直 线 方 程 联 立 所 得 方 程 组 Ａ１ｘ＋Ｂ１ｙ＋Ｃ１ ＝０， Ａ２ｘ＋Ｂ２ｙ＋Ｃ２ ＝ { ０的解即可． ３．方程组的解与两直线位置关系的对应情况：①方程 组有唯一解 ｌ１与 ｌ２相交；② 方程组无解 ｌ１∥ ｌ２； ③方程组有无数个解ｌ１与ｌ２重合． 三、应注意两个距离公式中的数形结合思想 １．两点间的距离公式：两点 Ｐ１（ｘ１，ｙ１），Ｐ２（ｘ２，ｙ２） 间的距离｜Ｐ１Ｐ２｜＝ （ｘ２－ｘ１） ２＋（ｙ２－ｙ１）槡 ２． ２．点到直线的距离公式：点 Ｐ（ｘ０，ｙ０）到直线 Ａｘ＋ Ｂｙ＋Ｃ＝０的距离ｄ＝ ｜Ａｘ０＋Ｂｙ０＋Ｃ｜ Ａ２＋Ｂ槡 ２ ． 特别注意： ①公式１，形助数，认识斜线段在两坐标轴上的射 影，利用勾股定理可推导和记忆公式； ②公式２中的距离是垂直距离； ③运用公式２时，直线方程先化为一般形式，且公 式中分子必须带绝对值符号． !"#$ %&' ()*+,-./ ! 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" LM¸¼¹]½¾ LM¸¹€¿ ¡eÀÁ LM¸¹ÂƇ“”Ä–½Å ÆYZ9Ç[“”•–CDB. [ÈÉÊCD>ËÌÍ }ÎÏAÐÑB.ÒX>89!$+"&"&:*;g ^ÓÔX>%!+!,' !"#$%&'()*+,'-. ! !Í ˆ²Õ )*+%,-.ËÌÍ /01 )*.Ö×Ø 1 % , -.ÙÚÛ 1 ) *.Ü Ý 1 ) *.Þ ß , - 2 3 4.Ù à 5 6 2 3 4.Ùáâ , 7 8 3 9.ã ä , 7 8 : ;.åæç 'èé ê ë ìRí î ï ðñò óôõ îöá ÷ æ øùí úûÌ êüý @üþ óÌÿ !ß/ "#ë $ ò %&' '() <4,-. 'èé <4=>. %&' ?@,-. ó*+ AB,-. ,-. CDEF. /0Õ 书 １．（多选）下列说法错误的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ａ）如果两条直线平行，则它们的斜率相等 （Ｂ）如果两条直线垂直，则它们的斜率互为负倒数 （Ｃ）如果两条直线斜率互为负倒数，则它们垂直 （Ｄ）如果直线的斜率不存在，则这条直线一定平 行于ｙ轴 ２．直线ｌ１，ｌ２的倾斜角分别为α１，α２，且ｌ１⊥ｌ２，则 （　　） （Ａ）α１－α２ ＝９０° （Ｂ）α２－α１ ＝９０° （Ｃ）α１ ＝α２ （Ｄ）｜α１－α２｜＝９０° ３．已知四点Ａ（－ｍ，０）， (Ｂ ０，－ｍ )３ ， (Ｃ －ｎ３， )０ ， Ｄ（０，ｎ）（ｍ≠０，ｎ≠０），则直线ＡＢ和ＣＤ的位置关系 是 （　　） （Ａ）平行 （Ｂ）垂直 （Ｃ）相交但不垂直 （Ｄ）与ｍ，ｎ的取值有关 ４．经过点Ｐ（－２，－１），Ｑ（３，ａ）的直线与一倾斜 角是４５°的直线平行，则ａ＝ ． ５．直线ｌ１，ｌ２的斜率是方程ｘ ２－３ｘ－１＝０的两根， 则ｌ１与ｌ２的位置关系是 ． ６．已知△ＡＢＣ的三个顶点分别是Ａ（２，２＋ 槡２２）， Ｂ（０，２－ 槡２２），Ｃ（４，２），试判断△ＡＢＣ的形状． １．（多选）下列选项中，正确的有 （　　） （Ａ）直线ｌ１：ｘ－ｙ＋２＝０和ｌ２：２ｘ＋ｙ－５＝０的 交点坐标为（１，３） （Ｂ）直线ｌ１：ｘ－２ｙ＋４＝０和ｌ２：２ｘ－４ｙ＋８＝０ 的交点坐标为（２，１） （Ｃ）直线ｌ１：２ｘ＋ｙ＋２＝０和ｌ２：ｙ＝２ｘ＋３的交 点坐标为（－２，２） （Ｄ）直线ｌ１：ｘ－２ｙ＋１＝０和ｌ２：ｙ＝ｘ，ｌ３：２ｘ＋ｙ －３＝０两两相交 ２．已知集合 Ａ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ＋ｙ－４＝０｝，Ｂ＝ ｛（ｘ，ｙ）｜２ｘ－ｙ－５＝０｝，则Ａ∩Ｂ＝ （　　） （Ａ）｛１，３｝　　　　　 （Ｂ）｛（１，３）｝ （Ｃ）｛（３，１）｝　　　 （Ｄ） ３．过直线ｌ１：ｘ－２ｙ＋４＝０与直线ｌ２：ｘ＋ｙ＋１＝ ０的交点，且过原点的直线方程为 （　　） （Ａ）２ｘ＋ｙ＝０ （Ｂ）２ｘ－ｙ＝０ （Ｃ）ｘ＋２ｙ＝０ （Ｄ）ｘ－２ｙ＝０ ４．（２０２４甘肃武威课时训练）直线３ｘ＋２ｙ＋６＝０ 和２ｘ＋５ｙ－７＝０的交点坐标为 ． ５．（２０２４江苏宿迁阶段测试）已知直线ｌ１：ａｘ＋ｙ＋ １＝０与ｌ２：２ｘ－ｂｙ－１＝０相交于点Ｍ（１，１），则ａ－ ｂ＝ ． ６．（２０２４山西课时作业）判断下列直线是否相交， 若相交，求出交点的坐标． （１）ｌ１：３ｘ－ｙ＋４＝０，ｌ２：ｘ＋３ｙ＋２＝０； （２）ｌ１：３ｘ－５ｙ＋１０＝０，ｌ２：９ｘ－１５ｙ＋３０＝０． １．点（０，５）到直线２ｘ－ｙ＝０的距离是 （　　） （Ａ）槡５２ （Ｂ）槡５ （Ｃ）３２　　 （Ｄ） 槡５ ４ ２．（多选）对于 ｘ２＋２ｘ＋槡 ５，下列说法正确的是 （　　） （Ａ）可看作点（ｘ，０）与点（１，２）的距离 （Ｂ）可看作点（ｘ，０）与点（－１，－２）的距离 （Ｃ）可看作点（ｘ，０）与点（－１，２）的距离 （Ｄ）可看作点（ｘ，１）与点（－１，－１）的距离 ３．平行直线ｌ１：３ｘ－ｙ＝０与ｌ２：３ｘ－ｙ＋槡１０＝０ 的距离等于 （　　） （Ａ）１　　（Ｂ）０　　（Ｃ）槡１０　　（Ｄ）３ ４．已知Ａ（５，－２），Ｂ（－１，２），Ｃ（ａ，０），且｜ＡＢ｜＝ ２｜ＢＣ｜，则实数ａ＝ ． ５．已知点Ｐ是直线ｌ：ｙ＝２ｘ＋３上任一点，Ｍ（４， －１），则｜ＰＭ｜的最小值为 ． ６．求点Ｐ（３，－２）到下列直线的距离： （１）３ｘ－４ｙ－１＝０；（２）ｙ＝６；（３）ｙ轴． 书 专项小练一 １．Ｃ；　２．Ｄ；　３．ＢＤ．　４．１２； ５．（１）槡３３或 － 槡３ ３，（２） ６π ７． ６．解：当２ｍ＝ｍ，即ｍ＝０时，直线ｌ垂直于ｘ轴，其斜率不存在； 当２ｍ≠ｍ，即ｍ≠０时，直线ｌ的斜率ｋ＝ ２－１ｍ－２ｍ＝－ １ ｍ． 专项小练二 １．Ａ；　２．Ｃ；　３．ＢＤ．　４．２ｘ－ｙ＋２＝０； ５．ｙ＝ ２ｘ， １ ３ｘ＋ ５０ ３ { ，０≤ｘ＜１０，１０≤ｘ≤４０． ６．解：经过点（１，２），且斜率为３ 的直线，即ｙ－２＝３（ｘ－１）， 化简得：ｙ＝３ｘ－１； 经过点（１，２），且斜率为 －３的 直线，即ｙ－２＝－３（ｘ－１）， 化简得：ｙ＝－３ｘ＋５． 图象如右图所示． 专项小练三 １．Ａ；　２．Ａ；　３．ＡＣ．　４．ｘ－４ｙ＋７＝０；　５．－３． ６．解：设ＡＣ边的中点为Ｄ，由中点坐标公式可求得Ｄ点的 坐标为（４，４），则直线ＢＤ即为所求． 由直线方程的两点式得 ｙ－０ ４－０＝ ｘ＋４ ４＋４， 即所求直线方程为ｘ－２ｙ＋４＝０． 一、单项选择题 １～４　ＡＤＡＢ　５～８　ＡＤＤＤ 二、多项选择题 ９．ＡＣＤ；　１０．ＢＤ；　１１．ＡＣＤ． 三、填空题 １２．４；　１３．５；　１４．９１４． 四、解答题 １５．解：（１）依题意，（－１，槡３）是直线ｌ的一个方向向量， 所以直线ｌ的斜率ｋ＝－槡３，所以直线ｌ的倾斜角为１２０°． （２）直线的倾斜角是钝角，则直线斜率ｋＡＢ ＝ ｍ－３ １－ｍ＋１＜０， 解得ｍ＜２或ｍ＞３． 所以实数ｍ的范围是（－∞，２）∪（３，＋∞）． １６．解：（１）由题图知点Ａ（６０，６），Ｂ（８０，１０）． 由直线方程的两点式可求得直线ＡＢ的方程是ｘ－５ｙ－３０＝０． （２）依题意，令ｙ＝０，解得ｘ＝３０，即旅客最多可免费携带 ３０千克的行李． １７．解：（１）由直线的两点式方程，得边ＡＣ所在直线的方程 为 ｙ－４ ０－４＝ ｘ－０ －８－０，即ｘ－２ｙ＋８＝０． 由直线的两点式方程，得边ＡＢ所在直线的方程为ｙ－４６－４＝ ｘ－０ －２－０，即ｘ＋ｙ－４＝０． （２）由题意，得点Ｄ的坐标为（－４，２）， 由直线的两点式方程，得中线 ＢＤ所在直线的方程为ｙ－２６－２ ＝ ｘ－（－４）－２－（－４），即２ｘ－ｙ＋１０＝０． １８．解：（１）选择①：由题意可设直线ｌ２的方程为ｙ－１＝ｋ（ｘ＋４）， 因为直线ｌ２的斜率是直线ｙ＝－ １ ４ｘ的斜率的２倍， 所以ｋ＝－１２， 所以直线ｌ２的方程为ｙ－１＝－ １ ２（ｘ＋４），即ｘ＋２ｙ＋２＝０． 选择②：由题意可设直线ｌ２的方程为 ｘ ２ｍ＋ ｙ ｍ ＝１，ｍ≠０， 因为直线ｌ２过点Ａ（－４，１），所以 －４ ２ｍ＋ １ ｍ ＝１，解得ｍ＝－１． 所以直线ｌ２的方程为 ｘ －２＋ ｙ －１＝１，即ｘ＋２ｙ＋２＝０． （２）由（１）可知直线ｌ２的方程为ｘ＋２ｙ＋２＝０， 令ｙ＝０，可得ｘ＝－２，所以直线ｌ２在ｘ轴上的截距为 －２， 所以直线ｌ１在ｘ轴上的截距为 －２． 故直线ｌ１过点（－２，０），代入ａｘ＋２ｙ－１２＝０，得 －２ａ＋２ ×０－１２＝０，解得ａ＝－６． １９．（１）证明：由ｋｘ－ｙ＋２＋３ｋ＝０可得：ｋ（ｘ＋３）＋２－ｙ＝０， 由 ｘ＋３＝０， ２－ｙ＝０{ ，可得 ｘ＝－３， ｙ＝２{ ，所以ｌ经过定点Ｐ（－３，２）， 即直线ｌ过定点（－３，２），且定点在第二象限， 所以无论ｋ取何值，直线ｌ始终经过第二象限． （２）解：设直线ｌ的倾斜角为α，则０＜α＜ π２， 可得｜ＰＡ｜＝ ２ｓｉｎα ，｜ＰＢ｜＝ ３ｃｏｓα ， 所以 １ ２｜ＰＡ｜＋ １ ３｜ＰＢ｜＝ １ ｓｉｎα ＋ １ｃｏｓα ＝ｓｉｎα＋ｃｏｓαｓｉｎαｃｏｓα ． 令ｔ＝ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝槡 (２ｓｉｎ α＋π )４ ， 因为０＜α＜π２，可得 π ４ ＜α＋ π ４ ＜ ３π ４， 槡２ ２ ＜ (ｓｉｎ α＋ π )４ ≤１，则ｔ＝槡 (２ｓｉｎ α＋π )４ ∈（１，槡２］． 将ｔ＝ｓｉｎα＋ｃｏｓα两边平方可得：ｔ２＝（ｓｉｎα＋ｃｏｓα）２＝ １＋２ｓｉｎα·ｃｏｓα，所以ｓｉｎαｃｏｓα＝ｔ ２－１ ２ ，所以 １ ２｜ＰＡ｜＋ １ ３｜ＰＢ｜ ＝ｓｉｎα＋ｃｏｓαｓｉｎαｃｏｓα ＝ ２ｔ ｔ２－１ ＝ ２ ｔ－１ｔ ， 因为ｙ＝ｔ－１ｔ在（１，槡２］上单调递增， 所以０＜ｔ－１ｔ≤ 槡２ ２， 故ｙ＝ １ ｔ－１ｔ ≥槡２，所以 ２ ｔ－１ｔ ≥ 槡２２，当且仅当ｔ＝槡２时 取等号，此时ｔ＝槡 (２ｓｉｎ α＋π )４ ＝槡２， 可得α＝ π４，所以ｋ＝ｔａｎα＝ｔａｎ π ４ ＝１， 所以直线ｌ的方程为ｘ－ｙ＋５＝０． 书 第Ⅰ卷 选择题 （共５８分） 一、单项选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０ 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．Ａ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ＋ｙ－５＝０｝，Ｂ＝｛（ｘ，ｙ）｜３ｘ＋ ｙ－３＝０｝，则集合Ａ∩Ｂ＝ （　　） （Ａ）｛－１，６｝ （Ｂ）｛（－１，６）｝ （Ｃ）｛（６，－１）｝ （Ｄ） ２．（２０２４安徽合肥市第六中学校联考阶段练习）已 知三条直线２ｘ＋ｙ－４＝０，ｋｘ－ｙ＋３＝０，ｘ－ｙ－２＝ ０交于一点，则实数ｋ＝ （　　） （Ａ）－１ （Ｂ）１ （Ｃ）－３２ （Ｄ） １ ４ ３．直线ｌ１：３ａｘ－ｙ－２＝０和直线ｌ２：（２ａ－１）ｘ＋５ａｙ －１＝０分别过定点Ａ和Ｂ，则｜ＡＢ｜＝ （　　） （Ａ）１３５ （Ｂ） １７ ５ （Ｃ）１１５ （Ｄ） 槡８９ ５ ４．（２０２４湖北模拟）已知点 Ｍ１（６，２）和 Ｍ２（１，７）， 直线 ｙ＝ｍｘ－７与线段 Ｍ１Ｍ２的交点 Ｍ分有向线段 Ｍ１Ｍ２的比为３∶２，则ｍ的值为 （　　） （Ａ）－３２ （Ｂ）－ ２ ３ （Ｃ）１４ （Ｄ）４ ５．数学家欧拉于１７６５年在他的著作《三角形的几 何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次 位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距 离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已 知△ＡＢＣ的顶点为 Ａ（０，０），Ｂ（４，０），Ｃ（３，槡３），则该三 角形的欧拉线方程为 （　　） （Ａ）槡３ｘ－ｙ－ 槡２３＝０ （Ｂ）ｘ－槡３ｙ－ 槡２３＝０ （Ｃ）槡３ｘ－ｙ－２＝０ （Ｄ）ｘ－槡３ｙ－２＝０ ６．（２０２４安徽泗县第二中学阶段考）若ｙ＝－ａ｜ｘ｜ 的图象与直线ｙ＝－ａ＋ｘ（ａ＜０）有两个不同的交点，则 ａ的取值范围是 （　　） （Ａ）（－１，０） （Ｂ）（－∞，－１） （Ｃ）（－∞，０） （Ｄ）｛－１｝ ７．（２０２４湖南期中）已知 Ｐ１（ｘ１，ｙ１），Ｐ２（ｘ２，ｙ２）是 直线ｙ＝ｋｘ＋２０２３（ｋ为常数）上两个不同的点，则关于 ｘ和ｙ的方程组 ｘ１ｘ＋ｙ１ｙ＝１， ｘ２ｘ＋ｙ２ｙ＝ { １的解的情况，下列说法 正确的是 （　　） （Ａ）无论ｋ，Ｐ１，Ｐ２如何，总是无解 （Ｂ）无论ｋ，Ｐ１，Ｐ２如何，总有唯一解 （Ｃ）存在ｋ，Ｐ１，Ｐ２，使 ｘ＝１， ｙ＝{ ２是方程组的一组解 （Ｄ）存在ｋ，Ｐ１，Ｐ２，使之有无穷多解 ８．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点称为 整点．设ｋ为整数，当两直线ｙ＝ｘ＋２与ｙ＝ｋｘ－４的交 点为整点时，ｋ的值可以取 （　　） （Ａ）８个 （Ｂ）９个 （Ｃ）７个 （Ｄ）６个 二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８ 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分． ９．（２０２４海南校联考期中）若直线ｌ１：ｙ＝ｋｘ＋３ｋ－ ２与直线ｌ２：ｘ＋ｙ－３＝０的交点在第四象限，则实数ｋ的 取值可以是 （　　） （Ａ）０ （Ｂ）１３ （Ｃ）－１２ （Ｄ）－１ １０．（２０２４湖北孝感专题练习）已知直线ｌ１：ｘ－ｙ－１ ＝０和直线ｌ２：（ｋ＋１）ｘ＋ｋｙ＋ｋ＝０（ｋ∈Ｒ），则下列结 论正确的是 （　　） （Ａ）存在实数ｋ，使得直线ｌ２的倾斜角为 π ２ （Ｂ）对任意的实数ｋ，直线ｌ１与直线ｌ２都有公共点 （Ｃ）对任意的实数ｋ，直线ｌ１与直线ｌ２都不重合 （Ｄ）对任意的实数ｋ，直线ｌ１与直线ｌ２都不垂直 １１．（２０２４广西课时练习）如果三条直线ａｘ＋２ｙ＋８ ＝０，４ｘ＋３ｙ＝１０和２ｘ－ｙ＝１０将平面分为六个部分， 那么实数ａ的取值为 （　　） （Ａ）３ （Ｂ）－４ （Ｃ）－１ （Ｄ）８３ 第Ⅱ卷 非选择题 （共９２分） 三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分． １２．（２０２４贵州黔南州期末）两直线３ｘ＋ｙ－３＝０与 ６ｘ＋ｍｙ＋１＝０平行，则它们之间的距离为 ． １３．（２０２４吉林省实验中学期末）已知Ａ（－２，１）， Ｂ（１，２），点 Ｃ为直线 ｙ＝ １３ｘ上的动点，则 ｜ＡＣ｜＋ ｜ＢＣ｜的最小值为 ． １４．（２０２４上海华师大二附中校考期末）已知直线 ｌ１：ｍｘ－ｙ＋ｍ＝０，ｌ２：ｘ＋ｍｙ－ｍ（ｍ＋１）＝０，ｌ３：（ｍ＋ １）ｘ－ｙ＋（ｍ＋１）＝０，三条直线围成 △ＡＢＣ，则当 △ＡＢＣ面积取得最大时ｍ的值为 ． 四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． １５．（１３分）唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗 为：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着 一个有趣的数学问题 ———“将军饮马”问题，即将军在 观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回 到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面角坐标系中， 设军营所在位置为（－２，３），若将军从（０，３）处出发，河 岸线所在直线方程为ｘ－ｙ＋１＝０．求“将军饮马”的最 短总路程． １６．（１５分）（２０２４安徽蚌埠高二期末）求过两条直 线 ｙ＝２ｘ＋３与３ｘ－ｙ＋２＝０的交点，且分别满足下列 条件的直线方程． （１）过点Ｐ（２，３）； （２）平行于直线３ｘ＋ｙ－１＝０． １７．（１５分）（２０２４江西模拟）已知 Ａ（－ｔ－３，２）， Ｂ（－２ｔ－４，４），Ｃ（－ｔ，ｔ），Ｄ（３，３ｔ＋２），若直线 ＡＢ⊥ ＣＤ，求ｔ的值                                                                                                                                                             ． !"#$%&'()*+ 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HID&JK L>MNO? PQ-R 1STUVWXYZ <[ "#$%&' ()*+ ,-./ \1E]^_`< abcd?Rbefa? ghij[klm<1? Z<nopqrstu vwxyz{|}~wJ €9f<‚ƒvw P„…<†‡ˆ‰Š ‹Œ Žw nop< ‘’l“”“•<v –w „…l—”˜™ƒ –š ›œRž<v– Ÿ ˆy¡w J¢£¤ ¥¦Rfƒ<Lvwx §¨{©~w ž<v– ˆª«¬­I®¯°± ²w ³´™ƒ–µ¶ª «w·ž<¸v¹º~w ƒvJ¤¥¦Ž9š » ¼w {|<nopJ €ƒv9š ˆnop< ½w ™ƒ–<±¾¿µ 1ÀÁ<š Â1™ƒ– ]<MÃwÄÅqÆwJ ¤ÇÈɃš @™ƒ– Ê<MÃw ÅpË<¬ ÆwJ¤Ç̗͚›œ nop<ÎÆÏLÐl ™ƒ–w »¼¢Ñ§¨ ]ÊÒÓ©w ÔÕÖµ x>€ƒvš ×9nop¼Éw ØÙÚÛe™Ö1ÜÝ PލÜ? {|~J €9ƒv* ! ! ()*+, 0 " Q"#$R&'(S*+,-.T012U+ ! 4 .VW+ " 23 ! #XYZ[\]"^ ! $ & "%& %$ " ( # , " & - %- % % % % % % % % #$%"!.# #$"!%- #