第8期 3.4.2～3.6（参考答案见10期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（湘教版）

书 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位 似中心，变换后的图形与变换前图形的位似比为ｋ，那么 原图上点（ｘ，ｙ）的对应点的坐标为（ｋｘ，ｋｙ）或（－ｋｘ， －ｋｙ）；对于位似中心非原点的位似变换，解题时要充分 发挥位似图形的定义和相似三角形的性质的作用． 一、位似中心是原点，求图形上点的坐标 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ （２０２３盘锦）如图１，△ＡＢＯ 的顶点坐标是 Ａ（２，６），Ｂ（３，１），Ｏ（０， ０），以点Ｏ为位似中心，将△ＡＢＯ缩小 为原来的 １ ３，得到 △Ａ′Ｂ′Ｏ，则点 Ａ′的 坐标为 ． 解析：因为以点Ｏ为位似中心，将△ＡＢＯ缩小为原来 的 １ ３，得到△Ａ′Ｂ′Ｏ，Ａ（２，６），所以当△Ａ′Ｂ′Ｏ在第一象限 时，点Ａ′的坐标为（１３×２， １ ３×６），即（ ２ ３，２）；当△Ａ′Ｂ′Ｏ 在第三象限时，点Ａ′的坐标为（－１３×２，－ １ ３×６），即 （－２３，－２）．故填（ ２ ３，２）或（－ ２ ３，－２）． 二、位似中心非原点，求图 形上点的坐标 例２　（２０２３绥化）如图２， 在平面直角坐标系中，△ＡＢＣ与 △ＡＢ′Ｃ′的位似比为１∶２，点Ａ是位似中心，已知点Ａ（２， ０），点 Ｃ（ａ，ｂ），∠Ｃ＝９０°，则点 Ｃ′的坐标为 （结果用含ａ，ｂ的式子表示）． 解析：过点Ｃ，Ｃ′分别作ｘ轴的垂线 ＣＤ，Ｃ′Ｄ′，垂足 分别为Ｄ，Ｄ′，因为△ＡＢＣ与△ＡＢ′Ｃ′的位似比为１∶２， 点Ａ是位似中心，Ａ（２，０），所以 ＡＤ′＝２ＡＤ，因为 Ｃ（ａ， ｂ），所以ＡＤ＝ａ－２，ＣＤ＝ｂ，所以ＡＤ′＝２ａ－４，Ｃ′Ｄ′＝ ２ｂ，所以Ｄ′（２－２ａ＋４，０），所以Ｃ′（６－２ａ，－２ｂ）．故填 （６－２ａ，－２ｂ）． 三、求位似中心的坐标 例３　（２０２３西安模拟） 如图３，已知矩形 ＡＢＣＯ与矩 形ＯＤＥＦ是位似图形，Ｍ是位 似中心，若点 Ｂ的坐标为（４， ３），点Ｅ的坐标为（－２，３２）， 则图中点Ｍ的坐标为 ． 解析：因为点 Ｂ的坐标为（４，３），点 Ｅ的坐标为 （－２，３２），所以 ＡＢ＝３，ＯＡ＝４，ＯＤ＝ ３ ２，因为矩形 ＡＢＣＯ与矩形 ＯＤＥＦ是位似图形，Ｍ是位似中心，所以 ＭＯ ＭＡ＝ ＯＤ ＡＢ＝ ３ ２ ３ ＝ １ ２，所以ＭＯ＝ＯＡ＝４，所以Ｍ点坐 标为（－４，０）．故填（－４，０）． 书 １６．（１）证明：因为 ＡＢ ＡＤ＝ ＢＣ ＤＥ＝ ＡＣ ＡＥ，所以 △ＡＢＣ∽ △ＡＤＥ，所以 ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ，所以 ∠ＢＡＣ － ∠ＤＡＦ ＝ ∠ＤＡＥ－∠ＤＡＦ，所以 ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ． （２）因为△ＡＢＣ∽ △ＡＤＥ，所以 ∠ＡＢＣ＝ ∠ＡＤＥ．因为 ∠ＡＢＣ＝ ∠ＡＢＥ＋∠ＥＢＣ，∠ＡＤＥ ＝∠ＡＢＥ＋∠ＢＡＤ，所以 ∠ＥＢＣ＝∠ＢＡＤ＝２１°． （３）证明：由（１） 知∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ．因 为 ＡＢ ＡＤ＝ ＡＣ ＡＥ，所以 ＡＢ ＡＣ＝ ＡＤ ＡＥ， 所 以 △ＡＢＤ ∽ △ＡＣＥ． １７．（１）证明：因为 四边形 ＡＢＣＤ是正方 形，所以 ＡＢ ＝ ＢＣ， ∠ＢＡＥ ＝ ∠ＢＣＦ ＝ ４５°．因为 ＢＥ＝ＢＦ，所 以∠ＢＥＦ＝∠ＢＦＥ．所 以∠ＡＥＢ＝∠ＣＦＢ．所 以△ＡＢＥ≌△ＣＢＦ．所 以ＡＥ＝ＣＦ． （２）证 明：因 为 ∠ＢＥＣ ＝ ∠ＢＡＥ ＋ ∠ＡＢＥ＝４５°＋∠ＡＢＥ， ∠ＡＢＦ ＝ ∠ＥＢＦ ＋ ∠ＡＢＥ＝４５°＋∠ＡＢＥ， 所以 ∠ＢＥＣ＝∠ＡＢＦ． 因为 ∠ＢＡＦ ＝∠ＢＣＥ ＝４５°，所以 △ＡＢＦ∽ △ＣＥＢ． （３）ＥＢ ＝ ＥＧ，ＢＥ ⊥ＥＧ．理由如下： 因 为 ∠ＥＢＦ ＝ ∠ＧＣＦ＝４５°，∠ＥＦＢ＝ ∠ＧＦＣ，所以 △ＢＥＦ∽ △ＣＧＦ，所以ＥＦＧＦ＝ ＢＦ ＣＦ， 即 ＥＦ ＢＦ ＝ ＧＦ ＣＦ． 因 为 书 上期２版 ３．４．１相似三角形的判定（第一课时） 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．２５；　４．４∶２１． ５．ＧＨ的长为 ６５． ３．４．１相似三角形的判定（第二课时） 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ；　３．７０；　４．４． 能力提高　５．（１）作图略． （２）证明：因为ＡＤ平分∠ＢＡＣ， 所以∠ＢＡＤ＝ １２∠ＢＡＣ， 因为∠ＢＡＣ＝２∠Ｃ，所以∠Ｃ＝ １２∠ＢＡＣ， 所以∠ＢＡＤ＝∠Ｃ，又因为∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＡ， 所以△ＡＢＤ∽△ＣＢＡ． ３．４．１相似三角形的判定（第三课时） 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．２或８； ４．（１，４）或（３，４）． 能力提高　５．（１）证明：因为四边形ＡＢＣＤ是正方 形，所以∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°，ＡＢ＝ＣＤ， 因为ＣＦ＝３ＦＤ，所以ＦＤ＝ １４ＣＤ， 因为Ｅ是ＡＤ的中点，所以ＡＥ＝ＥＤ＝ １２ＡＤ， 所以 ＡＥ ＡＢ＝ ＤＦ ＥＤ＝ １ ２，所以△ＡＢＥ∽△ＤＥＦ． （２）△ＡＢＥ与△ＢＥＦ相似，理由如下： 设ＡＢ＝ＡＤ＝ＣＤ＝４ａ， 因为Ｅ为边ＡＤ的中点，ＣＦ＝３ＦＤ， 所以ＡＥ＝ＤＥ＝２ａ，ＤＦ＝ａ， 所以ＢＥ＝ 槡２５ａ，ＥＦ＝槡５ａ，ＢＦ＝５ａ， 所以ＢＦ２ ＝ＥＦ２＋ＢＥ２，即∠ＢＥＦ＝９０°， 所以∠Ａ＝∠ＢＥＦ＝９０°， 因为 ＡＢ ＡＥ＝ ４ａ ２ａ＝２， ＢＥ ＥＦ＝ 槡２５ａ 槡５ａ ＝２， 所以 ＡＢ ＡＥ＝ ＢＥ ＥＦ，所以△ＡＢＥ∽△ＥＢＦ． ３．４．１相似三角形的判定（第四课时） 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．１８；　４．①③． 能力提高　５．证明：由Ａ，Ｂ，Ｃ三点的坐标可以得到 ＯＡ＝３，ＯＢ＝４，ＡＤ＝１，ＣＤ＝２，所以ＡＢ＝５，ＡＣ＝槡５， ＢＣ＝ 槡２５，在△ＡＢＣ和△ＡＣＤ中，因为 ＡＣ ＡＤ＝ 槡５ １ ＝槡５， ＢＣ ＣＤ＝ 槡２５ ２ ＝槡５， ＡＢ ＡＣ＝ ５ 槡５ ＝槡５，所以 ＡＣ ＡＤ＝ ＢＣ ＣＤ＝ ＡＢ ＡＣ， 所以△ＡＢＣ∽△ＡＣＤ． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｃ Ｂ Ｃ Ｃ Ｂ Ｂ Ｂ 二、９．∠ＡＥＤ＝∠Ｂ（答案不惟一）；　１０．丁； １１．３０°或６０°；　１２．槡１０３ ；　１３．４或７． 三、１４．证明：因为ＣＤ⊥ＡＢ，ＥＦ⊥ＡＥ， 所以∠ＦＤＧ＝∠ＦＥＧ＝９０°， 所以∠ＤＧＥ＋∠ＤＦＥ＝１８０°， 因为∠ＢＦＥ＋∠ＤＦＥ＝１８０°， 所以∠ＢＦＥ＝∠ＤＧＥ， 又因为∠ＤＧＥ＝∠ＡＧＣ，所以∠ＡＧＣ＝∠ＢＦＥ， 又因为∠ＡＣＢ＝∠ＦＥＧ＝９０°， 所以∠ＡＥＣ＋∠ＢＥＦ＝∠ＡＥＣ＋∠ＥＡＣ＝９０°， 所以∠ＥＡＣ＝∠ＢＥＦ，所以△ＡＧＣ∽△ＥＦＢ． １５．证明：（１）因为ＡＣ平分∠ＤＡＢ，所以∠ＤＡＣ＝ ∠ＣＡＢ．因为∠ＡＤＣ＝∠ＡＣＢ＝９０°，所以△ＡＤＣ∽△ＡＣＢ， 所以ＡＤ∶ＡＣ＝ＡＣ∶ＡＢ，所以ＡＣ２ ＝ＡＢ·ＡＤ． （２）因为Ｅ为ＡＢ的中点，所以ＣＥ＝ＢＥ＝ＡＥ，所以 ∠ＥＡＣ＝∠ＥＣＡ．因为∠ＤＡＣ＝∠ＣＡＢ，所以∠ＤＡＣ＝ ∠ＥＣＡ．又因为∠ＡＦＤ＝∠ＣＦＥ，所以△ＡＦＤ∽△ＣＦＥ． 书 １．（２０２３绵阳模拟）如图１所示，ＡＢ＝４，ＡＣ＝２，以 ＢＣ为底边向上构造等腰直角三角形ＢＣＤ，连接ＡＤ并延 长至点Ｐ，使ＰＤ＝ＡＤ，则ＰＢ的最大值为 ． ２．（２０２４哈尔滨一模）如图２，在ＡＢＣＤ中，对角 线ＡＣ和ＢＤ相交于点Ｏ，ＡＤ＝５，ＡＣ＝８，ＢＤ＝６，延长 ＢＣ至点Ｅ，连接ＯＥ交ＣＤ于点Ｆ，若∠Ｅ＝１２∠ＡＣＤ， 则线段ＯＦ的长为 ． 书 １．（２０２４甘肃一模）如图１，△ＯＡＢ与 △ＯＡ′Ｂ′位 似，其中Ａ，Ｂ的对应点分别为Ａ′，Ｂ′，Ａ′，Ｂ′均在图中正 方形网格格点上，若线段ＡＢ上有一点Ｐ（ｍ，ｎ），则点Ｐ 在Ａ′Ｂ′上的对应点Ｐ′的坐标为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．（ｍ２， ｎ ２） Ｂ．（ｍ，ｎ） Ｃ．（２ｍ，２ｎ） Ｄ．（２ｎ，２ｍ） ２．（２０２４周口一模）如图２，在平面直角坐标系中， 正方形ＡＢＣＤ与正方形ＢＥＦＧ是以原点 Ｏ为位似中心 的位似图形，且位似比为１∶３，点Ａ，Ｂ，Ｅ在ｘ轴上，若正 方形ＢＥＦＧ的边长为３，则Ｄ点坐标为 ． ３．（２０２４南宁模拟）如图３，在平面直角坐标系中， △ＡＢＣ的三个顶点的坐标分别为 Ｃ（１，２），Ｂ（２，３）， Ａ（４，１）． （１）以原点 Ｏ为 位似中心，在第三象限 内画一个△Ａ１Ｂ１Ｃ１，使 它与△ＡＢＣ的位似比 为２∶１； （２）点Ｂ１的坐标 为 ． 书 【提示】 １．以ＡＢ为斜边向上作等腰Ｒｔ△ＡＢＦ，延长ＡＦ至 点Ｅ，使ＡＦ＝ＥＦ，连接ＥＰ，ＢＥ，ＤＦ，根据等腰直角三 角形的性质和勾股定理得到ＢＣ ＢＤ＝ＢＡ ＢＦ＝槡２，∠ＣＢＤ ＝∠ＡＢＦ＝４５°，由△ＡＢＣ∽△ＦＢＤ得ＤＦ＝槡２，进 而得到ＥＰ＝２ＤＦ＝槡２２，根据线段垂直平分线的性 质得到ＢＡ＝ＢＥ，当Ｂ，Ｅ，Ｐ三点共线时，ＰＢ的值最 大． ２．取ＣＤ中点Ｍ，连接ＯＭ，过点Ｏ作ＯＮ⊥ＢＥ于 点Ｎ，证明四边形ＡＢＣＤ是菱形，进而得出ＣＥ＝ＯＣ ＝４，再利用相似三角形的性质，得到ＯＭ＝１ ２ＢＣ＝ ５ ２ ，ＯＭ∥ＢＣ，证明△ＦＯＭ∽△ＦＥＣ，推出ＯＦ ＯＥ＝５ １３ ， 最后利用勾股定理求解即可． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " !" # $ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! %&!'()*+ ,-./01 !" 23 ! ! ! " # $ % ! # ! " & ' ( ) * # $ % ! $ # $ % "! ! " & &! ! # %&%'%(%#%$%! ! $ # ( ' %! %$ %# %( %' %& $ % # ! " & ' ( # $ ! %)%* ! $ ! " # $ % & ' (+ * ! ! ! " & ' , ! $ ! " & ' ( # * ! ! $ % "! !! ! " # 书 相似三角形的知识在日常生活中有着十分广泛的 应用，尤其是在测量高度和距离方面．现从试题中选取 三例解析如下，供同学们学习时参考． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ （２０２３潍坊）在《数书 九章》（宋·秦九韶）中记载了一 个测量塔高的问题：如图１所示， ＡＢ表示塔的高度，ＣＤ表示竹竿顶 端到地面的高度，ＥＦ表示人眼到 地面的高度，ＡＢ，ＣＤ，ＥＦ在同一 平面内，点Ａ，Ｃ，Ｅ在一条水平直线上．已知ＡＣ＝２０米， ＣＥ＝１０米，ＣＤ＝７米，ＥＦ＝１．４米，人从点Ｆ远眺塔顶 Ｂ，视线恰好经过竹竿的顶端Ｄ，可求出塔的高度．根据 以上信息，塔的高度为 米． 解析：过Ｆ作ＦＱ⊥ＡＢ于Ｑ，交ＣＤ于Ｈ，则ＦＨ＝ ＣＥ＝１０米，ＱＨ＝ＡＣ＝２０米，ＦＱ＝ＡＥ＝ＡＣ＋ＣＥ＝ ３０米，ＥＦ＝ＣＨ＝ＡＱ＝１．４米，所以ＤＨ＝ＣＤ－ＣＨ＝ ７－１．４＝５．６米，因为 ＤＣ∥ ＢＡ，所以 △ＦＤＨ∽ △ＦＢＱ，所以ＤＨＢＱ ＝ ＦＨ ＦＱ，所以 １０ ３０＝ ５．６ ＱＢ，解得 ＱＢ＝ １６．８（米），经检验符合题意，所以 ＡＢ＝ＡＱ＋ＱＢ＝ １．４＋１６．８＝１８．２（米）． 故填１８．２． 例２　（２０２４浙江一模）如 图２是凸透镜成像示意图，ＣＤ 是蜡烛ＡＢ通过凸透镜ＭＮ所成 的虚像，已知蜡烛的高 ＡＢ为 ４．８ｃｍ，蜡烛 ＡＢ离凸透镜 ＭＮ 的水平距离ＯＢ＝６ｃｍ，该凸透 镜的焦距 ＯＦ为 １０ｃｍ，ＡＥ∥ ＯＦ，则像 ＣＤ的高为 ｃｍ． 解析：因为ＡＥ∥ＯＦ，所以△ＣＡＥ∽△ＣＯＦ，所以 ＡＥ ＯＦ＝ ＣＡ ＣＯ＝ ６ １０＝ ３ ５，所以 ＯＡ ＯＣ＝ ２ ５，因为ＡＢ∥ＣＤ，所 以△ＯＡＢ∽△ＯＣＤ，所以ＯＡＯＣ＝ ＡＢ ＣＤ，所以 ２ ５ ＝ ４．８ ＣＤ，解 得ＣＤ＝１２ｃｍ，所以像ＣＤ的高为１２ｃｍ． 故填１２． 例３　（２０２４河南模拟）漯河某 景区内建有供游客休息的凉亭．某 数学小组欲测量凉亭的高度，故抽 象出如图３所示的平面几何图形，已 知点 Ｄ，Ａ，Ｅ在地面的同一水平线 上，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝２．５米，ＢＣ＝３米，点Ｃ到地面的 距离是２．４米．求凉亭最高点Ｂ到地面的距离ＢＮ的长 （结果精确到０．１米）． 解析：过点Ｃ作ＣＧ⊥ＤＥ于Ｇ，ＣＨ⊥ＢＮ于Ｈ，则四 边形ＣＧＮＨ是矩形，所以∠ＧＣＨ＝∠ＣＨＢ＝９０°，ＮＨ＝ ＣＧ＝２．４米，在 Ｒｔ△ＡＧＣ中，由勾股定理，得 ＡＧ＝ ＡＣ２－ＣＧ槡 ２ ＝０．７米，因为∠ＡＣＢ＝９０°，所以∠ＡＣＧ ＝∠ＢＣＨ，又因为∠ＡＧＣ＝∠ＢＨＣ＝９０°，所以△ＡＧＣ ∽△ＢＨＣ，所以ＢＨＡＧ＝ ＢＣ ＡＣ，即 ＢＨ ０．７＝ ３ ２．５，所以 ＢＨ＝ ０．８４米，所以ＢＮ＝ＢＨ＋ＮＨ≈３．２米． 答：凉亭最高点Ｂ到地面的距离ＢＮ的长约为３．２米． 书 一、利用相似求运动时间 例１　（２０２４黔东南月考）如图 １ 所示，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝ ４ｃｍ，ＢＣ＝３ｃｍ．动点Ｍ从点Ｃ出发， 以１ｃｍ／ｓ的速度沿ＣＡ向终点Ａ移动， 同时动点Ｐ从点Ｂ出发，以２ｃｍ／ｓ的速 度沿ＢＡ向终点 Ａ移动，连接 ＰＭ，设移 动时间为ｔｓ（０＜ｔ＜２．５），求当ｔ为何值时，以Ａ，Ｐ，Ｍ 为顶点的三角形与△ＡＢＣ相似？ 解析：在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝４ｃｍ，ＢＣ＝ ３ｃｍ，根据勾股定理，得 ＡＢ＝５ｃｍ，所以 ＡＭ ＝（４－ ｔ）ｃｍ，ＡＰ＝（５－２ｔ）ｃｍ，①当△ＡＭＰ∽△ＡＢＣ时，ＡＰＡＣ＝ ＡＭ ＡＢ，即 ５－２ｔ ４ ＝ ４－ｔ ５ ，解得 ｔ＝ ３ ２；② 当 △ＡＰＭ∽ △ＡＢＣ时，ＡＭＡＣ＝ ＡＰ ＡＢ，即 ４－ｔ ４ ＝ ５－２ｔ ５ ，解得ｔ＝０（不合 题意，舍去）． 综上所述，当ｔ＝３２时，以Ａ，Ｐ，Ｍ为顶点的三角形 与△ＡＢＣ相似． 二、利用相似求线段的长 例２　（２０２４衡阳期中）如图２， 在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝ ６，ＡＣ＝８，点Ｅ是ＡＣ上一个动点，点 Ｄ在ＢＣ上，且ＣＤ＝５，若以 Ｃ，Ｄ，Ｅ 为顶点的三角形与 △ＡＢＣ相似，则 ＣＥ的长度为 ． 　　　　　　　　　　　　　　　解析：因为∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝６，ＡＣ＝８，所以ＢＣ ＝１０，① 当 ∠ＥＤＣ＝９０°时，因为 ∠ＤＣＥ＝∠ＡＣＢ， ∠ＥＤＣ＝∠Ａ，所以△ＣＤＥ∽△ＣＡＢ，所以ＣＥＣＢ＝ ＣＤ ＣＡ，即 ＣＥ １０＝ ５ ８，解得 ＣＥ＝ ２５ ４；② 当 ∠ＤＥＣ＝９０°时，因为 ∠ＤＣＥ＝∠ＡＣＢ，∠ＤＥＣ＝∠Ａ，所以△ＣＥＤ∽△ＣＡＢ， 所以 ＣＥ ＣＡ＝ ＣＤ ＣＢ，即 ＣＥ ８ ＝ ５ １０，解得ＣＥ＝４． 综上所述，ＣＥ的长为４或２５４．故填４或 ２５ ４． 三、利用相似求函数表达式 例３　（２０２３上海一模）如 图３，梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，对 角线ＡＣ⊥ＢＣ，ＡＤ＝９，ＡＣ＝１２， ＢＣ＝１６，点Ｅ是边ＢＣ上一个动 点，∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＣ，ＡＦ交 ＣＤ 于点Ｆ，交ＢＣ延长线于点Ｇ，设ＢＥ＝ｘ． （１）用含ｘ的代数式表示ＦＣ； （２）设ＦＧＥＦ＝ｙ，求ｙ关于ｘ的函数关系式，并求ｘ的 取值范围． 解析：（１）因为ＡＣ⊥ＢＣ，所以∠ＡＣＢ＝９０°．因为 ＡＤ∥ＢＣ，所以∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＢ＝９０°．因为ＡＤ＝９，ＡＣ ＝１２，ＢＣ＝１６，所以ＡＢ＝２０，ＤＣ＝１５．因为ＢＣＡＣ＝ ＡＣ ＤＡ＝ ４ ３，∠ＡＣＢ＝∠ＤＡＣ，所以△ＡＢＣ∽△ＤＣＡ，所以∠Ｂ＝ ∠ＡＣＤ．因为∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＣ，所以∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＦ，所 以△ＡＢＥ∽△ＡＣＦ，所以ＡＢＡＣ＝ ＢＥ ＣＦ，所以 ２０ １２＝ ｘ ＣＦ，所以 ＣＦ＝ ３５ｘ． （２）因为 △ＡＢＥ∽ △ＡＣＦ，所以ＡＢＡＣ＝ ＡＥ ＡＦ，又因为 ∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＣ，所以△ＡＥＦ∽△ＡＢＣ，所以ＥＦＡＦ＝ ＢＣ ＡＣ＝ １６ １２＝ ４ ３，所以ＥＦ＝ ４ ３ＡＦ．因为 ＡＤ∥ ＣＧ，所以 ＦＧ ＦＡ＝ ＣＦ ＤＦ，所以ｙ＝ ＦＧ ＥＦ＝ ＦＧ ４ ３ＡＦ ＝３４· ＣＦ ＤＦ＝ ３ ４· ３ ５ｘ １５－３５ｘ ，整 理得ｙ＝ ３ｘ１００－４ｘ（０＜ｘ≤１６）． 书 相似三角形具有“周长比等于相似比；对应中线的 比、对应角平分线的比、对应高的比都等于相似比；面积 比等于相似比的平方”等性质，灵活运用上述性质，可 以帮助同学们解决许多相关问题． 应用一：相似三角形周长的比等于相似比 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ （２０２３重庆）若两个相似三角形周长的比为 １∶４，则这两个三角形对应边的比是 （　　） Ａ．１∶２ Ｂ．１∶４ Ｃ．１∶８ Ｄ．１∶１６ 解析：因为两个相似三角形周长的比为１∶４，所以 相似三角形对应边的比为１∶４．故选Ｂ． 应用二：相似三角形面积的比 等于相似比的平方 例２　（２０２４昆明一模）如图， 在平行四边形 ＡＢＣＤ中，Ｅ是线段 ＡＢ上一点，连接ＡＣ，ＤＥ交于点 Ｆ．若ＡＥＥＢ＝ ２ ３，则 Ｓ△ＡＥＦ Ｓ△ＣＤＦ ＝ ． 解析：因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ＝ ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ，所以∠ＡＥＦ＝∠ＣＤＦ，∠ＥＡＦ＝∠ＤＣＦ， 所以△ＥＡＦ∽△ＤＣＦ，因为ＡＥＥＢ＝ ２ ３，所以 ＡＥ ＡＢ＝ ＡＥ ＣＤ＝ ２ ５，所以 Ｓ△ＡＥＦ Ｓ△ＣＤＦ ＝（ＡＥＣＤ） ２ ＝ ４２５．故填 ４ ２５． 应用三：相似三角形对应高的比等于相似比 例３　（２０２３泉州期末）已知 △ＡＢＣ∽ △ＤＥＦ，且 ＡＣ∶ＤＦ＝２∶３，ＢＣ与ＥＦ边上的高分别记为ｈ１和ｈ２，则 ｈ１∶ｈ２等于 ． 解析：因为△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ，ＡＣ∶ＤＦ＝２∶３，所以 ｈ１∶ｈ２ ＝ＡＣ∶ＤＦ＝２∶３．故填２∶３． ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " !4 567 " 89 :;< "89 =>$ ! " & ' ( * ! " & , ) ! ! ! " + ' ( * & ! # " ! & ' ( * ! ! ! " & ' ( * ( ! # - ) ! $ ! " & ' - * ! # ! " & ' ! $ * " ! " #! !!""" $"% ! $"$(&)'$$( !"#$ !"#$%& ,?@ !A"BCD3 ECFGHIJC.K # 2 % ! '()* !"#$%&'" ()*+,-'. !"LMNGOP !"LNJQRSTUVW !"LNXYZ[\]^_O` Fa(bcdeB bfgh6i jklmnoeBpqg+,!(%"*"*-r.3 ) *+ h6i , ) *+ #st , # - .+ :ui , ) *+ v w , ) *+ x y -./01+ : z 23/01+ :{| -4506+ } ~ -4578+ € s‚ƒ 5 „ …†‡ ˆ ‰ Š‹Œ #Ž ˆ{  € ‘’‡ “”6 5•– —•˜ #6™ šyC ›œ„  Œ žŸ  s¡¢ 91-.+ —£¤ 91:;+ ¥’¦ <=-.+ §•¨ >?-.+ © ª @ABC+ «¬­ #'(®¯®B #°—®eB #cd´µ¶g"#'!%'$*!$'& #'(·¸g!"¹º»¼†½¾¿ÀÁ !#$ qFa(bECFGcd´ #ÂÃcÄg"#"""& #¼Å´Æ(ÇÈg"#'!#'$*!!$' "#'!#'$*!$#*ÉTÊ3 #ÆËgÌÍ'(¼Å´¸ÎÏÐjÑÒÂÓ,Ô3 #ÂÃÆËÇÈg!!!)' #ÕÖ×ØÆÙÚÆÛÜÆ #'(ÝÐjѹr¼ÞßJàáâ( #;ãZ[äÕåqæ!(""""("""!!" #;ã´µ¶æ"#'!#'$*!$'' #'(çè94éTUêë\]^_Éìí¼îï¾ðñòóôRSõ !! qÞöê÷ø\êùúûü*÷ÌÍ'(¼Å´¸Îýþ É?@ !÷( BCDÞ Éÿ! ( B-./"Þ #$%&'1()*V+[,- 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．（２０２４大同一模）下列选项中的两个相似图形， 不是位似图形的是 （　　） ２．（２０２４重庆一模）如果两个相似三角形的位似比 为１６∶９，那么这两个三角形对应边上的高之比为 （　　） Ａ．１６∶９ Ｂ．４∶３ Ｃ．９∶１６ Ｄ．２５６∶８１ ３．（２０２４保定一模）如图１，嘉嘉要测量池塘两岸Ａ， Ｂ两点间的距离，先在ＡＢ的延长线上选定点Ｃ，测得ＢＣ ＝５ｍ，再选一点Ｄ，连接ＡＤ，ＣＤ，作ＢＥ∥ＡＤ，交ＣＤ于 点Ｅ，测得ＣＤ＝８ｍ，ＤＥ＝４ｍ，则ＡＢ＝ （　　） Ａ．３ｍ Ｂ．４ｍ Ｃ．５ｍ Ｄ．６ｍ ４．（２０２４安庆一模）如图２，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＢＣ 边上，连接ＡＤ，点Ｇ在线段ＡＤ上，ＧＥ∥ＢＤ且交ＡＢ于点 Ｅ，ＧＦ∥ＡＣ且交ＣＤ于点Ｆ，若 Ｓ△ＡＥＧ Ｓ四边形ＥＢＤＧ ＝４５，ＡＣ＝９， 则ＧＦ的长为 （　　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．９２ Ｄ．６ ５．如图３是一个铁夹子的侧面示意图，点Ｃ是连接 夹面的轴上一点，ＣＤ⊥ＯＡ于点Ｄ．这个侧面图是轴对称 图形，直线 ＯＣ是它的对称轴．若 ＤＡ＝１５ｍｍ，ＤＯ＝ ２４ｍｍ，ＤＣ＝１０ｍｍ，则点Ａ与点Ｂ之间的距离为 （　　） Ａ．２０ｍｍ Ｂ．３０ｍｍ Ｃ．４０ｍｍ Ｄ．５０ｍｍ ６．如图４，在平面直角坐标系中，已知点 Ｏ（０，０）， Ａ（６，０），Ｂ（０，８），以某点为位似中心，作出与 △ＡＯＢ的 位似比为ｋ的位似△ＣＤＥ，若点Ｄ（１，１），点Ｃ（４，１），则 位似中心的坐标和ｋ的值分别为 （　　） Ａ．（０，０），２ Ｂ．（２，２），１２ Ｃ．（２，２），２ Ｄ．（１，１），１２ ７．（２０２４石家庄月考）有一块锐角三角形余料 △ＡＢＣ，边ＢＣ为１５ｃｍ，ＢＣ边上的高为１２ｃｍ，现要把它 分割成若干个邻边长分别为５ｃｍ和２ｃｍ的小长方形零 件，分割方式如图５所示（分割线的耗料不计），使最底 层的小长方形的长为５ｃｍ的边在ＢＣ上，则按如图方式 分割成的小长方形零件最多有 （　　） Ａ．３个 Ｂ．４个 Ｃ．５个 Ｄ．６个 ８．（２０２４广州月考）如图６，ＤＥ平分等边△ＡＢＣ的 面积，折叠△ＢＤＥ得到△ＦＤＥ，ＡＣ分别与ＤＦ，ＥＦ相交于 Ｇ，Ｈ两点．若ＤＧ＝１，ＥＨ＝槡３，则ＧＨ的长为 （　　） 槡 槡Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．２３ Ｄ．４ 二、细心填一填（每小题４分，共２０分） ９．（２０２４兰州一模）如图７，在平面 直角坐标系中，△ＡＢＣ和 △Ａ′Ｂ′Ｃ′是以 原点Ｏ为位似中心的位似图形，ＡＢＡ′Ｂ′＝ １ ２，已知 Ａ（１，２），则顶点 Ａ′的坐标为 ． １０．如图８，在平面直角坐标系中，ＯＡＢＣ的顶点Ｏ 在坐标原点，点Ｅ是对角线ＡＣ上一点，过点Ｅ作ＥＦ∥ ＢＣ，交ＡＢ于点Ｆ，ＯＣ＝２，∠ＡＯＣ＝４５°，点Ａ的坐标为 （４，０），点Ｆ的横坐标为５，则ＥＦ的长为 ． １１．四分仪是一种十分古老的测量仪器，其出现可 追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．如图９是古代测 量员用四分仪测量一方井深度的示意图，将四分仪置于 方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点 Ｆ，窥衡杆与四 分仪的一边ＢＣ交于点Ｈ，四分仪为正方形 ＡＢＣＤ，方井 为矩形ＢＥＦＧ．若测量员从四分仪中读得ＡＢ为１，ＢＨ为 ０．５，实地测得ＢＥ为２，则井深ＢＧ为 ． １２．（２０２４平顶山期末）如图１０，△ＡＯＣ中三个顶点 的坐标分别为 Ａ（４，０），Ｏ（０，０），Ｃ（４，３），ＡＰ为 △ＡＯＣ 的一条中线，以Ｏ为位似中心，把△ＡＯＰ每条边扩大到 原来的２倍，得到△Ａ′ＯＰ′，则ＰＰ′的长为 ． １３．（２０２４运城一模）如图１１，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ ＝５，ＢＣ＝６，点Ｄ为ＡＣ边的中点，点Ｅ为ＢＣ边上一动 点，连接ＥＤ并延长，交ＢＡ的延长线于点Ｆ，当点Ａ恰好 为ＢＦ的中点时，ＤＥ的长为 ． 三、耐心解一解（共４８分） １４．（２０２４阜阳三模，８分）已知△ＡＢＣ在平面直角 坐标系中的位置如图１２所示，其中点Ａ和点Ｂ的坐标分 别为Ａ（２，６），Ｂ（６，２）． （１）在第一象限画出△ＡＢＣ以原点Ｏ为位似中心的位 似图形△Ａ１Ｂ１Ｃ１，使△ＡＢＣ与△Ａ１Ｂ１Ｃ１的位似比为２∶１； （２）画出△Ａ１Ｂ１Ｃ１绕点Ａ１按逆时针方向旋转９０° 后的△Ａ１Ｂ２Ｃ２． １５．（２０２３成都期末，８分）小言家窗外有一个路灯， 每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小言一直想知 道这个路灯的准确高度，当学了相似三角形的知识后， 她意识到自己可以解决这个问题了！如图１３，路灯顶部 Ａ处发光，光线透过窗子ＢＣ照亮地面的长度为ＤＥ，小言 测得窗户距离地面高度ＢＦ＝０．７ｍ，窗高ＢＣ＝１．４ｍ， 某一时刻，ＦＤ＝０．７ｍ，ＤＥ＝２．１ｍ，请你根据小言测得 的数据，求出路灯的高度ＯＡ． １６．（２０２４洛阳期中，１０分）如图１４，△ＡＢＣ中，ＤＥ∥ ＢＣ，ＢＥ与ＣＤ交于点Ｏ，ＡＯ与ＤＥ，ＢＣ分别交于点Ｎ，Ｍ． （１）若点Ｍ是ＢＣ的中点，求证：ＤＮ＝ＥＮ； （２）若ＯＮ∶ＯＭ＝２∶５，四边形ＢＣＥＤ的面积为４２， 求△ＡＢＣ的面积． １７．（２０２４三明期中，１０分）如图１５，在菱形 ＡＢＣＤ 中，Ｍ为ＡＤ的中点，ＢＭ与ＡＣ的交点为Ｅ，点Ｆ在边ＢＣ 上，ＡＦ交ＢＭ于点Ｇ，且∠ＢＧＦ＝∠ＡＢＣ． （１）求证：△ＢＡＧ∽△ＢＭＡ； （２）若∠ＡＢＣ＝６０°，连接ＣＧ，求证：ＣＧ⊥ＢＭ． １８．（２０２３运城期末，１２分）如图１６，矩形ＡＢＣＤ的对 角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｆ，延长ＢＣ到点Ｅ，使ＣＥ＝ＢＣ，连 接ＤＥ，连接ＡＥ交ＢＤ于点Ｇ，交ＣＤ于点Ｈ． （１）求证：ＤＧ２ ＝ＦＧ·ＢＧ； （２）若ＡＢ＝１４，ＢＣ＝２４，求线段ＧＨ的长度                                                                                                                                                                 ． 书 ３．４．２相似三角形的性质 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．（２０２４济南期末）若两个相似三角形的相似比为 ２∶３，其中较小的三角形的周长为８，则较大的三角形的 周长为 （　　） Ａ．６ Ｂ．８ Ｃ．１２ Ｄ．１６３ ２．（２０２４成都二模）如图１，在△ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ分 别在边ＡＢ和ＡＣ上，连接 ＤＥ，若ＤＥＢＣ＝ １ ２，则 Ｓ△ＡＤＥ∶ Ｓ四边形ＤＢＣＥ的值为 （　　） Ａ．１∶２ Ｂ．１∶３ Ｃ．１∶４ Ｄ．２∶３ ３．两个相似三角形的面积之比为１∶４，小三角形一 条边上的中线长为４，则另一个三角形对应边上的中线 长为 （　　） Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．５ ４．（２０２３莆田期末）如图２所示的是某家用晾衣架 的侧面示意图，已知ＡＢ∥ＰＱ，根据图中数据，Ｐ，Ｑ两点 间的距离是 （　　） Ａ．０．６ｍ Ｂ．０．８ｍ Ｃ．０．９ｍ Ｄ．１ｍ ５．（２０２３宿迁月考）如图３，Ｄ，Ｅ分别是 △ＡＢＣ的 边ＡＢ，ＢＣ上的点，ＤＥ∥ＡＣ，若Ｓ△ＢＤＥ∶Ｓ△ＣＤＥ ＝１∶３，则 Ｓ△ＤＯＥ∶Ｓ△ＡＯＣ的值为 ． ６．（２０２３合肥月考）如图４，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝ ９０°，棱长为１的立方体的表面展开图有两条边分别在 ＡＣ，ＢＣ上，有两个顶点在斜边 ＡＢ上，则 △ＡＢＣ的面积 为 ． ７．（２０２４桂林期中）如图５，有 一块三角形余料ＡＢＣ，它的边 ＢＣ＝ １８ｃｍ，高 ＡＤ＝１２ｃｍ，现在要把它 加工成长与宽的比为３∶２的矩形零 件ＥＦＣＨ，要求一条长边在ＢＣ上，其 余两个顶点分别在 ＡＢ，ＡＣ上，则矩形 ＥＦＧＨ的周长为 ｃｍ． ８．（２０２４武汉一模）如图６，Ｄ，Ｅ，Ｆ分别为 △ＡＢＣ 的边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ上的点，ＤＥ∥ＡＢ，∠Ａ＝∠ＥＤＦ．若ＢＤＣＤ ＝ ２３，Ｓ△ＡＢＣ ＝５０，求四边形ＡＦＤＥ的面积． ３．５相似三角形的应用 １．（２０２４徐州一模）如图１－①，“矩”在古代指两 条边成直角的曲尺，它的两边长分别为 ａ，ｂ．中国古老 的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了 “矩”的功能，如“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰 立放可测物体的高度，如图１－②，从“矩”ＡＦＥ的一端Ａ 望向树顶端的点Ｃ，使视线通过“矩”的另一端Ｅ，测得 ＡＢ＝１．５ｍ，ＢＤ＝６．２ｍ．若“矩”的边ＥＦ＝３０ｃｍ，边 ＡＦ＝６０ｃｍ，则树高ＣＤ为 （　　） Ａ．３．１ｍ Ｂ．４．６ｍ Ｃ．５．３ｍ Ｄ．４．２ｍ ２．（２０２３成都一模）如图２，数学兴趣小组下午测 得一根长为０．８ｍ的竹竿影长是１ｍ，同一时刻测量树 高时发现树的影子有一部分落在教学楼的墙壁上，测 得留在墙壁上的影高１．２ｍ，地面上的影长为３ｍ，请你 帮算一下，树高是 ｍ． ３．如图３，ＡＤ，ＢＣ为两路灯， 身高均为１．８ｍ的小明、小亮站 在两路灯之间，两人相距６．５ｍ， 小明站在Ｐ处，小亮站在Ｑ处，小 明在路灯Ｃ下的影长ＡＰ为２ｍ， 路灯ＢＣ高９ｍ，则路灯ＡＤ的高为 ｍ． ４．（２０２４榆林一模）龙是中国等东亚区域古代神话 传说中的神异动物，是中华民族最具代表性的传统文 化之一．恰逢龙年，政府部门在某广场上做了一个龙形 雕像．某数学兴趣小组想要利用所学知识测量该雕像 的高度．如图４，雕像的高度为ＡＢ，在地面ＢＣ上取Ｅ，Ｇ 两点，分别竖立两根高均为１．５ｍ的标杆ＥＦ和ＧＨ，两 标杆间隔ＥＧ为８ｍ，并且雕像ＡＢ，标杆ＥＦ和ＧＨ在同 一竖直平面内．从标杆 ＥＦ后退２ｍ到 Ｄ处（即 ＥＤ＝ ２ｍ），从Ｄ处观察Ａ点，Ａ，Ｆ，Ｄ三点在一条直线上；从标 杆 ＧＨ后退３ｍ到Ｃ处（即ＣＧ＝３ｍ），从Ｃ处观察Ａ点， Ａ，Ｈ，Ｃ三点也在一条直线上．已知 Ｂ，Ｅ，Ｄ，Ｇ，Ｃ在同一 直线上，ＡＢ⊥ＢＣ，ＥＦ⊥ＢＣ，ＧＨ⊥ＢＣ，请你根据以上测 量数据，帮助兴趣小组求出该龙形雕像的高度． ３．６位似 １．（２０２４沧州一模）如图１，在正方形网格中，以点 Ｏ为位似中心，△ＡＢＣ的位似图形可以是 （　　） Ａ．△ＤＥＦ Ｂ．△ＤＦＨ Ｃ．△ＧＥＨ Ｄ．△ＧＤＪ ２．（２０２４保定期中）如图２，在正方形网格中，两个 阴影部分的格点三角形位似，则位似中心为 （　　） Ａ．点Ｍ Ｂ．点Ｎ Ｃ．点Ｐ Ｄ．点Ｑ ３．（２０２４乌鲁木齐一模）如图３，△ＡＢＣ与 △ＤＥＦ 是位似图形，点Ｏ为位似中心，且 ＯＡ∶ＯＤ＝１∶２，若 △ＡＢＣ的周长为８，则△ＤＥＦ的周长为 （　　） 槡Ａ．４ Ｂ．２２ Ｃ．１６ Ｄ．３２ ４．（２０２４晋城一模）在平面直角坐标系中，△ＡＢＣ 与△Ａ１Ｂ１Ｃ１关于原点Ｏ位似，点Ａ及其对应点Ａ１的坐 标分别为（－１，２），（３，－６），则△ＡＢＣ与△Ａ１Ｂ１Ｃ１的 位似比为 ． ５．（２０２３重庆渝北区一模）如图４，四边形ＡＢＣＤ与 四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′是以点Ｏ为位似中心的位似图形，已 知 ＯＡ ＯＡ′＝ ２ ５，若四边形 ＡＢＣＤ的面积是 ２，则四边形 Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的面积为 ． ６．（２０２３河源期末）已知△ＡＢＣ在平面直角坐标系 中的位置如图５所示． （１）在图中画出△ＡＢＣ沿ｘ轴翻折后的△Ａ１Ｂ１Ｃ１； （２）以点 Ｍ（１，２）为位似中心，作出 △Ａ１Ｂ１Ｃ１按 １∶２放大后的位似图形△Ａ２Ｂ２Ｃ２； （３）求点Ａ２的坐标以及△ＡＢＣ与△Ａ２Ｂ２Ｃ２的周长 比 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 ∠ＥＦＧ＝∠ＢＦＣ，所以 △ＥＦＧ∽ △ＢＦＣ．所以 ∠ＥＧＦ ＝ ∠ＢＣＦ ＝ ４５°．所 以 ∠ＥＢＦ ＝ ∠ＥＧＦ＝４５°．所以 ＥＢ ＝ＥＧ，∠ＢＥＧ＝９０°，所 以ＢＥ⊥ＥＧ． １８．（１）证明：因为 在 △ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝ ９０°，ＡＢ＝ＡＣ，所以∠Ｂ ＝∠Ｃ＝４５°．因为∠Ｂ ＋∠ＢＰＥ＋∠ＢＥＰ ＝ １８０°，所以 ∠ＢＰＥ ＋ ∠ＢＥＰ ＝１３５°．因为 ∠ＥＰＦ＝４５°，∠ＢＰＥ＋ ∠ＥＰＦ ＋ ∠ＣＰＦ ＝ １８０°，所以 ∠ＢＰＥ ＋ ∠ＣＰＦ ＝１３５°，所以 ∠ＢＥＰ＝∠ＣＰＦ，又因 为 ∠Ｂ ＝∠Ｃ，所以 △ＢＰＥ∽△ＣＦＰ． （２）△ＢＰＥ ∽ △ＣＦＰ．理由如下： 因为在 △ＡＢＣ中， ∠ＢＡＣ ＝ ９０°，ＡＢ ＝ ＡＣ，所以 ∠Ｂ＝∠Ｃ＝ ４５°．因为 ∠Ｂ＋∠ＢＰＥ ＋∠ＢＥＰ＝１８０°，所以 ∠ＢＰＥ ＋ ∠ＢＥＰ ＝ １３５°．因为 ∠ＥＰＦ ＝ ４５°，∠ＢＰＥ＋∠ＥＰＦ＋ ∠ＣＰＦ ＝１８０°，所以 ∠ＢＰＥ ＋ ∠ＣＰＦ ＝ １３５°，所以 ∠ＢＥＰ ＝ ∠ＣＰＦ，又因为 ∠Ｂ＝ ∠Ｃ，所以 △ＢＰＥ∽ △ＣＦＰ． （３）动点Ｐ运动到 ＢＣ中点位置时，△ＢＰＥ 与△ＰＦＥ相似，理由如 下： 同 （２）， 可 证 △ＢＰＥ∽ △ＣＦＰ，得 ＣＰ∶ＢＥ＝ＰＦ∶ＰＥ，因 为ＣＰ＝ＢＰ，所以 ＰＢ∶ ＢＥ＝ＰＦ∶ＰＥ．又因为 ∠ＥＢＰ＝∠ＥＰＦ，所以 △ＢＰＥ∽△ＰＦＥ． 上期４版 重点集训营 １．Ｄ；　２．２或１２７． ３．证明：（１）因为 ＡＢ＝ＡＣ，所以 ∠Ｂ＝ ∠Ｃ，因为ＣＥ＝ＢＦ，所以 △ＡＣＥ≌ △ＡＢＦ，所以 ∠ＣＡＥ＝∠ＢＡＦ． （２）因为△ＡＣＥ≌ △ＡＢＦ，所以 ＡＥ＝ＡＦ， ∠ＣＡＥ＝∠ＢＡＦ，因为 ＡＥ２ ＝ＡＱ·ＡＢ，ＡＣ＝ ＡＢ，所以ＡＥＡＱ ＝ ＡＢ ＡＥ，即 ＡＥ ＡＱ＝ ＡＣ ＡＦ，所以 △ＡＣＥ ∽△ＡＦＱ．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