第3期 2.1 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（湘教版）

书 一、分清ａ，ｂ，ｃ的符号 例１　（２０２３合肥期末）解方程：ｘ２＋３ｘ－１＝０． 解：因为ａ＝１，ｂ＝３，ｃ＝－１， 所以ｂ２－４ａｃ＝３２－４×１×（－１）＝１３， 所以 ｘ＝ －ｂ± ｂ ２－４槡 ａｃ ２ａ ＝ －３±槡１３ ２×１ ＝ －３±槡１３ ２ ， 解得ｘ１ ＝ －３＋槡１３ ２ ，ｘ２ ＝ －３－槡１３ ２ ． 二、将方程化为一般形式 例２　（２０２３上海期末）解方程：３ｘ（ｘ－１）－２＝２ｘ． 解：方程整理为３ｘ２－５ｘ－２＝０， 所以ａ＝３，ｂ＝－５，ｃ＝－２， 所以ｂ２－４ａｃ＝（－５）２－４×３×（－２）＝４９， 所以ｘ＝－ｂ± ｂ ２－４槡 ａｃ ２ａ ＝ ５±槡４９ ２×３ ＝ ５±７ ６ ， 解得ｘ１ ＝２，ｘ２ ＝－ １ ３． 三、ｂ２－４ａｃ≥０的方程才有实数根 例３　解方程：２ｘ２＋３ｘ＋５＝０． 解：因为ａ＝２，ｂ＝３，ｃ＝５， 所以ｂ２－４ａｃ＝３２－４×２×５＝－３１＜０， 所以方程没有实数根． 【对应练习见《重点集训营》】 辅助线专项练习 １．如图１，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＡＤ＝６，点Ｅ为 边 ＢＣ上的动点，连接ＡＥ，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＡＥ，且ＥＦ＝ ＡＥ，连接ＣＦ，则线段ＣＦ长度的最小值为 ． ２．如图２，正方形ＡＢＣＤ的边长为２槡２，点Ｅ是ＡＢ 边上的一个动点，点Ｆ是ＣＤ边上的一个动点，且ＡＥ＝ ＣＦ，过点Ｂ作ＢＧ⊥ＥＦ于点Ｇ，连接ＡＧ，则ＡＧ长的最小 值为 ． 【提示】 １．在ＢＡ上取一点Ｔ，使得ＢＴ＝ＢＥ，连接ＥＴ，在 ＥＣ上取一点Ｋ，使得∠ＦＫＣ＝４５°，连接ＦＫ，利用全 等三角形的性质证明ＢＫ＝ＡＢ＝４，由矩形的性质可 得ＣＤ＝ＡＢ＝４，ＢＣ＝ＡＤ＝６，进而推出点Ｆ在射线 ＫＦ上运动，当ＣＦ⊥ＫＦ时，ＣＦ值最小． ２．连接ＡＦ，ＣＥ，ＡＣ，设ＡＣ与ＥＦ的交点为点 Ｏ， 得到平行四边形ＡＥＣＦ，点Ｏ是ＡＣ的中点，连接ＢＤ， 则ＢＤ经过点Ｏ，且ＯＡ⊥ＯＢ，取ＯＢ的中点Ｈ，连接 ＡＨ，ＧＨ，根据三角形的三边关系，计算最值即可． 书 若 ａｘ２０＋ｂｘ０＋ｃ＝０，则ｘ０是一元二次方程ａｘ ２＋ｂｘ ＋ｃ＝０（ａ≠０）的一个根；反之，若ｘ０是一元二次方程 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的一个根，则可得ａｘ２０＋ｂｘ０＋ｃ ＝０．这就是一元二次方程根的定义，利用一元二次方程 根的定义解题是中考的常见考点． 例题呈现 例１　（２０２３武汉江岸区月考）已知３是一元二次 方程ｘ２－２ｘ＋ａ＝０的一个根，求ａ的值和方程的另一 根． 分析：方程的根就是未知数的值，所以这里实际上 已知ｘ＝３，将其代入原方程，得到关于ａ的方程，解一元 一次方程可求得ａ的值．然后解一元二次方程即可得到 方程的另一根． 解：将ｘ＝３代入ｘ２－２ｘ＋ａ＝０中，得９－６＋ａ＝ ０，解得ａ＝－３，将ａ＝－３代入ｘ２－２ｘ＋ａ＝０中，得ｘ２ －２ｘ－３＝０，解得ｘ１ ＝３，ｘ２ ＝－１，所以ａ＝－３，方程 的另一根为 －１． 例２　（２０２３石家庄模拟）若ｘ＝１是关于ｘ的一元 二次方程ｘ２＋ａｘ＋２ｂ＝０的解，则２ａ＋４ｂ＝ ． 分析：先把ｘ＝１代入方程ｘ２＋ａｘ＋２ｂ＝０，得ａ＋ ２ｂ＝－１，然后利用整体代入的方法计算２ａ＋４ｂ的值． 解：把ｘ＝１代入方程ｘ２＋ａｘ＋２ｂ＝０，得１＋ａ＋ ２ｂ＝０，所以ａ＋２ｂ＝－１，所以２ａ＋４ｂ＝２（ａ＋２ｂ）＝ ２×（－１）＝－２．故填 －２． 例３　（２０２３杭州西湖区二模）若关于 ｘ的一元二 次方程ａｘ２＋ｂｘ－３＝０（ａ≠０）有一个根为ｘ＝２０２３， 则方程ａ（ｘ－１）２＋ｂｘ－３＝ｂ必有一根为 ． 分析：把ａ（ｘ－１）２＋ｂｘ－３＝ｂ化为ａ（ｘ－１）２＋ｂ（ｘ －１）－３＝０，把ｘ－１看作是整体未知数，由题意，得ｘ－ １＝２０２３，从而可得方程的解． 解：因为ａ（ｘ－１）２＋ｂｘ－３＝ｂ可化为ａ（ｘ－１）２＋ ｂ（ｘ－１）－３＝０，关于ｘ的一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ－３＝ ０（ａ≠０）有一个根为ｘ＝２０２３，所以ｘ－１＝２０２３，解 得ｘ＝２０２４，所以ａ（ｘ－１）２＋ｂｘ－３＝ｂ必有一根为ｘ ＝２０２４．故填２０２４． 变式训练 １．（２０２３泗阳一模）若ｍ是一元二次方程ｘ２－ｘ－２ ＝０的一个根，则代数式２ｍ２－２ｍ的值为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．－１ Ｂ．－２ Ｃ．２ Ｄ．４ ２．（２０２３海安期末）关于ｘ的方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ ≠０），其中ａ，ｂ，ｃ满足ａ＋ｂ＋ｃ＝０和４ａ－２ｂ＋ｃ＝０， 则该方程的根是 （　　） Ａ．ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝２ Ｂ．ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝－２ Ｃ．ｘ１ ＝－１，ｘ２ ＝２ Ｄ．ｘ１ ＝－１，ｘ２ ＝－２ ３．（２０２３广州越秀区一模）已知关于ｘ的一元二次 方程（ｍ－１）ｘ２＋２ｘ＋ｍ２－１＝０有一个根是０，则ｍ的 值是 ． 书 ２４．（１）反比例函 数的表达式为ｙ＝ ６ｘ． （２）根据题意，得 Ｓ正方形ＡＢＣＤ ＝４×４＝１６， ＥＦ＝４，设 Ｐ（ｍ，ｎ），则 Ｓ△ＰＥＦ ＝ １ ２ＥＦ·｜ｍ｜＝ ２｜ｍ｜＝８，解得 ｍ ＝ ±４，当 ｍ ＝４时，ｎ＝ ６ ４ ＝ ３ ２，此时 Ｐ（４， ３ ２）；当ｍ＝－４时，ｎ＝ ６ －４ ＝－ ３ ２， 此 时 Ｐ（－４，－３２）． 综上可知，在反比 例函数的图象上存在点 Ｐ，使得 △ＰＥＦ的面积 等于正方形ＡＢＣＤ面积 的一半，点 Ｐ的坐标为 （４， ３２） 或 （－ ４， －３２）． ２５．（１）反比例函 数的关系式为ｙ＝ ６ｘ． （２） 解 方 程 组 ｙ＝ｘ＋１， ｙ＝ ６ｘ { ， 得 ｘ１ ＝－３， ｙ１ ＝－ { ２ 或 ｘ２ ＝２， ｙ２ ＝３ { ，因为点 Ａ（２， ３），所 以 点 Ｂ（－３， －２），因为 ＢＣ⊥ ｘ轴， 所以点 Ｃ（－３，０），ＢＣ ＝２，所以Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２× ２×（２＋３）＝５． （３）存在，理由如 下： 作点Ｃ关于ｙ轴的 对称点Ｃ′，连接ＢＣ′交ｙ 轴于点 Ｄ，连接 ＣＤ，此 时ＤＢ＋ＣＤ的值最小， 因为 Ｃ（－３，０），所以 Ｃ′（３，０），设直线ＢＣ′的 关系式为ｙ＝ｍｘ＋ｎ，将 Ｂ（－３，－２），Ｃ′（３，０） 代 入 得 书 上期２版 １．３反比例函数的应用 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．３００；　４．１２ａ； ５．（１）５０；　（２）２０． 能力提高　６．（１）ｙ＝ －２ｘ＋１０（０≤ｘ≤３）， １２ ｘ（ｘ＞３） { ． （２）能，理由如下： 令ｙ＝１２ｘ ＝１，解得ｘ＝１２，因为１２＜１５， 故能在１５天以内达到不超过最高允许的１．０ｍｇ／Ｌ． 重点集训营 １．－３；　２．２；　３．－６；（－３，２）． ４．（１）反比例函数的表达式是ｙ＝ ６ｘ． （２）将ｙ＝３代入ｙ＝６ｘ中，得ｘ＝２，即点Ｎ的坐 标是（２，３），因为四边形 ＯＡＢＣ是矩形，Ｂ（４，３），Ｍ（４， １．５），所以∠ＢＣＯ＝∠ＢＡＯ＝∠Ｂ＝９０°，ＢＮ＝４－２＝ ２，ＯＣ＝ＢＡ＝３，ＣＮ＝２，ＡＭ＝ＢＭ＝１．５，所以Ｓ△ＭＯＮ ＝ Ｓ矩形ＯＡＢＣ －Ｓ△ＯＣＮ－Ｓ△ＢＭＮ－Ｓ△ＯＡＭ ＝４×３－ １ ２×３×２－ １ ２×２×１．５－ １ ２×４×１．５＝４．５． 上期３，４版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ｂ Ｃ Ｃ Ｄ Ｃ Ａ Ｃ Ｂ Ｂ 二、１１．ｋ＜－３；　１２．－２；　１３．２．２；　１４．－１６； １５．ｘ２ ＜ｘ１＜ｘ３；　１６．６；　１７．（３＋槡４３）；　１８．２或１． 三、１９．（１）反比例函数的关系式为ｙ＝－２ｘ，一次 函数的关系式为ｙ＝－ｘ－１． （２）当反比例函数值大于一次函数值时，ｘ的取值 范围是 －２＜ｘ＜０或ｘ＞１． ２０．（１）设ｙ关于ｘ的函数表达式为ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）， 把 ｘ＝６，ｙ＝２代入ｙ＝ ｋｘ，解得ｋ＝１２，所以函数表达 式为ｙ＝１２ｘ． （２）当像高为３ｃｍ时，即ｙ＝３，将ｙ＝３代入ｙ＝ １２ ｘ，解得ｘ＝４，所以小孔到蜡烛的距离为４ｃｍ． ２１．（１）Ａ（４，０），Ｂ（０，－２）． （２）因为点Ｑ在反比例函数ｙ＝ ｋｘ的图象上，所以 ２Ｓ△ＯＱＣ ＝ｋ，所以ｋ＝２× ３ ２ ＝３，因为ＰＣ是△ＡＯＢ的 中位线，所以 Ｃ（２，０），ＰＣ⊥ ｘ轴，即 ＱＣ⊥ ＯＣ，可设 Ｑ（２，ｑ），因为Ｑ在反比例函数ｙ＝ ｋｘ的图象上，所以ｑ ＝ ３２，所以点Ｑ的坐标为（２， ３ ２）． ２２．（１）反比例函数的表达式为 ｙ＝ ８ｘ，一次函数 的表达式为ｙ＝－ｘ＋６． （２）设点Ｅ的坐标为（ａ，０），在ｙ＝－ｘ＋６中，令ｙ ＝０，解得ｘ＝６，所以点Ｃ（６，０），所以ＣＥ＝｜ａ－６｜，因 为Ｓ△ＡＥＢ ＝Ｓ△ＡＥＣ－Ｓ△ＢＥＣ ＝５，所以 １ ２×｜ａ－６｜×（４－ ２）＝５，解得ａ１＝１１，ａ２＝１，所以点Ｅ的坐标为（１１，０） 或（１，０）． ２３．（１）ｔ的值为２０． （２）由函数图象和（１）可知： 当冷柜温度达到 －４℃时制冷开始，温度开始逐渐 下降，当温度下降到 －２０℃时制冷停止，这个过程需要 ４分钟， 当温度下降到 －２０℃ 时制冷停止，温度开始逐渐 上升，当温度上升到 －４℃时，这个过程需要２０－４＝ １６分钟， 所以当前冷柜的温度为 －２０℃，冷柜制冷停止，过 １６分钟后，温度上升到 －４℃，冷柜制冷开始，再过４分 钟，温度下降到 －２０℃，冷柜制冷停止，过１６分钟后，温 度上升到 －４℃． 所以当前冷柜的温度为 －２０℃，冷柜继续工作 ３６分钟后，此时冷柜中的温度是 －４℃． 书 一、分清ａ，ｂ，ｃ的符号 例１　（２０２３合肥期末）解方程：ｘ ２ ＋３ｘ－１＝０． 解：因为ａ＝１，ｂ＝３，ｃ＝－１， 所以ｂ ２ －４ａｃ＝３ ２ －４×１×（－１）＝１３， 所以ｘ＝－ｂ±ｂ ２ －４ 槡ａｃ ２ａ＝－３±槡１３ ２×１＝ －３±槡１３ ２ ， 解得ｘ１＝－３＋槡１３ ２ ，ｘ２＝－３－槡１３ ２． 二、将方程化为一般形式 例２　（２０２３上海期末）解方程：３ｘ（ｘ－１）－２＝２ｘ． 解：方程整理为３ｘ ２ －５ｘ－２＝０， 所以ａ＝３，ｂ＝－５，ｃ＝－２， 所以ｂ ２ －４ａｃ＝（－５） ２ －４×３×（－２）＝４９， 所以ｘ＝－ｂ±ｂ ２ －４ 槡ａｃ ２ａ＝５±槡４９ ２×３＝５±７ ６ ， 解得ｘ１＝２，ｘ２＝－１ ３． 三、ｂ ２ －４ａｃ≥０的方程才有实数根 例３　解方程：２ｘ ２ ＋３ｘ＋５＝０． 解：因为ａ＝２，ｂ＝３，ｃ＝５， 所以ｂ ２ －４ａｃ＝３ ２ －４×２×５＝－３１＜０， 所以方程没有实数根． 【对应练习见《重点集训营》】 辅助线专项练习 １．如图１，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＡＤ＝６，点Ｅ为 边ＢＣ上的动点，连接ＡＥ，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＡＥ，且ＥＦ＝ ＡＥ，连接ＣＦ，则线段ＣＦ长度的最小值为． ２．如图２，正方形ＡＢＣＤ的边长为２槡２，点Ｅ是ＡＢ 边上的一个动点，点Ｆ是ＣＤ边上的一个动点，且ＡＥ＝ ＣＦ，过点Ｂ作ＢＧ⊥ＥＦ于点Ｇ，连接ＡＧ，则ＡＧ长的最小 值为． 【提示】 １．在ＢＡ上取一点Ｔ，使得ＢＴ＝ＢＥ，连接ＥＴ，在 ＥＣ上取一点Ｋ，使得∠ＦＫＣ＝４５°，连接ＦＫ，利用全 等三角形的性质证明ＢＫ＝ＡＢ＝４，由矩形的性质可 得ＣＤ＝ＡＢ＝４，ＢＣ＝ＡＤ＝６，进而推出点Ｆ在射线 ＫＦ上运动，当ＣＦ⊥ＫＦ时，ＣＦ值最小． ２．连接ＡＦ，ＣＥ，ＡＣ，设ＡＣ与ＥＦ的交点为点Ｏ， 得到平行四边形ＡＥＣＦ，点Ｏ是ＡＣ的中点，连接ＢＤ， 则ＢＤ经过点Ｏ，且ＯＡ⊥ＯＢ，取ＯＢ的中点Ｈ，连接 ＡＨ，ＧＨ，根据三角形的三边关系，计算最值即可． 书 重点集训营 １．用公式法解方程： （１）３ｘ２＋１＝４ｘ； （２）２ｘ２＋ｘ－３＝０； （３）５ｘ２－５ｘ＋３＝０； （４）ｘ２－５ｘ－１０＝０； （５）１２ｘ ２－７ｘ＋２０＝０； （６）ｘ２－ 槡２６ｘ－５＝０． ２．已知关于ｘ的方程ｘ２－２（ｋ－３）ｘ＋ｋ２－４ｋ－１＝０． （１）若这个方程有实数根，求ｋ的取值范围； （２）若这个方程有一个根为１，求ｋ的值                                           ． 书 对于二次三项式ｘ２＋ｐｘ＋ｑ，如果能够把常数项ｑ 分解成两个因数ａ，ｂ的积，并且ａ＋ｂ等于一次项系数 ｐ，那么它就可以分解因式，即ｘ２＋ｐｘ＋ｑ＝ｘ２＋（ａ＋ ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）． 当ｑ＞０时，ｑ分解的因数ａ，ｂ同号，且ａ，ｂ符号与 ｐ符号相同，如ｘ２＋１４ｘ＋４５＝（ｘ＋５）（ｘ＋９），ｘ２－９ｘ ＋１４＝（ｘ－２）（ｘ－７）． 当ｑ＜０时，ｑ分解的因数ａ，ｂ异号，且其中绝对值 较大的因数符号与ｐ符号相同，如ｘ２－７ｘ－６０＝（ｘ－ １２）（ｘ＋５），ｘ２＋ｘ－７２＝（ｘ－８）（ｘ＋９）． 一般地，（ａ１ｘ＋ｃ１）（ａ２ｘ＋ｃ２）＝ａ１ａ２ｘ ２＋ａ１ｃ２ｘ＋ ａ２ｃ１ｘ＋ｃ１ｃ２ ＝ａ１ａ２ｘ ２＋（ａ１ｃ２＋ａ２ｃ１）ｘ＋ｃ１ｃ２． 反过来，就得到 ａ１ａ２ｘ ２＋（ａ１ｃ２＋ａ２ｃ１）ｘ＋ｃ１ｃ２ ＝ （ａ１ｘ＋ｃ１）（ａ２ｘ＋ｃ２）． 我们发现，二次项ａｘ２分解成ａ１ｘａ２ｘ，常数项ｃ分解 成ｃ１ｃ２，并且把ａ１ｘ，ａ２ｘ，ｃ１，ｃ２排列如下： ａ１ｘ ａ２ｘ ｃ１ ｃ２ 这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到 ａ１ｘｃ２ ＋ ａ２ｘｃ１，如果它们正好等于ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ的一次项ｂｘ，那么 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ就可以分解成（ａ１ｘ＋ｃ１）（ａ２ｘ＋ｃ２），其中 ａ１ｘ，ｃ１位于上图的上一行，ａ２ｘ，ｃ２位于下一行． 像这种借助画十字交叉分解系数，从而帮助我们 把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法． 一般地，我们也可以用这种方法解一元二次方程， 请看下面的例题． 例　用十字相乘法解下列方程： （１）ｘ２＋６ｘ－７＝０；　（２）２ｘ２－５ｘ－３＝０． 分析：先将二次项分解成两个因式的乘积，然后分 解常数项，再验证． 解：（１）ｘ２＋６ｘ－ ７ ＝ ０； 　  　ｘ 　ｘ ７ －１ 因为 －ｘ＋７ｘ＝６ｘ，所以（ｘ＋７）（ｘ－１）＝０， 解得ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝－７． （２）２ｘ２－５ｘ－ ３ ＝ ０． 　  　２ｘ 　ｘ １ －３ 因为２ｘ×（－３）＋ｘ＝－６ｘ＋ｘ＝－５ｘ， 所以（２ｘ＋１）（ｘ－３）＝０，解得ｘ１＝－ １ ２，ｘ２＝３． 通过上面的例题，可以将十字相乘法解一元二次 方程分为以下步骤：（１）竖分二次项与常数项；（２）交 叉相乘，积相加；（３）检验确定，横写结果． 即拆两头，凑中间，拆分常数项，验证一次项． !"#$%&' ()*+,-.& /01234. 56 78 9":$&;. <=>?@A/04' B C D /054. EF 8 GFH GFIE ( C D /054. JF 8KLM!N OP54.GFH GFIE ( :QR STU ?VW XYZ[ #$& /01 -.& /0 1 78, \](^ _`abcdeIf gIh ?VW ()>Yij9" 5:$& <= ?@A/01 KL k"lm5l:n k"^:n o_pqrstude/0;. vwxrXY ,#$%&'/04'5yz {-|}tuIfz :QR XY~@A_pyz0:€#$y ‚ƒ^„5…† ! tuIfz0^]y "# !"#$%&'()*+,-./ 01& '23% 456 $ 4‡ ˆA 0V 4‡ ˆA 0V {Tl„5…† @A‰tuIfz0:€#$ y/‡A^Š‹ Œ/#$&H-.& d eIf 6Ih Ž ‘’“) B”2• –L— ”/-.& Ž˜:$& ! !" #$% 书 配方法是解一元二次方程的基本方法，也是解决代 数中有关二次式最值问题的常用方法之一．配方是通过 “加上”并且“减去”相同的项，把代数式中的某些项配 成完全平方式，达到巧解的目的．下面就让我们走进一 元二次方程的解法，一起来体会配方法的无限魅力吧！ 一、配方法的基本思路 用配方法解一元二次方程的基本思路是将方程转 化为（ｘ＋ｍ）２ ＝ｎ的形式，然后利用开平方达到降次的 目的．当ｎ≥０时，根据平方根的意义可求出它的根为 ｘ＝－ｍ±槡ｎ． 二、配方法的步骤 如果方程的二次项系数是１，且一次项系数是２的 整数倍，比如ｘ２－４ｘ＋１＝０，那么一般可按以下步骤解 方程： （１）移项：使方程的左边为含有未知数的项（即二 次项与一次项），右边为不含未知数的项（即常数项）， 得ｘ２－４ｘ＝－１； （２）配方：在方程的两边都加上一次项系数一半的 平方，把方程左边写成完全平方的形式，即 ｘ２－４ｘ＋ （－４２） ２ ＝－１＋（－４２） ２，（ｘ－２）２ ＝３； （３）开方：根据平方根的意义，直接开平方得到两 个一元一次方程，从而达到“降次”的目的，由此可得 ｘ－２＝槡３或ｘ－２＝－槡３； （４）求解：解两个一元一次方程，得 ｘ１ ＝２＋槡３， ｘ２ ＝２－槡３． 温馨提示：（１）如果方程的二次项系数不是１，要先 利用等式的基本性质将其化为１； （２）若一个方程完成配方后，方程右边的常数项是 负数，这说明原方程在实数范围内无解． 练习：用配方法解一元二次方程：３ｘ２－６ｘ＋２＝０． ［答案：ｘ１ ＝ ３－槡３ ３ ，ｘ２ ＝ ３＋槡３ ３ ］ 三、配方法的应用 配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能巧解数 学中的很多问题，下面我们就一起欣赏如何巧用“配方 法”解题吧！ 例　（２０２３驻马店月考）用配方法证明：无论 ｘ取 何值，代数式 －２ｘ２＋８ｘ－９的值总小于０． 分析：利用配方法把 －２ｘ２＋８ｘ－９转化成 －２（ｘ－ ２）２－１，再证明 －２（ｘ－２）２－１≤－１＜０即可． 证明：－２ｘ２＋８ｘ－９＝－２（ｘ２－４ｘ）－９＝－２（ｘ２ －４ｘ＋４）－９＋８＝－２（ｘ－２）２－１，因为（ｘ－２）２≥０， 所以 －２（ｘ－２）２≤０，所以 －２（ｘ－２）２－１≤－１＜０， 所以代数式 －２ｘ２＋８ｘ－９的值总小于０． """""""""""""""""""# " $ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%$ " $ """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! &' ( ) *+,-./0 !"#1$"%2&"'!" ! ! 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Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 ７．（２０２３南通月考）若ａ是方程ｘ２－ｘ－１＝０的一 个根，则 －ａ３＋２ａ＋２０２２的值为 （　　） Ａ．２０２１ Ｂ．－２０２３ Ｃ．２０１９ Ｄ．－２０１９ ８．（２０２３合肥三模）三角形两边的长是３和４，第三 边的长是方程ｘ２－１２ｘ＋３５＝０的根，则该三角形的周 长为 （　　） Ａ．１４ Ｂ．１２ Ｃ．１２或１４ Ｄ．以上都不对 二、细心填一填（每小题４分，共２０分） ９．（２０２３深圳模拟）若一元二次方程的二次项系数 为１，常数项为 ０，它的一个根为 ２，则该方程可以为 ． １０．若ｎ（ｎ≠０）是关于ｘ的方程ｘ２－ｍｘ＋２ｎ＝０ 的根，则ｍ－ｎ的值为 ． １１．已知关于ｘ的一元二次方程（ｍ－１）ｘ２＋２ｘ＋１ ＝０有实数根，则ｍ的取值范围是 ． １２．（２０２３衡水二模）在解一元二次方程ｘ２＋ｂｘ＋ｃ ＝０时，小明看错了一次项系数ｂ，得到的解为ｘ１＝２，ｘ２ ＝３；小刚看错了常数项ｃ，得到的解为ｘ１＝１，ｘ２＝５．请 你写出正确的一元二次方程： ． １３．定义新运算“ ! ”如下：当ａ≥ｂ时，ａ!ｂ＝ａｂ ＋ｂ；当ａ＜ｂ时，ａ ! ｂ＝ａｂ－ａ．若（２ｘ－１） ! （ｘ＋２） ＝０，则ｘ＝ ． 三、耐心解一解（共４８分） １４．（１２分）解方程： （１）（ｘ－２）２ ＝４； （２）（２０２３广州）ｘ２－６ｘ＋５＝０； （３）４ｘ２－ 槡２３ｘ－１＝０． １５．（８分）小敏与小霞两位同学解方程３（ｘ－３）＝ （ｘ－３）２的过程如下框： 小敏： 两边同除以（ｘ－３），得 ３＝ｘ－３， 则ｘ＝６． 小霞： 移项，得３（ｘ－３）－（ｘ－３）２ ＝０， 提取公因式，得（ｘ－３）（３－ｘ－３）＝０， 则ｘ－３＝０或３－ｘ－３＝０， 解得ｘ１ ＝３，ｘ２ ＝０． 判断他们的解法是否正确？并写出你的解答过程． １６．（２０２３惠州期末，８分）定义：如果关于ｘ的一元 二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）满足ｂ＝ａ＋ｃ，那么 我们称这个方程为“完美方程”． （１）下面方程是“完美方程”的是 （填序 号）； ①ｘ２－４ｘ＋３＝０；②２ｘ２＋ｘ＋３＝０；③２ｘ２－ｘ－３ ＝０． （２）已知３ｘ２＋ｍｘ＋ｎ＝０是关于ｘ的“完美方程”， 若ｍ是此“完美方程”的一个根，求ｍ的值． １７．（１０分）小明在解一元二次方程时，发现有这样 一种解法，如：解方程ｘ（ｘ＋４）＝６． 解：原方程可变形，得［（ｘ＋２）－２］［（ｘ＋２）＋２］＝ ６，即（ｘ＋２）２－２２ ＝６，移项得（ｘ＋２）２ ＝１０，直接开平 方并整理，得ｘ１ ＝－２＋槡１０，ｘ２ ＝－２－槡１０． 我们称小明这种解法为“平均数法”． （１）下面是小明用“平均数法”解方程（ｘ＋５）（ｘ＋ ９）＝５时写的解题过程． 解：原方程可变形，得［（ｘ＋ａ）－ｂ］［（ｘ＋ａ）＋ｂ］＝ ５，即（ｘ＋ａ）２－ｂ２＝５，移项得（ｘ＋ａ）２＝５＋ｂ２，直接开 平方并整理，得ｘ１ ＝ｃ，ｘ２ ＝ｄ． 上述过程中的 ａ，ｂ，ｃ，ｄ表示的数分别为 ， ， ， ； （２）请用“平均数法”解方程：（ｘ－５）（ｘ＋７）＝１２． １８．（１０分）定义：如果一个数的平方等于 －１，记为 ｉ２ ＝－１，这个数ｉ叫做虚数单位．我们把形如ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ 为实数）的数叫做复数，其中 ａ叫做这个复数的实部，ｂ 叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式 的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程ｘ２ ＝－１，解得ｘ１ ＝ｉ，ｘ２ ＝－ｉ． 同样我们也可以化简 －槡 ４ ＝ ４×（－１槡 ） ＝ ２２×ｉ槡 ２ ＝２ｉ． 读完这段文字，请你解答以下问题： （１）填空：ｉ３ ＝ ，ｉ４ ＝ ，ｉ６ ＝ ，ｉ２０２４ ＝ ； （２）在复数范围内解方程：（ｘ－１）２ ＝－１； （３）在复数范围内解方程：ｘ２－４ｘ＋８＝０                                                                                                                                                                 ． 书 ２．１一元二次方程 １．一元二次方程５ｘ２－２ｘ＋２＝０的一次项系数是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．５ Ｂ．－２ Ｃ．２ Ｄ．０ ２．已知关于ｘ的一元二次方程ｋｘ２－（ｋ－２）ｘ＋４＝ ０的一个根是２，则ｋ的值是 （　　） Ａ．２ Ｂ．－２ Ｃ．４ Ｄ．－４ ３．关于ｘ的方程（ｍ＋１）ｘ｜ｍ｜＋１－ｍｘ＋６＝０是一元 二次方程，则ｍ的值是 （　　） Ａ．－１ Ｂ．３ Ｃ．１ Ｄ．１或 －１ ４．某校截止到２０２２年底，校园绿化面积为１０００平 方米．为美化环境，该校计划２０２４年底绿化面积达到 １４４０平方米．利用方程思想，设这两年绿化面积的年 平均增长率为ｘ，则依题意列方程为 ． ５．方程ｘ２＋ａｘ＋１＝０和ｘ２－ｘ－ａ＝０有一个公 共根，则ａ的值是 ． ６．若关于ｘ的一元二次方程ａｘ２＋２ｂｘ－２＝０的一 个根是ｘ＝２０２４，则一元二次方程 ａ２（ｘ＋２） ２＋ｂｘ＋２ｂ ＝１必有一根为 ． ７．关于ｘ的一元二次方程２（ｘ－１）２＋ｂ（ｘ－１）＋ ｃ＝０化为一般形式后为２ｘ２－３ｘ－１＝０，试求ｂ，ｃ的 值． ２．２．１配方法 １．（２０２３赤峰）用配方法解方程ｘ２－４ｘ－１＝０时， 配方后正确的是 （　　） Ａ．（ｘ＋２）２ ＝３ Ｂ．（ｘ＋２）２ ＝１７ Ｃ．（ｘ－２）２ ＝５ Ｄ．（ｘ－２）２ ＝１７ ２．对于两个不相等的实数 ａ，ｂ，我们规定符号 ｍａｘ（ａ，ｂ）表示 ａ，ｂ中的较大值，如：ｍａｘ（３，５）＝５， ｍａｘ（－３，－５）＝－３．按照这个规定，若ｍａｘ｛ｘ，－ｘ｝＝ ｘ２－３ｘ－５，则ｘ的值是 （　　） Ａ．５ Ｂ．５或 槡１－ ６ Ｃ．－１或 槡１－ ６ Ｄ．５或１＋槡６ ３．若关于ｘ的方程（ｘ－２）２＝１－ｍ无实数根，那么 ｍ满足的条件是 ． ４．把一元二次方程ｘ２－４ｘ－８＝０化成（ｘ－ｍ）２＝ ｎ的形式，则ｍ＋ｎ的值为 ． ５．小刚在解关于ｘ的方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０） 时，只抄对了ａ＝１，ｂ＝４，解出其中一个根是ｘ＝－１． 他核对时发现所抄ｃ的值比原方程的 ｃ值小１，则原方 程的根为 ． ６．解方程： （１）（２０２３桦南一模）（ｘ＋３）２－２５＝０； （２）ｘ（ｘ－６）＝６． ７．已知代数式Ａ＝２ｘ２＋５ｘ－３，Ｂ＝ｘ２＋ｘ－８． （１）当ｘ为何值时，代数式Ａ比Ｂ的值大２； （２）求证：对于任意的ｘ值，代数式Ａ－Ｂ的值恒为 正数． ２．２．２公式法 １．用公式法解方程ｘ２－２＝－３ｘ时，ａ，ｂ，ｃ的值依 次是 （　　） Ａ．０，－２，－３ Ｂ．１，３，－２ Ｃ．１，－３，－２ Ｄ．１，－２，－３ ２．解一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０，其中一个根为 －ｂ± ｂ２＋槡 ４ ２ ，则ｃ等于 （　　） Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．０ Ｄ．２ ３．（２０２３大连三模）若关于ｘ的一元二次方程ｘ２－ （ｋ＋４）ｘ＋３＋ｋ＝０恰有一个根小于０，则ｋ的取值范 围是 ． ４．嘉琪准备完成题目：解一元二次方程ｘ２－６ｘ＋□ ＝０．若“□”表示一个数字，且一元二次方程ｘ２－６ｘ＋ □ ＝０有实数根，则“□”的最大值为 ，此时方 程的解为 ． ５．（２０２３枣庄一模）将关于ｘ的一元二次方程ｘ２－ ｐｘ＋ｑ＝０变形为ｘ２＝ｐｘ－ｑ，就可以将ｘ２表示为关于 ｘ的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如ｘ３＝ｘ· ｘ２ ＝ｘ（ｐｘ－ｑ）＝…，我们将这种方法称为“降次法”， 通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次 法”，已知ｘ２＋ｘ－１＝０，且ｘ＞０，则ｘ４－２ｘ３＋３ｘ的值 为 ． ６．解方程： （１）（２０２３无锡）２ｘ２＋ｘ－２＝０； （２）（ｘ－２）２ ＝６－ｘ． ７．已知关于ｘ的一元二次方程（ａ＋ｃ）ｘ２＋２ｂｘ＋（ａ －ｃ）＝０，其中ａ，ｂ，ｃ分别为△ＡＢＣ三边的长． （１）如果ｘ＝－１是方程的根，试判断△ＡＢＣ的形 状，并说明理由； （２）如果△ＡＢＣ是等边三角形，试求这个一元二次 方程的根． ２．２．３因式分解法 １．解方程ｘ２－９７ｘ＝０较为合适的方法是（　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．直接开平方法 Ｂ．配方法 Ｃ．公式法 Ｄ．因式分解法 ２．（２０２３佛山月考）如果二次三项式ｘ２＋ｐｘ＋ｑ能 分解成（ｘ＋５）（ｘ－１）的形式，则方程ｘ２＋ｐｘ＋ｑ＝０的 两个根为 （　　） Ａ．ｘ１ ＝－５，ｘ２ ＝－１ Ｂ．ｘ１ ＝－５，ｘ２ ＝１ Ｃ．ｘ１ ＝５，ｘ２ ＝－１ Ｄ．ｘ１ ＝５，ｘ２ ＝１ ３．（２０２３沭阳月考）若ｘ２＋１与ｘ２－４ｘ＋１的值互 为相反数，则ｘ的值是 ． ４．（２０２３连云港月考）三角形两边的长是６和８，第 三边长满足方程ｘ２－２４ｘ＋１４０＝０，则三角形的周长为 ． ５．（２０２３北京海淀区期末）在平面直角坐标系中， 已知点Ｐ（ｍ，ｎ），ｍ，ｎ满足（ｍ２＋ｎ２＋１）（ｍ２＋ｎ２＋３） ＝１５，则ＯＰ的长为 ． ６．解方程： （１）（２ｘ－３）２ ＝３（２ｘ－３）； （２）（２０２３天津武清区月考）ｘ２－ｘ－１２＝０． ７．（２０２３长春月考）由多项式乘法：（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ） ＝ｘ２＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ，将该式从右到左使用，即可得到 “十字相乘法”进行因式分解的公式：ｘ２＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）．示例：分解因式：ｘ２＋５ｘ＋６＝ｘ２＋ （２＋３）ｘ＋２×３＝（ｘ＋２）（ｘ＋３）． （１）尝试：分解因式：ｘ２ ＋６ｘ＋８ ＝ （ｘ＋ ）（ｘ＋ ）； （２）应用：①请用上述方法解方程：ｘ２－５ｘ－６＝０； ②如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＣ＝８，且ＡＢ的长 是方程ｘ２－９ｘ＋２０＝０的一个根，求等腰三角形ＡＢＣ的 面积 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 －３ｍ＋ｎ＝－２， ３ｍ＋ｎ＝０{ ， 解得 ｍ＝ １３， ｎ＝－１ { ， 所以一次函 数的关系式为 ｙ＝ １３ｘ －１，当 ｘ＝０时，ｙ＝ －１，所以点Ｄ（０，－１）． ２６．（１）因为四边 形 ＯＣＢＡ为矩形，点 Ｂ 的坐标为（４，２），点 Ｄ 为ＡＢ的中点，所以点Ｄ 的坐标为（２，２），因为 反比例函数 ｙ＝ ｋｘ的 图象经过点Ｄ，所以ｋ＝ ４，所以反比例函数的表 达式为ｙ＝ ４ｘ．由题意 得，点Ｅ的横坐标为４， 且点Ｅ在反比例函数 ｙ ＝４ｘ的图象上，则点Ｅ 的纵坐标为１，所以点Ｅ 的坐标为（４，１）． （２）设点Ｍ的坐标 为（０，ｎ），因为点 Ｄ的 坐标为（２，２），点Ｅ的坐 标为（４，１），点Ｂ的坐标 为（４，２），所以ＯＣ＝ＡＢ ＝４，ＯＡ＝ＢＣ＝２，ＡＤ ＝２，因 为 Ｓ△ＯＤＥ ＝ Ｓ矩形ＯＣＢＡ－Ｓ△ＯＡＤ－Ｓ△ＯＣＥ －Ｓ△ＤＢＥ ＝２×４－ １ ２× ２×２－１２×４×１－ １ ２ ×２×１＝３，所以Ｓ△ＭＢＯ ＝Ｓ△ＯＤＥ ＝ １ ２×４×ｎ＝ ３，解得ｎ＝ ３２，所以点 Ｍ的坐标为（０，３２）． （３）存在，①当ＤＥ 为平行四边形的边时， ＤＥ＝ＰＱ，ＤＥ∥ＰＱ，因 为点 Ｄ的坐标为（２， ２），点 Ｅ的坐标为（４， １），点Ｐ的纵坐标为０， 所以易求得点Ｑ的纵坐 标为 ±１，对于ｙ＝ ４ｘ， 当ｙ＝１时，ｘ＝４（不合 题意，舍去），当 ｙ＝ －１时，ｘ＝－４，则点 Ｑ 的坐标为（－４，－１）； ②当ＤＥ为平行四 边形的对角线时，因为 点 Ｄ的坐标为（２，２）， 点Ｅ的坐标为（４，１），所 以 ＤＥ的中点坐标为 （３，３２），设点Ｑ的坐标 为（ａ，４ａ），点Ｐ的坐标 为（ｘ，０），则 ４ ａ ２ ＝ ３ ２， 解得ａ＝ ４３，所以点 Ｑ 的坐标为（ ４ ３，３）．综上 所述，以点Ｐ，Ｑ，Ｄ，Ｅ为 顶点的四边形为平行四 边形时，点 Ｑ的坐标为 （－４，－１）或（４３，３）． ! !""#$%&' ()*+,-./0 !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ 12345672*8 # / %&'( ! 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