第2期 1.3 反比例函数的应用 《反比例函数》章节测试卷（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（湘教版）

书书书 三 、 耐 心 解 一 解 （ 本 大 题 共 ８ 小 题 ， 满 分 ６６ 分 ） １９． （６ 分 ） 如 图 ９ ，一 次 函 数 ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ 与 反 比 例 函 数 ｙ ＝ ｍｘ 的 图 象 交 于 Ａ （ － ２ ，１ ） ，Ｂ （１ ，ａ ） 两 点 ． （１ ） 分 别 求 出 反 比 例 函 数 与 一 次 函 数 的 关 系 式 ； （２ ） 观 察 图 象 ，直 接 写 出 当 反 比 例 函 数 值 大 于 一 次 函 数 值 时 ，ｘ 的 取 值 范 围 ． ２０． （２０２３ 沧 州 期 末 ，６ 分 ） 如 图 １０ ，根 据 小 孔 成 像 的 科 学 原 理 ，当 像 距 （ 小 孔 到 像 的 距 离 ） 和 物 高 （ 蜡 烛 火 焰 高 度 ） 不 变 时 ，火 焰 的 像 高 ｙ（ 单 位 ：ｃｍ ） 是 物 距 （ 小 孔 到 蜡 烛 的 距 离 ） ｘ（ 单 位 ：ｃｍ ） 的 反 比 例 函 数 ，当 ｘ ＝ ６ 时 ，ｙ ＝ ２ ． （１ ） 求 ｙ 关 于 ｘ 的 函 数 表 达 式 ； （２ ） 若 某 一 时 刻 像 高 为 ３ ｃｍ ，则 此 时 小 孔 到 蜡 烛 的 距 离 为 多 少 ？ ２１． （８ 分 ） 如 图 １１ ，一 次 函 数 ｙ ＝ １２ ｘ － ２ 的 图 象 分 别 交 ｘ 轴 、ｙ 轴 于 点 Ａ ，Ｂ ，点 Ｐ 为 ＡＢ 上 一 点 且 ＰＣ 为 △ ＡＯ Ｂ 的 中 位 线 ，ＰＣ 的 延 长 线 交 反 比 例 函 数 ｙ ＝ ｋｘ （ｋ ＞ ０ ） 的 图 象 于 点 Ｑ ，Ｓ △ Ｏ Ｑ Ｃ ＝ ３２ ． （１ ） 求 点 Ａ 和 点 Ｂ 的 坐 标 ； （２ ） 求 ｋ 的 值 和 点 Ｑ 的 坐 标 ． ２２． （８ 分 ） 如 图 １２ ，反 比 例 函 数 ｙ ＝ ｍｘ 的 图 象 与 一 次 函 数 ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ 的 图 象 交 于 Ａ ，Ｂ 两 点 ，点 Ａ 的 坐 标 为 （２ ，４ ） ，点 Ｂ 的 坐 标 为 （ｎ ，２ ）． （１ ） 求 反 比 例 函 数 和 一 次 函 数 的 表 达 式 ； （２ ） 点 Ｅ 为 ｘ 轴 上 一 个 动 点 ，若 Ｓ △ ＡＥＢ ＝ ５ ，试 求 点 Ｅ 的 坐 标 ． ２３． （ ２０２３ 晋 中 期 末 ，８ 分 ） 如 图 １３ 是 某 型 号 冷 柜 循 环 制 冷 过 程 中 温 度 变 化 的 部 分 示 意 图 ， 该 冷 柜 的 工 作 过 程 是 ： 当 冷 柜 温 度 达 到 － ４ ℃ 时 制 冷 开 始 ，温 度 开 始 逐 渐 下 降 ， 当 温 度 下 降 到 － ２０ ℃ 时 制 冷 停 止 ， 温 度 开 始 逐 渐 上 升 ，当 温 度 上 升 到 － ４ ℃ 时 ， 制 冷 再 次 开 始 ，… ， 按 照 以 上 方 式 循 环 工 作 ．通 过 分 析 发 现 ，当 ０ ≤ ｘ ＜ ４ 时 ， 温 度 ｙ 是 时 间 ｘ 的 一 次 函 数 ；当 ４ ≤ ｘ ≤ ｔ 时 ，温 度 ｙ 是 时 间 ｘ 的 反 比 例 函 数 ． （１ ） 求 ｔ 的 值 ； （２ ） 当 前 冷 柜 的 温 度 为 － ２０ ℃ ，冷 柜 继 续 工 作 ３６ 分 钟 后 ，求 此 时 冷 柜 中 的 温 度 ． ２４．（８ 分 ） 如 图 １４ ，在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， Ａ （ － １ ，２ ） ，Ｂ （ － １ ， － ２ ） ， 以 ＡＢ 为 边 向 右 作 正 方 形 ＡＢＣＤ ，边 ＡＤ ，ＢＣ 分 别 与 ｙ 轴 交 于 点 Ｅ ，Ｆ ，反 比 例 函 数 ｙ ＝ ｋｘ （ｋ ≠ ０ ） 的 图 象 经 过 点 Ｄ ． （１ ） 求 反 比 例 函 数 的 表 达 式 ； （２ ） 在 反 比 例 函 数 的 图 象 上 是 否 存 在 点 Ｐ ，使 得 △ ＰＥＦ 的 面 积 等 于 正 方 形 ＡＢＣＤ 面 积 的 一 半 ？若 存 在 ， 请 求 出 点 Ｐ 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ． ２５． （１０ 分 ） 如 图 １５ ，一 次 函 数 ｙ ＝ ｘ ＋ １ 与 反 比 例 函 数 ｙ ＝ ｋｘ 的 图 象 相 交 于 点 Ａ （２ ， ３ ） 和 点 Ｂ． （１ ） 求 反 比 例 函 数 的 关 系 式 ； （２ ） 过 点 Ｂ 作 ＢＣ ⊥ ｘ 轴 于 点 Ｃ ，求 Ｓ △ ＡＢＣ ； （３ ） 是 否 在 ｙ 轴 上 存 在 一 点 Ｄ ，使 得 ＢＤ ＋ ＣＤ 的 值 最 小 ，请 求 出 点 Ｄ 的 坐 标 ． ２６． （１２ 分 ） 矩 形 Ｏ ＣＢＡ 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 位 置 如 图 １６ 所 示 ，点 Ｃ 在 ｘ 轴 的 正 半 轴 上 ，点 Ａ 在 ｙ 轴 的 正 半 轴 上 ，已 知 点 Ｂ 的 坐 标 为 （４ ，２ ） ， 反 比 例 函 数 ｙ ＝ ｋｘ 的 图 象 经 过 ＡＢ 的 中 点 Ｄ ，且 与 ＢＣ 交 于 点 Ｅ ，设 直 线 Ｄ Ｅ 的 表 达 式 为 ｙ ＝ ｍ ｘ ＋ ｎ ，连 接 Ｏ Ｄ ，Ｏ Ｅ． （１ ） 求 反 比 例 函 数 的 表 达 式 和 点 Ｅ 的 坐 标 ； （２ ） 点 Ｍ 为 ｙ 轴 正 半 轴 上 一 点 ，若 △ Ｍ ＢＯ 的 面 积 等 于 △ Ｏ Ｄ Ｅ 的 面 积 ，求 点 Ｍ 的 坐 标 ； （ ３ ） 点 Ｐ 为 ｘ 轴 上 一 点 ，点 Ｑ 为 反 比 例 函 数 ｙ ＝ ｋｘ 图 象 上 一 点 ，是 否 存 在 点 Ｐ ，Ｑ ，使 得 以 点 Ｐ ，Ｑ ，Ｄ ，Ｅ 为 顶 点 的 四 边 形 为 平 行 四 边 形 ？若 存 在 ，请 直 接 写 出 点 Ｑ 的 坐 标 ；若 不 存 在 ，请 说 明 理 由 ． !"# $ %&!' $ ()&*+,-./ !"# $ %&!' $ ()&*+,-./ ! " # $ % ! ! ! " $ & % ! " # ' ! % ! " # $ ! " $ ! $ ( ) * + & % ! ! " ! % % & ' & # ( , ( & ) ( % % " & ) # $ ! ! * ! ) - " & . / 0 % ! ! ( ! ) / 1 . % & $ ! 2 / 1 . % & 0 ! ! + ' ( ) ! 0 & 1 2 ! , - % 书 二、９．－２；　１０．ｙ＝ ２ ｘ；　１１．８；　１２．（２，６）； 　１３．５２． 三、１４．由题意，设 ｙ１ ＝ｋ１ｘ，ｙ２ ＝ ｋ２ ｘ－２，因为 ｙ ＝ｙ１－ｙ２，所以ｙ＝ｋ１ｘ－ ｋ２ ｘ－２，因为当ｘ＝１时，ｙ＝ １；当ｘ＝３时，ｙ＝５，所以 ｋ１＋ｋ２ ＝１， ３ｋ１－ｋ２ ＝５ { ， 解 得 ｋ１ ＝ ３ ２， ｋ２ ＝－ １ ２ { ，所以ｙ＝３２ｘ ＋ １２ｘ－４． １５．（１）ｙ＝－３６ｘ． （２）当 ｘ＝４时，ｙ＝ －９，当ｘ＝６时，ｙ＝－６，因 为ｍ＝－３６＜０，所以反比 例函数ｙ＝ ｍｘ的图象，在 每一个象限内，ｙ随 ｘ增大 而增大，所以当４≤ｘ＜６ 时，ｙ的取值范围为－９≤ｙ ＜－６． １６．（１）过点 Ｃ作 ＣＭ ⊥ｙ轴于点Ｍ．因为∠ＡＯＢ ＝∠ＣＭＡ＝∠ＢＡＣ＝９０°， 所以 ∠ＢＡＯ＋∠ＣＡＭ ＝ ９０°，∠ＡＢＯ ＋ ∠ＢＡＯ ＝ ９０°， 所 以 ∠ＡＢＯ ＝ ∠ＣＡＭ，因为 ＢＡ＝ＡＣ，所 以 △ＡＯＢ ≌ △ＣＭＡ（ＡＡＳ），所以ＯＢ＝ ＡＭ，ＯＡ＝ＣＭ，因为点Ａ的 坐标是（０，６），点Ｂ的坐标 是（－２，０），所以 ＯＡ＝６， ＯＢ＝２，所以 ＣＭ ＝６，ＡＭ ＝２，所以ＯＭ＝４，所以点 Ｃ的坐标是（６，４）． （２）因为点 Ａ的坐标 是（０，６），点 Ｃ的坐标是 （６，４），Ｄ为ＡＣ的中点，所 以点Ｄ（３，５），因为反比例 函数ｙ＝ ｋｘ的图象经过点 Ｄ，所以５＝ ｋ３，解得 ｋ＝ １５，故ｋ的值是１５． １７．（１）把点 Ｂ（３，１） 代入ｙ１＝ ｋ１ ｘ中，解得ｋ１＝ ３，所以函数ｙ１的表达式为 ｙ１ ＝ ３ ｘ， 把点 Ａ（１，ｍ）代入 ｙ１ ＝ ３ｘ，解得ｍ＝３， 把点Ａ（１，３），点Ｂ（３， 书 利用反比例函数解决实际问题一般按照以下三个 环节进行： ①“求式”，建立一个反比例函数的数学模型，即利 用待定系数法求出反比例函数的表达式； ②“应用”，应用反比例函数的性质解决实际问题； ③“注意”，在解答实际问题时，要注意自变量的取 值范围． 下面举例进行说明，供同学们参考． 例１　 （２０２３天津和平区一模）已知甲、乙两地相 距ｓ（单位：ｋｍ），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行 驶的时间ｔ（单位：ｈ）关于行驶速度ｖ（单位：ｋｍ／ｈ）的函 数图象是 （　　） 分析：根据实际意义，写出函数解析式，根据函数的 类型以及自变量的取值范围即可进行判断． 解：根据题意有ｖ·ｔ＝ｓ，所以ｔ＝ ｓｖ， 故ｔ与ｖ之间的函数图象为反比例函数图象，且根据 实际意义可知ｖ＞０，ｔ＞０， 所以其图象在第一象限，Ｃ正确． 故选Ｃ． 例２　办公区域的自动饮水机，开机加热时水温每 分钟上升２０℃，水温到１００℃时停止加热，此后水温开 始下降．水温ｙ（℃）与开机通电时间 ｘ（ｍｉｎ）成反比例 关系．若水温在２０℃时接通电源，一段时间内，水温ｙ与 通电时间ｘ之间的函数关系如图所示． （１）水温从２０℃ 加热到 １００℃，需要 ｍｉｎ； （２）求水温下降过程中，ｙ 与ｘ的函数关系式，并写出自 变量ｘ的取值范围； （３）如果上午８点接通电 源，那么８：２０之前，水温不低于８０℃的时间有多长？ 分析：（１）根据开机加热时水温每分钟上升２０℃即 可求出水温从２０℃加热到１００℃所需时间； （２）根据反比例函数过点（４，１００），可求出关系式； （３）分别计算出水温达到１００℃前达到８０℃和达 到１００℃后再降到８０℃所需时间即可． 解：（１）因为开机加热时水温每分钟上升２０℃， 所以水温从 ２０℃ 加热到 １００℃，所需时间为 １００－２０ ２０ ＝４（ｍｉｎ）． 故填４． （２）由题可得，点（４，１００）在反比例函数图象上， 设反比例函数关系式为ｙ＝ ｋｘ， 将点（４，１００）代入可得ｋ＝４００， 所以ｙ＝４００ｘ， 当ｙ＝２０时，ｘ＝４００２０ ＝２０， 所以水温下降过程中，ｙ与 ｘ的函数关系式是 ｙ＝ ４００ ｘ（４≤ｘ≤２０）． （３）当０＜ｘ＜４时，设ｙ＝ｋｘ＋２０， 将（４，１００）代入，可得４ｋ＋２０＝１００， 解得ｋ＝２０， 所以当０＜ｘ＜４时，ｙ＝２０ｘ＋２０， 当ｙ＝８０时，即２０ｘ＋２０＝８０， 解得ｘ＝３， 当ｙ＝８０时，４００ｘ ＝８０， 解得ｘ＝５， 所以水温不低于８０℃的时间为５－３＝２（分钟）． 答：水温不低于８０℃的时间有２分钟． 书 在近几年的试题中，总会出现一些将反比例函数的 图象与几何图形综合到一起考查的问题，这类问题在考 查反比例函数的同时，又考查了同学们对几何图形性质 的掌握程度，下面我们一起来看几道例题． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ （２０２３青岛期末）如图 １，△ＡＢＣ是等腰直角三角形，直 角顶点Ｃ与坐标原点重合，若点Ｂ 在反比例函数ｙ＝ １ｘ（ｘ＞０）的 图象上，则经过点 Ａ的反比例函 数表达式为 ． 解析：过点Ａ作ＡＥ⊥ｘ轴于Ｅ，过点Ｂ作ＢＤ⊥ｘ轴 于Ｄ，则∠ＡＥＯ＝∠ＯＤＢ＝９０°， 由题意得 ＯＡ＝ＯＢ，∠ＡＯＢ＝９０°，所以 ∠ＥＡＯ＋ ∠ＥＯＡ＝∠ＡＯＥ＋∠ＢＯＤ ＝９０°，所以 ∠ＥＡＯ ＝ ∠ＤＯＢ，所以 △ＡＥＯ≌ △ＯＤＢ（ＡＡＳ），所以 ＡＥ＝ＯＤ， ＯＥ＝ＢＤ． 设点Ｂ的坐标为（ａ，ｂ），则ＡＥ＝ＯＤ＝ａ，ＯＥ＝ＢＤ ＝ｂ，所以点Ａ的坐标为（－ｂ，ａ）， 因为点Ｂ在反比例函数ｙ＝ １ｘ上，所以ａｂ＝１， 所以经过点Ａ的反比例函数表达式为ｙ＝－１ｘ． 故填ｙ＝－１ｘ． 例２　（２０２３济宁三模）如图 ２，正方形ＡＢＣＤ的边长为５，点 Ａ 的坐标为（４，０），点Ｂ在ｙ轴上，若 反比例函数ｙ＝ ｋｘ（ｋ≠０）的图 象过点Ｃ，则ｋ的值为 （　　） Ａ．４ Ｂ．－４ Ｃ．－３ Ｄ．３ 解析：过点Ｃ作ＣＥ⊥ｙ轴于点Ｅ， 在正方形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＣ＝９０°，所以 ∠ＡＢＯ＋∠ＣＢＥ＝９０°，因为∠ＯＡＢ＋∠ＡＢＯ＝９０°，所 以∠ＯＡＢ＝∠ＣＢＥ，因为点Ａ的坐标为（４，０），所以ＯＡ ＝４， 因为ＡＢ＝５，所以由勾股定理，得ＯＢ＝ ５２－４槡 ２ ＝３， 在 △ＡＢＯ和 △ＢＣＥ中， ∠ＯＡＢ＝∠ＣＢＥ， ∠ＡＯＢ＝∠ＢＥＣ， ＡＢ＝ＢＣ { ， 所以 △ＡＢＯ≌△ＢＣＥ（ＡＡＳ），所以ＯＡ＝ＢＥ＝４，ＣＥ＝ＯＢ＝３， 所以ＯＥ＝ＢＥ－ＯＢ＝４－３＝１，所以点Ｃ的坐标 为（－３，１）， 因为反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的图象过点Ｃ，所以 ｋ＝ｘｙ＝－３×１＝－３． 故选Ｃ． 例３　（２０２３徐州二模）如图 ３，点Ｄ是ＯＡＢＣ内一点，ＡＤ与 ｘ 轴平行，ＢＤ与ｙ轴平行，ＢＤ＝槡３， ∠ＢＤＣ＝１２０°，Ｓ△ＢＣＤ ＝ 槡 ９３ ２，若反 比例函数ｙ＝ ｋｘ（ｘ＜０）的图象经 过Ｃ，Ｄ两点，则ｋ的值是 （　　） Ａ．－ 槡６３ Ｂ．－６ Ｃ．－ 槡１２３ Ｄ．－１２ 解析：过点Ｃ作ＣＥ⊥ｙ轴于点Ｅ，延长ＢＤ交ＣＥ于 点Ｆ， 因为四边形ＯＡＢＣ为平行四边形，所以ＡＢ∥ＯＣ，ＡＢ ＝ＯＣ，又因为ＢＤ∥ｙ轴，所以∠ＣＯＥ＝∠ＡＢＤ， 因为ＡＤ∥ｘ轴，所以∠ＡＤＢ＝９０°，所以△ＣＯＥ≌ △ＡＢＤ（ＡＡＳ），所以ＯＥ＝ＢＤ＝槡３， 因为Ｓ△ＢＤＣ ＝ １ ２ＢＤ·ＣＦ＝ 槡９３ ２，所以ＣＦ＝９， 因为∠ＢＤＣ＝１２０°，所以∠ＣＤＦ＝６０°， 所以∠ＤＣＦ＝３０°，所以由勾股定理，得ＤＦ＝ 槡３３， 所以点Ｄ的纵坐标为 槡４３． 设Ｃ（ｍ，槡３），Ｄ（ｍ＋９，槡４３）， 因为反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｘ＜０）的图象经过Ｃ，Ｄ两 点，所以ｋ＝槡３ｍ＝ 槡４３（ｍ＋９），解得ｍ＝－１２，所以ｋ ＝－ 槡１２３． 故选Ｃ． ! " #! !"#$" $"% ! .$#(&/',,( !"#$ !"#$%& !"# #$$%&'( !"#$%&'" ()*+,-'. ! 0 1 & . % 2 ! # ! & 0 . 1 2 % ! * ! 1 % & 0 ! ! %2& ! )* + , """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! -. /00 !%%&'& & ,$$ #$ % "& 0 1 2 3 3 , 3 , 3 , 3 & , &&& !12 #%3456( -789:;<= -78:>?@ABCDE -78:FGHIJKLM<N OPQRSTU% RVWXYZ [\]^_`U%abW24"()$/$/5!6( ) *+ XYZ , ) *+ cde , # - .+ fgZ , ) *+ h i , ) *+ j k -./01+ f l 23/01+ fmn -4506+ o 0 -4578+ pqr dst u v wxy z { |}~ c€ zm ‚ q ƒ„y …†Y u‡ˆ ‰‡Š cY‹ Œk& Žv  ~ ‘’ d“” 91-.+ ‰•– 91:;+ —„˜ <=-.+ ™‡š >?-.+ › œ @ABC+ žŸ 书 １）代入 ｙ２ ＝ｋ２ｘ＋ｂ，得 ３＝ｋ２＋ｂ， １＝３ｋ２＋ｂ { ， 解 得 ｋ２ ＝－１， ｂ＝４{ ， 所以函数ｙ２的表达式 为ｙ２ ＝－ｘ＋４． （２）由平移的性质可 得点 Ｄ 坐 标 为 （－３， ｎ－３），因为点Ｄ在函数ｙ１ 的图象上，所以 －３（ｎ－３） ＝２ｎ，解得ｎ＝ ９５，所以ｎ 的值为 ９ ５． １８．（１）①（４，２）． ②由题知，Ｓ１＝ １ ２ＡＤ· ＡＯ，Ｓ２＝ １ ２ＣＯ·ＥＣ，根据ｋ 的几何意义可得ＡＤ·ＡＯ＝ ＣＯ·ＣＥ＝ｋ，所以Ｓ１＝Ｓ２．故 填 ＝． （２）①因为Ｓ１＝Ｓ２＝ １ ２ｋ，且Ｓ１＋Ｓ２＝２，所以ｋ ＝２．因为Ｓ１＝ １ ２ＡＤ·ＡＯ ＝ １２ＡＤ·２＝１，解得 ＡＤ ＝１，所以点 Ｄ的坐标为 （１，２）．因为 Ｓ２ ＝ １ ２ＣＯ· ＥＣ＝１２·４·ＥＣ＝１，解得 ＥＣ＝ １２，所以点Ｅ的坐标 为（４，１２）． ②△ＯＤＥ是直角三角 形，理由如下： 因为ＯＡ＝２，ＯＣ＝４， ＡＤ＝１，ＥＣ＝１２，所以ＢＤ ＝ ３，ＢＥ ＝ ３２． 在 Ｒｔ△ＡＤＯ中，ＤＯ２＝ＡＯ２＋ ＡＤ２ ＝５，在 Ｒｔ△ＢＤＥ中， ＤＥ２ ＝ＤＢ２＋ＢＥ２ ＝４５４， 在Ｒｔ△ＣＥＯ中，ＯＥ２＝ＣＯ２ ＋ＣＥ２ ＝６５４，所以 ＤＯ ２＋ ＤＥ２ ＝ＯＥ２，所以 △ＯＤＥ 是直角三角形．因为ＤＯ＝ 槡５，ＤＥ＝ 槡 ３５ ２，所以Ｓ△ＯＤＥ ＝ １２·ＤＯ·ＤＥ＝ １ ２×槡５ × 槡３５２ ＝ １５ ４． 上期４版 重点集训营 １．Ｂ； ２．－４＜ｙ＜－４３． ３．（１）因为反比例函 数ｙ２＝ ｍ ｘ（ｍ≠０）的图象 经 过 点 Ａ（６，２），Ｂ（ａ， －６），所以ｍ＝６×２＝１２ ＝－６ａ，所以ａ＝－２，所以 Ｂ（－２，－６）．把 Ａ（６，２）， Ｂ（－２，－６）代入ｙ１＝ｋｘ＋ ｂ，得 ６ｋ＋ｂ＝２， －２ｋ＋ｂ＝－６{ ，解 得 ｋ＝１， ｂ＝－４{ ，所以一次函 数关系式ｙ１ ＝ｘ－４，反比 例函数关系式ｙ２ ＝ １２ ｘ． （２）对于ｙ１ ＝ｘ－４， 令ｘ＝０，则ｙ１＝－４，所以 Ｃ（０，－４），因为点Ｅ是点Ｃ 关于 ｘ轴的对称点，所以 Ｅ（０，４），所以ＥＣ＝８，所以 Ｓ△ＡＢＥ ＝Ｓ△ＣＥＢ＋Ｓ△ＣＥＡ ＝ １ ２ ×８×２＋ １ ２×８×６＝ ３２． 书 １．３反比例函数的应用 １．（２０２３合肥一模）阿基米德说：“给我一个支点， 我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要 的物理学知识———杠杆原理，即“阻力 ×阻力臂 ＝动 力 ×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为 １２００Ｎ和０５ｍ，则这一杠杆的动力Ｆ和动力臂Ｌ之间 的函数图象大致是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ２．（２０２３石家庄一模）如图１，曲线表示温度Ｔ（℃） 与时间ｔ（ｈ）之间的函数关系，它是一个反比例函数的 图象的一支．当温度Ｔ≤２℃时，时间ｔ应 （　　） Ａ．不小于 ２３ｈ Ｂ．不大于 ２ ３ｈ Ｃ．不小于 ３２ｈ Ｄ．不大于 ３ ２ｈ ３．根据某商场对一款运动鞋五天中的售价与销量 关系的调查显示，售价是销量的反比例函数（统计数据 见下表）．已知该运动鞋的进价为１８０元 ／双，要使该款 运动鞋每天的销售利润达到２４００元，则其售价应定为 元． 售价ｘ（元 ／双） ２００ ２５０ ３００ ４００ 销售量ｙ（双） ３０ ２４ ２０ １５ ４．（２０２３南通期末）如图２，一块砖的 Ａ，Ｂ，Ｃ三个 面的面积比是４∶２∶１，如果Ｂ面向下放在地上，地面所 受压强为ａＰａ，那么Ａ面向下放在地上时，地面所受压 强为 Ｐａ． ５．（２０２３唐山一模）如 图３是某种电子理疗设备 工作原理的示意图，其开始 工作时的温度是２０℃，然 后按照一次函数关系一直 增加到７０℃，这样有利于 打通病灶部位的血液循环， 在此温度下再沿反比例函数关系缓慢下降至３５℃，然 后在此基础上又沿着一次函数关系一直将温度升至 ７０℃，再在此温度下沿着反比例函数关系缓慢下降至 ３５℃，如此循环下去． （１）ｔ的值为 ； （２）如果在０～ｔ分钟内温度大于或等于５０℃时， 治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为 分钟． ６．（２０２３张家口模拟）环保局对某企业排污情况进 行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即 硫化物的浓度超过最高允许的１０ｍｇ／Ｌ．环保局要求 该企业立即整改，在１５天以内（含１５天）排污达标．整 改过程中，所排污水中硫化物的浓度 ｙ（ｍｇ／Ｌ）与时间 ｘ（天）的变化规律如图 ４所示，其中线段 ＡＢ表示前 ３天的变化规律，从第３天起，所排污水中硫化物的浓 度ｙ与时间ｘ成反比例关系． （１）求整改过程中硫化物的浓度ｙ与时间ｘ的函数 表达式； （２）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在 １５天以内达到不超过最高允许的１．０ｍｇ／Ｌ？为什么？ 重点集训营 １．（２０２３西安三模）如图１，点Ａ，Ｄ分别在反比例 函数ｙ＝ ｋｘ（ｘ＜０），ｙ＝ ６ ｘ（ｘ＞０）的图象上，点Ｂ，Ｃ 在ｘ轴上．若四边形ＡＢＣＤ为正方形，且Ｄ的坐标是（２， ｎ），则ｋ的值为 ． ２．（２０２３杭州模拟）如图２，菱形ＯＡＢＣ的一边ＯＡ 在ｘ轴的负半轴上，Ｏ是坐标原点，Ａ点坐标为（－５，０）， 对角线ＡＣ和ＯＢ相交于点Ｄ，且ＡＣ·ＯＢ＝４０．若反比 例函数ｙ＝ｋｘ（ｘ＜０）的图象经过点Ｄ，并与ＢＣ的延长 线交于点Ｅ，则Ｓ△ＯＣＥ ＝ ． ３．（２０２３邢台一模）如图３， 在平面直角坐标系中，已知双曲 线 ｙ＝ ｋｘ（ｋ＜０，ｘ＜０）把 Ｒｔ△ＡＯＢ分成Ｗ１，Ｗ２两部分，且 与ＡＢ，ＯＡ交于点Ｃ，Ｄ，点Ａ的坐 标为（－６，４）．连接 ＯＣ，若 Ｓ△ＯＡＣ ＝９，则 ｋ的值为 ，点Ｄ的坐标为 ． ４．（２０２３商丘一模）如图４，在平面直角坐标系中， 反比例函数ｙ＝ ｋｘ（ｘ＞０）的图象与矩形 ＯＡＢＣ的边 ＡＢ，ＢＣ分别交于点 Ｍ，Ｎ，且 Ｍ为 ＡＢ的中点，点 Ｂ（４， ３）． （１）求反比例函数的表达式； （２）连接ＯＭ，ＯＮ，ＭＮ，求△ＭＯＮ的面积 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 上期２版 １．１反比例函数 基础训练　１．Ａ；　２．Ａ；　３．－２；　４．ａ≠－３； ５．反． ６．（１）由题意，可得ｓ＝６０ｔ（０≤ｔ≤２７７６０），是正比例函数， 比例系数为６０； （２）由题意，可得ｙ＝２０ｘ（ｘ＞０），是反比例函数，比例系 数为２０； （３）由题意，可得ｙ＝１０００ａｘ （ｘ＞０），是反比例函数，比例 系数为１０００ａ． 能力提高　７．因为反比例函数的关系式为ｙ＝ａ＋３ ｘ｜ａ｜－２ ， 所以｜ａ｜－２＝１，ａ＋３≠０，解得ａ１＝３，ａ２＝－３（不符 合题意，舍去）． 所以该函数关系式为ｙ＝ ６ｘ． １．２反比例函数的图象与性质（第一课时） 基础训练　１．Ａ；　２．Ａ；　３．Ｂ；　４．Ａ；　５．ｙ＝－５ｘ； ６．ｋ１ ＜ｋ２ ＜ｋ３． 能力提高　７．（１）－３２，－６，－２，－ ３ ２． （２）函数图象如图所示： （３）该函数的性质有：①该函数图象关于ｙ轴对称；②图 象均在ｘ轴的下方；③ｘ＜０时，ｙ随ｘ增大而减小；ｘ＞０时，ｙ 随ｘ增大而增大（选其中两个即可）． １．２反比例函数的图象与性质（第二课时） 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ；　３．Ｄ；　４．３；　５．３． ６．（１）因为点Ａ（１，－３）在反比例函数ｙ＝ ｋｘ（ｘ＞０）的 图象上，所以ｋ＝１×（－３）＝－３， 所以反比例函数的表达式为ｙ＝－３ｘ． （２）不同意小华的说法，理由如下： 连接ＯＢ，因为 ＢＮ⊥ ｙ轴于点 Ｎ，所以 ＢＮ∥ ｘ轴，所以 Ｓ△ＢＯＮ ＝Ｓ△ＢＭＮ，因为Ｓ△ＢＯＮ ＝ １ ２ ×｜－３｜＝ ３ ２，所以Ｓ△ＢＭＮ ＝ ３２，即Ｓ△ＢＭＮ是定值． 能力提高　７．（１）延长ＢＣ交ｘ轴于点Ｄ， 因为四边形ＯＡＢＣ是菱形，所以ＯＡ∥ＢＣ，ＯＡ＝ＯＣ＝ＢＣ ＝ＡＢ，所以ＢＤ⊥ｘ轴，因为Ｃ（４，３），所以ＯＤ＝４，ＣＤ＝３，由 勾股定理，得ＯＣ＝ ４２＋３槡 ２ ＝５，所以ＯＡ＝ＯＣ＝ＢＣ＝ＡＢ ＝５，所以ＢＤ＝ＢＣ＋ＣＤ＝８，所以Ｂ（４，８），因为点Ｂ在双曲 线上，所以ｋ＝４×８＝３２，所以反比例函数的表达式为 ｙ＝ ３２ ｘ． （２）存在．设Ｐ点的横坐标为ｍ，因为Ｓ菱形ＯＡＢＣ ＝ＢＣ·ＯＤ ＝５×４＝２０，所以Ｓ△ＯＡＰ ＝ １ ２ＯＡ·｜ｘＰ｜＝ １ ２×５｜ｍ｜＝２０， 解得ｍ＝±８，当ｍ＝８时，ｙ＝３２８ ＝４，即Ｐ（８，４），当ｍ＝－８ 时，ｙ＝３２－８＝－４，即Ｐ（－８，－４）． 综上，存在点Ｐ（８，４）或Ｐ（－８，－４），使得△ＯＡＰ的面积 等于菱形ＯＡＢＣ的面积． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｄ Ｃ Ｃ Ｄ Ａ Ｃ Ｄ !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ !"#$%&'"() ! * +,- $.,/"01 23"45678 9:;<=>?*1 !45@A@/ !BG@HI !JKLMNE!"#-+#&'-&#( !OPLMNE!"#-!#&'-&## !4QRSETUVWXYZ[\]^_ -"& `ab5cd"a$JKL !efJgh!"!!!( !YiLj5klh!"#-!#&'--&# !"#-!#&'-&"'9mn1 !johpq45YiLrstuvwxey9z1 !efjo{lE---)# !|}~j€j‚ƒj !45„uvwV9Y1…†‡ˆ‰5 !OPŠ‹Œ|`E-,!!!!,!!!--! !ŽE///.01234567.879 !45‘’“”m•–—˜™š›9œYžŸ\ ¡¢£¤¥¦§ -- `¨©–ª«˜–¬­®¯7ªpq4QYiLSs°± ! ! ! ! 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" +?² -ª,I"0¨ " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " +)+'+(+#+,+"+&+- - & " , # ( ' ) * ) ' ( # , " & - - +& +" +, +# +( +' +) + ! 书书书 《 反 比 例 函 数 》 章 节 测 试 卷 ◆ 数 理 报 社 试 题 研 究 中 心 　 （ 说 明 ： 本 试 卷 为 闭 卷 笔 答 ， 答 题 时 间 １２ ０ 分 钟 ， 满 分 １２ ０ 分 ） 　 题 　 号 一 二 三 总 　 分 得 　 分 一 、 精 心 选 一 选 （ 本 大 题 共 １０ 小 题 ， 每 小 题 ３ 分 ， 满 分 ３０ 分 ） 题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答 案 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 １． （ ２０ ２３ 天 津 红 桥 区 月 考 ） 下 面 四 个 关 系 式 中 ，ｙ 是 ｘ的 反 比 例 函 数 的 是 （ 　 　 ） Ａ ．ｙ ＝ ２ｘ － １ Ｂ． ｙ ＝ ｘ２ ＋ ｘ Ｃ． ｙ ＝ ３ ｘ Ｄ ．ｙ ＝ － １ ３ ｘ ２． 反 比 例 函 数 ｙ ＝ ｋ ｘ （ ｋ ≠ ０） 的 图 象 经 过 点 （ － ４， ３） ，这 个 反 比 例 函 数 的 图 象 一 定 经 过 （ 　 　 ） Ａ ．（ － ４， － ３） Ｂ． （ ３， － ４） Ｃ． （ ３， ４） Ｄ ．（ － ３， － ４） ３． （ ２０ ２３ 保 定 期 末 ） 《 传 》 曰 ： 篇 之 世 ， 宋 员 外 ， 家 有 良 田 百 顷 ， 今 也 以 田 溉 田 ，阴 灌 之 ， 其 源 二 万 方 ， 译 ： “ 据 古 书 记 载 ： 在 北 宋 时 期 ， 有 一 宋 员 外 ，家 有 良 田 百 顷 ，现 需 修 一 蓄 水 池 用 以 农 田 的 灌 溉 ，已 知 每 年 灌 溉 农 田 所 需 水 量 为 ２０ ００ ０ 立 方 米 ．” 设 宋 员 外 所 修 圆 柱 形 水 池 底 面 积 为 ｓ平 方 米 ，水 池 高 为 ｈ 米 ，则 其 高 与 底 面 积 之 间 的 函 数 关 系 式 为 （ 　 　 ） Ａ ．ｈ ＝ ２０ ００ ０ｓ Ｂ． ｈ ＝ ２０ ００ ０ － ｓ Ｃ． ｈ ＝ ２０ ００ ０ ｓ Ｄ ．ｓ ＝ ２０ ００ ０ｈ ４． 已 知 点 Ａ（ － １， ６） ，Ｂ （ ｍ ，ｙ １ ） ，Ｃ （ ｍ ＋ １， ｙ ２ ） 在 反 比 例 函 数 ｙ ＝ ｋ ｘ 的 图 象 上 ，若 ０ ＜ ｍ ＜ １， 则 下 列 大 小 关 系 正 确 的 是 （ 　 　 ） Ａ ．ｙ ２ ＞ ｙ １ ＞ － ６ Ｂ． ｙ １ ＞ ｙ ２ ＞ － ６ Ｃ． ｙ ２ ＞ － ６ ＞ ｙ １ Ｄ ． － ６ ＞ ｙ ２ ＞ ｙ １ ５． （ ２０ ２３ 济 南 模 拟 ） 如 图 １， 在 △ ＡＯ Ｂ 中 ， Ｓ △ ＡＯ Ｂ ＝ ２， ＡＢ ∥ ｘ轴 ，点 Ａ 在 反 比 例 函 数 ｙ ＝ １ ｘ 的 图 象 上 ．若 点 Ｂ 在 反 比 例 函 数 ｙ ＝ ｋ ｘ 的 图 象 上 ，则 ｋ 的 值 为 （ 　 　 ） Ａ ． － ３ ２ Ｂ． ３ ２ Ｃ． ３ Ｄ ． － ３ ６． 若 反 比 例 函 数 ｙ ＝ ｋ ｘ 的 图 象 过 点 （ ａ， ａ － ２ ＋ １ ａ ） ，则 下 列 说 法 正 确 的 是 （ 　 　 ） Ａ ．反 比 例 函 数 ｙ ＝ ｋ ｘ 的 图 象 位 于 二 、四 象 限 Ｂ． ｙ 随 ｘ 的 增 大 而 增 大 Ｃ． ｘ ＝ － １ 时 ，ｙ ＜ ０ Ｄ ．ｋ 有 最 小 值 ７． 一 个 亮 度 可 调 节 的 台 灯 ， 其 灯 光 亮 度 的 改 变 ， 可 以 通 过 调 节 总 电 阻 控 制 电 流 的 变 化 来 实 现 ，如 图 ２ 所 示 的 是 该 台 灯 的 电 流 Ｉ（ Ａ ） 与 电 阻 Ｒ （ Ω ） 成 反 比 例 函 数 的 图 象 ， 该 图 象 经 过 点 Ｐ（ １ １０ ０， ０ ２） ．根 据 图 象 可 知 ，下 列 说 法 正 确 的 是 （ 　 　 ） Ａ ．Ｉ 与 Ｒ 的 函 数 关 系 式 是 Ｉ ＝ ２２ ０ Ｒ （ Ｒ ＞ ０） Ｂ． 当 Ｒ ＝ １０ ０ 时 ，Ｉ ＝ ５ Ｃ ． 当 Ｒ ＞ １ １０ ０ 时 ，Ｉ ＞ ０ ２ Ｄ ．当 电 阻 Ｒ（ Ω ） 越 大 时 ，该 台 灯 的 电 流 Ｉ（ Ａ ） 也 越 大 ８． 如 图 ３， 直 线 ｙ ＝ － １ ４ ｘ与 双 曲 线 ｙ ＝ ｋ ｘ （ ｋ ＜ ０， ｘ ＜ ０） 交 于 点 Ａ， 将 直 线 ｙ ＝ － １ ４ ｘ 向 上 平 移 ２ 个 单 位 长 度 后 ，与 ｙ 轴 交 于 点 Ｃ， 与 双 曲 线 交 于 点 Ｂ， 若 Ｏ Ａ ＝ ２Ｂ Ｃ， 则 ｋ 的 值 为 （ 　 　 ） Ａ ． － ７ Ｂ． － ２２ ３ Ｃ． － ６４ ９ Ｄ ． － ６５ ８ ９． 函 数 ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ 与 函 数 ｙ ＝ ｋｂ ｘ 在 同 一 坐 标 系 中 的 大 致 图 象 正 确 的 是 （ 　 　 ） １０ ．如 图 ４， 已 知 矩 形 ＡＢ ＣＤ 的 顶 点 Ａ， Ｂ 分 别 落 在 双 曲 线 ｙ ＝ ｋ ｘ （ ｋ ≠ ０） 上 ，顶 点 Ｃ， Ｄ 分 别 落 在 ｙ轴 、ｘ 轴 上 ，双 曲 线 ｙ ＝ ｋ ｘ 过 ＡＤ 的 中 点 Ｅ， 若 Ｏ Ｃ ＝ ３， 则 ｋ 的 值 为 （ 　 　 ） Ａ ．１ ．５ Ｂ． ２ Ｃ． ２． ５ Ｄ ．３ 二 、 细 心 填 一 填 （ 本 大 题 共 ８ 小 题 ， 每 小 题 ３ 分 ， 满 分 ２４ 分 ） １１ ．（ ２０ ２３ 十 堰 期 末 ） 已 知 反 比 例 函 数 ｙ ＝ ｋ ＋ ３ ｘ 的 图 象 在 第 二 、四 象 限 ，则 ｋ 的 取 值 范 围 是 ． １２ ．（ ２０ ２４ 石 家 庄 月 考 ） 已 知 Ａ （ － １， ｍ ） 与 Ｂ（ ２， ｍ － ３） 是 反 比 例 函 数 ｙ ＝ ｋ ｘ 图 象 上 的 两 点 ，则 ｋ 的 值 为 ． １３ ．（ ２０ ２３ 北 京 平 谷 区 期 末 ） 青 藏 铁 路 是 当 今 世 界 上 海 拔 最 高 、线 路 最 长 的 高 原 铁 路 ，因 路 况 、 季 节 、 天 气 等 原 因 行 车 的 平 均 速 度 在 ２５ ０ ～ ３６ ０（ 千 米 ／时 ） 之 间 变 化 ，铁 路 运 行 全 程 所 需 要 的 时 间 （ 小 时 ） 与 运 行 的 平 均 速 度 （ 千 米 ／时 ） 满 足 如 图 ５ 所 示 的 函 数 关 系 ，列 车 运 行 的 平 均 速 度 最 大 和 列 车 运 行 的 平 均 速 度 最 小 时 全 程 所 用 时 间 相 差 小 时 ． １４ ．（ ２０ ２４ 雅 安 期 末 ） 如 图 ６， 直 线 ｙ ＝ － ｘ ＋ ６ 与 ｙ 轴 交 于 点 Ａ， 与 反 比 例 函 数 ｙ ＝ ｋ ｘ 的 图 象 交 于 点 Ｃ ， 过 点 Ｃ 作 ＣＢ ⊥ ｘ轴 于 点 Ｂ， ＡＯ ＝ ３Ｂ Ｏ ， 则 ｋ 的 值 为 ． １５ ．若 点 Ａ（ ｘ １ ，１ ３） ，Ｂ （ ｘ ２ ， － ３） ，Ｃ （ ｘ ３ ，１ １） 都 在 反 比 例 函 数 ｙ ＝ ｋ２ ＋ １ ｘ 的 图 象 上 ，则 ｘ １ ，ｘ ２ ，ｘ ３ 的 大 小 关 系 是 （ 用 “ ＜ ” 连 接 ） ． １６ ．（ ２０ ２３ 湖 北 一 模 ） 如 图 ７， 矩 形 Ｏ ＡＢ Ｃ 与 反 比 例 函 数 ｙ １ ＝ ｋ １ ｘ （ ｋ １ ≠ ０， ｘ ＞ ０） 的 图 象 交 于 点 Ｍ ，Ｎ ，与 反 比 例 函 数 ｙ ２ ＝ ｋ ２ ｘ （ ｋ ２ ≠ ０， ｘ ＞ ０） 的 图 象 交 于 点 Ｂ， 连 接 Ｏ Ｍ ，Ｏ Ｎ ．若 四 边 形 Ｏ Ｍ ＢＮ 的 面 积 为 ３， 则 ２ｋ ２ － ２ｋ １ 的 值 为 ． １７ ．将 一 副 三 角 板 如 图 ８ 放 置 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，直 角 顶 点 Ａ 在 ｙ 轴 的 正 半 轴 上 ， Ｃ Ｂ ⊥ ｘ轴 于 点 Ｂ， Ｏ Ｂ ＝ ６， 点 Ｅ， Ｆ 分 别 是 ＡＣ ，Ｃ Ｄ 的 中 点 ， 将 这 副 三 角 板 整 体 向 右 平 移 个 单 位 ，Ｅ ，Ｆ 两 点 同 时 落 在 反 比 例 函 数 ｙ ＝ ｋ ｘ 的 图 象 上 ． １８ ．在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，函 数 ｙ ＝ ｍ ｘ （ ｘ ＞ ０， ｍ 是 不 为 ０ 的 常 数 ） 的 图 象 经 过 点 Ａ（ １， ４） ，点 Ｂ（ ａ， ｂ） ，其 中 ａ ＞ １． 过 点 Ａ 作 ｘ 轴 的 垂 线 ，垂 足 为 Ｃ， 过 点 Ｂ 作 ｙ轴 的 垂 线 ，垂 足 为 Ｄ ，Ａ Ｃ 与 ＢＤ 相 交 于 点 Ｍ ，连 接 ＡＤ ， Ｄ Ｃ， ＣＢ ，Ａ Ｂ． 若 ＡＤ ＝ ＢＣ ，则 ｂ 的 值 为 ． $ £ ³ ´ µ D ¶ · &'()*+&, ! " # $ % & ! ' $ ( ) & * + , - . / ! " # $ % & ! ' $ ( ) & * + , - . / : ; < = * ! + * ! + * ! + * ! + 5 @ : - - B B B . & ! 6 @ ! ! & * !) - 7 + ! " * . ) ! / ( + - ! , * ) ! 3 - 2 + & + - + ( ! ' * . - # ) / ! (+ ! ) * + ( ! - ! # - . / 0 ! 1 2 @ 3 " & # B " B B " ( B ( ! 4 5 6 7 3 8 ! 9 3 " ! # * - ! ( + ! ( )