第1期 1.1 反比例函数 1.2 反比例函数的图象与性质（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（湘教版）

书 重点集训营 １．（２０２３商河期末）一次函数ｙ＝ａｘ＋１与反比例 函数ｙ＝－ａｘ在同一坐标系中的大致图象是 （　　） ２．（２０２３天津和平区一模）正比例函数ｙ＝ｘ的图 象与反比例函数ｙ＝ｋｘ的图象有一个交点的纵坐标是 ２，当 －３＜ｘ＜－１时，反比例函数ｙ＝ ｋｘ的取值范围 是 ． ３．（２０２３咸宁一模）如图，一次函数ｙ１ ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ ≠０）的图象与反比例函数ｙ２ ＝ ｍ ｘ（ｍ≠０）的图象交 于点Ａ，Ｂ，与ｘ轴交于点Ｆ，与ｙ轴交于点Ｃ，点Ａ的坐标 为（６，２），点Ｂ的坐标为（ａ，－６）． （１）求一次函数和反比例函数的关系式； （２）若点Ｅ是点Ｃ关于ｘ轴的对称点，求△ＡＢＥ的 面积． 辅助线周周练 在平面几何的考查中，辅助线的添加往往是难点， 因此本学期我们将开辟一个专门练习添加辅助线的学 习板块，希望同学们好好练习． １．如图１，在平面直角坐标系中，正方形 ＡＢＣＤ的 顶点Ａ的坐标为（－１，２），点Ｂ在ｘ轴正半轴上，点Ｄ在 第三象限的双曲线ｙ＝１５ｘ上，过点Ｃ作ＣＥ∥ｘ轴交双 曲线于点Ｅ，则ＣＥ的长为 ． ２．如图２，菱形ＯＡＢＣ的两个顶点Ａ，Ｃ在反比例函 数ｙ＝ ｋｘ（ｋ≠０）的第一象限内的图象上，已知菱形 ＯＡＢＣ的面积为６，点Ｂ坐标为（槡３２，槡３２），则ｋ的值为 ． 书 一、计算法 例１　 若点 Ａ（１，ｙ１），Ｂ（３，ｙ２）在反比例函数 ｙ＝ ３ ｘ的图象上，则ｙ１ ｙ２（填“＞”“＜”或“＝”）． 解析：因为点Ａ（１，ｙ１），Ｂ（３，ｙ２）在反比例函数ｙ＝ ３ ｘ的图象上，所以ｙ１＝ ３ １ ＝３，ｙ２＝ ３ ３ ＝１，所以ｙ１＞ ｙ２．故填 ＞． 二、性质法 例２　若点Ａ（－３，ｙ１），Ｂ（－１，ｙ２），Ｃ（２，ｙ３）都在反 比例函数ｙ＝ ｋｘ（ｋ＜０）的图象上，则ｙ１，ｙ２，ｙ３的大小 关系是 （　　） Ａ．ｙ３ ＜ｙ１ ＜ｙ２ Ｂ．ｙ２ ＜ｙ１ ＜ｙ３ Ｃ．ｙ１ ＜ｙ２ ＜ｙ３ Ｄ．ｙ３ ＜ｙ２ ＜ｙ１ 解析：因为反比例函数ｙ＝ｋｘ中ｋ＜０，所以函数图 象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内 ｙ 随ｘ的增大而增大．因为 －３＜－１＜０，所以点Ａ（－３， ｙ１），Ｂ（－１，ｙ２）位于第二象限，所以０＜ｙ１ ＜ｙ２．因为２ ＞０，所以点Ｃ（２，ｙ３）位于第四象限，所以ｙ３＜０，所以ｙ３ ＜ｙ１ ＜ｙ２．故选Ａ． 三、图象法 例３　如图，正比例函数 ｙ１ ＝ ｋ１ｘ（ｋ１＜０）的图象与反比例函数ｙ２ ＝ ｋ２ ｘ（ｋ２＜０）的图象相交于Ａ，Ｂ两 点，点Ｂ的横坐标为２，当ｙ１＞ｙ２时， ｘ的取值范围是 （　　） Ａ．ｘ＜－２或ｘ＞２ Ｂ．－２＜ｘ＜０或ｘ＞２ Ｃ．ｘ＜－２或０＜ｘ＜２ Ｄ．－２＜ｘ＜０或０＜ｘ＜２ 解析：因为反比例函数与正比例函数相交于点 Ａ， Ｂ，所以点Ａ的坐标与点Ｂ的坐标关于原点对称，所以点 Ａ的横坐标为 －２．当ｙ１＞ｙ２时，即正比例函数图象在反 比例函数图象上方，观察图象可得，当ｘ＜－２或０＜ｘ＜ ２时满足题意．故选Ｃ． 书 一、图象问题 例１　（２０２４长沙月考）在同一平面直角坐标系中，函 数ｙ＝ｋｘ＋１（ｋ≠０）和ｙ＝ ｋｘ（ｋ≠０）的图象大致是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 分析：分ｋ＞０或ｋ＜０，根据一次函数与反比例函数 的性质即可得出答案． 解：当ｋ＞０时，一次函数ｙ＝ｋｘ＋１经过第一、二、 三象限，反比例函数ｙ＝ ｋｘ位于第一、三象限； 当ｋ＜０时，一次函数ｙ＝ｋｘ＋１经过第一、二、四象 限，反比例函数ｙ＝ ｋｘ位于第二、四象限．故选Ｄ． 二、取值范围问题 例２　（２０２４益阳月考）如图 １，正比例函数ｙ＝ｋ１ｘ与反比例函 数ｙ＝ ｋ２ ｘ的图象交于Ａ（１，ｍ），Ｂ 两点，当ｋ１ｘ≤ ｋ２ ｘ时，ｘ的取值范 围是 （　　） Ａ．－１≤ｘ＜０或ｘ≥１ Ｂ．ｘ≤－１或０＜ｘ≤１ Ｃ．ｘ≤－１或ｘ≥１ Ｄ．－１≤ｘ＜０或０＜ｘ≤１ 分析：先根据反比例函数图象的对称性求出点 Ｂ的 坐标，然后根据ｋ１ｘ≤ ｋ２ ｘ的解集即为反比例函数在一次 函数图象上方的部分可得答案． 解：因为正比例函数ｙ＝ｋ１ｘ与反比例函数 ｙ＝ ｋ２ ｘ 的图象交于Ａ（１，ｍ），Ｂ两点，所以Ｂ（－１，－ｍ）， 由图象可知，当ｋ１ｘ≤ ｋ２ ｘ时，ｘ的取值范围是 －１≤ ｘ＜０或ｘ≥１．故选Ａ． 三、综合问题 例３　（２０２３鹤壁二模）如图 ２，一次函数ｙ１ ＝ｋｘ＋ｂ的图象与 反比例函数 ｙ２ ＝ ６ ｘ的图象交于 点Ａ（１，ｍ）和点Ｂ（ｎ，－２）． （１）求一次函数的表达式； （２）结合图象，写出当 ｘ＞０ 时，满足ｙ１ ＞ｙ２的ｘ的取值范围； （３）将一次函数的图象平移，使其经过坐标原点，请 直接写出一个反比例函数表达式，使它的图象与平移后 的一次函数图象无交点． 分析：（１）求出Ａ，Ｂ两点的坐标，然后利用待定系数 法求一次函数的表达式； （２）当ｘ＞０，求得一次函数的图象在反比例函数的 图象上方对应ｘ的值即可； （３）将一次函数图象平移后即可得到新的一次函数 的表达式，根据一次函数图象即可判断反比例函数的系 数ｋ，进而得到反比例函数的表达式． 解：（１）由题意，得 ｍ ＝６，ｎ＝－３，所以 Ａ（１，６）， Ｂ（－３，－２）， 由题意得 ｋ＋ｂ＝６， －３ｋ＋ｂ＝－２{ ，解得 ｋ＝２， ｂ＝４{ ，所以一次 函数的表达式为ｙ＝２ｘ＋４． （２）由图象可知，当ｘ＞０时，满足ｙ１＞ｙ２的ｘ的取 值范围为ｘ＞１． （３）一次函数ｙ＝２ｘ＋４的图象平移后为ｙ＝２ｘ，函数 图象经过第一、三象限，要使正比例函数ｙ＝２ｘ与反比例函 数没有交点，则反比例的函数图象经过第二、四象限，则反 比例函数的ｋ＜０，所以当ｋ＝－１时，满足条件， 所以反比例函数的表达式为ｙ＝－１ｘ（答案不惟一， ｋ＜０即可）． 【对应练习见《重点集训营》】 书 反比例函数的表达式 形如 ｙ＝ ｋｘ（ｋ为常数，ｋ ≠０），要确定反比例函数 的表达式，就需要确定反 比例函数的比例系数ｋ的 值，现详细分类解析如下， 供同学们学习时参考． 一、定义型 例 １　 若函数 ｙ＝ ｋｘ｜ｋ｜－２的图象是双曲线， 且图象在第二、四象限内， 那么该函数的表达式为 ． 解析：由题意可得 ｜ｋ｜－２＝－１，且ｋ＜０， 解得ｋ＝－１，所以该函数 的表达式为ｙ＝－１ｘ．故填 ｙ＝－１ｘ． 二、一点型 例 ２　（２０２３咸阳一 模）已知点 Ａ（－２，ｍ）在 反比例函数 ｙ＝ ｋｘ的图 象上，点 Ａ′与点 Ａ关于 ｙ 轴对称．若点Ａ′在正比例 函数 ｙ＝ １２ｘ的图象上， 则这个反比例函数的表达式为 ． 解析：因为点Ａ（－２，ｍ）与点Ａ′关于ｙ轴对称，所 以Ａ′（２，ｍ），因为点Ａ′在正比例函数ｙ＝ １２ｘ的图象 上，所以ｍ＝１，所以Ａ（－２，１）．因为Ａ（－２，１）在反比 例函数ｙ＝ ｋｘ的图象上，所以ｋ＝－２，所以这个反比 例函数的表达式为ｙ＝－２ｘ．故填ｙ＝－ ２ ｘ． 三、图示型 例３　 如图１，Ｏ是坐标原 点，点Ｂ在ｘ轴上，在△ＯＡＢ中， ＡＯ＝ＡＢ＝５，ＯＢ＝６，点Ａ在反 比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的图象 上，则反比例函数的表达式为 ． 解析：过点Ａ作ＡＣ⊥ＯＢ于 点Ｃ，因为ＡＯ＝ＡＢ，所以△ＡＢＯ是等腰三角形，因为 ＡＣ⊥ ＯＢ，ＯＢ＝６，所以 ＯＣ＝ＢＣ＝ １２ＯＢ＝３，在 Ｒｔ△ＡＯＣ中，ＯＡ ＝ ５， 由 勾 股 定 理， 得 ＡＣ ＝ ＯＡ２－ＯＣ槡 ２ ＝４，所以点Ａ（－３，４），把Ａ（－３，４）代 入ｙ＝ ｋｘ中，得ｋ＝－１２，所以反比例函数的表达式为 ｙ＝－１２ｘ．故填ｙ＝－ １２ ｘ． 四、面积型 例 ４　（２０２３陕西模拟） 如图２，菱形ＯＡＢＣ的顶点Ｏ是 原点，顶点Ｂ在ｙ轴上，反比例 函数 ｙ＝ ｋｘ的图象经过顶点 Ａ．若菱形的面积为２０，则该反 比 例 函 数 的 表 达 式 为 ． 解析：设菱形对角线交于点 Ｈ，点 Ａ（ａ，ｂ），因为 Ｓ四边形ＯＡＢＣ ＝２０，所以Ｓ△ＢＨＡ ＝Ｓ△ＡＨＯ ＝Ｓ△ＢＨＣ ＝Ｓ△ＣＨＯ ＝ ５，所以 １２ＡＨ·ＨＯ＝ １ ２ａｂ＝５，所以ａｂ＝１０，又因为Ａ 点在反比例函数上，所以 ｋ＝ａｂ＝１０，所以反比例函 数的表达式为ｙ＝１０ｘ．故填ｙ＝ １０ ｘ． 书 一、轴对称性 例１　（２０２４青岛模拟）互不重合的两点Ａ（ｘ１，ｙ１）， Ｂ（ｘ２，ｙ２）皆落于反比例函数 ｙ＝ ７ ｘ的图象上，当直线 ＡＢ与第二象限角平分线垂直时，ｘ１ｘ２的值等于 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．－１ Ｂ．１ Ｃ．－７ Ｄ．７ 解析：由直线ＡＢ与第二象限角平分线垂直可知Ａ，Ｂ 关于直线ｙ＝－ｘ对称，所以ｘ１ ＝－ｙ２，ｘ２ ＝－ｙ１， 因为互不重合的两点Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）皆落于反 比例函数ｙ＝ ７ｘ的图象上，所以ｘ１ｙ１ ＝ｘ２ｙ２ ＝７， 所以ｘ１ｘ２ ＝ｘ１（－ｙ１）＝－ｘ１ｙ１ ＝－７．故选Ｃ． 二、中心对称性 例２　（２０２４徐州二模）已知正比例函数ｙ＝ａｘ与 反比例函数ｙ＝ ｂｘ的图象交于点Ａ（ｍ，ｎ），则这个函数 图象的另一个交点为 （　　） Ａ．（ｂ，ａ） Ｂ．（－ａ，ｂ） Ｃ．（ｍ，－ｎ） Ｄ．（－ｍ，－ｎ） 解析：因为正比例函数ｙ＝ａｘ与反比例函数ｙ＝ ｂｘ 的图象都关于原点对称，两函数图象交于点Ａ（ｍ，ｎ）， 所以这个函数图象的另一个交点为（－ｍ，－ｎ）．故 选Ｄ． 例３　 如图，点 Ｐ（３ａ，ａ）是反 比例函数ｙ＝ ｋｘ（ｋ＞０）的图象与 ⊙Ｏ的一个交点，若图中阴影部分 的面积为５π，则反比例函数的表达 式为 ． 解析：因为反比例函数ｙ＝ ｋｘ（ｋ＞０）的图象是中 心对称图形，所以 １ ４π·ＯＰ ２＝５π，解得ＯＰ＝ 槡２５，故有 （３ａ）２＋ａ２ ＝（槡２５） ２，解得ａ＝槡２（负值舍去），所以点 Ｐ（槡３２，槡２），把点Ｐ（槡３２，槡２）代入ｙ＝ ｋ ｘ中，解得ｋ＝ ６，所以反比例函数的表达式为ｙ＝ ６ｘ．故填ｙ＝ ６ ｘ． 书 如图１，过反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）图象上任意一 点Ａ作ＡＭ⊥ ｘ轴，ＡＮ⊥ ｙ轴，连接 ＡＯ，则 Ｓ矩形ＡＭＯＮ ＝ ｜ｋ｜，Ｓ△ＡＯＭ ＝Ｓ△ＡＯＮ ＝ ｜ｋ｜ ２ ，这就是反比例函数ｋ的几何 意义．下面举例加以说明． 例１　如图２，反比例函数ｙ＝ ｋｘ的图象经过矩形 ＡＢＣＤ对角线的交点Ｅ和点Ａ，点Ｂ，Ｃ在ｘ轴上，△ＯＣＥ的 面积为６，则ｋ＝ ． 解析：过点Ｅ作ＥＦ⊥ＢＣ，则ＥＦ＝ １２ＡＢ， 设Ｅ点坐标为（ａ，ｂ），则Ａ点的纵坐标为２ｂ，则可设 Ａ点坐标为（ｃ，２ｂ）， 因为点Ａ，Ｅ在反比例函数ｙ＝ｋｘ上，所以ａｂ＝ｋ＝ ２ｂｃ，解得ａ＝２ｃ，故ＢＦ＝ＦＣ＝ｃ，所以ＯＣ＝３ｃ，故Ｓ△ＯＣＥ ＝ １２×ＯＣ×ＥＦ＝ １ ２×３ｃ×ｂ＝６，解得ｂｃ＝４，所以 ｋ＝２ｂｃ＝８． 故填８． 例２　如图３，Ａ是双曲线ｙ＝８ｘ（ｘ＞０）上的一点， 点Ｃ是ＯＡ的中点，过点Ｃ作ｙ轴的垂线，垂足为Ｄ，交双 曲线于点Ｂ，则△ＡＢＤ的面积是 ． 解析：因为点Ｃ是ＯＡ的中点， 所以 Ｓ△ＡＣＤ ＝ Ｓ△ＯＣＤ，Ｓ△ＡＣＢ ＝ Ｓ△ＯＣＢ，所以Ｓ△ＡＣＤ＋Ｓ△ＡＣＢ ＝Ｓ△ＯＣＤ ＋Ｓ△ＯＣＢ，所以Ｓ△ＡＢＤ ＝Ｓ△ＯＢＤ， 因为点 Ｂ在双曲线 ｙ＝ ８ｘ 上，ＢＤ⊥ｙ轴，所以Ｓ△ＯＢＤ ＝ １ ２× ８＝４，所以Ｓ△ＡＢＤ ＝４． 故填４． 例３　如图４，平行于 ｙ轴的 直线与函数ｙ１＝ ｋ ｘ（ｘ＞０）和ｙ２ ＝２ｘ（ｘ＞０）的图象分别交于Ａ， Ｂ两点，ＯＡ交双曲线ｙ２＝ ２ ｘ于点 Ｃ，连接ＣＤ，若△ＯＣＤ的面积为２，则ｋ＝ ． 解析：设 Ａ（ｍ，ｋｍ），Ｃ（ｎ， ２ ｎ），则 Ｂ（ｍ， ２ ｍ），Ｄ（ｍ， ０），因为Ｓ△ＯＣＤ ＝ １ ２ＯＤ·ｙＣ ＝ １ ２·ｍ· ２ ｎ ＝２，所以 ｍ ｎ ＝２，即 ｎｍ ＝ １ ２． 又因为Ｓ△ＯＣＤ ＝Ｓ△ＯＡＤ－Ｓ△ＡＣＤ ＝ １ ２ｋ－ １ ２· ｋ ｍ·（ｍ －ｎ）＝ １２ｋ· ｎ ｍ ＝ １ ４ｋ， 所以 １ ４ｋ＝２，解得ｋ＝８． 故填８．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`A"')%%)!$%%!) "')%%)!$%!'$abc( !^dAef;3Q]EKghijklZmano !Z[^d_`A%%%+) !pqrs^tu^vw^ !;3xijkNaQ(y.z{|3 !HI}~p€XA%#""""#"""%%" !‚A...&/0123456&768 !;3ƒ„…†‡bˆ‰Š‹ŒŽaQ‘’T“”•–—˜™š %% Xo›‰$œ‹‰žŸ ¡¢ef;3Q]EKg£¤ ! " % " ! # $ % & ' " ! # " ¥… ¦§¨ ! $ % & ' # " ! 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' " $ LM¾¿À+Á LM¾À.ؙbˆÄÅ LM¾ÀÆÇ}~‹ŒŽÁÈ *23Y78D% YÉAÊËÌ jÍÎÏÐÑD%ÒXA;=%#-"$"$>a?( ) *+ ÊËÌ , ) *+ Ó¼Ô , # - .+ ÕÖÌ , ) *+ × Ø , ) *+ « Ù -./01+ Õ Ú 23/01+ ÕÛÜ -4506+ ¦ Ý -4578+ Þßà ¼áâ ã ä åRæ ç è é®ê Óëì çíÛ î ß ïðæ ñòË ãóô Cóõ ÓËö ÷Ù& øùä ú ê ûüý ¼þ¯ 91-.+ Cÿ! 91:;+ "ð# <=-.+ $ó% >?-.+ & ' @ABC+ ()* 书 【提示】 １．过点Ｄ作ｘ轴的垂线交ＣＥ于点Ｇ，过点Ａ作ｘ 轴的平行线交ＧＤ的延长线于点Ｈ，过点Ａ作ＡＮ⊥ｘ 轴于点Ｎ，可证得△ＤＨＡ≌△ＣＧＤ，△ＡＮＢ≌ △ＤＧＣ，得到ＡＮ＝ＤＧ＝ＡＨ，求得点Ｄ的坐标，即可 求解． ２．连接ＯＢ，ＡＣ，交于点Ｑ，作ＡＤ⊥ｙ轴于点Ｄ， ＡＦ⊥ｘ轴于点Ｆ，ＣＥ⊥ｘ轴于点Ｅ，根据菱形的性质 证得△ＡＯＤ≌△ＣＯＥ，得到ＡＤ＝ＣＥ，ＯＤ＝ＯＥ，设 Ａ（ｍ，ｎ），则Ｃ（ｎ，ｍ），利用中点性质及菱形ＯＡＢＣ的 面积为６求出ｍ，ｎ，即可得到ｋ． 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．（２０２４长沙期中）下列函数中不是反比例函数的 是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｙ＝ ２ｘ Ｂ．ｙ＝ｘ －１ Ｃ．ｘｙ＝３ Ｄ．ｙ＝ １２ｘ ２．（２０２３哈尔滨月考）已知反比例函数ｙ＝ｋ－２ｘ 的 图象位于第二、第四象限，则ｋ的取值范围是 （　　） Ａ．ｋ≥２ Ｂ．ｋ＞２ Ｃ．ｋ≤２ Ｄ．ｋ＜２ ３．如图１，点Ａ是反比例函数 ｙ＝－８ｘ（ｘ＜０）的图象上的一 点，过点 Ａ作平行四边形 ＡＢＣＤ， 使点Ｂ，Ｃ在 ｘ轴上，点 Ｄ在 ｙ轴 上，则平行四边形ＡＢＣＤ的面积为 （　　） Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．８ Ｄ．１６ ４．（２０２３晋城一模）已知反比例函数ｙ＝－５ｘ，则下 列描述正确的是 （　　） Ａ．图象位于第一、三象限 Ｂ．ｙ随ｘ的增大而增大 Ｃ．图象不可能与坐标轴相交 Ｄ．图象必经过点（３２，－ ５ ３） ５．（２０２３武汉新洲区一模）若点Ａ（ｘ１，－１），Ｂ（ｘ２， ２），Ｃ（ｘ３，３）在反比例函数 ｙ＝ －ｍ２－１ ｘ 的图象上，则 ｘ１，ｘ２，ｘ３的大小关系是 （　　） Ａ．ｘ３ ＞ｘ２ ＞ｘ１ Ｂ．ｘ３ ＞ｘ１ ＞ｘ２ Ｃ．ｘ１ ＞ｘ２ ＞ｘ３ Ｄ．ｘ１ ＞ｘ３ ＞ｘ２ ６．（２０２３武汉模拟）如图２，正比例函数ｙ＝ｋｘ与反 比例函数ｙ＝ｍｘ的图象相交于Ａ，Ｂ两点，ＡＣ⊥ｙ轴，垂 足为Ｃ，若△ＡＢＣ的面积为１０，则此反比例函数表达式 为 （　　） Ａ．ｙ＝１０ｘ Ｂ．ｙ＝－ １０ ｘ Ｃ．ｙ＝ ５ｘ Ｄ．ｙ＝－ ５ ｘ ７．（２０２３杭州期末）如图３，动点Ｐ在反比例函数ｙ ＝ ４ｘ（ｘ＞０）的图象上，ＰＡ⊥ｘ轴于点Ａ，Ｂ是ｙ轴上一 动点．当点Ｂ从原点向ｙ轴正半轴运动时，△ＰＡＢ的面积 将会 （　　） Ａ．逐渐减小，接近０ Ｂ．不变，永远是４ Ｃ．不变，永远是２ Ｄ．不变，但不知道具体值 ８．若ａｂ＜０，则反比例函数ｙ＝ａｂｘ与一次函数ｙ＝ ａｘ＋ｂ在同一坐标系中的大致图象可能是 （　　） 二、细心填一填（每小题４分，共２０分） ９．（２０２４沈阳月考）若反比例函数ｙ＝４ｘ的图象经 过点（－２，ｍ），则ｍ的值是 ． １０．如图４，四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，点Ａ（１，０）， Ｂ（３，１），Ｃ（３，３），反比例函数的图象经过点 Ｄ，则反比 例函数的表达式是 ． １１．（２０２３齐齐哈尔期末）如图５，正比例函数ｙ＝ｘ 与反比例函数ｙ＝４ｘ的图象相交于Ａ，Ｃ两点，ＡＢ⊥ｘ轴 于点Ｂ，ＣＤ⊥ ｘ轴于点 Ｄ，则四边形 ＡＢＣＤ的面积为 ． １２．（２０２３宝鸡月考）如图６，点Ｄ是矩形ＡＯＢＣ的对 称中心，Ａ（０，６），Ｂ（８，０），若反比例函数ｙ＝ ｋｘ的图象 经过点Ｄ，交ＡＣ于点Ｍ，则点Ｍ的坐标为 ． １３．如图７，在平面直角坐标系中，Ｏ为坐标原点，直 线ｙ＝－ｘ＋ｂ交反比例函数ｙ＝３ｘ（ｘ＞０）的图象于点 Ａ，Ｂ（点Ａ在Ｂ的左上方），分别交ｘ轴，ｙ轴于点Ｃ，Ｄ，ＡＥ ⊥ｘ轴于点 Ｅ，交 ＯＢ于点 Ｆ．若图中四边形 ＢＣＥＦ与 △ＡＯＦ的面积差为 １２，则 △ＡＢＦ与 △ＯＥＦ的面积差为 ． 三、耐心解一解（共４８分） １４．（８分）已知函数ｙ＝ｙ１－ｙ２，其中ｙ１与ｘ成正比 例，ｙ２与ｘ－２成反比例，且当ｘ＝１时，ｙ＝１；当ｘ＝３ 时，ｙ＝５．求ｙ关于ｘ的函数表达式． １５．（８分）已知关于ｘ的反比例函数ｙ＝ｍｘ的图象 经过点Ｐ（－２，１８）． （１）求这个反比例函数的表达式； （２）当４≤ｘ＜６时，请直接写出ｙ的取值范围． １６．（１０分）如图８，点Ａ的坐标是（０，６），点Ｂ的坐 标是（－２，０），将线段ＡＢ绕点Ａ逆时针旋转９０°后得到 线段ＡＣ． （１）求点Ｃ的坐标； （２）若反比例函数ｙ＝ ｋｘ的图象恰好经过ＡＣ的中 点Ｄ，求ｋ的值． １７．（１０分）设函数ｙ１ ＝ ｋ１ ｘ，函数ｙ２ ＝ｋ２ｘ＋ｂ（ｋ１， ｋ２，ｂ是常数，ｋ１≠０，ｋ２≠０）． （１）如图９，若函数ｙ１和函数ｙ２的图象交于点Ａ（１， ｍ），点Ｂ（３，１），求函数ｙ１，ｙ２的表达式； （２）若点Ｃ（２，ｎ）在函数ｙ１的图象上，将点Ｃ先向 下平移３个单位，再向左平移５个单位后得到点Ｄ，点Ｄ 恰好落在函数ｙ１的图象上，求ｎ的值． １８．（１２分）如图１０，反比例函数ｙ＝ ｋｘ（ｋ＞０）与 长方形ＯＡＢＣ在第一象限相交于Ｄ，Ｅ两点，ＯＡ＝２，ＯＣ ＝４，连接ＯＤ，ＯＥ，ＤＥ．记△ＯＡＤ，△ＯＣＥ的面积分别为 Ｓ１，Ｓ２． （１）填空： ①点Ｂ坐标为 ； ②Ｓ１ Ｓ２（填“＞”“＜”或“＝”）； （２）当Ｓ１＋Ｓ２ ＝２时， ①求ｋ的值及点Ｄ，Ｅ的坐标； ②试判断△ＯＤＥ的形状，并求△ＯＤＥ的面积                                                                                                                                                                 ． 书 １．１反比例函数 １．（２０２４重庆九龙坡区月考）下列函数中，是反比 例函数的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｙ＝２０２４ｘ Ｂ．ｙ＝２０２４ Ｃ．ｙ＝２０２３ｘ２＋２０２４ｘ Ｄ．ｙ＝－ ｘ２０２４ ２．下面每个选项中的两种量成反比例关系的是 （　　） Ａ．ａ和ｂ互为倒数 Ｂ．圆柱的高一定，体积和底面积 Ｃ．被减数一定，减数和差 Ｄ．除数一定，商和被除数 ３．已知函数ｙ＝（ｋ－２）ｘ｜ｋ｜－３（ｋ为整数），当 ｋ为 时，ｙ是ｘ的反比例函数． ４．若函数ｙ＝ａ＋３ｘ 是关于ｘ的反比例函数，则ａ满 足的条件是 ． ５．已知ｙ与２ｚ成反比例，比例系数为ｋ１，ｚ与 １ ２ｘ成 正比例，比例系数为ｋ２，ｋ１和ｋ２是已知数，且ｋ１·ｋ２≠０， 则ｙ关于ｘ成 比例（填“正”或“反”）． ６．（２０２３石家庄一模）写出下列函数关系式，指出 其中的正比例函数和反比例函数，并写出它们的比例 系数． （１）火车从石家庄驶往相距约２７７ｋｍ的北京，若 火车的平均速度为 ６０ｋｍ／ｈ，求火车距石家庄的距离 ｓ（ｋｍ）与行驶的时间ｔ（ｈ）之间的函数关系式； （２）某中学现有存煤２０ｔ，如果平均每天烧煤 ｘｔ， 共烧了ｙ天，求ｙ与ｘ之间的函数关系式； （３）一个游泳池容积为１０００ａ（ｍ３），注满游泳池所 用的时间ｙ（ｈ）随注水速度ｘ（ｍ３／ｈ）的变化而变化，求 ｙ与ｘ之间的函数关系式． ７．已知关于 ｘ，ｙ的反比例函数的关系式为 ｙ＝ ａ＋３ ｘ｜ａ｜－２ ，确定ａ的值，求这个函数关系式． １．２反比例函数的图象与性质（第一课时） １．（２０２３昭通一模）若反比例函数ｙ＝４－２ｍｘ 的图 象在一、三象限，则ｍ的值可以是 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ２．（２０２３北京海淀区模拟）在平面直角坐标系ｘＯｙ 中，反比例函数ｙ＝ ｋｘ图象经过点Ｐ（１，ｍ），且在每一 个象限内，ｙ随ｘ的增大而减小，则点Ｐ在 （　　） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 ３．反比例函数ｙ＝ ｋｘ的图象 如图１所示，则ｋ的值可能是 （　　） Ａ．－２ 　　　Ｂ．２ Ｃ．４ 　　　Ｄ．８ ４．在同一平面直角坐标系中 反比例函数ｙ＝３ｘ与一次函数ｙ＝ｘ＋３的图象大致是 （　　） ５．如图２，反比例函数的图象与一次函数 ｙ＝－２ｘ ＋３的图象相交于点Ｐ，点Ｐ到ｙ轴的距离是１，则这个 反比例函数的表达式是 ． ６．如图３是三个反比例函数ｙ１＝ ｋ１ ｘ，ｙ２＝ ｋ２ ｘ，ｙ３＝ ｋ３ ｘ在 ｘ轴上方的图象，则 ｋ１，ｋ２，ｋ３的大小关系为 ． ７．已知函数ｙ＝－ ６｜ｘ｜，小明研究该函数的图象及 性质时，列出 ｙ与 ｘ的几组对应值如下表，请解答下列 问题： ｘ … －４－３－２－１ １ ２ ３ ４ … ｙ … －２－３ －６－３ （１）完成表格； （２）在如图４所示的平面直角坐标系ｘＯｙ中，描出 以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （３）写出该函数的两条性质：① ； ② ． １．２反比例函数的图象与性质（第二课时） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 １．若反比例函数的图象经过（－２，２），（１，ａ），则 ａ 的值为 （　　） Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．４ Ｄ．－４ ２．（２０２３武 汉 月 考）在 反 比 例 函 数 ｙ ＝ －ｋ２－槡３ ｘ （ｋ为常数）的图象上有三个点（π，ｙ１），（－２， ｙ２），（－槡１０，ｙ３），则函数值ｙ１，ｙ２，ｙ３的大小关系为 （　　） Ａ．ｙ１ ＜ｙ２ ＜ｙ３ Ｂ．ｙ１ ＜ｙ３ ＜ｙ２ Ｃ．ｙ２ ＜ｙ３ ＜ｙ１ Ｄ．ｙ３ ＜ｙ１ ＜ｙ２ ３．（２０２３临沂期末）反比例函数ｙ＝ ｋｘ（ｘ＜０）的 图象如图１所示，ＡＢ∥ｙ轴，若△ＡＢＣ的面积为３，则ｋ 的值为 （　　） Ａ．１２ Ｂ． ３ ２ Ｃ．３ Ｄ．－６ ４．（２０２３淮北一模）如图２，点Ａ是反比例函数ｙ２＝ ８ ｘ（ｘ＞０）的图象上的一动点，过点Ａ分别作ｘ轴、ｙ轴 的平行线，与反比例函数ｙ１＝ ｋ ｘ（ｋ≠０，ｘ＞０）的图象 交于点Ｂ，点Ｃ，连接ＯＢ，ＯＣ．若四边形ＯＢＡＣ的面积为 ５，则ｋ＝ ． ５．（２０２４温州模拟）如图３，点 Ａ，Ｃ在反比例函数ｙ＝ ｋ１ ｘ（ｘ＞０） 的图象上，点Ｂ，Ｄ在反比例函数 ｙ ＝ ｋ２ ｘ的图象上，且点Ａ是线段ＯＢ 的中点，ＢＣ⊥ｘ轴，ＡＤ⊥ｙ轴，若△ＥＣＤ的面积是 １２， 则ｋ２－ｋ１的值为 ． ６．（２０２４南阳月考）如图４，点Ａ（１，－３）在反比例 函数ｙ＝ ｋｘ（ｘ＞０）的图象上，ＡＭ⊥ｘ轴于点Ｍ，点Ｂ 是反比例函数ｙ＝ ｋｘ（ｘ＞０）的图象上一动点，过点Ｂ 作ＢＮ⊥ｙ轴于点Ｎ． （１）求反比例函数的表达式； （２）连接ＭＮ，ＢＭ，小华说：“当ｘＢ＞槡３时，Ｓ△ＢＭＮ随 着ｘＢ的增大而减小．”你同意小华的说法吗？请说明理 由． ７．（２０２３汉中期末）如图５，在平面直角坐标系中， 菱形ＯＡＢＣ的顶点Ａ在ｙ轴正半轴上，点Ｃ的坐标为（４， ３），反比例函数ｙ＝ ｋｘ（ｋ≠０）的图象经过点Ｂ． （１）求反比例函数的表达式； （２）在反比例函数的图象上是否存在点 Ｐ，使得 △ＯＡＰ的面积等于菱形 ＯＡＢＣ的面积？若存在，请求出 点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． ! !""#$%&' ()*+,-./0 !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ 12345672*8 ! / %&'( ! 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