第9期 24.1 圆的有关性质（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（人教版）

书 上期２版 ２３．２．３关于原点对称的点的坐标 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．Ｃ；　４．１；　５．１０； ６．（－３，４）． ７．（１）略． （２）作图略．此时点Ｐ坐标为（２，０） 能力提高　８．（１）四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，理 由如下： 因为点Ｃ与点Ａ关于ｙ轴对称，所以ＯＡ＝ＯＣ， 因为点Ｄ与点Ｂ关于原点对称，所以ＯＢ＝ＯＤ， 所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． （２）存在．Ｐ的坐标为（３，０）或（－３，０）． ２３．３课题学习　图案设计 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．③④； ４．将△ＡＯＢ顺时针旋转９０°，再向左平移２个单位 长度；　５．６． ６．略． 上期３，４版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ｂ Ｃ Ｂ Ｂ Ａ Ｃ Ｄ Ａ Ｃ 二、１１．－４；　１２．③；　１３．（２，１）；　１４．４２； １５．８０；　１６．（３，０）或（槡３２－３，０）． 三、１７．略． １８．略． １９．（１）ＢＤ长为２． （２）∠ＣＢＥ的度数为５０°． ２０．（１）图略，Ｃ点坐标为（２，－２），Ｄ点坐标为 （－２，－５）． （２）若点Ｃ在ｘ轴上，设ＯＣ＝ｈ，由勾股定理，得３２ ＋４２＋３２＋ｈ２＝（４＋ｈ）２，解得ｈ＝９４，所以Ｃ（ ９ ４，０）． 因为线段ＣＤ与ＡＢ关于点Ｐ中心对称， 所以 －４＋９４ ２ ＝－ ７ ８， 所以Ｐ（－７８，０）． 同理，若Ｄ点在ｙ轴上，可得Ｐ（０，－７６）． 综上，当Ｃ，Ｄ两点中有一点在坐标轴上时，Ｐ点坐标 为（－７８，０）或（０，－ ７ ６）． ２１．（１）点Ｂ′的坐标为（槡３２， ３ ２）． （２）点Ｍ的坐标为（槡３＋１２ ， 槡３－１ ２ ）． ２２．略． ２３．（１）证明：由旋转的性质，得∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＣ＝ ９０°，ＡＤ＝ＡＥ， 所以∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ． 在△ＡＢＤ和△ＡＣＥ中， ＡＢ＝ＡＣ， ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ， ＡＤ＝ＡＥ { ， 所以△ＡＢＤ≌△ＡＣＥ，所以ＢＤ＝ＥＣ． （２）∠ＦＥＣ的度数为９０°． （３）ＢＥ＝ＡＦ，ＢＥ⊥ＡＦ，理由如下： 因为∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ＝９０°，所以∠ＢＡＣ＋∠ＤＡＥ ＝１８０°，所以∠ＢＡＥ＋∠ＤＡＣ＝１８０°． 由平移得ＡＣ＝ＤＦ＝ＡＢ，ＡＣ∥ＤＦ， 所以 ∠ＡＤＦ＋∠ＤＡＣ ＝１８０°，所以 ∠ＡＤＦ ＝ ∠ＢＡＥ． 在 △ＡＢＥ 和 △ＤＦＡ 中， ＡＢ＝ＤＦ， ∠ＢＡＥ＝∠ＦＤＡ， ＡＥ＝ＡＤ { ， 所以△ＡＢＥ≌△ＤＦＡ， （下转１，４版中缝） 书 如图１，四边形ＡＢＣＤ的四个顶 点都在 ⊙Ｏ上，则四边形 ＡＢＣＤ内 接于⊙Ｏ，⊙Ｏ是四边形ＡＢＣＤ的外 接圆． 因为∠Ａ所对的弧为 ) ＢＣＤ，∠Ｃ 所对的弧为 ) ＢＡＤ，且 ) ＢＣＤ与 ) ＢＡＤ所 对圆心角的和为周角， 所以由圆周角定理，得 ∠Ａ＋∠Ｃ＝ １２ ×３６０°＝ １８０°． 同理，∠Ｂ＋∠Ｄ＝１８０°． 由此可得：圆内接四边形的对角互补． 利用这一性质解决与圆的内接四边形有关的边、角 问题，往往能够起到事半功倍的效果． 一、求角用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ （２０２３西藏）如图２，四 边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，Ｅ为ＢＣ延 长线上一点．若 ∠ＤＣＥ＝６５°，则 ∠ＢＯＤ的度数是 （　　） Ａ．６５° Ｂ．１１５° Ｃ．１３０° Ｄ．１４０° 分析：根据邻补角互补求出 ∠ＤＣＢ的度数，再根据 圆内接四边形对角互补求出∠ＢＡＤ的度数，最后根据圆 周角定理即可求出∠ＢＯＤ的度数． 解：因为∠ＤＣＥ＝６５°，所以∠ＤＣＢ＝１８０°－∠ＤＣＥ ＝１１５°． 因为四边形 ＡＢＣＤ内接于 ⊙Ｏ，所以 ∠ＢＡＤ＋ ∠ＤＣＢ＝１８０°，所以 ∠ＢＡＤ ＝６５°，所以 ∠ＢＯＤ ＝ ２∠ＢＡＤ＝１３０°． 故选Ｃ． 二、说理用 例２　 如图３，四边形 ＡＢＣＤ 为⊙Ｏ的内接四边形，已知∠Ｃ＝ ∠Ｄ，判断 ＡＢ与 ＣＤ的位置关系， 并说明理由． 分析：四边形ＡＢＣＤ是⊙Ｏ的 内接四边形，则 ∠Ａ与 ∠Ｃ互补， 再由∠Ｃ＝∠Ｄ，可得∠Ａ与∠Ｄ也互补，即可判断 ＡＢ 与ＣＤ的位置关系． 解：ＡＢ∥ＣＤ．理由如下： 因为四边形ＡＢＣＤ是⊙Ｏ的内接四边形， 所以∠Ａ＋∠Ｃ＝１８０°． 因为∠Ｃ＝∠Ｄ，所以∠Ａ＋∠Ｄ＝１８０°． 所以ＡＢ∥ＣＤ． 温馨提示：从以上几例可以看出，圆内接四边形的 性质虽简短，但在解决与圆的内接四边形有关的问题时 很有效，同学们在解题时要注意灵活选择运用． 书 垂径定理是圆的一条重要性质，指的是“垂直于弦 的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”．它的应用非 常广泛，下面举例进行说明，供同学们学习时参考． 一、求直径 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ （２０２３东营）《九章算 术》标志着中国古代数学形成了 完整的体系．第九卷《勾股》中记 载了一个“圆材埋壁”的问题： “今有圆材埋在壁中，不知大小． 以锯锯之，深一寸，锯道长一尺， 问径几何？”用现在的数学语言可表述为：“如图１，ＡＢ是 ⊙Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｅ，ＡＥ＝１寸，ＣＤ＝１０寸， 求直径ＡＢ的长．”可求出直径ＡＢ的长为 寸． 解析：连接ＯＣ，则ＯＡ＝ＯＣ，设ＯＡ＝ＯＣ＝ｘ寸，则 ＯＥ＝（ｘ－１）寸，ＡＢ＝２ｘ寸，因为ＡＢ是⊙Ｏ的直径，弦 ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｅ，ＣＤ＝１０寸，所以ＣＥ＝１２ＣＤ＝５寸， 在 Ｒｔ△ＣＯＥ中，ＯＥ２＋ＣＥ２＝ＯＣ２，即（ｘ－１）２＋５２＝ｘ２， 解得ｘ＝１３，则ＡＢ＝２６寸．故填２６． 二、求弦长 例２　如图２，ＡＢ是⊙Ｏ的直 径，ＯＤ垂直于弦ＡＣ于点Ｄ，ＤＯ的延 长线交⊙Ｏ于点Ｅ．若ＡＣ＝ 槡４２，ＤＥ ＝４，则ＢＣ的长是 （　　） 槡Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．２ Ｄ．４ 解析：因为ＡＢ是⊙Ｏ的直径，所以∠Ｃ＝９０°，因为 ＯＤ⊥ＡＣ，所以点Ｄ是ＡＣ的中点，所以ＯＤ是△ＡＢＣ的 中位线，所以ＯＤ∥ＢＣ，且ＯＤ＝１２ＢＣ．设ＯＤ＝ｘ，则ＢＣ ＝２ｘ，因为ＤＥ＝４，所以ＯＥ＝４－ｘ，所以ＡＢ＝２ＯＥ＝ ８－２ｘ，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理可得，ＡＢ２ ＝ＡＣ２＋ ＢＣ２，即（８－２ｘ）２＝（槡４２） ２＋（２ｘ）２，解得ｘ＝１．所以ＢＣ ＝２ｘ＝２．故选Ｃ． 三、实际应用 例３　（２０２３广西）赵州桥 是当今世界上建造最早，保存最 完整的中国古代单孔敞肩石拱 桥．如图３，主桥拱呈圆弧形，跨 度约为３７ｍ，拱高约为７ｍ，则赵 州桥主桥拱半径Ｒ约为 （　　） Ａ．２０ｍ Ｂ．２８ｍ Ｃ．３５ｍ Ｄ．４０ｍ 解析：由题意可知，ＡＢ＝３７ｍ，ＣＤ＝７ｍ，主桥拱半 径为Ｒｍ，所以ＯＤ＝ＯＣ－ＣＤ＝（Ｒ－７）ｍ，因为ＯＣ是 半径，且ＯＣ⊥ＡＢ，所以 ＡＤ＝ＢＤ＝ １２ＡＢ＝ ３７ ２ｍ，在 Ｒｔ△ＡＤＯ中，ＡＤ２＋ＯＤ２ ＝ＯＡ２，即（３７２） ２＋（Ｒ－７）２ ＝ Ｒ２，解得Ｒ＝１５６５５６ ≈２８ｍ．故选Ｂ． 书 “直径所对的圆周角是直角，９０°的圆周角所对的弦 是直径”，这是由圆周角定理得出的推论，应用这一推论 可解决与此有关的一些试题．下面让我们一起体验． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、求圆的半径 例１　 （２０２４宿州三模）如图 １，⊙Ｏ是 △ＢＣＤ的外接圆，ＡＢ⊥ ＢＣ．若 ＢＣ＝４，∠ＢＤＣ＝３０°，则 ⊙Ｏ的半径为 （　　） 槡Ａ．４ Ｂ．２２ 槡Ｃ．２３ Ｄ．８ 解析：连接 ＡＣ，则 ∠ＣＡＢ＝ ∠ＢＤＣ＝３０°，因为ＡＢ⊥ＢＣ， 所以∠ＡＢＣ＝９０°，所以ＡＣ为⊙Ｏ的直径． 因为∠ＡＢＣ＝９０°，∠ＣＡＢ＝３０°，ＢＣ＝４， 所以ＡＣ＝２ＢＣ＝８， 所以⊙Ｏ的半径为 ８２ ＝４． 故选Ａ． 二、求弦的长度 例２　（２０２４楚雄三模）如 图２，ＡＢ是 ⊙Ｏ的直径，点 Ｃ，Ｄ 在⊙Ｏ上，若 ∠ＣＤＢ＝３０°，ＡＢ ＝４，则ＡＣ的长为 （　　） 槡Ａ．２２ Ｂ．４ 槡 槡Ｃ．３ Ｄ．２３ 解析：因为ＡＢ为⊙Ｏ的直径，所以∠ＡＣＢ＝９０°． 因为∠ＢＡＣ和∠ＣＤＢ是同弧 ) ＢＣ所对的圆周角， 所以∠ＢＡＣ＝∠ＣＤＢ＝３０°， 因为ＡＢ＝４， 所以ＢＣ＝ １２ＡＢ＝２， 所以ＡＣ＝ ＡＢ２－ＢＣ槡 ２ ＝ ４２－２槡 ２ ＝ 槡２３． 故选Ｄ． 三、求圆周角的度数 例３　（２０２３黄冈）如图３，在 ⊙Ｏ中，直径ＡＢ与弦 ＣＤ相交于点 Ｐ，连接 ＡＣ，ＡＤ，ＢＤ，若 ∠Ｃ＝２０°， ∠ＢＰＣ＝７０°，则∠ＡＤＣ＝（　　） Ａ．７０° Ｂ．６０° Ｃ．５０° Ｄ．４０° 解析：因为 ∠Ｃ＝２０°，所以 ∠Ｂ＝２０°， 因为∠ＢＰＣ＝７０°，所以∠ＢＤＰ＝∠ＢＰＣ－∠Ｂ＝ ５０°， 又因为ＡＢ为直径，所以∠ＡＤＢ＝９０°， 所以∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＢ－∠ＢＤＰ＝４０°． 故选Ｄ． 【对应练习见《重点集训营》】 书 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 １．如图１，弦ＣＤ所对的圆心角为１２０°，ＡＢ为直径， ＣＤ在半圆上滑动，Ｆ是ＣＤ的中点，过点 Ｄ作 ＡＢ的垂 线，垂足为Ｅ，则∠ＤＥＦ的度数为 ． ２．（２０２４邢台一模）如图２，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ均为圆周上 十二等分点，若用直尺测量弦ＣＤ长时，发现Ｃ点、Ｄ点 分别与刻度 １和 ４对齐，则 Ａ，Ｂ两点的距离是 ． ３．如图３，已知ＡＢ，ＣＤ是⊙Ｏ 的两条弦，且ＡＢ＝４，ＣＤ＝槡３，分 别连接ＡＣ，ＢＤ并延长，两线相交 于点Ｐ，若∠Ｐ＝３０°，∠ＢＡＣ＝ ９０°，则⊙Ｏ的半径为 ． ４．（２０２４杭州一模）如图４，在四边形ＡＢＣＤ中，∠Ａ ＝９０°，ＡＤ∥ＢＣ，以ＣＤ为直径的⊙Ｏ与ＢＣ边交于点 Ｅ，与对角线ＢＤ交于点Ｆ，连接ＤＥ，ＣＦ． （１）请判断四边形ＡＢＥＤ的形状，并说明理由； （２）若ＡＤ＝３，２ＤＦ＝ＢＦ，∠ＡＢＤ＝３０°，求⊙Ｏ的 半径． １．如图 １，ＡＢ是 ⊙Ｏ的直径，Ｃ为圆上一点，且 ∠ＡＯＣ＝１２０°，⊙Ｏ的半径为４，Ｐ为圆上一动点，Ｑ为 ＡＰ的中点，则ＣＱ长度的最大值是 ． ２．（２０２４西安模拟）如图２，在平面直角坐标系中， 四边形ＡＢＣＯ为矩形，Ａ（０，４），Ｂ（１０，４），点Ｍ为边ＯＣ 上一点，以点Ｍ为圆心，ＣＭ为半径作⊙Ｍ，交ｘ轴于点 Ｄ，连接ＢＤ交⊙Ｍ于点Ｅ，连接ＡＥ，点Ｆ为ＡＥ的中点， 则ＯＦ的最小值为 ． 书 （上接４版参考答案） 所以 ＢＥ ＝ ＡＦ， ∠ＤＡＦ＝∠ＡＥＢ． 因 为 ∠ＤＡＦ ＋ ∠ＦＡＥ＝９０°， 所 以 ∠ＡＥＢ ＋ ∠ＦＡＥ＝９０°，所以 ＢＥ ⊥ＡＦ． ２４．（１）因为点 Ｄ 为ＣＭ的中点，所以ＤＭ ＝ＤＣ， 由旋转的性质，得 ＤＭ ＝ＤＣ＝ＤＥ， 所 以 ∠Ｃ ＝ ∠ＤＥＣ，∠ＤＥＭ ＝ ∠ＤＭＥ， 因为∠Ｃ＋∠ＤＥＣ ＋∠ＤＥＭ＋∠ＤＭＥ＝ １８０°， 所以 ２（∠ＤＥＣ ＋ ∠ＤＥＭ）＝１８０°， 所 以 ∠ＣＥＭ ＝ ９０°，所以∠ＡＥＦ＝９０°． （２）结论依然成 立，理由如下： 连接 ＡＦ，ＡＭ，延长 ＦＥ到点Ｈ，使ＦＥ＝ＥＨ， 连接ＣＨ，ＡＨ， 因为 ＤＦ＝ＤＣ，所 以ＤＥ是△ＦＣＨ的中位 线， 所以ＤＥ∥ＣＨ，ＣＨ ＝２ＤＥ， 由旋转的性质，得 ＤＭ ＝ ＤＥ，∠ＭＤＥ ＝ ２α，所以∠ＦＣＨ＝２α， 因为∠Ｂ＝∠Ｃ＝ α，所以 ∠ＡＣＨ ＝α， △ＡＢＣ是等腰三角形， 所 以 ∠Ｂ ＝ ∠ＡＣＨ，ＡＢ＝ＡＣ， 设ＤＭ＝ＤＥ＝ｍ， ＣＤ＝ｎ，则 ＣＨ＝２ｍ， ＣＭ ＝ｍ＋ｎ，ＤＦ＝ＣＤ ＝ｎ，所以 ＦＭ ＝ＤＦ－ ＤＭ ＝ｎ－ｍ， 因为 ＡＭ⊥ ＢＣ，所 以ＢＭ ＝ＣＭ ＝ｍ＋ｎ， 所以 ＢＦ＝ＢＭ － ＦＭ ＝ｍ＋ｎ－（ｎ－ｍ） ＝２ｍ， 所以ＣＨ＝ＢＦ，所 （下转２，３版中缝） !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! " #! !!"! " $"% ! !"!#&$'!%( !"#$ !"#$%& !"#$%&'" ()*+,-'. % ! !"#$%&'"() ! * '()* ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 书 弧是圆中的无名英雄，与圆有关的许多计算和证 明问题，表面上与弧没有直接关系，实际上却沟通着圆 周角、圆心角、弦等元素，起到了牵线搭桥的作用．下面 举例说明． 一、为弦牵线搭桥 　　　　　　　　　　　　　　　例１ （２０２４无锡期中）如 图１，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，四边形 ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，若ＢＣ＝ＣＤ ＝ＤＡ＝４ｃｍ，则⊙Ｏ的直径ＡＢ 为 （　　） Ａ．５ｃｍ 　　Ｂ．４ｃｍ Ｃ．６ｃｍ 　　Ｄ．８ｃｍ 解析：连接ＯＤ，ＯＣ．因为ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ＝４ｃｍ， 所以 ) ＡＤ＝ ) ＣＤ＝ ) ＢＣ，所以∠ＡＯＤ＝∠ＤＯＣ＝∠ＢＯＣ ＝６０°． 又因为ＯＡ＝ＯＤ，所以△ＡＯＤ是等边三角形，所以 ＯＡ＝ＡＤ＝４ｃｍ，所以ＡＢ＝８ｃｍ．故选Ｄ． 二、为圆周角牵线搭桥 例２　如图２，ＡＢ是⊙Ｏ的 直径，Ｃ，Ｄ是⊙Ｏ上的两点，若 ∠ＣＡＢ＝６５°，则∠ＡＤＣ的度数 为 （　　） Ａ．２５° 　　Ｂ．３５° Ｃ．４５° 　　Ｄ．６５° 解析：因为ＡＢ是直径，所以∠ＡＣＢ＝９０°， 因为∠ＣＡＢ＝６５°， 所以∠ＡＢＣ＝９０°－∠ＣＡＢ＝２５°， 所以∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣ＝２５°．故选Ａ． 三、为圆周角和圆心角牵线搭桥 例３　（２０２３阜新）如图３， Ａ，Ｂ，Ｃ是 ⊙Ｏ上的三点，若 ∠ＡＯＣ＝９０°，∠ＡＣＢ＝２５°，则 ∠ＢＯＣ的度数是 （　　） Ａ．２０° 　　Ｂ．２５° Ｃ．４０° 　　Ｄ．５０° 解析：根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角等于圆心角的一半，可得∠ＡＯＢ＝２∠ＡＣＢ＝５０°， 因为∠ＡＯＣ＝９０°，所以∠ＢＯＣ＝∠ＡＯＣ－∠ＡＯＢ＝ ４０°．故选Ｃ． 四、为特殊角牵线搭桥 例４　如图４，ＡＢ是⊙Ｏ的 直径，Ｃ，Ｄ，Ｅ是 ⊙Ｏ上的点，则 ∠１＋∠２等于 ． 解析：连接 ＡＣ，ＢＣ，根据同 弧所对的圆周角相等可知，∠１ ＝∠ＡＢＣ，∠２＝∠ＣＡＢ， 所以∠１＋∠２＝∠ＡＢＣ＋ ∠ＣＡＢ． 因为ＡＢ为⊙Ｏ的直径，所以∠ＡＣＢ＝９０°， 所以∠１＋∠２＝∠ＡＢＣ＋∠ＣＡＢ＝９０°．故填９０°． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " +, -./ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " # ! & $ % & ! # " 01 234 & % # ! " $ ! ! ! % # & $ ! ! " 56 789 $ % & # ! ! & $ % & # ! ! ' " :; <=> !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ?@"ABCDE FG(HIJK*L #ABSTSU - #V[S\U #]^_`aY"'.&/.!0&!.1 #ABbcY:6defg3hijkl &'!mnoBpq"n$]r_ #st]NY"'"""1 #gu_vBwxY"'.&".!0&&!. "'.&".!0&!'0FyzL #v{Y|}ABgu_c~€‚ƒs„F…L #stv{wxY&&&$. #†‡ˆ‰vŠ‹vŒv #ABŽ€‚dFgL‘’“B #5”•–—†˜mY&#""""#"""&&" #5”_Q™Y"'.&".!0&!.. #ABš›,;œyžŸ ¡¢£F¤¥g¦§i¨©ª«¬­®¯ && mL°ž±² ž³´µ¶D±|}ABgu_c~·¸ ) *+ ¹º. , ) *+ »¼½ , # - .+ <¾. , ) *+ ¿ À , ) *+ Á  -./01+ < à 23/01+ ÄÅÆ -4506+ Ç È -4578+ ÉÊË ¼ÌÍ Î Ï Ð3Ñ Ò Ó ÔÕÖ »×Ø ÒÙÅ Ú Ê -ÛÑ Üݺ ÎÞß [Þà »ºá âÂ" ãäÏ å Ö æçè ¼éê 91-.+ ÎÞß 91:;+ Üݺ <=-.+ ëÞì >?-.+ íîï @ABC+ ðñò :6óôõ$ö÷ :6óõøùúyûü :6óõýþ•– ¡¢£öÿ noBp]^\U p!Y¹º. "#$%&\U'mY(2&#/"0"03F4L s()mY!&/&.0 ! % " & # $ ! & ! " & # $ % ! ! ! % &# $ ! & ! % & $ ! ' ! % & # $ ! & ! % & $ ! ! # ! # $ ' % & ! ' ! # ! " # $ % ( # ! "$ % ! $ & ! % # & $ ! ! & ! ' # . 1 " ! & " % ( # $ ! # ! & % ) ' $ ! $ '0 5 0 5 * ! * ! ' % # & $ # + &, % " ( $ ! - ! ! ! 书 【提示】 １．连接ＯＱ，作ＣＨ⊥ＡＢ于点Ｈ，先证明点Ｑ的运 动轨迹为以ＡＯ为直径的⊙Ｋ，连接ＣＫ，当点Ｑ在ＣＫ 的延长线上时，ＣＱ最大，利用勾股定理求出ＣＫ即可． ２．连接ＣＥ，取ＢＣ中点Ｈ，连接ＡＨ，ＥＨ，取ＡＨ中 点Ｇ，连接ＦＧ，ＯＧ，由矩形的性质得Ｃ（１０，０），ＢＣ＝ ４，Ｈ（１０，２），Ｇ（５，３），易证得∠ＣＥＤ＝∠ＣＥＢ＝９０°， 则得ＥＨ的长为２，因为ＦＧ为△ＡＥＨ的中位线，所以 ＦＧ＝１，则点Ｆ在以点Ｇ为圆心，半径为１的圆上运 动，故当Ｏ，Ｆ，Ｇ三点共线时，ＯＦ有最小值，利用勾股 定理得到ＯＧ的长，即可求出ＯＦ的最小值． 书 （满分：１２０分） 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．已知ＡＢ是半径为２的圆的一条弦，则ＡＢ的长不 可能是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ ２．（２０２４滨州二模）如图１所示，在⊙Ｏ中，ＡＤ是直 径，弦ＢＣ交ＡＤ于点Ｅ，连接ＡＢ，ＡＣ，若∠ＢＡＤ＝３２°，则 ∠ＡＣＢ的度数是 （　　） Ａ．６８° Ｂ．５８° Ｃ．６４° Ｄ．５４° ３．（２０２４西安模拟）如图２，ＡＢ，ＣＤ是⊙Ｏ的弦，且 ) ) ＡＢ＝ＣＤ，若∠ＢＯＤ＝８４°，则∠ＡＣＯ的度数为（　　） Ａ．４２° Ｂ．４４° Ｃ．４６° Ｄ．４８° ４．如图３，以ＣＤ为直径的⊙Ｏ中，弦ＡＢ⊥ＣＤ于点 Ｍ，若ＡＢ＝２４，ＣＤ＝２６，则ＭＤ的长为 （　　） Ａ．５ Ｂ．７ Ｃ．８ Ｄ．１０ ５．如图４，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｃ，Ｄ是⊙Ｏ上的两点， 连接ＡＣ，ＡＤ，ＣＤ，若∠ＡＤＣ＝７０°，则∠ＣＡＢ的度数是 （　　） Ａ．２０° Ｂ．３０° Ｃ．７０° Ｄ．９０° ６．（２０２４沧州二模）如图５，四边形 ＡＢＣＤ内接于 ⊙Ｏ，点Ｅ，Ｆ分别在ＡＢ和ＤＣ的延长线上，且ＥＦ∥ＢＣ， 若∠Ｅ＝８０°，则下列结论正确的是 （　　） Ａ．∠Ｆ＝１１０° Ｂ．∠Ｄ＝１００° Ｃ．∠ＢＣＤ＝１１０° Ｄ．∠Ａ＝８０° ７．数学活动课上，同学们想测出一个破损轮子的半径， 小宇的解决方案如下：如图６，在轮子圆弧上任取两点Ａ，Ｂ， 连接ＡＢ，再作出ＡＢ的垂直平分线，交ＡＢ于点Ｃ，交 ) ＡＢ于点 Ｄ，测出ＡＢ，ＣＤ的长度，即可计算得出轮子的半径，现测出 ＡＢ＝１６ｃｍ，ＣＤ＝４ｃｍ，则轮子的半径为 （　　） Ａ．６ｃｍ 　　　Ｂ．８ｃｍ Ｃ．１０ｃｍ 　　　Ｄ．１２ｃｍ ８．（２０２４嘉兴期末）如图７， ＡＢ是⊙Ｏ的一条弦，将劣弧沿弦 ＡＢ翻折，连接ＡＯ并延长交翻折后 的弧于点Ｃ，连接ＢＣ，若ＡＢ＝２， ＢＣ＝１，则ＡＣ的长为 （　　） Ａ．槡２５３ Ｂ． 槡３５ ４ Ｃ． 槡３５ ５ Ｄ． 槡５ ７ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．如图８，在⊙Ｏ中，弦的条数是 ． １０．如图９，在⊙Ｏ中， ) ) ＡＢ＝ＣＤ，Ａ，Ｃ之间的距离为 ４，则Ｂ，Ｄ之间的距离为 ． １１．如图１０，四边形 ＡＢＣＤ内接于 ⊙Ｏ，ＡＤ＝ＤＣ， ∠ＤＡＣ＝２５°，则∠ＡＢＣ＝ ． １２．如图１１，以原点Ｏ为圆心的圆交 ｘ轴于 Ａ，Ｂ两 点，交ｙ轴的正半轴于点Ｃ，且点Ａ的坐标为（－２，０），Ｄ 为第一象限内⊙Ｏ上的一点，若∠ＯＣＤ＝７５°，则ＡＤ＝ ． １３．（２０２４烟台期中）如图１２，四边形ＡＢＣＤ是⊙Ｏ 的内接四边形，∠ＢＣＤ ＝１１０°，连接 ＯＢ，ＯＣ，ＯＤ，ＢＤ， ∠ＢＯＣ＝３∠ＣＯＤ，则∠ＢＤＣ的度数是 ． １４．（２０２４苏州一模）如图１３，在 △ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ ＝９０°，ＡＣ＝５，ＢＣ＝４，点Ｅ是ＡＣ边上的动点，以ＣＥ为 直径作⊙Ｆ，连接 ＢＥ交 ⊙Ｆ于点 Ｄ，则 ＡＤ的最小值为 ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１０分）如图１４，在⊙Ｏ中，Ｄ，Ｅ分别为半径ＯＡ， ＯＢ上的点，且ＡＤ＝ＢＥ．Ｃ为弧ＡＢ上一点，连接ＣＤ，ＣＥ， ＣＯ，且ＣＤ＝ＣＥ．求证：Ｃ为 ) ＡＢ的中点． １６．（１０分）如图１５，在⊙Ｏ中，点Ｅ是弦ＣＤ的中 点，过点Ｏ，Ｅ作直径ＡＢ（ＡＥ＞ＢＥ），连接ＢＤ，过点Ｃ作 ＣＦ∥ＢＤ交ＡＢ于点Ｇ，交⊙Ｏ于点Ｆ，连接ＡＦ．求证：ＡＧ ＝ＡＦ． １７．（２０２４郴州期中，１０分）如图１６，四边形ＡＢＣＤ是 ⊙Ｏ的内接四边形，ＢＣ是⊙Ｏ的直径，∠ＡＣＢ＝３０°，ＡＢ ＝２，点Ｄ为 ) ＡＣ的中点． （１）求⊙Ｏ的半径； （２）求∠ＤＡＣ的度数． １８．（１０分）如图１７，有一座圆弧形拱桥，桥下水面 宽ＡＢ为１６米，拱高ＣＮ为４米． （１）求桥拱的半径； （２）若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度ＤＥ为１２米 时，求水面涨高了多少？ １９．（１２分）如图１８，在⊙Ｏ中，Ｃ，Ｄ是直径ＡＢ上的 两点，且ＡＣ＝ＢＤ，ＥＧ⊥ＡＢ，ＦＨ⊥ＡＢ，交ＡＢ于点Ｃ，Ｄ， 点Ｅ，Ｇ，Ｆ，Ｈ在⊙Ｏ上． （１）若ＥＧ＝８，ＡＣ＝２，求⊙Ｏ的半径； （２）求证： ) ) ＡＥ＝ＢＦ． ２０．（１２分）如图１９，圆内接四边形ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ，ＢＤ交于点Ｅ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，∠ＢＡＣ＝∠ＡＤＢ． （１）求证：ＤＢ平分∠ＡＤＣ； （２）求∠ＢＡＤ的大小； （３）过点Ｃ作ＣＦ∥ＡＤ，交ＡＢ的延长线于点Ｆ，若 ＡＣ＝ＡＤ，ＢＦ＝２，求此圆半径的长                                                                                                                                                                 ． 书 ２４．１．１圆 １．如图１所示的线段，是圆Ｏ弦的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．线段ＡＢ Ｂ．线段ＡＣ Ｃ．线段ＡＥ Ｄ．线段ＤＥ ２．已知⊙Ｏ中，最长的弦长为１６ｃｍ，则⊙Ｏ的半径 是 （　　） Ａ．４ｃｍ Ｂ．８ｃｍ Ｃ．１６ｃｍ Ｄ．３２ｃｍ ３．下列说法错误的是 （　　） Ａ．圆有无数条直径 Ｂ．连接圆上任意两点之间的线段叫做弦 Ｃ．过圆心的线段是直径 Ｄ．同圆中，直径是最长的弦，为半径的两倍 ４．过圆内一点（非圆心）有 条弦，有 条直径． ５．如图２，ＡＢ是 ⊙Ｏ的直径，ＣＤ是 ⊙Ｏ的弦，ＡＢ， ＣＤ的延长线交于点Ｅ．若ＡＢ＝２ＤＥ，∠Ｅ＝１８°，则∠Ｃ 的度数为 ． ６．（２０２３盐城模拟）如图３，ＣＤ是⊙Ｏ的直径，Ｏ是 圆心，Ｅ是圆上一点，且∠ＥＯＤ＝８１°，Ａ是ＤＣ延长线上 一点，ＡＥ与圆交于另一点Ｂ，且ＡＢ＝ＯＣ，求∠ＥＡＤ的 度数． 能力提高 ７．如图４所示，ＢＤ，ＣＥ是 △ＡＢＣ的高，求证：Ｅ，Ｂ， Ｃ，Ｄ四点在同一个圆上． ２４．１．２垂直于弦的直径 １．（２０２４长沙二模）如图１，已知在⊙Ｏ中，半径ＯＣ 垂直于弦ＡＢ，垂足为Ｄ．如果ＣＤ＝８，ＡＢ＝２４，那么ＯＡ 的长为 （　　） 槡Ａ．１２ Ｂ．１２３ Ｃ．１３ Ｄ．１６ ２．如图２，ＣＤ是⊙Ｏ的弦，直径ＡＢ⊥ＣＤ，垂足为 Ｍ，连接ＡＤ．若ＣＤ＝８，ＢＭ ＝２，则ＡＤ的长为 （　　） 槡Ａ．１０ Ｂ．５３ 槡 槡Ｃ．４５ Ｄ．３ １０ ３．如图３，⊙Ｏ的半径为５，弦ＡＢ＝６，Ｐ是弦ＡＢ上 的一个动点（不与Ａ，Ｂ重合），写出一个符合条件的ＯＰ 的值 ． ４．（２０２４南京一模）圆在中式建筑中有着广泛的应 用．如图４，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度 为２．８ｍ，地面入口的宽度为１ｍ，门枕的高度为０．３ｍ， 则该圆弧所在圆的半径为 ｍ． 能力提高 ５．一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和 刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小明同学所 在的学习小组想到了如下方法：如图５，将纸条拉直紧 贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于 Ａ，Ｂ，Ｃ， Ｄ四点，利用刻度尺量得该纸条宽为 ３．５ｃｍ，ＡＢ＝ ３ｃｍ，ＣＤ＝４ｃｍ．请你帮忙计算纸杯的直径． ２４．１．３弧、弦、圆心角 １．（２０２４杭州月考）如图１，在⊙Ｏ中，ＡＢ＝ＣＤ，ＯＥ ⊥ＡＢ，ＯＦ⊥ＣＤ，则下列结果中错误的是 （　　） Ａ． ) ) ＡＢ＝ＣＤ Ｂ．ＯＥ＝ＯＦ Ｃ．∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ Ｄ． ) ) ＢＣ＝ＡＤ ２．如图２，在⊙Ｏ中，ＡＣ＝ＢＤ，若∠ＡＯＣ＝１２０°，则 ∠ＢＯＤ＝ ． ３．（２０２４宁波期中）如图３，∠ＡＯＢ＝９０°，Ｃ，Ｄ是 ) ＡＢ的三等分点，连接ＡＢ，分别交ＯＣ，ＯＤ于点Ｅ，Ｆ． （１）求∠ＡＥＣ的度数； （２）求证：ＡＥ＝ＢＦ＝ＣＤ． 能力提高 ４．如图４，已知⊙Ｏ的直径ＢＡ与弦ＤＣ的延长线交 于点Ｐ，且ＰＣ＝ＣＯ， ) ) ) ＣＤ＝ＡＣ＋ＤＢ，求∠ＯＤＣ与∠ＤＯＢ 的度数． ２４．１．４圆周角 １．（２０２４浙江二模）如图１，点 Ａ，Ｂ，Ｃ在 ⊙Ｏ上， ∠ＢＡＣ＝５２°，连接ＯＢ，ＯＣ，则∠ＢＯＣ的度数为 （　　） Ａ．２６° Ｂ．７０° Ｃ．１０４° Ｄ．１２８° ２．（２０２４泰安二模）如图２，已知四边形ＡＢＤＣ内接 于⊙Ｏ，∠ＢＤＣ＝１１５°，则∠ＢＯＣ的度数为 （　　） Ａ．１３０° Ｂ．１２０° Ｃ．１１０° Ｄ．１００° ３．（２０２３南通）如图３，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点Ｃ，Ｄ在 ⊙Ｏ上．若∠ＤＡＢ＝６６°，则∠ＡＣＤ＝ 度． ４．如图４，四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，ＡＤ∥ＢＣ，ＢＤ 平分∠ＡＢＣ，∠Ａ＝１２６°，则∠ＢＤＣ的度数为 ． ５．（２０２４杭州模拟）如图 ５，⊙Ｏ是 △ＡＢＣ的外接圆，ＢＣ ＝ＢＤ，点Ａ是弧ＢＤ的中点，若 ∠ＣＢＤ＝２０°，则∠ＡＢＤ的度数 为 ． ６．如图６，ＡＢ是 ⊙Ｏ的直 径，ＣＤ是⊙Ｏ的一条弦，且 ＣＤ ⊥ＡＢ于点Ｅ，连接ＡＣ，ＯＣ，ＢＣ． （１）求证：∠１＝∠２； （２）若ＢＥ＝２，ＣＤ＝６，求⊙Ｏ的半径长． 能力提高 ７．如图７，⊙Ｏ的直径 ＡＢ为１０ｃｍ，弦 ＡＣ为６ｃｍ， ∠ＡＣＢ的平分线交⊙Ｏ于点Ｄ，求ＢＣ，ＡＤ，ＢＤ的长及四 边形ＡＣＢＤ的面积 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 （上接１，４版中缝） 以△ＡＢＦ≌△ＡＣＨ， 所以ＡＦ＝ＡＨ， 因为 ＦＥ＝ＥＨ，所 以 ＡＥ⊥ ＦＨ，即 ∠ＡＥＦ ＝９０°． （３）连接 ＡＦ，ＡＭ， ＥＭ，延长ＦＥ到点Ｈ，使 ＦＥ＝ＥＨ，连接ＣＨ，ＡＨ， 过点Ｅ作ＥＮ⊥ＢＣ于点 Ｎ， 由（２）可得 △ＡＢＦ ≌ △ＡＣＨ，ＣＨ ＝２ＤＥ， ∠ＡＥＦ＝９０°， 所以ＢＦ＝ＣＨ， 因为ＢＦ＝２ＣＧ，所 以ＤＥ＝ＣＧ， 因为α＝３０°，所以 ∠ＭＤＥ＝６０°， 由旋转的性质，得 ＤＭ＝ＤＥ，所以△ＤＥＭ 是等边三角形， 所以 ＤＥ ＝ ＥＭ， ∠ＥＤＧ ＝ ∠ＥＭＦ ＝ １２０°，∠ＭＥＮ＝∠ＤＥＮ ＝３０°， 因为ＤＦ＝ＤＣ，ＤＭ ＝ＤＥ＝ＣＧ， 所以 ＤＦ－ＤＭ ＝ ＤＣ－ＣＧ，即ＦＭ＝ＤＧ， 所 以 △ＥＦＭ ≌ △ＥＧＤ，所以ＥＦ＝ＥＧ， 因 为 ∠ＡＥＦ ＝ ９０°，所 以 ∠ＧＥＦ ＝ ９０°， 所以 △ＧＥＦ为等 腰直角三角形， 设ＤＮ＝ＭＮ＝ｘ， 则ＥＭ ＝ＥＤ＝２ｘ， 根据勾股定理，得 ＥＮ＝ ＥＭ２－ＭＮ槡 ２ ＝ 槡３ｘ， 所以 ＮＧ＝ＮＥ＝ ＮＦ＝槡３ｘ， 所以 ＣＧ＝ＤＥ＝ ２ｘ，ＤＧ＝ＮＧ－ＤＮ ＝ 槡３ｘ－ｘ＝ＦＭ， 所以ＢＦ＝２ＣＧ＝ ４ｘ， 因为 ∠Ｂ ＝α＝ ３０°，ＡＢ＝ 槡２３， 所以 ＡＭ ＝ １２ＡＢ ＝ 槡３， 所 以 ＢＭ ＝ ＡＢ２－ＡＭ槡 ２ ＝３． 因为 ＢＦ＋ＦＭ ＝ ＢＭ， 所以４ｘ＋槡３ｘ－ｘ ＝３，解得ｘ＝３－槡３２ ， 所以 ＥＮ＝槡３ｘ＝ 槡３３－３ ２ ， 所以ＦＧ＝２ＥＮ＝ 槡３３－３． !" #$ %& !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# !"#$%&&,-$' ! ! !"#$ ()*+,-.)/0 ! 1 %&'( ! 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