第7期 23.1～23.2.2（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（人教版）

书 ５期２版 ２２．１．４二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象和性质 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｂ；　３．Ｄ；　４．＜；　５．３． ６．（１）抛物线的表达式为ｙ＝ｘ２＋２ｘ－３． （２）－４≤ｙ＜０． 能力提高　７．抛物线的解析式为ｙ＝－１２ｘ ２＋ｘ＋４，直线 ＢＣ的解析式为ｙ＝－ｘ＋４． （２）Ｈ（槡２２，槡２２）． ２２．２二次函数与一元二次方程 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．ｘ１ ＝－３，ｘ２ ＝１；　４．９． 能力提高　５．（１）证明：令ｙ１＝ｙ２，得２ｘ－２＝ａｘ２＋ａｘ－ ２ａ，整理得ａｘ２＋（ａ－２）ｘ－２ａ＋２＝０． 因为Δ＝（ａ－２）２－４ａ（－２ａ＋２）＝ａ２－４ａ＋４＋８ａ２－ ８ａ＝９ａ２－１２ａ＋４＝（３ａ－２）２≥０， 所以该一元二次方程总有实数根，即直线与抛物线总有公 共点． （２）抛物线ｙ２ ＝ａｘ２＋ａｘ－２ａ的对称轴为直线 ｘ＝－ ａ ２ａ ＝－１２， 令ｙ２ ＝０，得ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝－２， 所以抛物线ｙ２＝ａｘ２＋ａｘ－２ａ与ｘ轴的交点坐标为（１，０）， （－２，０）． 因为无论ｘ为何值，总有ｙ１≤ｙ２，所以ａ＞０，抛物线ｙ２ ＝ ａｘ２＋ａｘ－２ａ与直线ｙ１ ＝２ｘ－２没有交点或只有一个交点， 令ｙ１ ＝ｙ２，可得ａｘ２＋（ａ－２）ｘ－２ａ＋２＝０， 则Δ＝ｂ２－４ａｃ＝（３ａ－２）２≤０，所以３ａ－２＝０，解得ａ ＝ ２３． ２２．３实际问题与二次函数（第一课时） 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．３６． 能力提高　４．（１）ｗ与ｘ之间的函数关系式为ｗ＝－５０ｘ２＋ ５５００ｘ－１４００００． （２）当定价为每件５２元时，才能使利润最大，最大利润为 １０８００元． ２２．３实际问题与二次函数（第二课时） 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．１． 能力提高　４．（１）抛物线Ｌ的解析式为ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋３， 顶点坐标为（－１，４）． （２）弹珠能弹出箱子，理由略． ５期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｄ Ａ Ｂ Ａ Ｄ Ｃ Ｃ 二、９．３；　１０．ｍ＞９；　１１．２．５；　１２．１８ ＜ａ≤ １ ３； １３．槡４２；　１４．（－ ２ ３，－１）． 三、１５．（１）该二次函数的表达式为ｙ＝ｘ２＋５ｘ＋４． （２）平移后二次函数的表达式为ｙ＝ｘ２＋５ｘ＋２． １６．（１）证明：由题意知，Δ＝（－４ａ）２－４ａ×０＝１６ａ２， 因为ａ≠０，所以１６ａ２ ＞０， 故该函数的图象与ｘ轴总有两个公共点． （２）ａ的取值范围为 －１＜ａ＜０或ａ＞０． １７．（１）抛物线的函数表达式为ｙ＝－２（ｘ－０．４）２＋３．３２． （２）ＯＤ＝１ｍ． １８．（１）当ｘ＝１０时，劳动教育基地的面积能达到１５０平方米． （２）当ｘ是１５米时，劳动教育基地面积ｙ最大，最大面积是 １８７．５平方米． １９．（１）１５０；４５６０． （２）该商品日销售利润的最大值为６２５０元． （３）ｍ的值为２． ２０．（１）抛物线的解析式为ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋３． （２）△ＡＣＭ是直角三角形，理由略． （３）存在，理由如下： 因为Ａ（－３，０），Ｂ（１，０），所以ＡＢ＝４， 设点Ｐ的横坐标为ｔ，则Ｐ（ｔ，－ｔ２－２ｔ＋３）， 所以Ｓ△ＰＡＢ ＝ １ ２ＡＢ·ｙＰ ＝８，即 １ ２·４·（－ｔ ２－２ｔ＋３）＝ ８，解得ｔ１ ＝ｔ２ ＝－１， 所以点Ｐ的坐标为（－１，４）． ５期４版 重点集训营 （１）ｃ＝５，顶点Ｍ的坐标是（２，１）． （２）因为点Ａ在ｘ轴上，点Ｂ的坐标为（１，５），所以点Ａ的坐 标是（１，０）． ①当ｔ＝２时，点Ｄ′，Ａ′的坐标分别是（２，０），（３，０）． 当ｘ＝３时，ｙ＝（３－２）２＋１＝２，即 点Ｑ的纵坐标是２， 当ｘ＝２时，ｙ＝（２－２）２＋１＝１， 即点Ｐ的纵坐标是１． 因为ＰＧ⊥Ａ′Ｂ′，所以点Ｇ的纵坐标 是１，所以ＱＧ＝２－１＝１． ②存在．ｔ＝ １２或 ５ ２． 书 １．如图 １，点 Ａ（４，３）， Ｂ（２，４），ＯＡ与格线交于点 Ｃ，在８×８的正方形网格中 建立直角坐标系ｘＯｙ，然后仅 用无刻度直尺按要求完成下 列作图（作图过程用虚线，画 图结果用实线，不写画法，保 留画图痕迹）． （１）画出△ＡＢＯ绕点Ｂ顺时针旋转９０°后得到的 △Ａ１Ｂ１Ｏ１； （２）画出点Ｃ绕点Ｂ顺时针旋转９０°后得到的点 Ｃ１． ２．如图２所示的１０×１０的 正方形网格中，△ＡＢＣ的三个顶 点都在格点上，请在所给的平面 直角坐标系中解答下列问题： （１）画出△ＡＢＣ绕原点Ｏ旋 转１８０°后的△Ａ１Ｂ１Ｃ１； （２）将 △ＡＢＣ绕某点逆时 针旋转９０°后，得到△Ａ２Ｂ２Ｃ２，顶点Ａ，Ｂ，Ｃ的对应点分 别为 Ａ２（２，－２），Ｂ２（４，－３），Ｃ２（３，－５），请画出 △Ａ２Ｂ２Ｃ２，并直接写出旋转中心点Ｍ的坐标． 辅助线周周练 １．如图１，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝５，ＢＣ＝ 槡４５，点 Ｄ是边ＡＢ上一动点（点Ｂ除外），ＤＣ绕点Ｄ逆时针旋转 ９０°，得到ＤＥ，则△ＢＤＥ面积的最大值是 ． ２．（２０２４江门期中）如图２，ＡＢ＝８，点Ｃ是线段ＡＢ 上的动点，将线段ＢＣ绕点Ｂ顺时针旋转１２０°得到ＢＤ， 连接ＣＤ，在ＡＢ的上方作Ｒｔ△ＤＣＥ，∠ＤＣＥ＝９０°，∠Ｅ ＝３０°，点 Ｆ为 ＤＥ的中点，连接 ＡＦ，则 ＡＦ最小为 ． 书 旋转的性质是本节的重点知识，也是历年中考的命 题热点，现选取典例分析如下，供同学们参考． 一、求角度 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ （２０２３山东）如图１，点 Ｅ 是正方形 ＡＢＣＤ内的一点，将 △ＡＢＥ 绕点Ｂ按顺时针方向旋转 ９０°得到 △ＣＢＦ．若∠ＡＢＥ＝５５°，则∠ＥＧＣ＝ ． 解析：因为四边形 ＡＢＣＤ是正方 形，所以∠ＡＢＣ＝９０°，因为∠ＡＢＥ＝ ５５°，所以 ∠ＣＢＥ＝３５°，由旋转的性质，得 ∠ＥＢＦ＝ ９０°，ＢＥ＝ＢＦ，所以∠ＢＥＦ＝４５°，所以∠ＥＧＣ＝∠ＣＢＥ ＋∠ＢＥＦ＝８０°．故填８０°． 二、求长度 例 ２　（２０２３西宁）如图 ２，在矩形ＡＢＣＤ中，点Ｐ在ＢＣ 边上，连接ＰＡ，将ＰＡ绕点Ｐ顺 时针旋转 ９０°得到 ＰＡ′，连接 ＣＡ′．若ＡＤ＝９，ＡＢ＝５，ＣＡ′＝ 槡２２，则ＢＰ＝ ． 解析：过点Ａ′作Ａ′Ｆ⊥ＢＣ于点Ｆ，则∠ＰＢＡ＝∠Ａ′ＦＰ， 由旋转的性质，得∠Ａ′ＰＡ＝９０°，所以∠ＢＰＡ＋∠ＦＰＡ′ ＝９０°，因为 ∠ＦＰＡ′＋∠ＦＡ′Ｐ＝９０°，所以 ∠ＢＰＡ＝ ∠ＦＡ′Ｐ．又因为ＰＡ＝Ａ′Ｐ，所以△ＢＰＡ≌△ＦＡ′Ｐ，所以 ＢＡ＝ＦＰ，ＢＰ＝ＦＡ′．在矩形ＡＢＣＤ中，ＢＣ＝ＡＤ＝９，ＡＢ ＝５，所以ＣＦ＝４－ＢＰ，在Ｒｔ△ＦＣＡ′中，（４－ＢＰ）２＋ＢＰ２ ＝（槡２２） ２，解得ＢＰ＝２．故填２． 三、求坐标 例３　（２０２３海南）如图３，在平面直角坐标系中，点 Ａ在ｙ轴上，点Ｂ的坐标为（６，０）， 将△ＡＢＯ绕着点 Ｂ顺时针旋转 ６０°，得到 △ＤＢＣ，则点 Ｃ的坐标 是 （　　） Ａ．（槡３３，３） Ｂ．（３，槡３３） Ｃ．（６，３） Ｄ．（３，６） 解析：过点Ｃ作ＣＥ⊥ＯＢ，则 ∠ＣＥＢ＝９０°．由旋转的性质，得∠ＯＢＣ＝６０°，ＯＢ＝ＢＣ ＝６，所以∠ＢＣＥ＝３０°，所以ＢＥ＝３，所以ＣＥ＝ 槡３３， ＯＥ＝３，所以点Ｃ的坐标为（３，槡３３）．故选Ｂ． 四、求面积 例 ４　（２０２３宁夏）如图 ４，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°， ＡＢ＝ＡＣ，ＢＣ＝２，点 Ｄ在 ＢＣ 上，且 ＢＤ∶ＣＤ＝１∶３，连接 ＡＤ，将线段 ＡＤ绕点 Ａ顺时针 旋转 ９０°得到线段 ＡＥ，连接 ＢＥ，ＤＥ，则△ＢＤＥ的面积是 （　　） Ａ．１４ Ｂ． ３ ８ Ｃ． ３ ４ Ｄ． ３ ２ 解析：因为∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ，所以∠ＡＢＣ＝ ∠Ｃ＝４５°，∠ＢＡＤ＋∠ＣＡＤ＝９０°．由旋转的性质，得ＡＤ ＝ＡＥ，∠ＢＡＤ＋∠ＢＡＥ＝９０°，所以∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＥ，所 以△ＡＤＣ≌ △ＡＥＢ，所以 ＢＥ＝ＣＤ，∠ＡＢＥ＝∠Ｃ＝ ４５°，所以∠ＥＢＤ＝９０°．因为ＢＣ＝２，ＢＤ∶ＣＤ＝１∶３， 所以ＢＤ＝１２，ＢＥ＝ＣＤ＝ ３ ２，所以Ｓ△ＢＤＥ ＝ １ ２ＢＤ·ＢＥ ＝ ３８．故选Ｂ． ! " # $ % & ' ! ! ! '! " ( & ' ! " ) & " ! * ' + ! # ! ' " & $ ! $ 书 【提示】 １．过点Ｅ作ＥＧ⊥ＢＡ，交ＢＡ延长线于点Ｇ，过点 Ｃ作ＣＨ⊥ＢＡ，交ＢＡ延长线于Ｈ，作ＡＱ⊥ＣＢ于点Ｑ， 首先证明△ＨＣＤ≌△ＧＤＥ，之后利用等积法求出ＣＨ 的长，设ＢＤ＝ｘ，则ＡＤ＝５－ｘ，表示出△ＢＤＥ的面 积，利用二次函数的性质求解即可． ２．连接ＣＦ，作ＢＧ⊥ＣＤ于点Ｇ，根据直角三角形 的性质可得ＣＦ＝ＤＦ＝ＥＦ，∠ＥＤＣ＝６０°，从而得到 △ＣＤＦ是等边三角形，∠ＤＣＦ＝６０°，由旋转的性质 可得ＢＣ＝ＢＤ，∠Ｂ＝１２０°，由等腰三角形的性质结 合三角形内角和定理可得∠ＢＣＤ＝∠ＢＤＣ＝３０°， 推出∠ＡＣＦ＝∠ＢＣＦ＝９０°，设ＢＣ＝ｘ，则ＡＣ＝ＡＢ －ＢＣ＝８－ｘ，求出ＣＤ＝ＣＦ＝槡３ｘ，由勾股定理表示 出ＡＦ＝ＡＣ ２ ＋ＣＦ 槡 ２ ＝２（ｘ－２） ２ ＋ 槡１２，即可得 到答案． 书 作出一个图形绕定点旋转某一角度后的图形的关 键是抓住图中的每一个点都绕着旋转中心按相同的方 向旋转了同样大小的角度，而且对应点到旋转中心的距 离相等． 因此，要作出旋转后的图形，必须具备三个要素：旋 转中心、旋转角和旋转方向．根据题目特点，将旋转作图 的两种情形解析如下，供同学们参考． 一、三个要素都具备 例１　如图１，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，以点Ｂ为旋 转中心，按顺时针方向把△ＡＢＣ旋转９０°，请作出旋转后 的三角形． 解析：如图２，（１）过点Ｂ作ＡＢ的垂线，并在这条垂 线上截取ＢＡ′＝ＢＡ，即得点Ａ的对应点Ａ′； （２）过点Ｂ作ＢＣ的垂线，并在这条垂线上截取ＢＣ′ ＝ＢＣ，即得点Ｃ的对应点Ｃ′； （３）连接Ａ′Ｃ′，△Ａ′ＢＣ′就是所求作的三角形． 二、三个要素不完整 例２　如图３，线段ＡＢ绕点Ｏ顺时针旋转一定的角度 得到线段Ａ１Ｂ１，若Ａ的对应点为Ａ１，Ｂ的对应点为Ｂ１，请用 直尺和圆规作出旋转中心Ｏ（不写作法，保留作图痕迹）． 解析：如图４，（１）连接ＡＡ１，ＢＢ１； （２）分别作ＡＡ１，ＢＢ１的垂直平分线； （３）两条垂直平分线的交点即为旋转中心Ｏ． 【对应练习见《重点集训营》】 ! !" #$% 书 一、进行计算 例１　如图１，矩形ＡＢＣＤ的 对角线ＡＣ和ＢＤ相交于点Ｏ，过 点Ｏ的直线分别交 ＡＤ和 ＢＣ于 点Ｅ，Ｆ，ＡＢ＝２，ＢＣ＝３，则图中 阴影部分的面积为 ． 分析：由于矩形是中心对称图形，所以根据题意可 知△ＢＯＦ与△ＤＯＥ关于点Ｏ成中心对称，由此图中阴影 部分的三个三角形就可以转化到Ｒｔ△ＡＤＣ中，于是阴影 部分的面积即可容易求得． 解：因为矩形ＡＢＣＤ是中心对称图形，且对称中心为 对角线ＡＣ和ＢＤ的交点Ｏ，而ＥＦ是过点Ｏ的直线，所以 △ＢＯＦ与△ＤＯＥ关于点Ｏ成中心对称，所以图中阴影部 分的三个三角形就可以转化到 Ｒｔ△ＡＤＣ中．又因为 ＡＢ ＝２，ＢＣ＝３，所以Ｒｔ△ＡＤＣ的面积 ＝１２×３×２＝３，即 图中阴影部分的面积为３． 故填３． 二、分割图形 例２　如图２，四边形ＡＢＣＤ为 矩形，四边形ＢＥＦＧ也是矩形，请你 画一条直线把整个图形分成面积相 等的两部分． 分析：矩形是中心对称图形， 对称中心是对角线的交点．因此 只要经过矩形对角线交点的任意直线都能把矩形分成 面积相等的两部分．本图形可以看成是由两个矩形的和 或差拼凑构成的，经过两个矩形对角线的交点就可以把 整个图形分成面积相等的两部分． 解：图３中几条直线都可以把原图形分成面积相等 的两部分． 书 中心对称图形是一种优美的图形．在现实生活中， 中心对称图形无处不在，下面我们一起去赏析与中心对 称图形有关的几种题型． 一、识别题 例１　（２０２３怀化）剪纸又称刻纸，是中国最古老的 民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀） 为工具进行创作的艺术．民间剪纸往往通过谐音、象征、 寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案．下列 剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （　　） 解析：Ａ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故 Ａ 选项不合题意； Ｂ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故 Ｂ选项不 合题意； Ｃ．既是轴对称图形又是中心对称图形，故Ｃ选项符 合题意； Ｄ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故Ｄ选项不 合题意． 故选Ｃ． 二、情境题 例２　四张扑克牌所摆放的顺序与位置如下，小杨 同学选取其中一张扑克牌，把他颠倒后再放回原来的位 置，发现扑克牌的摆放顺序与位置都没改变，那么小杨 同学所选的扑克牌是 （　　） 解析：将扑克牌颠倒，再放回原来的位置后扑克牌 的摆放顺序与位置都没改变，则该扑克牌上的图案为中 心对称图形．分析选项可知只有Ｄ中扑克牌上的图形是 中心对称图形，符合题意． 故选Ｄ． 三、作图题 例３　如图１，在４×４的正方形网格中，每个小正 方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为 顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正 方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且 组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个 格点正方形的作法共有 （　　） Ａ．２种 Ｂ．３种 Ｃ．４种 Ｄ．５种 解析：根据轴对称图形和中心对称图形的意义，可 以作图２．显然，这四个阴影正方形都可以使这两个格 点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又 是中心对称图形． 故选Ｃ． ! ! ! " ! &' ()* 书 ６期参考答案 一、１．Ｂ；　２．Ｂ； ３．Ｂ；　４．Ｂ；　５．Ｂ； ６．Ｂ；　７．Ａ；　８．Ａ； ９．Ｃ；　１０．Ｃ． 二、１１．－２；　１２．４０； １３．２２０；　１４．（２，０）； １５．４；　１６．２７８． 三、１７．（１）抛物线开 口向上，顶点坐标为（１， ３）． （２）因为抛物线的开 口向上，对称轴为直线ｘ＝ １，所以当ｘ≤１时，函数值 随着自变量的增大而减 小． （３）新抛物线不经过 Ｐ（１，－５），理由略． １８．（１）ｋ＝－５３． （２）ｋ＝－１或 ５３． １９．（１）ｂ ＝ １，ｃ＝ １２． （２）大棚的最高点到 地面的距离为２．４５米． ２０．（１）剪掉的正方形 的边长为１０ｃｍ． （２）当剪掉的正方形 的边长为１１ｃｍ时，长方体 盒子 的 侧 面 积 最 大 为 ９６８ｃｍ２． ２１．（１）ｙ与 ｘ的函数 关系式为ｙ＝－ｘ＋４０． （２）销售单价为１６元 时，每天的销售利润为 １４４元． （３）这种纪念品每天 销售的最低利润是１２５元． ２２．（１）抛物线的函数 解析式为ｙ＝２３ｘ ２－１３ｘ， Ｃ（－３２，２）． （２）设△ＢＣＭ边ＢＣ上 的高为ｈ，因为ＢＣ＝７２，所 以Ｓ△ＢＣＭ ＝ １ ２· ７ ２·ｈ＝ ７ ２，解得ｈ＝２，所以点 Ｍ 为抛物线上到 ＢＣ的距离 为２的点， 所以 Ｍ的纵坐标为０ 或４， （下转２，３版中缝） """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! " #! !"## " $"% ! "%"$&&'!'( !"#$ !"#$%& !"#$%&'" ()*+,-'. % ! +,-./01,23 ! 4 '()* " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " #567879 #:?7@A #BCDEFG%#'!)'"*!"'+ #H6IJ=&"KLMNOPQRST !#" U-V6W+,-.BCD #XYBZG%#%%%+ #N[D\6]^=%#'!!'"*!!"' %#'!!'"*!"#*_̀ ab #\c=deH6N[DJfghijkXl_mb #XY\c]^=!!!&' #nopq\rs\tu\ #H6vhijK_Nbw1xyz6 #{|}~n€U=!$%%%%$%%%!!% #{|DEF=%#'!!'"*!"'' #H6‚ƒ'„`…†‡ˆ‰Š‹_ŒNŽQ‘’“”•–— !! Ub˜†™šˆ†›œžŸ™deH6N[DJf ¡ ¢£"H6¤Ÿ¥ ¦§2¨©ª«4b """""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! ! ! ! " " #$ #$ , - . / " # $ % & " ' ( ) $ % * ' ( ) $ % ! # * " ' ( ) $ % ! " * " ' ( " ' * % + ) ! ! 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" ! $" % & 书 （满分：１２０分） 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．（２０２４韶关期中）下列现象属于旋转的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．摩托车在急刹车时向前滑动 Ｂ．飞机起飞后冲向空中的时候 Ｃ．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 Ｄ．幸运大转盘转动的过程 ２．（２０２４宁波一模）校标是一个学校的标志，也是 一个学校的门面，包含着自豪与归属感，下列是镇海区 其中四所学校的校标，属于中心对称图形的是 （　　） ３．（２０２３青岛二模）如图１，将线段 ＡＢ先绕原点 Ｏ 按逆时针方向旋转９０°，再向下平移４个单位，得到线段 Ａ′Ｂ′，则点Ａ的对应点的坐标为 （　　） Ａ．（－２，－１） Ｂ．（－１，－２） Ｃ．（－１，６） Ｄ．（１，－２） ４．两个完全相同的三角形纸片，在平面直角坐标系 中的摆放位置如图２所示，点Ｐ与点Ｐ′是一对对应点， 若点Ｐ的坐标为（ａ，ｂ），则点Ｐ′的坐标为 （　　） Ａ．（３－ａ，－ｂ） Ｂ．（ｂ，３－ａ） Ｃ．（ａ－３，－ｂ） Ｄ．（ｂ＋３，ａ） ５．如图３，将 △ＡＢＣ绕点 Ｃ逆时针旋转，旋转角为 α（０°＜α＜１８０°），得到△ＣＤＥ，这时点Ａ旋转后的对应 点Ｄ恰好在直线ＡＢ上，则下列结论不一定正确的是 （　　） Ａ．∠ＣＢＤ＝∠ＥＣＤ Ｂ．∠ＣＡＢ＝∠ＣＤＢ Ｃ．∠ＥＣＢ＝α Ｄ．∠ＥＤＢ＝１８０°－α ６．（２０２４徐州月考）如图４，菱形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，ＡＣ＝２，ＢＤ＝８，将△ＢＯＣ绕着点Ｃ旋 转１８０°得到△Ｂ′Ｏ′Ｃ，连接ＡＢ′，则ＡＢ′的长是 （　　） Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．７ ７．如图５，将矩形ＡＢＣＤ绕点Ｃ顺时针旋转９０°得到 矩形ＦＧＣＥ，点Ｍ，Ｎ分别是ＢＤ，ＧＥ的中点，若ＢＣ＝３．５， ＣＥ＝０．５，则ＭＮ的长为 （　　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．２．５ Ｄ．３．５ ８．（２０２４宁波模拟）如图６，在正方形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ ＝ 槡２ １０，Ｏ是ＢＣ的中点，ＯＥ＝２，连接ＤＥ，将线段ＤＥ 逆时针旋转９０°得到ＤＦ，连接ＡＥ，ＣＦ，则线段ＯＦ长的最 小值为 （　　） 槡Ａ．８ Ｂ．２ １０－２ 槡Ｃ．２ １０＋ 槡２ Ｄ． １０＋２ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．如图７，在△ＡＢＣ中，点Ｏ是ＡＣ的中点，△ＣＤＡ与 △ＡＢＣ关于点Ｏ中心对称，若∠ＢＡＣ＝４０°，则∠ＡＣＤ的 度数为 ． １０．如图８，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝５５°，将△ＡＢＣ绕 点Ａ逆时针旋转７５°得到△ＡＢ′Ｃ′，连接ＢＢ′，ＢＣ′，若ＡＣ′ ＝ＢＣ′，则∠Ｂ′ＢＣ′的度数为 ． １１．如图９，三个边长相同的正方形重叠在一起，Ｏ１， Ｏ２是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和是８， 则正方形的边长为 ． １２．（２０２４南昌期中）如图１０，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ ＝９０°，ＢＣ＝１，∠Ａ＝３０°，将△ＡＢＣ绕点Ｃ顺时针旋转 ６０°得到△Ａ′Ｂ′Ｃ，点Ｂ′与点Ｂ是对应点，若点Ｂ′恰好落 在ＡＢ边上，则点Ａ到直线Ａ′Ｃ的距离为 ． １３．如图１１，在平面直角坐标 系中，点Ａ，Ｂ，Ｃ的坐标分别为（１， １），（３，０），（２，－１），点Ｍ从坐标 原点Ｏ出发，第一次跳跃到点Ｍ１， 使得点Ｍ１与点Ｏ关于点Ａ成中心 对称；第二次跳跃到点Ｍ２，使得点 Ｍ２与点Ｍ１关于点Ｂ成中心对称； 第三次跳跃到点Ｍ３，使得点Ｍ３与 点Ｍ２关于点Ｃ成中心对称；第四次跳跃到点Ｍ４，使得点 Ｍ４与点Ｍ３关于点Ａ成中心对称；…，依此方式跳跃，点 Ｍ２０２的坐标是 ． １４．（２０２４哈尔滨二模）△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝ ３，ＢＣ＝４，将△ＡＢＣ绕点Ｃ顺时针旋转 ａ度（０＜ａ＜ １８０）得到△ＤＣＥ，点Ａ与点Ｄ对应，点Ｂ与点Ｅ对应，当 点Ｄ落在△ＡＢＣ的边上时，则ＢＤ的长为 ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１０分）如图１２，正方形网格中，△ＡＢＣ的顶点 及点Ｏ都在格点上． （１）画出 △ＡＢＣ关于点 Ｏ成中心对称的对称图形 △Ａ′Ｂ′Ｃ′； （２）画出 △ＡＢＣ绕点 Ｏ顺时针旋转 ９０°的图形 △Ａ″Ｂ″Ｃ″． １６．（２０２４柳州期中，１０分）如图１３，在 △ＡＢＣ中， ＡＢ＝ＡＣ＝１，∠ＢＡＣ＝４５°，将△ＡＢＣ绕点Ａ顺时针旋 转α得到△ＡＥＦ，连接ＢＥ，ＣＦ，它们交于Ｄ点，求证：ＢＥ ＝ＣＦ． １７．（１０分）如图１４，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，Ｅ 是ＣＤ上一点，点Ｄ与点Ｃ关于点Ｅ成中心对称，连接ＡＥ 并延长，与ＢＣ的延长线交于点Ｆ． （１）Ｅ是线段 ＣＤ的 ，点 Ａ与点 Ｆ关于点 成中心对称； （２）若ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＣ，求证：△ＡＢＦ是等腰三角形． １８．（１０分）如图１５，将△ＡＢＣ绕点Ａ按顺时针方向 旋转９０°，得到△ＡＤＥ，点Ｂ的对应点为点Ｄ，点Ｃ的对应 点Ｅ落在ＢＣ边上，连接ＢＤ． （１）求证：ＤＥ⊥ＢＣ； （２）若ＡＣ＝ 槡５２２，ＢＣ＝６，求线段ＢＤ的长． １９．（１２分）如图１６，已知△ＡＢＭ与△ＡＣＭ关于直 线ＡＦ成轴对称，△ＡＢＥ与△ＤＣＥ关于点Ｅ成中心对称， 点Ｅ，Ｄ，Ｍ都在线段ＡＦ上，ＢＭ的延长线交ＣＦ于点Ｐ． （１）求证：ＡＣ＝ＣＤ； （２）若∠ＢＡＣ＝２∠ＭＰＣ，请你判断∠Ｆ与∠ＭＣＤ 的数量关系，并说明理由． ２０．（２０２４日照期末，１２分）如图 １７－①，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ＝２，Ｄ，Ｅ分别为ＡＣ， ＢＣ的中点，将 △ＣＤＥ绕点 Ｃ逆时针方向旋转得到 △ＣＤ′Ｅ′（如图１７－②），使直线Ｄ′Ｅ′恰好过点 Ｂ，连接 ＡＤ′． （１）判断ＡＤ′与ＢＤ′的位置关系，并说明理由； （２）求ＢＥ′的长； （３）若将△ＣＤＥ绕点Ｃ逆时针方向旋转一周，当直 线Ｄ′Ｅ′过Ｒｔ△ＡＢＣ的一个顶点时，请直接写出ＢＥ′长的 所有值                                                                                                                                                                 ． ! " # $ % ! "! % & $! !" #" ! !" 书 （上接１，４版中缝） 令ｙ＝ ２３ｘ ２－１３ｘ＝ ０，解得ｘ１＝０，ｘ２＝ １ ２，所 以Ｍ１（０，０），Ｍ２（ １ ２，０）； 令ｙ＝２３ｘ ２－１３ｘ＝４， 解得 ｘ３ ＝ １＋槡９７ ４ ，ｘ４ ＝ １－槡９７ ４ ，所以Ｍ３（ １＋槡９７ ４ ， ４），Ｍ４（ １－槡９７ ４ ，４）． 综上，点Ｍ的坐标为（０， ０），（１２，０），（ １＋槡９７ ４ ，４）或 （ １－槡９７ ４ ，４）． ２３．（１）Ｓ＝－ｔ２＋５ｔ，０ ＜ｔ≤３．５． （２）不能，理由如下： 当Ｓ＝７时，－ｔ２＋５ｔ ＝７，所以ｔ２－５ｔ＋７＝０， 因为 Δ＝ｂ２－４ａｃ＝ （－５）２－４×１×７＝－３＜０， 所以原方程无实数 根，所以 △ＢＰＱ的面积不 能为７ｃｍ２． （３）因为 ＡＰ＝ｔ，ＢＱ ＝２ｔ，所以ＢＰ＝５－ｔ，ＣＱ ＝７－２ｔ， 在Ｒｔ△ＡＰＤ，Ｒｔ△ＢＰＱ， Ｒｔ△ＣＤＱ中，由勾股定理得， ＰＤ２＝ｔ２＋４９，ＰＱ２＝（５－ ｔ）２＋４ｔ２＝２５－１０ｔ＋５ｔ２， ＤＱ２＝２５＋（７－２ｔ）２＝７４ －２８ｔ＋４ｔ２， 当 ＰＤ ＝ＤＱ时，则 ＰＤ２＝ＤＱ２，所以ｔ２＋４９＝ ７４－２８ｔ＋４ｔ２，解得ｔ１＝１， ｔ２ ＝ ２５ ３（舍去）； 当ＰＤ＝ＰＱ时，则ＰＤ２ ＝ＰＱ２，所以ｔ２＋４９＝２５－ １０ｔ＋５ｔ２，解得ｔ１＝４（舍去）， ｔ２＝－ ３ ２（舍去）； 当 ＤＱ ＝ＰＱ时，则 ＤＱ２ ＝ＰＱ２，所以７４－２８ｔ ＋４ｔ２＝２５－１０ｔ＋５ｔ２，解得 ｔ１＝－９＋槡１３０，ｔ２＝－９－ 槡１３０（舍去）． 综上所述，经过 １或 －９＋槡１３０秒时，△ＤＰＱ 是等腰三角形． ２４．（１）抛物线的解析 式为ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋３． （２）点Ｄ的坐标为（０， ０），（０，－３），（０，３－ 槡３２） 或（０，３＋ 槡３２）． （３）存在，理由略，符 合条件的点Ｐ，Ｑ的坐标为 Ｐ１（－１，３－槡１７），Ｑ１（－４， －槡１７）或 Ｐ２（－１，３＋ 槡１７），Ｑ２（－４，槡１７）或 Ｐ３（－１，１），Ｑ３（－２，２）或 Ｐ４（－１， 槡１４），Ｑ４（２，３＋ 槡１４）或 Ｐ５（－１，－槡１４）， Ｑ５（２，３－槡１４）． 书 ２３．１图形的旋转 １．如图１，△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝８０°，将△ＡＢＣ绕点Ｃ 顺时针旋转得△ＥＤＣ，当点Ｂ的对应点Ｄ恰好落在ＡＣ 上时，∠ＣＡＥ的度数是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３０° Ｂ．４０° Ｃ．５０° Ｄ．６０° ２．（２０２４福州模拟）如图２，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１， ＢＣ＝２．６，∠Ｂ＝６０°，将△ＡＢＣ绕点Ａ顺时针旋转得到 △ＡＤＥ，当点Ｂ的对应点Ｄ恰好落在ＢＣ边上时，则ＣＤ 的长为 （　　） Ａ．１ Ｂ．１．６ Ｃ．２ Ｄ．２．６ ３．（２０２４山东模拟）如图３，在△ＡＢＣ中，∠ＣＡＢ＝ ６５°，将△ＡＢＣ在平面内绕点Ａ旋转到△ＡＢ′Ｃ′的位置， 使ＣＣ′∥ＡＢ，则旋转角的度数是 （　　） Ａ．４０° Ｂ．４５° Ｃ．５０° Ｄ．５５° ４．如图４，Ａ（４，０），Ｂ（０，２），将线段ＡＢ绕原点Ｏ顺 时针旋转９０°得到线段Ａ′Ｂ′，线段Ａ′Ｂ′的中点Ｃ恰好落 在抛物线ｙ＝ａｘ２上，则ａ＝ ． ５．如图５，已知点 Ａ（０，４），Ｂ（２，０），Ｃ（６，６），Ｄ（２， ４），连接ＡＢ，ＣＤ，将线段ＡＢ绕着某一点旋转一定角度， 使其与线段ＣＤ重合（点Ａ与点Ｃ重合，点Ｂ与点Ｄ重 合），则这个旋转中心的坐标为 ． ６．如图６，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝ 槡２３，把边ＢＣ绕 点Ｂ逆时针旋转３０°得到线段ＢＰ，连接ＡＰ并延长交ＣＤ 于点Ｅ，则线段ＰＥ的长为 ． 能力提高 ７．（２０２４苏州月考）如图 ７所示，点 Ｏ是等边 △ＡＢＣ内的任一点，连接 ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ，∠ＡＯＢ＝１５０°， ∠ＢＯＣ＝１２０°，将△ＢＯＣ绕点Ｃ按顺时针方向旋转６０° 得△ＡＤＣ． （１）求∠ＤＡＯ的度数； （２）用等式表示线段ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ之间的数量关系， 并证明． ２３．２．１中心对称 １．如图１，△ＡＢＣ与 △Ａ′Ｂ′Ｃ′关于点 Ｏ成中心对 称，则下列结论不成立的是 （　　） Ａ．点Ａ与点Ａ′是对称点 Ｂ．ＢＯ＝Ｂ′Ｏ Ｃ．ＡＢ＝Ａ′Ｂ′ Ｄ．∠ＡＣＢ＝∠Ｃ′Ａ′Ｂ′ ２．（２０２４邢台月考）如图２，△ＡＢＥ与△ＤＣＦ成中 心对称，则对称中心是 （　　） Ａ．Ｍ点 Ｂ．Ｐ点 Ｃ．Ｑ点 Ｄ．Ｎ点 ３．如图３，已知阴影部分图形关于点 Ｏ成中心对 称，且ＯＡ＝３，△ＡＢＣ的高ＯＢ＝２，则△ＡＢＣ的面积为 ． ４．如图４，△ＤＥＣ与△ＡＢＣ关于点Ｃ成中心对称， ＡＢ＝３，ＡＣ＝２，∠ＣＡＢ＝９０°，则ＡＥ的长是 ． ５．如图５，△ＡＧＢ与△ＣＧＤ关于点Ｇ成中心对称， 若点Ｅ，Ｆ分别在 ＧＡ，ＧＣ上，且 ＡＥ＝ＣＦ，求证：ＢＦ＝ ＤＥ． 能力提高 ６．如图６，在平面直角坐标系中，△ＯＡ１Ｂ１是边长为 ２的等边三角形，△Ｂ２Ａ２Ｂ１与△ＯＡ１Ｂ１关于点Ｂ１成中心 对称，△Ｂ２Ａ３Ｂ３与△Ｂ２Ａ２Ｂ１关于点Ｂ２成中心对称． （１）直接写出点Ｂ１，Ｂ２，Ｂ３的坐标； （２）连接Ａ１Ｂ２，求Ａ１Ｂ２的长． ２３．２．２中心对称图形 １．（２０２４榆林一模）搭载神舟十七号载人飞船的长 征二号Ｆ遥十七运载火箭于２０２３年１０月２６日成功发 射升空，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中， 其文字上边的图案是中心对称图形的是 （　　） ２．（２０２４石家庄一模）围棋起 源于中国，古代称之为“弈”．如图 １是棋盘上由１个白子和３个黑子 组成的图形，若再放入一个白子， 使它与原来的４个棋子组成的图 形为中心对称图形，则放入白子的 位置可以是 （　　） Ａ．点Ｍ处 Ｂ．点Ｎ处 Ｃ．点Ｐ处 Ｄ．点Ｑ处 ３．某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对 称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三 角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种图案，你认为符 合条件的是 ． ４．如图２，四边形 ＡＢＣＤ是轴 对称图形，对角线 ＢＤ所在的直线 是它的对称轴，∠Ａ＝∠Ｃ＝９０°， ＡＢ≠ＡＤ．若把这个轴对称图形沿 对角线 ＢＤ剪开得到两个三角形 后，再把这两个三角形的一边完全 重合在一起，重新拼成一个中心对 称图形，则共有 种拼法． ５．（２０２４嘉兴一模）如图３，是３个相同大小的６× ６的方格，图３－①中放置一副七巧板组成的正方形图 案，其顶点均在格点上，称之为格点图形．利用七巧板 中的３种图形，按下列要求作出符合条件的格点图形． （１）在图３－②中，拼成一个轴对称但不是中心对 称的图形； （２）在图３－③中，拼成一个中心对称但不是轴对 称的图形． 能力提高 ６．如图４，△ＡＢＣ中，Ｄ是 ＢＣ上一点，ＤＥ∥ ＡＣ交 ＡＢ于点Ｅ，ＤＦ∥ＡＢ交ＡＣ于点Ｆ． （１）求证：四边形ＡＥＤＦ是中心对称图形； （２）若ＡＤ平分∠ＢＡＣ，求证：点Ｅ，Ｆ关于直线ＡＤ 对称 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． !" #$ %& !"#$%&'()*+ #$%!&%'"!'() !",-%&'()*+ #$%!&%'"!!'% !"#$%&'$*!+'$*'*'' ! ! !"#$ ()*+,-.)/0 ! 1 %&'( ! 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