第01讲 图形的旋转（4个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（人教版）

第01讲 图形的旋转 课程标准 学习目标 ①旋转及其相关概念 ②旋转的性质 ③旋转作图 ④利用旋转设计图案 1. 掌握旋转及其相关的定义，能够熟练判断生活中的旋转现象以及旋转三要素。 2. 掌握旋转的性质并能够熟练运用性质解决旋转的相关题目。 3. 掌握旋转作图的基本步骤并能够按照要求熟练的作图旋转的图形。 4. 掌握旋转对称图形并能够熟练的判断与自行设计。 知识点01 旋转及其相关定义 1. 旋转的概念： 在平面内，把一个图形绕着某一个点O按照顺时针或逆时针转动一定的角度叫做图形的 。点O叫做 ，转动的角度叫做 ，顺时针或逆时针叫做 。它们是旋转的三要素。 2. 旋转的相关概念： 如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做 ，如果图形上的线段AB经过旋转变为点A′B′，那么这两条线段叫做 ，如果图形上的∠ABC经过旋转变为点∠A′B′C′，那么这两个角叫做 。 【即学即练1】 1．下列现象中属于旋转的是（　　） A．汽车在急刹车时向前滑动 B．拧开水龙头 C．雪橇在雪地里滑动 D．电梯的上升与下降 【即学即练2】 2．如图，△ABC按顺时针旋转到△ADE的位置，以下关于旋转中心和对应点的说法正确的是（　　） A．点A是旋转中心，点B和点E是对应点 B．点C是旋转中心，点B和点D是对应点 C．点A是旋转中心，点C和点E是对应点 D．点D是旋转中心，点A和点D是对应点 知识点02 旋转的性质 1．旋转的性质，如图： ①旋转前后的两个图形 。即△ABC △DEF，所以对应边 ，对应角 。 ②对应点到旋转中心的距离 。即OB OE，OA OD，OC OF。所以旋转中心在对应点连线的垂直平分线上。 ③对应点与旋转中心的连线形成的夹角都 ，等于 。即∠BOE ∠AOD ∠COF。 【即学即练1】 3．把三角形ABC绕点C顺时针方向旋转20°后B落在B′位置，A落在A′位置，且A′B′∥BC，已知∠A＝60°，则∠B′CA＝（　　） A．80° B．60° C．40° D．20° 【即学即练2】 4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'，若点C'在AB上，则AA'的长为（　　） A． B．4 C． D．5 知识点03 旋转作图 1. 旋转作图的步骤： ①确定旋转的三要素： ， ， 。 ②在原图中找到 ，做出图形关键点旋转后的 。 ③按照 连接各对应点。 【即学即练1】 5．如图，画出四边形ABCD绕点P顺时针旋转60°后的图形． ． 知识点04 利用旋转设计图案 1. 平面直角坐标系中的旋转： 若一个图形绕着平面直角坐标系原点旋转90°，则对应点之间的坐标关系为：原横坐标的绝对值变为 对应点的 ，原纵坐标的绝对值变成对应点的 。坐标符号看坐标所在象限。 简称横变纵，纵边横，符号看象限。 当在平面直角坐标系中绕着某点旋转180°时，可利用中点坐标公式求解坐标。 2. 旋转对称图形： 若一个图形绕着某点旋转一定的角度能够与原图形 ，这样的图形叫做旋转对称图形。 【即学即练1】 6．五角星可以看成由一个四边形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（　　） A．36° B．60° C．72° D．90° 【即学即练2】 7．以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q的坐标为（　　） A．（﹣4，5） B．（4，﹣5） C．（﹣5，4） D．（5，﹣4） 题型01 判断生活中的旋转现象 【典例1】下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤荡秋千运动．属于旋转的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】下列运动属于旋转的是（　　） A．足球在草地上滚动 B．火箭升空的运动 C．汽车在急刹车时向前滑行 D．钟表的钟摆的摆动 【变式2】下列现象属于旋转的是（　　） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．飞机起飞后冲向空中的时候 C．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 D．幸运大转盘转动的过程 【变式3】按图中所示的排列规律，在空格中应填（　　） A． B． C． D． 题型02 利用旋转的性质求角 【典例1】如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝65°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′．当AB′落在AC上时，∠BAC′的度数为（　　） A．65° B．70° C．80° D．85° 【变式1】如图，在△ABD中，∠BAD＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，此时点C恰好落在BD边上．若∠E＝24°，则∠BAC＝（　　） A．24° B．48° C．66° D．72° 【变式2】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝25°，则旋转角α的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【变式3】有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使DE∥BC，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 【变式4】如图，在△ABC中，∠BAC＝104°，将△ABC绕点A逆时针旋转94°得到△ADE，点B的对应点为点D，若点B，C，D恰好在同一条直线上，则∠E的度数为（　　） A．25° B．30° C．33° D．40° 题型03 利用旋转的性质求线段 【典例1】如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，那么线段DE的长为（　　） A． B．6 C． D． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，使得点D落在AC上，则EC的值为 　 　． 【变式2】如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′，若点B的对应点B′落在边CD上，则B′C的长为 　 　． 【变式3】如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕点C旋转，得到△A'B'C，点A的对应点为A'，P为A'B′的中点，连接BP．在旋转的过程中，线段BP长度的最大值为 　 　． 题型04 旋转作图以及旋转中的坐标计算 【典例1】如图，在图中，将大写字母A绕着它右下侧的顶点按顺时针方向旋转90度，请作出旋转后的图案． 【变式1】任画一个直角△ABC，其中∠B＝90°，取△ABC外一点P为旋转中心，按逆时针方向旋转60°，作出旋转后的三角形． ． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）． （1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1； （2）平移△ABC，若A的对应A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2； （3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请画出旋转中心P． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的． （1）请写出旋转中心的坐标是　 　，旋转角是　 　度； （2）以（1）中的旋转中心为中心，画出△A1AC1顺时针旋转90°的三角形． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）． （1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1，平移△ABC，应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2； （2）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标． 【变式5】以原点为中心，把点A（3，0）逆时针旋转90°得到点B，则点B的坐标为（　　） A．（0，3） B．（﹣3，0） C．（3，3） D．（0，﹣3） 【变式6】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1）．将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△A'B'C'，则点B'的坐标为 　 　． 题型05 判断旋转对称图形与计算旋转对称图形的旋转角 【典例1】在角、线段、等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、五角星及圆中共 　 　个旋转对称图形． 【变式1】在正三角形、正方形、正五边形和等腰梯形这四种图形中，是旋转对称图形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转90°后，能与原图形完全重合的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图所示的图案绕旋转中心旋转后能够与自身重合，那么它的旋转角可能是（　　） A．60° B．90° C．72° D．120° 【变式4】正三角形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为（　　） A．30° B．60° C．120° D．180° 【变式5】把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（　　） A．30° B．90° C．120° D．180° 1．以下生活现象中，属于旋转变换得是（　　） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．坐在火车上睡觉 D．地下水位线逐年下降 2．下列各组图形，只通过平移或旋转，不能形成长方形的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，点C的对应点为点E，连接EC．下列结论一定正确的是（　　） A．AB＝BD B．∠B＝∠ECA C．AC＝DE D．EC⊥BC 4．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C的坐标为（2，0），点A在x轴正半轴上，且AC＝4，将△ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移5个单位长度，则变换后点A的对应点的坐标为（　　） A．（﹣3，﹣4） B．（﹣3，6） C．（7，4） D．（﹣3，4） 5．如图，已知点A（﹣1，0），B（0，2），A与A′关于y轴对称，连结A′B，现将线段A′B以A′点为中心顺时针旋转90°得A'B'，点B的对应点B′的坐标为（　　） A．（3，1） B．（2，1） C．（4，1） D．（3，2） 6．如图，在△ABC中．BC＝20，将△ABC绕点B逆时针旋转，得到△A'BC'，且C′A⊥BC．点D，E分别为BC'，AC的中点，连接DE．若C′A＝10．则DE的长度为（　　） A．5 B．5 C．5 D．10 7．有一题目：“如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝75°，∠ADC＝60°，AB＝CD＝2，AD＝4，将边AB绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°）得到AE，连接EC，ED．当△ECD为直角三角形时，求旋转角α的度数．”嘉嘉说：“角α为135°，”而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，角α还应有另外两个不同的值．”下列判断正确的是（　　） A．淇淇说得对，且角α的另外两个值是45°，215° B．淇淇说得对，且角α的另外两个值是45°，225° C．淇淇说得不对，角α就得135° D．两人都不对，角α仅有2个不同值 8．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，现将△ABC绕着顶点A顺时针旋转至△ADE处，其中点B，C的对应点分别为D，E，点D在△ABC内部，过E作EF⊥AC于点F，若∠CAD＝15°，，则线段AC的长为（　　） A． B． C．2 D．4 9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点（每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点）上，点A、B，C的坐标分别为A（﹣3，2），B（0，1），C（﹣2，0），将△ABC绕坐标平面内某点旋转一定的角度，得到△A'B'C'，点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C'，若点B'的坐标为（3，0），则旋转中心的坐标为（　　） A．（2，1） B．（2，2） C．（2，0） D．（﹣1，0） 10．如图，△ABC是边长为8的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 11．平面直角坐标系中，把点A（﹣3，4）绕着原点逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为 　 　． 12．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是 　 　． 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C．点B的对应点B1在边AC上（不与点A、C重合）．若∠AA1B1＝20°，则∠B的度数为 　 　． 14．如图，在等边三角形ABC中，AC＝6，CD⊥AB，点E是线段CD上一动点，连接AE，将线段AE绕点A顺时针旋转60°，得到线段AP，连接DP，则DP长的最小值为 　 　． 15．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2024次得到正方形OA2024B2024C2024，那么点A2024的坐标是 　 　． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，点D为垂足，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，延长AE交CB的延长线于点F，延长EB交AD的延长线于点G，求证：EG＝DF． 17．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，将△ADE顺时针旋转至△ABF的位置． （1）旋转中心是 　 　点，旋转角度是 　 　度； （2）若正方形边长为6，DE＝2，求EF的长． 18．在△ABC中，∠ABC＝60°，将△ABC在平面内绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△DBE，其中点A的对应点为点D，连接CE． （1）若α＝30°，如图①，求∠BEC的度数； （2）当点D在边BC上时，如图②，若DC＝2，，求AB的长． 19．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，，点D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F， （1）求∠AFD的度数． （2）求△ADE中DE边上的高． （3）求CF的长． 20．如图，有一副直角三角板如图1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P旋转． （1）在图1中，∠DPC＝　 　； （2）①如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，旋转角度为α（0°＜α＜180°），当α等于多少度时，两个三角形的边PC与边PD互相垂直； ②如图3，在图1基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P顺时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM时，求旋转的时间是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 图形的旋转 课程标准 学习目标 ①旋转及其相关概念 ②旋转的性质 ③旋转作图 ④利用旋转设计图案 1. 掌握旋转及其相关的定义，能够熟练判断生活中的旋转现象以及旋转三要素。 2. 掌握旋转的性质并能够熟练运用性质解决旋转的相关题目。 3. 掌握旋转作图的基本步骤并能够按照要求熟练的作图旋转的图形。 4. 掌握旋转对称图形并能够熟练的判断与自行设计。 知识点01 旋转及其相关定义 1. 旋转的概念： 在平面内，把一个图形绕着某一个点O按照顺时针或逆时针转动一定的角度叫做图形的 旋转 。点O叫做 旋转中心 ，转动的角度叫做 旋转角 ，顺时针或逆时针叫做 旋转方向 。它们是旋转的三要素。 2. 旋转的相关概念： 如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做 对应点 ，如果图形上的线段AB经过旋转变为点A′B′，那么这两条线段叫做 对应线段 ，如果图形上的∠ABC经过旋转变为点∠A′B′C′，那么这两个角叫做 对应角 。 【即学即练1】 1．下列现象中属于旋转的是（　　） A．汽车在急刹车时向前滑动 B．拧开水龙头 C．雪橇在雪地里滑动 D．电梯的上升与下降 【分析】根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A．汽车在急刹车时向前滑动，是平移现象，故本选项不合题意； B．拧开水龙头，是旋转现象，故本选项符合题意； C．雪橇在雪地里滑动，是平移现象，故本选项不合题意； D．电梯的上升与下降，是平移现象，故本选项不合题意． 故选：B． 【即学即练2】 2．如图，△ABC按顺时针旋转到△ADE的位置，以下关于旋转中心和对应点的说法正确的是（　　） A．点A是旋转中心，点B和点E是对应点 B．点C是旋转中心，点B和点D是对应点 C．点A是旋转中心，点C和点E是对应点 D．点D是旋转中心，点A和点D是对应点 【分析】由△ABC按顺时针旋转到△ADE的位置，可得点A是旋转中心，点B和点D是对应点，点C和点E是对应点．继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【解答】解：∵如图，△ABC按顺时针旋转到△ADE的位置， ∴点A是旋转中心，点B和点D是对应点，点C和点E是对应点． 故A，B，D错误，C正确． 故选：C． 知识点02 旋转的性质 1．旋转的性质，如图： ①旋转前后的两个图形 全等 。即△ABC ≌ △DEF，所以对应边 相等 ，对应角 相等 。 ②对应点到旋转中心的距离 相等 。即OB = OE，OA = OD，OC = OF。所以旋转中心在对应点连线的垂直平分线上。 ③对应点与旋转中心的连线形成的夹角都 相等 。等于 旋转角 。即∠BOE = ∠AOD ＝ ∠COF。 【即学即练1】 3．把三角形ABC绕点C顺时针方向旋转20°后B落在B′位置，A落在A′位置，且A′B′∥BC，已知∠A＝60°，则∠B′CA＝（　　） A．80° B．60° C．40° D．20° 【分析】直接根据旋转的性质及平行线的性质求解即可． 【解答】解：∵△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°到△A′B′C的位置， ∴∠ACA′＝∠BCB′＝20°，∠A＝∠A′＝60°， ∵A′B′∥BC， ∴∠BCA′+∠A′＝180°， ∴∠BCA′＝180°﹣∠A′＝120°， ∴∠B′CA＝∠BCA′﹣∠ACA′﹣∠BCB′＝120°﹣20°﹣20°＝80°， 故选：A． 【即学即练2】 4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'，若点C'在AB上，则AA'的长为（　　） A． B．4 C． D．5 【分析】连接AA'，由旋转的性质得出AC'、A'C'的长度，利用勾股定理即可得出答案． 【解答】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC'， ∴∠A'C'B＝∠C＝90°，A'C'＝AC＝3，AB＝A'B， 根据勾股定理得： AB＝＝5， ∴A'B＝AB＝5， ∴AC'＝AB﹣BC'＝1， 在Rt△AA'C'中，由勾股定理得： AA'＝＝， 故选：A． 知识点03 旋转作图 1. 旋转作图的步骤： ①确定旋转的三要素： 旋转中心 ， 旋转方向 ， 旋转角 。 ②在原图中找到 关键点 ，做出图形关键点旋转后的 对应点 。 ③按照 原图形 连接各对应点。 【即学即练1】 5．如图，画出四边形ABCD绕点P顺时针旋转60°后的图形． 【分析】根据旋转角、旋转方向、旋转中心找出旋转后的对称点，顺次连接即可． 【解答】解： 所作图形如下所示： ． 知识点04 利用旋转设计图案 1. 平面直角坐标系中的旋转： 若一个图形绕着平面直角坐标系原点旋转90°，则对应点之间的坐标关系为：原横坐标的绝对值变为 对应点的 纵坐标的绝对值 ，原纵坐标的绝对值变成对应点的 横坐标的绝对值 。坐标符号看坐标所在象限。 简称横变纵，纵边横，符号看象限。 当在平面直角坐标系中绕着某点旋转180°时，可利用中点坐标公式求解坐标。 2. 旋转对称图形： 若一个图形绕着某点旋转一定的角度能够与原图形 完全重合 ，这样的图形叫做旋转对称图形。 【即学即练1】 6．五角星可以看成由一个四边形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（　　） A．36° B．60° C．72° D．90° 【分析】分清基本图形，判断旋转中心，旋转次数，旋转一周为360°． 【解答】解：根据旋转的性质可知，每次旋转的度数可以是360°÷5＝72°或72°的倍数．故选C． 【即学即练2】 7．以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q的坐标为（　　） A．（﹣4，5） B．（4，﹣5） C．（﹣5，4） D．（5，﹣4） 【分析】建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点Q的坐标即可． 【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点Q的坐标为（﹣5，4）． 故选：C． 题型01 判断生活中的旋转现象 【典例1】下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤荡秋千运动．属于旋转的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：①地下水位逐年下降，是平移现象； ②传送带的移动，是平移现象； ③方向盘的转动，是旋转现象； ④钟摆的运动，是旋转现象； ⑤荡秋千运动，是旋转现象． 属于旋转的有③④⑤共3个． 故选：B． 【变式1】下列运动属于旋转的是（　　） A．足球在草地上滚动 B．火箭升空的运动 C．汽车在急刹车时向前滑行 D．钟表的钟摆的摆动 【分析】根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转进行分析即可． 【解答】解：A、足球在草地上滚动，不是绕着某一个固定的点转动，不属旋转，故此选项不符合题意； B、火箭升空的运动，是平移，故此选项不符合题意； C、汽车在急刹车时向前滑行，是平移，故此选项不符合题意； D、钟表的钟摆的摆动的过程，是旋转，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式2】下列现象属于旋转的是（　　） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．飞机起飞后冲向空中的时候 C．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 D．幸运大转盘转动的过程 【分析】根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转可得答案． 【解答】解：A、摩托车在急刹车时向前滑动不是旋转，故此选项错误； B、飞机起飞后冲向空中的时候不是旋转，故此选项错误； C、笔直的铁轨上飞驰而过的火车不是旋转，故此选项错误； D、幸运大转盘转动的过程属于旋转，故此选项正确． 故选：D． 【变式3】按图中所示的排列规律，在空格中应填（　　） A． B． C． D． 【分析】此题只需根据所给的图形，观察发现旋转的规律即可． 【解答】解：观察图形，发现：图形绕三角形的中心按顺时针方向转动90°． 故选：A． 题型02 利用旋转的性质求角 【典例1】如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝65°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′．当AB′落在AC上时，∠BAC′的度数为（　　） A．65° B．70° C．80° D．85° 【分析】由三角形内角和定理可得出∠B′AC′＝∠BAC＝35°，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【解答】解：由旋转的性质可得出∠B′AC′＝∠BAC， ∵∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣80°﹣65°＝35°， ∴∠B′AC′＝∠BAC＝35°， ∴∠BAC′＝∠BAC+∠B′AC′＝70°， 故选：B． 【变式1】如图，在△ABD中，∠BAD＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，此时点C恰好落在BD边上．若∠E＝24°，则∠BAC＝（　　） A．24° B．48° C．66° D．72° 【分析】由△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，∠BAD＝90°，得AC＝AB，∠D＝∠E＝24°，得∠ACB＝∠B＝90°﹣∠D＝66°，得∠BAC＝180°﹣2×66°＝48°． 【解答】解：由△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，∠BAD＝90°， 得AC＝AB，∠D＝∠E＝24°， 得∠ACB＝∠B＝90°﹣∠D＝66°， 得∠BAC＝180°﹣2×66°＝48°． 故选：B． 【变式2】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝25°，则旋转角α的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【分析】先求出∠ADE的度数，然后由旋转的性质和等腰三角形的性质分析求解． 【解答】解：根据题意， ∵DE⊥AC，∠CAD＝25°， ∴∠ADE＝90°﹣25°＝65°， 由旋转的性质可得∠B＝∠ADE，AB＝AD， ∴∠ADB＝∠B＝65°， ∴∠BAD＝180°﹣65°﹣65°＝50°， ∴旋转角α的度数是50°； 故选：B． 【变式3】有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使DE∥BC，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 【分析】设AD与BC交于点F，根据平行线的性质得出∠CFA＝∠D＝90°，再根据三角形的外角性质即可求解． 【解答】解：如图，设AD与BC交于点F， ∵BC∥DE， ∴∠CFA＝∠D＝90°， ∴∠B+∠BAD＝90°， ∵∠B＝60°， ∴∠BAD＝30°， 故选：C． 【变式4】如图，在△ABC中，∠BAC＝104°，将△ABC绕点A逆时针旋转94°得到△ADE，点B的对应点为点D，若点B，C，D恰好在同一条直线上，则∠E的度数为（　　） A．25° B．30° C．33° D．40° 【分析】由旋转的性质可得∠BAD＝94°，AB＝AD，由等腰三角形的性质可得∠B＝∠ADB＝43°，即可求解． 【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转94°得到△ADE， ∴∠BAD＝94°，AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB＝43°， ∵∠BAC＝104°， ∴∠C＝180°﹣104°﹣43°＝33°， 故选：C． 题型03 利用旋转的性质求线段 【典例1】如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，那么线段DE的长为（　　） A． B．6 C． D． 【分析】由等边△ABC中，AB＝6，D是BC的中点，根据三线合一的性质与勾股定理，可求得AD的长为3，又由将△ABD绕点A逆时针旋转得△ACE，易得△ADE是等边三角形，继而求得答案． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝6，∠BAC＝60°， ∵BD＝DC＝3， ∴AD⊥BC， ∴AD＝＝3 ∵△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE， ∴∠BAD＝∠CAE，AD＝AE， ∴∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DE＝AD＝3， 故选：C． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，使得点D落在AC上，则EC的值为 　 　． 【分析】根据旋转的知识得出CD，DE的长，再根据勾股定理求解． 【解答】解：由旋转得：AD＝AB＝5，DE＝BC＝12，∠ADE＝∠B＝90°， ∴∠CDE＝90°，AC＝13， ∴CD＝AC﹣AD＝8， ∴CE＝＝4， 故答案为：4． 【变式2】如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′，若点B的对应点B′落在边CD上，则B′C的长为 　 　． 【分析】由旋转的性质可得AB＝AB'＝5，AB＝CD＝5，由勾股定理可求B'D的长，即可求解． 【解答】解：∵矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′， ∴AB＝AB'＝5，AB＝CD＝5， ∵∠D＝90°， ∴B'D＝＝＝4， ∴B'C＝CD﹣B'D＝1， 故答案为：1． 【变式3】如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】由旋转的性质和平移的性质可得B'C＝A'C，AB＝A′B′＝5，∠B＝∠A′B′C＝60°，可证△A′B′C′是等边三角形，可得A'B'＝B'C＝5，即可求解． 【解答】解：∵将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合， ∴B'C＝A'C， ∵将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′， ∴AB＝A′B′＝4，∠B＝∠A′B′C＝60°， ∴△A′B′C是等边三角形， ∴A′B′＝B′C＝4， ∴BB′＝BC﹣B′C＝3， ∴平移的距离为3， 故选：C． 【变式4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕点C旋转，得到△A'B'C，点A的对应点为A'，P为A'B′的中点，连接BP．在旋转的过程中，线段BP长度的最大值为 　 　． 【分析】连接CP，由勾股定理求出AB＝10，由旋转的性质得出A'B'＝AB＝10，∠A'CB'＝∠ACB＝90°，由直角三角形的性质求出CP＝A'B'＝5，由题意得出点P在以C为圆心，5为半径的圆上运动，则可求出答案． 【解答】解：连接CP， ∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝＝＝10， ∵将△ABC绕点C旋转，得到△A'B'C， ∴A'B'＝AB＝10，∠A'CB'＝∠ACB＝90°， ∵P为A'B′的中点， ∴CP＝A'B'＝5， ∴在旋转的过程中，点P在以C为圆心，5为半径的圆上运动， ∴当B，C，P三点共线时，BP有最大值， ∴BP的最大值为6+5＝11． 故答案为11． 题型04 旋转作图以及旋转中的坐标计算 【典例1】如图，在图中，将大写字母A绕着它右下侧的顶点按顺时针方向旋转90度，请作出旋转后的图案． 【分析】将其中的关键点绕上顶点顺时针旋转90°后，连接各关键点成“A”即可． 【解答】解：所作图形如下所示： 【变式1】任画一个直角△ABC，其中∠B＝90°，取△ABC外一点P为旋转中心，按逆时针方向旋转60°，作出旋转后的三角形． 【分析】连接AP，过点P作PA1，且按逆时针方向旋转60°，即令∠APA1＝60°，PA1＝PA，则点A1就是A点旋转后的对应点，按照此方法可依次找到B，C的对应点B1，C1，顺次连接A1B1C1即可得到旋转后的三角形． 【解答】解： ． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）． （1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1； （2）平移△ABC，若A的对应A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2； （3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请画出旋转中心P． 【分析】（1）利用中心对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）利用点A与点A2的坐标特征得到平移的方向与结论，再根据点平移的坐标变换规律得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可； （3）作B1B2和A1A2的垂直平分线得到P点，P点到每组对应点的距离分别相等． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△A2B2C2即为所求； （3）如图，点P为所作． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的． （1）请写出旋转中心的坐标是　 　，旋转角是　 　度； （2）以（1）中的旋转中心为中心，画出△A1AC1顺时针旋转90°的三角形． 【分析】（1）根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，一对对应点与旋转中心连线的夹角即为旋转角； （2）根据网格结构分别找出找出△A1AC1顺时针旋转90°后的对应点的位置，然后顺次连接即可． 【解答】解：（1）旋转中心的坐标是（0，0），旋转角是90°； （2）如图所示，△A1A2C2是△A1AC1以O为旋转中心，顺时针旋转90°的三角形， 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）． （1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1，平移△ABC，应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2； （2）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标． 【分析】（1）根据性质的性质得到A1（3，2）、C1（0，2）、B1（0，0），再描点；由于点A2的坐标为（0，﹣4），即把△ABC向下平移6个单位，再向右平移3个单位得到△A2B2C2，则B2（3，﹣2）、C2（3，﹣4），然后描点； （2）观察图象得到将△A1B1C1绕某一点旋转180°可以得到△A2B2C2，然后连接对应点可确定旋转中心的坐标． 【解答】解：（1）如图所示：A1（3，2）、C1（0，2）、B1（0，0）；B2（3，﹣2）、C2（3，﹣4）． （2）将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，旋转中心的P点坐标为（，﹣1）． 【变式5】以原点为中心，把点A（3，0）逆时针旋转90°得到点B，则点B的坐标为（　　） A．（0，3） B．（﹣3，0） C．（3，3） D．（0，﹣3） 【分析】建立平面直角坐标系，数形结合求出点B的坐标即可． 【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系， 由图可知：B（0，3）； 故选：A． 【变式6】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1）．将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△A'B'C'，则点B'的坐标为 　 　． 【分析】根据旋转方向、旋转中心及旋转角，找到B'，结合直角坐标系可得出点B′的坐标． 【解答】解：△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△A'B'C'，如图所示， 结合图形可得点B′的坐标为（2，1）． 故答案为：（2，1）． 题型05 判断旋转对称图形与计算旋转对称图形的旋转角 【典例1】在角、线段、等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、五角星及圆中共 　 　个旋转对称图形． 【分析】根据旋转对称图形的定义：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，解答即可． 【解答】解：在角、线段、等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、五角星及圆只有五角星、圆、线段、平行四边形是旋转对称图形． 故答案为：4． 【变式1】在正三角形、正方形、正五边形和等腰梯形这四种图形中，是旋转对称图形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据旋转对称图形的定义：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，解答即可． 【解答】解：在正三角形、正方形、正五边形和等腰梯形，只有等边三角形、正方形、正五边形是旋转对称图形，共3个． 故选：C． 【变式2】下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转90°后，能与原图形完全重合的是（　　） A． B． C． D． 【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断． 【解答】解：A、最小旋转角度＝＝90°． B、最小旋转角度＝＝72°． C、最小旋转角度＝＝120°． D、最小旋转角度＝＝60°． 综上可得：顺时针旋转90°后，能与原图形完全重合的是A． 故选：A． 【变式3】如图所示的图案绕旋转中心旋转后能够与自身重合，那么它的旋转角可能是（　　） A．60° B．90° C．72° D．120° 【分析】根据旋转对称图形的概念（把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角）计算出角度即可． 【解答】解：该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°， 并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合． 故选：C． 【变式4】正三角形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为（　　） A．30° B．60° C．120° D．180° 【分析】求出正三角形的中心角即可得解 【解答】解：正三角形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为120°， 故选：C． 【变式5】把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（　　） A．30° B．90° C．120° D．180° 【分析】根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解． 【解答】解：∵360°÷3＝120°， ∴旋转的角度是120°的整数倍， ∴旋转的角度至少是120°． 故选：C． 1．以下生活现象中，属于旋转变换得是（　　） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．坐在火车上睡觉 D．地下水位线逐年下降 【分析】根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转． 【解答】解：A、钟表的指针和钟摆的运动都是旋转变换，故本选项正确； B、站在电梯上的人的运动属于平移现象，故本选项错误； C、坐在火车上睡觉，属于平移现象，故本选项错误； D、地下水位线逐年下降属于平移现象，故本选项错误； 故选：A． 2．下列各组图形，只通过平移或旋转，不能形成长方形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由平移的性质和旋转的性质依次判断可求解． 【解答】解：选项ABC中的图形只通过平移或旋转，可得长方形， 选项D中的图形只通过平移或旋转，不可得长方形， 故选：D． 3．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，点C的对应点为点E，连接EC．下列结论一定正确的是（　　） A．AB＝BD B．∠B＝∠ECA C．AC＝DE D．EC⊥BC 【分析】根据旋转性质逐项分析判断即可． 【解答】解：A、若AB＝BD，则△ABD为等边三角形，旋转角必须为60°，没有这个条件，故原说法错误，不符合题意； B、根据旋转性质，∠BAD＝∠CAE，AB＝AD，AC＝AE，故∠B＝∠ECA正确，符合题意； C、若AC＝DE，则DE＝AE，就有AC＝BC，而题目没有这个条件，故原说法错误，不符合题意； D、若EC⊥BC，则∠ACE+∠ACB＝90°，继而∠B+∠ACB＝90°，而题目中没有说△ABC是直角三角形，故原说法错误，不符合题意． 故选：B． 4．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C的坐标为（2，0），点A在x轴正半轴上，且AC＝4，将△ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移5个单位长度，则变换后点A的对应点的坐标为（　　） A．（﹣3，﹣4） B．（﹣3，6） C．（7，4） D．（﹣3，4） 【分析】根据所给旋转方式，先求出点A旋转后对应点的坐标，再根据向左平移时点的横坐标减小，纵坐标不变即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为∠BCA＝90°，AC＝4， 所以将△ABC绕点C逆时针旋转90°后，点A的对应点坐标为（2，4）， 所以2﹣5＝﹣3， 即再向左平移5个单位长度后，点A的对应点的坐标为（﹣3，4）． 故选：D． 5．如图，已知点A（﹣1，0），B（0，2），A与A′关于y轴对称，连结A′B，现将线段A′B以A′点为中心顺时针旋转90°得A'B'，点B的对应点B′的坐标为（　　） A．（3，1） B．（2，1） C．（4，1） D．（3，2） 【分析】先根据对称的性质得出点A′的坐标，再根据旋转的性质结合全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：∵点A的坐标为（﹣1，0），点A′和点A关于y轴对称， ∴点A′的坐标为（1，0）， ∴OA′＝1． ∵点B坐标为（0，2）， ∴OB＝2． 过点B′作x轴的垂线，垂足为M， 由旋转可知， AB＝AB′，∠BA′B′＝90°， ∴∠BA′O+∠B′A′M＝∠BA′O+∠A′BO＝90°， ∴∠B′A′M＝∠A′BO． 在△A′BO和△B′A′M中， ， ∴△A′BO≌△B′A′M（AAS）， ∴B′M＝A′O＝1，A′M＝BO＝2， ∴OM＝1+2＝3， ∴点B′的坐标为（3，1）． 故选：A． 6．如图，在△ABC中．BC＝20，将△ABC绕点B逆时针旋转，得到△A'BC'，且C′A⊥BC．点D，E分别为BC'，AC的中点，连接DE．若C′A＝10．则DE的长度为（　　） A．5 B．5 C．5 D．10 【分析】取AB中点H，连接DH，EH，由BC＝20，C′A⊥BC．点D，E分别为BC'，AC的中点，C′A＝10，得DH∥C'A，EH∥BC，DH＝5，EH＝10，得DH⊥HE，即可得DE＝的长． 【解答】解：取AB中点H，连接DH，EH， 由BC＝20，C′A⊥BC．点D，E分别为BC'，AC的中点，C′A＝10， 得DH∥C'A，EH∥BC，DH＝C'A＝5，EH＝BC＝10， 得DH⊥HE， 得DE＝＝5． 故选：C． 7．有一题目：“如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝75°，∠ADC＝60°，AB＝CD＝2，AD＝4，将边AB绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°）得到AE，连接EC，ED．当△ECD为直角三角形时，求旋转角α的度数．”嘉嘉说：“角α为135°，”而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，角α还应有另外两个不同的值．”下列判断正确的是（　　） A．淇淇说得对，且角α的另外两个值是45°，215° B．淇淇说得对，且角α的另外两个值是45°，225° C．淇淇说得不对，角α就得135° D．两人都不对，角α仅有2个不同值 【分析】连接AC，过点C作AD边的中线CG，CG交AD边于点G．先证明△DGC为等边三角形，得到∠DGC＝∠DCG＝60°，AG＝CG＝2，利用外角性质得到∠CAD＝∠GCA＝30°，从而得到∠ACD＝90°，∠CAB＝45°，然后分当点E在AC上时，当点E在CA的延长线上时，当ED⊥DC时三种情况讨论求解即可． 【解答】解：连接AC，如图所示． 在四边形ABCD中，∠ADC＝60°，AB＝CD＝2，AD＝4， 过点C作AD边的中线CG，CG交AD边于点G．则AG＝GD＝CD＝2， ∴△DGC为等边三角形． ∴∠DGC＝∠DCG＝60°，AG＝CG＝2， ∴∠CAD＝∠GCA＝30°， ∴∠ACD＝90°， ∴∠CAB＝45°， 当点E在AC上时，此时∠ACD＝E1CD＝90°，则旋转角α的度数为 45°； 当点E在CA的延长线上时，则α＝45°+180°＝225°； 当ED⊥DC时，可得∠E2AD＝60°，旋转角α的度数为75°+60°＝135°； 综上所述：α＝45°或135°或225°． 故选：B． 8．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，现将△ABC绕着顶点A顺时针旋转至△ADE处，其中点B，C的对应点分别为D，E，点D在△ABC内部，过E作EF⊥AC于点F，若∠CAD＝15°，，则线段AC的长为（　　） A． B． C．2 D．4 【分析】先根据旋转的性质得到AE＝AC，∠CAE＝∠BAD，再计算出∠BAD＝45°，则∠CAE＝45°，然后证明△AEF为等腰直角三角形，所以AE＝EF＝2，从而得到AC的长． 【解答】解：∵△ABC绕着顶点A顺时针旋转至△ADE处， ∴AE＝AC，∠CAE＝∠BAD， ∵∠BAC＝60°，∠CAD＝15°， ∴∠BAD＝60°﹣15°＝45°， ∴∠CAE＝45°， ∵EF⊥AC， ∴∠AFE＝90°， ∴△AEF为等腰直角三角形， ∴AE＝EF＝×＝2， ∴AC＝2． 故选：C． 9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点（每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点）上，点A、B，C的坐标分别为A（﹣3，2），B（0，1），C（﹣2，0），将△ABC绕坐标平面内某点旋转一定的角度，得到△A'B'C'，点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C'，若点B'的坐标为（3，0），则旋转中心的坐标为（　　） A．（2，1） B．（2，2） C．（2，0） D．（﹣1，0） 【分析】根据旋转前后对应点连线的垂直平分线经过旋转中心即可解决问题． 【解答】解：如图所示， ∴旋转中心的坐标为（2，2）． 故选：B． 10．如图，△ABC是边长为8的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【分析】如图，取AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质和角的和差可得CD＝CG，∠DCF＝∠GCE，根据旋转的性质可得CE＝CF，然后即可利用“边角边”证明△DCF和△GCE全等，进而可得DF＝EG，然后根据垂线段最短可得EG⊥AD时EG最短，再根据30°角的直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，取AC的中点G，连接EG， ∵△ABC是等边三角形，AD是△ABC的对称轴， ∴AB＝BC＝AC＝8，∠ACB＝60°， ∴CD＝BC＝4＝CG， ∵旋转角为60°， ∴∠ECD+∠DCF＝60°， 又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝60°， ∴∠DCF＝∠GCE， 又∵CE旋转到CF，∴CE＝CF， 在△DCF和△GCE中， ， ∴△DCF≌△GCE（SAS）， ∴DF＝EG， 根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短， 此时∵∠CAD＝×60°＝30°，AG＝AC＝×8＝4， ∴EG＝AG＝×4＝2， ∴DF的最小值是2． 故选：A． 11．平面直角坐标系中，把点A（﹣3，4）绕着原点逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为 　 　． 【分析】根据题意画出示意图，结合旋转的性质及全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：如图所示，连接AO，BO，分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为M和N， 由旋转可知， AO＝BO，∠AOB＝90°， ∴∠AOM+∠NOB＝∠NOB+∠B＝90°， ∴∠AOM＝∠B． 在△AOM和△OBN中， ， ∴△AOM≌△OBN（AAS）， ∴BN＝OM，NO＝AM． ∵点A的坐标为（﹣3，4）， ∴BN＝OM＝3，NO＝AM＝4， ∴点B的坐标为（﹣4，﹣3）． 故答案为：（﹣4，﹣3）． 12．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是 　 　． 【分析】根据同位角相等，两直线平行，求解即可． 【解答】解：当∠1＝∠2时，a∥b， ∵∠1＝85°，∠2＝50°， ∴∠1﹣∠2＝85°﹣50°＝35°， 即木条a旋转的度数至少是35°时，a∥b， 故答案为：35°． 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C．点B的对应点B1在边AC上（不与点A、C重合）．若∠AA1B1＝20°，则∠B的度数为 　 　． 【分析】由旋转知AC＝A1C，∠BAC＝∠CA1B1，∠ACA1＝90°，从而得出△ACA1是等腰直角三角形，即可解决问题． 【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C， ∴AC＝A1C，∠BAC＝∠CA1B1，∠ACA1＝90°， ∴△ACA1是等腰直角三角形， ∴∠CA1A＝45°， ∵∠AA1B1＝20°， ∴∠CA1B1＝25°， ∴∠BAC＝25°， ∴∠B＝65°． 故答案为：65°． 14．如图，在等边三角形ABC中，AC＝6，CD⊥AB，点E是线段CD上一动点，连接AE，将线段AE绕点A顺时针旋转60°，得到线段AP，连接DP，则DP长的最小值为 　 　． 【分析】取AC的中点K，连接DK，EK，根据△ABC是等边三角形，AC＝6，CD⊥AB，可得∠BAC＝60°，AD＝3＝AK，而将线段AE绕点A顺时针旋转60°，得到线段AP，即可证明△APD≌△AEK（SAS），有DP＝EK，故当EK最小时，DP最小，此时EK⊥CD，由EK是△ACD的中位线，可得EK＝AD＝，从而DP长的最小值为． 【解答】解：取AC的中点K，连接DK，EK，如图： ∵△ABC是等边三角形，AC＝6，CD⊥AB， ∴∠BAC＝60°，AD＝3＝AK， ∵将线段AE绕点A顺时针旋转60°，得到线段AP， ∴∠PAE＝60°，AE＝AP， ∴∠PAE＝∠BAC＝60°， ∴∠PAD＝∠EAK， 在△APD和△AEK中， ， ∴△APD≌△AEK（SAS）， ∴DP＝EK， ∴当EK最小时，DP最小，此时EK⊥CD， 而CD⊥AB， ∴EK∥AD， ∴EK是△ACD的中位线， ∴EK＝AD＝， ∴DP长的最小值为， 故答案为：． 15．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2024次得到正方形OA2024B2024C2024，那么点A2024的坐标是 　 　． 【分析】根据所给旋转方式，得出每旋转八次，点A的坐标循环出现，据此可解决问题． 【解答】解：因为360°÷45°＝8， 所以每旋转八次，点A的坐标循环出现． 因为2024÷8＝253， 所以点A2024的坐标与点A的坐标相同． 因为正方形的边长为1， 所以点A坐标为（0，1）， 所以点A2024的坐标为（0，1）． 故答案为：（0，1）． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，点D为垂足，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，延长AE交CB的延长线于点F，延长EB交AD的延长线于点G，求证：EG＝DF． 【分析】先根据三线合一定理得到∠ADC＝∠ADF＝90°，再由旋转的性质得到∠AEB＝∠ADC＝90°，AE＝AD，证明△ADF≌△AEG即可证明EG＝DF． 【解答】证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠ADF＝90°， ∵△AEB由△ADC旋转而得， ∴∠AEB＝∠ADC＝90°，AE＝AD， 在△ADF和△AEG中， ， ∴△ADF≌△AEG（ASA）， ∴EG＝DF． 17．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，将△ADE顺时针旋转至△ABF的位置． （1）旋转中心是 　 　点，旋转角度是 　 　度； （2）若正方形边长为6，DE＝2，求EF的长． 【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质，即可解答； （2）根据旋转的性质得出BF＝DE＝2，进而得出CE＝CD﹣DE＝4，CF＝BC+BF＝8，最后根据勾股定理，即可解答． 【解答】解：（1）∵△ADE顺时针旋转至△ABF的位置，四边形ABCD为正方形， ∴旋转中心是点A，旋转角度为∠BAD＝90°， 故答案为：A，90； （2）∵△ADE顺时针旋转至△ABF的位置，四边形ABCD为正方形， ∴BF＝DE＝2，∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABF＝90°， ∴∠CBF＝180°，即点F、B、C三点共线， ∵正方形边长为6， ∴BC＝CE＝6， ∴CE＝CD﹣DE＝4，CF＝BC+BF＝8， 根据勾股定理可得：． 18．在△ABC中，∠ABC＝60°，将△ABC在平面内绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△DBE，其中点A的对应点为点D，连接CE． （1）若α＝30°，如图①，求∠BEC的度数； （2）当点D在边BC上时，如图②，若DC＝2，，求AB的长． 【分析】（1）先由旋转性质，得∠EBC＝30°，BC＝BE，结合三角形内角和列式计算即可作答． （2）设AB的长为2x，由旋转性质，得BD＝AB＝2x，先得，再在Rt△ACH，AC2＝HC2+AH2代入数值计算即可作答． 【解答】解：（1）∵将△ABC在平面内绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△DBE，α＝30° ∴∠EBC＝30°，BC＝BE ∴； （2）过点A作AH⊥BC， ∵∠ABC＝60°， ∴AB的长为2x，， ∵将△ABC在平面内绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△DBE， ∴AB＝BD＝2x，BC＝2x+2， 则在Rt△ACH，AC2＝HC2+AH2， 即19＝（2x+2﹣x）2+3x2， 整理得4x2+4x﹣15＝（2x+5）（2x﹣3）＝0， 解得（舍去）， ∴AB的长为3． 19．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，，点D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F， （1）求∠AFD的度数． （2）求△ADE中DE边上的高． （3）求CF的长． 【分析】（1）由旋转的性质结合三角形的外角的性质可得答案； （2）由勾股定理先求解DE＝12，再利用等面积法求解即可； （3）过A作AH⊥DE于H，则∠AHF＝90°，证 明∠FAH＝30°，可得，利用勾股定理可得：HF2+62＝（2HF）2，再进一步求解即可． 【解答】解：（1）由旋转可知：∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，∠CAE＝∠BAD＝15°， ∴∠ADE＝∠AED＝45°， ∴∠AFD＝∠AED+∠CAE＝15°+45°＝60°； （2）∵， 在Rt△ADE中，利用勾股定理可得：， ∴△ADE中DE边上的高为； （3）过A作AH⊥DE于H，则∠AHF＝90°， 由（1）知∠AFD＝60°，∠FAH＝30°， ， 由（2）知 AH＝6， 在Rt△AFH中，利用勾股定理可得：HF2+62＝（2HF）2， ∵， ∴， ∴． 20．如图，有一副直角三角板如图1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P旋转． （1）在图1中，∠DPC＝　 　； （2）①如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，旋转角度为α（0°＜α＜180°），当α等于多少度时，两个三角形的边PC与边PD互相垂直； ②如图3，在图1基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P顺时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM时，求旋转的时间是多少？ 【分析】（1）根据三角板的角度进行计算即可得到结论； （2）①如图，根据PC′⊥PD，∠DPC＝75°，∠DPC′＝90°，求出结论即可； ②设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN＝3t°，∠BPM＝2t°，分两种情况：当PC转到与PD重合前和当PC转到与PD重合后，分别列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵∠BPD＝∠D＝45°，∠APC＝60°， ∴∠DPC＝180°﹣45°﹣60°＝75°， 故答案为：75°； （2）①如图，此时，PC′⊥PD， ∴∠DPC＝75°，∠DPC′＝90°， ∴∠CPC′＝75°+90°＝165°， ∴当α等于165度时，两个三角形的边PC与边PD互相垂直； ②设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN＝3t°，∠BPM＝2t°， 当PC转到与PM重合时，（秒）， 分两种情况： 当PC转到与PD重合前，∠CPD＝∠BPM时， ∴∠CPD＝180°﹣∠BPD﹣∠BPM﹣∠APN﹣∠APC＝180°﹣45°﹣2t°﹣3t°﹣60°＝（75﹣5t）° 当∠CPD＝∠BPM，即2t＝75﹣5t， 解得：秒； 当PC转到与PD重合后，∠CPD＝∠BPM时， ∴∠CPD＝∠BPD+∠BPM+∠APN+∠APC﹣180°＝45°+2t°+3t°+60°﹣180°＝（5t﹣75）° 当∠CPD＝∠BPM，即2t＝5t﹣75， 解得：t＝25秒； ∴当∠CPD＝∠BPM，旋转的时间是或25秒． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$