第5期 22.1.4～22.3（参考答案见7期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（人教版）

书 （上接４版参考答案） １７．（１）抛物线ｙ＝（ｘ ＋４）２的对称轴为直线 ｘ ＝－４， 令ｘ＝０，则ｙ＝（０＋ ４）２ ＝１６，所以点 Ｂ（０， １６），所以点 Ｂ关于对称轴 的对称点为Ｂ′（－８，１６）， 设直线 ＯＢ′的表达式 为ｙ＝ｋｘ，将（－８，１６）代 入，得 １６＝－８ｋ，解得 ｋ ＝－２，所以直线 ＯＢ′的表 达式为ｙ＝－２ｘ， 当ｘ＝－４时，ｙ＝８，所 以Ｃ（－４，８）． （２）存在． 令ｙ＝０，则（ｘ＋４）２ ＝０，解得ｘ１＝ｘ２＝－４，所 以点Ａ（－４，０）． 因为ＡＰ∥ＯＢ，所以当 ＡＰ＝ＯＢ＝１６时，以Ｐ，Ａ， Ｏ，Ｂ为顶点的四边形是平 行四边形． 当点Ｐ在点 Ａ的上方 时，点 Ｐ的坐标为（－４， １６）， 当点Ｐ在点 Ａ的下方 时，点 Ｐ的坐标为（－４， －１６）． 综上，当点Ｐ的坐标为 （－４，１６）或（－４，－１６） 时，以 Ｐ，Ａ，Ｏ，Ｂ为顶点的 四边形为平行四边形． １８．（１）过点 Ｃ作 ＣＤ ⊥ＡＢ于点Ｄ，设ＡＤ为ａ， 因为△ＡＢＣ为等边三 角形，ＣＤ⊥ＡＢ， 所以 ＡＤ ＝ＤＢ＝ａ， ∠ＡＣＤ＝３０°， 所以ＡＣ＝２ａ，由勾股 定理，得ＣＤ＝槡３ａ， 所以点 Ｂ坐标为（２＋ ａ，槡３ａ）， 因为点Ｂ在抛物线上， 所以槡３ａ＝２（２＋ａ－ ２）２，解得 ａ＝槡３２ 或 ａ＝ ０（舍去）， 所以Ｂ（４＋槡３２ ， ３ ２）． （２）由（１）得 ＡＤ ＝ ＤＢ＝槡３２，ＣＤ＝ ３ ２， 所以ＡＢ＝槡３， 所以Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＢ· ＣＤ＝ 槡３３４． （下转２，３版中缝） 书 重点集训营 （２０２３湖州）如图１，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，二次 函数ｙ＝ｘ２－４ｘ＋ｃ的图象与ｙ轴的交点坐标为（０，５），图 象的顶点为Ｍ．矩形ＡＢＣＤ的顶点Ｄ与原点Ｏ重合，顶点 Ａ，Ｃ分别在ｘ轴，ｙ轴上，顶点Ｂ的坐标为（１，５）． （１）求ｃ的值及顶点Ｍ的坐标； （２）如图２，将矩形ＡＢＣＤ沿ｘ轴正方向平移ｔ个单 位（０＜ｔ＜３）得到对应的矩形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′．已知边Ｃ′Ｄ′， Ａ′Ｂ′分别与函数ｙ＝ｘ２－４ｘ＋ｃ的图象交于点Ｐ，Ｑ，连 接ＰＱ，过点Ｐ作ＰＧ⊥Ａ′Ｂ′于点Ｇ． ①当ｔ＝２时，求ＱＧ的长； ②当点Ｇ与点Ｑ不重合时，是否存在这样的ｔ，使 得△ＰＧＱ的面积为１？若存在，求出此时ｔ的值；若不存 在，请说明理由． 辅助线周周练 １．如图１，在四边形 ＡＢＣＤ中，∠ＢＡＤ＋∠ＡＤＣ＝ ２７０°，点Ｅ，Ｆ分别是ＡＤ，ＢＣ上的中点，ＥＦ＝３，则ＡＢ２＋ ＤＣ２的值是 ． ２．如图２，ＡＢＣＤ中，ＢＤ＝１２，∠ＡＯＢ＝６０°，点Ｆ 为ＡＢ中点，点Ｅ为ＡＯ边上一点，若ＡＥ＝ＯＥ＋ＯＢ，则 ＥＦ的长为 ． ! " # $ % & & # % ' ! $ " ! ! ! ! 书 上期２版 ２２．１．１二次函数 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ；　３．Ａ；　４．＜；　５．四． ６．（１）正方体的体积ｙ与棱长ｘ之间的关系是ｙ＝ｘ３，不是 二次函数； （２）该商品８月的售价ｙ与ｘ之间的关系是ｙ＝３０（１－ｘ）２， 是二次函数； （３）汽车匀速行驶的时间ｔ与速度ｖ之间的关系是ｔ＝ ｓｖ， 不是二次函数； （４）等腰三角形的顶角度数ｙ°与底角度数 ｘ°之间的关系 是ｙ＝１８０－２ｘ，不是二次函数． ７．（１）当ｍ＝２时，ｙ是ｘ的二次函数． （２）①当ｍ＋３＝０且ｍ＋２≠０时，即ｍ＝－３时，ｙ是ｘ的 一次函数； ② 当ｍ２＋ｍ－４＝０且ｍ＋２≠０时，ｙ是ｘ的一次函数，解 得ｍ＝－１±槡１７２ ； ③当ｍ２＋ｍ－４＝１且ｍ＋３＋ｍ＋２≠０时，ｙ是ｘ的一 次函数，解得ｍ＝－１±槡２１２ ． 综上，当ｍ为 －３或－１±槡１７２ 或 －１±槡２１ ２ 时，ｙ是ｘ的一 次函数． ２２．１．２二次函数ｙ＝ａｘ２的图象和性质 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｄ；　４．ｋ＜２；　５．２； ６．ｙ２ ＞ｙ１；　７．槡 ２５ ３． ８．（１）ａ的值是 １２，ｂ的值是４． （２）因为ｂ＝４，所以点Ａ（０，４），所以ＯＡ＝４． 联立 ｙ＝－ｘ＋４， ｙ＝ １２ｘ ２{ ，解得 ｘ＝２，ｙ＝{ ２或 ｘ＝－４，ｙ＝８{ ， 所以点Ｃ的坐标为（－４，８）， 所以Ｓ△ＢＯＣ ＝ １ ２ＡＯ·（ｘＢ－ｘＣ）＝ １ ２ ×４×６＝１２． 能力提高　９．（１）ｂ＝６；ａ＝ １２． （２）分别过点Ａ，Ｄ作ＡＭ⊥ｙ轴于点Ｍ，ＤＮ⊥ｙ轴于点Ｎ． 由（１）知直线ＡＢ的解析式为ｙ＝－１２ｘ＋６， 令ｘ＝０，则ｙ＝６，所以Ｃ（０，６）， 因为∠ＡＭＣ＝∠ＤＮＣ＝∠ＡＣＤ＝９０°， 所以∠ＡＣＭ＋∠ＤＣＮ＝９０°，∠ＤＣＮ＋∠ＣＤＮ＝９０°， 所以∠ＡＣＭ＝∠ＣＤＮ， 因为ＣＡ＝ＣＤ，所以△ＡＭＣ≌△ＣＮＤ， 所以ＣＮ＝ＡＭ＝４，ＤＮ＝ＣＭ ＝２， 所以Ｄ（－２，２）， 当ｘ＝－２时，ｙ＝ １２×（－２） ２＝２，所以点Ｄ在抛物线ｙ＝ １ ２ｘ ２上． ２２．１．３二次函数ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ的图象和性质 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．Ｃ；　４．－９；　５．答案不惟一， 如ｍ＝２；　６．２≤ｙ＜１８；　７．１． ８．（１）ｍ的值为５或１． （２）因为二次函数ｙ＝２（ｘ－ｍ）２－２的图象的对称轴为直 线ｘ＝ｍ，点Ｐ到对称轴的距离为１， 所以ａ＝ｍ＋１或ｍ－１， 当ａ＝ｍ＋１时，ｂ＝２（ｍ＋１－ｍ）２－２＝０， 当ａ＝ｍ－１时，ｂ＝２（ｍ－１－ｍ）２－２＝０， 综上，ｂ的值为０． 能力提高　９．（１）ａ＝１，ｋ＝－１． （２）设Ｎ（２，ｎ），因为Ｂ（０，３），Ａ（１，０）， 所以ＡＢ２ ＝１２＋３２＝１０，ＮＢ２＝２２＋（ｎ－３）２＝ｎ２－６ｎ ＋１３，ＮＡ２ ＝（２－１）２＋ｎ２ ＝１＋ｎ２， 当△ＡＢＮ是以ＡＢ为斜边的直角三角形时，由勾股定理得 ＮＡ２＋ＮＢ２ ＝ＡＢ２， 所以１＋ｎ２＋ｎ２－６ｎ＋１３＝１０，即２ｎ２－６ｎ＋４＝０，解得 ｎ１ ＝１，ｎ２ ＝２，所以点Ｎ的坐标为（２，１）或（２，２）． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ａ Ｄ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ｄ 二、９．ｙ＝ｘ（１５－ｘ）；　１０．ｍ＞－１；　１１．－１；　１２．１； １３．４；　１４．１０． 三、１５．（１）平移后的函数解析式为ｙ＝（ｘ－１）２－４，平移 后的函数图象略． （２）当ｙ＝０时，即０＝（ｘ－１）２－４， 解得ｘ１ ＝－１，ｘ２ ＝３， 故经过两次平移后的图象与 ｘ轴的 交点坐标为（－１，０），（３，０），当 －１＜ｘ ＜３时，函数值小于０． １６．（１）－１，－１． （２）点Ｂ的坐标为（２，－４）． （３）由图象可得，当ａｘ２＜ｋｘ－２时， ｘ＜－１或ｘ＞２．（下转１，４版中缝） 书 二次函数常常作为中考数学的压轴题出现，难度较 大，综合性较强，下面举例说明，供同学们参考． 例　（２０２３甘孜）已知抛物 线ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与 ｘ轴相交于 Ａ（－１，０），Ｂ两点，与 ｙ轴相交于 点Ｃ（０，－３）． （１）求ｂ，ｃ的值； （２）Ｐ为第一象限抛物线上一 点，△ＰＢＣ的面积与△ＡＢＣ的面积相等，求直线ＡＰ的解 析式； （３）在（２）的条件下，设Ｅ是直线ＢＣ上一点，点Ｐ关 于ＡＥ的对称点为点Ｐ′，试探究，是否存在满足条件的点 Ｅ，使得点Ｐ′恰好落在直线 ＢＣ上，如果存在，求出点 Ｐ′ 的坐标；如果不存在，请说明理由． 解：（１）由题意，得 １－ｂ＋ｃ＝０， ｃ＝－３{ ． 所以 ｂ＝－２， ｃ＝－３{ ． （２）由（１）得抛物线的解析式为ｙ＝ｘ２－２ｘ－３． 令ｙ＝０，则ｘ２－２ｘ－３＝０，得ｘ１ ＝－１，ｘ２ ＝３，所 以点Ｂ的坐标为（３，０）． 因为Ｓ△ＰＢＣ ＝Ｓ△ＡＢＣ，所以ＡＰ∥ＢＣ． 因为Ｂ（３，０），Ｃ（０，－３），所以直线ＢＣ的解析式为ｙ ＝ｘ－３． 因为ＡＰ∥ＢＣ，所以可设直线ＡＰ的解析式为ｙ＝ｘ ＋ｍ． 因为Ａ（－１，０）在直线ＡＰ上，所以０＝－１＋ｍ，解得 ｍ＝１，所以直线ＡＰ的解析式为ｙ＝ｘ＋１． （３）存在，设Ｐ点坐标为（ｐ，ｎ）． 因为点Ｐ在直线ｙ＝ｘ＋１和抛物线ｙ＝ｘ２－２ｘ－ ３上， 所以ｎ＝ｐ＋１，ｎ＝ｐ２－２ｐ－３．所以ｐ＋１＝ｐ２－ ２ｐ－３． 解得ｐ１＝４，ｐ２＝－１（舍去），所以点Ｐ的坐标为（４， ５）． 由题意得∠ＡＥＰ＝∠ＡＥＰ′，Ｐ′Ｅ＝ＰＥ． 因为ＡＰ∥ＢＣ，所以∠ＰＡＥ＝∠ＡＥＰ′，所以∠ＰＡＥ ＝∠ＰＥＡ． 所以ＰＥ＝ＰＡ＝ （４＋１）２＋（５－０）槡 ２ ＝ 槡５２． 设点Ｅ的坐标为（ｔ，ｔ－３），则ＰＥ２＝（ｔ－４）２＋（ｔ－ ３－５）２ ＝（槡５２） ２，所以ｔ＝６±槡２１． 当ｔ＝６＋槡２１时，点 Ｅ的坐标为（６＋槡２１，３＋ 槡２１）， 设Ｐ′（ｓ，ｓ－３），由Ｐ′Ｅ＝ＡＰ，Ｐ′Ｅ＝ＰＥ＝ 槡５２，得（ｓ －６－槡２１） ２＋（ｓ－３－３－槡２１） ２＝（槡５２） ２，解得ｓ＝ １＋槡２１，则点Ｐ′的坐标为（１＋槡２１，－２＋槡２１）． 当ｔ＝６－槡２１时，同理可得，点 Ｐ′的坐标为（１－ 槡２１，－２－槡２１）． 综上所述，点Ｐ′的坐标为（１＋槡２１，－２＋槡２１）或 （１－槡２１，－２－槡２１）．【对应练习见《重点集训营》】 书 一、销售问题 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ （２０２３聊城二模） 某超市购进一批拼装玩具， 进价为每个１０元，在销售过 程中发现，日销售量 ｙ（个） 与销售单价ｘ（元）之间满足 如图１所示的一次函数关系， 则该超市每天销售这款拼装 玩具的最大利润为 元（利润 ＝总销售额 －总 成本）． 解析：设日销售量 ｙ（个）与销售单价 ｘ（元）之间 的函数关系式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ， 因为点（２５，５０），（３５，３０）在该函数图象上，所以 ２５ｋ＋ｂ＝５０， ３５ｋ＋ｂ＝３０{ ，解得 ｋ＝－２， ｂ＝１００{ ， 所以日销售量ｙ（个）与销售单价ｘ（元）之间的函 数关系式为ｙ＝－２ｘ＋１００， 设每天的销售利润为ｗ（元），则ｗ＝（ｘ－１０）·ｙ ＝（ｘ－１０）（－２ｘ＋１００）＝－２ｘ２＋１２０ｘ－１０００＝－２（ｘ －３０）２＋８００， 因为－２＜０，所以当ｘ＝３０时，ｗ有最大值为８００， 即该超市每天销售这款拼装玩具的最大利润为８００元． 故填８００． 二、体育问题 例２　（２０２３宜昌）如图 ２，一名学生推铅球，铅球行 进高度ｙ（单位：ｍ）与水平距 离ｘ（单位：ｍ）之间的关系是 ｙ＝－１１２（ｘ－１０）（ｘ＋４），则 铅球推出的距离ＯＡ＝ ｍ． 解析：令ｙ＝０，则０＝－１１２（ｘ－１０）（ｘ＋４），解得 ｘ１ ＝１０，ｘ２ ＝－４，所以ＯＡ＝１０．故填１０． 三、拱桥问题 例３　（２０２３晋中模拟）如图３－①是太原晋阳湖 公园一座抛物线型拱桥，按如图３－② 所示建立坐标 系，得到函数 ｙ＝－１２５ｘ ２，正常水位时水面宽 ＡＢ＝ ３０米，当水位上升５米时，则水面宽ＣＤ为 （　　） Ａ．２０米 Ｂ．１５米 Ｃ．１０米 Ｄ．８米 解析：因为ＡＢ＝３０米，所以当ｘ＝１５时，ｙ＝－１２５ ×１５２ ＝－９， 当水位上升５米时，ｙ＝－４， 把ｙ＝－４代入ｙ＝－１２５ｘ ２，得 －４＝－１２５ｘ ２，解得 ｘ＝±１０， 此时水面宽ＣＤ＝２０米．故选Ａ． 书 抛物线的对称性是二次函数的一个重要特征，即若 抛物线上有两个对称点的坐标为（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２），则一 定有ｙ１ ＝ｙ２，且其对称轴为直线ｘ＝ ｘ１＋ｘ２ ２ ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１　（２０２４宁波期末）若二次函数ｙ＝２（ｘ－１）２＋ ５的图象经过（ｍ，ｎ）和（３，ｎ）两点，则ｍ的值为（　　） Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．５２ Ｄ．－ ５ ２ 解析：由题可得 ｍ＋３ ２ ＝１，解得ｍ＝－１．故选Ｂ． 例２　已知抛物线ｙ＝－３ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴只有一 个交点，且过点 Ａ（ｍ－２，ｎ），Ｂ（ｍ＋４，ｎ），则 ｎ的值为 ． 解析：因为抛物线ｙ＝－３ｘ２＋ｂｘ＋ｃ过点Ａ（ｍ－２， ｎ），Ｂ（ｍ＋４，ｎ），所以对称轴为直线ｘ＝ｍ＋１，又因为抛 物线ｙ＝－３ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴只有一个交点，所以顶点为 （ｍ＋１，０），所以设抛物线解析式为ｙ＝－３（ｘ－ｍ－１）２， 把Ａ（ｍ－２，ｎ）代入，得ｎ＝－３（ｍ－２－ｍ－１）２＝－２７， 即ｎ＝－２７．故填 －２７． 例３　 已知点 Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２）在抛物线 ｙ＝ ｍｘ２－２ｍ２ｘ＋ｎ（ｍ≠０）上，当ｘ１＋ｘ２＞４且ｘ１＜ｘ２时， 都有ｙ１ ＜ｙ２，则ｍ的取值范围为 （　　） Ａ．０＜ｍ≤２ Ｂ．－２≤ｍ＜０ Ｃ．ｍ＞２ Ｄ．ｍ＜－２ 解析：由题易得该抛物线的对称轴为直线 ｘ＝ －－２ｍ ２ ２ｍ ＝ｍ，因为当ｘ１＋ｘ２ ＞４且ｘ１ ＜ｘ２时，都有ｙ１ ＜ｙ２，所以当ｍ＞０时，０＜２ｍ≤４，解得０＜ｍ≤２；当 ｍ＜０时，２ｍ＞４，此时ｍ无解．综上所述，ｍ的取值范围 为０＜ｍ≤２．故选Ａ． 例４　（２０２３福州期末）已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ ｃ（ａ≠０）经过点Ａ（２，ｔ），Ｂ（３，ｔ），Ｃ（４，２），Ｄ（６，４），那么 ａ－ｂ＋ｃ的值是 （　　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．ｔ 解析：因为抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）经过点 Ａ（２，ｔ），Ｂ（３，ｔ）， 所以抛物线的对称轴为直线ｘ＝２＋３２ ＝ ５ ２， 所以点Ｄ（６，４）的对称点坐标为（－１，４）， 所以当ｘ＝－１时，ｙ＝４，即ａ－ｂ＋ｃ＝４．故选Ｃ． 书 二次函数与一元二次方程本是一家，两者关系密 切，相互渗透，在解题运用中相辅相成，相得益彰，常常 携手出现在中考的舞台上． 例１　（２０２３郴州）若抛物线ｙ＝ｘ２－６ｘ＋ｍ与ｘ轴 只有一个公共点，则ｍ的值为 ． 解析：因为抛物线ｙ＝ｘ２－６ｘ＋ｍ与ｘ轴只有一个 公共点， 所以方程ｘ２－６ｘ＋ｍ＝０有两个相等的实数根， 所以Δ＝（－６）２－４ｍ＝０，所以ｍ＝９．故填９． 例２　（２０２３湖南）已知ｍ＞ｎ＞０，若关于ｘ的方程 ｘ２＋２ｘ－３－ｍ＝０的解为ｘ１，ｘ２（ｘ１ ＜ｘ２），关于ｘ的方 程ｘ２＋２ｘ－３－ｎ＝０的解为ｘ３，ｘ４（ｘ３＜ｘ４），则下列结 论正确的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｘ３ ＜ｘ１ ＜ｘ２ ＜ｘ４ Ｂ．ｘ１ ＜ｘ３ ＜ｘ４ ＜ｘ２ Ｃ．ｘ１ ＜ｘ２ ＜ｘ３ ＜ｘ４ Ｄ．ｘ３ ＜ｘ４ ＜ｘ１ ＜ｘ２ 解析：如图所示，设直线 ｙ＝ ｍ与抛物线ｙ＝ｘ２＋２ｘ－３交于Ａ， Ｂ两点，直线ｙ＝ｎ与抛物线ｙ＝ｘ２ ＋２ｘ－３交于Ｃ，Ｄ两点， 因为ｍ＞ｎ＞０，关于ｘ的方 程ｘ２＋２ｘ－３－ｍ＝０的解为ｘ１， ｘ２（ｘ１ ＜ｘ２），关于ｘ的方程ｘ ２＋２ｘ－３－ｎ＝０的解为ｘ３， ｘ４（ｘ３ ＜ｘ４）， 所以ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４分别是Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的横坐标， 所以ｘ１ ＜ｘ３ ＜ｘ４ ＜ｘ２．故选Ｂ． 例３　（２０２３自贡）经过Ａ（２－３ｂ，ｍ），Ｂ（４ｂ＋ｃ－１， ｍ）两点的抛物线ｙ＝－１２ｘ ２＋ｂｘ－ｂ２＋２ｃ（ｘ为自变量） 与ｘ轴有交点，则线段ＡＢ长为 （　　） Ａ．１０ Ｂ．１２ Ｃ．１３ Ｄ．１５ 解析：因为抛物线ｙ＝－１２ｘ ２＋ｂｘ－ｂ２＋２ｃ的对称 轴为直线ｘ＝－ｂ２ａ＝－ ｂ ２×（－１２） ＝ｂ，抛物线经过Ａ（２ －３ｂ，ｍ），Ｂ（４ｂ＋ｃ－１，ｍ）两点， 所以 ２－３ｂ＋４ｂ＋ｃ－１ ２ ＝ｂ，即 ｃ＝ｂ－１，所以 ｙ ＝－１２ｘ ２＋ｂｘ－ｂ２＋２ｃ＝－１２ｘ ２＋ｂｘ－ｂ２＋２ｂ－２， 因为抛物线与ｘ轴有交点，所以Δ＝ｂ２－４ａｃ≥０， 即 ｂ２－４×（－１２）×（－ｂ ２＋２ｂ－２）≥０，整理，得 （ｂ－２）２≤０， 所以ｂ＝２，ｃ＝ｂ－１＝２－１＝１， 所以２－３ｂ＝２－６＝－４，４ｂ＋ｃ－１＝８＋１－１＝８， 所以ＡＢ＝８－（－４）＝１２．故选Ｂ． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! 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( % - & ! ) -".' ! ! ! ! 书 （上接１，４版中缝） １９．（１）由 题 意 得 Ｃ（０，３）． 因为一次函数 ｙ＝ａｘ ＋２ａ＋３＝ａ（ｘ＋２）＋３， 所以一次函数 ｙ＝ａｘ ＋２ａ＋３过定点（－２，３）， 当 ｘ＝－２时，ｙ＝ －（－２＋１）２＋４＝３，所 以（－２，３）在抛物线上，所 以Ｐ（－２，３）． ①因为点Ｑ为该一次 函数图象的“１阶方点”，所 以当Ｑ的纵坐标为 －１时， △ＰＣＱ面积最大． 所以△ＰＣＱ面积最大 为 １ ２ＰＣ·｜ｙＣ－ｙＱ｜＝ １ ２ ×２×（１＋３）＝４． ②因为一次函数 ｙ＝ ａｘ＋２ａ＋３图象的“１阶方 点”有且只有一个， 所以在以 Ｏ为中心， 边长为 ２的正方形 ＡＢＣＤ 中，当直线与正方形区域 只有惟一交点时，图象的 “１阶方点”有且只有一 个， 当一次函数过（－１， －１）时，有 －１＝－ａ＋２ａ ＋３，解得ａ＝－４； 当一次函数过（１，１） 时，有１＝ａ＋２ａ＋３，解得 ａ＝－２３． 综上，ａ＝－２３或－４． （２）ｍ的取值范围为 －３＋槡４１ ８ ≤ｍ≤２． ２０．（１）ａ＝４，ｂ＝５． （２）由题意设 Ｂ（２， ｍ）（ｍ＞０），直线ＯＡ的解 析式为 ｙ＝ｋｘ，因为 Ａ（５， ５），所以５ｋ＝５，解得 ｋ＝ １， 所以直线 ＯＡ的解析 式为ｙ＝ｘ， 设直线 ＯＡ与抛物线 对称轴交于点 Ｈ，则 Ｈ（２， ２）， 所以ＢＨ＝ｍ－２， 因为Ｓ△ＯＡＢ ＝１５，所以 １ ２ ×｜ｍ－２｜×５＝１５， 解得 ｍ１ ＝８，ｍ２ ＝ －４（舍去）， 所以点 Ｂ的坐标为 （２，８）． （３）设直线ＡＢ的解析 式为ｙ＝ｃｘ＋ｄ， 把Ａ（５，５），Ｂ（２，８）代 入， 得 ５ｃ＋ｄ＝５， ２ｃ＋ｄ＝８{ ，解得 ｃ＝－１， ｄ＝１０{ ， 所以直线 ＡＢ的解析 式为ｙ＝－ｘ＋１０， 当ＰＡ－ＰＢ的值最大 时，Ａ，Ｂ，Ｐ在同一条直线 上， 因为Ｐ是ｙ轴上的点， 所以Ｐ（０，１０）． 上期４版 重点集训营 题型 一：１．Ｄ；　２．Ｄ； 　３．Ａ． 题 型 二：１．Ｂ；　２．Ｄ； 　３．ｍ＞ １２． 书 （满分：１２０分） 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．（２０２３贺州平桂区期中）二次函数ｙ＝ｘ２＋２ｘ－ ３的最小值为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．－３ Ｄ．－４ ２．（２０２４北京期末）若抛物线ｙ＝ｘ２＋２ｍｘ＋９与ｘ 轴只有一个交点，则ｍ的值为 （　　） Ａ．３ Ｂ．－３ Ｃ．± 槡３２ Ｄ．±３ ３．若函数ｙ＝ｘ２－４ｘ＋ｍ的图象上有两点Ａ（０，ｙ１）， Ｂ（１，ｙ２），则 （　　） Ａ．ｙ１ ＞ｙ２ Ｂ．ｙ１ ＜ｙ２ Ｃ．ｙ１ ＝ｙ２ Ｄ．ｙ１，ｙ２的大小不确定 ４．（２０２４长春期末）如图１，小明以 抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设 计了一款高ＯＤ为１３的奖杯，杯体轴截面 ＡＢＣ是抛物线ｙ＝４７ｘ ２＋６的一部分，则 杯口的口径ＡＣ长为 （　　） Ａ．６ Ｂ．７ Ｃ．８ Ｄ．９ ５．若抛物线 ｙ＝－２（ｘ＋ｍ－１）２－ ３ｍ＋６的顶点在第一象限，则ｍ的取值范围是 （　　） Ａ．ｍ＜１ Ｂ．ｍ＜２ Ｃ．１＜ｍ＜２ Ｄ．－２＜ｍ＜－１ ６．如图２，隧道的截面由抛物 线和长方形 ＯＡＢＣ构成，已知抛物 线的表达式为ｙ＝－１６ｘ ２＋２ｘ＋４， 需要在抛物线形拱壁上安装两排 灯，如果灯离地面的高度为８ｍ，那 么两排灯的水平距离是 （　　） 槡 槡Ａ．２ｍ Ｂ．４ｍ Ｃ．４２ｍ Ｄ．４３ｍ ７．（２０２４宁波期末）某超市销售一种饮料，每瓶进 价为４元，经市场调查表明：每瓶售价每增加１元，日均 销售量减少８０瓶；当售价为每瓶７元时，日均销售量为 ４００瓶，若要日均毛利润最大，每瓶饮料的售价应是 （　　） Ａ．６元 Ｂ．７元 Ｃ．８元 Ｄ．９元 ８．（２０２４菏泽期末）如图３是二 次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）图象 的一部分，对称轴为直线ｘ＝１２，且 经过点（２，０），则下列结论错误的是 （　　） Ａ．ａｂｃ＜０ Ｂ．－２ｂ＋ｃ＝０ Ｃ．４ａ＋２ｂ＋ｃ＜０ Ｄ．若（－５２，ｙ１），（ ５ ２，ｙ２）是抛物线上的两点，则ｙ１ ＜ｙ２ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．（２０２４镇江期末）若二次函数ｙ＝（ｍ＋１）ｘ２＋２ｘ ＋ｍ２－２ｍ－３图象经过原点，则ｍ的值为 ． １０．抛物线ｙ＝ｘ２＋６ｘ＋ｍ与ｘ轴无公共点，则ｍ的 取值范围为 ． １１．（２０２４泰安期末）太阳加工 厂的师傅用长为６ｍ的铝合金型材 做一个形状如图 ４所示的矩形窗 框，要使做成的窗框的透光面积最 大，此时该矩形窗框的长与宽的和 为 ｍ． １２．开口向上的抛物线ｙ＝ａｘ２ －２ａｘ－１过点（－１，ｙ１），（１，ｙ２），（４，ｙ３），若ｙ１，ｙ２，ｙ３三 个数中有且只有一个数大于零，则 ａ的取值范围是 ． １３．有一个抛物线形蔬菜大棚，将其截面放在如图５ 所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数 ｙ＝ －３１６ｘ ２＋ｂｘ来表示，已知ＯＫ＝８米．若借助横梁ＳＴ（ＳＴ ∥ＯＫ）建一个门，要求门的高度为１．５米，则横梁ＳＴ的 长度是 米． １４．（２０２３鹤岗期末）如图６，抛物线ｙ＝ｘ２－２ｘ－３ 与ｘ轴交于Ａ，Ｂ两点（Ａ在左边），与ｙ轴交于Ｃ点，Ｐ是 线段ＡＣ上的一点，连接 ＢＰ交 ｙ轴于点 Ｑ，连接 ＯＰ，当 △ＯＡＰ和△ＰＱＣ的面积之和与 △ＯＢＱ的面积相等时， 点Ｐ的坐标为 ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（２０２３宁波月考，１０分）二次函数ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ ｃ的自变量ｘ与函数值ｙ的对应值如下表，根据下表回答 问题： ｘ … －３ －２ －１ ０ … ｙ … －２ －２ ０ ４ … （１）求出该二次函数的表达式； （２）写出向下平移２个单位后，图象所对应的二次 函数表达式． １６．（２０２４南京期末，１０分）已知二次函数ｙ＝ａｘ２－ ４ａｘ（ａ≠０）． （１）求证：该函数的图象与ｘ轴总有两个公共点； （２）当０＜ｘ＜４时，ｙ＜４，直接写出ａ的取值范围． １７．（２０２３合肥蜀山区一模，１０分）如图７，在篮球比 赛中，东东投出的球在点 Ａ处反弹，反弹后球运动的路 线为抛物线的一部分，抛物线顶点为点Ｂ． （１）求该抛物线的函数表达式； （２）当球运动到点Ｃ时被东东抢到，已知ＣＤ⊥ｘ轴 于点Ｄ，ＣＤ＝２．６ｍ，求ＯＤ的长． １８．（２０２４长沙期末，１０分）为提高学生的综合素 质，丰富学生的校园生活，某学校的师生们要在一块一 边靠墙（墙长１５米）的空地上修建一个矩形劳动教育基 地ＡＢＣＤ，劳动教育基地的一边靠墙，另三边用总长 ４０米的栅栏围成（如图８所示）．若设劳动教育基地的 ＢＣ边长为ｘ米，面积为ｙ平方米． （１）判断该劳动教育基地的面积能否达到１５０平方 米？若能，请求出ｘ的值；若不能，请说明理由． （２）当ｘ是多少时，劳动教育基地面积ｙ最大？最大 面积是多少？ １９．（２０２４唐山期末，１２分）某商店出售一款商品， 已知该商品的进价为４０元 ／件，日销售量ｙ（件）与销售 单价ｘ（元）之间满足关系式为：ｙ＝－１０ｘ＋９００．该商品 的销售单价、日销售量、日销售利润的部分对应数据如 下表： 销售单价ｘ（元） ７５ ７８ 日销售量ｙ（件） ａ １２０ 日销售利润ｗ（元） ５２５０ ｂ （１）表中ａ的值是 ，ｂ的值是 ； （２）求该商品日销售利润的最大值； （３）由于某种原因，该商品进价每件降低了ｍ元（ｍ ＞０），该商店在今后的销售中，规定该商品的销售单价 不低于６８元，日销售量与销售单价满足的函数关系式保 持不变，若日销售最大利润是６６００元，直接写出 ｍ的 值． ２０．（１２分）如图９，已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３与 ｘ轴交于Ａ（－３，０）和Ｂ（１，０）两点，与ｙ轴交于点Ｃ． （１）求抛物线的解析式； （２）设抛物线的顶点为Ｍ，试判断△ＡＣＭ的形状； （３）在ｘ轴上方的抛物线上是否存在一点 Ｐ，使 △ＰＡＢ的面积为８？若存在，请直接写出点 Ｐ的坐标；若 不存在，请说明理由                                                                                                                                                                 ． ! " # $% & ' ! ! ! " !( ! " " & ! # ! $ $ % ) ' ! % 书 ２２．１．４二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的 图象和性质 １．（２０２４濮阳期末）二次函数ｙ＝ｘ２－４ｘ＋１的图 象的顶点坐标是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．（０，－１） Ｂ．（２，－３） Ｃ．（－２，３） Ｄ．（２，３） ２．（２０２３海安期中）已知二次函数ｙ＝２ｘ２－４ｘ＋ ５，当ｙ随ｘ的增大而增大时，ｘ的取值范围是 （　　） Ａ．ｘ≤－１ Ｂ．ｘ≥１ Ｃ．ｘ≤１ Ｄ．ｘ≥－１ ３．（２０２４临沂期末）下列关于二次函数ｙ＝－３（ｘ＋ １）（ｘ－２）的图象和性质的叙述中，正确的是 （　　） Ａ．点（０，２）在函数图象上 Ｂ．开口方向向上 Ｃ．对称轴是直线ｘ＝１ Ｄ．与直线ｙ＝３ｘ有两个交点 ４．（２０２３西安期末）已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ ＜０），经过Ａ（－４，１），Ｂ（２，１），Ｃ（－５，ｙ１），Ｄ（１，ｙ２）四 点，则 ｙ１ 与 ｙ２ 的大小关系是 ｙ１ ｙ２（填 “＞”“＜”或“＝”）． ５．二次函数ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋ｃ在 －３≤ｘ≤２的范 围内有最小值 －５，则ｃ的值是 ． ６．如图１，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，二次函数ｙ＝ ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的部分图象与ｘ轴，ｙ轴的交点分别为（１，０） 和（０，－３）． （１）求此二次函数的表达式； （２）结合函数图象，当 －２＜ｘ＜１时，直接写出ｙ 的取值范围． 能力提高 ７．（２０２４保定期末）如图２，抛物线ｙ＝－１２ｘ ２＋ｂｘ ＋ｃ与ｘ轴交于Ａ（－２，０），Ｂ（４，０）两点，与ｙ轴交于点 Ｃ． （１）求抛物线和直线ＢＣ的解析式； （２）动点Ｍ，Ｎ从点Ｏ同时出发，都以每秒１个单位 长度的速度分别在线段ＯＢ，ＯＣ上向点Ｂ，Ｃ运动，过点 Ｍ作ｘ轴的垂线交ＢＣ于点Ｆ，交抛物线于点Ｈ，当四边 形ＯＭＨＮ为矩形时，求点Ｈ的坐标． ２２．２二次函数与一元二次方程 １．（２０２４天津期末）抛物线ｙ＝ｘ２－２ｘ－３与ｘ轴 的两个交点分别为 （　　） Ａ．（３，０）和（－１，０） Ｂ．（－３，０）和（１，０） Ｃ．（２，０）和（－４，０） Ｄ．（４，０）和（－２，０） ２．（２０２３杭州月考）下表给出了二次函数 ｙ＝ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）中ｘ，ｙ的一些对应值，则可以估计一元 二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的一个近似解ｘ１的 范围为 （　　） ｘ … ０．６ ０．７ ０．８ ０．９ １ … ｙ … －０．４４－０．１１０．２４ ０．６１ １ … Ａ．０．６＜ｘ１ ＜０．７ Ｂ．０．７＜ｘ１ ＜０．８ Ｃ．０．８＜ｘ１ ＜０．９ Ｄ．０．９＜ｘ１ ＜１ ３．已知二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的部分图象如图所 示，则关于ｘ的一元二次方程ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ＝０的解为 ． ４．（２０２３信阳月考）已知抛 物线ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴只有 一个交点，将其向下平移 ｍ个单位长度后，抛物线与 ｘ 轴交于Ａ（ａ，０），Ｂ（ａ＋６，０），则ｍ的值为 ． 能力提高 ５．（２０２４南京期末）已知直线ｙ１＝２ｘ－２与抛物线 ｙ２ ＝ａｘ ２＋ａｘ－２ａ（ａ为非０常数）． （１）求证：直线与抛物线总有公共点； （２）无论ｘ为何值，总有ｙ１≤ｙ２，求ａ的值或取值范 围． ２２．３实际问题与二次函数（第一课时） １．（２０２３温州期末）某农场要建矩形的饲养室，如 图１所示，一面靠着现有足够长的墙，其他三面用材料 建设围墙，在中间再建一道墙隔开，并在两处各留１ｍ 宽的门，已知计划中的材料可建墙体总长为２２ｍ（不包 括门），则能建成的饲养室最大总占地面积为 （　　） 　　 　　 　　 　　 　　　 　　 　　Ａ．５２ｍ２ Ｂ．４８ｍ２ Ｃ．４５ｍ２ Ｄ．４１ｍ２ ２．（２０２３合肥庐阳区月考）将进货单价为３０元的 某种商品按零售价 １００元 ／件卖出时，每天能卖出 ２０件．若这种商品的零售价在一定范围内每降价１元， 其日销售量就增加１件，为了获得最大的利润，则应降 价 （　　） Ａ．５元 Ｂ．１５元 Ｃ．２５元 Ｄ．３５元 ３．（２０２３大连期中）如图 ２，在 △ＡＢＣ中，∠Ｂ＝ ９０°，ＡＢ＝１２ｍｍ，ＢＣ＝２４ｍｍ，动点Ｐ从点Ａ开始沿边 ＡＢ向点Ｂ以２ｍｍ／ｓ的速度移动，动点Ｑ从点Ｂ开始沿 边ＢＣ向点Ｃ以４ｍｍ／ｓ的速度移动，如果Ｐ，Ｑ两点分别 从Ａ，Ｂ两点同时出发，设运动时间为ｔｓ，那么△ＰＢＱ的 面积Ｓ的最大值为 ｍｍ２． 能力提高 ４．（２０２４昭通期末）随着互联网应用的日趋成熟和 完善，电子商务在近几年得到了迅猛的发展．某电商以 每件４０元的价格购进某款Ｔ恤，以每件６０元的价格出 售．经统计，元旦前一周的销量为５００件，该电商在元旦 期间进行降价销售．调查发现，该 Ｔ恤在元旦前一周销 售量的基础上，每降价１元，销售量就会增加５０件．设 该Ｔ恤的定价为ｘ元，获得的利润为ｗ元． （１）求ｗ与ｘ之间的函数关系式； （２）若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门 规定销售利润率不高于３０％，如何定价才能使得利润 最大？并求出最大利润是多少元（利润率 ＝利润 进价 × １００％）？ ２２．３实际问题与二次函数（第二课时） １．（２０２３泉州期末）廊桥是我国古老的文化遗产， 抛物线形的廊桥示意图如图１所示．已知抛物线的函数 表达式为ｙ＝－１４０ｘ ２＋１０，为增加安全性，在该抛物线 上同一高度且水平距离为８米的Ｃ，Ｄ两处安装警示灯， 则警示灯Ｄ距离水面ＡＢ的距离为 （　　） 　　 　　　　　 　　　　　 　　　Ａ．８．４米 Ｂ．９．６米 Ｃ．１０．４米 Ｄ．１１．６米 ２．（２０２３邢台月考）在圆形喷水池的中央竖直安装 一根水管，其顶端安一喷头，喷出水流的高度 ｙ（ｍ）与 水平距离ｘ（ｍ）之间满足ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋７４，如图２所 示，当ｘ＝３２时，水流达到最高点，当ｘ＝２时，ｙ＝ １５ ４． 若喷出的水流没有落在池外，则喷水池的半径不少于 （　　） Ａ．３ｍ Ｂ．３．２ｍ Ｃ．３．５ｍ Ｄ．４ｍ ３．中国石拱桥是 我国古代人民建筑艺 术上的智慧象征，如图 ３所示，某桥拱是抛物 线形，正常水位时，水 面宽ＡＢ为２０ｍ，由于持续降雨，水位上升３ｍ，若水面 ＣＤ宽为 １０ｍ，则此时水面距桥面距离 ＯＥ的长为 ｍ． 能力提高 ４．（２０２４宜春期末）某数学兴趣小组在一次课外活 动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（无盖正方体箱子放 在水平地面上）．现将弹珠抽象为一个动点，建立了如图 ４所示的平面直角坐标系（ｘ轴经过箱子底面中心，并与 其一组对边平行，正方形ＤＥＦＧ为箱子正面示意图）．某 同学将弹珠从Ａ（１，０）处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线 Ｌ：ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３（单位长度为１ｍ）的一部分，已知抛物 线经过点（－２，３），ＤＥ＝２ｍ，ＡＤ＝５ｍ． （１）求抛物线Ｌ的解析式和顶点坐标； （２）若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与抛 物线Ｌ形状相同的 ! 物线Ｍ运动，且无阻挡时弹珠最大 高度可达３ｍ，请判断弹珠能否弹出箱子，并说明理由 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． ! # * " + , - . 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