第2期 21.2.3～21.3（参考答案见4期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（人教版）

书 上期２版 ２１．１一元二次方程 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｃ；　４．Ｄ；　５．Ｃ； ６．１０００（１＋ｘ）２ ＝１４４０； ７．２０１９；　８．２；　９．２０２０． １０．ｂ的值为１，ｃ的值为 －２． 能力提高　１１．（１）４． （２）因为ｍ２ ＝３，所以ｍ＝６，把ｘ＝２代入ｘ ２－ｍｘ ＋ｎ＝０得４－６×２＋ｎ＝０，解得ｎ＝８，所以ｍｎ＝６ ×８＝４８． ２１．２．１配方法 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．Ｂ； ４．ｍ＞１；　５．１４；　６．ｘ１ ＝ｘ２ ＝－２． ７．（１）ｘ１ ＝２，ｘ２ ＝－８； （２）ｘ１ ＝３＋槡１５，ｘ２ ＝３－槡１５． 能力提高　８．（１）当ｘ为 －１或 －３时，代数式Ａ 比Ｂ的值大２． （２）证明：Ａ－Ｂ＝（２ｘ２＋５ｘ－３）－（ｘ２＋ｘ－８） ＝２ｘ２＋５ｘ－３－ｘ２－ｘ＋８＝ｘ２＋４ｘ＋５＝ｘ２＋４ｘ＋ ４＋１＝（ｘ＋２）２＋１，对于任意的ｘ值，（ｘ＋２）２≥０， 所以（ｘ＋２）２＋１＞０，即Ａ－Ｂ＞０，所以对于任意的ｘ 值，代数式Ａ－Ｂ的值恒为正数． ２１．２．２公式法 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｄ；　 ３．Ｄ； ４．ｋ＜－３；　５．９，ｘ１ ＝ｘ２ ＝ ３；　６．６－ 槡２５． ７．（１）ｘ１ ＝ －１＋槡１７ ４ ，ｘ２ ＝ （下转１，４版中缝） 书 重点集训营 １．（２０２３怀远二模）某市为了更好的吸引外资，决 定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使得绿地 面积增加４４％，则这两年平均每年绿地面积的增长率为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２２％ Ｂ．１０％ Ｃ．２０％ Ｄ．１１％ ２．（２０２３黑龙江）如图１，在 长为１００ｍ，宽为５０ｍ的矩形空 地上修筑四条宽度相等的小路， 若余下的部分全部种上花卉，且 花圃的面积是３６００ｍ２，则小路的宽是 （　　） Ａ．５ｍ Ｂ．７０ｍ Ｃ．５ｍ或７０ｍ Ｄ．１０ｍ ３．（２０２３襄阳襄城区模拟）要组织一次篮球联赛， 赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排 １５场比赛，应邀请 支球队参加比赛． ４．（２０２３苏州姑苏区二模）某商场将进价为４５元的 某种服装以６５元售出，平均每天可售３０件，为了尽快减 少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件 降价１元，则每天可多售５件，如果每天要盈利８００元，每 件应降价 元． ５．（２０２３青岛月考）如图２，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ ３ｃｍ，ＢＣ＝６ｃｍ．点Ｐ从点Ｄ出发向点Ａ运动，运动到点 Ａ即停止；同时，点Ｑ从点Ｂ出发向点Ｃ运动，运动到点Ｃ 即停止，点Ｐ，Ｑ的速度都是１ｃｍ／ｓ，连接ＰＱ，ＡＱ，ＣＰ．设 点Ｐ，Ｑ运动的时间为ｔｓ． （１）是否存在某一时刻ｔ，使得ＰＱ⊥ＰＣ？如果存在， 请求出ｔ的值，如果不存在，请说明理由． （２）在运动过程中，沿着ＡＱ把△ＡＢＱ翻折，当ｔ为 何值时，翻折后点Ｂ的对应点Ｂ′恰好落在ＰＱ边上？ 书 辅助线周周线 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 １．（２０２３宁波期中）如图１，直线ｌ交正方形ＡＢＣＤ 的对边ＡＤ，ＢＣ于点Ｐ，Ｑ，正方形ＡＢＣＤ和正方形ＥＦＧＨ 组成的图形关于直线ｌ成轴对称，点Ｈ在ＣＤ边上，点Ａ 在边ＥＦ上，ＢＣ，ＨＧ交于点Ｍ，ＡＢ，ＦＧ交于点 Ｎ．若 ＣＤ ＝５，ＤＨ＝２，则△ＧＱＭ的周长为 ． ２．（２０２３重庆北碚区期中）如图２，在矩形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ＝８，ＢＣ＝１２，点Ｆ在线段ＡＢ上，ＡＦ＝５，点Ｅ在 线段ＡＤ上，将矩形ＡＢＣＤ沿ＥＦ折叠，使点Ａ落在ＢＣ边 上的点Ｇ处，点Ｈ在线段ＣＤ上，将矩形沿ＧＨ折叠，点 Ｃ恰好落在线段ＥＧ上的点Ｍ处，则点Ｍ到线段ＤＣ的 距离为 ． 书 !"#$%&'()*+,-./01 ， 2'34 )565,789! ， :;<=>?@ ， >>A:B/ 0CDE!F ． GHIJKL!"#$%&MNOPQ ,!RST ， UV+W+XYZ5 ． ! １　（２０２３ !"#$% ） [/ ａ，ｂ，ｃ \]'OPQ ,O^ ， _%& （ａ＋ｂ）ｘ２＋２ｃｘ＋ａ＋ｂ＝０ ,`,ab ' （　　） Ａ． cde*` Ｂ． dfgd!he*` Ｃ． dihjk,e*` Ｄ． dihljk,e*` "# ： &'()*+,$-./*+ ， 01234 5678916:;45<= ， >4?@AB5@CD EF6:6785GHI9JK ． $ ： mnΔ＝（２ｃ）２－４（ａ＋ｂ）（ａ＋ｂ）＝４ｃ２－４（ａ ＋ｂ）２ ＝４［ｃ２－（ａ＋ｂ）２］＝４（ｃ＋ａ＋ｂ）［ｃ－（ａ＋ｂ）］， `oOPQO^pD ， q ｃ＋ａ＋ｂ＞０，ｃ－（ａ＋ｂ）＜０， rsΔ＜０，rst%&cde*`．uvＡ． ! ２　 w!hxPOPQiyxP^,z\]' !"#$%& ｘ２－６ｘ＋４＝０ ,ihe*` ， _{hx POPQ|^,z' ． "# ： &LMK$-./*+ ｘ２－６ｘ＋４＝０ NO ｘ＝３＋槡５Pｘ＝３－槡５，>4?QRSTJNUA@A BVC5WI9 ． $ ： mn!hxPOPQiyxP^,z\]'! 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Ÿ ¡ # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ########################################## " :? ¢ £ 书 ! 、 "#$%& ' １　（２０２３ !" ） !"#$%&'()*+,- . ， /$0123456789:;+< ． => ２０２０ ? @$089:;*+,A8! ５０００ B ，２０２２ ?89: ;*+,A8C ７２００ B ， D ２０２０～２０２２ ?;+67, ?EFGHI ． ( ： J ２０２０ ?K ２０２２ ?@0;+67,?EFG HI! ｘ， L ５０００（１＋ｘ）２ ＝７２００， MN ｘ１ ＝０．２，ｘ２ ＝－２．２（#$%&，'(）． O ：２０２０ ?K ２０２２ ?@0;+67,?EFGH I! ２０％． ) 、 *+%& ' ２　（２０２３ )* ） P* ， QRS8H! ７０ｍ ,T U ， VWXYZ,[\ （ +,-./ ） ]'3^_`a b ＡＢＣＤ， cde ＢＣ fg3^ ２ｍ h,i （ 01 ＥＦ 2 ， 345678 ）． （１） jab,Hkh5l!mn ｍ o ， p]'3^ qr! ６４０ｍ２ ,ab ？ （２） ab,qrpsK ６５０ｍ２ t ？ Pup ， vwx 2Jyz{ ； Pu|p ， v}~€ ． ( ：（１） J_` ＡＢＣＤ ,e ＡＢ ,H! ｘｍ， L ＢＣ＝７０－２ｘ＋２＝（７２－２ｘ）ｍ． ‚ƒ„ ， N ｘ（７２－２ｘ）＝６４０， MN ｘ１ ＝１６，ｘ２ ＝２０， j ｘ＝１６ o ，７２－２ｘ＝７２－３２＝４０； j ｘ＝２０ o ，７２－２ｘ＝７２－４０＝３２． O ： jab,H! ４０ｍ， h! １６ｍ …H! ３２ｍ， h ! ２０ｍ o ， p]'3^qr! ６４０ｍ２ ,ab ． （２） |p ． €P† ： €ƒ„ ， N ｘ（７２－２ｘ）＝６５０， ‡ˆ ， N ｘ２－３６ｘ＋３２５＝０， ‰!Δ＝（－３６）２－４×３２５＝－４＜０， Š‹3BŒzŽ‘’ ． Š‹ab,qr|psK ６５０ｍ２． , 、 -.%& ' ３　（２０２３ 9:;< ） “”•–—˜™ ， š›œ žŸ 3¡•– ， ¢£¤¥¦ ： §¨©•–ª^«¬! １０ B ， j ¬!ª^ １２ Bo ， Ÿ ­! １８０̂ ， ® ¬ª ¯° １ B ， Ÿ ­±²³n １０̂ ， v´O‹†µƒ ： （１） D§¨©•–Ÿ ­ ｙ（ = ） ¶ ¬ ｘ（ > ） ·™ ,¸’¹º» （１２≤ｘ≤３０）； （２） š›œ!"#¼x½¾ ， ¿ÀopÁN ８４０ B ¼Â ， L ¬Ãž!mn ？ ( ：（１） €ƒ„Ä> ，ｙ＝１８０－１０（ｘ－１２）＝－１０ｘ ＋３００， ŧ¨©•–Ÿ ­ ｙ（ = ） ¶ ¬ ｘ（ > ） ·™, ¸’¹º»! ｙ＝－１０ｘ＋３００（１２≤ｘ≤３０）． （２） €ƒ„N （ｘ－１０）ｙ＝－１０ｘ２＋４００ｘ－３０００＝ ８４０， ÆN ｘ２－４０ｘ＋３８４＝０， MN ｘ１ ＝１６，ｘ２ ＝２４（#$%&，'(）． O ： š›œ!"#¼x½¾ ， ¿ÀopÁN ８４０ B ¼Â ， L ¬Ãž! １６ B ． 【 /0123 《 4567- 》】 ¤¥")*¦™§ Ẅ ©ª«¬ # .‘ ########################################## # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # "­{ œ®¯ 书 【提示】 １．过点Ａ作ＡＫ⊥ＨＧ于点Ｋ，连接ＡＨ，ＡＭ，证明 Ｒｔ△ＡＤＨ≌Ｒｔ△ＡＫＨ，Ｒｔ△ＡＫＭ≌Ｒｔ△ＡＢＭ，得到 ＤＨ＝ＫＨ，ＢＭ＝ＫＭ，根据对称可得ＱＧ＝ＱＢ，将 △ＧＱＭ的周长表示出来，再通过边的转化解答即可． ２．根据折叠和勾股定理依次求出ＦＧ，ＢＧ的长， 过点Ｇ作ＧＰ⊥ＡＤ，求出ＤＥ，ＥＭ的长，得到ＥＭ＝ＤＥ ＝２，连接ＥＨ，即可证明Ｒｔ△ＥＭＨ≌Ｒｔ△ＥＤＨ，推出 ＤＨ＝ＨＭ＝ＨＣ＝４，连接ＣＭ交ＧＨ于Ｑ，利用三角 形的面积即可求出ＣＱ的长度，过Ｍ作ＭＮ⊥ＣＤ于 Ｎ，最后根据三角形的面积计算ＭＮ即可． #################### ! ! ! " # $ ! ' % & ! " # $ '( ! ! ! " # $ ' ) * ( + , % & - ! ' ! " # $ ' ) , ( + ! " #! !"#$" $"% ! '$'+&('!!( "#$% %&'()* !"#$%&'" ()*+,-'. N&KO°±o&©² $ . ) *+ · ¸ , ) *+ ¹º» , # - .+ œ¼¸ , ) *+ ½ ¾ , ) *+ ¿ À -./01+ œ Á 23/01+ œÂà -4506+ Ä Å -4578+ Æǯ ºÈÉ Ê Ë ÌDÍ Î Ï ÐÑÒ ¹ÓÔ ÎÕÂ Ö Ç ×ØÍ ÙÚ  ÊÛÜ 3ÛÝ ¹ Þ ßÀ& àáË â Ò ãäå ºæç 91-.+ ÊÛÜ 91:;+ ÙÚ  <=-.+ èÛé >?-.+ êëì @ABC+ íîï >?ðñòOóô >?ðòoõŽX~ö÷ >?ðòøùst‚ƒ„óú KL*M564% Mû1· ¸ `üýþÿ!4%"J19>!+&,(,(?W@( P#$J1'!&!#( 书 （满分：１２０分） 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．（２０２３保定月考）解方程２（ｘ－１）２＝３（ｘ－１）最 合适的方法是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．直接开平方法 Ｂ．配方法 Ｃ．公式法 Ｄ．因式分解法 ２．连续两个整数的乘积为１２，则这两个整数中较小 的一个是 （　　） Ａ．３ Ｂ．－４ Ｃ．－３或４ Ｄ．－４或３ ３．（２０２３东莞模拟）若５是方程ｘ２－６ｘ＋ｋ＝０的 一个根，则方程的另一个根是 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．５ ４．（２０２３浙江一模）取 一张长与宽之比为５∶２的 长方形纸板，剪去４个边长 为５ｃｍ的小正方形（如图 １），并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒．要使包 装盒的容积为２００ｃｍ３（纸板的厚度略去不计），则这张 长方形纸板的周长为 （　　） Ａ．７ｃｍ Ｂ．１４ｃｍ Ｃ．４２ｃｍ Ｄ．８４ｃｍ ５．（２０２３丹东一模）已知ｋ，ｂ是一元二次方程（２ｘ＋ １）（３ｘ－１）＝０的两个根，且ｋ＞ｂ，则函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的 图象不经过 （　　） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 ６．已知菱形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ，ＢＤ的长度是方程 ｘ２－１３ｘ＋３６＝０的两个实数根，则此菱形的面积为 （　　） Ａ．１８ Ｂ．２４ Ｃ．３０ Ｄ．３６ ７．（２０２３宿迁月考）转化思想是数学思想方法中最 基本、最重要的一种方法，我们可以用因式分解把方程 ｘ３＋ｘ２－２ｘ＝０转化为ｘ＝０或ｘ２＋ｘ－２＝０，从而求 出方程的三个根为ｘ１＝０，ｘ２＝１，ｘ３＝－２，再如：我们可 以用两边平方的方法把方程 ｘ＋槡 １＝２转化为ｘ＋１＝ ４，从而求出方程的根为 ｘ＝３，通过转化还可以求出方 程 ２ｘ＋槡 ３＝ｘ的根为 （　　） Ａ．３ Ｂ．－１ Ｃ．３或 －１ Ｄ．３或１ ８．（２０２３西安二模）已知ｍｎ≠１，且５ｍ２＋２０１０ｍ＋ ９＝０，９ｎ２＋２０１０ｎ＋５＝０，则ｍｎ的值为 （　　） Ａ．－４０２ Ｂ．５９ Ｃ． ９ ５ Ｄ． ６７０ ３ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．（２０２３龙岩月考）若关于ｘ的一元二次方程ｘ２＋ｘ －４＝０的两根是ｘ１，ｘ２，则ｘ ２ １ｘ２＋ｘ１ｘ ２ ２ ＝ ． １０．（２０２３信阳月考）关于ｘ的一元二次方程ａｘ２＋ ｂｘ＋ｃ＝０的两个根为ｘ１＝１，ｘ２＝２，则二次三项式ａｘ ２ ＋ｂｘ＋ｃ可分解因式为 ． １１．（２０２３连云港月考）为保护森林，中华铅笔厂准 备生产一种新型环保铅笔．随着技术的成熟，由刚开始 每月生产６２５万支新型铅笔，经两次技术革新后，上升至 每月生产９００万支新型铅笔，则每次技术革新的平均增 长率是 ． １２．（２０２３宁波期末）若实数ｘ满足２（ｘ２－ｘ）２－ｘ２ ＋ｘ－６＝０，则ｘ２－ｘ＋１＝ ． １３．关于ｘ的一元二次方程ｘ２－４ｘ＋ｋ－１＝０有两 个实数根ｘ１，ｘ２，若 ｘ１，ｘ２分别是一个矩形的长和宽，矩 形的对角线长为槡１０，则ｋ的值为 ． １４．如图２，已知ＡＧ∥ＣＦ，ＡＢ ⊥ＣＦ，垂足为Ｂ，ＡＢ＝ＢＣ＝３，点 Ｐ是射线ＡＧ上的动点（点Ｐ不与 点Ａ重合），点Ｑ是线段 ＣＢ上的 动点，点 Ｄ是线段 ＡＢ的中点，连 接ＰＤ并延长交ＢＦ于点Ｅ，连接ＰＱ，设ＡＰ＝２ｔ，ＣＱ＝ｔ， 当 △ＰＱＥ是以 ＰＥ为腰的等腰三角形时，ｔ的值为 ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１２分）解方程： （１）（２０２３咸阳期中）２ｘ（４ｘ＋１）＝４（４ｘ＋１）； （２）（２０２３西安期中）４（２ｘ＋１）２ ＝９（ｘ－３）２； （３）（２０２３普陀期中）３ｘ２－７ｘ＋２＝０． １６．（２０２３安徽模拟，１０分）渡江战役纪念馆位于巢 湖之滨，犹如一艘乘风破浪的巨型战舰．据统计，２０２３年 ２月份接待人数为３００００人，４月份增加到３６３００人． （１）求２月份到４月份接待人数的月平均增长率； （２）如果接待人数继续保持这个增长率不变，预测 ６月份接待人数能否突破４３５００人？ １７．（１０分）小敏与小霞两位同学解方程３（ｘ－３） ＝（ｘ－３）２的过程如下框： 小敏： 两边同除以（ｘ－３），得 ３＝ｘ－３， 则ｘ＝６． 小霞： 移项，得３（ｘ－３）－（ｘ－３）２ ＝０， 提取公因式，得（ｘ－３）（３－ｘ－３）＝０， 则ｘ－３＝０或３－ｘ－３＝０， 解得ｘ１ ＝３，ｘ２ ＝０． 判断他们的解法是否正确？并写出你的解答过程． １８．（１０分）某农产品公司以６４０００元的成本收购 了某种农产品８０吨，目前可以以１２００元 ／吨的价格直 接售出．而该公司对这批农产品有以下两种处理方式可 供选择： 方式一：公司可将部分农产品直接以１２００元／吨的 价格售出，剩下的全部加工成半成品出售（加工成本忽 略不计），每吨该农产品可以加工得到０．８吨的半成品， 每吨半成品的售价为２５００元． 方式二：公司将该批农产品全部储藏起来，这样每 星期会损失２吨，且每星期需支付各种费用１６００元，但 同时每星期每吨的价格将上涨２００元． （１）若该公司选取方式一处理该批农产品，最终获 得了７５％的利润率，求该公司直接销售了多少吨农产品？ （２）若该公司选取方式二处理该批农产品，最终获 利１２２０００元，求该批农产品储藏了多少个星期才出售？ １９．（２０２３无锡模拟，１０分）已知α，β（α＞β）是一 元二次方程ｘ２－ｘ－１＝０的两个实数根，ｓ１ ＝α＋β，ｓ２ ＝α２＋β２，…，ｓｎ ＝α ｎ＋βｎ． （１）直接写出 ｓ１，ｓ２ 的值：ｓ１ ＝ ，ｓ２ ＝ ； （２）经过计算，可得ｓ３ ＝４，ｓ４ ＝７，ｓ５ ＝１１，当ｎ≥ ３时，请猜想ｓｎ，ｓｎ－１，ｓｎ－２之间满足的数量关系，并给出证 明． ２０．（２０２３青海一模，１２分）提出问题：为解方程（ｘ２ －２）２－１１（ｘ２－２）＋１８＝０，我们可以将ｘ２－２视为一个 整体，然后可设ｘ２－２＝ｙ，则（ｘ２－２）２＝ｙ２，于是原方程 可转化为ｙ２－１１ｙ＋１８＝０，解此方程，得ｙ１＝２，ｙ２＝９． 当ｙ１ ＝２时，ｘ ２－２＝２，即ｘ２ ＝４，所以ｘ＝±２； 当ｙ２＝９时，ｘ ２－２＝９，即ｘ２＝１１，所以ｘ＝±槡１１． 所以原方程的解为ｘ１＝２，ｘ２＝－２，ｘ３＝－槡１１，ｘ４ ＝槡１１． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目 的，体现了转化的思想． 解决问题：（１）运用上述换元法解方程ｘ４－３ｘ２－４ ＝０； 延伸拓展：（２）已知实数ｍ，ｎ满足（ｍ＋３ｎ）（ｍ＋３ｎ －２）＝２ｍ＋６ｎ－４，求４ｍ＋１２ｎ－３的值                                                                                                                                                                 ． 书 ２１．２．３因式分解法 １．解方程ｘ２－９７ｘ＝０较为合适的方法是（　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．直接开平方法 Ｂ．配方法 Ｃ．公式法 Ｄ．因式分解法 ２．（２０２３佛山月考）如果二次三项式ｘ２＋ｐｘ＋ｑ能 分解成（ｘ＋５）（ｘ－１）的形式，则方程ｘ２＋ｐｘ＋ｑ＝０的 两个根为 （　　） Ａ．ｘ１ ＝－５，ｘ２ ＝－１ Ｂ．ｘ１ ＝－５，ｘ２ ＝１ Ｃ．ｘ１ ＝５，ｘ２ ＝－１ Ｄ．ｘ１ ＝５，ｘ２ ＝１ ３．用因式分解法解方程９ｘ２ ＝（ｘ－２）２时，因式分 解结果正确的是 （　　） Ａ．４（２ｘ－１）（ｘ－１）＝０ Ｂ．４（２ｘ＋１）（ｘ－１）＝０ Ｃ．４（２ｘ－１）（ｘ＋１）＝０ Ｄ．４（２ｘ＋１）（ｘ＋１）＝０ ４．（２０２３沭阳月考）若ｘ２＋１与ｘ２－４ｘ＋１的值互 为相反数，则ｘ的值是 ． ５．（２０２３连云港月考）三角形两边的长是６和８，第 三边长满足方程ｘ２－２４ｘ＋１４０＝０，则三角形的周长为 ． ６．（２０２３北京海淀区期末）在平面直角坐标系中， 已知点Ｐ（ｍ，ｎ），ｍ，ｎ满足（ｍ２＋ｎ２＋１）（ｍ２＋ｎ２＋３） ＝１５，则ＯＰ的长为 ． ７．解方程： （１）（２ｘ－３）２ ＝３（２ｘ－３）； （２）（２０２３天津武清区月考）ｘ２－ｘ－１２＝０． ８．（２０２３长春月考）由多项式乘法：（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ） ＝ｘ２＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ，将该式从右到左使用，即可得到 “十字相乘法”进行因式分解的公式：ｘ２＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）．示例：分解因式：ｘ２＋５ｘ＋６＝ｘ２＋ （２＋３）ｘ＋２×３＝（ｘ＋２）（ｘ＋３）． （１）尝试：分解因式：ｘ２ ＋６ｘ＋８ ＝ （ｘ＋ ）（ｘ＋ ）； （２）应用：①请用上述方法解方程：ｘ２－５ｘ－６＝０； ②如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＣ＝８，且ＡＢ的长 是方程ｘ２－９ｘ＋２０＝０的一个根，求等腰三角形ＡＢＣ的 面积． ２１．２．４一元二次方程的根与系数的关系 １．（２０２３温州三模）关于ｘ的一元二次方程ｘ２＋ｍｘ －２＝０有一个解为ｘ＝１，则该方程的另一个解为ｘ＝ （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．０ Ｂ．－１ Ｃ．２ Ｄ．－２ ２．（２０２３绵阳）关于ｘ的方程２ｘ２＋ｍｘ＋ｎ＝０的 两个根是 －２和１，则ｎｍ的值为 （　　） Ａ．－８ Ｂ．８ Ｃ．１６ Ｄ．－１６ ３．（２０２３龙岩模拟）关于 ｘ的一元二次方程 ｘ２－ ２（ｍ＋１）ｘ＋ｍ２＋２＝０两个实数根的倒数和为１，则ｍ 的值为 （　　） Ａ．－２或０ Ｂ．２或０ Ｃ．２ Ｄ．０ ４．（２０２３黄冈）已知一元二次方程ｘ２－３ｘ＋ｋ＝０ 的两个实数根为ｘ１，ｘ２，若ｘ１ｘ２＋２ｘ１＋２ｘ２ ＝１，则实数 ｋ＝ ． ５．（２０２３鄂州模拟）已知ａ，ｂ是方程ｘ２－ｘ－１＝０ 的两根，则代数式 ２ａ３ ＋５ａ＋３ｂ３ ＋３ｂ＋１的值是 ． ６．（２０２３合肥一模）已知关于 ｘ的一元二次方程 ２ｘ２＋４ｘ＋ｍ＝０． （１）若ｘ＝１是方程的一个根，求ｍ的值和方程的 另一根； （２）若ｘ１，ｘ２是方程的两个实数根，且满足ｘ ２ １＋ｘ ２ ２ ＋２ｘ１ｘ２－ｘ ２ １ｘ ２ ２ ＝０，求ｍ的值． ２１．３实际问题与一元二次方程（第一课时） １．（２０２３惠州月考）在教师节当天，学校老师互送 贺卡，共送了９０张，则一共有老师 （　　） Ａ．８名 Ｂ．９名 Ｃ．１０名 Ｄ．１１名 ２．（２０２３惠州月考）某牧民要围成面积为３５平方 米的矩形羊圈，且长比宽多２米，则此羊圈的周长是 （　　） Ａ．２０米 Ｂ．２４米 Ｃ．２６米 Ｄ．２２米 ３．（２０２３南昌月考）如图１， 已知ＡＢ⊥ＢＣ，ＡＢ＝１２ｃｍ，ＢＣ＝ ８ｃｍ．一动点Ｎ从Ｃ点出发沿 ＣＢ 方向以１ｃｍ／ｓ的速度向Ｂ点运动， 同时另一动点Ｍ由点Ａ沿ＡＢ方向 以２ｃｍ／ｓ的速度也向 Ｂ点运动， 其中一点到达Ｂ点时另一点也随之停止，当 △ＭＮＢ的 面积为２４ｃｍ２时，运动的时间ｔ为 ｓ． ４．（２０２３武汉月考）某种植物的主干长出若干数目 的支干，每个支干又长出同样树木的小分支，主干、支 干和小分支的总数是９１，设每个支干长出ｘ个小分支， 则ｘ＝ ． ５．（２０２３泰州期末）学校课外兴趣活动小组准备利 用长为８ｍ的墙ＡＢ和一段长为２６ｍ的篱笆围建一个矩 形的苗圃园，设平行于墙一边ＣＤ的长为ｘｍ． （１）如图２，如果矩形花园的一边靠墙 ＡＢ，另三边 由篱笆ＥＣＤＦ围成，当苗圃园的面积为６０ｍ２时，求ｘ的 值； （２）如图３，如果矩形苗圃园的一边由墙ＡＢ和一节 篱笆ＢＦ构成，另三边由篱笆ＡＣＤＦ围成，当苗圃园的面 积为６０ｍ２时，求ｘ的值． ２１．３实际问题与一元二次方程（第二课时） １．（２０２３贺州期中）为打造书香校园，某校积极开 展“图书漂流”活动，旨在让全体师生共建共享．校团委 学生处在对上学期学生借阅登记簿进行统计时发现， 在４月份有１０００名学生借阅了名著类书籍，６月份增加 到１４４０人，则从４月份到６月份全校借阅名著类书籍 的学生人数的平均增长率是 （　　） Ａ．１０％ Ｂ．２０％ Ｃ．３０％ Ｄ．４０％ ２．（２０２３开封月考）某商店销售连衣裙，每条盈利 ４０元，每天可以销售２０条．商店决定降价销售，经调查， 每降价１元，商店每天可多销售２条连衣裙．若想要商 店每天盈利１２００元，每条连衣裙应降价 （　　） Ａ．５元 Ｂ．１０元 Ｃ．２０元 Ｄ．１０元或２０元 ３．（２０２３东营月考）某种商品售价经过两次降价后， 新售价为原售价的８１％，则平均每次降 ％． ４．某菜农在２０２３年１１月底投资１６００元种植大棚 黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜４００千克，当天就可以按 ６元 ／千克的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起 来，其质量每天损失１０千克，且每天需支付各种费用共 ４０元，但每天每千克的价格能上涨０．５元（储藏时间不 超过１０天）．若该菜农想获得１１７５元的利润，需要将采 摘的黄瓜储藏 天． ５．（２０２３新疆模拟）某商品进价３０元，销售期间发 现，当销售单价定价５０元时，每天可售出１００个，临近 五一，商家决定开启大促，经市场调研发现，销售单价 每下降２元，每天销量增加２０个，设每个商品降价ｘ元． （１）求每天销量ｙ（个）关于ｘ（元）的函数关系式； （２）求该商品的销售单价是多少元时，商家每天获 利１７６０元？ （３）商家每天的获利是否能达到３０００元 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ？ 书 ４±槡５６ ２×２，所 以 ｘ１ ＝ ２＋槡１４ ２ ，ｘ２ ＝ ２－槡１４ ２ ． １７．（１）当 ｍ ＝１ 时，方程为ｘ２－２ｘ＋３＝ ０，所以ａ＝１，ｂ＝－２，ｃ ＝３，所以Δ＝ｂ２－４ａｃ ＝（－２）２－４×１×３＝ ４－１２＝－８＜０，所以 方程没有实数根． （２）当ｍ＝２时，方 程为ｘ２－４ｘ＋３＝０，解 得ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝３． １８．（１）③． （２）因为３ｘ２＋ｍｘ ＋ｎ＝０是关于ｘ的“完 美方程”，所以ｍ＝３＋ ｎ，所以ｎ＝ｍ－３，所以 原方程为３ｘ２＋ｍｘ＋ｍ－ ３＝０．因为ｍ是此“完美 方程”的一个根，所以 ３ｍ２＋ｍ２＋ｍ－３＝０，即 ４ｍ２＋ｍ－３＝０，解得ｍ ＝－１或ｍ＝３４． １９．（１）７；２；－４； －１０． （２）因为（ｘ－５）（ｘ ＋７）＝１２，所以［（ｘ＋ １）－６］［（ｘ＋１）＋６］ ＝１２，所以（ｘ＋１）２－ ３６＝１２，所以（ｘ＋１）２ ＝４８，所以ｘ＋１＝ 槡４３ 或ｘ＋１＝－ 槡４３，解得 ｘ１ ＝ －１＋ 槡４３，ｘ２ ＝ －１－ 槡４３． ２０．（１）－ｉ；１；－１； １． （２）因为（ｘ－１）２ ＝－１，所以（ｘ－１）２ ＝ ｉ２，所以ｘ－１＝±ｉ，所以 ｘ１ ＝１＋ｉ，ｘ２ ＝１－ｉ． （３）移项，得 ｘ２ － ４ｘ＝－８，配方，得（ｘ－ ２）２ ＝４ｉ２，所以 ｘ－２ ＝±２ｉ，解得 ｘ１ ＝２＋ ２ｉ，ｘ２ ＝２－２ｉ． 上期４版 重点集训营 １．（１）ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝ １ ３； （２）ｘ１ ＝ １，ｘ２ ＝ －３２； （３）无实数解； （４）ｘ１ ＝ ５＋槡６５ ２ ， ｘ２ ＝ ５－槡６５ ２ ； （５）ｘ１＝４，ｘ２＝１０； （６）ｘ１ ＝ 槡６ ＋ 槡１１，ｘ２ ＝槡６－槡１１． ２．（１）ｋ的取值范 围为ｋ≤５． （２）ｋ１ ＝３－槡３，ｋ２ ＝３＋槡３． !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ !" #$ %& %&'( ! " !"# !$"%&'( . )*!+,-./ !01234 " 5( 6789:;&$,&,"-&$,"< )*#+,-./ =01234 " 5( ! " # ! " # $ % ! $ ! " # & ' ' ! " ( ! " # & ' ' ! & # ./ ! 0 ! "# & ' ) * ( + ! & >&?@ABC&1D $ 5 >&?@ABC&1D $ 5