第9期 3.4 直线与圆的位置关系 3.5 三角形的内切圆（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（青岛版）

书 【提示】 １．过点Ａ作ＡＧ⊥ＡＥ，交ＣＤ延长线于点Ｇ，证明 △ＡＢＥ≌△ＡＤＧ，得ＢＥ＝ＤＧ，ＡＥ＝ＡＧ，由∠ＥＡＦ＝ ４５°，证明△ＥＡＦ≌△ＧＡＦ，得ＥＦ＝ＧＦ，故△ＣＥＦ的 周长＝ＥＦ＋ＥＣ＋ＣＦ＝ＧＦ＋ＥＣ＋ＣＦ＝ＣＤ＋ＢＣ， 即可得答案． ２．取ＡＤ的中点Ｏ，连接ＯＢ，ＯＭ．证得∠ＡＭＤ＝ ９０°，推出ＯＭ＝１ ２ＡＤ＝２，点Ｍ的运动轨迹是以点 Ｏ为圆心，２为半径的圆．利用勾股定理求出ＯＢ，由 ＢＭ≥ＯＢ－ＯＭ可得结论． 书 重点集训营 １．如图１，已知ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点Ｄ是⊙Ｏ上异 于Ａ，Ｂ的点，点Ｃ是 ) ＢＤ的中点，连接ＡＤ，ＡＣ，ＢＣ，ＣＤ，过 点Ｃ作ＣＥ⊥ＡＤ交ＡＤ的延长线于点Ｅ．求证：ＣＥ是⊙Ｏ 的切线． ２．如图２，四边形 ＡＢＣＤ是菱形，以 ＡＢ为直径作 ⊙Ｏ，交ＣＢ于点Ｆ，点Ｅ在ＣＤ上，且ＣＥ＝ＣＦ，连接ＡＥ． 求证：ＡＥ是⊙Ｏ的切线． 辅助线周周练 １．如图１，在正方形ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别在边ＢＣ， ＣＤ上，且∠ＥＡＦ＝４５°，ＡＥ交ＢＤ于点Ｍ，ＡＦ交ＢＤ于 点 Ｎ．若正方形的边长为 ３，则 △ＣＥＦ的周长是 ． ２．如图２，四边形ＡＢＣＤ为矩形，ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，点 Ｐ是线段 ＢＣ上一动点，点 Ｍ为线段 ＡＰ上一点，若 ∠ＡＤＭ ＝∠ＢＡＰ，则ＢＭ的最小值为 ． 书 １６．证明：因为 ＡＢ 为⊙Ｏ的直径，点 Ｅ是 弦ＣＤ的中点，所以 ＡＢ ⊥ＣＤ，所以 ) ) ＡＤ＝ＡＣ， 所以 ∠Ｂ＝∠Ｆ，因为 ＣＦ∥ ＢＤ，所以 ∠ＡＧＦ ＝∠Ｂ，所以 ∠ＡＧＦ＝ ∠Ｆ，所以ＡＧ＝ＡＦ． １７．（１）证明：因为 四边形ＡＢＣＤ内接于圆 Ｏ，∠ＢＡＤ＝１０５°，所以 ∠Ｃ＝７５°．因为∠ＤＢＣ ＝７５°，所以 ∠ＤＢＣ＝ ∠Ｃ，所以ＢＤ＝ＣＤ． （２）ＢＣ的长为３． １８．设此水门的桥 拱圆弧的圆心为点 Ｏ， 过点Ｏ作ＯＤ⊥ＡＢ于点 Ｄ，交圆弧为点 Ｃ，此水 门的桥拱圆弧的半径为 Ｒｍ，由题意知，ＡＢ ＝ １８２ｍ，ＣＤ＝６２ｍ，则 ＡＤ ＝ＢＤ ＝ １２ＡＢ ＝ ９．１ｍ，ＯＤ ＝ （Ｒ － ６．２）ｍ，在Ｒｔ△ＡＯＤ中， 由勾股定理，得 Ｒ２ ＝ ９．１２＋（Ｒ－６．２）２，解得 Ｒ≈９．８． 答：此水门的桥拱 圆弧的半径约为９．８ｍ． 附加题 　（１）证 明：连接 ＯＥ．在 △ＯＥＦ 和 △ＯＥＢ 中， ＯＥ＝ＯＥ， ＥＦ＝ＥＢ， ＯＦ＝ＯＢ { ， 所 以 △ＯＥＦ ≌ △ＯＥＢ（ＳＳＳ）， 所 以 书 上期２版 ３．１圆的对称性（第一课时） 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ； ３．答案不惟一，大于等于４小于５即可，如４．２； ４．１３． 能力提高　５．（１）圆弧所在圆的半径为２０米． （２）桥墩ＥＦ的高为４米． ３．１圆的对称性（第二课时） 基础训练　１．Ａ；　２．１２０°． ３．证明：因为ＯＢ＝ＯＣ，所以∠Ｂ＝∠Ｃ，因为ＯＤ∥ ＢＣ，所以∠ＡＯＤ＝∠Ｂ，∠ＣＯＤ＝∠Ｃ，所以 ∠ＡＯＤ＝ ∠ＣＯＤ，所以 ) ) ＡＤ＝ＣＤ，即Ｄ为 ) ＡＣ的中点． 能力提高　４．因为 ) ) ) ＣＤ＝ＡＣ＋ＢＤ，所以∠ＣＯＤ＝ ∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＤ，因为 ∠ＣＯＤ＋∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＤ ＝ １８０°，所以∠ＣＯＤ＝∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＤ＝ １２ ×１８０°＝ ９０°，因为ＯＣ＝ＯＤ，所以∠ＯＤＣ＝∠ＯＣＤ＝４５°．因为 ＰＣ＝ＣＯ，所以∠Ｐ＝∠ＣＯＰ，又因为 ∠Ｐ＋∠ＣＯＰ＝ ∠ＯＣＤ＝４５°，所以∠Ｐ＝∠ＣＯＰ＝２２．５°，所以∠ＤＯＢ ＝∠Ｐ＋∠ＰＤＯ＝６７５°． ３．２确定圆的条件 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．Ｃ；　４．３；　５．槡１３． ６．（１）图略． （２）连接ＯＡ，则ＯＡ＝ＯＢ．因为∠Ｂ＝∠Ｃ＝３０°， 所以∠ＢＡＯ＝∠Ｂ＝３０°，所以∠ＡＯＣ＝∠Ｂ＋∠ＢＡＯ ＝６０°．又因为∠Ｃ＝３０°，所以∠ＯＡＣ＝９０°，所以ＯＣ＝ ２ＯＡ＝２ＯＢ．因为ＢＣ＝６，所以ＯＢ＋ＯＣ＝ＯＢ＋２ＯＢ＝ ３ＯＢ＝６，所以ＯＢ＝２，即⊙Ｏ的半径为２． ３．３圆周角 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．４８°；　４．９９°． ５．（１）证明：因为ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＣＤ⊥ＡＢ，所以 ) ) ＢＣ＝ＢＤ，所以∠Ａ＝∠２，又因为ＯＡ＝ＯＣ，所以∠１＝ ∠Ａ，所以∠１＝∠２． （２）因为ＡＢ为⊙Ｏ的直径，ＣＤ⊥ＡＢ，ＣＤ＝６，所以 ∠ＣＥＯ＝９０°，ＣＥ＝ＥＤ＝３，设⊙Ｏ的半径是ｒ，因为ＥＢ ＝２，所以ＯＥ＝ｒ－２，在Ｒｔ△ＯＥＣ中，由勾股定理，得ｒ２ ＝（ｒ－２）２＋３２，解得ｒ＝１３４，所以⊙Ｏ的半径为 １３ ４． 能力提高 　６．因为 ＡＢ是直径，所以 ∠ＡＣＢ＝ ∠ＡＤＢ＝９０°，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１０ｃｍ，ＡＣ＝６ｃｍ，所 以ＢＣ＝ ＡＢ２－ＡＣ槡 ２ ＝８（ｃｍ），因为ＣＤ平分∠ＡＣＢ， 所以∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＤ，所以 ) ) ＡＤ＝ＤＢ，所以ＡＤ＝ＢＤ，在 Ｒｔ△ＡＢＤ中，由勾股定理，得ＡＤ２＋ＢＤ２ ＝ＡＢ２，所以ＡＤ ＝ＢＤ＝ １００槡２ ＝ 槡５２（ｃｍ）．所以四边形ＡＣＢＤ的面积 ＝△ＡＢＣ的面积 ＋△ＡＢＤ的面积 ＝１２×６×８＋ １ ２× 槡５２× 槡５２＝４９（ｃｍ ２）． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ Ｃ Ａ 二、９．４；　１０．５０°；　１１．槡２３；　１２．５２°； １３．（５２，－ １ ２）；　１４．槡１７－１． 三、１５．（１）图略． （２）圆的半径为１３ｃｍ． 书 第一招：有直径，直接证 例１　如图１，ＡＢ为⊙Ｏ的 直径，点Ｃ在⊙Ｏ上，点Ｐ在ＢＡ 的延长线上，连接 ＢＣ，ＯＣ，ＰＣ． 若ＡＢ＝６，∠ＡＯＣ＝６０°，ＢＣ＝ ＰＣ，求证：直线ＰＣ与⊙Ｏ相切． 分析：由 ∠ＡＯＣ＝６０°，ＯＢ ＝ＯＣ，可得∠ＯＢＣ＝１２∠ＡＯＣ＝３０°，再由ＢＣ＝ＰＣ推 出∠Ｐ＝３０°，从而证得ＯＣ⊥ＣＰ，直线ＰＣ与⊙Ｏ相切． 证明：因为ＡＢ为⊙Ｏ的直径，点 Ｃ在 ⊙Ｏ上，所以 ＯＢ＝ＯＣ，所以∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＢ＝ １２∠ＡＯＣ． 因为∠ＡＯＣ＝６０°，所以∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＢ＝３０°． 因为ＢＣ＝ＰＣ，所以∠ＣＢＯ＝∠Ｐ＝３０°． 在△ＣＯＰ中，因为 ∠ＣＯＡ＝６０°，∠Ｐ＝３０°，所以 ∠ＯＣＰ＝１８０°－∠ＣＯＡ－∠Ｐ＝９０°，所以ＯＣ⊥ＣＰ， 又因为ＯＣ为半径，所以直线ＰＣ与⊙Ｏ相切． 第二招：连半径，证垂直 例２　如图２，以线段 ＡＢ 为直径作⊙Ｏ，交射线ＡＣ于点 Ｃ，ＡＤ平分∠ＣＡＢ交⊙Ｏ于点 Ｄ，过点Ｄ作直线ＤＥ⊥ＡＣ于 点Ｅ，交 ＡＢ的延长线于点 Ｆ． 连接ＢＤ并延长交ＡＣ于点Ｍ． 求证：直线ＤＥ是⊙Ｏ的切线． 分析：连接ＯＤ，由∠ＯＤＡ＝∠ＯＡＤ＝∠ＤＡＣ证明 ＯＤ∥ＡＣ，得∠ＯＤＦ＝∠ＡＥＤ＝９０°，即可证明直线ＤＥ 是⊙Ｏ的切线． 证明：连接ＯＤ，则ＯＤ＝ＯＡ，所以∠ＯＤＡ＝∠ＯＡＤ， 因为ＡＤ平分∠ＣＡＢ，所以∠ＯＡＤ＝∠ＤＡＣ， 所以∠ＯＤＡ＝∠ＤＡＣ，所以ＯＤ∥ＡＣ， 因为ＤＥ⊥ＡＣ，所以∠ＯＤＦ＝∠ＡＥＤ＝９０°， 因为ＯＤ是⊙Ｏ的半径，且ＤＥ⊥ＯＤ， 所以直线ＤＥ是⊙Ｏ的切线． 第三招：作垂直，证半径 例３　如图３，在 △ＡＢＣ中，ＡＣ ＝ＣＢ，点Ｏ是ＡＢ的中点，ＣＡ与⊙Ｏ 相切于点Ｅ，ＣＯ交⊙Ｏ于点Ｄ．求证： ＣＢ是⊙Ｏ的切线． 分析：过点Ｏ作ＯＦ⊥ＢＣ于点 Ｆ，利用角平分线的性质证明 ＯＦ＝ ＯＥ即可． 证明：连接ＯＥ，过点Ｏ作ＯＦ⊥ＢＣ于点Ｆ． 因为ＣＡ与⊙Ｏ相切于点Ｅ，所以ＯＥ⊥ＡＣ． 在△ＡＢＣ中，因为ＡＣ＝ＣＢ，点Ｏ是ＡＢ的中点， 所以ＣＯ平分∠ＡＣＢ， 所以ＯＥ＝ＯＦ，所以ＯＦ是⊙Ｏ的半径， 又因为ＯＦ⊥ＢＣ，所以ＣＢ是⊙Ｏ的切线． 【对应练习见《重点集训营》】 书 直线与圆的位置关系是本节的重要内容，要学好这 部分知识，需要掌握以下几种题型． 一、直接判断位置关系 例１　已知半径为５的圆，其圆心到直线的距离是 ３，此时直线和圆的位置关系为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．相离 Ｂ．相切 Ｃ．相交 Ｄ．无法确定 解析：半径ｒ＝５，圆心到直线的距离ｄ＝３．因为５ ＞３，即ｒ＞ｄ，所以直线和圆相交．故选Ｃ． 二、计算后判断位置关系 例２　 如图 １，Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝ ９０°，ＡＢ＝５，ｃｏｓＡ＝４５，以点Ｂ为圆心， ｒ为半径作⊙Ｂ，当ｒ＝３时，⊙Ｂ与ＡＣ的 位置关系是 （　　） Ａ．相离 Ｂ．相切 Ｃ．相交 Ｄ．无法确定 解析：因为Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝５，ｃｏｓＡ＝ ４ ５，所以 ＡＣ ＡＢ＝ ＡＣ ５ ＝ ４ ５，所以 ＡＣ＝４，所以 ＢＣ＝ ＡＢ２－ＡＣ槡 ２ ＝３．因为ｒ＝３，所以ＢＣ＝ｒ＝３，所以⊙Ｂ 与ＡＣ的位置关系是相切．故选Ｂ． 三、根据位置关系求值 例３　如图２，直线ａ⊥ｂ， 垂足为点Ｈ，点Ｐ在直线ｂ上， ＰＨ＝４ｃｍ，Ｏ为直线ｂ上一动 点，以点 Ｏ为圆心，１ｃｍ为半 径作圆，当点Ｏ从点Ｐ出发以 ２ｃｍ／ｓ的速度向右作匀速运动，经过ｔｓ与直线ａ相切， 则ｔ为 ． 解析：因为直线ａ⊥ｂ，所以⊙Ｏ与直线ａ相切时，切 点为Ｈ，所以ＯＨ＝１ｃｍ．当点Ｏ在点Ｈ的左侧，⊙Ｏ与 直线ａ相切时，ＯＰ＝ＰＨ－ＯＨ＝４－１＝３（ｃｍ），所以ｔ ＝３２ｓ；当点Ｏ在点Ｈ的右侧，⊙Ｏ与直线ａ相切时，ＯＰ ＝ＰＨ＋ＯＨ＝４＋１＝５（ｃｍ），所以ｔ＝５２ｓ．所以⊙Ｏ 与直线ａ相切，ｔ为 ３２ｓ或 ５ ２ｓ．故填 ３ ２ｓ或 ５ ２ｓ． 书 结论１：如图１，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝ａ，ＡＣ ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，内切圆⊙Ｏ的半径为ｒ，Ｄ，Ｅ，Ｆ为切点，则ｒ ＝ １２（ａ＋ｂ－ｃ）． 证明：如图１，连接 ＯＤ，ＯＥ，ＯＦ，则四边形 ＣＤＯＥ为 矩形．所以ＣＤ＝ＯＥ＝ｒ． 由题意，易得ＡＦ＝ＡＥ，ＣＥ＝ＣＤ，ＢＦ＝ＢＤ． 所以ａ＋ｂ－ｃ＝（ＢＤ＋ＤＣ）＋（ＡＥ＋ＥＣ）－（ＡＦ＋ ＢＦ）＝２ＣＤ＝２ｒ． 所以ｒ＝ １２（ａ＋ｂ－ｃ）． 结论２：如图２，若⊙Ｏ为 △ＡＢＣ的内切圆，则∠ＡＯＢ ＝９０°＋１２∠ＡＣＢ． 证明：因为⊙Ｏ为 △ＡＢＣ的内切圆， 所以∠１＝ １２∠ＣＡＢ，∠２＝ １ ２∠ＡＢＣ． 所以 ∠ＡＯＢ ＝１８０°－（∠１＋∠２） ＝１８０°－ １ ２（∠ＣＡＢ＋∠ＡＢＣ）＝１８０°－ １ ２（１８０°－∠ＡＣＢ）＝９０° ＋１２∠ＡＣＢ． 结论３：如图３，在△ＡＢＣ中，内切圆⊙Ｏ和ＢＣ，ＡＣ， ＡＢ分别相切于点Ｅ，Ｆ，Ｄ，则∠ＦＤＥ＝９０°－１２∠ＡＣＢ． 证明：如图３，连接ＯＥ，ＯＦ，则ＯＦ⊥ＡＣ，ＯＥ⊥ＢＣ． 因为四边形ＣＦＯＥ的内角和为３６０°， 所以∠ＦＯＥ＋∠ＡＣＢ＝１８０°． 因为∠ＦＤＥ＝ １２∠ＦＯＥ， 所以∠ＦＤＥ＝９０°－１２∠ＡＣＢ． 结论４：如图４，△ＡＢＣ的三边长 ＢＣ，ＡＣ，ＡＢ分别为 ａ，ｂ，ｃ，其面积为 Ｓ，内切圆 ⊙Ｉ的半径为 ｒ，则 ｒ＝ ２Ｓ ａ＋ｂ＋ｃ． 证明：如图４，连接ＩＡ，ＩＢ，ＩＣ． 因为Ｓ＝Ｓ△ＡＩＢ＋Ｓ△ＡＩＣ＋Ｓ△ＢＩＣ ＝ １ ２ＡＢ·ｒ＋ １ ２ＡＣ· ｒ＋１２ＣＢ·ｒ＝ １ ２（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ，所以ｒ＝ ２Ｓ ａ＋ｂ＋ｃ． 书 与圆有关的探索性问题在数学学习中屡见不鲜． 现列举两例介绍其解法，供大家学习时参考． 例１　已知等边△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ，点Ｐ为弧ＡＢ 上的一个动点，连接ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ． （１）如图１－①，当线段ＰＣ经过点Ｏ时，写出线段 ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ满足的等量关系，并说明理由； （２）如图１－②，点Ｐ为弧ＡＢ上的任意一点（点Ｐ 不与点Ａ，点Ｂ重合），试探究线段ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ之间满足 的等量关系，并证明你的结论． 解析：（１）ＰＡ＋ＰＢ＝ＰＣ，理由如下： 因为线段ＰＣ经过点Ｏ，所以ＰＣ是⊙Ｏ的直径，所 以∠ＰＡＣ＝∠ＰＢＣ＝９０°，因为△ＡＢＣ是等边三角形， 所以∠ＡＢＣ＝∠ＢＡＣ＝６０°，所以∠ＡＣＰ＝∠ＢＣＰ＝ ３０°，所以ＰＡ＝１２ＰＣ，ＰＢ＝ １ ２ＰＣ，所以ＰＡ＋ＰＢ＝ＰＣ． （２）ＰＡ＋ＰＢ＝ＰＣ，理由如下： 在ＰＣ上截取ＰＤ＝ＰＡ，连接ＡＤ，因为△ＡＢＣ是等 边三角形，所以ＡＢ＝ＡＣ，∠ＡＢＣ＝∠ＢＡＣ＝６０°，所以 ∠ＡＰＤ＝∠ＡＢＣ＝６０°，因为ＰＤ＝ＰＡ，所以△ＡＰＤ是 等边三角形，所以 ＡＤ＝ＡＰ＝ＰＤ，∠ＰＡＤ＝６０°＝ ∠ＢＡＣ，所以∠ＤＡＣ＝∠ＰＡＢ，在△ＡＣＤ和△ＡＢＰ中， ＡＣ＝ＡＢ， ∠ＤＡＣ＝∠ＰＡＢ， ＡＤ＝ＡＰ { ， 所以△ＡＣＤ≌ △ＡＢＰ（ＳＡＳ），所以 ＤＣ＝ＰＢ，所以ＰＡ＋ＰＢ＝ＰＤ＋ＤＣ＝ＰＣ． 例２　如图２－①，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＢＣ是⊙Ｏ的 弦，ＯＤ⊥ＢＣ于点Ｅ，交 ) ＢＣ于点Ｄ． （１）请写出三个不同类型 獉獉獉獉 的正确结论； （２）如图２－②，连接ＣＤ，设∠ＣＤＢ＝α，∠ＡＢＣ＝β， 试找出α与β之间的一个关系式，并给予证明． 解析：（１）由 ＯＤ＝ＯＢ，可得 △ＯＢＤ是等腰三角 形； 由ＡＢ是⊙Ｏ的直径，可得∠ＡＣＢ＝９０°，△ＡＢＣ是 直角三角形； 由ＢＣ是⊙Ｏ的弦，ＯＤ⊥ＢＣ于点Ｅ，交 ) ＢＣ于点Ｄ， 可得ＢＥ＝ＣＥ， ) ) ＢＤ＝ＣＤ，∠ＢＥＤ＝∠ＯＥＢ＝９０°； 由∠ＯＥＢ＝９０°，可得ＯＥ２＋ＢＥ２ ＝ＯＢ２等． 任选其中三个都符合要求． （２）α＝９０°＋β，请同学们自己写出证明过程． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " #! !!"! " $"% ! !"#$ !"# !$"%&'( )&*+,-.&/0 " 1 % ! !"#$ !"#$%&'" ()*+,-'. %&'()* 23456+78 23469:;<=>?@ 2346ABCDEFGH7I *JKLMNO% LPQRST UVWXYZO%[\Q!"#$%&'&'(!)( & '( RST ) & '( ]^_ ) # * +, `aT ) & '( b c ) & '( d e -+./0, ` f 12./0, `gh *34/5, i j *3467( klm ^no p q rst u v wxy ]z{ u|g } l ~t €S p‚ƒ „‚… ]S† ‡e& ˆ‰q Š y ‹Œ ^Ž 80-+( i  809:( ^ Ž ;<-+( ‘‚’ =>-+, “ ” ?@AB, •–— "˜K™š™% "›„™O% "MNŸ ¡Q&,+-.+/'#/+0 "˜K¢£Q23¤¥¦§s¨©ª«¬ -,/ \*JKL)&*+MNŸ "­®M¯Q&,&&&0 "§°Ÿ±K²³Q&,+-#+/'--/+ &,+-#+/'-/,'́ =µ( "±¶Q·¸˜K§°Ÿ£¹º»U¼½­¾¿À( "­®±¶²³Q---1+ "ÁÂÃıÅƱÇȱ "˜KÉ»U¼¤́ §ÊË9ÌÍÎK "ÏÐCDÑÁÒ\Q-2&&&&2&&&--& "ÏП ¡Q&,+-#+3'-/++ "˜KÓÔÕÖ×=>ØÙEFGH́ ÚÛ§ÜÝ©Þßàáâ;<ã -- \ÊäØ$åEØæçèéê$·¸˜K§°Ÿ£¹ëì ! " # $ % ! " $ % ! " & ! $ ! / ' ( ) ! & $ * ( ) ! & + ! " # 23 ] í ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! $ îï ÑðÖ & ! - ( " ! , $ ) * ! / $ ! & - / ! 2 &* - $ ( ! , *$ ! , & ) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% $ * & ! - . / ! % 0 ! / $ 2Ö pñò + * & ) ! ! , ( ! % + & * ! $ ! , * ( 1 ) & + ! / $ óÕ ôgõ & , ( 2 ) 1 ' + # % 1 ( + ' ! - ! / ! ' , + % # ) ( ! / ! ' # ) ( + ! - ö÷#˜Køêù ¿ú/ûüý"1Ê ¿"# -$2 %&'Ê ¿þÿ 2 %ú/ûü( 书 ３．４直线与圆的位置关系（第一课时） １．已知⊙Ｏ的直径为６，圆心Ｏ到直线ｌ的距离为 ５，则直线ｌ与⊙Ｏ的位置关系是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．相交 Ｂ．相切 Ｃ．相离 Ｄ．不能确定 ２．如图１，ＯＡ交⊙Ｏ于点Ｂ，ＡＣ切⊙Ｏ于点Ｃ，Ｄ点 在⊙Ｏ上，若∠Ｄ＝２６°，则∠Ａ为 （　　） Ａ．３８° Ｂ．３０° Ｃ．６４° Ｄ．５２° ３．如图２，在平面直角坐标系中，过格点 Ａ，Ｂ，Ｃ画 圆弧，则点Ｂ与下列格点连线所得的直线中，能够与该 圆弧相切的格点坐标是 （　　） Ａ．（５，２） Ｂ．（２，４） Ｃ．（１，４） Ｄ．（６，２） ４．如图３，直线ＡＢ，ＣＤ相交于点Ｏ，∠ＡＯＣ＝３０°， 半径为１ｃｍ的圆Ｐ在射线ＯＡ上，且圆心Ｐ与点Ｏ的距 离为６ｃｍ，以１ｃｍ／ｓ的速度沿由Ａ向Ｂ的方向移动，那 么与直线ＣＤ相切时，圆心Ｐ的运动时间为 ｓ． ５．如图４，⊙Ｏ半径为４，ＡＢ与圆相切于点Ｂ，ＡＢ＝ ６，点Ｐ是圆上任意一点，则ＡＰ的最小值为 ． ６．如图５，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，⊙Ｏ是 △ＡＢＣ的外 接圆．过点Ａ作ＡＤ∥ＢＣ，判断ＡＤ与⊙Ｏ的位置关系， 并证明． ７．如图６，⊙Ｏ与边长为ａ的等边△ＡＢＣ的边ＡＣ， ＡＢ分别交于点Ｄ，Ｅ，ＡＥ是直径，过点Ｄ作ＤＦ⊥ＢＣ于 点Ｆ． （１）求证：ＤＦ是⊙Ｏ的切线； （２）连接ＥＦ，当ＥＦ是⊙Ｏ的切线时，求⊙Ｏ的半 径ｒ． ３．４直线与圆的位置关系（第二课时） １．如图１，ＰＡ，ＰＢ分别切圆Ｏ于Ａ，Ｂ两点，ＰＡ＝５， 则ＰＢ的长为 （　　） Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７ ２．如图２，ＡＢ，ＡＣ，ＢＤ是 ⊙Ｏ的切线，切点分别为 Ｐ，Ｃ，Ｄ，若ＡＢ＝４，ＡＣ＝３，则ＢＤ的长是 （　　） Ａ．２．５ Ｂ．２ Ｃ．１．５ Ｄ．１ ３．如图３，以正方形 ＡＢＣＤ的 ＡＢ边为直径作半圆 Ｏ，过点 Ｃ作直线切半圆于点 Ｆ，交 ＡＤ边于点 Ｅ，若 △ＣＤＥ的周长为 １２，则直角梯形 ＡＢＣＥ的周长为 ． ４．如图４，ＰＡ与⊙Ｏ相切于点Ａ，ＰＯ交⊙Ｏ于点Ｂ， 点Ｃ在ＰＡ上，且ＣＢ＝ＣＡ．若ＯＡ＝５，ＰＡ＝１２，则ＣＡ的 长为 ． ５．如图 ５，ＰＡ，ＰＢ是 ⊙Ｏ的切 线，Ａ，Ｂ为切点，点Ｃ，Ｄ在⊙Ｏ上． 若∠ＰＡＤ＋∠Ｃ＝２２０°，则∠Ｐ的度 数为 °． ６．如图６，Ｐ是 ⊙Ｏ外的一点， ＰＡ，ＰＢ分别与⊙Ｏ相切于点Ａ，Ｂ，Ｃ 是 ) ＡＢ上的任意一点，过点 Ｃ的切线 分别交ＰＡ，ＰＢ于点Ｄ，Ｅ． （１）若ＰＡ＝４，求△ＰＥＤ的周长； （２）若∠Ｐ＝６０°，求∠ＡＦＢ的度数． ７．如图７，ＰＡ，ＰＢ，ＣＤ是⊙Ｏ的切线，点Ａ，Ｂ，Ｅ为切 点． （１）如果△ＰＣＤ的周长为１０，求ＰＡ的长； （２）如果∠Ｐ＝４０°， ①求∠ＣＯＤ的度数； ②连接ＡＥ，ＢＥ，求∠ＡＥＢ的度数． ３．５三角形的内切圆 １．三角形的内心是三角形的 （　　） Ａ．三条角平分线的交点 Ｂ．三条中线的交点 Ｃ．三条高的交点 Ｄ．三边垂直平分线的交点 ２．如图１，⊙Ｏ是△ＡＢＣ的内切圆，若∠Ａ＝７０°，则 ∠ＢＯＣ＝ （　　） Ａ．１２５° Ｂ．１１５° Ｃ．１００° Ｄ．１３０° ３．如图２，点Ｉ为△ＡＢＣ的内切圆的圆心，连接 ＢＩ 并延长，交△ＡＢＣ的外接圆于点 Ｄ，连接 ＡＤ，ＡＩ，若 ＢＤ ＝７，ＡＤ＝５，则ＢＩ的长为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．２．５ Ｄ．３．５ ４．如图３，⊙Ｏ的直径ＡＢ为１０ｃｍ，弦ＢＣ为８ｃｍ， ∠ＡＣＢ的平分线交⊙Ｏ于点Ｄ，则△ＡＤＢ的内切圆半径 是 ｃｍ． ５．如图４，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，点Ｐ是△ＡＢＣ的 内心，连接ＢＰ，ＡＰ，延长ＡＰ交ＢＣ于点Ｄ，若ＢＤ＝５，ＣＤ ＝３，则ＢＰ的长为 ． ６．如图５，已知⊙Ｏ是△ＡＢＣ的内切圆，切点分别 为Ｄ，Ｅ，Ｆ．若ＡＢ＝６，ＡＣ＝４，ＢＣ＝８，求ＣＥ的长． 如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ与∠ＡＢＣ的角 平分线相交于点Ｅ，ＡＥ的延长线交 △ＡＢＣ的外接圆于 点Ｄ，连接ＢＤ． （１）求证：∠ＢＡＤ＝∠ＤＢＣ； （２）求证：点Ｂ，Ｅ，Ｃ在以点 Ｄ为圆心的同一个圆 上； （３）若ＡＢ＝５，ＢＣ＝８，求△ＡＢＣ内心与外心之间 的距离 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．如图１，若⊙Ｏ的半径为６，圆心Ｏ到一条直线的 距离为３，则这条直线可能是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｌ１ Ｂ．ｌ２ Ｃ．ｌ３ Ｄ．ｌ４ ２．如图２，⊙Ｏ的直径ＡＥ的延长线与过点Ｂ的切线 ＢＤ相交于点Ｄ，点Ｃ为⊙Ｏ上一点，且∠ＢＣＥ＝２５°，则 ∠Ｄ的度数是 （　　） Ａ．６０° Ｂ．５０° Ｃ．４０° Ｄ．３０° ３．如图３，ＰＡ，ＰＢ切⊙Ｏ于Ａ，Ｂ两点，ＣＤ切⊙Ｏ于 点Ｅ，交ＰＡ，ＰＢ于点Ｃ，Ｄ．若△ＰＣＤ的周长等于３，则ＰＡ 的值是 （　　） Ａ．３２ Ｂ． ２ ３ Ｃ． １ ２ Ｄ． ３ ４ ４．如图４，已知⊙Ｏ的半径为５，直线ＡＢ经过⊙Ｏ上 一点Ｐ，下列条件不能判定直线ＡＢ与⊙Ｏ相切的是 （　　） Ａ．ＯＰ＝４ Ｂ．∠ＡＰＯ＝∠ＢＰＯ Ｃ．点Ｏ到直线ＡＢ的距离是５ Ｄ．ＯＰ⊥ＡＢ ５．如图５，在△ＡＢＣ中，点Ｉ为三角形 的内心，若∠Ａ为５０°，则∠ＢＩＣ的度数为 （　　） Ａ．６５° Ｂ．７０° Ｃ．１１５° Ｄ．１２５° ６．如图６，ＰＡ，ＰＢ分别与 ⊙Ｏ相切于点 Ａ，Ｂ，连接 ＰＯ并延长与⊙Ｏ交于点 Ｃ，Ｄ，若 ＣＤ＝１２，ＰＡ＝８，则 ｓｉｎ∠ＡＤＢ的值为 （　　） Ａ．４５ Ｂ． ３ ５ Ｃ． ３ ４ Ｄ． ４ ３ ７．如图７，⊙Ｏ是△ＡＢＣ的内切圆，切点分别为 Ｄ， Ｅ，Ｆ，且∠Ａ＝９０°，ＡＢ＝５，ＢＣ＝１３，则⊙Ｏ的半径是 （　　） 槡 槡Ａ．１ Ｂ．３ Ｃ．２ Ｄ．２３ ８．如图 ８，在 △ＡＯＢ中， ∠ＡＯＢ＝９０°，ＯＢ＝３，半径为 １的⊙Ｏ与ＯＢ交于点Ｃ，且ＡＢ 与⊙Ｏ相切，过点Ｃ作ＣＤ⊥ ＯＢ交ＡＢ于点Ｄ，点Ｍ是边ＯＡ 上的动点，则 △ＭＣＤ周长的 最小值为 （　　） 槡Ａ．２２ Ｂ．槡 槡 ６＋ ２ ２ 槡Ｃ．２＋ ５ ３ Ｄ． 槡５２ ３ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．如图９，ＰＡ，ＰＢ是 ⊙Ｏ的两条切线，Ａ，Ｂ是切点， 若∠ＡＰＢ＝６０°，ＰＯ＝２，则⊙Ｏ的半径等于 ． １０．如图１０，ＰＢ切⊙Ｏ于点Ｂ，ＰＯ交⊙Ｏ于点Ａ，若 ＰＡ＝１，ＰＢ＝２，则⊙Ｏ的半径为 ． １１．如图１１，⊙Ｏ是△ＡＢＣ的内切圆，切点分别为Ｄ， Ｆ，Ｇ，∠Ｂ ＝６５°，∠Ｃ ＝４５°，则 ∠ＤＧＦ的度数是 ． １２．如图１２，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝４，ＢＣ＝ ３．⊙Ｏ是△ＡＢＣ的内切圆，分别与ＡＣ，ＢＣ，ＡＢ相切于点 Ｄ，Ｅ，Ｆ，则圆心Ｏ到顶点Ａ的距离是 ． １３．如图１３，⊙Ｏ是 △ＡＢＣ的内切 圆，切点分别为 Ｄ，Ｅ，Ｆ，已知 ∠Ａ＝ ４０°，连接ＯＢ，ＯＣ，ＤＥ，ＥＦ，则∠ＤＥＦ＝ ． １４．在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１３， ＢＣ＝２４，点Ｄ为△ＡＢＣ的对称轴上一 动点，过点Ｄ作⊙Ｏ与ＢＣ相切，点Ｏ在 △ＡＢＣ的对称轴上，ＢＤ与⊙Ｏ相交于点Ｅ，那么ＡＥ的最 大值为 ． 三、耐心解一解（共４４分） １５．（１０分）如图１４，在 △ＡＢＣ中，以 ＡＢ为直径的 ⊙Ｏ交ＡＣ于点Ｍ，弦ＭＮ∥ＢＣ交ＡＢ于点Ｅ，且ＭＥ＝３， ＡＥ＝４，ＡＭ ＝５． （１）求证：ＢＣ是⊙Ｏ的切线； （２）求⊙Ｏ的半径． １６．（１０分）如图１５，点Ｅ是△ＡＢＣ的内心，ＡＥ的延 长线交△ＡＢＣ的外接圆于点Ｄ． （１）ＢＤ与ＤＥ相等吗？为什么？ （２）若∠ＢＡＣ＝９０°，ＤＥ＝２，求△ＡＢＣ外接圆的半 径． １７．（１２分）如图１６，⊙Ｏ是△ＡＢＣ的外接圆，ＡＢ是 ⊙Ｏ的直径，过点Ｏ作ＯＤ⊥ＡＣ于点Ｅ，延长ＯＥ至点Ｄ， 连接ＣＤ，使得∠Ｄ＝∠Ａ． （１）求证：ＣＤ是⊙Ｏ的切线； （２）若ＡＢ＝ＣＤ＝ 槡２５，求ＡＣ的长． １８．（１２分）如图１７，△ＡＢＣ内接于以 ＡＢ为直径的 ⊙Ｏ中，且点Ｅ是△ＡＢＣ的内心，ＡＥ的延长线与ＢＣ交于 点Ｆ，与⊙Ｏ交于点Ｄ，⊙Ｏ的切线ＰＤ交ＡＢ的延长线于 点Ｐ． （１）试判断△ＢＤＥ的形状，并给予证明； （２）若∠ＡＰＤ＝３０°，ＢＥ＝２，求ＡＥ的长                                                                                                                                                                 ． 书 ∠ＯＦＥ＝∠ＯＢＥ，因为 ＯＢ＝ＯＤ，所以 ∠ＯＢＥ ＝∠ＯＤＥ，所以 ∠ＯＦＥ ＝∠ＯＤＥ． （２）因为 ＡＢ是直 径，所以 ∠ＡＦＢ＝９０°， 因为 ＥＦ⊥ ＢＥ，所以 ∠ＢＥＦ＝９０°，因为 ＥＦ ＝ＥＢ，所以 ∠ＥＦＢ＝ ∠ＦＢＥ ＝ ４５°，所 以 ∠ＥＦＡ ＝ ∠ＥＦＢ ＝ ４５°．由（１）得△ＯＥＦ≌ △ＯＥＢ，所以 ∠ＯＥＦ＝ ∠ＯＥＢ ＝ ４５°，所 以 ∠ＡＦＥ ＝ ∠ＯＥＦ ＝ ４５°，所以 ＡＦ∥ ＯＥ，因 为∠ＯＦＥ＝∠ＯＤＥ，所 以 ∠ＦＯＨ＝∠ＤＥＦ＝ ９０°，因为 ＯＤ⊥ ＡＣ，所 以 ∠ＡＨＯ＝∠ＡＨＤ＝ ９０°，所以 ＦＯ∥ ＡＥ，所 以四边形ＡＥＯＦ是平行 四边形，所以 ＯＦ＝ＡＥ ＝５，ＡＦ＝ＯＥ，因为ＥＨ ＝１，所以 ＡＨ＝ＡＥ－ ＥＨ ＝４，所以 ＯＨ ＝ ＡＯ２－ＡＨ槡 ２ ＝ ５２－４槡 ２ ＝３，所以ＯＥ ＝ ＯＨ２＋ＥＨ槡 ２ ＝ ３２＋１槡 ２ ＝槡１０，所以 ＡＦ＝ＯＥ＝槡１０． 上期４版 重点集训营 １．Ｃ；　２．Ｄ； ３．槡７． ４．证明：（１）因为 ＡＤ平分 ∠ＣＡＧ，所以 ∠ＧＡＤ＝∠ＤＡＣ．因为 ∠ＦＡＢ＝∠ＧＡＤ，所以 ∠ＦＡＢ＝∠ＤＡＣ．因为 ) ) ＣＤ＝ＣＤ，所以 ∠ＤＡＣ ＝∠ＤＢＣ，所以 ∠ＦＡＢ ＝∠ＤＢＣ．因为四边形 ＡＢＣＤ是圆内接四边 形， 所 以 ∠ＦＡＢ ＝ ∠ＤＣＢ，所以 ∠ＤＢＣ＝ ∠ＤＣＢ，所以ＤＢ＝ＤＣ． （２）因为 ＡＣ是直 径， 所 以 ∠ＡＤＣ ＝ ∠ＡＢＣ ＝ ９０°， 所 以 ∠ＡＢＦ＝９０°，因为∠Ｆ ＝∠Ｆ，所以 △ＦＡＢ∽ △ＦＣＤ． !"#$ ! %& !" #$ %& '(")*+,- ./0123"45 # !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ 6789:;<70= $ 4 %&'( ! 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