第5期 2.1～2.3（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（青岛版）

书 ３期２版 １．２怎样判定三角形相似（第五课时） 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｂ；　３．６；　４．１２；　５．（１０＋槡３）． 能力提高　６．因为小华影子的顶端Ｅ与旗杆ＣＤ的影子顶 端重合，所以点Ｅ，Ａ，Ｃ在同一条直线上．连接ＡＣ，过点Ｍ作ＭＦ ⊥ＣＤ于点Ｆ，所以四边形ＭＮＤＦ为矩形，所以ＦＭ＝ＤＮ，ＤＦ＝ ＭＮ＝ＡＢ＝１．８米．因为∠ＣＭＦ＝４５°，所以ＣＦ＝ＦＭ＝ＤＮ． 设ＣＤ＝ｘ米，则ＣＦ＝ＦＭ＝ＤＮ＝ＣＤ－ＤＦ＝（ｘ－１．８）米， 由题意可知ＢＮ＝１５．２米，所以ＢＤ＝ＢＮ－ＤＮ＝１５．２－（ｘ－ １．８）＝（１７－ｘ）米，所以ＤＥ＝ＢＤ＋ＢＥ＝（１９－ｘ）米．因为 ＡＢ∥ ＣＤ，所以 △ＣＤＥ∽ △ＡＢＥ，所以ＣＤＡＢ ＝ ＤＥ ＢＥ，即 ｘ １．８＝ １９－ｘ ２ ，解得ｘ＝９． 答：旗杆ＣＤ的高度为９米． １．３相似三角形的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ；　３．Ａ；　４．４０９；　５．１６． 能力提高 　６．（１）证明：因为 ＡＢ∥ ＤＣ，所以 ∠ＡＢＤ＝ ∠ＢＤＣ，∠ＡＢＣ＋∠Ｃ＝１８０°．因为∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＢ＝１８０°，所 以∠Ｃ＝∠ＡＤＢ，所以△ＡＢＤ∽△ＢＤＣ． （２）Ｓ△ＢＤＣ的值为１２． １．４图形的位似 基础训练　１．Ｄ；　２．Ａ；　３．Ｄ；　４．１∶３；　５．４∶９． ６．（１）图略．　（２）图略． （３）点Ａ２的坐标为（３，６），△ＡＢＣ与△Ａ２Ｂ２Ｃ２的周长比是 １∶２． ３期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ｂ Ｂ Ａ Ｃ 二、９．１∶４；　１０．５．３；　１１．１１６；　１２．８０．８； １３．（－９，－２）或（３，２）；　１４．３４． 三、１５．图略． １６．过点Ｅ作ＥＧ⊥ＡＢ于点Ｇ，交ＣＤ于点Ｈ．由题意得ＢＤ ＝３６，ＣＤ＝３，ＥＦ＝１．５，ＤＦ＝４．５．则ＢＧ＝ＤＨ＝ＥＦ＝１．５， ＧＨ＝ＢＤ＝３６，ＨＥ＝ＤＦ＝４．５，因为∠ＡＧＥ＝∠ＣＨＥ，∠ＡＥＧ ＝∠ＣＥＨ，所以△ＥＣＨ∽△ＥＡＧ，所以ＣＨＡＧ＝ ＥＨ ＥＧ，即 ３－１．５ ＡＧ ＝ ４．５ ３６＋４．５，所以ＡＧ＝１３．５，ＡＢ＝ＡＧ＋ＢＧ＝１５．所以假山的高 ＡＢ为１５米． １７．（１）证明：因为ＡＤ·ＡＣ＝ＡＥ·ＡＢ，所以ＡＤＡＢ＝ ＡＥ ＡＣ．因为 ∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＣ，所以△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ． （２）ＡＦ的值为 ５２． １８．（１）等腰三角形ＡＢＣ的面积为１２００ｃｍ２． （２）过Ｂ作ＢＭ⊥ＡＣ交ＦＧ于Ｎ，交ＡＣ于Ｍ，则Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＣ·ＢＭ＝１２００，因为ＡＣ＝５０ｃｍ，所以ＢＭ＝４８ｃｍ．因为 四边形ＤＥＦＧ是正方形，所以 ＦＧ∥ ＤＥ，所以 ＢＮ⊥ ＦＧ，所以 ∠ＢＧＦ＝∠Ｃ，∠ＢＦＧ＝∠Ａ，所以△ＢＦＧ∽△ＢＡＣ，所以ＦＧＡＣ＝ ＢＮ ＢＭ，所以 ＦＧ ５０＝ ４８－ＦＧ ４８ ，所以ＦＧ＝ １２００ ４９，所以正方形ＤＥＦＧ的 边长为 １２００ ４９ ｃｍ． 附加题　（１）证明：因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＡＤ∥ ＢＣ，所以 ∠ＡＤＧ＝∠ＥＢＧ，∠ＤＡＧ＝∠ＢＥＧ，所以 △ＡＤＧ∽ △ＥＢＧ，所以ＤＧＢＧ＝ ＡＧ ＥＧ．因为ＡＤ＝ＢＣ，延长ＢＣ到点Ｅ，使ＣＥ＝ ＢＣ，所以ＡＤ∥ＣＥ，ＡＤ＝ＣＥ，所以四边形ＡＣＥＤ是平行四边形， 所以ＡＣ∥ＤＥ，所以 ∠ＡＦＧ＝∠ＥＤＧ，∠ＦＡＧ＝∠ＤＥＧ，所以 △ＡＧＦ∽△ＥＧＤ，所以ＡＧＥＧ＝ ＦＧ ＤＧ，所以 ＤＧ ＢＧ＝ ＦＧ ＤＧ，所以 ＤＧ ２ ＝ ＦＧ·ＢＧ． （２）因为四边形ＡＣＥＤ为平行四边形，ＡＥ，ＣＤ相交于点Ｈ， 所以ＤＨ＝１２ＤＣ＝ １ ２ＡＢ＝７，ＡＤ＝ＣＥ＝２４．在Ｒｔ△ＡＤＨ中， ＡＨ２＝ＡＤ２＋ＤＨ２，所以ＡＨ＝ ７２＋２４槡 ２ ＝２５，所以ＡＥ＝５０． 因为△ＡＤＧ∽△ＥＢＧ，所以ＡＧＥＧ＝ ＡＤ ＢＥ＝ １ ２，所以ＡＧ＝ １ ２ＧＥ， 所以ＡＧ＝ １３ＡＥ＝ ５０ ３，所以ＧＨ＝ＡＨ－ＡＧ＝ ２５ ３． ３期４版 重点集训营 １．Ｃ；　２．１３７； ３．（１）ＰＦ的长为５． （２）①当点Ｑ在线段ＣＤ上时，过点Ｅ作ＥＧ⊥ＢＣ于点Ｇ， 则∠ＥＧＦ＝９０°． 易证得△ＥＧＦ∽△ＦＣＱ，所以ＥＧＦＣ＝ ＧＦ ＱＣ，即 ３ ４ ＝ ４－ｘ ＱＣ，所 以ＱＣ＝ ４３（４－ｘ），所以ｙ＝ １ ２ＱＣ·ＦＣ＝ １ ２ × ４ ３（４－ｘ） ×４＝ ８３（４－ｘ）； ②当点Ｑ在线段ＣＤ的延长线上时，过点Ｐ作ＰＨ⊥ＢＣ于 点Ｈ，过点Ｅ作ＥＧ⊥ＢＣ于点Ｇ，易证得△ＥＧＦ∽△ＦＨＰ，所以 ＥＧ ＦＨ＝ ＧＦ ＰＨ，即 ３ ＦＨ＝ ４－ｘ ３ ，所以ＦＨ＝ ９ ４－ｘ，所以ＣＨ＝ＰＤ＝ＣＦ －ＦＨ＝４－ ９４－ｘ，所以ｙ＝ １ ２ＦＨ·ＰＨ＋ＣＨ·ＣＤ＝ １ ２× ９ ４－ｘ ×３＋（４－ ９４－ｘ）×３＝１２－ ２７ ８－２ｘ． 综上，ｙ与ｘ的函数关系式为 ｙ＝ ８３（４－ｘ）或 ｙ＝１２－ ２７ ８－２ｘ． 书 一、求三角函数值 例１　ｔａｎ４５°的值等于 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ａ．２ Ｂ．１ Ｃ．槡２２ Ｄ． 槡３ ３ 解：ｔａｎ４５°＝１．故选 Ｂ． 二、求角度 例２　在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，若ｃｏｓＡ＝１２，则 ∠Ａ的大小是 （　　） Ａ．３０° Ｂ．４０° Ｃ．６０° Ｄ．７５° 解：因为ｃｏｓＡ＝ １２，∠Ａ是Ｒｔ△ＡＢＣ的内角，所以 ∠Ａ＝６０°．故选Ｃ． 例３　在△ＡＢＣ中，∠Ｃ，∠Ｂ为锐角，且满足｜ｓｉｎＣ －槡２２｜＋（ 槡３ ２－ｃｏｓＢ） ２ ＝０，则∠Ａ的度数为 （　　） Ａ．１００° Ｂ．１０５° Ｃ．９０° Ｄ．６０° 解：因为 ｜ｓｉｎＣ－槡２２｜＋（ 槡３ ２ －ｃｏｓＢ） ２ ＝０，所以 ｓｉｎＣ－槡２２ ＝０， 槡３ ２－ｃｏｓＢ＝０， 则ｓｉｎＣ＝槡２２，ｃｏｓＢ＝ 槡３ ２，故∠Ｃ＝４５°，∠Ｂ＝３０°， 所以∠Ａ＝１８０°－４５°－３０°＝１０５°．故选Ｂ． 三、计算 例４　计算：３０－（１２） －２ｓｉｎ３０°＋槡８ｃｏｓ４５°． 解：原式 ＝１－４×１２＋ 槡２２× 槡２ ２ ＝１． 四、求边长 例５　 如图，在 △ＡＢＣ中， ∠ＡＢＣ＝９０°，∠Ａ＝３０°，Ｄ是边 ＡＢ上一点，∠ＢＤＣ＝４５°，ＡＤ＝ ４，求ＢＣ的长（结果保留根号）． 解：因为 ∠ＡＢＣ＝９０°，∠ＢＤＣ＝４５°，所以 △ＢＣＤ 为等腰直角三角形，所以 ＢＤ ＝ＢＣ．在 Ｒｔ△ＡＢＣ中， ｔａｎ∠Ａ＝ｔａｎ３０°＝ＢＣＡＢ，即 ＢＣ ＢＣ＋４＝ 槡３ ３，解得ＢＣ＝２（槡３ ＋１）．所以ＢＣ的长为２（槡３＋１）． 【对应练习见《重点集训营》】 书 ４期参考答案 一、１．Ｃ；　２．Ｂ； ３．Ｃ；　４．Ｃ；　５．Ｂ； ６．Ｃ；　７．Ｄ；　８．Ｂ． 二、９．２００；　１０．９； １１．１６３；　１２．（１，２）； １３．１；　１４． 槡１６２５ 或槡２． 三、１５．相似比为 ３２， ∠Ｄ′＝４８°，ＣＤ＝１５． １６．边ＡＤ的长为１． １７．（１）图略． （２）图略．点 Ｂ２的坐 标为（１０，４）． １８．（１）略． （２）ＡＤ＝１５２． １９．设 ＢＤ ＝ｘｍ，则 ＢＣ＝ＢＤ＋ＤＧ＋ＣＧ＝ｘ＋ ２６－２＋４＝（ｘ＋２８）ｍ，因 为ＡＢ⊥ ＢＣ，ＥＦ⊥ ＢＣ，所 以ＡＢ∥ＥＦ，所以△ＡＢＤ∽ △ＦＥＤ，所以ＥＦＡＢ＝ ＤＥ ＢＤ，即 １．５ ＡＢ ＝ ２ ｘ． 同 理 可 证 △ＡＢＣ∽ △ＨＧＣ，所以ＧＨＡＢ ＝ＣＧＢＣ，即 １．５ ＡＢ ＝ ４ ｘ＋２８，所 以 ２ ｘ ＝ ４ ｘ＋２８，解得 ｘ＝ ２８．经检验，ｘ＝２８是原方 程的解，所以 １．５ ＡＢ ＝ ２ ２８，所 以ＡＢ＝２１ｍ，所以该古建 筑ＡＢ的高度为２１ｍ． ２０．（１）证明：因为 △ＡＢＣ是等边三角形，所 以 ＡＢ ＝ ＢＣ，∠ＡＢＤ ＝ ∠ＢＣＥ．因为 ＢＤ＝ＣＥ，所 以 △ＡＢＤ≌ △ＢＣＥ，所以 ∠ＢＡＤ＝∠ＣＢＥ．又因为 ∠ＡＢＣ ＝ ∠ＢＡＣ， 所 以 ∠ＡＢＥ＝∠ＥＡＦ．又因为 ∠ＡＥＦ ＝ ∠ＢＥＡ， 所 以 △ＡＥＦ∽△ＢＥＡ． （２）因为 ∠ＢＡＤ ＝ ∠ＣＢＥ，∠ＢＤＡ＝∠ＦＤＢ， 所以 △ＡＢＤ∽ △ＢＦＤ，所 以 ＡＤ ＢＤ＝ ＢＤ ＤＦ，所以 ＢＤ ２ ＝ ＡＤ·ＤＦ＝（ＡＦ＋ＤＦ）·ＤＦ ＝８，所以ＢＤ＝ 槡２２． ２１．（１）证明：略． （２）因为ＥＤＣＤ＝ ２ ３，所 以 ＥＤ ＥＣ ＝ ２ ５．因为 ＤＦ∥ ＢＣ，所以△ＤＥＦ∽△ＣＥＢ， 所以 Ｓ△ＤＥＦ Ｓ△ＣＥＢ ＝（ＤＥＣＥ） ２ ＝ ４ ２５．同理可得 Ｓ△ＤＥＦ Ｓ△ＡＢＦ ＝ ４ ９．设 Ｓ△ＤＥＦ ＝４ｘ，则 Ｓ△ＡＢＦ ＝９ｘ，Ｓ四边形ＢＣＤＦ ＝ ２１ｘ，所以 Ｓ平行四边形ＡＢＣＤ ＝ ９ｘ＋２１ｘ＝３０ｘ，所以 Ｓ１ Ｓ２ ＝ 书 重点集训营 １．在直角三角形中，３０°角对的直角边是斜边的一 半．若ｓｉｎ（α＋２０°）＝ １２，则α的度数是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．４０° Ｂ．３０° Ｃ．２０° Ｄ．１０° ２．已知在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ｔａｎＡ＝槡３３，则 ∠Ｂ的度数是 （　　） Ａ．３０° Ｂ．４５° Ｃ．６０° Ｄ．７５° ３．已知２－槡３是关于ｘ的方程ｘ ２－４ｘ＋ｔａｎα＝０ 的一个实数根，则锐角α的度数为 ． ４．在△ＡＢＣ中，（２ｃｏｓＡ－槡２） ２＋｜１－ｔａｎＢ｜＝０， 则△ＡＢＣ的形状是 ． ５．如图，在等腰 △ＡＢＣ中，∠Ａ＝１２０°，ＡＢ＝ＡＣ， 若ＡＢ＝１，求ＢＣ的长． 辅助线周周练 １．如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＢＣ＝１０， ＡＣ＝２０，Ｄ为ＡＢ的中点，连接ＣＤ，将△ＢＣＤ沿ＣＤ翻 折得到△Ｂ′ＣＤ，Ｂ′Ｄ交ＡＣ于点Ｅ，则ＤＥＥＢ′＝ ． ２．如图２，ｓｉｎ∠Ｏ＝３５，长度为２的线段ＤＥ在射线 ＯＢ上滑动，点Ｃ在射线ＯＡ上，且ＯＣ＝５，△ＣＤＥ的两 个内角的角平分线相交于点Ｆ，过点Ｆ作ＦＧ⊥ＤＥ，垂 足为Ｇ，则ＦＧ的最大值为 ． 书 【提示】 １．过点Ｂ作ＢＨ⊥ＣＤ于点Ｈ，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＣＤ 于点Ｆ，由勾股定理可求ＡＢ的长，由锐角三角函数的 定义可求ＢＨ，ＣＨ，ＤＨ的长，由折叠的性质可得 ∠ＢＤＣ＝∠Ｂ′ＤＣ，Ｓ△ＢＣＤ＝Ｓ△ＤＣＢ′，利用锐角三角函 数可求得ＥＦ的长，根据面积关系即可求解． ２．连接ＣＦ，过点Ｆ作ＦＭ⊥ＣＤ于Ｍ，ＦＮ⊥ＥＣ于 Ｎ，过点Ｃ作ＣＨ⊥ＯＥ于Ｈ．根据正弦的定义求得ＣＨ 的长，利用面积法可得ＦＧ·（２＋ＥＣ＋ＣＤ）＝６，推出 当ＥＣ＋ＣＤ的值最小时，ＦＧ的值最大，过点Ｃ作ＣＫ ∥ＤＥ，使得ＣＫ＝ＤＥ＝２，作点Ｋ关于直线ＯＢ的对 称点Ｊ，连接ＣＪ交ＯＢ于Ｅ，连接ＫＪ交ＯＢ于Ｔ，连接 ＫＥ，此时ＣＥ＋ＣＤ的值最小，最小值为ＣＪ的长，在 Ｒｔ△ＪＫＣ中，利用勾股定理解出ＣＪ的长即可． 书 同学们在学习锐角三角函数的过程中，由于对锐 角三角函数的理解不够透彻，在解题时就会出现这样 或那样的错误．下面就容易出现的错误简单剖析如下． 一、对三角函数的实质理解不透 例１　 若把 Ｒｔ△ＡＢＣ的各边都扩大 ３倍得到 Ｒｔ△Ａ′Ｂ′Ｃ′，则∠Ａ，∠Ａ′的余弦值的关系是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｃｏｓＡ＝３ｃｏｓＡ′ Ｂ．３ｃｏｓＡ＝ｃｏｓＡ′ Ｃ．ｃｏｓＡ＝ｃｏｓＡ′ Ｄ．不能确定 错解：选Ａ或Ｂ． 诊断：在直角三角形中，锐角的余弦是该角的邻边 与斜边的比，三边都扩大３倍后对应边的比值不变．错 解没有真正理解这一实质，误把“无关”当“有关”． 正解： 二、错将“符号”当运算 例２　计算：ｃｏｓ６０°＋ｃｏｓ４５°． 错解：ｃｏｓ６０°＋ｃｏｓ４５°＝ｃｏｓ（６０°＋４５°）＝ｃｏｓ１０５°． 诊断：错因是对表示锐角三角函数的符号不理解， 误认为ｃｏｓＡ就是“ｃｏｓ”与“Ａ”的乘积，而乱用乘法分 配律．实际上ｃｏｓＡ是一个完整的符号，表示锐角Ａ的余 弦值． 正解： 三、忽视分类讨论 例３　在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＢＣ＝４，ＡＢ＝５，求ｓｉｎＡ的值． 错解：ｓｉｎＡ＝ＢＣＡＢ＝ ４ ５． 诊断：错解是受勾股数３，４，５这一思维定势的影 响，误认为ＡＢ是斜边而致错．事实上，题目未明确哪一 边是斜边，应分类讨论． 正解： 四、忽视锐角三角函数运用的前提 例４　已知ａ，ｂ，ｃ为△ＡＢＣ的三边，且ａ＝ｂ＝５， ｃ＝６，求ｃｏｓＢ，ｔａｎＢ的值． 错解：因为ａ＝ｂ＝５，ｃ＝６， 所以ｃｏｓＢ＝ ａｃ ＝ ５ ６，ｔａｎＢ＝ ｂ ａ ＝ ５ ５ ＝１． 诊断：锐角三角函数的运用，必须是在直角三角形 中，显然 △ＡＢＣ不是直角三角形，错解却以“斜”代 “直”．正确解法应把∠Ｂ放在直角三角形中． 正解： 书 一、利用网格求正弦值 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ 如图１，在边长为１ 的小正方形网格中，点 Ａ，Ｂ， Ｃ，Ｄ都在这些小正方形的顶 点上，ＡＢ，ＣＤ相交于点 Ｏ，则 ｓｉｎ∠ＢＯＤ＝ ． 解析：如图１，过点Ｃ作ＣＥ ∥ＡＢ，连接ＤＥ，则∠ＤＣＥ＝∠ＢＯＤ，由图易得∠１＝∠２ ＝∠３＝∠４＝４５°，所以∠ＣＥＤ＝∠２＋∠３＝９０°．因 为小正方形的边长为１，所以在Ｒｔ△ＣＤＥ中，ＤＥ＝ 槡２２， ＣＤ＝槡１０，所以ｓｉｎ∠ＤＣＥ＝ ＤＥ ＣＤ＝ 槡２５ ５，所以ｓｉｎ∠ＢＯＤ ＝ｓｉｎ∠ＤＣＥ＝ 槡２５５．故填 槡２５ ５． 二、利用网格求余弦值 例２　如图２，在４×４网格 正方形中，每个小正方形的边长 为１，顶点为格点，若△ＡＢＣ的顶 点均是格点，则 ｃｏｓ∠ＢＡＣ的值 是 （　　） Ａ．槡５５ 　　Ｂ． 槡１０ ５ Ｃ．槡２５５ 　　Ｄ． ４ ５ 解析：过点Ｃ作ＡＢ的垂线交ＡＢ于点Ｄ，因为每个小 正方形的边长为１，所以ＡＣ＝槡５，ＢＣ＝槡１０，ＡＢ＝５，设 ＡＤ＝ｘ，则ＢＤ＝５－ｘ，在Ｒｔ△ＡＣＤ中，由勾股定理，得 ＤＣ２＝ＡＣ２－ＡＤ２，在Ｒｔ△ＢＣＤ中，由勾股定理，得ＤＣ２＝ ＢＣ２－ＢＤ２，所以１０－（５－ｘ）２ ＝５－ｘ２，解得ｘ＝２，所 以ｃｏｓ∠ＢＡＣ＝ＡＤＡＣ＝ 槡２５ ５．故选Ｃ． 三、利用网格求正切值 例３　由４个形状相同， 大小相等的菱形组成如图３所 示的网格，菱形的顶点称为格 点，点Ａ，Ｂ，Ｃ都在格点上，∠Ｏ ＝６０°，则ｔａｎ∠ＡＢＣ＝ （　　） Ａ．１３ Ｂ． １ ２ Ｃ． 槡３ ３ Ｄ． 槡３ ２ 解析：连接ＡＤ，因为网格是有一个角为６０°的菱形， 所以△ＡＯＤ，△ＢＣＤ，△ＡＣＤ都是等边三角形，所以 ＡＤ ＝ＢＤ＝ＢＣ＝ＡＣ，所以四边形ＡＤＢＣ为菱形，且∠ＤＢＣ ＝６０°，所以∠ＡＢＤ＝∠ＡＢＣ＝３０°，所以 ｔａｎ∠ＡＢＣ＝ ｔａｎ３０°＝槡３３．故选Ｃ． 书 三角函数的求值问题是本章的基础问题，也是考试 中的常考题型，其类型多变，解法灵活，有一定的技巧 性．下面介绍常用的四种方法，供大家参考． 一、回归定义 例１　在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝６，ＢＣ＝２， 则ｃｏｓＡ的值为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ａ．３ Ｂ．１３ Ｃ． 槡１０ １０ Ｄ． 槡３ １０ １０ 解析：因为在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝６，ＢＣ＝ ２，所以ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝ 槡２ １０，所以ｃｏｓＡ＝ ＡＣ ＡＢ＝ 槡３ １０ １０ ．故选Ｄ． 二、巧设参数 例２　在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，如果ｔａｎＡ＝５１２，那 么ｃｏｓＡ＝ ． 解析：由ｔａｎＡ＝５１２，可设ＡＣ＝１２ｋ，ＢＣ＝５ｋ，所以 ＡＢ＝ （１２ｋ）２＋（５ｋ）槡 ２ ＝１３ｋ，所以ｃｏｓＡ＝ＡＣＡＢ＝ １２ｋ １３ｋ ＝１２１３．故填 １２ １３． 三、等角代换 例３　如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝８， ＢＣ＝６，ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｄ， 则ｔａｎ∠ＢＣＤ的值是 ． 解析：因为 ∠Ａ＋∠Ｂ ＝ ９０°，∠ＢＣＤ＋∠Ｂ＝９０°，所以 ∠Ａ＝∠ＢＣＤ，所以ｔａｎ∠ＢＣＤ＝ ｔａｎＡ＝ＢＣＡＣ＝ ６ ８ ＝ ３ ４．故填 ３ ４． 四、构造直角 例４　如图２，在正方形方格纸 中，每个小正方形的边长都相等，Ａ， Ｂ，Ｃ，Ｄ都在格点处，ＡＢ与 ＣＤ相交 于点Ｐ，则ｃｏｓ∠ＡＰＣ的值为 （　　） Ａ．槡３５ 　　　Ｂ． 槡２５ ５ Ｃ．２５ 　　　Ｄ． 槡５ ５ 解析：把ＡＢ向上平移一个单位到 ＤＥ，连接 ＣＥ，则 ＤＥ∥ＡＢ，所以∠ＡＰＣ＝∠ＥＤＣ．在△ＤＣＥ中，易求得ＥＣ ＝槡５，ＤＣ＝ 槡２５，ＤＥ＝５，所以ＥＣ ２＋ＤＣ２ ＝ＤＥ２，所以 △ＤＣＥ是直角三角形，且 ∠ＤＣＥ＝９０°，所以 ｃｏｓ∠ＡＰＣ ＝ｃｏｓ∠ＥＤＣ＝ＤＣＤＥ＝ 槡２５ ５．故选Ｂ． ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " #! !"#$ " $"% ! !"#$ !"# !$"%&'( )&*+,-.&/0 " 1 % ! !"#$ !"#$%&'" ()*+,-'. %&'()* 23#45678 !9/:;<"1( =>?@A+BC =>?ADEFGHIJK =>?ALMNOPQRSBT *U5VWXY% VZ[\]^ _`abcdY%ef[!"#$%&'&'(g)( & '( \]^ ) & '( hij ) # * +, kl^ ) & '( m n ) & '( o p -+./0, k q 12./0, krs *34/5, t u *3467( vwx iyz { | }~ €  ‚ƒ„ h…† €‡r ˆ w ‰Š ‹Œ] {Ž  h]‘ ’p& “”| • „ –—˜ i™š 80-+( t › 809:( i ™ ;<-+( œ =>-+, ž Ÿ ?@AB,  ¡¢ "45£¤£% "¥£Y% "WX©ª«[&,+-.+/'#/+0 "45¬­[=>®¯°±~²³´µ¶ -,/ f*U5V)&*+WX© "·¸W¹[&,&&&0 "±º©»5¼½[&,+-#+/'--/+ &,+-#+/'-/,'!H¾( "»¿[ÀÁ45±º©­ÂÃÄ_ÅÆ·ÇÈÉ( "·¸»¿¼½[---1+ "ÊËÌÍ»ÎÏ»ÐÑ» "45ÒÄ_Å®g±ÓÔDÕÖ×5 "ØÙNOÚÊÛf[-2&&&&2&&&--& "ØÙ©ª«[&,+-#+3'-/++ "45ÜÝÞßàHIáâPQRSÈãä±åæ³çèéêëFGì -- fÓíá$îPáïðñò7$ÀÁ45±º©­Âóô ! " # $ ! - ! # % " $ ! / # =ß õ ö !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! # ! " ! / ! , " # ! & $ $ " & # ! ! - 2 , / - ! $ Ø> ÷øù $ => úûn " $ ! # $ üÞ kÒý %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% # ! " & # ! $ ' ( ) " ! / # " "" ) $ ! ! - !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．２ｓｉｎ４５°的值为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 槡Ａ．２ Ｂ．１ Ｃ．槡 ３ ２ Ｄ． 槡２ ２ ２．已知在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ＝α，ＡＣ＝３， 那么ＡＢ的长等于 （　　） Ａ．３ｓｉｎα Ｂ．３ｃｏｓα Ｃ．３ｔａｎα Ｄ．３ｔａｎα ３．如图１，在平面直角坐标系中，点Ａ坐标为（４，３）， 那么ｔａｎα的值是 （　　） Ａ．４５ Ｂ． ３ ５ Ｃ． ４ ３ Ｄ． ３ ４ ４．如图２，在单位长度为１的网格中，△ＡＢＣ的三个 顶点均在格点上，则ｓｉｎ∠ＡＣＢ的值等于 （　　） Ａ． 槡２ １３１３ Ｂ． 槡３ １３ １３ Ｃ．槡２２５ Ｄ． 槡２ ５ ５．式子 ２ｘ＋ｔａｎ４５槡 °ｘ－ｔａｎ４５° 有意义的ｘ的取值范围是 （　　） Ａ．ｘ≥－１２且ｘ≠１ Ｂ．ｘ≠１ Ｃ．ｘ≥－１２ Ｄ．ｘ＞－ １ ２且ｘ≠１ ６．如图３，在△ＡＢＣ中，点Ｏ是角平分线ＡＤ，ＢＥ的 交点，若ＡＢ＝ＡＣ＝５，ＢＣ＝６，则ｔａｎ∠ＢＯＤ的值是 （　　） Ａ．１２ 槡Ｂ．２ Ｃ．５ Ｄ． 槡５ ５ ７．如图４，是嘉琪用带有刻度的直尺在数轴上作图 的方法，图中线段ａ与直尺垂直，线段ｂ与数轴垂直，则 点Ｄ表示的数是 （　　） Ａ．４５ Ｂ． ６ ５ Ｃ．２ Ｄ． ７ ５ ８．如图５，在正方形 ＡＢＣＤ中， Ｅ，Ｆ分别为边ＡＢ与ＡＤ上的点，连 接ＣＥ，ＢＦ，交点为Ｇ，且ＣＥ⊥ ＢＦ， 连接ＤＧ，若ＤＧ＝ＣＤ，则ｔａｎ∠ＤＧＦ 的值为 （　　） Ａ．３４ 　　　　Ｂ． １ ２ Ｃ．１４ 　　　　Ｄ． ２ ３ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．已知α为锐角，且槡３ｔａｎ（９０°－α）＝１，则α的度 数为 ． １０．在△ＡＢＣ中，如果ＡＢ＝ＡＣ＝７，ＢＣ＝１０，那么 ｃｏｓＢ的值是 ． １１．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，斜边ＡＢ上的中线是 ３ｃｍ，ｓｉｎＡ＝ １３，则Ｓ△ＡＢＣ ＝ ｃｍ ２． １２．如图６，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＣＢＡ＝９０°，以点Ａ为 圆心，适当长为半径画弧，分别交ＡＢ，ＡＣ于点Ｄ，Ｅ，再分 别以点Ｄ，Ｅ为圆心，大于 １２ＤＥ为半径画弧，两弧交于点 Ｆ，作射线ＡＦ交边ＢＣ于点Ｇ，若ＢＧ＝１，ＢＣ＝４，则ｃｏｓＣ 的值为 ． １３．如图７，矩形 ＡＢＣＤ的四个顶点分别在直线 ｌ３， ｌ４，ｌ２，ｌ１上．若直线ｌ１∥ｌ２∥ｌ３∥ｌ４且间距相等，ＡＢ＝４， ＢＣ＝２，则ｔａｎα的值为 ． １４．如图 ８，在菱形纸片 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，∠Ａ＝６０°， 将菱形纸片翻折，使点 Ａ落在 ＣＤ的中点Ｅ处，折痕为ＦＧ，点 Ｆ，Ｇ分别在边 ＡＢ，ＡＤ上，则 ｃｏｓ∠ＥＦＧ的值为 ． 三、耐心解一解（共４４分） １５．（１０分）计算： （１）ｔａｎ ２６０°＋２ｃｏｓ４５° ２ｓｉｎ２６０°－ｃｏｓ６０° ； （２）槡３ｔａｎ３０°＋槡 ２ ２ｃｏｓ４５°＋ｓｉｎ ２６０°·ｃｏｓ６０°． １６．（１０分）如图９，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝ ３，ＢＣ＝４，求ｓｉｎＡ，ｃｏｓＡ，ｔａｎＡ的值． １７．（１２分）如图１０，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１５， ｔａｎＡ＝ ４３．求： （１）Ｓ△ＡＢＣ； （２）∠Ｂ的余弦值． １８．（１２分）如图１１，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝１５０°，ＡＣ＝ ４，ｔａｎＢ＝ １８． （１）求ＢＣ的长； （２）利用此图形求ｔａｎ１５°的值（精确到０．１，参考数 据：槡２≈１．４１，槡３≈１．７３，槡５≈２．２４）                                                                                                                                                                 ． 书 ２．１锐角三角比（第一课时） １．在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝２５，ｓｉｎＢ＝３５，则 ＡＣ的长为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．９ Ｂ．１５ Ｃ．１８ Ｄ．１２ ２．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，若ＡＣ＝４，ＡＢ＝５，则 ｃｏｓＡ等于 （　　） Ａ．３４ Ｂ． ３ ５ Ｃ． ４ ５ Ｄ． ４ ３ ３．如图１，ＡＤ是△ＡＢＣ的高，若ＡＤ＝２ＣＤ，则ｓｉｎＣ ＝ （　　） Ａ．１２ Ｂ．２ Ｃ． 槡５ ５ Ｄ． 槡２５ ５ ４．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，若ｓｉｎＡ＝５１３，则ｃｏｓＡ 的值为 ． ５．如图２，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝８ｃｍ，ＡＢ 的垂直平分线ＭＮ交ＡＣ于点Ｄ，连接ＢＤ，若ｃｏｓ∠ＢＤＣ ＝ ３５，则ＢＣ的长为 ｃｍ． ６．如图３所示，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，Ｄ为ＢＣ上 一点，若∠ＡＤＣ＝４５°，ＢＤ＝２ＣＤ，求ｓｉｎ∠ＡＢＣ的值． ７．如图４，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ⊥ＡＣ于点Ｄ， 若ＡＣ＝１５，ｃｏｓＡ＝ ４５，求ＢＤ，ＣＤ的长． ２．１锐角三角比（第二课时） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝４，ｔａｎＢ＝２，则 ＡＣ的长为 （　　） Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８ ２．如图１所示，△ＡＢＣ的顶点是方形网格的格点， 则ｔａｎ∠ＡＢＣ的值为 （　　） Ａ．槡５１０ Ｂ． １ ４ Ｃ． １ ２ Ｄ． 槡５ ５ ３．如图２，在直角△ＡＢＣ中，ＣＤ是斜边ＡＢ上的高， ＡＤ＝４，ＢＤ＝９，则ＣＤ＝ ． ４．如图３，将矩形ＡＢＣＤ沿ＣＥ折叠，使得点Ｂ落在 ＡＤ边上的点 Ｆ处，若 ＣＢＣＤ ＝ ４ ３，则 ｔａｎ∠ＡＦＥ ＝ ． ５．如图４，在四边形ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０°，ＡＢ ＝３，ＢＣ＝２，ｔａｎＡ＝ ４３，则ＣＤ的值为 ． ６．如图５，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，Ｄ为ＢＣ的中 点，ＡＣ＝３，ｔａｎ∠ＣＤＡ＝ ３２．求ＡＢ的长． ２．２　３０°，４５°，６０°角的三角比 １．１２ｔａｎ６０°的值为 （　　） Ａ．１２ Ｂ． 槡３ ６ Ｃ． 槡３ ２ 槡Ｄ．３ ２．在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ｂ＝ １２∠Ａ，则 ｃｏｓＡ等于 （　　） Ａ．槡３２ Ｂ． １ ２ 槡Ｃ．３ Ｄ． 槡３ ３ ３．在平面直角坐标系中，点 Ａ（ｓｉｎ３０°，－ｃｏｓ６０°） 关于ｘ轴对称的点的坐标是 （　　） Ａ．（－１２，－ 槡３ ２） Ｂ．（ １ ２， １ ２） Ｃ．（１２， 槡３ ２） Ｄ．（－ １ ２，－ １ ２） ４．已知 △ＡＢＣ中，∠Ａ，∠Ｂ都是锐角，且（ｃｏｓＡ－ １ ２） ２＋｜ｔａｎＢ－１｜＝０，则∠Ｃ＝ 度． ５．已知 α为锐角，当 ２１－ｔａｎα 无意义时，ｔａｎ（α＋ １５°）－ｔａｎ（α－１５°）的值是 ． ６．在△ＡＢＣ中，ｔａｎＡ＝１，ｃｏｓＢ＝槡２２，则△ＡＢＣ是 三角形． ７．计算： （１）２ｓｉｎ３０°－ｔａｎ４５°＋ｃｏｓ２３０°； （２）槡２·ｃｏｓ４５°－ｓｉｎ３０°＋ｔａｎ ２６０°． ８．已知槡３２ ＜ｃｏｓＡ＜ｃｏｓＢ，且∠Ａ，∠Ｂ均为锐角， 求∠Ａ，∠Ｂ的取值范围． ２．３用计算器求锐角三角比 １．用计算器求ｓｉｎ２４°３７′的值，以下按键顺序正确 的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｓｉｎ２４ＤＭＳ３７ＤＭＳ ＝ Ｂ．ｓｉｎＤＭＳ２４ＤＭＳ３７ ＝ Ｃ．２ｎｄＦｓｉｎ２４ＤＭＳ３７ＤＭＳ ＝ Ｄ．ｓｉｎ２４ＤＭＳ３７ ＝ ２．已知ｓｉｎＡ＝０８９１７，运用科学计算器求锐角 Ａ 时，若要显示以“度”、“分”、“秒”为单位的结果，按下 的键是 （　　） Ａ．ｓｉｎ－１ Ｂ．２ｎｄＦ Ｃ．ＤＭＳ Ｄ．ａｂ／ｃ ３．用课本上介绍的科学计算器依次按键：４ｓｉｎ６ ０ ＝，显示的结果在哪两个相邻整数之间 （　　） Ａ．２～３ Ｂ．３～４ Ｃ．４～５ Ｄ．５～６ ４．运用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下： ４ · ５ － （ｓｉｎ４ ５ ） ｘ２ ＋槡１ ９ ＝，则计 算器显示的结果是 ． ５．在平面直角坐标系中，Ｏ是坐标原点，点 Ｐ是第 二象限内一点，连接ＯＰ．若ＯＰ与ｘ轴的负半轴之间的 夹角α＝５０°，ＯＰ＝１３５，则点 Ｐ到 ｘ轴的距离约为 （用科学计算器计算，结果精确到０．０１）． 定义：如果三角形某一边上的中线长恰好等于这 边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”． （１）如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ｔａｎＡ＝槡３２， 求证：△ＡＢＣ是“好玩三角形”； （２）如图２，若等腰△ＤＥＦ是“好玩三角形”，ＤＦ＝ ＥＦ，求腰和底边的比值 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 ４ｘ ３０ｘ＝ ２ １５． ２２．（１）证明：由题易 得△ＢＣＥ≌ △ＤＣＦ，所以 ∠ＥＢＣ ＝ ∠ＦＤＣ， 即 ∠ＥＢＣ ＝ ∠ＥＤＭ．因为 ∠ＤＥＭ ＝ ∠ＢＥＣ，所以 ∠ＢＣＥ＝∠ＤＭＥ＝９０°，即 ＢＭ⊥ＤＦ． （２）因为ＢＣ＝ＣＤ＝ ２，∠ＢＣＤ＝９０°，所以 ＢＤ ＝ 槡２２．又因为 ＢＥ平分 ∠ＤＢＣ交 ＤＦ于 Ｍ，ＢＭ⊥ ＤＦ，所以 ＢＤ＝ＢＦ，ＤＭ ＝ ＦＭ，所以ＣＦ＝ 槡２２－２．在 △ＢＭＦ 和 △ＤＭＥ 中， ∠ＭＢＦ＝∠ＭＤＥ，∠ＢＭＦ ＝∠ＤＭＥ ＝９０°，所以 △ＢＭＦ∽△ＤＭＥ，所以ＢＭＤＭ ＝ＭＦＭＥ，所以 ＢＭ ＤＭ ＝ ＤＭ ＭＥ，即 ＭＥ·ＭＢ＝ＭＤ２．因为ＤＣ２ ＋ＦＣ２ ＝（２ＤＭ）２，即２２＋ （槡２２－２）２＝４ＤＭ２，所以 ＤＭ２＝４－槡２２，即ＭＥ·ＭＢ ＝４－ 槡２２． ２３．（１）１２． （２）在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由 勾股定理得 ＢＣ＝６．① 当 点Ｐ在点Ｑ的左侧时，若点 Ｎ落在 ＡＣ上，因为 ＡＰ＝ ６ｔ，ＡＱ＝２＋２ｔ，所以ＰＱ＝ ２－４ｔ．因为四边形 ＰＱＭＮ 是正方形，所以 ＰＮ＝ＰＱ ＝２－４ｔ．因为 ∠ＡＰＮ ＝ ∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ａ＝∠Ａ， 所以 △ＡＰＮ∽ △ＡＣＢ，所 以 ＰＮ ＢＣ ＝ ＡＰ ＡＣ，即 ２－４ｔ ６ ＝ ６ｔ ８，解得ｔ＝ ４ １７．②当点Ｐ 在点Ｑ的右侧时，若点Ｎ落 在ＢＣ上，由题意得 ＢＰ＝ １０－６ｔ，ＰＮ＝ＰＱ＝４ｔ－２， 因为 ∠ＢＰＮ ＝∠ＢＣＡ＝ ９０°，∠Ｂ ＝ ∠Ｂ， 所 以 △ＢＰＮ∽ △ＢＣＡ，所以ＢＰＢＣ ＝ＰＮＡＣ，即 １０－６ｔ ６ ＝ ４ｔ－２ ８ ， 解得ｔ＝２３１８．由（１）得ｔ＝ １ ２时点Ｐ与点Ｑ重合，所 以 ４ １７＜ｔ＜ ２３ １８且ｔ≠ １ ２ 时 正 方 形 ＰＱＭＮ 在 Ｒｔ△ＡＢＣ内部． ２４．（１）证明：略． （２）证明：因为 ＦＢ＝ ＦＣ， 所 以 ∠ＥＢＤ ＝ ∠ＧＣＤ．因为 ∠ＢＤＥ ＝ ∠ＧＤＣ＝６０°，所以△ＥＢＤ ∽△ＧＣＤ，所以ＢＤＣＤ＝ ＤＥ ＤＧ， 所以ＤＥ·ＣＤ＝ＢＤ·ＤＧ． 由（１）知△ＥＡＤ≌△ＣＡＤ， 所以 ＤＥ＝ＣＤ，所以 ＤＥ２ ＝ＢＤ·ＤＧ． （３）在ＡＢ上取一点Ｆ 使ＡＦ＝ＡＤ，连接ＣＦ，易证 △ＡＦＣ≌ △ＡＤＣ，所以 ＣＦ ＝ＣＤ，∠ＡＣＦ ＝∠ＡＣＤ， ∠ＡＦＣ ＝ ∠ＡＤＣ．因 为 ∠ＡＣＦ＋∠ＢＣＦ＝∠ＡＣＢ ＝２∠ＡＣＤ，所以∠ＤＣＥ＝ ∠ＢＣＦ．因 为 ∠ＥＤＣ ＝ ∠ＦＢＣ，所 以 △ＤＣＥ∽ △ＢＣＦ，所以ＣＤＢＣ ＝ ＣＥ ＣＦ， ∠ＣＥＤ＝∠ＢＦＣ．因为 ＢＣ ＝５，ＣＦ＝ＣＤ＝ 槡２５，所以 ＣＥ＝４．因为 ∠ＡＥＤ ＝ １８０°－∠ＣＥＤ ＝１８０°－ ∠ＢＦＣ ＝ ∠ＡＦＣ ＝ ∠ＡＤＣ，∠ＥＡＤ ＝∠ＤＡＣ， 所以 △ＥＡＤ∽ △ＤＡＣ，所 以 ＡＥ ＡＤ ＝ ＡＤ ＡＣ．因为 ＡＤ ＝ ２ＡＥ，所以 ＡＥ２ＡＥ＝ ２ＡＥ ４＋ＡＥ， 所以ＡＥ＝ ４３，所以ＡＣ＝ ＣＥ＋ＡＥ＝４＋４３ ＝ １６ ３． !"#$ ! %& !" #$ %& '(")*+,- ./0123"45 # !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ 6789:;<70= $ 4 %&'( ! 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