第3期 1.3 相似三角形的性质 1.4 图形的位似（参考答案见5期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（青岛版）

书 【提示】 １．取ＡＢ的中点Ｓ，连接ＭＳ，ＰＳ，则ＰＳ－ＭＳ≤ ＰＭ≤ＭＳ＋ＰＳ，当Ｍ，Ｓ，Ｐ共线时，ＭＰ有最小值为ＰＳ －ＭＳ，根据△ＡＯＢ∽△ＤＯＣ，易证△ＣＯＢ∽△ＤＯＡ， 根据直角三角形斜边中线定理以及中位线定理即可 求出结果． ２．过点Ｆ作ＦＮ⊥ＤＥ于点Ｎ，延长ＤＥ交ＣＢ的 延长线于点Ｍ，先证△ＦＮＤ是等腰直角三角形，再证 明△ＥＡＤ≌△ＥＢＭ，最后再证△ＥＢＭ∽△ＦＮＭ，利 用对应边成比例求出ＢＭ，即可得到ＢＣ的长度． 书 １．如图１，Ｒｔ△ＡＯＢ∽Ｒｔ△ＤＯＣ，∠ＡＢＯ＝∠ＤＣＯ ＝３０°，∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ＝９０°，Ｍ为ＯＡ的中点，ＯＡ＝ ６，将△ＣＯＤ绕点Ｏ旋转一周，直线ＡＤ，ＣＢ交于点Ｐ，连 接ＭＰ，则ＭＰ的最小值是 ． ２．如图２，在矩形ＡＢＣＤ中，点 Ｅ，Ｆ分别是 ＡＢ，ＢＣ 上的点，ＢＥ＝３，ＣＤ＝６，∠ＦＥＤ＝３０°，∠ＦＤＥ＝４５°， 则ＢＣ的长度为 ． 书 １７．证明：（１）因为 ＡＣ平分 ∠ＤＡＢ，所以 ∠ＤＡＣ＝∠ＣＡＢ．因为 ∠ＡＤＣ ＝ ∠ＡＣＢ ＝ ９０°，所 以 △ＡＤＣ∽ △ＡＣＢ，所以ＡＤ∶ＡＣ＝ ＡＣ∶ＡＢ，所以 ＡＣ２ ＝ ＡＢ·ＡＤ． （２）因为 Ｅ为 ＡＢ 的中点，所以 ＣＥ＝ＢＥ ＝ＡＥ，所以 ∠ＥＡＣ＝ ∠ＥＣＡ．因为 ∠ＤＡＣ＝ ∠ＣＡＢ，所以 ∠ＤＡＣ＝ ∠ＥＣＡ．又因为 ∠ＡＦＤ ＝∠ＣＦＥ，所以 △ＡＦＤ ∽△ＣＦＥ． １８．（１）过点 Ａ作 ＡＧ∥ＢＣ，交ＢＥ延长线 于Ｇ，因为ＡＧ∥ＢＣ，所 以 ∠ＦＡＧ ＝ ∠ＦＤＢ， ∠ＦＧＡ＝∠ＦＢＤ，所以 △ＡＧＦ∽ △ＤＢＦ．因为 ＡＦ＝４ＤＦ，所以 ＡＧ＝ ４ＢＤ．因为 ＣＤ＝３ＢＤ， 所以ＢＤ＝ １４ＣＢ，所以 ＡＧ＝ＢＣ．又因为ＡＧ∥ ＢＣ， 所 以 ∠ＥＡＧ ＝ ∠ＥＣＢ，∠ＥＧＡ ＝ ∠ＥＢＣ，所以 △ＡＧＥ∽ △ＣＢＥ，所以ＡＥＥＣ＝ ＡＧ ＢＣ ＝１． （２）证明：因为ＢＤ２ ＝ＤＦ·ＡＤ，所以ＢＤＡＤ＝ ＤＦ ＢＤ． 因 为 ∠ＢＤＦ ＝ ∠ＡＤＢ，所以 △ＢＤＦ∽ △ＡＤＢ，所以 ∠ＢＡＤ ＝ ∠ＦＢＤ．又因为 ∠ＡＢＤ ＝∠ＡＣＢ，所以 △ＡＢＤ ∽ △ＢＣＥ，所以ＢＤＣＥ ＝ ＡＢ ＢＣ，所以ＣＥ·ＡＢ＝ＢＤ· ＢＣ．又因为ＡＢ＝ＡＣ，ＢＣ ＝ＢＤ＋ＣＤ＝４ＢＤ，所以 ＣＥ·ＡＣ＝ １４ＢＣ·ＢＣ， 书 上期２版 １．２怎样判定三角形相似（第二课时） 基础训练　１．Ｂ；　２．Ａ；　３．４；　４．４． ５．△ＡＰＣ与△ＰＢＤ相似，理由略． 能力提高　６．（１）证明：因为ＡＢ＝ＡＥ，所以∠ＡＢＥ ＝∠ＡＥＢ．因为 ＤＢ＝ＤＣ，所以 ∠ＤＢＣ＝∠Ｃ，所以 △ＢＦＥ∽△ＣＡＢ． （２）因为ＢＥＣＥ＝ ２ ３，设ＢＥ＝２ｘ，ＣＥ＝３ｘ，所以ＢＣ＝ ５ｘ．因为△ＢＦＥ∽△ＣＡＢ，ＡＢ＝５，所以ＢＥＢＣ＝ ＥＦ ＡＢ＝ ２ ５，所 以ＥＦ＝２５ＡＢ＝２．因为ＡＢ＝ＡＥ＝５，所以ＡＦ＝ＡＥ－ ＥＦ＝３． １．２怎样判定三角形相似（第三课时） 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ；　３．１２或２５３； ４．（１，４）或（３，４）． ５．证明略． 能力提高　６．证明：（１）因为ＡＦ２ ＝ＦＧ·ＦＥ，所以 ＡＦ ＦＧ＝ ＥＦ ＡＦ．因为∠ＡＦＧ＝∠ＥＦＡ，所以△ＦＡＧ∽△ＦＥＡ，所 以∠ＦＡＧ＝∠Ｅ．因为ＡＥ∥ＢＣ，所以∠Ｅ＝∠ＥＢＣ，所以 ∠ＥＢＣ＝∠ＦＡＧ．因为∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＧ，所以△ＣＡＤ∽ △ＣＢＧ． （２）因为 △ＣＡＤ∽ △ＣＢＧ，所以ＣＡＣＢ＝ ＣＤ ＣＧ．因为 ∠ＤＣＧ＝∠ＡＣＢ，所以△ＣＤＧ∽△ＣＡＢ，所以ＤＧＡＢ＝ ＣＧ ＣＢ． 因为ＡＥ∥ＢＣ，所以ＡＥＢＣ＝ ＡＧ ＧＣ，所以 ＡＧ ＡＥ＝ ＧＣ ＢＣ，所以 ＤＧ ＡＢ＝ ＡＧ ＡＥ，所以ＤＧ·ＡＥ＝ＡＢ·ＡＧ． １．２怎样判定三角形相似（第四课时） 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．６；　４．②与⑤． ５．证明：由Ａ，Ｂ，Ｃ三点的坐标可以得到ＯＡ＝３，ＯＢ ＝４，ＡＤ＝１，ＣＤ＝２，所以ＡＢ＝５，ＡＣ＝槡５，ＢＣ＝ 槡２５， 在△ＡＢＣ和△ＡＣＤ中，因为ＡＣＡＤ＝ 槡５ １ ＝槡５， ＢＣ ＣＤ＝ 槡２５ ２ ＝ 槡５， ＡＢ ＡＣ＝ ５ 槡５ ＝槡５，所以 ＡＣ ＡＤ＝ ＢＣ ＣＤ＝ ＡＢ ＡＣ，所以△ＡＢＣ∽ △ＡＣＤ． 能力提高 　６．相似．因为ＡＢＢＤ ＝ ＢＣ ＢＥ＝ ＣＡ ＥＤ，所以 △ＡＢＣ∽△ＤＢＥ，所以 ∠ＡＢＣ＝∠ＤＢＥ，所以 ∠ＡＢＣ－ ∠ＤＢＣ＝∠ＤＢＥ－∠ＤＢＣ，即∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＥ．因为ＡＢＢＤ ＝ＢＣＢＥ，所以 ＡＢ ＢＣ＝ ＢＤ ＢＥ，所以△ＡＢＤ∽△ＣＢＥ． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ａ Ｂ Ｄ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ 二、９．ＡＢＡＤ＝ ＡＣ ＡＥ（答案不惟一）；　１０．△ＭＣＢ； １１．丁；　１２．６．２；　１３．１６；　１４．４或７． 三、１５．相似．因为∠Ａ＝５０°，∠Ｂ＝６０°，所以∠Ｃ＝ １８０°－∠Ａ－∠Ｂ＝７０°．因为 ∠Ｃ′＝７０°，所以 ∠Ｃ＝ ∠Ｃ′＝７０°．因为 ∠Ｂ＝∠Ｂ′＝６０°，所以 △ＡＢＣ∽ △Ａ′Ｂ′Ｃ′． １６．（１）△ＢＣＤ∽△ＢＡＣ．理由：因为ＢＤ＝４３，ＡＢ＝ ３，ＢＣ＝２，所以ＢＤＢＣ＝ ４ ３ ２ ＝ ２ ３， ＢＣ ＢＡ＝ ２ ３，所以 ＢＤ ＢＣ＝ ＢＣ ＢＡ． 因为∠ＤＢＣ＝∠ＣＢＡ，所以△ＢＣＤ∽△ＢＡＣ． （２）因为△ＢＣＤ∽△ＢＡＣ，所以ＣＤＡＣ＝ ＢＣ ＢＡ，即 ５ ３ ＡＣ＝ ２ ３，所以ＡＣ＝ ５ ２． 书 １．如图１，等腰△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝５，ＢＣ＝８，点 Ｆ是边ＢＣ上不与点Ｂ，Ｃ重合的一个动点，直线ＤＥ垂直 平分ＢＦ，垂足为Ｄ．当△ＡＣＦ是直角三角形时，ＢＤ的长 为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２ Ｂ．７８ Ｃ．２或 ７ ８ Ｄ． １ ８ ２．（２０２３宁德期末）如图 ２，在边长为 ４的等边 △ＡＢＣ中，点Ｄ是ＡＢ边上一个动点，将△ＡＢＣ沿过点Ｄ 的直线折叠，使点Ａ落在ＢＣ边上的点Ｆ处，折痕交ＡＣ 于点Ｅ，当ＢＦ＝１，ＡＥ＝１３５时，则ＡＤ的长是 ． ３．如图３，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＢＣ＝８，Ｆ是 ＢＣ边上的中点，动点Ｅ在边ＡＤ上，连接ＥＦ，过点Ｆ作 ＦＰ⊥ＥＦ分别交射线ＡＤ，射线ＣＤ于点Ｐ，Ｑ． （１）当点Ｐ与点Ｑ重合时，求ＰＦ的长； （２）线段ＰＦ将矩形分成两个部分，设较小部分的 面积为ｙ，ＡＥ长为ｘ，求ｙ与ｘ的函数关系式． 书 一、利用相似求运动时间 例１　 如图 １，在 △ＡＢＣ中， ∠Ｂ＝９０°，ＡＢ ＝１２ｍｍ，ＢＣ ＝ ２４ｍｍ，动点Ｐ以２ｍｍ／ｓ的速度从 Ａ向Ｂ移动（不与Ｂ重合），动点Ｑ 以４ｍｍ／ｓ的速度从Ｂ向Ｃ移动（不 与Ｃ重合），若Ｐ，Ｑ同时出发，经过 ｓ后，△ＰＢＱ 与△ＡＢＣ相似． 解析：设 ｘｓ后 △ＰＢＱ与 △ＡＢＣ相似，则 ＡＰ＝ ２ｘｍｍ，ＰＢ＝（１２－２ｘ）ｍｍ，ＢＱ＝４ｘｍｍ，因为∠ＰＢＱ＝ ∠ＡＢＣ，所以当ＰＢＡＢ＝ ＢＱ ＢＣ时，△ＢＰＱ∽△ＢＡＣ，即 １２－２ｘ １２ ＝４ｘ２４，解得ｘ＝３；当 ＰＢ ＣＢ＝ ＢＱ ＡＢ时，△ＰＢＱ∽△ＣＢＡ，即 １２－２ｘ ２４ ＝ ４ｘ １２，解得ｘ＝ ６ ５．综上，经过３ｓ或 ６ ５ｓ后， △ＰＢＱ与△ＡＢＣ相似．故填３或 ６５． 二、利用相似求线段的长 例２　如图２，在△ＡＢＣ中， ＡＢ＝６，ＢＣ＝１２，点Ｐ是ＡＢ边 的中点，点 Ｑ是 ＢＣ边上一个动 点，当ＢＱ＝ 时，△ＢＰＱ 与△ＢＡＣ相似． 解析：因为ＡＢ＝６，ＢＣ＝１２，点Ｐ是ＡＢ边的中点，所 以ＢＰ＝３．因为∠ＰＢＱ＝∠ＡＢＣ，所以当ＢＰＡＢ＝ ＢＱ ＢＣ时， △ＢＰＱ∽△ＢＡＣ，所以３６＝ ＢＱ １２，解得ＢＱ＝６；当 ＢＰ ＢＣ＝ ＱＢ ＡＢ 时，△ＢＰＱ∽△ＢＣＡ，所以３１２＝ ＢＱ ６，解得ＢＱ＝ ３ ２．综上， 当ＢＱ＝３２或６时，△ＢＰＱ与△ＢＡＣ相似．故填 ３ ２或６． 三、利用相似求函数表达式 例３　（２０２３合肥月考）如 图３，Ｐ是矩形ＡＢＣＤ的一边ＢＡ 延长线上一点，Ｍ是ＡＤ上一动 点，连接ＰＭ与矩形ＡＢＣＤ的边 交于点 Ｎ，连接 ＢＭ，ＢＮ，若 ＡＢ ＝６，ＡＤ＝２ＡＰ＝４，△ＢＭＮ的面积为Ｓ，设ＤＭ＝ｘ，求 Ｓ与ｘ之间的函数关系． 解析：当点Ｎ在ＣＤ边上时，即０≤ｘ≤３时，因为ＡＢ ∥ＤＣ，所以△ＡＰＭ∽△ＤＮＭ，所以ＤＮＡＰ＝ ＤＭ ＡＭ，即 ＤＮ ２ ＝ ｘ ４－ｘ，解得ＤＮ＝ ２ｘ ４－ｘ，所以Ｓ＝Ｓ△ＰＮＢ－Ｓ△ＰＭＢ ＝ １ ２× ８×４－１２×８×（４－ｘ）＝４ｘ；当点Ｎ在ＢＣ边上时，即 ３＜ｘ≤４时，因为ＡＤ∥ＢＣ，所以△ＡＰＭ∽△ＢＰＮ，所 以 ＡＭ ＢＮ＝ ＰＡ ＰＢ＝ １ ４，所以ＢＮ＝４ＡＭ＝４（４－ｘ）＝１６－ ４ｘ，所以Ｓ＝Ｓ△ＰＢＮ －Ｓ△ＰＢＭ ＝ １ ２×８（１６－４ｘ）－ １ ２× ８（４－ｘ）＝－１２ｘ＋４８． 综上，Ｓ＝ ４ｘ（０≤ｘ≤３）， －１２ｘ＋４８（３＜ｘ≤４）{ ． 书 相似三角形的知识在日常生活中有着十分广泛的 应用，尤其是在测量高度和距离方面．现从试题中选取 三例解析如下，供同学们学习时参考． 例１　 如图 １，某零件的外径为 １０ｃｍ，用一个交叉卡钳（两条尺长 ＡＣ 和ＢＤ相等）可测量零件的内孔直径 ＡＢ．如果ＯＡ∶ＯＣ＝ＯＢ∶ＯＤ＝３，且量 得ＣＤ＝３ｃｍ，则零件的厚度ｘ为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．０．３ｃｍ Ｂ．０．５ｃｍ Ｃ．０．７ｃｍ 　　　Ｄ．１ｃｍ 分析：先证明 △ＡＯＢ和 △ＣＯＤ相似，利用相似三 角形对应边成比例列式计算求出 ＡＢ，再根据外径的长 度解答． 解：因为 ＯＡ∶ＯＣ ＝ＯＢ∶ＯＤ ＝３，∠ＡＯＢ ＝ ∠ＣＯＤ，所以△ＡＯＢ∽△ＣＯＤ，所以ＡＢ∶ＣＤ＝ＯＢ∶ＯＤ ＝３．因为 ＣＤ＝３ｃｍ，所以 ＡＢ∶３＝３，所以 ＡＢ＝ ９（ｃｍ）．因为外径为１０ｃｍ，所以９＋２ｘ＝１０，所以ｘ＝ ０．５（ｃｍ）．故选Ｂ． 例２　 如图 ２，把一根长为 ４．５ｍ的竹竿 ＡＢ斜靠在石坝旁， 量出竿长１ｍ处离地面的高度为 ０．６ｍ，则石坝的高度为 （　　） Ａ．２．７ｍ 　　Ｂ．３．６ｍ Ｃ．２．８ｍ 　　Ｄ．２．１ｍ 分析：过点Ｂ作ＢＦ⊥ＡＤ于点Ｆ，根据ＤＣ∥ＢＦ，可 证得△ＡＣＤ∽△ＡＢＦ，进而根据比例式得出ＢＦ即可． 解：过点Ｂ作ＢＦ⊥ＡＤ于点Ｆ，因为ＤＣ⊥ＡＤ，ＢＦ ⊥ＡＤ，所以ＤＣ∥ＢＦ，所以∠ＡＤＣ＝∠ＡＦＢ，∠ＡＣＤ＝ ∠ＡＢＦ，所以△ＡＣＤ∽△ＡＢＦ，所以ＣＤＢＦ＝ ＡＣ ＡＢ，即 ０．６ ＢＦ＝ １ ４．５，解得ＢＦ＝２．７．故选Ａ． 例３　（２０２３深圳模拟）如 图３，九年级（１）班课外活动小 组利用平面镜测量学校旗杆的 高度，在观测员与旗杆ＡＢ之间 的地面上平放一面镜子，在镜 子上做一个标记Ｅ，当观测到旗 杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观 测员的眼睛到地面的高度ＣＤ为１．６ｍ，观测员到标记 Ｅ的距离ＣＥ为２ｍ，旗杆底部到标记 Ｅ的距离 ＡＥ为 １６ｍ，则旗杆ＡＢ的高度约是 （　　） 　　　　　 　　　　　 　　　　　Ａ．２２．５ｍ Ｂ．２０ｍ Ｃ．１４．４ｍ Ｄ．１２．８ｍ 分析：根据题意可知△ＤＣＥ∽△ＢＡＥ，再由相似三 角形的对应边成比例即可得出结论． 解：因为镜子平行于地面，所以 ∠ＤＥＣ＝∠ＢＥＡ． 因为ＤＣ⊥ＡＣ，ＢＡ⊥ＡＣ，所以∠ＤＣＥ＝∠ＢＡＥ，所以 △ＤＣＥ∽△ＢＡＥ，所以ＤＣＡＢ＝ ＣＥ ＡＥ，即 １．６ ＡＢ＝ ２ １６，所以ＡＢ ＝１２．８（ｍ）．故选Ｄ． 温馨提示：这类问题考查相似三角形在实际生活 中的应用，培养同学们把几何问题转化为代数问题的 能力，根据题意构造出相似三角形模型是解答此类问 题的关键．解决此类问题的一般方法为：根据已知条件 的特点，结合平面图形，转化为相似三角形模型，适当 运用相似三角形的判定和性质，得出数学问题的答案， 进而得到实际问题的答案． 书 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位 似中心，变换后的图形与变换前图形的相似比为ｋ，那么 原图上点（ｘ，ｙ）的对应点的坐标为（ｋｘ，ｋｙ）或（－ｋｘ， －ｋｙ）；对于位似中心非原点的位似变换，解题时要充分 发挥位似图形的定义和相似三角形的性质的作用． 一、位似中心是原点，求图形上点的坐标 例１　如图１，在平面直角 坐标系中，五边形 ＡＢＣＤＥ与五 边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′Ｅ′为位似图形，位 似中心是原点，点 Ａ的坐标为 （１，２），３ＯＡ＝ＯＡ′，则点Ａ′的坐 标为 ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　解析：由题意可知五边形 ＡＢＣＤＥ与五边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′Ｅ′的相似比为１∶３． 因为Ａ（１，２），所以点Ａ′的坐标为（３，６）． 故填（３，６）． 二、位似中心非原点，求图形上点的坐标 例２　（２０２３丹东期中）如图 ２，△ＡＢＣ中，Ａ，Ｂ两个顶点在 ｘ轴 的上方，点Ｃ的坐标是（－１，０）．以 点Ｃ为位似中心，在ｘ轴的下方作 △ＡＢＣ的位似图形，并把△ＡＢＣ的 边长放大到原来的２倍，记所得的 图形是△Ａ′Ｂ′Ｃ．设点Ｂ的对应点Ｂ′的坐标是（ａ，ｂ），则 点Ｂ的坐标是 ． 解析：过点Ｂ作ＢＭ⊥ｘ轴于点Ｍ，过点Ｂ′作Ｂ′Ｎ⊥ ｘ轴于点Ｎ，则△ＣＢＭ∽△ＣＢ′Ｎ， 所以ＭＣ∶ＮＣ＝ＢＭ∶Ｂ′Ｎ＝ＢＣ∶Ｂ′Ｃ． 又由已知条件知ＮＣ＝ａ＋１，Ｂ′Ｎ＝－ｂ，ＢＣ∶Ｂ′Ｃ＝ １∶２， 所以ＭＣ∶（ａ＋１）＝ＢＭ∶（－ｂ）＝１∶２，所以ＭＣ ＝ １２（ａ＋１），ＢＭ ＝－ ｂ ２， 所以ＭＯ＝ １２（ａ＋１）＋１＝ ａ＋３ ２ ． 所以点Ｂ的坐标为（－ａ＋３２ ，－ ｂ ２）． 故填（－ａ＋３２ ，－ ｂ ２）． 三、求位似中心的坐标 例３　（２０２３银川月考）如 图３，已知矩形 ＡＢＣＤ与矩形 ＥＦＧＯ是位似图形，点 Ｐ是位似 中心，若点 Ｂ，Ｆ的坐标分别为 （４，３），（－２，１），则点 Ｐ的坐标 为 ． 解析：因为点Ｂ，Ｆ的坐标分别为（４，３），（－２，１）， 所以ＥＦ＝２，ＡＢ＝４，ＡＥ＝３－１＝２． 因为矩形ＡＢＣＤ与矩形ＥＦＧＯ是位似图形， 所以ＥＦ∥ＡＢ，所以△ＥＰＦ∽△ＡＰＢ， 所以 ＥＰ ＡＰ＝ ＥＦ ＡＢ，即 ＥＰ ２－ＥＰ＝ ２ ４，解得ＥＰ＝ ２ ３， 所以ＯＰ＝１＋２３ ＝ ５ ３， 则点Ｐ的坐标为（０，５３）． 故填（０，５３）． 书 相似三角形具有“周长比等于相似比；对应中线的 比、对应角平分线的比、对应高的比都等于相似比；面积 比等于相似比的平方”等性质，灵活运用上述性质，可 以帮助同学们解决许多相关问题． 应用一：相似三角形周长的比等于相似比 例１　已知△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ，若对应边ＡＣ与ＤＦ的 比为３∶７，则△ＡＢＣ与△ＤＥＦ的周长之比是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．９∶４９ Ｂ．７∶３ Ｃ．３∶７ Ｄ．３∶１４ 解析：因为△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ，对应边ＡＣ与ＤＦ的比 为３∶７，所以 △ＡＢＣ与 △ＤＥＦ的相似比为３∶７，所以 △ＡＢＣ与△ＤＥＦ的周长之比为３∶７． 故选Ｃ． 应用二：相似三角形面积的比 等于相似比的平方 例２　（２０２３天津南开区期末） 如图所示，在 △ＡＢＣ中，ＡＢＤＢ＝ ３ ２， ＤＥ∥ＢＣ，若△ＡＢＣ的面积为９，则四边形ＤＢＣＥ的面积 ＝ ． 解析：因为ＤＥ∥ＢＣ，所以∠ＡＤＥ＝∠Ｂ，∠ＡＥＤ＝ ∠Ｃ，所以 △ＡＤＥ∽ △ＡＢＣ，所以 Ｓ△ＡＤＥ Ｓ△ＡＢＣ ＝（ＡＤＡＢ） ２．因为 ＡＢ ＤＢ＝ ３ ２，所以 ＡＤ ＡＢ＝ １ ３，所以 Ｓ△ＡＤＥ Ｓ△ＡＢＣ ＝（１３） ２＝１９，所以 Ｓ△ＡＤＥ ＝ １ ９Ｓ△ＡＢＣ．因为Ｓ△ＡＢＣ ＝９，所以Ｓ△ＡＤＥ ＝１，所以 Ｓ四边形ＤＢＣＥ ＝９－１＝８． 故填８． 应用三：相似三角形对应高的比等于相似比 例３　（２０２３泉州期末）已知 △ＡＢＣ∽ △ＤＥＦ，且 ＡＣ∶ＤＦ＝２∶３，ＢＣ与ＥＦ边上的高分别记为ｈ１和ｈ２，则 ｈ１∶ｈ２等于 ． 解析：因为△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ，ＡＣ∶ＤＦ＝２∶３，所以 ｈ１∶ｈ２ ＝ＡＣ∶ＤＦ＝２∶３． 故填２∶３．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ＤＦ，则△ＤＥＭ与△ＢＦＭ的周长比为 （　　） Ａ．１∶２ Ｂ．１∶３ Ｃ．１∶４ Ｄ．１∶９ ５．如图４，ＥＢ为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点 Ｐ 处与地面ＢＥ的距离为１．６米，且满足３ＦＤ＝２ＦＡ，若盲 区ＥＢ的长度是６米，则车宽ＦＡ的长度为 （　　） Ａ．１１７米 Ｂ． １２ ７米 Ｃ． １３ ７米 Ｄ．２米 ６．如图５，在平面直角坐标系中，已知点 Ｏ（０，０）， Ａ（６，０），Ｂ（０，８），以某点为位似中心，作出与 △ＡＯＢ的 相似比为ｋ的位似△ＣＤＥ，若点Ｄ（１，１），点Ｃ（４，１），则 位似中心的坐标和ｋ的值分别为 （　　） Ａ．（０，０），２ Ｂ．（２，２），１２ Ｃ．（２，２），２ Ｄ．（１，１），１２ ７．如图６，身高１．５米的小明（ＡＢ）在太阳光下的影 子ＡＧ长１．８米，此时，立柱ＣＤ的影子一部分是落在地面 的ＣＥ，一部分是落在墙 ＥＦ上的 ＥＨ．若量得 ＣＥ＝ １．２米，ＥＨ＝１．５米，则立柱ＣＤ的高为 （　　） Ａ．２．５米 Ｂ．２．７米 Ｃ．３米 Ｄ．３．６米 ８．如图７，在等腰 △ＡＢＣ中， ＡＢ＝ＡＣ，点 Ｄ是 ＢＣ上一点，且 ＢＤ＝２ＣＤ，连接ＡＤ，将△ＡＢＤ沿 ＡＤ翻折，得到△ＡＤＥ，ＤＥ与ＡＣ交 于点Ｆ．若 △ＤＣＦ，△ＡＥＦ的面积 分别为１和１６，则ＡＦＥＦ＝ （　　） 槡Ａ．２２ Ｂ．３ Ｃ． ７ ２ Ｄ． ４ ３ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．（２０２３扬州期末）如图８，△ＡＢＣ与△ＤＥＦ位似， 点Ｏ是它们的位似中心，且相似比为１∶２，则△ＡＢＣ与 △ＤＥＦ的面积之比是 ． １０．（２０２３莆田期末）如图９，小明同学用自制的直 角三角形纸板ＤＥＦ测量树的高度 ＡＢ，他调整自己的位 置，设法使斜边ＤＦ保持水平，并且边ＤＥ与点Ｂ在同一 直线上，已知纸板的两条直角边 ＤＥ＝３５ｃｍ，ＥＦ＝ ２０ｃｍ，测得边ＤＦ离地面的高度ＡＣ＝１．３ｍ，ＣＤ＝７ｍ， 则树高ＡＢ为 ｍ． １１．（２０２３宿迁月考）如图１０，Ｄ，Ｅ分别是△ＡＢＣ的 边ＡＢ，ＢＣ上的点，ＤＥ∥ＡＣ，若Ｓ△ＢＤＥ∶Ｓ△ＣＤＥ ＝１∶３，则 Ｓ△ＤＯＥ∶Ｓ△ＡＯＣ的值为 ． １２．公共自行车车桩的截面示意图如图１１所示，ＡＢ ⊥ＡＤ，ＡＤ⊥ＤＣ，点Ｂ，Ｃ在ＥＦ上，ＥＦ∥ＨＧ，ＥＨ⊥ＨＧ， ＡＢ＝８０ｃｍ，ＡＤ＝２４ｃｍ，ＢＣ＝２５ｃｍ，ＥＨ＝４ｃｍ，则点 Ａ到地面的距离为 ｃｍ． １３．如图１２，直线ｙ＝１３ｘ＋１与ｘ轴，ｙ轴分别交于 Ａ，Ｂ两点，△Ｂ′Ｏ′Ｃ′与△ＢＯＣ是以点Ａ为位似中心的位 似图形，且相似比为２∶１，则点Ｂ′的坐标为 ． １４．如图１３，Ｅ，Ｆ是平行四边形ＡＢＣＤ对角线ＡＣ上 两点，ＡＥ＝ＣＦ＝ １４ＡＣ，连接 ＤＥ，ＤＦ并延长，分别交 ＡＢ，ＢＣ于点Ｇ，Ｈ，连接ＧＨ，则 Ｓ△ＡＤＧ Ｓ△ＢＧＨ 的值为 ． 三、耐心解一解（共４４分） １５．（１０分）如图１４，△ＡＢＣ在直角坐标系中的顶点 Ａ，Ｂ，Ｃ的坐标分别为 Ａ（７，１），Ｂ（８，２），Ｃ（９，０）．请在图 中画出 △ＡＢＣ的一个以点 Ｐ（１２，０）为位似中心，且与 △ＡＢＣ的相似比为３的位似图形（要求与△ＡＢＣ在Ｐ点 同一侧）． １６．（１０分）如图１５，某数学兴趣小组的同学利用标 杆测量假山ＡＢ的高度，婷婷先将一根３米高的标杆 ＣＤ 竖直放在Ｄ处，再从Ｄ点向后退了４．５米到Ｆ时，恰好看 见标杆顶端Ｃ、假山顶端Ａ成一条直线．已知婷婷的眼睛 到地面的距离ＥＦ为１．５米，ＢＤ＝３６米，点Ｂ，Ｄ，Ｆ在一 条直线上，ＡＢ⊥ＢＦ，ＣＤ⊥ＢＦ，ＥＦ⊥ＢＦ，请你利用以上 的数据求出假山的高ＡＢ． １７．（２０２３嘉兴期末，１２分）如图１６，△ＡＢＣ中，点Ｄ， Ｅ分别在边ＡＣ，ＡＢ上，ＡＧ平分∠ＢＡＣ，交ＤＥ，ＢＣ于点Ｆ， Ｇ，且ＡＤ·ＡＣ＝ＡＥ·ＡＢ． （１）求证：△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ； （２）若△ＡＤＥ与△ＡＢＣ的周长之比是１∶２，ＡＧ＝５， 求ＡＦ的值． １８．（１２分）已知一块等腰三角形铁板废料如图１７ 所示，其中ＡＢ＝ＡＣ＝５０ｃｍ，ＢＣ＝６０ｃｍ，现要用这块 废料裁一块正方形 ＤＥＦＧ铁板，使它的一边 ＤＥ落在 △ＡＢＣ的一腰上，顶点Ｆ，Ｇ分别落在另一腰 ＡＢ和底边 ＢＣ上，求： （１）等腰三角形ＡＢＣ的面积； （２）正方形ＤＥＦＧ的边长                                                                                                                                                                 ． 书 １．２怎样判定三角形相似（第五课时） １．（２０２３宝鸡期末）《孙子算经》是中国古代重要 的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣： 今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一 尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知 道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立 一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（如图１），则竹 竿的长为（提示：１丈 ＝１０尺，１尺 ＝１０寸） （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．五丈 Ｂ．四丈五尺 Ｃ．一丈 Ｄ．五尺 ２．如图２，小明在Ａ时测得某树的影长为８ｍ，Ｂ时 又测得该树的影长为２ｍ，若两次日照的光线互相垂 直，则树的高度为 （　　） Ａ．２ｍ Ｂ．４ｍ Ｃ．６ｍ Ｄ．８ｍ ３．如图３，身高为１．８米的某学生想测量学校旗杆 的高度，当他站在Ｂ处时，他头顶端的影子正好与旗杆 顶端的影子重合，并测得ＡＢ＝３米，ＡＣ＝１０米，则旗杆 ＣＤ的高度是 米． ４．如图４，ＡＤ，ＢＣ为两路灯，身高均为１．８ｍ的小 明、小亮站在两路灯之间，两人相距６．５ｍ，小明站在Ｐ 处，小亮站在Ｑ处，小明在路灯Ｃ下的影长ＡＰ为２ｍ，路 灯ＢＣ高９ｍ，则路灯ＡＤ的高为 ｍ． ５．（２０２３枣庄峄城区模拟）如图 ５，一棵大树 ＡＢ的影子落在土坡的 坡面ＣＤ和地面 ＢＣ上，量得 ＣＤ＝ ６米，ＢＣ＝２１米，ＣＤ与地面成 ３０° 角，且此时测得 １米杆的影长为 ３米，则大树的高度为 米． ６．（２０２３西安二模）如图６，小明和小华利用学过 的知识测量操场旗杆 ＣＤ的高度，测量时，小明让小华 站在点Ｂ处，此时，小华影子的顶端Ｅ与旗杆ＣＤ的影子 顶端重合，且 ＢＥ的长为２米；小明又让小华沿着射线 ＢＤ的方向走１５．２米到达旗杆的另一侧 Ｎ处，此时，小 华观测到旗杆顶端Ｃ的仰角为４５°，已知小华的身高为 １．８米，请你根据相关测量信息，计算旗杆ＣＤ的高度． １．３相似三角形的性质 １．（２０２３贺州期末）已知 △ＡＢＣ∽ △Ａ１Ｂ１Ｃ１，且 ＡＢ Ａ１Ｂ１ ＝２３．若△ＡＢＣ的周长为８，则△Ａ１Ｂ１Ｃ１的周长是 （　　） Ａ．４ Ｂ．８ Ｃ．１２ Ｄ．１８ ２．两个相似三角形的面积之比为１∶４，小三角形一 条边上的中线长为４，则另一个三角形对应边上的中线 长为 （　　） Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．５ ３．（２０２３莆田期末）如图１所示的是某家用晾衣架 的侧面示意图，已知ＡＢ∥ＰＱ，根据图中数据，Ｐ，Ｑ两点 间的距离是 （　　） Ａ．０．６ｍ Ｂ．０．８ｍ Ｃ．０．９ｍ Ｄ．１ｍ ４．（２０２３绍兴期末）如图２，△ＡＢＣ中边ＢＣ＝１０， 高ＡＤ＝８，正方形ＥＦＮＭ的四个顶点分别为△ＡＢＣ三 边上的点（点Ｅ，Ｆ为ＢＣ上的点，点Ｎ为ＡＣ上的点，点Ｍ 为ＡＢ上的点），则正方形ＥＦＮＭ的边长为 ． ５．（２０２３合肥月考）如图３， 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，棱长 为１的立方体的表面展开图有两 条边分别在ＡＣ，ＢＣ上，有两个顶 点在斜边 ＡＢ上，则 △ＡＢＣ的面 积为 ． ６．如图４，已知ＡＢ∥ＤＣ，∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＢ＝１８０°． （１）求证：△ＡＢＤ∽△ＢＤＣ； （２）若ＡＥ平分 ∠ＤＡＢ，ＢＦ平分 ∠ＤＢＣ，且 ＢＦ＝ ２ＡＥ，Ｓ△ＡＢＤ ＝３，求Ｓ△ＢＤＣ． １．４图形的位似 １．（２０２３石家庄期末）下列选项中的两个图形（实 线部分），不是位似图形的是 （　　） ２．如图１，以点Ｏ为位似中心，把 △ＡＢＣ放大为原 图形的２倍得到△Ａ′Ｂ′Ｃ′，以下说法中错误的是 （　　） Ａ．ＢＯ∶ＢＢ′＝１∶２ Ｂ．ＡＣ∥Ａ′Ｃ′ Ｃ．△ＡＢＣ∽△Ａ′Ｂ′Ｃ′ Ｄ．点Ｃ，点Ｏ，点Ｃ′在同一直线上 ３．（２０２３邯郸期末）如图２，在方格纸上，以点Ｏ为 位似中心，把△ＡＢＣ缩小到原来的 １２，则点Ａ的对应点 为 （　　） Ａ．点Ｅ或点Ｆ Ｂ．点Ｅ或点Ｇ Ｃ．点Ｄ或点Ｆ Ｄ．点Ｄ或点Ｇ ４．如图３，在平面直角坐标系中，将△ＯＡＢ以原点 Ｏ为位似中心放大后得到△ＯＣＤ，若Ｂ（０，１），Ｄ（０，３）， 则△ＯＡＢ与△ＯＣＤ的相似比为 ． ５．如图４，四边形 ＥＦＧＨ与四边形 ＡＢＣＤ关于点 Ｏ 位似，且ＯＥ＝２ＡＥ，则四边形ＥＦＧＨ与四边形ＡＢＣＤ的 面积比为 ． ６．（２０２３河源期末）已知△ＡＢＣ在平面直角坐标系 中的位置如图５所示． （１）在图中画出△ＡＢＣ沿ｘ轴翻折后的△Ａ１Ｂ１Ｃ１； （２）以点 Ｍ（１，２）为位似中心，作出 △Ａ１Ｂ１Ｃ１按 １∶２放大后的位似图形△Ａ２Ｂ２Ｃ２； （３）求点Ａ２的坐标以及△ＡＢＣ与△Ａ２Ｂ２Ｃ２的周长 比． 如图，矩形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｆ，延 长ＢＣ到点Ｅ，使ＣＥ＝ＢＣ，连接ＤＥ，连接ＡＥ交ＢＤ于点 Ｇ，交ＣＤ于点Ｈ． （１）求证：ＤＧ２ ＝ＦＧ·ＢＧ； （２）若ＡＢ＝１４，ＢＣ＝２４，求线段ＧＨ的长度 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 所以ＢＣ２ ＝４ＣＥ·ＡＣ． 附加题 　（１）证 明：因为ＡＢ＝ＡＤ，所以 ∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＤ．因为 ＤＢ平分 ∠ＡＤＣ，所以 ∠ＡＤＢ＝∠ＢＤＣ，所以 ∠ＡＢＤ＝∠ＢＤＣ，所以 ＡＢ∥ ＤＣ，所以 ∠ＢＡＣ ＝ ∠ＡＣＤ． 又 因 为 ∠ＡＢＣ＝∠ＤＡＣ，所以 △ＡＢＣ∽ △ＣＡＤ，所以 ＡＢ ＡＣ＝ ＡＣ ＣＤ，即ＣＡ ２＝ＡＢ· ＣＤ．因为 ＡＢ＝ＡＤ，所 以ＣＡ２＝ＡＤ·ＣＤ，根据 “比例三角形”的定义 可知△ＡＣＤ是“比例三 角形”． （２）过点 Ａ作 ＡＨ ⊥ＢＤ于点Ｈ，由（１）得 ＡＢ＝ＡＤ，所以 ＤＨ ＝ １ ２ＢＤ．因为 ＡＢ∥ ＤＣ， 所以∠ＡＢＣ＋∠ＤＣＢ＝ １８０°．又因为 ∠ＡＢＣ＝ ９０°，所 以 ∠ＢＣＤ ＝ ９０°，所 以 ∠ＤＨＡ ＝ ∠ＢＣＤ．又因为 ∠ＡＤＨ ＝∠ＢＤＣ，所以 △ＡＤＨ ∽ △ＢＤＣ，所以ＡＤＢＤ ＝ ＤＨ ＤＣ，即ＡＤ·ＤＣ＝ＤＨ· ＤＢ，所以 ＡＤ·ＤＣ ＝ １ ２ＢＤ ２．又由（１）可知 ＡＤ·ＤＣ＝ＡＣ２，所以 １ ２ＢＤ ２ ＝ＡＣ２，所以ＡＣＢＤ ＝槡２２． 上期４版 重点集训营 １．Ａ；　２．２或５． ３．证明：（１）因为 ＡＢ＝ＡＣ，所以 ∠Ｂ＝ ∠Ｃ．因为 ＡＢ２ ＝ＢＤ· ＣＥ，所以ＡＢＢＤ＝ ＣＥ ＡＣ，所以 △ＡＢＤ∽ △ＥＣＡ，所以 ∠ＤＡＢ＝∠ＡＥＣ，所以 ∠ＤＡＥ ＋ ∠ＢＡＥ ＝ ∠ＢＡＥ ＋∠Ｂ， 所 以 ∠ＤＡＥ＝∠Ｂ． （２）过点 Ｅ作 ＥＦ ∥ＡＤ交 ＡＢ于点 Ｆ，因 为ＥＦ∥ＡＤ，所以ＢＥＤＥ＝ ＢＦ ＡＦ．又因为 ＢＥ ＤＥ＝ ＢＦ ＥＦ，所 以 ＡＦ ＝ ＥＦ， 所 以 ∠ＦＡＥ＝∠ＦＥＡ．因为 ＥＦ∥ ＡＤ，所以 ∠ＤＡＥ ＝∠ＦＥＡ．又因为 ∠Ｂ ＝∠ＤＡＥ，所以 ∠ＦＥＡ ＝ ∠ＦＡＥ ＝ ∠Ｂ ＝ ∠Ｃ，所 以 △ＢＡＥ∽ △ＢＣＡ． !"#$ ! %& !" #$ %& '(")*+,- ./0123 # 45 $ !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ 6789:;<70= % 4 %&'( ! 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