专题1.1 相似三角形的判定与性质（易错、好题必刷题44题11种题型）（期中专项训练）九年级数学上学期青岛版

专题1.1 相似三角形的判定与性质（易错、好题必刷44题11种题型专项训练） 目录 【题型01 证明两三角形相似】 1 【题型02 选择或补充条件使两个三角形相似】 6 【题型03 重心的有关性质】 9 【题型04 相似三角形的判定与性质综合】 14 【题型05 利用相似三角形的性质求解】 23 【题型06 证明三角形的对应线段成比例】 28 【题型07 利用相似求坐标】 34 【题型08 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 41 【题型09 相似三角形——动点问题】 47 【题型10 相似三角形应用举例】 57 【题型11 相似三角形的综合问题】 61 【题型01 证明两三角形相似】 【易错题精讲】（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，含直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行的性质结合条件可得到和，可证得结论； （2）由平行可知，在中，由含直角三角形的性质结合勾股定理可求得． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：． 【变式训练1-1】（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，． (1)在图中作出的内角平分线．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明）； (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了角的平分线尺规作图，三角形相似的判定，掌握作图方法是解决问题的关键． （1）根据角平分线的尺规作图的基本要求画图即可． （2）先证，再结合即可证明结论． 【规范解答】（1）解：如图，以为圆心，任意长为半径化弧，分别交，于，， 然后分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，作射线交于， 即为所求； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【变式训练1-2】（21-22九年级下·江西·期中）如图，在由若干个小正方形组成的网格图中，的顶点均在格点上．请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图中的外部作，使； (2)在图中，作绕点顺时针旋转一定角度后，各个顶点仍在格点上的． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析． 【思路点拨】（）延长至点，使得，延长至点，使得，连接，得到，则即为所求； （）根据旋转的性质作图即可； 本题考查了作相似三角形，作旋转后的图形，掌握相似三角形的判定和旋转的性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求． 理由：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图所示，即为所求． 【变式训练1-3】（2020九年级·全国·专题练习）如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 【答案】(1)见解析 (2)或 【思路点拨】（1）根据平角的概念和三角形内角和定理证明，然后根据相似三角形的判定定理得出结论； （2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，有三种情况：①，②，③；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质及，求出即可． 【规范解答】（1）证明：∵，，， ， ； （2）解：，， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得：， ①当时， ， ， ， ， ， 点D在上运动时（点D不与重合）,点E在上， 此情况不符合题意． ②当时，如图，   ， 由（1）可知：，， ∴， ， ； ③当时，，    ∵ 是等腰三角形，，即， ． 综上，或． 【考点评析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握分类讨论思想的应用是解题的关键． 【题型02 选择或补充条件使两个三角形相似】 【易错题精讲】（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，不能判定和相似的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理进行判定即可． 【规范解答】解：A.由知，且，所以可判断和相似，故选项A不符合题意； B.∵，且，所以可判断和相似，故选项B不符合题意； C.∵，且，所以可判断和相似，故选项C不符合题意； D.由，缺少条件，无法判断和相似，故选项D不符合题意； 故选：D． 【变式训练2-1】（16-17九年级上·陕西西安·期中）如图，下列条件不能判定与相似的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】此题考查了相似三角形的判定，根据是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．解决问题的关键是掌握相似三角形的判定定理：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 【规范解答】解：由图得： ∴当或或时，； 当时，． A选项中不是成比例的两边的夹角． 故选：A． 【变式训练2-2】（22-23九年级上·湖南株洲·期中）如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据相似三角形的判定方法：两角分别对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似，逐一判断即可． 【规范解答】解∵， ∴， 若，，对应边成比例，夹角相等， ∴，故A不符合题意； 若，， ∴，故B不符合题意； 若，， ∴，故C不符合题意； ∵，，对应边成比例，不是对应边的夹角， ∴无法判断与相似，故D符合题意； 故选：D． 【考点评析】本题考查相似三角形的判定方法，熟记知识点是解题关键． 【变式训练2-3】（21-22八年级下·山东济南·期末）如图，点为的边上的一点，添加 ，可以使与相似． 【答案】∠APC=∠ACB或∠ACP=∠B或 【思路点拨】根据相似三角形的判定方法探究即可． 【规范解答】解∶∵∠A=∠A， ∴当添加∠APC=∠ACB时，根据“两角对应相等的两个三角形相似”可以使得△ABC与△APC相似． 当添加∠ACP=∠B时，根据“两角对应相等的两个三角形相似”可以使得△ABC与△APC相似． 当添加时，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”可以使得△ABC与△APC相似． 故答案为∶∠APC=∠ACB或∠ACP=∠B或. 【考点评析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【题型03 重心的有关性质】 【易错题精讲】（23-24九年级下·上海崇明·期中）如图，点G是的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作，交于点E，则 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查三角形中线的性质和相似三角形的判定和性质的理解及运用．利用该定理时要注意线段之间的对应关系． 由点G是重心，得出是的边上的中线，确定，，再由相似三角形的判定和性质得出，即可求解． 【规范解答】解：∵点G是重心， ∴是的边上的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴故答案为：． 【变式训练3-1】（22-23九年级上·福建厦门·期中）如图（1），有两全等的正三角形，，且，A分别为，的重心.固定点，将逆时针旋转，使得A落在上，如图（2）所示.则图（1）与图（2）中，两个三角形重叠区域的面积比为（    ） A．2：1 B．3：2 C．4：3 D．5：4 【答案】C 【思路点拨】连接，交于点O，根据等边三角形的性质及三角形重心的性质得出，，再结合图形及三角函数计算阴影部分的面积求解即可． 【规范解答】解：如图所示，连接，交于点O， 设等边三角形的边长是x， 则高长为， 图（1）中阴影部分为一个内角是的菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 则阴影部分的面积为：， 图2中，，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：， 两个重叠区域的面积比为：， 故选：C． 【考点评析】题目主要考查等边三角形的性质及解三角形的应用，菱形的性质等，理解题意，作出相应辅助线及掌握三角形重心的性质是解题关键． 【变式训练3-2】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的重心，延长交于点，延长交于点分别是和的重心，长为，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了三角形的重心、三角形的中位线、相似三角形的判定与性质，连接，延长交于点，连接，由是的重心，可得是的中位线，从而得到，利用三角形重心的定义和性质得出，，再证明，得到即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：如图，连接，延长交于点，连接， 是的重心， 分别是的中点， 是的中位线， ， 点是的重心， 点为的中点，， 点的重心， 点在中点上，， ，， ， ， ， 故答案为：． 【变式训练3-3】（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质， （1）证明，可得，可证，可得，即可得证； （2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型04 相似三角形的判定与性质综合】 【易错题精讲】（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）在中，，，过作于点D． (1)如图1，过D作于点，连接，若，求线段的长； (2)如图2，H为平面内一点，连接、，在中，，，延长与交于点，过点作交于点，若、、在一条直线上，求证：； (3)如图3，M为上一点，连接，为上一点，若，，，连接，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)3 【思路点拨】（1）根据角直角三角形的特殊关系，求出、、，然后根据勾股定理去求即可； （2）利用两组三角形相似，得到和的关系，然后根据比例的基本性质证明即可； （3）延长构造等边三角形，然后利用两组三角形相似求出，最后利用勾股定理求解． 【规范解答】（1）解： ，， ， ， ，， ， 过作于，如图1， ，， ，， ，， ， ， ． （2）证明：，， ∴ ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． （3）解：延长交于，延长到，使，连接，如图 ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 过作于，过作于， ， ，， ， ， ∴， ， ，， ， ， ． 【考点评析】本题属三角形的综合，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，直角三角形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题解题的关键． 【变式训练4-1】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点D在上，，交于E，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查三角形相似的判定与性质，根据，证明，即可证明选项A，B，C选项正确，选项D错误． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴，C结论正确； ∴， ∴，A结论正确； ∴，D结论错误， ，， ∴，B结论正确； 故选：D． 【变式训练4-2】（18-19九年级上·全国·期末）如图，正方形的边长为4，E是边的中点，点P在射线上，过P作于F，设． (1)求证：； (2)当P也是边中点时，求的值； (3)若以P，F，E为顶点的三角形也与相似，试求x的值； (4)当点F与点E重合时，设交于点G，试判断与的大小关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2或5 (4)相等，理由见解析 【思路点拨】（1）先证明，再由，即可证出； （2）当P是的中点时，，由，由相似三角形对应边成比例即可得出结论； （3）分两种情况：当时，则，得出四边形为矩形．求出，即；当，且时，先求出，得到 ，再由勾股定理得出的长，再得出的长，根据相似三角形的性质求出的长，即可得出结论； （4）先证明，求出、，再证明，即可得出． 【规范解答】（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∴，． 又∵， ∴， ∴； （2）当P是的中点时，． ∵， ∴，即， ∴； （3）分两种情况： ①当，且时，则有， ∴四边形为矩形， ∴，即． ②当，且时． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴点F为的中点． ∵， ∴ ，即， ∴， ∴，即； ∴满足条件的x的值为2或5； （4）．理由如下： 如图，∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， ∴． 又∵， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，和相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键． 【变式训练4-3】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在等边中，点M、N分别在边上． (1)尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ①过点N作的平行线交于点D； ②在边上求作点P，使，请找出所有满足条件的点； (2)若，设，若要使得（1）中只能作出唯一的点P，则a的值应该满足什么条件？请通过计算说明． 【答案】(1)①作图见解析；②作图见解析； (2)，理由见解析． 【思路点拨】（1）①过点作交于， 则即为所求； ②以A为圆心，为半径作弧，交于点D，作的外接圆，交于， 则点即为所求； （2） 证明 可得，设，列出方程 整理得：当该方程有两个不相等的实数根时，对应满足条件的点P有两个，当该方程有两个相等的实数根时，对应满足条件的点P只有一个，当该方程没有实数根时，对应满足条件的点P不存在，进而可以解决问题． 本题主要考查作图-复杂作图，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质． 【规范解答】（1）解：①过点作交于，如图， ∵， ∴， 则即为所求． ②以A为圆心，为半径作弧，交于点D，作的外接圆，交于， 则点即为所求，如图： （2）解：如图， 在等边中， 设 ∵只能作出唯一的点P， ∴该方程有两个相等的实数根， ， ∴当时，只能作出唯一的点． 【题型05 利用相似三角形的性质求解】 【易错题精讲】（22-23九年级上·宁夏银川·期中）如图，矩形中，，，为边上的动点，当与相似时， ． 【答案】1或4或2.5 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的性质，需要分类讨论：和，根据该相似三角形的对应边成比例求得的长度． 【规范解答】解：①当时， ， 即， 解得：，或； ②当时， ， 即， 解得：． 综上所述，的长度是1或4或2.5． 故答案为：1或4或2.5． 【变式训练5-1】（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知中，点E在斜边上，F是边上一动点，沿所在直线折叠，点A的对应点为点，，交于点N，M．当与相似时．的长是 ． 【答案】3或 【思路点拨】当与相似时．分①当，；②当，两点重合；两种情况求解即可． 【规范解答】解：由勾股定理得，， 由折叠可知，，当与相似时．分，两种情况求解： ①当时，即，， ∴， ∴； ②当时，即，两点重合，在的延长线上， ∴，即， ∴，即， 解得，； 综上所述，的值为3或， 故答案为：3或． 【考点评析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，相似三角形的性质，等角对等边，平行线分线段成比例等知识．熟练掌握折叠的性质，相似三角形的性质，等角对等边，平行线分线段成比例是解题的关键． 【变式训练5-2】（23-24九年级下·河南鹤壁·期中）如图所示，在中，点P是边上一点，请按要求解答． (1)请用无刻度直尺和圆规作图，在上找一点Q，使；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求与四边形的面积比． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了作图的基本作图，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，正确寻找相似三角形是解题的关键； （1）利用点B为圆心任意长为半径作弧，交，于点D，E，在以P为圆心相同长度作弧交于点F，以F为圆心以长为半径做弧，于点G，作射线交于Q；即可得出结论； （2）根据，得，利用三角形面积比等于相似比的平方即可得出结论． 【规范解答】（1）用尺规作图如图所示． （2）∵，， ∴， ∵， ∴． ∴． 【变式训练5-3】（22-23九年级上·广西贵港·期中）如图，，A（3，0），C（，0），． (1)直接写出线段的长是___________，点B的坐标是___________； (2)已知点D在x轴上（不与点C重合），连接，若与相似，则点D坐标是___________； (3)在（2）的条件下，点P、Q分别是和上的动点，连接，设，是否存在k的值，使与相似？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3，（，3） (2) (3)存在， 或 【思路点拨】（1）根据A（3，0），C（，0），得到的长，利用勾股定理求出的长，即可得到点的坐标； （2）根据点D在x轴上（不与点C重合），与相似，推出，进而得到，求出的长度，即可得到点的坐标； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵， ∴当和相似时，点在点的左侧，或， ∵点与点不重合， ∴，即：， 如图，过点作交轴于点， ∵， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：存在； ①当时， 则：， ∵，， ∴， ∴ 解得：， ②当时， 则：，即： 解得：； 综上所述，或时，与相似． 【考点评析】本题考查坐标与图形，勾股定理，以及相似三角形的性质．熟练中掌握，勾股定理，相似三角形的对应边相等，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 【题型06 证明三角形的对应线段成比例】 【易错题精讲】（23-24九年级上·河南周口·期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．    (1)如图 1，在 中， 直线 l 经过点A，BD⊥直线 l，CE⊥直线l，垂足分别为 D、E．求证： (2)组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢? 如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 中， D、A、E 三点都在直线l 上，并且有 ，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗? 若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)成立，证明见解析 【思路点拨】（1）根据题意证明即可求解； （2）同理证明即可求解． 此题主要考查考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据两角相等得到三角形相似． 【规范解答】解：（1）证明：∵直线l，直线l， ∴． ∵，∴． 又∵，∴． 在和中，， ∴，∴． （2）成立． 证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【变式训练6-1】（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与相似的三角形是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，利用三边对应成比例的三角形相似进而得出符合题意的答案．正确利用网格得出三角形各边长是解题关键． 【规范解答】解：由网格可知：，， A、，，，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； B、，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； C、，，，因为，所以与相似，故该选项是正确的； D、，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； 故选：C． 【变式训练6-2】（15-16九年级上·江苏无锡·期中）在矩形ABCD中，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF. (1)求证：△DEC∽△FDC； (2)若DE=2，F为AD的中点，求BD的长度. 【答案】(1)见解析 (2)6 【思路点拨】（1）由矩形的性质可知∠FDC=∠DEC=90°，结合公共角可证明△DEC∽△FDC； （2）由DFBC可知，可求得BE，进一步可求出BD． 【规范解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，CF⊥BD， ∴∠FDC=∠DEC=90°，且∠DCE=∠DCF， ∴△DEC∽△FDC； （2）∵四边形ABCD为矩形， ∴，且F为中点， ∴，且DE=2， ∴， ∴． 【考点评析】本题主要考查了相似三角形的判定及平行线分线段成比例，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【变式训练6-3】（19-20九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知BO是△ABC的AC边上的高，其中BO＝8，AO＝6，CO＝4，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A在线段CA上作匀速运动，同时点N以5个单位长度/秒的速度自A向B在射线AB上作匀速运动，MN交OB于点P．当M运动到点A时，点M、N同时停止运动．设点M运动时间为t． （1）线段AN的取值范围是　 　； （2）当0＜t＜2时，①求证：MN：NP为定值；②若△BNP与△MNA相似，求CM的长； （3）当2＜t＜5时，①求证：MN：NP为定值；②若△BNP是等腰三角形，求CM的长．    【答案】（1）O＜AN＜25；（2）①见解析；②；（3）①见解析；②． 【思路点拨】（1）首先求出点M运动时间，再求出点N运动的路程即可． （2）如图1中，①过点N作NH⊥AC于点H，设AN＝5k，CM＝2k，用k的代数式表示MN、NP即可解决问题． ②只可能是∠MNB＝∠MNA＝90°，△MNP∽△MNA∽△BOA，路程比例式即可解决问题． （3）如图2中，当2＜t＜5时，①方法和前面类似． ②当点M在OA上时，BN＝5k﹣10．由PO∥HN，得，得到PO＝，根据BP＝BN，列出方程即可解决． 【规范解答】解：（1）∵AC＝OC+AO＝10， 点M运动的速度为2单位长度/秒， ∴t＝＝5，∵5×5＝25， ∴0＜AN＜25． 故答案为0＜AN＜25． （2）如图1中，当0＜t＜2时， ①过点N作NH⊥AC于点H，设AN＝5k，CM＝2k，    ∵NH∥BO， ∴， ∴AH＝3K，OH＝6﹣3k，OM＝4﹣2k，MH＝10﹣5k， ∵PO∥NH， ∴＝＝ ②只可能是∠MNB＝∠MNA＝90°， △MNA∽△BOA， ∴， ∴＝， ∴k＝， ∴CM＝． （3）如图2中，当2＜t＜5时，    ①过点N作NH⊥AC于点H，设AN＝5k，CM＝2k， 则OH＝3k﹣6，OM＝2k﹣4， ∴MH＝5k﹣10， ∵PO∥NH， ∴＝＝． ②当点M在OA上时，BN＝5k﹣10． ∵PO∥HN， ∴， ∴PO＝， 若BP＝BN，则8﹣＝5k﹣10， ∴k＝， ∴CM＝， 若PB＝PN或BN＝NP， ∵∠PBN＞90°， ∴不成立， ∴若△BNP是等腰三角形，CM的长为． 【考点评析】此题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用参数表示相应的线段，把几何问题转化为代数问题． 【题型07 利用相似求坐标】 【易错题精讲】（17-18九年级·浙江绍兴·期末）如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形(顶点为网格线的交点)，要使ΔABC∽ΔPBD，则点P的位置应落在    A．点上 B．点上 C．点上 D．点上 【答案】B 【思路点拨】由图可知∠BPD一定是钝角，若要△ABC∽△PBD，则PB、PD与AB、AC的比值必须相等，可据此进行判断． 【规范解答】解：由图知：∠BAC是钝角，又△ABC∽△PBD， 则∠BPD一定是钝角，∠BPD=∠BAC， 又BA=2，AC=2， ∴BA：AC=1：， ∴BP：PD=1：或BP：PD=：1， 只有P2符合这样的要求，故P点应该在P2． 故选B． 【考点评析】此题考查了相似三角形的性质，以及勾股定理的运用，相似三角形的对应角相等，对应边成比例，书写相似三角形时，对应顶点要对应．熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键 【变式训练7-1】．（2020·江苏苏州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、．已知，则 ． 【答案】 【思路点拨】过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，先证CDE≌CDB（ASA），进而可得DE＝DB＝4－n，再证AOE∽CDE，进而可得，由此计算即可求得答案． 【规范解答】解：如图，过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO， ∴∠DCE＝∠CAO， ∵∠BCA＝2∠CAO， ∴∠BCA＝2∠DCE， ∴∠DCE＝∠DCB， ∵CD⊥y轴， ∴∠CDE＝∠CDB＝90°， 又∵CD＝CD， ∴CDE≌CDB（ASA）， ∴DE＝DB， ∵B（0，4），C（3，n）， ∴CD＝3，OD＝n，OB＝4， ∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n， ∴OE＝OD－DE ＝n－（4－n） ＝2n－4， ∵A（－4，0）， ∴AO＝4， ∵CD∥AO， ∴AOE∽CDE， ∴ ， ∴， 解得：， 故答案为：． 【考点评析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及点的坐标的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 【变式训练7-2】（15-16九年级上·北京大兴·期末）已知:如图,点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1）.若以C，D，E（E在格点上）为顶点的三角形与△ABC相似，则满足条件的点E的坐标共有(   ) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】A 【规范解答】根据相似三角形的边长的关系可知△CDE与△ABC相似的图形中点E的位置如图所示： 因此这样的点有6个. 故选A 考点：相似三角形 【变式训练7-3】（21-22九年级上·上海徐汇·期中）如图，已知Rt和Rt，，，，，点在边上，射线交射线于点． （1）如图，当点在边上时，联结． ①求证：； ②若，求的长； （2）设直线与直线交于点，若为等腰三角形，求的长． 【答案】（1）①见解析；②；（2）的长为或 【思路点拨】（1）①先证明，再证明，，推导出，得； ②由，得，依次求出、、、的长，再根据勾股定理求出的长，再求出的长； （2）分三种情况讨论，一是，可证明，求出AP的长，在中根据勾股定理求出AE的长，再根据相似三角形的性质求出BF的长；二是，可证明，则，根据相似三角形的性质可求出BF的长；三是，可证明CE∥AB，此时射线CE与射线没有交点． 【规范解答】（1）①证明：如图1，，， （AA）， ， ，， （AA）， ， ，， ， （SAS）， ， ，． ②如图1，， ， ∵ ∴∠BAE=∠CBA 又∵∠AFE=∠BFC （AA）， ， ，， ， ，， ∵ ∴， ， ，， ∵∠ EAC =∠ CDE=90° ∴C、A、E、D四点共圆， ∴∠CEA=∠CDA ∴△AEF∽△DCF（AA） ∴， ∴，即， 解得， ． （2）如图2，， ， ， ， ，， ， ， ， ∵ ∴ C、E、A、D四点共圆 又∵∠ CDE=90° ∴ ∠ CAE=90° ∴， ， ， ， ∴ △AFE ∽ △ BFC ， 如图3，， ， ，， 设交于点， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ； 如图4，，则， ，， ， ， ， 射线与射线没有交点， 综上所述，的长为或． 【考点评析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用，分类讨论等腰三角形PCE边的关系式解决本题的关键． 【题型08 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 【易错题精讲】（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点上，请在方格纸上按要求画出格点三角形： (1)在图①中画，使得，且相似比为． (2)以点为旋转中心，将顺时针旋转，使得点落到点处，点落到点处，在图②中画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了相似变换及旋转变换，相似三角形的性质，正确得出对应点位置是解此题的关键． （1）首先利用勾股定理求出，，的长度，然后利用相似三角形的性质得到，，的长度，进而画出图形即可； （2）首先根据旋转的性质画出点A，B绕点C顺时针旋转得到的点E，F，然后顺次连接即可． 【规范解答】（1）∵，，， ∵，且相似比为 ∴ ∴ ∴，，， ∴如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求． 【变式训练8-1】（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，在边上取一点，作出的中线； (2)在图2中，在边上取一点，使得； (3)在图3中，在线段上取一点，在线段上取一点，连结使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特征、勾股定理，中线的定义及相似三角形的性质是解题的关键； （1）根据网格线的特征中线的定义作图； （2）根据网格线的特征作图； （3）根据网格线的特征和相似三角形的性质作图； 【规范解答】（1）如图，即为中线； （2）如图，，点，即可使得； （3）如图3和4，在线段上取一点，在线段上取一点，连结使得； 如图3，可得， ； 如图4，可得， ． 【变式训练8-2】（23-24九年级上·山东青岛·期中）完成下列各题 (1)请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知，求作正方形，使三点都在三角形的三条边上． (2)在方格纸上任意连接不在同一直线上的三个格点，便可画出一个三角形．请用这种方式在如下的方格纸上画出1个大小不等的三角形，要求这个三角形与格点三角形相似，且相似比不为1． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】此题主要考查了复杂作图以及正方形的判定、相似三角形的性质． （1）首先作的平分线交于点E，分别过E点作，垂足分别为D，F，正方形，即为所求； （2）将原图放大2倍，即可． 【规范解答】（1）解：如图，正方形，即为所求． ； （2）解：如图，即为所求． ． 【变式训练8-3】（22-23九年级上·湖北武汉·期中）如图，在长方形的网格中，每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C都为格点，请分别仅用一把无刻度的直尺画图： (1)直接写出的形状___________； (2)在图1作出边上的高； (3)P为格点，在图2中作，且，若绕某一点旋转得到，在图中标出旋转中心O． 【答案】(1)等腰三角形 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】（1）由勾股定理求出、、长，即可求解； （2）作，使，，再作即可； （3）利用格点作出线段，分别作及中点连线的中垂线，即可交于点O． 【规范解答】（1）解：由勾股定理，得，，， ， 是等腰三角形； （2）解：如图所示，即为所要画的． （3）解：如图，和点O即为所要画的． 【考点评析】本题考查网格作图，勾股定理，等腰三角形的定义，相似三角形的性质，旋转的性质，画平行线，本题综合性较强，难度较大． 【题型09 相似三角形——动点问题】 【易错题精讲】（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，作交x轴于点E，连接交于点F，设运动时间为t秒． (1)若平分，求t的值； (2)当时，求点E的坐标； (3)在运动的过程中，是否存在以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路点拨】（1）先证是等腰直角三角形，得，即可得出结论； （2）通过证明，可得，即可求解； （3）本题需先证出，求出，再分两种情况讨论，求出的值即可． 【规范解答】（1）解：当平分时，， ∴是等腰直角三角形， （2）∵， 又 ， ， 当时，， ∴， ∴点坐标为； （3）存在以、、为顶点的三角形与相似．理由如下： 当点在点上方时，如图1， 若时， 又∵， ∴， ∵， ∴， 解得：(不合题意舍去)， ∴； ∴点； 当点在点下方时，如图2， ①若时， 又∵， 则， 解得：(不合题意舍去)， ②若，则， 整理得：， ∴这种情况不成立； 综上所述，在运动的过程中，存在以、、为顶点的三角形与相似，点或． 【考点评析】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 【变式训练9-1】（23-24九年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在中，，，．如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键．连接，交相交于点，当四边形为菱形时，可得，，由得到，进而得到，解方程即可求解． 【规范解答】解：如图2，连接，交相交于点，当四边形为菱形时，垂直平分，即，， ，，， ， 点由点出发沿方向向点匀速运动，点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为 ∴， ，， ， ∴， ， ， ， ， 又， ， 解得， ， 当四边形是菱形时，的值为； 故选A． 【变式训练9-2】（23-24九年级上·辽宁·期中）如图1，在中，，，，点D从点A出发，以的速度沿边向终点B运动（点D不与点A、B重合），连接，将沿翻折得到．设点D的运动时间为． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)如图2，当时，求t的值； (3)当点A落在内部时，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)6 (3) 【思路点拨】（1）根据勾股定理得出，进而解答即可； （2）设与的交点为．根据平行线的性质和翻折的性质得出，进而利用相似三角形的判定和性质得出方程解得即可； （3）分两种情况，利用翻折的性质和相似三角形的判定和性质得出方程解答即可． 【规范解答】（1）解：在中，，根据勾股定理得，， ，， ∴， ， ； （2）解：当时，设与的交点为．    ∵， ， 由翻折性质可得，，，， ， ， ， ， ， 即：， 解得：， ， ∵， ， ， 即， 解得：， ， 解得：， 当时，的值为6； （3）解：①当点A在线段上时，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， ，， 由翻折性质可得，，， ， ， ， ， 解得：；    ②当点A在边上时，    由翻折性质可得：， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， 当 时，点A落在内部． 【考点评析】此题是几何变换综合题，考查相似三角形的判定和性质和勾股定理，平行线的性质，折叠的性质，关键是根据相似三角形的判定和性质得出方程解答．勾股定理：若三角形的两条直角边为a和b，斜边为c，则．相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等．相似三角形的判定方法：①两组角对应相等的两个三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 【变式训练9-3】（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、． (1)当动点运动时间 秒时，与相似． (2)在运动过程中，当时，为何值？请说明理由． 【答案】(1)或 (2)当时，秒．理由见解析． 【思路点拨】（1）本题考查了三角形相似的判定和性质，判断何时与相似是解决问题的关键．已知是直角三角形，要与其相似，图中已有一个公共角，所以只需的另外两个角有一个角是直角，那么与相似．由此对应两种情况：或，需分情况讨论分析．然后两个三角形相似，对应边成比例即可求出运动时间． （2）本题考查了三角形相似的判定和性质，构造辅助线，找到三角形相似是解决问题的关键．当时，过点作于，证明，然后利用相似三角形对应边成比例即可求出时间． 【规范解答】（1）解：设经过运动时间为t秒时，与相似． 则，，，； 1）当，即时， ； ，即， ． ２）当，即时， ， ，即， ． 和都符合， 当动点运动秒或秒时，与相似． 故答案为：或． （2）如图，过点E作于F， 设经过运动时间为t秒时，， 则，，，； ，即， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， （秒）． 【题型10 相似三角形应用举例】 【易错题精讲】（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，交于点． (1)当点恰好为中点时，______． (2)若矩形的周长为，求出的长度． 【答案】(1)60 (2) 【思路点拨】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高之比等于相似比； （1）由，得到，代入即可求解， （2）根据，得到，得到对应高之比等于相似比，，从而得到的长， 【规范解答】（1）解：∵为中点， ∴， ∵在矩形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． ∴四边形为矩形， ∴，， ∵矩形的周长为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练10-1】（16-17九年级上·福建漳州·课后作业）如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔O的距离为（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】C 【思路点拨】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，会用相似三角形对应边成比例． 【规范解答】解：设像到小孔O的距离为 由题意得, ∴，, ∴ ∴， 解得, 故选C． 【变式训练10-2】（22-23九年级上·广东深圳·期中）如图，王海同学为了测量校园内一棵大树的高度，他走到了校园的围墙外（如图所示），然后他沿着过点F与墙垂直的直线从远处向围墙靠近至B处，使大树恰好被围墙挡住顶端C和树的顶端E时，三点在同一条直线上．若米，米， 米，王海身高1.6米．求大树的高度． 【答案】大树的高度为8.6米 【思路点拨】如图，作于H，交于G，则，；然后再证明，运用相似三角形的性质可得，最后根据线段的和差即可解答． 【规范解答】如图，作于H，交于G，则，， ∵， ∴， ∴=，即=， ∴ ， ∴（m）． 答：大树的高度为8.6米． 【考点评析】本题主要考查了相似三角形的应用，利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 【变式训练10-3】（19-20九年级上·四川遂宁·期中）一个小风筝与一个大风等形状完全相同，它们的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD．已知它们的对应边之比为1：3，小风筝两条对角线的长分别为12cm和14cm． （1）小风筝的面积是多少？ （2）如果在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支撑架，那么至少需用多长的材料？（不记损耗） （3）大风筝要用彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少？ 【答案】(1)84（cm）2;(2) 78cm;(3) 756（cm）2 【思路点拨】（1）根据三角形的面积公式列式计算即可； （2）根据相似三角形的性质得到A′C′=3AC=42cm，同理B′D′=3BD=36cm，于是得到结论； （3）根据矩形和三角形的面积公式即可得到结论． 【规范解答】解：（1）∵AC⊥BD， ∴小风筝的面积S＝AC•BD＝×12×14＝84（cm）2； （2）∵小风筝与大风筝形状完全相同， ∴假设大风筝的四个顶点为A′，B′，C′，D′， ∴△ABCD∽△A′B′C′D′， ∵它们的对应边之比为1：3， ∴A′C′＝3AC＝42cm， 同理B′D′＝3BD＝36cm， ∴至少需用42+36＝78cm的材料； （3）从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积＝矩形的面积﹣大风筝的面积＝42×36﹣9×84＝756（cm）2． 【考点评析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【题型11 相似三角形的综合问题】 【易错题精讲】（19-20九年级上·四川成都·期末）如图，M是平行四边形ABCD的对角线BD上的一点，射线AM与BC交于点F，与DC的延长线交于点H． （1）求证：△ADH∽△FBA； （2）若△ADH与△FBA的面积比是k：1（k＞1），求的值； （3）若，求证：∠AMB＝∠ADC． 【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）答案见解析 【思路点拨】（1）由平行四边形的性质得出：，，由平行线的性质得出：，即可得出结论； （2）由相似三角形的性质得出：，即可得出结论； （3）由三角形相似，推出，由，推出，即可得出结论． 【规范解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵△ADH与△FBA的面积比是k：1（k＞1）， ∴， ∴， ∵DA=BC， ∴， ∴， ∴ （3）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【考点评析】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握三角形相似的性质是解答本题的关键． 【变式训练11-1】（23-24九年级下·四川眉山·期中）如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形中位线定理，等边三角形的性质和应用，找出规律，是解题的关键． 首先求出是三角形的中位线，得出，根据相似三角形的性质得出，根据的面积求出，，求出，同理，根据规律可写出，再n将取2023，计算即可得答案． 【规范解答】解∶的中点，， 为中点， ， ， ， ， 的面积是 ， 推理， ， 同理， 故答案为∶ 【变式训练11-2】（21-22九年级上·上海闵行·期中）如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结，当与相似时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）y＝(0＜x≤9)；（3）3或． 【思路点拨】（1）由AD∥BC知，，结合DB=DC=15，DE=DF=5知，从而得，据此可得答案； （2）作DP⊥BC，NQ⊥AD，求得BP=CP=9，DP=12，由知BG=CH=2x，BH=18+2x，根据得，即DN＝，再根据知NQ＝，由三角形的面积公式可得答案； （3）分∠ADN=∠FGH和∠ADN=∠GFH两种情况分别求解可得． 【规范解答】解：（1）∵AD∥BC， ∴，． ∵DB=DC=15，DE=DF=5， ∴， ∴， ∴BG=CH． （2）过点D作DP⊥BC，过点N作NQ⊥AD，垂足分别为点P、Q． ∵DB=DC=15，BC=18， ∴BP=CP=9，DP=12． ∵， ∴BG=CH=2x， ∴BH=18+2x． ∵AD∥BC， ∴， ∴， ∴， ∴DN＝． ∵AD∥BC， ∴∠ADN=∠DBC， ∴sin∠ADN=sin∠DBC， ∴， ∴NQ＝． ∴y＝AD•NQ＝x•(0＜x≤9)． （3）∵AD∥BC， ∴∠DAN=∠FHG． （i）当∠ADN=∠FGH时， ∵∠ADN=∠DBC， ∴∠DBC=∠FGH， ∴BD∥FG， ∴， ∴， ∴BG=6， ∴AD=3． （ii）当∠ADN=∠GFH时， ∵∠ADN=∠DBC=∠DCB， 又∵∠AND=∠FGH， ∴△ADN∽△FCG． ∴， ∴x•(18−2x)＝ •10，整理得x2-3x-29=0， 解得x＝，或x＝（舍去）． 综上所述，当△HFG与△ADN相似时，AD的长为3或． 【考点评析】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质、分类讨论思想的运用等知识点． 【变式训练11-3】（2021·四川乐山·中考真题）在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结． （1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则________； （2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结． ①在图2中补全图形； ②探究与的数量关系，并证明； （3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证明． 【答案】（1）30°；（2）①见解析；②；见解析；（3），见解析 【思路点拨】（1）先根据题意得出△ABC是等边三角形，再利用三角形的外角计算即可 （2）①按要求补全图即可 ②先根据已知条件证明△ABC是等边三角形，再证明，即可得出 （3）先证明，再证明，得出，从而证明，得出，从而证明 【规范解答】解：（1）∵， ∴△ABC是等边三角形 ∴∠B=60° ∵点关于直线的对称点为点 ∴AB⊥DE， ∴ 故答案为：； （2）①补全图如图2所示； ②与的数量关系为：； 证明：∵，． ∴为正三角形， 又∵绕点顺时针旋转， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）连接． ∵，，∴． ∴． 又∵， ∴， ∴．∵，∴， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴． 【考点评析】本题考查相似三角形的证明及性质、全等三角形的证明及性质、三角形的外角、轴对称，熟练进行角的转换是解题的关键，相似三角形的证明是重点 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 相似三角形的判定与性质（易错、好题必刷44题11种题型专项训练） 目录 【题型01 证明两三角形相似】 1 【题型02 选择或补充条件使两个三角形相似】 3 【题型03 重心的有关性质】 4 【题型04 相似三角形的判定与性质综合】 6 【题型05 利用相似三角形的性质求解】 8 【题型06 证明三角形的对应线段成比例】 9 【题型07 利用相似求坐标】 11 【题型08 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 13 【题型09 相似三角形——动点问题】 15 【题型10 相似三角形应用举例】 18 【题型11 相似三角形的综合问题】 19 【题型01 证明两三角形相似】 【易错题精讲】（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【变式训练1-1】（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，． (1)在图中作出的内角平分线．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明）； (2)证明：． 【变式训练1-2】（21-22九年级下·江西·期中）如图，在由若干个小正方形组成的网格图中，的顶点均在格点上．请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图中的外部作，使； (2)在图中，作绕点顺时针旋转一定角度后，各个顶点仍在格点上的． 【变式训练1-3】（2020九年级·全国·专题练习）如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 【题型02 选择或补充条件使两个三角形相似】 【易错题精讲】（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，不能判定和相似的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】（16-17九年级上·陕西西安·期中）如图，下列条件不能判定与相似的是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练2-2】（22-23九年级上·湖南株洲·期中）如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（    ）      A． B． C． D． 【变式训练2-3】（21-22八年级下·山东济南·期末）如图，点为的边上的一点，添加 ，可以使与相似． 【题型03 重心的有关性质】 【易错题精讲】（23-24九年级下·上海崇明·期中）如图，点G是的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作，交于点E，则 ． 【变式训练3-1】（22-23九年级上·福建厦门·期中）如图（1），有两全等的正三角形，，且，A分别为，的重心.固定点，将逆时针旋转，使得A落在上，如图（2）所示.则图（1）与图（2）中，两个三角形重叠区域的面积比为（    ） A．2：1 B．3：2 C．4：3 D．5：4 【变式训练3-2】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的重心，延长交于点，延长交于点分别是和的重心，长为，则的长为 ． 【变式训练3-3】（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【题型04 相似三角形的判定与性质综合】 【易错题精讲】（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）在中，，，过作于点D． (1)如图1，过D作于点，连接，若，求线段的长； (2)如图2，H为平面内一点，连接、，在中，，，延长与交于点，过点作交于点，若、、在一条直线上，求证：； (3)如图3，M为上一点，连接，为上一点，若，，，连接，请直接写出线段的长． 【变式训练4-1】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点D在上，，交于E，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】（18-19九年级上·全国·期末）如图，正方形的边长为4，E是边的中点，点P在射线上，过P作于F，设． (1)求证：； (2)当P也是边中点时，求的值； (3)若以P，F，E为顶点的三角形也与相似，试求x的值； (4)当点F与点E重合时，设交于点G，试判断与的大小关系并说明理由． 【变式训练4-3】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在等边中，点M、N分别在边上． (1)尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ①过点N作的平行线交于点D； ②在边上求作点P，使，请找出所有满足条件的点； (2) 若，设，若要使得（1）中只能作出唯一的点P，则a的值应该满足什么条件？请通过计算说明． 【题型05 利用相似三角形的性质求解】 【易错题精讲】（22-23九年级上·宁夏银川·期中）如图，矩形中，，，为边上的动点，当与相似时， ． 【变式训练5-1】（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知中，点E在斜边上，F是边上一动点，沿所在直线折叠，点A的对应点为点，，交于点N，M．当与相似时．的长是 ． 【变式训练5-2】（23-24九年级下·河南鹤壁·期中）如图所示，在中，点P是边上一点，请按要求解答． (1)请用无刻度直尺和圆规作图，在上找一点Q，使；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求与四边形的面积比． 【变式训练5-3】（22-23九年级上·广西贵港·期中）如图，，A（3，0），C（，0），． (1)直接写出线段的长是___________，点B的坐标是___________； (2)已知点D在x轴上（不与点C重合），连接，若与相似，则点D坐标是___________； (3)在（2）的条件下，点P、Q分别是和上的动点，连接，设，是否存在k的值，使与相似？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【题型06 证明三角形的对应线段成比例】 【易错题精讲】（23-24九年级上·河南周口·期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．    (1)如图 1，在 中， 直线 l 经过点A，BD⊥直线 l，CE⊥直线l，垂足分别为 D、E．求证： (2)组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢? 如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 中， D、A、E 三点都在直线l 上，并且有 ，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗? 若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【变式训练6-1】（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与相似的三角形是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练6-2】（15-16九年级上·江苏无锡·期中）在矩形ABCD中，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF. (1)求证：△DEC∽△FDC； (2)若DE=2，F为AD的中点，求BD的长度. 【变式训练6-3】（19-20九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知BO是△ABC的AC边上的高，其中BO＝8，AO＝6，CO＝4，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A在线段CA上作匀速运动，同时点N以5个单位长度/秒的速度自A向B在射线AB上作匀速运动，MN交OB于点P．当M运动到点A时，点M、N同时停止运动．设点M运动时间为t． （1）线段AN的取值范围是　 　； （2）当0＜t＜2时，①求证：MN：NP为定值；②若△BNP与△MNA相似，求CM的长； （3）当2＜t＜5时，①求证：MN：NP为定值；②若△BNP是等腰三角形，求CM的长．    【题型07 利用相似求坐标】 【易错题精讲】（17-18九年级·浙江绍兴·期末）如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形(顶点为网格线的交点)，要使ΔABC∽ΔPBD，则点P的位置应落在    A．点上 B．点上 C．点上 D．点上 【变式训练7-1】．（2020·江苏苏州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、．已知，则 ． 【变式训练7-2】（15-16九年级上·北京大兴·期末）已知:如图,点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1）.若以C，D，E（E在格点上）为顶点的三角形与△ABC相似，则满足条件的点E的坐标共有(   ) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式训练7-3】（21-22九年级上·上海徐汇·期中）如图，已知Rt和Rt，，，，，点在边上，射线交射线于点． （1）如图，当点在边上时，联结． ①求证：； ②若，求的长； （2）设直线与直线交于点，若为等腰三角形，求的长． 【题型08 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 【易错题精讲】（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点上，请在方格纸上按要求画出格点三角形： (1)在图①中画，使得，且相似比为． (2)以点为旋转中心，将顺时针旋转，使得点落到点处，点落到点处，在图②中画出． 【变式训练8-1】（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，在边上取一点，作出的中线； (2)在图2中，在边上取一点，使得； (3)在图3中，在线段上取一点，在线段上取一点，连结使得． 【变式训练8-2】（23-24九年级上·山东青岛·期中）完成下列各题 (1)请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知，求作正方形，使三点都在三角形的三条边上． (2)在方格纸上任意连接不在同一直线上的三个格点，便可画出一个三角形．请用这种方式在如下的方格纸上画出1个大小不等的三角形，要求这个三角形与格点三角形相似，且相似比不为1． 【变式训练8-3】（22-23九年级上·湖北武汉·期中）如图，在长方形的网格中，每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C都为格点，请分别仅用一把无刻度的直尺画图： (1)直接写出的形状___________； (2)在图1作出边上的高； (3)P为格点，在图2中作，且，若绕某一点旋转得到，在图中标出旋转中心O． 【题型09 相似三角形——动点问题】 【易错题精讲】（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，作交x轴于点E，连接交于点F，设运动时间为t秒． (1)若平分，求t的值； (2)当时，求点E的坐标； (3)在运动的过程中，是否存在以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练9-1】（23-24九年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在中，，，．如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】（23-24九年级上·辽宁·期中）如图1，在中，，，，点D从点A出发，以的速度沿边向终点B运动（点D不与点A、B重合），连接，将沿翻折得到．设点D的运动时间为． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)如图2，当时，求t的值； (3)当点A落在内部时，求t的取值范围． 【变式训练9-3】（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、． (1)当动点运动时间 秒时，与相似． (2)在运动过程中，当时，为何值？请说明理由． 【题型10 相似三角形应用举例】 【易错题精讲】（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，交于点． (1)当点恰好为中点时，______． (2)若矩形的周长为，求出的长度． 【变式训练10-1】（16-17九年级上·福建漳州·课后作业）如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔O的距离为（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【变式训练10-2】（22-23九年级上·广东深圳·期中）如图，王海同学为了测量校园内一棵大树的高度，他走到了校园的围墙外（如图所示），然后他沿着过点F与墙垂直的直线从远处向围墙靠近至B处，使大树恰好被围墙挡住顶端C和树的顶端E时，三点在同一条直线上．若米，米， 米，王海身高1.6米．求大树的高度． 【变式训练10-3】（19-20九年级上·四川遂宁·期中）一个小风筝与一个大风等形状完全相同，它们的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD．已知它们的对应边之比为1：3，小风筝两条对角线的长分别为12cm和14cm． （1）小风筝的面积是多少？ （2）如果在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支撑架，那么至少需用多长的材料？（不记损耗） （3）大风筝要用彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少？ 【题型11 相似三角形的综合问题】 【易错题精讲】（19-20九年级上·四川成都·期末）如图，M是平行四边形ABCD的对角线BD上的一点，射线AM与BC交于点F，与DC的延长线交于点H． （1）求证：△ADH∽△FBA； （2）若△ADH与△FBA的面积比是k：1（k＞1），求的值； （3）若，求证：∠AMB＝∠ADC． 【变式训练11-1】（23-24九年级下·四川眉山·期中）如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则 ． 【变式训练11-2】（21-22九年级上·上海闵行·期中）如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结，当与相似时，求的长． 【变式训练11-3】（2021·四川乐山·中考真题）在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结． （1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则________； （2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结． ①在图2中补全图形； ②探究与的数量关系，并证明； （3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$