第9期 23.5 位似图形 23.6 图形与坐标（参考答案见11期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（华东师大版）

书 位似变换实际上是相似变换的一种特殊情形，它存 在位似中心，其相似比等于相似三角形的相似比．图形 放大、缩小通常用位似变换的思想作图，位似中心的位 置可在图形顶点处、图形边上、图形内部、图形外部．下 面介绍几种常见画法，供同学们参考． 例　如图１，已知四边形 ＡＢＣＤ，将这个四边形放 大，使放大前后的图形对应线段的比为１∶２． 画法一：（１）延长ＡＤ到点Ｄ１，使ＤＤ１ ＝ＡＤ； （２）延长ＡＣ到点Ｃ１，使ＣＣ１ ＝ＡＣ； （３）延长ＡＢ到点Ｂ１，使ＢＢ１ ＝ＡＢ； （４）连结Ｄ１Ｃ１，Ｃ１Ｂ１，则四边形 ＡＢ１Ｃ１Ｄ１即为所求 （如图２）． 说明：延长ＡＤ到点Ｄ１后，也可以过点Ｄ１作Ｄ１Ｃ１∥ ＤＣ，交ＡＣ的延长线于点Ｃ１，再过点Ｃ１作Ｃ１Ｂ１∥ＣＢ，交 ＡＢ的延长线于点Ｂ１，得到四边形ＡＢ１Ｃ１Ｄ１． 画法二：（１）延长ＤＡ到点Ｄ１，使ＡＤ１ ＝２ＡＤ； （２）延长ＣＡ到点Ｃ１，使ＡＣ１ ＝２ＡＣ； （３）延长ＢＡ到点Ｂ１，使ＡＢ１ ＝２ＡＢ； （４）连结Ｂ１Ｃ１，Ｃ１Ｄ１，则四边形 ＡＢ１Ｃ１Ｄ１即为所求 （如图３）． 画法三：（１）任取一点Ｏ，连结ＯＡ并延长到点Ａ１，使 ＡＡ１ ＝ＯＡ； （２）连结ＯＢ并延长到点Ｂ１，使ＢＢ１ ＝ＯＢ； （３）连结ＯＣ并延长到点Ｃ１，使ＣＣ１ ＝ＯＣ； （４）连结ＯＤ并延长到点Ｄ１，使ＤＤ１ ＝ＯＤ； （５）顺次连结 Ａ１Ｂ１，Ｂ１Ｃ１，Ｃ１Ｄ１，Ｄ１Ａ１，则四边形 Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１即为所求（如图４）． 运用这些画图方法可以解决不少数学问题． 书 上期２版 ２３．３．３相似三角形的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ；　３．Ａ；　４．１１６；　５．１６；　６．３０． 能力提高　７．因为ＤＥ∥ＡＢ，所以∠Ａ＝∠ＣＥＤ，因为∠Ａ ＝∠ＥＤＦ，所以∠ＣＥＤ＝∠ＥＤＦ，所以ＤＦ∥ＡＣ，所以△ＢＤＦ∽ △ＢＣＡ，所以 Ｓ△ＢＤＦ Ｓ△ＢＣＡ ＝（ＢＤＢＣ） ２．因为ＢＤＣＤ ＝ ２ ３，所以 ＢＤ ＢＣ ＝ ＢＤ ＢＤ＋ＣＤ＝ ２ ５，所以 Ｓ△ＢＤＦ Ｓ△ＢＣＡ ＝（ＢＤＢＣ） ２＝ ４２５，因为Ｓ△ＡＢＣ ＝５０， 所以Ｓ△ＢＤＦ ＝８．同理可证得 △ＣＤＥ∽ △ＣＢＡ，所以 Ｓ△ＤＣＥ Ｓ△ＢＣＡ ＝ （ ＣＤ ＢＣ） ２ ＝ ９２５，所以 Ｓ△ＣＤＥ ＝１８，所以四边形 ＡＦＤＥ的面积为 Ｓ△ＡＢＣ－Ｓ△ＢＤＦ－Ｓ△ＣＤＥ ＝２４． ２３．３．４相似三角形的应用 基础训练　１．Ｂ；　２．３．６；　３．１２． 能力提高　４．由题意得，ＡＢ⊥ＢＣ，ＥＦ⊥ＢＣ，ＧＨ⊥ＢＣ，ＥＦ ＝ＧＨ＝１．５ｍ，ＥＧ＝８ｍ，ＥＤ＝２ｍ，ＣＧ＝３ｍ，因为∠ＦＤＥ＝ ∠ＡＤＢ，∠Ｃ＝∠Ｃ，所以△ＡＢＤ∽△ＦＥＤ，△ＡＢＣ∽△ＨＧＣ，所 以 ＥＦ ＡＢ＝ ＥＤ ＢＤ， ＨＧ ＡＢ＝ ＧＣ ＢＣ．因为ＥＦ＝ＨＧ＝１．５ｍ，所以 ＥＤ ＢＤ＝ ＧＣ ＢＣ， 因为ＢＤ＝ＢＥ＋ＤＥ＝２＋ＢＥ，ＢＣ＝ＢＥ＋ＥＧ＋ＣＧ＝３＋８＋ ＢＥ＝１１＋ＢＥ，所以 ２２＋ＢＥ＝ ３ １１＋ＢＥ，解得ＢＥ＝１６（ｍ），则ＢＤ ＝ＢＥ＋ＤＥ＝１６＋２＝１８ｍ，因为ＥＤＢＤ＝ ＥＦ ＡＢ，所以 ２ １８＝ １．５ ＡＢ，解 得ＡＢ＝１３．５（ｍ）． 答：该龙形雕像的高度为１３．５ｍ． ２３．４中位线 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．Ｂ；　４．１４２；　５．３；　６．３． 能力提高　７．（１）Ｈ是ＯＥ的中点． 证明：取ＡＤ中点Ｍ，连结ＯＭ，因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，对 角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，所以点Ｏ是ＡＣ的中点，因为点Ｍ是ＡＤ的 中点，所以 ＣＤ∥ ＯＭ，ＯＭ ＝ １２ＣＤ＝ １ ２ＡＢ＝３＝ＤＥ，所以 ∠ＭＯＨ＝∠ＤＥＨ，因为 ∠ＯＨＭ ＝∠ＥＨＤ，所以 △ＯＨＭ≌ △ＥＨＤ，所以ＯＨ＝ＥＨ，即Ｈ是ＯＥ的中点． （２）连结ＯＦ，因为点Ｍ是ＡＤ的中点，所以ＡＭ＝ １２ＡＤ＝ ２，所以 ＦＭ ＝ＦＡ＋ＡＭ ＝４，因为 ＯＭ∥ ＣＤ，所以 ∠ＦＭＯ＝ ∠ＡＤＣ＝９０°，所以ＦＯ＝ ＦＭ２＋ＭＯ槡 ２ ＝５，因为点Ｇ是ＥＦ的 中点，点Ｈ是ＯＥ的中点，所以ＧＨ＝ １２ＦＯ＝ ５ ２． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ａ Ｃ Ｂ Ｂ Ｂ Ｄ Ａ 二、９．１０；　１０．３；　１１．槡２２；　１２．３；　１３．槡２；　１４．槡 １７ ２ ． 三、１５．证明：因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＢ＝ ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ，所以∠Ｂ＝∠ＨＣＥ，因为点Ｅ为ＢＣ边的中点，所 以ＢＥ＝ＥＣ，因为∠ＡＥＢ＝∠ＨＥＣ，所以△ＡＢＥ≌△ＨＣＥ，所以 ＡＢ＝ＣＨ，所以 ＤＣ＝ＣＨ，因为 Ｇ为 ＤＦ的中点，所以 ＣＧ是 △ＤＦＨ的中位线，所以ＣＧ∥ＥＨ，因为ＤＦ⊥ＡＥ，所以ＣＧ⊥ＤＦ． １６．因为 ＡＯ⊥ ＯＥ，且 ＢＦ⊥ ＤＦ，所以 △ＡＯＤ∽ △ＢＦＤ， △ＡＯＥ∽△ＣＦＥ，所以ＡＯＯＤ＝ ＢＦ ＤＦ＝ ０．７ ０．７＝１，设ＯＦ＝ｘ，则ＡＯ＝ ＯＤ＝ｘ＋０．７，又因为 △ＡＯＥ∽ △ＣＦＥ，所以ＡＯＯＥ＝ ＣＦ ＥＦ，即 ０．７＋ｘ ２．８＋ｘ＝ ２．１ ２．８，解得ｘ＝５．６，经检验ｘ＝５．６是原方程的解，所 以ＡＯ＝ｘ＋０．７＝６．３ｍ． 答：ＯＡ的高度是６．３ｍ． １７．（１）证明：因为ＤＥ∥ＢＣ，所以△ＡＤＮ∽△ＡＢＭ，△ＡＮＥ ∽△ＡＭＣ，所以ＤＮＢＭ ＝ ＡＮ ＡＭ， ＥＮ ＣＭ ＝ ＡＮ ＡＭ，所以 ＤＮ ＢＭ ＝ ＥＮ ＣＭ，又因为点 Ｍ是ＢＣ的中点，所以ＢＭ＝ＣＭ，所以ＤＮ＝ＥＮ． （２）因为ＤＥ∥ＢＣ，所以ＯＥＯＢ＝ ＯＮ ＯＭ＝ ２ ５，因为ＤＥ∥ＢＣ，所 以△ＤＯＥ∽△ＣＯＢ，所以ＤＥＣＢ＝ ＯＥ ＯＢ＝ ２ ５， （下转１，４版中缝） 书 １．如图１，矩形ＯＡＢＣ中，点 Ａ，Ｃ分别在 ｘ轴、ｙ轴 上，点Ｂ的坐标为（ｋ，２ｋ），连结ＯＢ，将矩形ＯＡＢＣ沿ＯＢ 折叠，点Ａ的对应点为点Ｄ，则点Ｄ的坐标为 （用含ｋ的式子表示）． ２．如图２，正方形ＡＢＣＤ的顶点Ａ，Ｄ分别在ｘ轴，ｙ 轴上，点Ｂ（３，１）在直线ｌ：ｙ＝ｋｘ＋４上，直线ｌ分别交 ｘ轴，ｙ轴于点 Ｅ，Ｆ．将正方形 ＡＢＣＤ沿 ｙ轴向下平移 ｍ个单位长度后，点Ｃ恰好落在直线ｌ上，则ｍ的值为 ． 书 １．如图１，△ＯＡＢ与△ＯＡ′Ｂ′位似，其中Ａ，Ｂ的对应 点分别为Ａ′，Ｂ′，Ａ′，Ｂ′均在图中正方形网格格点上，若 线段ＡＢ上有一点Ｐ（ｍ，ｎ），则点Ｐ在Ａ′Ｂ′上的对应点 Ｐ′的坐标为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．（ｍ２， ｎ ２） Ｂ．（ｍ，ｎ） Ｃ．（２ｍ，２ｎ） Ｄ．（２ｎ，２ｍ） ２．如图２，在平面直角坐标系中，正方形 ＡＢＣＤ与 正方形ＢＥＦＧ是以原点Ｏ为位似中心的位似图形，且相 似比为１∶３，点Ａ，Ｂ，Ｅ在ｘ轴上，若正方形ＢＥＦＧ的边 长为３，则Ｄ点坐标为 ． ３．如图３，在平面直角坐标系中，△ＡＢＣ的三个顶 点的坐标分别为Ｃ（１，２），Ｂ（２，３），Ａ（４，１）． （１）以原点 Ｏ为 位似中心，在第三象限 内画一个△Ａ１Ｂ１Ｃ１，使 它与△ＡＢＣ的相似比 为２∶１； （２）点Ｂ１的坐标 为 ； （３）求 △Ａ１Ｂ１Ｃ１ 的面积． 书 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位 似中心，变换后的图形与变换前图形的相似比为ｋ，那么 原图上点（ｘ，ｙ）的对应点的坐标为（ｋｘ，ｋｙ）或（－ｋｘ， －ｋｙ）；对于位似中心非原点的位似变换，解题时要充分 发挥位似图形的定义和相似三角形的性质的作用． 一、位似中心是原点，求图形上点的坐标 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ 如图１，△ＡＢＯ的顶点坐标 是Ａ（２，６），Ｂ（３，１），Ｏ（０，０），以点Ｏ为 位似中心，将△ＡＢＯ缩小为原来的 １３， 得到 △Ａ′Ｂ′Ｏ，则 点 Ａ′的 坐 标 为 ． 解析：因为以点Ｏ为位似中心，将△ＡＢＯ缩小为原来 的 １ ３，得到△Ａ′Ｂ′Ｏ，Ａ（２，６），所以当△Ａ′Ｂ′Ｏ在第一象限 时，点Ａ′的坐标为（１３×２， １ ３×６），即（ ２ ３，２）；当△Ａ′Ｂ′Ｏ 在第三象限时，点Ａ′的坐标为（－１３×２，－ １ ３×６），即 （－２３，－２）．故填（ ２ ３，２）或（－ ２ ３，－２）． 二、位似中心非原点，求图 形上点的坐标 例２　如图２，在平面直角 坐标系中，△ＡＢＣ与 △ＡＢ′Ｃ′的 相似比为１∶２，点 Ａ是位似中心，已知点 Ａ（２，０），点 Ｃ（ａ，ｂ），∠Ｃ＝９０°，则点Ｃ′的坐标为 （结果用 含ａ，ｂ的式子表示）． 解析：过点Ｃ，Ｃ′分别作ｘ轴的垂线 ＣＤ，Ｃ′Ｄ′，垂足 分别为Ｄ，Ｄ′，因为△ＡＢＣ与△ＡＢ′Ｃ′的相似比为１∶２， 点Ａ是位似中心，Ａ（２，０），所以 ＡＤ′＝２ＡＤ，因为 Ｃ（ａ， ｂ），所以ＡＤ＝ａ－２，ＣＤ＝ｂ，所以ＡＤ′＝２ａ－４，Ｃ′Ｄ′＝ ２ｂ，所以Ｄ′（２－２ａ＋４，０），所以Ｃ′（６－２ａ，－２ｂ）．故填 （６－２ａ，－２ｂ）． 三、求位似中心的坐标 例３　如图３，已知矩形 ＡＢＣＯ与矩形ＯＤＥＦ是位似图 形，Ｍ是位似中心，若点 Ｂ的 坐标为（４，３），点 Ｅ的坐标为 （－２，３２），则图中点 Ｍ的坐 标为 ． 解析：因为点 Ｂ的坐标为（４，３），点 Ｅ的坐标为 （－２，３２），所以 ＡＢ＝３，ＯＡ＝４，ＯＤ＝ ３ ２，因为矩形 ＡＢＣＯ与矩形 ＯＤＥＦ是位似图形，Ｍ是位似中心，所以 ＭＯ ＭＡ＝ ＯＤ ＡＢ＝ ３ ２ ３ ＝ １ ２，所以ＭＯ＝ＯＡ＝４，所以Ｍ点坐标 为（－４，０）．故填（－４，０）． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " !" # $ ! ! ! " # $ % ! " ! " & ' ( ) * # $ % ! # # $ % "! ! " & &! %&!'()*+ ,-./01 !! 23 ! " $%$&$'$"$#$( ) * " ' & +! $* $" $' $& $% $ % # ! " & & ' " * ! $,$- ! * ! " # $ % & ' (+ * ! ) $ % "! !! ! " # 书 确定平面内物体位置的方法比较多，下面向同学 们介绍几种最常用的方法． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、经纬定位法 此法需要两个数据———经度和纬度，此法在地理 学中有着极其广泛的应用． 例１　这么近，那么美，周末到河北，以下表示河北 省石家庄地理位置最准确的是 （　　） Ａ．在河北省中南部 Ｂ．距离沧州市约２２０公里 Ｃ．位于华北平原北部 Ｄ．北纬３８．０２°，东经１１４．３０° 解析：由题意可得只有选项 Ｄ说明了河北省石家 庄的具体位置． 故选Ｄ． 二、方向、距离定位法 运用此法，需要两个数据：① 方位角；② 该方向上 离观测点的距离．二者必须兼备． 例２　点Ａ的位置如图１所 示，则下列关于点 Ａ的位置叙述 正确的是 （　　） Ａ．北偏西４０°方向５ｋｍ处 Ｂ．距Ｏ点５ｋｍ处 Ｃ．在点 Ｏ北偏西 ４０°方向 ５ｋｍ处 Ｄ．在点Ｏ北偏西５０°方向５ｋｍ处 解析：由题意得９０°－５０°＝４０°，所以点Ａ在点Ｏ 北偏西４０°方向５ｋｍ处． 故选Ｃ． 三、平面直角坐标系定位法 平面直角坐标系定位法是生活中最常用的定位方 法．应用此法所需的两个数据一个是横坐标，另一个是 纵坐标，二者缺一不可． 例３　 中国象棋是 中华民族的文化瑰宝，因 趣味性强，深受大众喜 爱．如图２，若象棋棋盘上 “马”的坐标为（１，２）， “车”的坐标为（－２，２）， 则“炮”的坐标为（　　） Ａ．（２，１） Ｂ．（２，２） Ｃ．（３，１） Ｄ．（４，０） 解析：根据题意可建立如图２所示的平面直角坐标 系，所以“炮”的坐标为（３，１）． 故选Ｃ． 书 一、平移变换 例１　如图１，将一块 直角三角尺的直角顶点 Ｃ 与原点重合，另两个顶点 Ａ，Ｂ的坐标分别为（３，０）， （０，槡３）．现将三角尺沿 ｘ 轴向左平移，使点Ａ与点Ａ′（１，０）重合，则点Ｂ的对应点 Ｂ′的坐标是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．（－２，槡３） Ｂ．（－槡３，槡３） Ｃ．（－１，槡３） Ｄ．（－槡３，２） 解析：因为将三角尺沿 ｘ轴向左平移，使点 Ａ（３，０） 与点Ａ′（１，０）重合， 所以三角尺沿ｘ轴向左平移了２个单位长度， 所以点Ｂ（０，槡３）的对应点Ｂ′的坐标是（０－２，槡３）， 即点Ｂ′（－２，槡３）．故选Ａ． 二、对称变换 例２　 剪纸艺术是中国民间 艺术之一，很多剪纸作品体现了 数学中的对称美．如图２，蝴蝶剪 纸是一幅轴对称图形，将其放在 平面直角坐标系中，如果图中点Ｅ 的坐标为（２ｍ，－ｎ），其关于 ｙ轴 对称的点Ｆ的坐标为（３－ｎ，－ｍ ＋１），则ｍ－ｎ的值为 （　　） Ａ．－９ Ｂ．－１ Ｃ．０ Ｄ．１ 解析：因为Ｅ（２ｍ，－ｎ）和Ｆ（３－ｎ，－ｍ＋１）关于 ｙ轴对称， 所以 ２ｍ＋（３－ｎ）＝０， －ｎ＝－ｍ＋１{ ， 解得 ｍ＝－４， ｎ＝－５{ ， 所以ｍ－ｎ＝－４－（－５）＝１．故选Ｄ． 三、旋转变换 例３　如图３，菱形ＡＢＣＯ的顶点Ａ在ｘ轴正半轴上， 点Ｃ（４，３），将菱形ＡＢＣＯ绕原点Ｏ逆时针旋转９０°，则旋 转后点Ｂ的对应点Ｂ′的坐标是 （　　） Ａ．（－３，８） Ｂ．（３，－９） Ｃ．（－３，９） Ｄ．（－３，－９） 解析：如图４所示，将菱形ＡＢＣＯ绕原点Ｏ逆时针旋 转９０°，过点Ｂ作ＢＤ⊥ｘ轴于点Ｄ，过点Ｂ′作Ｂ′Ｄ′⊥ｙ 轴于点Ｄ′，过点Ｃ作ＣＥ⊥ｘ轴于点Ｅ， 因为点Ｃ（４，３），所以 ＯＥ＝４，ＣＥ＝３，所以 ＯＣ＝ ＯＥ２＋ＣＥ槡 ２ ＝５， 因为四边形ＡＢＣＯ是菱形，所以ＯＡ＝ＯＣ＝ＡＢ＝５， ＯＣ∥ＡＢ，所以∠ＣＯＥ＝∠ＢＡＤ， 又因为∠ＣＥＯ＝∠ＢＤＡ，所以△ＣＯＥ≌△ＢＡＤ，所 以ＡＤ＝ＯＥ＝４，ＢＤ＝ＣＥ＝３， 由旋转可得△ＢＡＤ≌△Ｂ′Ａ′Ｄ′，所以Ａ′Ｄ′＝ＡＤ＝４， Ｂ′Ｄ′＝ＢＤ＝３，ＯＡ′＝ＯＡ＝５，所以ＯＤ′＝４＋５＝９， 因为Ｂ′在第二象限，所以Ｂ′（－３，９）．故选Ｃ． 四、位似变换 具体实例请同学们参考本期４版《位似变换中点的 坐标的确定》一文． 书 因为 ＤＥ∥ ＢＣ，所以 △ＡＤＥ∽ △ＡＢＣ，所 以 Ｓ△ＡＤＥ Ｓ△ＡＢＣ ＝（ＤＥＢＣ） ２ ＝ ４２５，设 Ｓ△ＡＤＥ ＝４ｘ（ｘ＞０），则 Ｓ△ＡＢＣ ＝２５ｘ，因为四边形 ＢＣＥＤ的面积为 ４２，所以 ２５ｘ－４ｘ＝４２，解得ｘ＝２， 所以Ｓ△ＡＢＣ ＝５０． １８．（１）因为 ＡＤ∥ Ａ′Ｄ′， 所 以 ∠ＰＡＤ ＝ ∠ＰＡ′Ｄ′，∠ＰＤＡ ＝ ∠ＰＤ′Ａ′．所以 △ＰＡＤ∽ △ＰＡ′Ｄ′．所以 ＡＤＡ′Ｄ′＝ ＰＮ ＰＭ， 所以 ３０ ３６ ＝ ＰＭ－３０ ＰＭ ，解得 ＰＭ＝１８０，所以灯泡离地 面的高度ＰＭ为１８０ｃｍ． （２）设横向影子 Ａ′Ｂ， Ｄ′Ｃ的长度和为ｘｃｍ，同理 可得△ＰＡＤ∽△ＰＡ′Ｄ′，所 以 ＡＤ Ａ′Ｄ′＝ ＰＮ ＰＭ，即 ６０ ６０＋ｘ＝ １５０ １８０，解得ｘ＝１２ｃｍ，所以横 向影子Ａ′Ｂ，Ｄ′Ｃ的长度和为 １２ｃｍ． １９．证明：（１）因为ＡＤ ∥ＢＣ，所以∠ＭＡＢ＝１８０°－ ∠ＡＢＣ， 因 为 ∠ＢＧＦ ＝ ∠ＡＢＣ，所以∠ＭＡＢ＝１８０° －∠ＢＧＦ，因为 ∠ＡＧＢ ＝ １８０°－∠ＢＧＦ，所以 ∠ＡＧＢ ＝∠ＭＡＢ．又因为∠ＡＢＧ＝ ∠ＭＢＡ， 所 以 △ＢＡＧ ∽ △ＢＭＡ． （２）连结 ＣＭ．因为四 边形ＡＢＣＤ为菱形，所以ＡＢ ＝ＢＣ＝ＣＤ．因为∠ＡＢＣ＝ ６０°，所以 △ＡＢＣ为等边三 角形．所以ＡＣ＝ＣＢ＝ＣＤ． 又因为 Ｍ为 ＡＤ的中 点，所以ＣＭ⊥ＡＤ．又因为 ＡＤ∥ＢＣ，所以 ＣＭ⊥ ＢＣ． 由（１）得ＡＢＢＭ ＝ ＢＧ ＡＢ，所以 ＢＧ·ＢＭ＝ＡＢ２．所以ＢＧ· ＢＭ＝ＢＣ２．所以ＢＧＢＣ＝ ＢＣ ＢＭ． ! 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" ! * & 书 【提示】 １．过点Ｄ作ＤＥ⊥ｘ轴，垂足为Ｅ，交ＢＣ延长线 于点Ｆ，证明△ＯＥＤ∽△ＤＦＢ，相似比为１∶２．设ＤＥ ＝ｍ，根据比例式表示各线段，求出ｍ，进而求出点Ｄ 的坐标． ２．过Ｂ作ＢＭ⊥ＯＥ于Ｍ，过Ｃ作ＣＮ⊥ＯＦ于Ｎ， 易证得△ＤＡＯ≌△ＡＢＭ≌△ＣＤＮ，根据全等三角形 的性质求出Ｃ（２，３），由待定系数法求出直线ｌ的表 达式为ｙ＝－ｘ＋４，设平移后点Ｃ（２，３－ｍ），代入直 线即可求出ｍ． ,-./011234’56 $ ! # " & ' % ! ! $ * " & ! # ' ( % , ! * $ ' " ! * & # !! '! &! "! ! ' % "ã7 X89 书 （满分：１２０分） 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　 　　 　　　 　　 　　　 　　 　　１．下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是 （　　） ２．下列描述不能确定具体位置的是 （　　） Ａ．某影剧院６排８号 Ｂ．新华东路２１０号 Ｃ．北纬３２°，东经１１６° Ｄ．南偏西５６° ３．如图１，如果小明的位置用（４，３）表示，小华的位 置用（２，１）表示，那么小刚的位置可以表示成 （　　） Ａ．（４，４） Ｂ．（４，１） Ｃ．（１，４） Ｄ．（１，１） ４．在平面直角坐标系中，某个图形上各点的纵坐标 保持不变，而横坐标变为原来的相反数，此时图形却未 发生任何改变．下列说法正确的是 （　　） Ａ．该图形是轴对称图形且关于ｙ轴对称 Ｂ．该图形是轴对称图形且关于ｘ轴对称 Ｃ．该图形是中心对称图形且关于原点中心对称 Ｄ．该图形是任意图形均可 ５．如图２，在平面直角坐标系中，已知点 Ｏ（０，０）， Ａ（６，０），Ｂ（０，８），以某点为位似中心，作出与 △ＡＯＢ的 相似比为ｋ的位似△ＣＤＥ，若点Ｄ（１，１），点Ｃ（４，１），则 位似中心的坐标和ｋ的值分别为 （　　） Ａ．（０，０），２ Ｂ．（２，２），１２ Ｃ．（２，２），２ Ｄ．（１，１），１２ ６．直线ｌ１：ｙ＝ｘ－２与直线ｌ２：ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ，ｂ为常 数，ｋ≠０）关于坐标原点中心对称，若（１，ｍ）在直线 ｌ２ 上，则ｍ的值为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ７．中国象棋历史悠久，战国时期就有关于它的正式 记载，观察如图３所示的象棋棋盘，我们知道，行“马”的 规则是走“日”字对角（图中向上为进，向下为退）．如果 “帅”的位置记为（５，１），“马２退１”后的位置记为（１， ４）（表示第２列的“马”向下走“日”字对角到达第１列 的位置），那么“马８进７”后的位置可记为 （　　） Ａ．（８，４） Ｂ．（７，４） Ｃ．（７，３） Ｄ．（７，２） ８．如图４，在桌面 ＡＢＣＤ 上建立平面直角坐标系（每个 小正方形的边长为一个单位 长度），小球从点Ｐ（－４，０）出 发，撞击桌面边缘发生反弹， 若小球以每秒槡２个单位长度 的速度沿图中箭头方向运动， 则第２０２４秒时小球所在位置 的纵坐标为 （　　） Ａ．－２ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．２ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．在火车票上“１０车８号”可用有序数对（１０，８）来 表示，那么有序数对（２，３）表示的意义是 ． １０．如图 ５，在平面直角坐标系中，△ＡＢＣ和 △Ａ′Ｂ′Ｃ′是以原点 Ｏ为位似中心的位似图形，ＡＢＡ′Ｂ′＝ １ ２，已知Ａ（１，２），则顶点Ａ′的坐标为 ． １１．如图６，在平面直角坐标系中，点 Ａ，Ｂ的坐标分 别为（１，４），（４，０），将 △ＡＯＢ沿 ｘ轴正方向平移至 △ＣＢＤ，此时点Ｃ的坐标为 ． １２．如图７，△ＡＯＣ中三个顶点的坐标分别为 Ａ（４， ０），Ｏ（０，０），Ｃ（４，３），ＡＰ为△ＡＯＣ的一条中线，以 Ｏ为 位似中心，把 △ＡＯＰ每条边扩大到原来的 ２倍，得到 △Ａ′ＯＰ′，则ＰＰ′的长为 ． １３．如图８，点Ａ（０，３），Ｂ（１，０），将线段ＡＢ平移得到 线段ＤＣ，若∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＤ＝２ＡＢ，则点 Ｃ的坐标是 ． １４．如图９，直线ｙ＝－２３ｘ＋４ 交ｘ轴、ｙ轴于点Ａ，Ｂ，点Ｐ在第一 象限内，且纵坐标为４．若点 Ｐ关 于直线ＡＢ的对称点Ｐ′恰好落在ｘ 轴的正半轴上，则点 Ｐ′的横坐标 为 ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１０分）如图１０，在平面直角坐标系中描出下列 各点，并将各组的点顺次连结起来． ①（１，０），（６，０），（６，１），（５，０），（６，－１），（６，０）； ②（２，０），（５，３），（４，０）； ③（２，０），（５，－３），（４，０）． 观察所得到的图形，你觉得它像什么？ １６．（１０分）已知△ＡＢＣ在平面直角坐标系中的位 置如图１１所示，其中点Ａ和点Ｂ的坐标分别为Ａ（２，６）， Ｂ（６，２）． （１）在第一象限画出△ＡＢＣ以原点Ｏ为位似中心的位 似图形△Ａ１Ｂ１Ｃ１，使△ＡＢＣ与△Ａ１Ｂ１Ｃ１的相似比为２∶１； （２）画出△Ａ１Ｂ１Ｃ１绕点Ａ１按逆时针方向旋转９０° 后的△Ａ１Ｂ２Ｃ２． １７．（１０分）遗爱湖公园的亲水平台修建了许多台 阶（如图１２所示），春季湖水上涨后有一部分在水下．如 果点Ｃ的坐标为（－１，１），点Ｄ的坐标为（０，２）（点Ｃ，Ｄ 分别在第３，４级）． （１）请建立适当的直角坐标系，并写出点 Ａ，Ｂ，Ｅ，Ｆ 的坐标； （２）某一公司准备在湖边开展“母子亲水”活动，为 防止滑倒要将８级台阶全铺上２米宽的防滑地毯，经测 量，每级台阶宽高都为０．３米．你能帮该公司算一下地毯 要多少平方米？ １８．（１０分）如图１３，△ＡＢＣ与△ＤＥＦ位似，点Ｏ为 位似中心． （１）若△ＡＢＣ与△ＤＥＦ的相似比为１∶２，ＡＣ＝２， 求ＤＦ的长； （２）若∠Ｏ＝２２°，∠ＡＢＣ＝３８°，求∠ＯＦＥ的度数． １９．（１２分）如图１４，已知Ａ（－３，２），Ｂ（－１，－２）， Ｃ（１，－１）．将△ＡＢＣ向右平移３个单位长度，再向上平 移１个单位长度，得到△Ａ１Ｂ１Ｃ１． （１）在平面直角坐标系中画出△Ａ１Ｂ１Ｃ１，并写出顶 点Ａ１的坐标； （２）求△Ａ１Ｂ１Ｃ１的面积； （３）已知点Ｐ在ｘ轴上，以Ａ１，Ｃ１，Ｐ为顶点的三角形 面积为 ３ ２，请直接写出Ｐ点的坐标． ２０．（１２分）如图１５，在平面直角坐标系中，点 Ａ，Ｂ 的坐标分别为Ａ（０，ａ），Ｂ（ｂ，ａ），且ａ，ｂ满足（ａ＋ｂ－６）２ ＋ ｂ－ａ－槡 ２＝０，现同时将点Ａ，Ｂ分别向下平移２个 单位，再向左平移１个单位，分别得到点 Ａ，Ｂ的对应点 Ｃ，Ｄ．连结ＡＣ，ＢＤ，ＡＢ，ＢＣ． （１）求点Ｃ，Ｄ的坐标及△ＢＣＤ的面积； （２）在ｘ轴正半轴或ｙ轴正半轴上是否存在点Ｍ，使 △ＢＭＤ的面积是△ＢＣＤ面积的 ５４？若存在，请求出点Ｍ 的坐标，若不存在，试说明理由                                                                                                                                                                 ． ! " # $ % & ' ! ! ! $ # " & % ' ! ! 书 ２３．５位似图形 １．如图１，在正方形网格中，以点 Ｏ为位似中心， △ＡＢＣ的位似图形可以是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．△ＤＥＦ Ｂ．△ＤＦＨ Ｃ．△ＧＥＨ Ｄ．△ＧＤＪ ２．如图２，在正方形网格中，两个阴影部分的格点 三角形位似，则位似中心为 （　　） Ａ．点Ｍ Ｂ．点Ｎ Ｃ．点Ｐ Ｄ．点Ｑ ３．如图３，△ＡＢＣ与△ＤＥＦ是位似图形，点Ｏ为位 似中心，且ＯＡ∶ＯＤ＝１∶２，若 △ＡＢＣ的周长为８，则 △ＤＥＦ的周长为 （　　） 槡Ａ．４ Ｂ．２２ Ｃ．１６ Ｄ．３２ ４．如图４，点Ｏ是等边三角形ＰＱＲ内一点，Ｐ′，Ｑ′， Ｒ′分别是ＯＰ，ＯＱ，ＯＲ的中点，则△Ｐ′Ｑ′Ｒ′与△ＰＱＲ是 位似三角形，此时 △Ｐ′Ｑ′Ｒ′与 △ＰＱＲ的相似比为 ． ５．如图 ５，四边形 ＡＢＣＤ与四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′ 是以点Ｏ为位似中心的 位似图形，已知 ＯＡ ＯＡ′＝ ２ ５，若四边形ＡＢＣＤ的面积是２，则四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的 面积为 ． ６．如图６－①，图６－②，在４×６的正方形网格中， 每个小正方形的边长均为１，每个小正方形的顶点叫 做格点，△ＡＢＣ的顶点都在格点上，按要求画图． （１）在图６－①中，以点Ｂ为位似中心画一个三角 形，使它与△ＡＢＣ的相似比为２∶１； （２）在图 ６－② 中，画一个与 △ＡＢＣ相似的 △ＢＤＥ，要求所画的三角形的顶点在格点上，与△ＡＢＣ 的相似比不为１，且与（１）中所画的三角形不相同． ２３．６．１用坐标确定位置 １．小李在教室里的座位位置记作（２，５），表示他 坐在第二排第五列，那么小王坐在第三排第四列记作 （　　） Ａ．（４，３） Ｂ．（４，５） Ｃ．（３，５） Ｄ．（３，４） ２．钓鱼岛及其附属岛屿自古以来就是中国的固有 领土，在明代钓鱼岛纳入中国疆域版图．下列描述能够 准确表示钓鱼岛位置的是 （　　） Ａ．海上的一个岛 Ｂ．福建省的正东方向 Ｃ．距离温州市约３５８千米 Ｄ．北纬２５°４４．６′，东经１２３°２８．４′ ３．下列关于有序数对的说法正确的是 （　　） Ａ．（３，４）与（４，３）表示的位置相同 Ｂ．（ａ，ｂ）与（ｂ，ａ）表示的位置肯定不同 Ｃ．（３，５）与（５，３）是表示不同位置的两个有序数 对 Ｄ．（２，２）与（２，２）表示两个不同的位置 ４．如图１，货船Ａ与港口Ｂ相距３５海里，我们用有 序数对（南偏西４０°，３５海里）来描述港口Ｂ相对货船Ａ 的位置，那么货船 Ａ相对港口 Ｂ的位置可描述为 ． ５．如图２，雷达探测器测得Ａ，Ｂ，Ｃ三个目标．如果 Ａ，Ｂ的位置分别表示为（４，６０°），（２，２１０°），则目标 Ｃ 的位置表示为 ． ６．如图３，已知点Ａ，Ｂ在射线 ＯＸ上，ＯＡ＝２ｃｍ，ＡＢ＝１ｃｍ．如 果ＯＡ绕点Ｏ按逆时针方向转动 ３０°到ＯＡ′，那么点Ａ′的位置可以 用（２，３０°）表示，则将 ＯＢ绕点 Ｏ按逆时针方向转动 １２０°到ＯＢ′，那么点Ｂ′的位置可以表示为 ． ７．如图４是某公园的平面简图，若广场的位置记 作（５，３），试表示出图中其他地点的位置． ８．将正整数按如图５所示的规律排列下去．若用 有序数对（ｎ，ｍ）表示第ｎ排从左到右第ｍ个数，如（４， ３）表示９，则（１０，３）表示 ． ２３．６．２图形的变换与坐标 １．点Ａ（－２，１）先向右平移３个单位长度，再向下 平移２个单位长度得到的点的坐标是 （　　） Ａ．（１，－１） Ｂ．（－５，－１） Ｃ．（－５，３） Ｄ．（１，３） ２．如图１，在△ＡＢＣ中，Ａ，Ｂ两个顶点在 ｘ轴的上 方，点Ｃ的坐标是（－１，０），以点Ｃ为位似中心，在ｘ轴 的下方作△ＡＢＣ的位似图形 △Ａ′Ｂ′Ｃ，并把 △ＡＢＣ的 边长放大到原来的２倍．设点Ｂ的对应点Ｂ′的横坐标 是ａ，则点Ｂ的横坐标是 （　　） Ａ．－１２ａ Ｂ．－ ａ＋１ ２ Ｃ．－ａ－１２ Ｄ．－ ａ＋３ ２ ３．如图２，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，点Ｃ是ｘ轴上 一点，∠Ａ＝９０°，ＯＡ＝４，ＯＢ平分∠ＡＯＣ，则点Ｂ（ａ－ １，ａ－２）关于ｘ轴的对称点是 ． ４．在平面直角坐标系中，△ＡＢＣ与△Ａ１Ｂ１Ｃ１关于 原点Ｏ位似，点Ａ及其对应点 Ａ１的坐标分别为（－１， ２），（３，－６），则 △ＡＢＣ与 △Ａ１Ｂ１Ｃ１的相似比为 ． ５．在平面直角坐标系中，规定一个点先向上平移 ２个单位，再向右平移１个单位为１次运动．点Ｐ（－２， －３）经过 次这样的运动后到达点Ｐ′（７，１５）． ６．已知△ＡＢＣ在平面直角坐标系中的位置如图３ 所示． （１）在 图 中 画 出 △ＡＢＣ沿 ｘ轴 翻 折 后 的 △Ａ１Ｂ１Ｃ１； （２）以点Ｍ（１，２）为位似中心，作出 △Ａ１Ｂ１Ｃ１按 １∶２放大后的位似图形△Ａ２Ｂ２Ｃ２； （３）求点Ａ２的坐标以及△ＡＢＣ与△Ａ２Ｂ２Ｃ２的周 长比． 能力提高 ７．如图４，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，已知Ａ（－３，３）， Ｂ（－４，－１），Ｃ（１，－２），将△ＡＢＣ平移，点Ａ的对应点为 点Ｄ，点Ｂ的对应点为点Ｅ，点Ｃ的对应点为点Ｆ． （１）将△ＡＢＣ向左平移２个单位，再向上平移３个 单位，则点Ｄ的坐标为 ； （２）若平移后Ｄ，Ｅ两点都在坐标轴上，则点 Ｆ的 坐标为 ； （３）若在△ＡＢＣ内部存在一点 Ｐ，点 Ｐ的坐标为 （－３，ｙ）（ｙ＞０），在（２）的平移下，点Ｐ的对应点为点 Ｑ，使得△ＢＰＱ的面积为５，求点Ｐ的坐标． 书 又 因 为 ∠ＣＢＧ ＝ ∠ＭＢＣ，所以 △ＢＧＣ∽ △ＢＣＭ．所以 ∠ＢＧＣ ＝ ∠ＢＣＭ＝９０°．所以 ＣＧ⊥ ＢＭ． ２０．（１）证明：因为四 边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＡＤ∥ ＢＣ，所以 ∠ＡＤＧ＝ ∠ＥＢＧ，∠ＤＡＧ＝∠ＢＥＧ， 所以 △ＡＤＧ∽ △ＥＢＧ，所 以 ＤＧ ＢＧ＝ ＡＧ ＥＧ． 由题意，得 ＡＤ∥ ＣＥ， ＡＤ ＝ＣＥ，所以四边形 ＡＣＥＤ是平行四边形，所以 ＡＣ∥ ＤＥ，所以 ∠ＡＦＧ＝ ∠ＥＤＧ，∠ＦＡＧ＝∠ＤＥＧ， 所以 △ＡＧＦ∽ △ＥＧＤ，所 以 ＡＧ ＥＧ ＝ ＦＧ ＤＧ，所以 ＤＧ ＢＧ ＝ ＦＧ ＤＧ，所以ＤＧ ２ ＝ＦＧ·ＢＧ． （２） 因 为 四 边 形 ＡＣＥＤ为平行四边形，ＡＥ， ＣＤ相交于点Ｈ，所以ＤＨ＝ １ ２ＤＣ＝ １ ２ＡＢ＝７，ＡＤ＝ ＣＥ＝２４． 在 Ｒｔ△ＡＤＨ 中，ＡＨ２ ＝ＡＤ２＋ＤＨ２，所以 ＡＨ＝ ７２＋２４槡 ２ ＝２５，所以 ＡＥ ＝５０． 因 为 △ＡＤＧ ∽ △ＥＢＧ，所以ＡＧＥＧ＝ ＡＤ ＢＥ＝ １ ２，所以 ＡＧ＝ １ ２ＧＥ，所 以ＡＧ＝ １３ＡＥ＝ ５０ ３，所以 ＧＨ＝ＡＨ－ＡＧ＝２５３． 上期４版 重点集训营 １．Ｂ；　２．槡３２２． ３．（１）因为 Ｅ，Ｆ分别 为线段 ＯＡ，ＯＤ的中点，所 以 ＯＥ ＝ １２ＯＡ，ＯＦ ＝ １ ２ＯＤ，即ＥＦ为 △ＡＯＤ的 中位线，所以 ＥＦ＝ １２ＡＤ ＝６，因为四边形 ＡＢＣＤ为 矩形，所以ＡＣ＝ＢＤ，ＯＡ＝ ＯＣ，ＯＤ＝ＯＢ，所以ＯＤ＝ ＯＡ＝１６，所以ＯＥ＝ＯＦ＝ ８，所以 △ＯＥＦ的周长为 ＯＥ＋ＯＦ＋ＥＦ＝２２． （２）证明：由（１）可知， ＥＦ＝１２ＡＤ，且ＥＦ∥ＡＤ，因 为四边形ＡＢＣＤ的对角线交 于点Ｏ，所以点Ｏ为ＢＤ的中 点，又因为 Ｇ为边 ＡＢ的中 点，所以ＯＧ为△ＡＢＤ的中 位线，所以ＯＧ＝ １２ＡＤ，ＯＧ ∥ＡＤ，所以ＥＦ∥ＯＧ，ＥＦ＝ ＯＧ，所以四边形ＯＦＥＧ是平 行四边形． !"#$%&'()*+ "#$%&$'(%')! !",-%&'()*+ *+$%,$'(%%'$ ! ! !"#$ !" #$ %& %&'( ! " !"# "$# %&'( . )*+,-.!"#$%!"#&/ 01!23456 789:;< %% =( 01"23456 789:;< %% =( >&?@ABCDE&9F # = >&?@ABCDE&9F # = ! + % $ # " ( & ) ! % % $ # " ( ) * & + , ! ' - . / 0 1 1! .! . & -! - ! - ! % ' % $ -.$ ! ( ) $ - + ' % . % ' + - $ ) ( ! / %. () ! - *+, -., /0, 123 45 ………………………………… ……………………………… ………………………… …………………… % 678 ' + 698 % & ! 6:8 ' ( ) *+ 6;8 << ! $ % $ # & 0 % ! ' % ! + $! %! ! & # $ % ' ! % ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! + & % $ %! 2 # % $ # % $ ! ) !" #" $ ' ! ! ' ! % - ) & $ % ) " # % ! ( ! ' % # - & ! %% ! ' ( ) $ - + ' % % $ # & % ' + - $ ) ( ! / %. 0 1 2 3 ! & % $ # & ! 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