第7期 23.3.1 相似三角形 23.3.2 相似三角形的判定（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（华东师大版）

书 【!"】 １．!Ｂ"ＢＨ⊥ＢＣ#ＤＥ$%&'(Ｈ，)*+ △ＡＤＥ∽△ＢＨＥ，,-ＡＥ ＥＢ＝ＡＤ ＢＨ ，./01'$23 45678+9∠Ｈ＝∠ＤＢＨ，(:+9ＤＨ＝ＢＤ， !Ｄ"ＤＭ⊥ＢＨ(Ｍ，./5;<=>$23?@ >$23+9ＢＭ＝１ ２ＢＨ＝ＣＤ，AＣＤ＝ｘ，BＢＨ ＝２ｘ，./C=D5*E△ＢＨＥ≌△ＢＦＥ，FＢＨ＝ ＢＦGH+9IJ． ２．%&ＤＡ，!Ｂ"ＢＭ⊥ＤＡ(Ｍ，KL△ＢＣＥ 9△ＢＭＮ，)*+△ＡＮＢ?△ＡＥＢM5，NＡＥ＝ＡＮ ＝１０，AＣＥ＝ｘ，OｘPQＡＤ，ＤＥ，R./STUV WXY(ｘ$Z[，\]ｘ，./D^GH\]Ｓ△ＡＤＥ ＋Ｓ△ＣＥＦ$_． 书 １． !" １， # Ｒｔ△ＡＢＣ$，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ， # ＡＣ %&'( Ｄ， # ＡＢ %&'( Ｅ， ) ∠ＢＤＣ＝ ∠ＥＤＡ，*(Ｅ+ＥＦ⊥ＢＤ,(Ｎ，-ＢＣ,(Ｆ，.ＣＦ ＝８，ＡＤ＝１１， / ＣＤ 012 ． ２． !" ２， 34 ＡＢＣＤ $ ，ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｄ＝９０°，ＢＣ ＝ＣＤ＝１２，∠ＡＢＥ＝４５°，(Ｅ#ＤＣ%，ＡＥ，ＢＣ051 67-,( Ｆ， . ＡＥ＝１０， / Ｓ△ＡＤＥ ＋Ｓ△ＣＥＦ089 ． 书 类型１：已知条件涉及平行线 例 １　 如图 １，在 △ＡＢＣ中， ∠ＤＥＦ ＝ ∠Ｂ，ＤＥ∥ ＢＣ．求证： △ＡＤＥ∽△ＥＦＣ． 证明：因为 ＤＥ∥ ＢＣ，所以 ∠ＤＥＦ＝∠ＥＦＣ，△ＡＤＥ∽ △ＡＢＣ． 因为∠ＤＥＦ＝∠Ｂ，所以∠ＥＦＣ＝∠Ｂ，所以ＥＦ∥ＡＢ， 所以△ＥＦＣ∽△ＡＢＣ，所以△ＡＤＥ∽△ＥＦＣ． 温馨提示：当已知条件涉及平行线时，可直接利用 “平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长 线）相交所构成的三角形与原三角形相似”来证明两个 三角形相似． 类型２：已知条件只涉及角 例２　如图２，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ ＡＣ，点 Ｄ，Ｅ分别在 ＢＣ，ＡＢ上，且 ∠ＢＤＥ＝∠ＣＡＤ，△ＡＤＥ与△ＡＢＤ相 似吗？为什么？ 解：△ＡＤＥ∽△ＡＢＤ，理由如下： 因为在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，所以∠Ｂ＝∠Ｃ， 因为∠ＡＤＢ＝∠Ｃ＋∠ＣＡＤ＝∠ＡＤＥ＋∠ＢＤＥ，而 ∠ＢＤＥ＝∠ＣＡＤ，所以∠ＡＤＥ＝∠Ｃ＝∠Ｂ， 因为∠ＤＡＥ＝∠ＤＡＥ，所以△ＡＤＥ∽△ＡＢＤ． 温馨提示：当已知条件只涉及角时，可用“两角分别 相等的两个三角形相似”来证明两个三角形相似．解决这 类题时，要注意图中公共角、对顶角等隐含条件． 类型３：已知条件既有角又有边 例３　如图３，在△ＡＢＣ中，ＣＤ ＝ＣＥ，２ＡＤ＝３ＡＥ，２ＢＤ＝３ＣＤ，求 证：△ＡＢＤ∽△ＡＣＥ． 证明：因为 ＣＤ ＝ＣＥ，所以 ∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ，所以∠ＡＤＢ＝∠ＡＥＣ， 因为２ＡＤ＝３ＡＥ，２ＢＤ＝３ＣＤ， 所以 ＡＤ ＡＥ＝ ＢＤ ＣＤ＝ ＢＤ ＣＥ＝ ３ ２， 所以△ＡＢＤ∽△ＡＣＥ． 温馨提示：当已知两个三角形的两边对应成比例时， 要考虑其夹角是否相等，利用“两边成比例且夹角相等的 两个三角形相似”来证明三角形相似． 类型４：已知条件只涉及边 例４　如图４，在△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′中，点Ｄ，Ｄ′分别 是ＡＢ，Ａ′Ｂ′上的点，ＡＤＡＢ＝ Ａ′Ｄ′ Ａ′Ｂ′，当 ＣＤ Ｃ′Ｄ′＝ ＡＣ Ａ′Ｃ′＝ ＡＢ Ａ′Ｂ′时， 求证：△ＡＤＣ∽△Ａ′Ｄ′Ｃ′． 证明：因为 ＡＤ ＡＢ＝ Ａ′Ｄ′ Ａ′Ｂ′，所以 ＡＤ Ａ′Ｄ′＝ ＡＢ Ａ′Ｂ′． 因为 ＣＤ Ｃ′Ｄ′＝ ＡＣ Ａ′Ｃ′＝ ＡＢ Ａ′Ｂ′，所以 ＣＤ Ｃ′Ｄ′＝ ＡＣ Ａ′Ｃ′＝ ＡＤ Ａ′Ｄ′， 所以△ＡＤＣ∽△Ａ′Ｄ′Ｃ′． 温馨提示：当已知条件只涉及边时，利用“三边成比 例的两个三角形相似”来证明两个三角形相似是常用方 法．判断三边是否成比例时，可先将三角形的边按大小顺 序排列． 书 １．在△ＡＢＣ纸片中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝５，ＡＣ＝７，将 该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不 相似的是 （　　） ２．将三角形纸片△ＡＢＣ按如图 １的方式折叠，使点Ｂ落在边ＡＣ上， 记为点Ｂ′，折痕为ＥＦ．已知ＡＢ＝ＡＣ ＝３，ＢＣ＝４，若以点Ｂ′，Ｆ，Ｃ为顶点 的三角形与 △ＡＢＣ相似，则 ＢＦ＝ ． ３．如图２所示，在等腰△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｅ，Ｆ 在线段ＢＣ上，ＣＥ＝ＢＦ，点Ｑ在线段ＡＢ上，且 ＡＥ２ ＝ ＡＱ·ＡＢ．求证： （１）∠ＣＡＥ＝∠ＢＡＦ； （２）△ＡＣＥ∽△ＡＦＱ． 书 上期２版 ２３．１．１成比例线段 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｄ；　３．Ｂ； ４．２；　５．３；　６．６． ７．△ＡＢＣ是直角三角形，理由：设ａ＋４３ ＝ ｂ＋３ ２ ＝ ｃ＋８ ４ ＝ｋ，则ａ＝３ｋ－４，ｂ＝２ｋ－３，ｃ＝４ｋ－８，因为ａ ＋ｂ＋ｃ＝１２，所以３ｋ－４＋２ｋ－３＋４ｋ－８＝１２，所以ｋ ＝３，所以ａ＝５，ｂ＝３，ｃ＝４，所以ｂ２＋ｃ２ ＝３２＋４２ ＝ ２５＝ａ２，所以△ＡＢＣ是直角三角形． 能力提高　８．（１）ＢＤ＝１２． （２）根据题意可设ＡＤ＝ｘ，则ＢＤ＝５ｘ，所以ＡＢ＝ ６ｘ．因为点 Ｃ把线段 ＡＢ分为２∶３的两段，所以 ＡＣ＝ ２ ５ＡＢ＝ １２ ５ｘ，所以ＣＤ＝ＡＣ－ＡＤ＝ １２ ５ｘ－ｘ＝ ７ ５ｘ．因 为ＣＤ＝７，所以 ７５ｘ＝７，解得ｘ＝５．所以ＡＢ＝６ｘ＝３０． ２３．１．２平行线分线段成比例 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ；　３．２；　４．６；　５．４３． ６．证明：因为ＡＢＣＤ，所以ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ，所 以 ＣＦ ＥＦ＝ ＤＦ ＢＦ， ＤＦ ＢＦ＝ ＧＦ ＣＦ，所以 ＣＦ ＥＦ＝ ＧＦ ＣＦ，即ＣＦ ２＝ＥＦ·ＧＦ． 能力提高　７．（１）因为ＡＤ∥ＢＥ∥ＣＦ，所以ＡＢＡＣ＝ ＤＥ ＤＦ＝ ２ ７，所以 ＤＥ ＤＥ＋１０＝ ２ ７，所以ＤＥ＝４，所以ＤＦ＝ ＤＥ＋ＥＦ＝４＋１０＝１４． （２）因为点Ｇ是ＤＥ的中点，ＡＤ∥ＢＥ，ＱＧ＝３，所以 ＤＧ ＤＥ＝ ＱＧ ＱＨ＝ １ ２，所以ＱＨ＝６，因为ＡＤ∥ＢＥ∥ＣＦ，所 以 ＱＨ ＰＨ＝ ＡＢ ＢＣ，所以 ６ ＰＨ＝ ２ ５，所以ＰＨ＝１５． ２３．２相似图形 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．槡２２；　４．６； ５．２ｙ＝３ｘ或３ｙ－２ｘ＝１０． ６．设运动ｔｓ能使矩形ＣＦＮＭ与矩形ＡＥＦＤ相似，由 题意得 １６ ２ｔ＝ ８ ４或 １６ ４ ＝ ８ ２ｔ，解得ｔ＝４或ｔ＝１．所以当 Ｍ，Ｎ运动４ｓ或１ｓ能使矩形ＣＦＮＭ与矩形ＡＥＦＤ相似． 能力提高　７．（１）证明：因为 ∠ＢＡＤ的平分线交 ＢＣ于点Ｅ，所以∠ＢＡＥ＝∠ＥＡＦ．因为四边形ＡＢＣＤ是 平行四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ．所以∠ＥＡＦ＝∠ＡＥＢ．所以 ∠ＢＡＥ＝∠ＡＥＢ．所以ＡＢ＝ＢＥ．同理ＡＢ＝ＡＦ．所以ＢＥ ＝ＡＦ．因为ＡＤ∥ＢＣ，所以四边形ＡＢＥＦ是平行四边形． 因为ＡＢ＝ＢＥ，所以四边形ＡＢＥＦ是菱形． （２）由（１）知，四边形ＡＢＥＦ是菱形，所以ＡＢ＝ＢＥ ＝ＥＦ＝ＦＡ．又因为四边形 ＣＤＦＥ是平行四边形，所以 ＦＤ＝ＣＥ，ＥＦ＝ＣＤ，所以ＡＢ＝ＢＥ＝ＥＦ＝ＦＡ＝ＣＤ． 设ＦＤ＝ＣＥ＝ｘ，因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，且ＡＤ ＝ＢＣ＝４，所以 ＡＦ＝ＢＥ＝ＣＤ＝ＥＦ＝４－ｘ，因为 ＡＢＣＤ∽ＥＣＤＦ，所以ＡＤＥＦ＝ ＣＤ ＦＤ，即 ４ ４－ｘ＝ ４－ｘ ｘ ，整 理得ｘ２－１２ｘ＋１６＝０，解得ｘ＝６± 槡２５，因为ｘ＜４， 所以ｘ＝６－ 槡２５，所以ＡＦ＝４－６＋ 槡２５＝ 槡２５－２． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ｄ Ｂ Ｂ 二、９．７５；　１０．８；　１１．１８；　１２． ２ ３或 －２； １３．５１．２；　１４．槡２２． （下转１，４版中缝） 书 在近几年的各种考试中，网格中的格点三角形（顶 点在网格交点处）相似问题频频出现．这些试题，将相 似三角形的基础知识的考查寓于新颖的情境之中，既开 拓了同学们的视野，又考查了同学们知识的迁移、类比 能力，对培养同学们的创新意识和创新能力有很好的导 向作用．以下几例供同学们参考． 一、确定相似比 例１　如图１是一个４×４的正方 形网格，△ＡＢＣ与 △Ａ１Ｂ１Ｃ１都是格点 三角形，并且 △ＡＢＣ∽ △Ａ１Ｂ１Ｃ１，则 △ＡＢＣ 与 △Ａ１Ｂ１Ｃ１ 的 相 似 比 是 ． 解析：由勾股定理，得 Ａ１Ｃ１ ＝１， Ａ１Ｂ１ ＝２，ＡＣ＝槡２，ＡＢ＝ 槡２２，由△ＡＢＣ∽△Ａ１Ｂ１Ｃ１可 知，△ＡＢＣ与△Ａ１Ｂ１Ｃ１的相似比 ＝ＡＣ∶Ａ１Ｃ１ ＝ＡＢ∶ Ａ１Ｂ１ ＝槡２∶１．故填槡２∶１． 二、识别相似三角形 例２　在如图２所示的中国象棋棋盘（各个小正方 形的边长相等）的格点上有 Ａ，Ｂ， Ｃ，Ｄ，Ｆ五点，则能使格点Ｄ，Ｆ与下 列格点构成的三角形与由格点 Ａ， Ｂ，Ｃ围成的△ＡＢＣ相似的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．①处 Ｂ．②处 Ｃ．③处 　　Ｄ．④处 解析：根据网格特点和勾股定理可以求出对应三角 形的边长，ＢＣ＝１，ＡＢ＝槡５，ＡＣ＝ 槡２２，ＤＦ＝ 槡４２，Ａ．点 Ｆ与①的距离为槡２，点Ｄ与①的距离为槡３４，与△ＡＢＣ 不相似，故此选项不符合题意；Ｂ．点Ｆ与②的距离为２， 点 Ｄ与②的距离为 槡２５，则 槡 ２５ 槡５ ＝２１ ＝ 槡４２ 槡２２ ，与△ＡＢＣ 相似，故此选项符合题意；Ｃ．点 Ｆ与 ③ 的距离为槡１３， 点Ｄ与③的距离为槡５，与△ＡＢＣ不相似，故此选项不符 合题意；Ｄ．点Ｆ与④的距离为槡１７，点Ｄ与④的距离为 ３，与△ＡＢＣ不相似，故此选项不符合题意．故选Ｂ． 书 在学习相似三角形这部分 知识的过程中，同学们由于学 习习惯，以及对课本中的结论 理解不透彻，常犯一些错误，现 举例剖析如下，希望同学们引 以为戒． 地雷１：忽视对应角 例 １　 在 △ＡＢＣ 和 △Ａ′Ｂ′Ｃ′中，∠Ａ ＝ ∠Ａ′＝ ４５°，∠Ｂ＝２６°，∠Ｂ′＝１０９°， 它们是否相似？ 错解：因为 ∠Ａ＝∠Ａ′， ∠Ｂ≠ ∠Ｂ′，所以 △ＡＢＣ和 △Ａ′Ｂ′Ｃ′不相似． 剖析：错解是对三角形的 对应角概念不清而致错．在 △ＡＢＣ中，∠Ａ ＝４５°，∠Ｂ ＝ ２６°，所以 ∠Ｃ＝１８０°－∠Ａ－ ∠Ｂ＝１０９°．所以∠Ｃ＝∠Ｂ′．又因为∠Ａ＝∠Ａ′，所以 △ＡＢＣ∽△Ａ′Ｃ′Ｂ′． 　　正解： 地雷２：忽视对应边 例２　如图１，在梯形ＡＢＣＤ中， ＡＤ∥ＢＣ，对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ，试说明△ＡＯＢ与 △ＤＯＣ是否相 似？ 错解：△ＡＯＢ∽ △ＤＯＣ．理由： 在△ＡＯＢ与△ＤＯＣ中，因为ＡＤ∥ＢＣ，所以ＡＯＣＯ＝ ＤＯ ＢＯ． 又因为∠ＡＯＢ＝∠ＤＯＣ，所以△ＡＯＢ∽△ＤＯＣ． 剖析：错解误用了“两边对应成比例且夹角相等的 两个三角形是相似三角形”．由于ＡＯＣＯ＝ ＤＯ ＢＯ，变形得 ＡＯ ＤＯ ＝ＣＯＢＯ，很明显ＡＯ与ＣＯ，ＤＯ与ＢＯ不在同一个三角形 中，所以不能说明△ＡＯＢ与△ＤＯＣ相似． 　　正解： 地雷３：忽视可传递性 例３　如图２，锐角三角形 ＡＢＣ 的高ＣＤ与ＢＥ交于点Ｏ，则图中的相 似三角形有 （　　） Ａ．３对　　　　　Ｂ．４对 Ｃ．５对 Ｄ．６对 错解：根据“两角对应相等，两三角形相似”得到 △ＡＢＥ∽△ＡＣＤ，△ＡＢＥ∽ △ＯＢＤ，△ＡＤＣ∽ △ＯＥＣ， △ＤＯＢ∽△ＥＯＣ．故选Ｂ． 剖析：相似三角形具有可传递性，由 △ＡＢＥ∽ △ＯＢＤ和△ＤＯＢ∽△ＥＯＣ及△ＡＤＣ∽△ＯＥＣ，还可得 两对相似三角形：△ＡＢＥ∽△ＯＣＥ和△ＤＯＢ∽△ＤＡＣ． 　　正解： 书 探究发现：如图１，在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＣＤ平分 ∠ＢＣＡ， 作ＡＥ⊥ＣＤ交ＢＣ于点Ｅ，垂足为Ｆ， 作ＢＧ⊥ＡＥ，垂足为Ｇ．求证：ＡＣ２ ＝ ＣＦ·ＣＤ． 思路分析：根据比例的基本性 质，欲证ＡＣ２＝ＣＦ·ＣＤ，只需证明ＡＣＣＦ＝ ＣＤ ＡＣ，而相似三角 形的对应边成比例，所以只需证明由这四条线段所确定 的两个三角形相似即可．由线段ＡＣ，ＣＦ确定的三角形是 △ＡＣＦ，由线段 ＣＤ，ＡＣ确定的三角形是 △ＡＣＤ，根据题 意和图形可知这两个三角形已有两组对应角相等，于是 问题得证（同学们自己完成证明过程）． 方法归纳：上述证明等积式的方法我们称之为“三 点定形法”，一般步骤是：（１）把等积式转化为比例式； （２）观察成比例的四条线段确定可能相似的两个三角 形；（３）找出使这两个三角形相似的条件． 若在步骤（２）中，发现四条线段不在两个三角形 中，我们可以用相等的量替换其中一个或两个量，包括 等比替换，等积替换等． 变式探究 一、等比替换 例１　如图２，在四边形ＡＢＤＥ中， ∠ＡＢＣ＝∠ＢＤＥ，点Ｃ在边ＢＤ上，且ＡＣ ∥ＤＥ，ＡＢ∥ＣＥ，点Ｆ在边ＡＣ上，连结 ＢＦ，ＤＦ，ＤＦ交ＣＥ于点Ｇ．若∠ＡＣＥ＝ ∠ＣＤＦ，求证：ＣＥ·ＣＦ＝ＤＦ·ＤＧ． 证明：因为 ∠ＧＦＣ ＝∠ＣＦＤ， ∠ＦＣＧ＝∠ＣＤＦ，所以△ＦＣＧ∽△ＦＤＣ，所以ＣＦＤＦ＝ ＧＦ ＣＦ， 又因为ＡＣ∥ＤＥ，所以△ＦＣＧ∽△ＤＥＧ，所以ＧＦＧＤ＝ ＣＦ ＥＤ，即 ＧＦ ＣＦ＝ ＧＤ ＥＤ，所以 ＣＦ ＤＦ＝ ＧＤ ＥＤ，又因为ＡＢ∥ＣＥ，∠ＡＢＣ ＝∠ＢＤＥ，所以∠ＥＣＤ＝∠ＥＤＣ，所以ＥＣ＝ＥＤ，所以 ＣＦ ＤＦ＝ ＧＤ ＥＣ，所以ＣＥ·ＣＦ＝ＤＦ·ＤＧ． 二、等积替换 例 ２　 如 图 ３， 已 知 ＣＥ是 Ｒｔ△ＡＢＣ的斜边ＡＢ上的高，点Ｐ是ＣＥ 的延长线上任意一点，ＢＧ⊥ＡＰ．求证： ＣＥ２ ＝ＥＤ·ＥＰ． 证明：因为ＣＥ是Ｒｔ△ＡＢＣ的斜边 ＡＢ上的高，ＢＧ⊥ ＡＰ，所以 ∠Ｐ＋ ∠ＰＡＥ＝９０°，∠ＤＢＥ＋∠ＰＡＥ ＝９０°，所以 ∠Ｐ ＝ ∠ＤＢＥ． 又因为 ∠ＡＥＰ＝∠ＤＥＢ＝９０°，所以 △ＡＥＰ∽ △ＤＥＢ，所以ＡＥＤＥ＝ ＥＰ ＥＢ，即ＡＥ·ＥＢ＝ＤＥ·ＥＰ． 因为ＣＥ是Ｒｔ△ＡＢＣ斜边ＡＢ上的高，所以∠ＡＥＣ＝ ∠ＣＥＢ＝９０°． 因为∠ＡＣＥ＋∠ＥＣＢ＝９０°，∠ＣＡＥ＋∠ＡＣＥ＝９０°， 所以∠ＥＣＢ＝∠ＣＡＥ，所以△ＡＣＥ∽△ＣＢＥ，所以ＣＥＢＥ＝ ＡＥ ＣＥ，即ＣＥ ２ ＝ＡＥ·ＢＥ． 又因为ＡＥ·ＥＢ＝ＤＥ·ＥＰ，所以ＣＥ２ ＝ＤＥ·ＥＰ． 书 （上接４版参考答案） 三、１５．证明：因为 菱 形 ＡＥＦＧ ∽ 菱 形 ＡＢＣＤ，所以 ∠ＤＡＢ ＝ ∠ＥＡＧ，所以 ∠ＤＡＢ＋ ∠ＧＡＢ ＝ ∠ＥＡＧ ＋ ∠ＧＡＢ，即 ∠ＥＡＢ ＝ ∠ＧＡＤ，因 为 四 边 形 ＡＢＣＤ，ＡＥＦＧ都是菱形， 所以 ＡＥ ＝ＡＧ，ＡＢ ＝ ＡＤ， 所 以 △ＥＡＢ ≌ △ＧＡＤ，所以ＧＤ＝ＥＢ． １６．（１）因为（ａ＋ ｂ）∶（ｂ＋ｃ）∶（ｃ＋ａ）＝ ７∶１４∶９，设ａ＋ｂ＝７ｋ， ｂ＋ｃ＝１４ｋ，ｃ＋ａ＝９ｋ， 则ａ＋ｂ＋ｃ＝１５ｋ，所以 ａ＝ｋ，ｂ＝６ｋ，ｃ＝８ｋ，所 以ａ∶ｂ∶ｃ＝１∶６∶８． （２）ａ ２－ａｂ ｃ２＋ｂｃ 的值为 － ５１１２． １７．（１）证明：因为 ＥＣ平分 ∠ＦＥＢ，所以 ∠ＦＥＣ＝∠ＢＥＣ，因为 ＥＦ∥ ＢＣ，所以 ∠ＢＣＥ ＝∠ＦＥＣ，所以 ∠ＢＣＥ ＝∠ＢＥＣ，所以 ＢＥ＝ ＢＣ． （２）ＡＥ＝ＢＣ．理由： 因为ＡＤ∥ ＥＦ，所以ＤＦＣＦ ＝ＡＥＢＥ，因为ＤＦ＝ＦＣ，所 以ＡＥ＝ＢＥ，因为ＢＥ＝ ＢＣ，所以ＡＥ＝ＢＣ． １８．（１）过点 Ｄ作 ＤＧ∥ＣＦ，交ＡＢ于点Ｇ． 因为ＤＧ∥ＣＦ，所以ＢＧＧＦ ＝ ＢＤＤＣ， 因 为 ＡＤ 是 △ＡＢＣ的中线，所以ＢＤ ＝ＤＣ，所以 ＢＧ＝ＧＦ， 因为ＤＧ∥ＣＦ，所以ＡＦＦＧ ＝ＡＥＥＤ，因为 Ｅ为 ＡＤ的 中点，所以ＡＥ＝ＥＤ，所 以ＡＦ＝ＦＧ＝ＢＧ，所以 ＡＦ ＢＦ＝ １ ２． （２）过点 Ｄ作 ＤＨ ∥ＣＦ，交ＡＢ于点Ｈ．因 为ＤＨ∥ＣＦ，所以ＡＦＦＨ＝ ＡＥ ＥＤ，因为 ＡＥ ＥＤ＝ １ ｋ，所以 ＡＦ ＦＨ＝ １ ｋ，所以 ＦＨ ＝ ｋＡＦ，由（１）知 ＦＨ ＝ ＢＨ，所以 ＢＨ＝ＦＨ ＝ ! " #! !"## " $"% ! !"!#&$'%&( !"#$%&'" ()*+,-'. !! ! !"#$ !"# !$"%&'( ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " )* +,- !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " # $ % & ' ! ' " + . / 0 1 " +2 3 4 ! ! # # ( # % ! % ( % # ( ! % ) ' " ! % ! # ! % # ( !! %! #! (! "52 3 6 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 78"9:;<= >?@ABC"D( !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! EFGHICJKLMNOPQ # ( ! % " ! ' # ( ! % " ! ! # ! ( # ! ( # ! ( !(& '(& # ! ( ! ' ) * + , # (! * " ) ! ! ) + ( ! " (! ! % # ( ! % " ) ! ! # ( ! % " ) , ! % ! ! # ) ! 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' # ( ! % " ! % ) 书 ２３．３．１相似三角形 １．如图１，△ＡＢＣ中，ＤＥ∥ＢＣ，ＡＤ＝３，ＤＢ＝２，则 △ＡＤＥ与△ＡＢＣ的相似比是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３∶２ Ｂ．２∶３ Ｃ．３∶５ Ｄ．５∶３ ２．如图２，△ＡＢＣ中，已知ＤＥ∥ＢＣ，ＥＦ∥ＡＢ，若ＡＤＡＢ ＝ １３，则ＢＦ∶ＢＣ的值为 （　　） Ａ．１∶３ Ｂ．１∶２ Ｃ．２∶３ Ｄ．３∶４ ３．如图３，△ＡＢＣ中，ＣＤ平分∠ＡＣＢ交ＡＢ于Ｄ，ＤＥ ∥ＢＣ交ＡＣ于Ｅ，ＡＣ＝６，ＤＥ＝４，则ＢＣ＝ ． ４．如图４，在边长为６的正方形ＡＢＣＤ的外侧，作等 腰三角形ＡＤＥ，ＡＥ＝ＤＥ＝５，若Ｆ为ＢＥ的中点，连结 ＡＦ并延长，与ＣＤ相交于点Ｇ，则ＡＧ的长为 ． 能力提高 ５．如图５，ＡＤ，ＢＣ相交于点Ｅ，ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ，Ｂ，Ｆ， Ｄ在一条直线上，ＡＢ＝１０，ＣＤ＝１５． （１）求ＢＦＤＦ的值； （２）求ＥＦ的长． ２３．３．２相似三角形的判定（第一课时） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．如图１，在矩形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是ＣＤ，ＢＣ上的 点．若∠ＡＥＦ＝９０°，则一定有 （　　） Ａ．△ＡＥＦ∽△ＡＢＦ Ｂ．△ＡＢＦ∽△ＥＣＦ Ｃ．△ＡＤＥ∽△ＡＥＦ Ｄ．△ＡＤＥ∽△ＥＣＦ ２．如图２，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，Ｄ是ＡＢ边 的中点，ＡＦ⊥ＣＤ于点Ｅ，交ＢＣ边于点Ｆ，连结ＤＦ，则图 中与△ＡＣＥ相似的三角形共有 （　　） Ａ．２个 Ｂ．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个 ３．如图３，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝４０°，点 Ｄ是边ＡＣ上的动点（点Ｄ不与点Ａ，Ｃ重合），当∠ＢＤＣ ＝ 度时，△ＡＢＣ∽△ＢＤＣ． ４．如图４，在矩形ＡＢＣＤ中，Ｅ是边ＢＣ的中点，连结 ＡＥ，ＤＦ⊥ＡＥ于点Ｆ．若ＡＢ＝４，ＢＣ＝６，则ＥＦ的长为 ． ５．如图５，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝２∠Ｃ． （１）在图中作出△ＡＢＣ的内角平分线ＡＤ（要求：尺 规作图，保留作图痕迹，不写证明）； （２）求证：△ＡＢＤ∽△ＣＢＡ． ２３．３．２相似三角形的判定（第二课时） １．如图１，下列条件不能判定△ＡＤＢ∽△ＡＢＣ的是 （　　） Ａ．∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＢ Ｂ．∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＣ Ｃ．ＡＢ２ ＝ＡＤ·ＡＣ Ｄ．ＡＢ·ＢＣ＝ＡＤ·ＤＢ ２．下列四个三角形中，与如图２中△ＡＢＣ相似的是 （　　） ３．如图３，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝８，ＢＣ＝１６，点Ｐ是ＡＢ 边的中点，点Ｑ是ＢＣ边上一个动点，当ＢＱ＝ 时，△ＢＰＱ与△ＢＡＣ相似． ４．如图４，在已建立直角坐标系的４×４的正方形方 格中，△ＡＢＣ是格点三角形（三角形的三个顶点是小正 方形的顶点），若以格点 Ｐ，Ａ，Ｂ为顶点的三角形与 △ＡＢＣ相似（全等除外），则格点Ｐ的坐标是 ． ５．如图５，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ是ＡＤ的中点，点Ｆ 在ＣＤ上，且ＣＦ＝３ＦＤ． （１）求证：△ＡＢＥ∽△ＤＥＦ； （２）△ＡＢＥ与△ＢＥＦ相似吗？为什么？ ２３．３．２相似三角形的判定（第三课时） １．已知△ＡＢＣ三边长分别是１，槡２，槡３，与△ＡＢＣ相 似的三角形三边长可能是 （　　） 槡Ａ．２，２，槡６ Ｂ．槡 ２ ２，１，槡３ Ｃ．１，槡６２，槡３ Ｄ． 槡３ ３，１，槡３ ２．如图１，在４×４的正方形网格中，是相似三角形 的是 （　　） Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．①和③ Ｄ．无法确定 ３．已知一个三角形的三边长分别为 ６ｃｍ，９ｃｍ， ７．５ｃｍ，另一个三角形的三边长分别为１２ｃｍ，１５ｃｍ， ｃｍ时，这两个三角形相似． ４．在如图２所示的格点图中有５个格点三角形，分别 是：①△ＡＢＣ，②△ＡＣＤ，③△ＡＤＥ，④△ＡＥＦ，⑤△ＡＧＨ，其 中与⑤相似的三角形是 （只填序号）． ５．如图 ３，在平面直角坐标系中，已知 Ａ（３，０）， Ｂ（０，４），Ｃ（４，２），作ＣＤ⊥ｘ轴，垂足为点 Ｄ，连结 ＡＢ， ＢＣ，ＡＣ．求证：△ＡＢＣ∽△ 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ＡＣＤ． 书 （满分：１２０分） 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．如图 １，ＡＢ∥ ＣＤ，ＡＣ，ＢＤ 交于Ｏ，ＢＯ＝７，ＤＯ＝３，ＤＣ＝６， 则ＡＢ长为 （　　） Ａ．１０ 　　　Ｂ．３．５ Ｃ．１４ 　　　Ｄ．１５ ２．如图２，Ｄ是 △ＡＢＣ边 ＡＢ 上一点，连结 ＣＤ，则添加下列条件后，仍不能判定 △ＡＣＤ∽△ＡＢＣ的是 （　　） Ａ．∠ＡＣＤ＝∠Ｂ Ｂ．∠ＡＤＣ＝∠ＡＣＢ Ｃ．ＡＤＡＣ＝ ＣＤ ＢＣ Ｄ．ＡＣ ２ ＝ＡＤ·ＡＢ ３．如图３，在ＡＢＣＤ中，Ｅ是ＡＢ的中点，ＥＣ交ＢＤ 于点Ｆ，那么ＥＦ与ＣＦ的比是 （　　） Ａ．２∶１ Ｂ．１∶２ Ｃ．１∶３ Ｄ．３∶１ ４．下列各组图形必相似的是 （　　） Ａ．任意两个等腰三角形 Ｂ．有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两个 三角形 Ｃ．两边及其中一边上的中线对应成比例的两个三 角形 Ｄ．两边为４和５的直角三角形与两边为８和１０的直 角三角形 ５．在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，用直尺和圆规在边 ＡＢ上确定一点Ｄ，使△ＡＣＤ∽△ＣＢＤ，根据作图痕迹判 断，下列正确的是 （　　） ６．如图４，在平行四边形ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别在边 ＡＤ，ＢＣ上，且ＥＦ∥ＣＤ，Ｇ为边ＡＤ延长线上一点，连结 ＢＧ，则图中与△ＡＢＧ相似的三角形有 （　　） Ａ．３个 Ｂ．４个 Ｃ．５个 Ｄ．６个 ７．如图５，在三边都不相等的△ＡＢＣ的边ＡＢ上有一 点Ｄ，过点Ｄ画一条直线，与三角形的另一边相交所截得 的三角形与△ＡＢＣ相似，这样的直线最多可以画 （　　） Ａ．５条 Ｂ．４条 Ｃ．３条 Ｄ．２条 ８．如图６，在四边形ＡＢＣＤ中， ∠Ａ＝∠Ｃ ＝９０°，ＤＦ∥ ＢＣ， ∠ＡＢＣ的平分线 ＢＥ交 ＤＦ于点 Ｇ，ＧＨ⊥ＤＦ，点Ｅ恰好为 ＤＨ的 中点，若ＡＥ＝３，ＣＤ＝２，则ＧＨ 的长为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．如图７，在△ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ分别在ＡＢ，ＡＣ边上， 要使△ＡＢＣ∽△ＡＥＤ（点Ｂ与点Ｅ对应），则需要添加的 一个条件是 （写出一个即可）． １０．如图８，Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝４，ＢＣ＝２， Ｄ，Ｅ，Ｆ分别为ＢＣ，ＡＢ，ＡＣ上的点，若四边形ＤＥＦＣ为正 方形，则它的边长为 ． １１．如图９所示，棋盘上有 Ａ，Ｂ，Ｃ三个黑子与 Ｐ，Ｑ 两个白子，要使△ＡＢＣ∽△ＲＰＱ，则第三个白子Ｒ应放 的位置是 （填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． １２．如图 １０，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，∠Ｃ＝ ６０°，ＢＣ＝２４，点Ｐ是ＢＣ边上的动点（点Ｐ与点Ｂ，Ｃ不 重合），过动点Ｐ作ＰＤ∥ＢＡ交ＡＣ于点Ｄ．若△ＡＢＣ与 △ＤＡＰ相似，则∠ＡＰＤ＝ ． １３．如图１１，在平面直角坐标系中有两点 Ａ（４，０）， Ｂ（０，２），如果点Ｃ在ｘ轴上（Ｃ与Ａ不重合），当点Ｃ的坐 标为 时，使得△ＢＯＣ与△ＡＯＢ相似． １４．如图１２，等边△ＡＢＣ的边长为６，点Ｄ在ＡＣ上且 ＤＣ＝２，点Ｅ在ＢＣ上，连结ＡＥ交ＢＤ于点Ｆ，且∠ＡＦＤ ＝６０°，若点Ｍ是射线ＢＣ上一点，当以Ｂ，Ｄ，Ｍ为顶点的 三角形与△ＡＢＦ相似时，ＢＭ的长为 ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１０分）如图１３，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°， ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｄ，Ｅ为ＢＣ上一点，连结ＡＥ，作ＥＦ⊥ ＡＥ交ＡＢ于Ｆ．求证：△ＡＧＣ∽△ＥＦＢ． １６．（１０分）如图１４，ＡＤ和ＢＥ都是△ＡＢＣ的高，相 交于Ｆ点，连结ＤＥ． （１）求证：△ＣＡＢ∽△ＣＤＥ； （２）若点Ｄ是ＢＣ的中点，ＣＥ＝６ｃｍ，ＢＥ＝８ｃｍ，求 ＡＢ的长． １７．（１０分）如图 １５，四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＣ平分 ∠ＤＡＢ，∠ＡＤＣ＝∠ＡＣＢ＝９０°，ＥＡ＝ＥＣ．求证： （１）ＡＣ２ ＝ＡＢ·ＡＤ； （２）△ＡＦＤ∽△ＣＦＥ． １８．（１０分）如图１６，点Ｂ，Ｄ，Ｅ在一条直线上，ＢＥ与 ＡＣ相交于点Ｆ，ＡＢＡＤ＝ ＢＣ ＤＥ＝ ＡＣ ＡＥ． （１）求证：∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ； （２）若∠ＢＡＤ＝２１°，求∠ＥＢＣ的度数； （３）连结ＥＣ，求证：△ＡＢＤ∽△ＡＣＥ． １９．（１２分）如图１７－①，点Ｅ，Ｆ在正方形ＡＢＣＤ的 对角线ＡＣ上，∠ＥＢＦ＝４５°． （１）当ＢＥ＝ＢＦ时，求证：ＡＥ＝ＣＦ； （２）求证：△ＡＢＦ∽△ＣＥＢ； （３）如图１７－②，延长ＢＦ交ＣＤ于点Ｇ，连结ＥＧ，判 断线段ＢＥ与ＥＧ的关系，并说明理由． ２０．（１２分）在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°，Ｐ 为ＢＣ上的动点，小慧拿含４５°角的透明三角板，使４５° 角的顶点落在点Ｐ处，三角板可绕Ｐ点旋转． （１）如图１８－①，当三角板的两边分别交ＡＢ，ＡＣ于 点Ｅ，Ｆ时，求证：△ＢＰＥ∽△ＣＦＰ； （２）将三角板绕点Ｐ旋转到图１８－②情形时，三角 板的直角顶点交ＢＡ的延长线于点Ｅ，斜边交ＡＣ于点Ｆ， 则△ＢＰＥ与△ＣＦＰ还相似吗（只需写出结论）？ （３）在（２）的条件下，连结 ＥＦ，则动点 Ｐ运动到什 么位置时，△ＢＰＥ与△ＰＦＥ相似？请说明理由                                                                                                                                                                 ． 书 ｋＡＦ，所以 ＢＦ＝２ｋＡＦ， 所以 ＡＦ ＢＦ＝ ＡＦ ２ｋＡＦ＝ １ ２ｋ． １９．（１）如图，连结 ＢＣ，设ＡＢ＝ｘ，由翻折的 性质得，∠ＡＣＦ＝∠ＨＤＦ， ∠ＡＣＢ＝∠ＨＤＢ，∠ＢＣＦ ＝∠ＢＤＦ＝９０°． 因 为 ∠ＡＣＥ ＝ ∠ＡＣＢ ＋ ∠ＥＣＢ ＝ ∠ＢＣＦ ＝ ∠ＢＣＥ ＋ ∠ＥＣＦ，∠ＥＣＦ ＝４５°， 所以 ∠ＡＣＢ ＝∠ＥＣＦ ＝４５°，所以ＢＣ＝槡２ｘ， 所以 ＢＤ＝ＢＣ＝槡２ｘ， 所以ＡＤ＝ＡＢ＋ＢＤ＝ （槡２＋１）ｘ，所以 ＥＦ＝ ＣＥ＝ＡＤ＝（槡２＋１）ｘ， 因为ＤＥ＝ＡＣ＝ＡＢ＝ ｘ，所以 ＤＦ＝ＤＥ＋ＥＦ ＝（槡２＋２）ｘ，所以 ＤＦ ＡＤ ＝（槡２＋２）ｘ （槡２＋１）ｘ ＝槡２． （２）相似．理由：由 （１）知：Ａ５纸长边为Ａ４ 纸短边，长为 （槡２ ＋ １）ｘ，Ａ５纸 短 边 长 为 （槡 ２＋２ ２ ）ｘ，所以在 Ａ５ 纸中，长边 ∶短边 ＝ （槡２＋１）ｘ （槡 ２＋２ ２ ）ｘ ＝槡２，所以 Ａ４纸与Ａ５纸相似． ２０．（１）过点 Ｄ作 ＤＥ∥ＰＭ交ＡＢ于Ｅ，因 为点Ｄ为ＢＣ中点，所以 点Ｅ是 ＡＢ中点，且ＡＭＡＥ ＝ＡＰＡＤ，所以 ＡＭ ＡＢ ＝ ＡＭ ２ＡＥ ＝ １３． （２）证明：延长 ＡＤ 至点Ｑ，使ＤＱ＝ＡＤ，连 结 ＢＱ，ＣＱ，则四边形 ＡＢＱＣ是平行四边形， 所以 ＰＭ∥ ＢＱ，ＰＮ∥ ＣＱ，所以ＡＭＡＢ＝ ＡＰ ＡＱ， ＡＮ ＡＣ ＝ＡＰＡＱ，所以 ＡＭ ＡＢ＝ ＡＮ ＡＣ． （３）证明：过点 Ｄ 作ＤＥ∥ＰＭ交ＡＢ于Ｅ， 所以 ＡＭ ＡＥ ＝ ＡＰ ＡＤ．又因为 ＰＭ∥ ＡＣ，所以 ＤＥ∥ ＡＣ，所以ＡＥＡＢ＝ ＣＤ ＢＣ，所以 ＡＭ ＡＢ＝ ＡＭ ＡＥ× ＡＥ ＡＢ＝ ＡＰ ＡＤ× ＣＤ ＢＣ．同理可得 ＡＮ ＡＣ＝ ＡＰ ＡＤ ×ＢＤＢＣ，所以 ＡＭ ＡＢ＋ ＡＮ ＡＣ＝ ＡＰ ＡＤ×（ ＣＤ ＢＣ＋ ＢＤ ＢＣ）＝ ＡＰ ＡＤ． 上期４版 重点集训营 １．９２；　２． １ ６； ３．槡５３．　４．２６． !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ !" #$ %& %&'( ! 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