第6期 23.1 成比例线段 23.2 相似图形（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（华东师大版）

书 １．如图１，在矩形ＡＢＣＤ中，点Ｅ在ＡＢ上，且ＢＥ＝ ２ＡＥ，连结ＥＤ，点Ｆ为ＥＤ的中点，连结 ＡＦ，ＢＦ，ＦＣ，若 ∠ＢＦＣ＝９０°，ＢＦ＝５，则ＤＥ的长为 ． ２．如图２，四边形ＡＢＣＤ是菱形，点Ｅ是ＣＤ的中点， 连结ＡＥ，将△ＡＤＥ沿ＡＥ折叠得△ＡＦＥ，连结ＢＤ，分别 交ＡＦ于点Ｍ，交ＡＥ于点Ｎ．若ＡＦ⊥ＣＤ于点Ｇ，ＭＮ＝ 槡２，则ＡＮ的长度为 ． ! ! ! " # $ % & 书 １．如图１，ＡＣ，ＢＤ交于点Ｅ，ＡＥ＝１，ＥＣ＝２，ＤＥ＝ ３，当ＢＤ＝ 时，ＡＢ可与ＣＤ平行． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ２．如图２，ＡＤ是△ＡＢＣ的中线，Ｅ是ＡＤ上一点，ＡＥ ＝ １４ＡＤ，ＢＥ的延长线交 ＡＣ于点 Ｆ，则 ＡＦ ＦＣ的值为 ． ３．如图３，正方形ＡＢＣＤ的边长 为６，Ｅ为ＣＤ边中点，Ｇ为ＢＣ边上一 点，连结 ＡＥ，ＤＧ，相交于点 Ｆ．若ＤＦＦＧ ＝ ４５，则ＦＥ的长度是 ． ４．如图４，以△ＥＢＣ的边ＢＣ为边作正方形ＡＢＣＤ， ＡＤ与ＢＥ，ＣＥ分别交于点Ｆ，Ｇ，若ＢＦ＝ＥＦ，ＡＦ＝１，ＢＣ ＝１２，求ＣＥ的长． 书 平行线分线段成比例的基本事实及其推论是研究 相似形时最基本的理论，学习的关键是找准图形中的对 应线段．下面从两个方面说明，供同学们学习时参考． 一、“口诀”帮你找对应线段 １．基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的 对应线段成比例． ２．如图１，当ｌ１∥ｌ２∥ｌ３时，都可得到 ＡＢ ＢＣ ＝ＤＥＥＦ．由比例的性质，还可得到 ＢＣ ＡＢ＝ ＥＦ ＤＥ， ＡＢ ＡＣ＝ ＤＥ ＤＦ， ＡＣ ＡＢ＝ ＤＦ ＤＥ， ＢＣ ＡＣ＝ ＥＦ ＤＦ， ＡＣ ＢＣ＝ ＤＦ ＥＦ． 为了便于记忆，上述６个比例可使用一些简单的形 象化的语言来表示： 上 下 ＝上 下 ， 下 上 ＝下 上 ， 上 全 ＝上 全 ， 全 上 ＝ 全 上 ， 下 全 ＝下 全 ， 全 下 ＝全 下 ．另外，根据比例的性质，还可得 到 ＡＢ ＤＥ＝ ＢＣ ＥＦ＝ ＡＣ ＤＦ，即满足“ 左 右 ＝左 右 ”． 例１　 一个三层折叠花架如图２所 示，已知ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ，ＡＣ＝３０ｃｍ，ＣＥ ＝５０ｃｍ，ＢＤ ＝４５ｃｍ，则 ＢＦ的长为 ｃｍ． 解析：因为ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ，所以ＡＣＡＥ＝ ＢＤ ＢＦ，又因为ＡＣ＝３０ｃｍ，ＣＥ＝５０ｃｍ，ＢＤ ＝４５ｃｍ，所以 ３０３０＋５０＝ ４５ ＢＦ，所以ＢＦ＝１２０（ｃｍ）．故填 １２０． 二、基本图形帮你学推论 １．推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相 交，截得的对应线段成比例． ２．已知△ＡＢＣ，ＤＥ是截线，上述推论包含了如图３ 所示的三种情况，可以简单称为“Ａ”型和“Ｘ”型，上面 的口诀同样适用于这些基本图形． 例２　如图４，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝ ∠Ｃ＝６０°，点Ｄ为ＡＢ边的中点，ＤＥ⊥ ＢＣ于 Ｅ，若 ＢＥ＝ １２，则 ＡＣ的长为 ． 解析：作ＡＦ⊥ＢＣ于点Ｆ，因为ＤＥ ⊥ＢＣ于点Ｅ，所以ＡＦ∥ＤＥ，所以ＢＤＡＤ＝ ＢＥ ＥＦ，因为点Ｄ为 ＡＢ边的中点，所以ＢＤＡＤ＝ ＢＥ ＥＦ＝１，所以ＢＥ＝ＥＦ＝ １ ２， 因为∠Ｂ＝∠Ｃ＝６０°，所以△ＡＢＣ为等边三角形，所以 ＢＦ＝ＣＦ＝１，所以ＡＣ＝ＢＣ＝２．故填２． 书 绝招一、运用比例的性质 对已知的等式，利用比例的性质进行变形，进而求 出所求式子的值． 例１　若 ａｂ ＝ １ ２，则 ａ ａ＋ｂ的值为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１３ Ｂ． ２ ３ Ｃ．２ Ｄ．３ 解法一：因为 ａ ｂ ＝ １ ２，所以ａ＝ １ ２ｂ， 所以 ａ ａ＋ｂ＝ １ ２ｂ １ ２ｂ＋ｂ ＝ １ ２ｂ ３ ２ｂ ＝ １３．故选Ａ． 解法二：因为 ａ ｂ＝ １ ２，所以 ｂ ａ＝２，所以 ｂ ａ＋１＝２ ＋１＝３，所以ａ＋ｂａ ＝３，所以 ａ ａ＋ｂ＝ １ ３．故选Ａ． 绝招二、等比设值法 对于有等比条件求比值的题目，可设比值为ｋ，用含ｋ 的式子来表示未知数，然后将其代入所求式中求值即可． 例２　已知 ａ３ ＝ ｂ ５，则 ３ａ ａ＋２ｂ的值为 ． 解：设 ａ ３ ＝ ｂ ５ ＝ｋ，则ａ＝３ｋ，ｂ＝５ｋ， 所以 ３ａ ａ＋２ｂ＝ ３×３ｋ ３ｋ＋２×５ｋ＝ ９ｋ １３ｋ＝ ９ １３．故填 ９ １３． 绝招三、代入消元法 在求一个比例式的值时，可根据已知等式，用其中 一个字母表示其他字母，并代人所求的比例式中，约去 这个字母，即可求出其值． 例３　若 ｘ∶ｙ∶ｚ＝１∶２∶３，则２ｘ＋ｚｙ－ｚ的值是 ． 解：因为ｘ∶ｙ＝１∶２，所以ｙ＝２ｘ， 因为ｘ∶ｚ＝１∶３，所以ｚ＝３ｘ， 所以 ２ｘ＋ｚ ｙ－ｚ＝ ２ｘ＋３ｘ ２ｘ－３ｘ＝－５．故填 －５． 绝招四、特殊值法 例４　若 ａ３ ＝ ｂ ４ ＝ ｃ ５，则 ａ－ｂ ｃ ＝ ． 解：取ａ＝３，ｂ＝４，ｃ＝５，易知 ａ，ｂ，ｃ满足已知条 件， 所以原式 ＝３－４５ ＝－ １ ５．故填 － １ ５． 书 特殊矩形一：对折后与原矩形相似 例１　如图１，一般书本的纸 张是原纸张多次对开得到的，矩 形ＡＢＣＤ沿ＥＦ对开后，再把矩形 ＥＦＣＤ沿ＭＮ对开，依此类推，若 各种开本的矩形都相似，那么 ＡＤ ＡＢ 等于 （　　） Ａ．０．６１８　　　Ｂ．槡２２ 槡　　　Ｃ．２　　　Ｄ．２ 解析：设ＡＢ＝ａ，ＡＤ＝ｂ， 根据折叠的性质可得ＡＥ＝ ｂ２． 因为矩形ＡＥＦＢ∽矩形ＡＢＣＤ，所以ＡＥＡＢ＝ ＡＢ ＡＤ． 所以 ｂ ２ ａ ＝ ａ ｂ，即 １ ２ｂ ２ ＝ａ２． 所以 ｂ２ ａ２ ＝ ２１． 所以 ｂ ａ ＝ 槡２ １，即 ＡＤ ＡＢ＝ 槡２ １． 故选Ｃ． 特殊矩形二：截去一个矩形后与原矩形相似 例２　如图２，在矩形ＡＢＣＤ 中，点 Ｅ，Ｆ分别在边 ＢＣ，ＡＤ上， 沿ＦＥ截去矩形ＡＢＥＦ后，得到的 矩形 ＥＣＤＦ与原矩形 ＡＢＣＤ相 似，且矩形 ＡＢＣＤ的面积是矩形 ＥＣＤＦ面积的３倍，若ＡＢ＝４，则 矩形ＡＢＣＤ的面积为 ． 解析：因为ＡＢ＝４，所以ＣＤ＝ＡＢ＝４． 因为Ｓ矩形ＡＢＣＤ ＝３Ｓ矩形ＥＣＤＦ， 所以ＡＤ＝３ＤＦ． 因为矩形ＡＢＣＤ∽矩形ＤＦＥＣ， 所以 ＡＢ ＤＦ＝ ＡＤ ＣＤ，即 ４ ＤＦ＝ ＡＤ ４， 所以３ＤＦ２ ＝１６， 解得ＤＦ＝ 槡４３３， 所以ＡＤ＝３× 槡４３３ ＝ 槡４３， 所以Ｓ矩形ＡＢＣＤ ＝ＡＢ·ＡＤ＝４× 槡４３＝ 槡１６３． 故填 槡１６３． 书 各角对应相等，各边对应 成比例的两个多边形叫做相似 多边形，相似多边形对应边的 比叫做相似比．由定义可知，两 个多边形相似需同时满足： ①对应角相等； ②对应边成比例． 利用它可求相似多边形的 边或角，下面举例说明． 例 １　 如图 １，四边形 ＡＢＣＤ∽四边形ＧＦＥＨ，点Ａ，Ｂ， Ｃ，Ｄ分别与点 Ｇ，Ｆ，Ｅ，Ｈ对应， 且 ∠Ａ＝∠Ｇ ＝７０°，∠Ｂ ＝ ６０°，∠Ｅ＝１２０°，ＤＣ＝２４，ＨＥ ＝１８，ＨＧ＝２１．求∠Ｄ，∠Ｆ的 大小和ＡＤ的长． 解：因为四边形 ＡＢＣＤ∽ 四边形 ＧＦＥＨ，∠Ｂ＝ ６０°，∠Ｅ＝１２０°， 所以∠Ｃ＝∠Ｅ＝１２０°，∠Ｆ＝∠Ｂ＝６０°， 因为∠Ａ＝∠Ｇ＝７０°， 所以∠Ｄ＝１１０°， 因为四边形ＡＢＣＤ∽四边形ＧＦＥＨ， 所以 ＤＣ ＨＥ＝ ＡＤ ＨＧ，所以 ２４ １８＝ ＡＤ ２１，解得ＡＤ＝２８． 所以∠Ｄ＝１１０°，∠Ｆ＝６０°，ＡＤ＝２８． 例２　如图２，在四边形ＡＢＣＤ 的边ＡＢ上任取一点Ｏ（不与点Ａ，Ｂ 重合），连结 ＯＣ，ＯＤ，分别取 ＯＡ， ＯＢ，ＯＣ，ＯＤ的中点 Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，Ｄ′， 连 结 Ａ′Ｄ′，Ｄ′Ｃ′，Ｃ′Ｂ′， 四 边 形 Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′与四边形 ＡＢＣＤ相似吗？ 为什么？ 解：四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′∽四边形ＡＢＣＤ， 理由：因为Ａ′，Ｄ′是ＯＡ，ＯＤ的中点， 所以Ａ′Ｄ′∥ＡＤ，Ａ′Ｄ′＝ １２ＡＤ，所以 Ａ′Ｄ′ ＡＤ ＝ １ ２， 同理 Ｃ′Ｄ′ ＣＤ ＝ Ｂ′Ｃ′ ＢＣ ＝ Ａ′Ｂ′ ＡＢ ＝ １ ２， 所以 Ｃ′Ｄ′ ＣＤ ＝ Ｂ′Ｃ′ ＢＣ ＝ Ａ′Ｂ′ ＡＢ ＝ Ａ′Ｄ′ ＡＤ ＝ １ ２， 因为Ａ′Ｄ′∥ＡＤ，所以∠ＯＡ′Ｄ′＝∠ＯＡＤ，∠ＯＤ′Ａ′ ＝∠ＯＤＡ， 同理 ∠ＯＤ′Ｃ′＝ ∠ＯＤＣ，∠ＯＣ′Ｄ′＝ ∠ＯＣＤ， ∠ＯＣ′Ｂ′＝∠ＯＣＢ，∠ＯＢ′Ｃ′＝∠ＯＢＣ， 所以∠Ａ′Ｄ′Ｃ′＝∠ＡＤＣ，∠Ｄ′Ｃ′Ｂ′＝∠ＤＣＢ， 所以四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′∽四边形ＡＢＣＤ． 书 ４期２版 ２２．２．４一元二次方程根的判别式 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｄ；　３．Ｄ；　４．－３；　５．３． ６．（１）ａｘ２＋ｂｘ＋２＝０，由题意，得ａ≠０，ｂ＝ａ＋４，因为Δ ＝ｂ２－４ａ×２＝（ａ＋４）２－８ａ＝ａ２＋１６＞０，所以原方程有两 个不相等的实数根． （２）因为ａｘ２＋ｂｘ＋２＝０有两个相等的实数根，所以Δ＝ ｂ２－４ａ×２＝ｂ２－８ａ＝０，且ａ≠０，满足条件的ａ，ｂ的值不惟 一，满足ｂ２－８ａ＝０（ａ≠０）即可． 能力提高　７．（１）－３和４；７． （２）证明：依题意，得２ｘ２－ｘ＋１＝ｘ，即２ｘ２－２ｘ＋１＝０， 因为Δ＝（－２）２－４×２×１＝－４＜０，所以２ｘ２－ｘ＋１＝ ｘ没有实数根，所以代数式２ｘ２－ｘ＋１没有不变值． （３）依题意，得ｘ２－ｎｘ＋ｎ＝ｘ，即ｘ２－（ｎ＋１）ｘ＋ｎ＝０有 两个相等的实数根，所以Δ＝［－（ｎ＋１）］２－４×１×ｎ＝０，整 理得ｎ２－２ｎ＋１＝０，解得ｎ１ ＝ｎ２ ＝１． ２２．２．５一元二次方程的根与系数的关系 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｃ；　４．－５；　５．１５． ６．（１）ｍ的值为 －６，方程的另一根为 －３． （２）ｍ＝－４． ２２．３实践与探索（第一课时） 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ；　３．２；　４．９． ５．（１）当苗圃园的面积为６０ｍ２时，ｘ的值为６． （２）当苗圃园的面积为６０ｍ２时，ｘ的值为１２． ２２．３实践与探索（第二课时） 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．１０；　４．５． ５．（１）ｙ＝１０ｘ＋１００． （２）该商品的销售单价是３８元时，商家每天获利１７６０元． （３）由题意可得（５０－３０－ｘ）（１０ｘ＋１００）＝３０００，整理得ｘ２ －１０ｘ＋１００＝０，因为Δ＝（－１０）２－４×１×１００＝－３００＜０， 所以方程无实数解，所以商家每天的获利不能达到３０００元． ４期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｄ Ａ Ｄ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ 二、９．４；　１０．－１；　１１．２０％；　１２．４；　１３．４；　１４．３７或 ２ ５． 三、１５．方程的两个实数根为 －２和８，ｋ的值为１６． １６．（１）这两个月的月平均增长率是１０％． （２）６月份接待人数能突破４３５００人． １７．（１）当ｍ＝１时，方程为ｘ２－２ｘ＋３＝０，所以ａ＝１，ｂ ＝－２，ｃ＝３，所以Δ＝ｂ２－４ａｃ＝（－２）２－４×１×３＝４－１２ ＝－８＜０，所以方程没有实数根． （２）当ｍ＝２时，方程为ｘ２－４ｘ＋３＝０，解得ｘ１＝１，ｘ２＝３． １８．（１）该公司直接销售了６０吨农产品． （２）设该批农产品储藏了 ｙ个星期才出售，则有（８０－ ２ｙ）（１２００＋２００ｙ）－６４０００－１６００ｙ＝１２２０００，整理得ｙ２－３０ｙ ＋２２５＝０，解得ｙ１ ＝ｙ２ ＝１５． 答：该批农产品储藏了１５个星期才出售． １９．（１）１；３． （２）猜想：ｓｎ ＝ｓｎ－１＋ｓｎ－２． 证明：根据根的定义，得α２－α＝１，两边都乘以αｎ－２，得αｎ －αｎ－１－αｎ－２＝０，①同理，βｎ－βｎ－１－βｎ－２＝０，②　① ＋②， 得（αｎ＋βｎ）－（αｎ－１＋βｎ－１）－（αｎ－２＋βｎ－２）＝０，因为ｓｎ＝αｎ ＋βｎ，ｓｎ－１＝αｎ－１＋βｎ－１，ｓｎ－２＝αｎ－２＋βｎ－２，所以ｓｎ－ｓｎ－１－ｓｎ－２ ＝０，即ｓｎ ＝ｓｎ－１＋ｓｎ－２． ２０．（１）因为在方程ｘ２－（２ｋ＋３）ｘ＋ｋ２＋３ｋ＋２＝０中，Δ ＝ｂ２－４ａｃ＝［－（２ｋ＋３）］２－４（ｋ２＋３ｋ＋２）＝１＞０，所以方 程有两个不相等的实数根． （２）因为ｘ２－（２ｋ＋３）ｘ＋ｋ２＋３ｋ＋２＝（ｘ－ｋ－１）（ｘ－ ｋ－２）＝０，所以ｘ１ ＝ｋ＋１，ｘ２ ＝ｋ＋２． ①不妨设ＡＢ＝ｋ＋１，ＡＣ＝ｋ＋２，所以当斜边ＢＣ＝５时， 有ＡＢ２＋ＡＣ２＝ＢＣ２，即（ｋ＋１）２＋（ｋ＋２）２＝２５，解得ｋ１＝２， ｋ２ ＝－５（舍去）．所以当ｋ＝２时，△ＡＢＣ是以ＢＣ为斜边的直角 三角形． ②因为ＡＢ＝ｋ＋１，ＡＣ＝ｋ＋２，ＢＣ＝５，由（１）知ＡＢ≠ＡＣ， 故有两种情况： （Ⅰ）当ＡＣ＝ＢＣ＝５时，即ｋ＋２＝５，所以ｋ＝３，此时ＡＢ ＝３＋１＝４，因为４，５，５满足任意两边之和大于第三边，所以此 时△ＡＢＣ的周长为４＋５＋５＝１４； （Ⅱ）当ＡＢ＝ＢＣ＝５时，即ｋ＋１＝５，所以ｋ＝４，此时ＡＣ ＝ｋ＋２＝６，因为６，５，５满足任意两边之和大于第三边，所以此 时△ＡＢＣ的周长为６＋５＋５＝１６． 综上，当ｋ＝３时，△ＡＢＣ是等腰三角形，此时△ＡＢＣ的周长为 １４；当ｋ＝４时，△ＡＢＣ是等腰三角形，此时△ＡＢＣ的周长为１６． ４期４版 重点集训营 １．Ｃ；　２．Ａ；　３．６；　４．１０． ５．（１）不存在．理由：过 Ｑ作 ＱＭ⊥ ＡＤ，交 ＡＤ于 Ｍ，则 ∠ＱＭＤ＝∠ＱＭＡ＝９０°，所以四边形ＡＢＱＭ是矩形，所以ＡＭ＝ ＢＱ＝ｔｃｍ，ＱＭ＝ＡＢ＝３ｃｍ，所以ＭＰ＝（６－２ｔ）ｃｍ，所以ＰＱ２ ＝（６－２ｔ）２＋３２，因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠Ｄ＝９０°，所 以ＰＣ２＝ｔ２＋３２，因为ＰＱ⊥ＰＣ，所以∠ＱＰＣ＝９０°，所以ＰＱ２ ＋ＰＣ２ ＝ＣＱ２，即（６－２ｔ）２＋３２＋ｔ２＋３２＝（６－ｔ）２，化简，得 ２ｔ２－６ｔ＋９＝０，因为Δ＝ｂ２－４ａｃ＝－３６＜０，所以方程无实 数根，故不存在某一时刻ｔ，使得ＰＱ⊥ＰＣ． （２）当ｔ等于１或３时，翻折后点Ｂ的对应点Ｂ′恰好落在ＰＱ边上． 书 ５期参考答案 一、１．Ｃ；　２．Ｂ； ３．Ｄ；　４．Ａ； ５．Ｃ；　６．Ｄ； ７．Ａ；　８．Ａ； ９．Ｃ；　１０．Ｂ； １１．Ａ；　１２．Ａ． 二、１３．４；　１４．０（答 案不惟一，ｋ≥０即可）； １５．４；　１６．８． 三、１７．（１）ｘ１ ＝７， ｘ２ ＝－１； （２）ｙ１ ＝－３，ｙ２ ＝ １ ２． １８．每人每周能够 号召１０人加入“志愿服 务团”． １９．（１）证明：因为 ｘ２＋（ｍ－４）ｘ－２ｍ＝ ０，所以Δ＝ｂ２－４ａｃ＝ （ｍ－４）２－４×（－２ｍ） ＝ｍ２＋１６＞０，所以该 方程总有两个不相等的 实数根． （２）ｍ＝４． ２０．（１）全天包车 数的月平均增长率为 ６０％． （２）当租金降价 ７０元时，公司将获利 ８８００元． ２１．①当ｘ－３≥０ 即ｘ≥３时，原方程化为 ｘ２－２（ｘ－３）＋７＝０， 即ｘ２－２ｘ＋１３＝０，因 为Δ＝ｂ２－４ａｃ＝４－４ ×１３＝－４８＜０，所以方 程没有实数根； ②当ｘ－３＜０即ｘ ＜３时，原方程化为 ｘ２ ＋２（ｘ－３）＋７＝０，即 ｘ２＋２ｘ＋１＝０，解得ｘ１ ＝ｘ２ ＝－１． 综上所述，原方程 的解为ｘ１ ＝ｘ２ ＝－１． 四、２２．４或 －２； ２３．５；　２４．１； ２５．５． 五、２６．（１）销售量ｙ 与每千克降价ｘ的函数 关系式为ｙ＝１５ｘ＋３０． !! ! !"#$ !"# !$"%&'( !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! # % ' $ & ( " ! "! #! "! # $ & % ! " ! $ " )* +,- !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! " # $ % & ) ! ! % ! " # $ & ! & ! " # $& ! " # $ & ! % ! " # $ & % * % * $ * & ./0123456789:; ! $ % & $ # " ! ! " ! " # $ & 书 【提示】 １．过点Ｆ作ＢＣ的垂线交ＢＣ于点Ｈ，根据平行线 分线段成比例定理可得ＢＨ＝ＨＣ，再根据勾股定理 得ＢＣ，梯形的中位线和比例关系得ＡＥ，再通过勾股 定理解题即可． ２．连结ＡＣ交ＢＤ于点Ｏ，连结ＣＦ，ＤＦ，ＮＦ，过点 Ｃ作ＮＦ的垂线，交ＮＦ于点Ｈ，先根据折叠的性质以 及菱形的性质，得出△ＡＯＮ为等腰直角三角形，推出 四边形ＣＨＮＭ为正方形，进而得到△ＤＦＮ为等腰直 角三角形，ＦＮ＝２ＯＮ＝２ＯＡ，根据ＡＯ ＦＮ＝ＯＭ ＭＮ＝１ ２ ， 从而求出ＡＮ的长度． <=">?@AB !CDEF3"GH !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! " # $ & ! % ! " # $ & % ) ! & % ! " # $ & ! $ ! " # $ % & ( ' ) ! $ ! " ! " # $ % & ) ! " # $ ! $ + $" #" !" "" " I J K L M " NO P Q " RJ S T ! "# UVW $ ! "# XSY $ % & '# +ZW $ ! "# [ \ $ ! 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４．如果ｘ∶ｙ＝１∶２，那么下列各式中不一定成立的 是 （　　） Ａ．ｘ＋ｙｘ ＝ ３ １ Ｂ． ｙ－ｘ ｙ ＝ １ ２ Ｃ．ｙｘ ＝ ２ １ Ｄ． ｘ＋１ ｙ＋１＝ ２ ３ ５．已知成比例的四条线段的长度分别为 ６ｃｍ， １２ｃｍ，ｘｃｍ，８ｃｍ，且△ＡＢＣ的三边长分别为ｘｃｍ，３ｃｍ， ５ｃｍ，则△ＡＢＣ是 （　　） Ａ．等边三角形 Ｂ．等腰直角三角形 Ｃ．直角三角形 Ｄ．无法判定 ６．如图２，Ｄ是△ＡＢＣ的边ＡＢ的中点，过点Ｄ作ＢＣ 的平行线交ＡＣ于点Ｅ，连结ＢＥ，过点Ｄ作ＢＥ的平行线 交ＡＣ于点Ｆ，若ＥＦ＝１，则ＡＣ的长为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ７．如图３，矩形ＥＦＧＨ的四个顶点分别在菱形ＡＢＣＤ 的四条边上，ＢＥ＝ＢＦ．将△ＡＥＨ，△ＣＦＧ分别沿边ＥＨ， ＦＧ折叠，当重叠部分与菱形ＡＢＣＤ相似且相似比为１∶４ 时，则 ＥＢ ＡＥ的值为 （　　） Ａ．５３ Ｂ． ３ ５ Ｃ．１４ Ｄ．４ ８．如图４，已知正方形ＡＢＣＤ 的边长为ａ，延长 ＢＣ到点 Ｅ，使 ＣＥ＝ＢＣ，取ＣＤ的中点 Ｆ，连结 ＤＥ，ＢＦ，ＤＥ与ＢＦ的延长线相交 于点Ｇ，则ＢＧ的长为 （　　） Ａ．槡５３ａ Ｂ． 槡２５ ３ａ Ｃ． 槡６ ３ａ Ｄ． 槡２６ ３ａ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．已知５ｘ＝７ｙ（ｘｙ≠０），则 ｘｙ ＝ ． １０．五线谱是一种记谱法，通过在 五根等距离的平行横线上标以不同时 值的音符及其他记号来记载音乐．如 图５，Ａ，Ｂ，Ｃ为直线与五线谱横线相交 的三个点，若 ＡＣ＝１２，则 ＡＢ的长为 ． １１．已知两个相似多边形的相似比为３∶４，且它们 的周长之差是６，则较小的多边形的周长是 ． １２．已知 ２ａｂ＋ｃ＋ｄ ＝ ２ｂ ａ＋ｃ＋ｄ ＝ ２ｃ ａ＋ｂ＋ｄ ＝ ２ｄ ａ＋ｂ＋ｃ＝ｋ，则ｋ＝ ． １３．如图６所示，在长为１０，宽为８的矩形中，截去一 个矩形（图中阴影部分），若矩形ＡＢＣＤ∽矩形ＦＣＤＥ，那 么截去矩形的面积是 ． １４．如图７是一张矩形纸片ＡＢＣＤ，点Ｅ为ＡＤ中点， 点Ｆ在ＢＣ上，把该纸片沿ＥＦ折叠，点Ａ，Ｂ的对应点分 别为Ａ′，Ｂ′，Ａ′Ｅ与ＢＣ相交于点Ｇ，Ｂ′Ａ′的延长线过点Ｃ． 若 ＢＦ ＧＣ＝ ２ ３，则 ＡＤ ＡＢ的值为 ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１０分）如图８，点Ｅ是菱形ＡＢＣＤ对角线ＣＡ的 延长线上任意一点，以线段 ＡＥ为边作一个菱形 ＡＥＦＧ， 且菱形ＡＥＦＧ∽ 菱形 ＡＢＣＤ，连结 ＥＢ，ＧＤ，求证：ＧＤ＝ ＥＢ． １６．（１０分）已知（ａ＋ｂ）∶（ｂ＋ｃ）∶（ｃ＋ａ）＝７∶ １４∶９，求： （１）ａ∶ｂ∶ｃ的值； （２）ａ ２－ａｂ ｃ２＋ｂｃ 的值． １７．（１０分）如图９，在四边形ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别 在边ＡＢ，ＣＤ上，连结ＥＣ，ＥＦ，ＥＣ平分∠ＦＥＢ，ＥＦ∥ＢＣ． （１）求证：ＥＢ＝ＢＣ； （２）若ＡＤ∥ＥＦ，ＤＦ＝ＦＣ，请判断ＡＥ与ＢＣ的大小 关系，并说明理由． １８．（１０分）如图１０，ＡＤ是△ＡＢＣ的中线． （１）若Ｅ为ＡＤ的中点，射线ＣＥ交ＡＢ于点Ｆ，求ＡＦＢＦ； （２）若Ｅ为ＡＤ上一点，且ＡＥＥＤ＝ １ ｋ，射线ＣＥ交ＡＢ 于点Ｆ，求ＡＦＢＦ． １９．（１２分）如图１１－①，将Ａ４纸进行２次折叠后， 第一次的折痕与 Ａ４纸较长的边重合，如图１１－②，将 １张Ａ４纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开， 可得２张Ａ５纸． （１）求Ａ４纸较长边与较短边的比； （２）Ａ４纸与Ａ５纸是否为相似图形？请说明理由． ２０．（１２分）如图１２，在 △ＡＢＣ中，点 Ｄ为 ＢＣ上一 点，点Ｐ在ＡＤ上，过点Ｐ作ＰＭ∥ＡＣ交ＡＢ于点Ｍ，作ＰＮ ∥ＡＢ交ＡＣ于点Ｎ． （１）若点Ｄ是ＢＣ的中点，且ＡＰ∶ＰＤ＝２∶１，求ＡＭ∶ ＡＢ的值； （２）若点Ｄ是ＢＣ的中点，试证明ＡＭＡＢ＝ ＡＮ ＡＣ； （３）若点Ｄ是ＢＣ上任意一点，试证明ＡＭＡＢ＋ ＡＮ ＡＣ＝ ＡＰ ＡＤ                                                                                                                                                                 ． 书 ２３．１．１成比例线段 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．已知３ａ＝４ｂ（ａ≠０，ｂ≠０），下列变形正确的是 （　　） Ａ．ａｂ ＝ ３ ４ Ｂ． ａ ３ ＝ ｂ ４ Ｃ．ｂａ ＝ ４ ３ Ｄ． ａ ４ ＝ ｂ ３ ２．已知ａ，ｄ，ｂ，ｃ依次成比例线段，其中ａ＝３ｃｍ，ｂ ＝４ｃｍ，ｃ＝６ｃｍ，则ｄ的值为 （　　） Ａ．８ｃｍ Ｂ．１９２ｃｍ Ｃ．４ｃｍ Ｄ．９２ｃｍ ３．已知 ａｂ＋ｃ＝ ｂ ａ＋ｃ＝ ｃ ａ＋ｂ＝ｋ，则函数ｙ＝ｋｘ＋ ｋ的图象必经过 （　　） Ａ．第一、二象限 Ｂ．第二、三象限 Ｃ．第三、四象限 Ｄ．第一、四象限 ４．在比例尺为１∶１０００００的地图上，Ａ，Ｂ两地的距 离为２ｃｍ，那么Ａ，Ｂ两地的实际距离为 ｋｍ． ５．已知２ｂ＋ｃａ ＝ ２ｃ＋ａ ｂ ＝ ２ａ＋ｂ ｃ ＝ｍ，且ａ＋ｂ＋ｃ ≠０，则ｍ＝ ． ６．已知ａ，ｂ，ｃ三条线段满足 ａｂ＝ ｃ ｄ ＝ ｅ ｆ＝２，若 ｂ＋ｄ＋ｆ＝３，则ａ＋ｃ＋ｅ的值为 ． ７．已知 ａ，ｂ，ｃ是 △ＡＢＣ的三边，且满足ａ＋４３ ＝ ｂ＋３ ２ ＝ ｃ＋８ ４ ，若ａ＋ｂ＋ｃ＝１２，试判断△ＡＢＣ的形状， 并说明理由． ８．点Ｃ，点Ｄ是线段ＡＢ上任意两点． （１）如图１，若点Ｄ是线段ＢＣ的中点，ＡＤ＝１８，ＡＣ ＝６，求线段ＢＤ的长； （２）如图２，若点Ｃ把线段ＡＢ分为２∶３的两段（ＡＣ ＜ＢＣ），点Ｄ分线段ＡＢ为１∶５的两段（ＡＤ＜ＢＤ），ＤＣ ＝７，求线段ＡＢ的长． ２３．１．２平行线分线段成比例 １．如图１，ｌ１∥ｌ２∥ｌ３，两条直线与这三条平行线分 别交于点Ａ，Ｂ，Ｃ和Ｄ，Ｅ，Ｆ，已知ＡＢＢＣ＝ ３ ２，若ＤＦ＝１０， 则ＤＥ的长为 （　　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．５ Ｄ．６ ２．如图２，ＤＥ∥ＦＧ∥ＢＣ，若ＥＧ＝３ＣＧ，则ＢＤ与 ＢＦ之间的数量关系是 （　　） Ａ．ＢＤ＝３ＢＦ Ｂ．ＢＤ＝４ＢＦ Ｃ．ＢＤ＝ ５２ＢＦ Ｄ．ＢＤ＝２ＢＦ ３．在△ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ分别在边ＢＡ，ＣＡ的延长线 上，若ＡＤ∶ＡＢ＝１∶２，ＡＣ＝４，那么当ＤＥ∥ＢＣ时，ＡＥ ＝ ． ４．如图３，练习本中的横格线都平行，且相邻两条 横格线间的距离都相等，若 ＡＢ＝２ｃｍ，则线段 ＢＣ＝ ｃｍ． ５．作业本中有一道题：“如图４，在 △ＡＢＣ中，点 Ｄ 为 ＡＣ的中点，点Ｅ在ＢＣ上，且ＢＥ＝３ＣＥ，ＡＥ，ＢＤ交于 点Ｆ，求ＡＦ∶ＥＦ的值”，小明解决时碰到了困难，哥哥提 示他过点Ｅ作ＥＧ∥ＢＤ，交ＡＣ于点Ｇ．最后小明求解正 确，则ＡＦ∶ＥＦ的值为 ． ６．如图５，已知ＡＢＣＤ，点Ｅ是ＢＡ延长线上一点， ＣＥ与ＡＤ，ＢＤ分别相交于点Ｇ，Ｆ．求证：ＣＦ２＝ＥＦ·ＧＦ． ７．如图６，已知ＡＤ∥ＢＥ∥ＣＦ，它们依次交直线ｌ１， ｌ２，ｌ３于点Ａ，Ｂ，Ｃ和点Ｄ，Ｅ，Ｆ和点Ｑ，Ｈ，Ｐ，ｌ２与ｌ３相交 于ＤＥ的中点Ｇ，若ＡＢＡＣ＝ ２ ７． （１）如果ＥＦ＝１０，求ＤＥ，ＤＦ的长； （２）如果ＱＧ＝３，求ＰＨ的长． ２３．２相似图形 １．下列多边形一定相似的是 （　　） Ａ．两个等腰三角形 Ｂ．两个平行四边形 Ｃ．两个正五边形 Ｄ．两个六边形 ２．如图１，四边形ＡＢＣＤ和ＥＦＧＨ相似，则α和ｘ的 大小分别为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．７５°，３０ Ｂ．７５°，３３ Ｃ．８０°，３０ Ｄ．８０°，３３ ３．如图２，将一张ＡＢＣＤ（ＡＤ＜ＡＢ＜２ＡＤ）纸片， 以它的一边为边长剪去一个菱形ＡＤＥＨ，在余下的平行 四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形 ＦＥＣＧ， 若剪去两个菱形后所剩下的 ＦＨＢＧ∽ ＡＢＣＤ，则 ＡＢＣＤ的相邻两边ＡＤ与ＡＢ的比值是 ． ４．秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所 以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花．” 如图 ３是两片形状相同的枫叶图案，则 ｘ的值为 ． ５．如图４，矩形相框的外框矩形的长为１２ｄｍ，宽为 ８ｄｍ，上下边框的宽度都为ｘｄｍ，左右边框的宽度都为 ｙｄｍ．若内边框矩形和外边框矩形相似，则 ｘ，ｙ应符合 的条件是 ． ６．如图５，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１２，ＢＣ＝１６，Ｅ，Ｆ 分别是ＡＢ，ＣＤ上的点，且ＡＥ＝ＤＦ＝８，两动点Ｍ，Ｎ都 以２ｃｍ／ｓ的速度分别从Ｃ，Ｆ两点沿ＣＢ，ＦＥ向Ｂ，Ｅ两点 运动，判断当Ｍ，Ｎ运动多长时间能使矩形 ＣＦＮＭ与矩 形ＡＥＦＤ相似，并证明你的结论． ７．如图６，在ＡＢＣＤ中，∠ＢＡＤ的平分线交ＢＣ于 点Ｅ，∠ＡＢＣ的平分线交ＡＤ于点Ｆ． （１）求证：四边形ＡＢＥＦ是菱形； （２）若ＡＢＣＤ∽ＥＣＤＦ，且ＡＤ＝４，求ＡＦ的长 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 （２）４０５元． （３）设商店获利 ４８０元需降价ｍ元，则单 件利润为（１０－ｍ）元，销 售量为（１５ｍ＋３０）千克． 由题意得（１０－ｍ）（１５ｍ＋ ３０）＝４８０，解得ｍ１＝６，ｍ２ ＝２（舍去）．所以３０－６＝ ２４（元）．所以饼干的销售 价应定为每千克２４元． ２７．（１）①不是“差 １方程”；② 是“差１方 程”． （２）整理方程得（ｘ －ｍ）（ｘ＋１）＝０，所以 ｘ＝ｍ或ｘ＝－１，因为 方程ｘ２－（ｍ－１）ｘ－ｍ ＝０（ｍ是常数）是“差１ 方程”，所以ｍ＝－１＋１ 或ｍ＝－１－１，所以ｍ ＝０或 －２． （３）由题可得Δ＝ ｂ２－４ａ×１＝ｂ２－４ａ≥ ０，所以解方程得 ｘ＝ －ｂ± ｂ２－４槡 ａ ２ａ ，因为 关于ｘ的方程ａｘ２＋ｂｘ＋ １＝０（ａ，ｂ是常数，ａ＞ ０）是“差１方程”，所以 －ｂ＋ ｂ２－４槡 ａ ２ａ － －ｂ－ ｂ２－４槡 ａ ２ａ ＝１， 所以ｂ２＝ａ２＋４ａ，因为 ｔ＝１０ａ－ｂ２，所以ｔ＝６ａ －ａ２ ＝－（ａ－３）２＋９ ≤９，所以ｔ的最大值为 ９． ２８． （１）（４ａ２ － ２００ａ＋２４００）． （２）由题意得６０× ４０－（４ａ２ －２００ａ＋ ２４００）＝３８×６０×４０， 解得ａ１＝５，ａ２＝４５（舍 去）． 答：此时通道的宽 为５米． （３）当 ａ＝１０时， 花圃面积为 ８００平方 米，所以花圃面积最少 为８００平方米．根据图 象可设ｙ１＝ｍｘ，ｙ２＝ｋｘ ＋ ｂ， 将 点 （１２００， ４８０００） 代 入 ｙ１ 得 １２００ｍ＝４８０００，解得 ｍ＝４０，所以ｙ１ ＝４０ｘ， 将 点 （８００，４８ ０００）， （１２００，６２０００）代入ｙ２ 并解 得 ｙ２ ＝ ３５ｘ＋ ２００００．因为花圃面积 为４ａ２－２００ａ＋２４００， 所以通道面积为 ２４００ －（４ａ２－２００ａ＋２４００） ＝－４ａ２ ＋２００ａ，所以 ３５（４ａ２－２００ａ＋２４００） ＋２００００＋４０（－４ａ２＋ ２００ａ）＝１０５９２０，解得 ａ１＝２，ａ２＝４８（舍去）． 答：通道宽为 ２米 时，修建的通道和花圃 的总造价为１０５９２０元． !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ !" #$ %& %&'( ! 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