第4期 22.2.4～22.3（参考答案见6期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（华东师大版）

书 上期２版 ２２．１一元二次方程 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．Ｃ； ４．１０００（１＋ｘ）２ ＝１４４０；　５．２；　６．２０２２． ７．ｂ的值为１，ｃ的值为 －２． ２２．２．１直接开平方法和因式分解法 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｃ；　４．ｍ＞１；　５．槡２． ６．（１）ｘ１ ＝２，ｘ２ ＝－８；　（２）ｘ１ ＝４，ｘ２ ＝－３． 能力提高　７．（１）２；４． （２）①ｘ１ ＝－１，ｘ２ ＝６． ②解ｘ２－９ｘ＋２０＝０，得ｘ１＝４，ｘ２＝５．由三角形的三边 关系可知ｘ＝５，所以ＡＢ＝ＡＣ＝５．过点Ａ作ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ， 则ＢＤ＝ １２ＢＣ＝４，在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＡＤ＝ ＡＢ ２－ＢＤ槡 ２ ＝３， 所以等腰三角形ＡＢＣ的面积 ＝ １２ＢＣ·ＡＤ＝１２． ２２．２．２配方法 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ；　３．１４；　４．ｘ１ ＝ｘ２ ＝－２． ５．（１）ｘ１ ＝１＋槡 ６ ２，ｘ２ ＝１－ 槡６ ２； （２）ｘ１ ＝３＋槡１５，ｘ２ ＝３－槡１５． 能力提高　６．（１）根据题意，得（２ｘ２＋５ｘ－３）－（ｘ２＋ｘ－ ８）＝２，整理，得（ｘ＋２）２＝１，解得ｘ１＝－１，ｘ２＝－３，即当ｘ为 －１或 －３时，代数式Ａ比Ｂ的值大２． （２）证明：Ａ－Ｂ＝（２ｘ２＋５ｘ－３）－（ｘ２＋ｘ－８）＝２ｘ２ ＋５ｘ－３－ｘ２－ｘ＋８＝ｘ２＋４ｘ＋５＝ｘ２＋４ｘ＋４＋１＝（ｘ＋ ２）２＋１，对于任意的ｘ值，（ｘ＋２）２≥０，所以（ｘ＋２）２＋１＞０， 即Ａ－Ｂ＞０，所以对于任意的ｘ值，代数式Ａ－Ｂ的值恒为正 数． ２２．２．３公式法 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．Ｂ； ４．ｋ＜－３；　５．９，ｘ１ ＝ｘ２ ＝３；　６．６－ 槡２５． ７．（１）ｘ１ ＝ －１＋槡１７ ４ ，ｘ２ ＝ －１－槡１７ ４ ； （２）ｘ１ ＝ ３＋槡１７ ２ ，ｘ２ ＝ ３－槡１７ ２ ． （下转１，４版中缝） 书 重点集训营 １．某市为了更好的吸引外资，决定改善城市容貌， 绿化环境，计划用两年时间，使得绿地面积增加４４％，则 这两年平均每年绿地面积的增长率为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２２％ Ｂ．１０％ Ｃ．２０％ Ｄ．１１％ ２．如图１，在长为１００ｍ，宽 为５０ｍ的矩形空地上修筑四条 宽度相等的小路，若余下的部分 全部种上花卉，且花圃的面积是 ３６００ｍ２，则小路的宽是 （　　） Ａ．５ｍ Ｂ．７０ｍ Ｃ．５ｍ或７０ｍ Ｄ．１０ｍ ３．学校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式 （每两队之间都要赛一场），计划安排１５场比赛，应邀请 支球队参加比赛． ４．某商场将进价为４５元的某种服装以６５元售出，平均 每天可售３０件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的 降价措施，调查发现：每件降价１元，则每天可多售５件，如 果每天要盈利８００元，每件应降价 元． ５．如图２，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３ｃｍ，ＢＣ＝６ｃｍ． 点Ｐ从点Ｄ出发向点Ａ运动，运动到点Ａ即停止；同时， 点Ｑ从点Ｂ出发向点Ｃ运动，运动到点Ｃ即停止，点Ｐ，Ｑ 的速度都是１ｃｍ／ｓ，连结ＰＱ，ＡＱ，ＣＰ．设点Ｐ，Ｑ运动的时间 为ｔｓ． （１）是否存在某一时刻ｔ，使得ＰＱ⊥ＰＣ？如果存在， 请求出ｔ的值，如果不存在，请说明理由． （２）在运动过程中，沿着ＡＱ把△ＡＢＱ翻折，当ｔ为 何值时，翻折后点Ｂ的对应点Ｂ′恰好落在ＰＱ边上？ 书 辅助线周周线 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 １．如图１，直线ｌ交正方形ＡＢＣＤ的对边ＡＤ，ＢＣ于 点Ｐ，Ｑ，正方形ＡＢＣＤ和正方形ＥＦＧＨ组成的图形关于 直线ｌ成轴对称，点Ｈ在ＣＤ边上，点Ａ在边ＥＦ上，ＢＣ， ＨＧ交于点Ｍ，ＡＢ，ＦＧ交于点Ｎ．若ＣＤ＝５，ＤＨ＝２，则 △ＧＱＭ的周长为 ． ２．如图２，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝８，ＢＣ＝１２，点Ｆ 在线段ＡＢ上，ＡＦ＝５，点Ｅ在线段ＡＤ上，将矩形ＡＢＣＤ 沿ＥＦ折叠，使点Ａ落在ＢＣ边上的点Ｇ处，点Ｈ在线段 ＣＤ上，将矩形沿ＧＨ折叠，点Ｃ恰好落在线段ＥＧ上的 点Ｍ处，则点Ｍ到线段ＤＣ的距离为 ． 书 【提示】 １．过点Ａ作ＡＫ⊥ＨＧ于点Ｋ，连结ＡＨ，ＡＭ，证明 Ｒｔ△ＡＤＨ≌Ｒｔ△ＡＫＨ，Ｒｔ△ＡＫＭ≌Ｒｔ△ＡＢＭ，得到 ＤＨ＝ＫＨ，ＢＭ＝ＫＭ，根据对称可得ＱＧ＝ＱＢ，将 △ＧＱＭ的周长表示出来，再通过边的转化解答即可． ２．根据折叠和勾股定理依次求出ＦＧ，ＢＧ的长， 过点Ｇ作ＧＰ⊥ＡＤ，求出ＤＥ，ＥＭ的长，得到ＥＭ＝ＤＥ ＝２，连结ＥＨ，即可证明Ｒｔ△ＥＭＨ≌Ｒｔ△ＥＤＨ，推出 ＤＨ＝ＨＭ＝ＨＣ＝４，连结ＣＭ交ＧＨ于Ｑ，利用三角 形的面积即可求出ＣＱ的长度，过Ｍ作ＭＮ⊥ＣＤ于 Ｎ，最后根据三角形的面积计算ＭＮ即可． 书 例１　 关于 ｘ的一元 二次方程ｋｘ２＋４ｘ＋４＝０ 有实数根，则ｋ的取值范围 是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｋ＜１ Ｂ．ｋ＜１且ｋ≠０ Ｃ．ｋ≤１且ｋ≠０ Ｄ．ｋ≤１ 解：由题意，得 Δ＝１６－１６ｋ≥０， ｋ≠０{ ， 解得ｋ≤１且ｋ≠０． 故选Ｃ． 例２　 若关于 ｘ的一 元二次方程ｘ２＋２ｘ＋ｍ＝ ０有两个相等的实数根，求 ｍ的值及此时方程的根． 解：根据题意，得 Δ＝ ２２－４ｍ＝０， 解得ｍ＝１． 此时方程为ｘ２＋２ｘ＋ １＝０， 解得ｘ１ ＝ｘ２ ＝－１． 所以ｍ的值为１，方程的根为－１． 例３　已知关于ｘ的一元二次方程ｘ２＋（ｍ－６）ｘ －６ｍ＝０．求证：不论ｍ取何值时，该方程总有两个实 数根． 证明：因为Δ＝ｂ２－４ａｃ＝（ｍ－６）２－４×（－６ｍ） ×１＝ｍ２＋１２ｍ＋３６＝（ｍ＋６）２≥０， 所以不论ｍ取何值时，方程总有两个实数根． 例４　关于一元二次方程ｘ２＋ｘ－３＝０根的情况， 正确的是 （　　） Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．有且只有一个实数根 Ｄ．没有实数根 解：因为Δ＝１２－４×（－３）＝１３＞０， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选Ｂ． 方法总结：在解与一元二次方程根的判别式有关 的问题时，一般分两种情况：一种是直接利用判别式判 断方程根的情况；另一种是根据方程根的情况，求方程 中未知系数的取值范围．前者可由判别式的正负确定 根的情况；后者根据根的情况，列出不等式求取值范围 （需注意二次项系数不能为零这一隐含条件）． 书 一元二次方程是初中数学的重要知识点，也是每年 中考必考的内容之一，其应用非常广泛，常常与其他知 识联系在一起．下面举例说明一元二次方程携手三角形 的一些问题，供同学们学习时参考． 例１　已知ａ，ｂ，ｃ分别是三角形的三边，则方程（ａ ＋ｂ）ｘ２＋２ｃｘ＋ａ＋ｂ＝０的根的情况是 （　　） Ａ．没有实数根 Ｂ．有且只有一个实数根 Ｃ．有两个相等的实数根 Ｄ．有两个不相等的实数根 分析：由于这个方程是一元二次方程，所以利用根 的判别式可以判断其根的情况，再根据三角形的三边关 系来判断判别式的符号即可求解． 解：因为Δ＝（２ｃ）２－４（ａ＋ｂ）（ａ＋ｂ）＝４ｃ２－４（ａ ＋ｂ）２ ＝４［ｃ２－（ａ＋ｂ）２］＝４（ｃ＋ａ＋ｂ）［ｃ－（ａ＋ｂ）］， 根据三角形三边关系，得ｃ＋ａ＋ｂ＞０，ｃ－（ａ＋ｂ）＜０， 所以Δ＜０，所以该方程没有实数根．故选Ａ． 例２　若一个直角三角形两条直角边的长分别是 一元二次方程ｘ２－６ｘ＋４＝０的两个实数根，则这个直 角三角形斜边的长是 ． 分析：由题意解一元二次方程ｘ２－６ｘ＋４＝０得到 ｘ＝３＋槡５或ｘ＝３－槡５，再根据勾股定理求得直角三角 形斜边的长即可． 解：因为一个直角三角形两条直角边的长分别是一 元二次方程ｘ２－６ｘ＋４＝０的两个实数根，所以解ｘ２－ ６ｘ＋４＝０，可得ｘ＝６± ３６－槡 １６２ ＝ ６± 槡２５ ２ ＝３±槡５， 所以根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是 （３＋槡５） ２＋（３－槡５）槡 ２ ＝槡２８＝ 槡２７．故填 槡２７． 例３　关于ｘ的一元二次方程ａ（１－ｘ２）－ 槡２２ｂｘ＋ ｃ（１＋ｘ２）＝０中，ａ，ｂ，ｃ是Ｒｔ△ＡＢＣ的三条边，其中∠Ｃ ＝９０°．若方程的两个根是ｘ１，ｘ２，且ｘ ２ １＋ｘ ２ ２ ＝１２，求ａ∶ ｂ∶ｃ的值． 分析：根据根与系数的关系得ｘ１＋ｘ２ ＝ 槡 ２２ｂ ｃ－ａ，ｘ１ｘ２ ＝ａ＋ｃｃ－ａ，再用完全平方公式化简得（ｘ１＋ｘ２） ２－２ｘ１ｘ２＝ １２，代入即可解答． 解：因为方程的两个根是 ｘ１，ｘ２，所以 ｘ１ ＋ｘ２ ＝ 槡２２ｂ ｃ－ａ，ｘ１ｘ２ ＝ ａ＋ｃ ｃ－ａ．因为ｘ ２ １＋ｘ ２ ２＝１２，所以（ｘ１＋ｘ２） ２－ ２ｘ１ｘ２ ＝１２，即 ８ｂ２ （ｃ－ａ）２ －２ａ＋２ｃｃ－ａ ＝１２． 因为ｂ２＝ｃ２－ａ２，所以８（ｃ ２－ａ２） （ｃ－ａ）２ －２ａ＋２ｃｃ－ａ ＝１２，化简 得 ６（ｃ＋ａ） ｃ－ａ ＝１２，所以ｃ＋ａ＝２ｃ－２ａ，所以３ａ＝ｃ，所以ｂ ２＝ ｃ２－ａ２＝８ａ２，所以ｂ＝ 槡２２ａ，所以ａ∶ｂ∶ｃ＝ 槡１∶２２∶３． 书 解一元二次方程时究竟采用哪种解法呢？这就要求 同学们仔细观察，捕捉方程的系数特点和结构特征，灵 活选择适当的方法，力求解题过程简捷明快，也能提高 准确率． 一、方程中无一次项或满足（ｘ－ｍ）２ ＝ｎ结构时优 先考虑直接开平方法 例１　解方程：（ｘ－２）２ ＝４． 分析：方程满足（ｘ－ｍ）２＝ｎ结构，利用直接开平方 法即可求解． 解：两边开平方可得ｘ－２＝±２，即ｘ＝２±２，所以 ｘ１ ＝４，ｘ２ ＝０． 二、方程缺少常数项或方程的两边有公因式时，优 先考虑因式分解法 例２　解方程：５（ｘ－１）２ ＝２（ｘ－１）． 分析：注意到方程两边都有因式（ｘ－１），宜用因式 分解法． 解：移项，得５（ｘ－１）２－２（ｘ－１）＝０，因式分解，得 （ｘ－１）［５（ｘ－１）－２］＝０， 所以ｘ－１＝０或５（ｘ－１）－２＝０，所以ｘ１＝１，ｘ２ ＝ ７５． 三、当方程的二次项系数为１，一次项系数是偶数 时，优先考虑配方法 例３　解方程：ｘ２＋４ｘ＋２＝０． 分析：注意到原方程中二次项系数和一次项系数的 特征，可考虑运用配方法求解． 解：移项，得ｘ２＋４ｘ＝－２，配方，得ｘ２＋４ｘ＋２２＝－２ ＋２２，即（ｘ＋２）２ ＝２，所以ｘ１ ＝－２＋槡２，ｘ２ ＝－２－槡２． 四、以上三种方法都不易求解时，考虑用公式法求解 例４　方程３ｘ２＋１＝ 槡３３ｘ的根是 ． 分析：原方程既不能运用因式分解法，又不能运用配 方法，故应化为一般式，把“难题”交给公式法来解决． 解：原方程可化为３ｘ２－ 槡３３ｘ＋１＝０，由ａ＝３，ｂ＝ － 槡３３，ｃ＝１，得Δ＝ｂ ２－４ａｃ＝（－槡３３） ２－４×３×１＝ １５＞０，所以ｘ＝－ｂ± ｂ ２－４槡 ａｃ ２ａ ＝ －（－ 槡３３）±槡１５ ２×３ ＝ 槡３３±槡１５６ ，所以ｘ１＝ 槡３３＋槡１５ ６ ，ｘ２＝ 槡３３－槡１５ ６ ． 故填ｘ１ ＝ 槡 ３３＋槡１５ ６ ，ｘ２ ＝ 槡３３－槡１５ ６ ． !!" #$% " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! &' ( ) 书 （上接４版参考答案） 能 力 提 高 　８． （１）△ＡＢＣ是等腰三角形． 理由如下： 因为ｘ＝－１是方程的 根，所以（ａ＋ｃ）×（－１）２ －２ｂ＋（ａ－ｃ）＝０，所以ａ ＋ｃ－２ｂ＋ａ－ｃ＝０，所以 ２ａ－２ｂ＝０，所以ａ＝ｂ，所 以△ＡＢＣ是等腰三角形． （２）△ＡＢＣ是直角三 角形．理由如下： 因为方程有两个相等 的实数根，所以（２ｂ）２ － ４（ａ＋ｃ）（ａ－ｃ）＝０，所以 ４ｂ２－４ａ２＋４ｃ２ ＝０，所以 ａ２ ＝ｂ２＋ｃ２，所以 △ＡＢＣ 是直角三角形． （３）因为 △ＡＢＣ是等 边三角形，所以ａ＝ｂ＝ｃ， 所以（ａ＋ｃ）ｘ２＋２ｂｘ＋（ａ－ ｃ）＝２ａｘ２＋２ａｘ＝０，所以 ｘ２＋ｘ＝０，解得ｘ１＝０，ｘ２ ＝１． 上期３版 一、１．Ｃ；　２．Ａ； ３．Ａ；　４．Ａ；　５．Ｃ； ６．Ｂ；　７．Ａ；　８．Ｂ． 二、９．ｘ２－２ｘ＝０； １０．２；　１１．ｍ≤２且ｍ ≠１；　１２．－１；　１３．ｘ２－ ６ｘ＋６＝０；　１４．１２ 或 －１． 三、１５．（１）ｘ１ ＝４，ｘ２ ＝０； （２）ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝５； （３）ｘ１ ＝槡 ３＋槡７ ４ ，ｘ２ ＝槡３－槡７４ ． １６．他俩的解答都不 正确．我的解答：移项，得 ３（ｘ－３）－（ｘ－３）２ ＝０， 提取公因式，得（ｘ－３）［３ －（ｘ－３）］＝０，去括号，得 （ｘ－３）（３－ｘ＋３）＝０，则 ｘ－３＝０或６－ｘ＝０，解得 ｘ１ ＝３，ｘ２ ＝６． １７．（１）解 ｘ２－４ｘ＝ ２，得ｘ１＝２＋槡６，ｘ２＝２－ 槡６， 因为ｘ１＋ｘ２＝２＋槡６ （下转２，３版中缝） ! " #! !"#$" $"% ! !"!#&$'!%( !"#$%&'" ()*+,-'. ! ! !"#$ "#$% %&'()*+, *+,-./012+34 ! 5 !!&!&#6789:;<=>?@ ' !!&!&%67A9B;=CDE,=FE !!&(GHDIJ KLMN) !"#$%&'()*+ ,-&./012/3 456789: ;<=>?@ABC& ) *+ OPQ , ) *+ RST , # - .+ UVQ , ) *+ W X , ) *+ Y Z -./01+ U [ 23/01+ U\] -4506+ ^ _ -4578+ `ab Scd e f ghi j k lmn Rop jq\ r a sti uvP ewx ywz RP{ |Z+ }~f  n €‚ Sƒ„ 91-.+ e%) 91:;+ S ƒ <=-.+ %w… >?-.+ †‡ˆ @ABC+ ‰Š‹ Œ'12-KŽ Œ'12‘’“”•– Œ'12—˜™š›œžKŸ , ¡¢£¤¥¦ ¢§¨OPQ ©Mª6«¬¥¦­®¨*+,#-"$"$.̄ /° ±²³®¨!,-!"$ #´¡!µ!¦ & #¶y!¥¦ #£¤¹º»¨"(%,-%!$,!%0 #´¡¼½¨Œ'¾¿ÀÁhÂÃÄÅÆ ,(!Ç, ¡¢*+,-£¤¹ #±È£É¨"("""0 #ÁʹˡÌͨ"(%,!%!$,,!% "(%,!%!$,!($̄ “ΰ #ËϨÐD´¡Áʹ½EÑÒÓÔÕ±Ȫ ×° #±ÈËÏÌͨ,,,1% #ØÙÚÛËÜÝËÞßË #´¡àÒÓÔ¾̄ Á°áâãä¡ #&噚æØçǨ,#""""#""",," #&幺è¨"(%,!%!$,!%% #´¡éêë0:“”ì훜îž̄ ïðÁAñÃòóôõö‘÷ø ,, Ç°ùìúû›ìüýþÿ!úÐD´¡Áʹ½E"# ! $ % e & ' 书 一、增长率问题 例１　为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽 出一部分资金用于购买书籍．已知２０２０年该学校用于 购买图书的费用为５０００元，２０２２年用于购买图书的费 用是７２００元，求２０２０～２０２２年买书资金的年平均增长 率． 解：设２０２０年到２０２２年该校买书资金的年平均增 长率为ｘ， 则５０００（１＋ｘ）２ ＝７２００， 解得ｘ１ ＝０．２，ｘ２ ＝－２．２（不合题意，舍去）． 答：２０２０年到２０２２年该校买书资金的年平均增长 率为２０％． 二、面积问题 例２　如图，老李想用长为７０ｍ的栅栏，再借助房 屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ＡＢＣＤ，并在 边ＢＣ上留一个２ｍ宽的门（建在 ＥＦ处，另用其他材 料）． （１）当羊圈的长和宽分别为多少ｍ时，能围成一个 面积为６４０ｍ２的羊圈？ （２）羊圈的面积能达到６５０ｍ２吗？如果能，请你给 出设计方案；如果不能，请说明理由． 解：（１）设矩形ＡＢＣＤ的边ＡＢ的长为ｘｍ， 则ＢＣ＝７０－２ｘ＋２＝（７２－２ｘ）ｍ． 根据题意，得ｘ（７２－２ｘ）＝６４０， 解得ｘ１ ＝１６，ｘ２ ＝２０， 当ｘ＝１６时，７２－２ｘ＝７２－３２＝４０； 当ｘ＝２０时，７２－２ｘ＝７２－４０＝３２． 答：当羊圈的长为４０ｍ，宽为１６ｍ或长为３２ｍ，宽 为２０ｍ时，能围成一个面积为６４０ｍ２的羊圈． （２）不能．理由如下： 由题意，得ｘ（７２－２ｘ）＝６５０， 化简，得ｘ２－３６ｘ＋３２５＝０， 因为Δ＝（－３６）２－４×３２５＝－４＜０， 所以一元二次方程没有实数根． 所以羊圈的面积不能达到６５０ｍ２． 三、营销问题 例３　 国际风筝节期间，王大伯决定销售一批风 筝，经市场调研：蝙蝠型风筝每个进价为１０元，当售价 为每个１２元时，销售量为１８０个，若售价每提高１元，销 售量就会减少１０个，请回答以下问题： （１）求蝙蝠型风筝销售量ｙ（个）与售价ｘ（元）之间 的函数关系式（１２≤ｘ≤３０）； （２）王大伯为了让利给顾客，且同时能获得８４０元 利润，则售价应定为多少？ 解：（１）由题意可知，ｙ＝１８０－１０（ｘ－１２）＝－１０ｘ ＋３００， 即蝙蝠型风筝销售量 ｙ（个）与售价 ｘ（元）之间的 函数关系式为ｙ＝－１０ｘ＋３００（１２≤ｘ≤３０）． （２）由题意得（ｘ－１０）ｙ＝－１０ｘ２＋４００ｘ－３０００＝ ８４０， 整理得ｘ２－４０ｘ＋３８４＝０， 解得ｘ１ ＝１６，ｘ２ ＝２４（不合题意，舍去）． 答：王大伯为了让利给顾客，且同时能获得８４０元 利润，则售价应定为１６元． 【对应练习见《重点集训营》】 ()"´¡*!+ ,̄3-./ "5° """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " !0ë U1b """""""""""""""""""" ! , ! " # $ ! ! % & ! " # $ '( ! , ! " # $ ' ) * ( + , % & - ! ! ! " # $ ' ) , ( + 书 （上接１，４版中缝） ＋２－槡６＝４，ｘ１·ｘ２＝（２ ＋槡６）（２－槡６）＝４－６＝ －２， 而４，－２都为有理数， 所以ｘ１，ｘ２为姐妹数． （２）ｘ２１ ＋ｘ２２ ＝（２＋ 槡６）２＋（２－槡６）２＝２０，ｘ２１ ·ｘ２２ ＝（２＋槡６）２·（２－ 槡６）２ ＝４， 因为 ２０，４都为有理 数，所以ｘ２１，ｘ２２是一对姐妹 数． １８．（１）③． （２）因为３ｘ２＋ｍｘ＋ｎ ＝０是关于 ｘ的“完美方 程”，所以ｍ＝３＋ｎ，所以ｎ ＝ｍ－３，所以原方程为３ｘ２ ＋ｍｘ＋ｍ－３＝０．因为ｍ是 此“完美方程”的一个根， 所以３ｍ２＋ｍ２＋ｍ－３＝０， 即４ｍ２＋ｍ－３＝０，解得ｍ ＝－１或ｍ＝ ３４． １９．（１）因 为 （ｘ＋ ５）（ｘ＋９）＝５，所以［（ｘ＋ ７）－２］［（ｘ＋７）＋２］＝５， 所以（ｘ＋７）２－２２＝５，所 以（ｘ＋７）２＝９，所以ｘ＋７ ＝３或ｘ＋７＝－３，解得ｘ１ ＝－４，ｘ２ ＝－１０．所以上 述过程中的 ａ，ｂ，ｃ，ｄ表示 的数 分 别 为 ７，２， －４， －１０．故填７；２；－４；－１０． （２）因为（ｘ－５）（ｘ＋ ７）＝１２，所以［（ｘ＋１）－ ６］［（ｘ＋１）＋６］＝１２，所 以（ｘ＋１）２－３６＝１２，所以 （ｘ＋１）２ ＝４８，所以 ｘ＋１ ＝ 槡４３或ｘ＋１＝－槡４３，解 得 ｘ１ ＝ －１＋ 槡４３，ｘ２ ＝ －１－ 槡４３． ２０．（１）ｉ３＝ｉ２×ｉ＝－ ｉ，ｉ４ ＝ｉ２ ×ｉ２ ＝１，ｉ６ ＝ （ｉ２）３ ＝－ １，ｉ２０２４ ＝ （ｉ２）１０１２ ＝１．故填 －ｉ；１； －１；１． （２）因为（ｘ－１）２ ＝ －１，所以（ｘ－１）２＝ｉ２，所 以ｘ－１＝±ｉ，所以ｘ１＝１ ＋ｉ，ｘ２ ＝１－ｉ． （３）移项，得 ｘ２－４ｘ ＝－８，配方，得（ｘ－２）２＝ ４ｉ２，所以ｘ－２＝±２ｉ，解得 ｘ１ ＝２＋２ｉ，ｘ２ ＝２－２ｉ． 上期４版 重点集训营 １．（１）ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝ １ ３； （２）ｘ１ ＝ １，ｘ２ ＝ －３２； （３）无实数解； （４）ｘ１＝ ５＋槡６５ ２ ，ｘ２＝ ５－槡６５ ２ ； （５）ｘ１＝４，ｘ２＝１０； （６）ｘ１＝槡６＋槡１１，ｘ２ ＝槡６－槡１１． ２．（１）ｋ的取值范围为 ｋ≤５． （２）ｋ１ ＝３－槡３，ｋ２＝ ３＋槡３． 书 ２２．２．４一元二次方程根的判别式 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．用公式法解方程ｘ２－４ｘ－１１＝０时，Δ＝ （　　） Ａ．－４３ Ｂ．－２８ Ｃ．４５ Ｄ．６０ ２．若关于ｘ的方程２ｘ２＋４ｘ＋ｃ＝０没有实数根，则 ｃ的值可能为 （　　） Ａ．－１ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ ３．在平面直角坐标系中，若直线ｙ＝－ｘ＋ｍ不经 过第一象限，则关于ｘ的方程ｍｘ２＋ｘ＋１＝０的实数根 的个数为 （　　） Ａ．０个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．１个或２个 ４．定义新运算：ａｂ＝ａ２＋４ａｂ＋１，例如：２３＝ ２２＋４×２×３＋１＝２９．若方程ｘ１＝ｍ有两个相等 的实数根，则ｍ的值为 ． ５．关于ｘ的一元二次方程（ｋ－３）ｘ２＋２ｘ＋１＝０有 两个不相等的实数根，那么满足条件的所有非负整数 ｋ的和为 ． ６．已知关于ｘ的一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋２＝０． （１）当ｂ＝ａ＋４时，利用根的判别式判断方程根 的情况； （２）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足 条件的ａ，ｂ的值，并求此时方程的根． ７．对于代数式ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ，若存在实数ｎ，当ｘ＝ｎ 时，代数式的值也等于ｎ，则称ｎ为这个代数式的不变 值．例如：对于代数式ｘ２，当ｘ＝０时，代数式等于０；当 ｘ＝１时，代数式等于１，我们就称０和１都是这个代数 式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大 不变值与最小不变值的差记作Ａ．特别地，当代数式只 有一个不变值时，则Ａ＝０． （１）代数式 ｘ２ －１２的不变值是 ，Ａ＝ ； （２）求证：代数式２ｘ２－ｘ＋１没有不变值； （３）已知代数式ｘ２－ｎｘ＋ｎ，若Ａ＝０，求ｎ的值． ２２．２．５一元二次方程的根与系数的关系 １．关于ｘ的一元二次方程ｘ２＋ｍｘ－２＝０有一个 解为ｘ＝１，则该方程的另一个解为ｘ＝ （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．０ Ｂ．－１ Ｃ．２ Ｄ．－２ ２．关于ｘ的方程２ｘ２＋ｍｘ＋ｎ＝０的两个根是 －２ 和１，则ｎｍ的值为 （　　） Ａ．－８ Ｂ．８ Ｃ．１６ Ｄ．－１６ ３．关于ｘ的一元二次方程ｘ２－２（ｍ＋１）ｘ＋ｍ２＋ ２＝０两个实数根的倒数和为１，则ｍ的值为 （　　） Ａ．－２或０ Ｂ．２或０ Ｃ．２ Ｄ．０ ４．已知一元二次方程ｘ２－３ｘ＋ｋ＝０的两个实数 根为 ｘ１，ｘ２，若 ｘ１ｘ２ ＋２ｘ１ ＋２ｘ２ ＝１，则实数 ｋ＝ ． ５．已知ａ，ｂ是方程ｘ２－ｘ－１＝０的两根，则代数 式２ａ３＋５ａ＋３ｂ３＋３ｂ＋１的值是 ． ６．已知关于ｘ的一元二次方程２ｘ２＋４ｘ＋ｍ＝０． （１）若ｘ＝１是方程的一个根，求ｍ的值和方程的 另一根； （２）若ｘ１，ｘ２是方程的两个实数根，且满足ｘ ２ １＋ｘ ２ ２ ＋２ｘ１ｘ２－ｘ ２ １ｘ ２ ２ ＝０，求ｍ的值． ２２．３实践与探索（第一课时） １．在教师节当天，学校老师互送贺卡，共送了 ９０张，则一共有老师 （　　） Ａ．８名 Ｂ．９名 Ｃ．１０名 Ｄ．１１名 ２．某牧民要围成面积为３５平方米的矩形羊圈，且 长比宽多２米，则此羊圈的周长是 （　　） Ａ．２０米 Ｂ．２４米 Ｃ．２６米 Ｄ．２２米 ３．如图１，已知ＡＢ⊥ＢＣ，ＡＢ ＝１２ｃｍ，ＢＣ＝８ｃｍ．一动点Ｎ从 Ｃ点出发沿 ＣＢ方向以１ｃｍ／ｓ的 速度向 Ｂ点运动，同时另一动点 Ｍ由点Ａ沿ＡＢ方向以２ｃｍ／ｓ的 速度也向 Ｂ点运动，其中一点到 达Ｂ点时另一点也随之停止，当 △ＭＮＢ的面积 为２４ｃｍ２时，运动的时间ｔ为 ｓ． ４．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支 干又长出同样树木的小分支，主干、支干和小分支的总 数是 ９１，设每个支干长出 ｘ个小分支，则 ｘ＝ ． ５．学校课外兴趣活动小组准备利用长为８ｍ的墙 ＡＢ和一段长为２６ｍ的篱笆围建一个矩形的苗圃园，设 平行于墙一边ＣＤ的长为ｘｍ． （１）如图２，如果矩形苗圃园的一边靠墙ＡＢ，另三 边由篱笆ＥＣＤＦ围成，当苗圃园的面积为６０ｍ２时，求ｘ 的值； （２）如图３，如果矩形苗圃园的一边由墙 ＡＢ和一 节篱笆ＢＦ构成，另三边由篱笆 ＡＣＤＦ围成，当苗圃园 的面积为６０ｍ２时，求ｘ的值． ２２．３实践与探索（第二课时） １．为打造书香校园，某校积极开展“图书漂流”活 动，旨在让全体师生共建共享．校团委学生处在对上学 期学生借阅登记簿进行统计时发现，在 ４月份有 １０００名学生借阅了名著类书籍，６月份增加到１４４０人， 则从４月份到６月份全校借阅名著类书籍的学生人数 的平均增长率是 （　　） Ａ．１０％ Ｂ．２０％ Ｃ．３０％ Ｄ．４０％ ２．某商店销售连衣裙，每条盈利４０元，每天可以 销售２０条．商店决定降价销售，经调查，每降价１元，商 店每天可多销售 ２条连衣裙．若想要商店每天盈利 １２００元，每条连衣裙应降价 （　　） Ａ．５元 Ｂ．１０元 Ｃ．２０元 Ｄ．１０元或２０元 ３．某种商品售价经过两次降价后，新售价为原售 价的８１％，则平均每次降 ％． ４．某菜农在２０２３年１１月底投资１６００元种植大棚 黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜４００千克，当天就可以按 ６元 ／千克的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起 来，其质量每天损失１０千克，且每天需支付各种费用 共４０元，但每天每千克的价格能上涨０．５元（储藏时间 不超过１０天）．若该菜农想获得１１７５元的利润，需要 将采摘的黄瓜储藏 天． ５．某商品进价３０元，销售期间发现，当销售单价 定价５０元时，每天可售出１００个，临近五一，商家决定 开启大促，经市场调研发现，销售单价每下降２元，每 天销量增加２０个，设每个商品降价ｘ元． （１）求每天销量ｙ（个）关于ｘ（元）的函数关系式； （２）求该商品的销售单价是多少元时，商家每天 获利１７６０元？ （３）商家每天的获利是否能达到３０００元？ 书 （满分：１２０分） 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．关于ｘ的一元二次方程ｋｘ２－２ｘ＋１＝０有两个不 相等的实数根，那么整数ｋ的可能值是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１２ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．３ ２．连续两个整数的乘积为１２，则这两个整数中较小 的一个是 （　　） Ａ．３ Ｂ．－４ Ｃ．－３或４ Ｄ．－４或３ ３．若５是方程ｘ２－６ｘ＋ｋ＝０的一个根，则方程的另 一个根是 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．５ ４．取一张长与宽之 比为５∶２的长方形纸板， 剪去４个边长为５ｃｍ的 小正方形（如图１），并用 它做一个无盖的长方体形状的包装盒．要使包装盒的容 积为２００ｃｍ３（纸板的厚度略去不计），则这张长方形纸 板的周长为 （　　） Ａ．７ｃｍ Ｂ．１４ｃｍ Ｃ．４２ｃｍ Ｄ．８４ｃｍ ５．若关于ｘ的方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的两根 之和是ｍ，两根之积是ｎ，则关于ｔ的方程ａ（ｔ＋１）２＋ｂ（ｔ ＋１）＋ｃ＝０的两根之积是 （　　） Ａ．ｎ＋ｍ－１ Ｂ．ｎ＋ｍ＋１ Ｃ．ｎ－ｍ＋１ Ｄ．ｎ－ｍ－１ ６．已知菱形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ，ＢＤ的长度是方程 ｘ２－１３ｘ＋３６＝０的两个实数根，则此菱形的面积为 （　　） Ａ．１８ Ｂ．２４ Ｃ．３０ Ｄ．３６ ７．已知ａ，ｂ，ｃ为常数，点Ｐ（ａ，ｃ）在第四象限，则关 于ｘ的一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的根的情况为 （　　） Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．没有实数根 Ｄ．无法判定 ８．已知 ｍｎ≠１，且５ｍ２＋２０１０ｍ＋９＝０，９ｎ２＋ ２０１０ｎ＋５＝０，则ｍｎ的值为 （　　） Ａ．－４０２ Ｂ．５９ Ｃ． ９ ５ Ｄ． ６７０ ３ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．若关于ｘ的一元二次方程ｘ２＋ｘ－４＝０的两根是 ｘ１，ｘ２，则ｘ ２ １ｘ２＋ｘ１ｘ ２ ２ ＝ ． １０．已知关于ｘ的方程（ａ＋１）ｘ２－２ｘ＋３＝０有实 数根，则整数ａ的最大值是 ． １１．为保护森林，中华铅笔厂准备生产一种新型环 保铅笔．随着技术的成熟，由刚开始每月生产６２５万支新 型铅笔，经两次技术革新后，上升至每月生产９００万支新 型铅笔，则每次技术革新的平均增长率是 ． １２．若关于ｘ的一元二次方程ａｘ２－３ｘ＋１＝０有实 数根，且不等式组 ｘ＋２ ３ ≤ ｘ＋１ ２ ， ２ｘ－ａ＜６ｘ－ { １ 的解集为 ｘ≥１，则 所有满足条件的整数ａ的个数是 ． １３．关于ｘ的一元二次方程ｘ２－４ｘ＋ｋ－１＝０有两 个实数根ｘ１，ｘ２，若 ｘ１，ｘ２分别是一个矩形的长和宽，矩 形的对角线长为槡１０，则ｋ的值为 ． １４．如图２，已知ＡＧ∥ＣＦ，ＡＢ ⊥ＣＦ，垂足为Ｂ，ＡＢ＝ＢＣ＝３，点 Ｐ是射线ＡＧ上的动点（点Ｐ不与 点Ａ重合），点Ｑ是线段 ＣＢ上的 动点，点 Ｄ是线段 ＡＢ的中点，连 结ＰＤ并延长交ＢＦ于点Ｅ，连结ＰＱ，设ＡＰ＝２ｔ，ＣＱ＝ｔ， 当 △ＰＱＥ是以 ＰＥ为腰的等腰三角形时，ｔ的值为 ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１０分）已知关于ｘ的一元二次方程ｘ２－６ｘ－ｋ ＝０（ｋ为常数）．设α，β为方程的两个实数根，且α＋２β ＝１４，试求出方程的两个实数根和ｋ的值． １６．（１０分）渡江战役纪念馆位于巢湖之滨，犹如一 艘乘风破浪的巨型战舰．据统计，２０２３年２月份接待人 数为３００００人，４月份增加到３６３００人． （１）求２月份到４月份接待人数的月平均增长率； （２）如果接待人数继续保持这个增长率不变，预测 ６月份接待人数能否突破４３５００人？ １７．（１０分）已知关于ｘ的一元二次方程ｘ２－２ｍｘ＋ ３＝０． （１）当ｍ＝１时，判断方程根的情况； （２）当ｍ＝２时，求方程的根． １８．（１０分）某农产品公司以６４０００元的成本收购 了某种农产品８０吨，目前可以以１２００元 ／吨的价格直 接售出．而该公司对这批农产品有以下两种处理方式可 供选择： 方式一：公司可将部分农产品直接以１２００元／吨的 价格售出，剩下的全部加工成半成品出售（加工成本忽 略不计），每吨该农产品可以加工得到０．８吨的半成品， 每吨半成品的售价为２５００元． 方式二：公司将该批农产品全部储藏起来，这样每 星期会损失２吨，且每星期需支付各种费用１６００元，但 同时每星期每吨的价格将上涨２００元． （１）若该公司选取方式一处理该批农产品，最终获 得了７５％的利润率，求该公司直接销售了多少吨农产品？ （２）若该公司选取方式二处理该批农产品，最终获 利１２２０００元，求该批农产品储藏了多少个星期才出售？ １９．（１２分）已知α，β（α＞β）是一元二次方程ｘ２－ ｘ－１＝０的两个实数根，ｓ１ ＝α＋β，ｓ２ ＝α ２＋β２，…，ｓｎ ＝αｎ＋βｎ． （１）直接写出 ｓ１，ｓ２ 的值：ｓ１ ＝ ，ｓ２ ＝ ； （２）经过计算，可得ｓ３ ＝４，ｓ４ ＝７，ｓ５ ＝１１，当ｎ≥ ３时，请猜想ｓｎ，ｓｎ－１，ｓｎ－２之间满足的数量关系，并给出证 明． ２０．（１２分）已知关于ｘ的一元二次方程ｘ２－（２ｋ＋ ３）ｘ＋ｋ２＋３ｋ＋２＝０． （１）试判断上述方程根的情况； （２）已知△ＡＢＣ的两边ＡＢ，ＡＣ的长是关于上述方 程的两个实数根，ＢＣ的长为５． ①当ｋ为何值时，△ＡＢＣ是以ＢＣ为斜边的直角三角 形？ ②当ｋ为何值时，△ＡＢＣ是等腰三角形？请求出此时 △ＡＢＣ的周长                                                                                                                                                                 ． !"!#$%&' ()*+,- !./ !" #$ %& !"#$%&'()*+ "#$%&$'(%'!) !",-%&'()*+ *+$%,$'(%%'$ 012345""#"#$%""#&6 ! ! !"#$ %&'( ! 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