第3期 22.1～22.2.3（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（华东师大版）

书 上期２版 ２１．３二次根式的加减 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ；　３．Ｃ； ４．１０；　５．３；　６．槡２２＋ 槡３３． ７．（１）槡７２；　（２）－槡２；　（３）９ ２槡ａ． ８．他们共走了：槡８３＋槡２３＋槡３３＋槡６３＋槡３＝ 槡２０３（千 米）． 重点集训营 （１）－槡６；　 （２）槡２２；　 （３） 槡１０２；　（４）２－槡５； （５）－ 槡１２２；　（６）－１＋ 槡２６；　 （７）５－ 槡３６． 上期３，４版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０１１１２ 答案 Ａ Ｄ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ Ａ Ｃ Ｄ Ａ Ｄ Ｂ 二、１３．ｘ≥－５２；　１４．３；　１５．３；　１６．槡５． 三、１７．４＋槡３． １８．原式 ＝ａ２＋６ａ．当ａ＝槡２－３时，原式 ＝－７． １９．将 ｈ＝７８．４，ｇ≈９．８代入 ｔ＝ ２ｈ槡ｇ，得 ｔ≈ ２×７８．４ ９．槡 ８ ＝４． 答：鸡蛋落到地面所用的时间是４ｓ． ２０．因为 ａ 槡２－１ － ｂ 槡２ ＝ ａ（槡２＋１） （槡２－１）（槡２＋１） －槡２２ｂ ＝槡２ａ＋ａ－槡 ２ ２ｂ＝（ａ－ １ ２ｂ）槡２＋ａ＝３－ 槡２２，ａ，ｂ都 是正整数，所以ａ－１２ｂ＝－２，ａ＝３．解得ｂ＝１０． ２１．因为ａ＝ １ 槡２－１ ＝ 槡２＋１ （槡２－１）（槡２＋１） ＝槡２＋１， 所以ａ－１＝槡２．所以（ａ－１） ２＝２．所以ａ２－２ａ＝１．所 以４ａ２－８ａ－３＝４（ａ２－２ａ）－３＝４×１－３＝１． 四、２２．槡３ｂ｜３ａ｜；　２３．槡６６；　２４．槡２３；　２５．３． 五、２６．（１）根据题意，得 １ 槡２５ ＝１５，槡４＝２．所以数 对（２５，４）的一对“对称数对”为（１５，２）与（２， １ ５）． （２）因为数对（３，ｙ）的一对“对称数对”的两个数 对相同，所以 １ 槡３ ＝槡３３ 槡＝ ｙ．解得ｙ＝ １ ３． （３）根据题意，得 １ 槡ａ ＝槡３，槡ｂ＝ 槡３３或 １ 槡ａ ＝ 槡３３， 槡ｂ＝槡３．所以ａ＝ １ ３，ｂ＝２７或ａ＝ １ ２７，ｂ＝３．所以ａｂ ＝９或ａｂ＝ １９． ２７．（１）３． （２）根据题意，得｜３－ａ｜＋｜ａ－７｜＝４．当ａ＜３时， ３－ａ＞０，ａ－７＜０，所以（３－ａ）＋（７－ａ）＝１０－２ａ＝ ４，解得ａ＝３（舍去）；当３≤ａ≤７时，３－ａ≤０，ａ－７≤０， 所以（ａ－３）＋（７－ａ）＝４；当ａ＞７时，３－ａ＜０，ａ－７＞ ０，所以（ａ－３）＋（ａ－７）＝２ａ－１０＝４，解得ａ＝７（舍去）． 综上所述，ａ的取值范围是３≤ａ≤７． ２８．（１）ｍ２＋７ｎ２；２ｍｎ． （２）因为ａ＋槡６３＝（ｍ＋ｎ槡３） ２＝ｍ２＋３ｎ２＋２ｍｎ槡３， ａ，ｍ，ｎ都是正整数，所以 ａ＝ｍ２＋３ｎ２，２ｍｎ＝６．所以 ｍｎ＝３．所以ｍ＝１，ｎ＝３或ｍ＝３，ｎ＝１．当ｍ＝１， ｎ＝３时，ａ＝１２＋３×３２＝２８；当ｍ＝３，ｎ＝１时，ａ＝ ３２＋３×１２ ＝１２．综上所述，ａ的值为２８或１２． （３）原式 ＝ 槡２５． 书 配方法是解一元二次方程的基本方法，也是解决代 数中有关二次式最值问题的常用方法之一．配方是通过 “加上”并且“减去”相同的项，把代数式中的某些项配 成完全平方式，达到巧解的目的．下面就让我们走进一 元二次方程的解法，一起来体会配方法的无限魅力吧！ 一、配方法的基本思路 用配方法解一元二次方程的基本思路是将方程转 化为（ｘ＋ｍ）２ ＝ｎ的形式，然后利用开平方达到降次的 目的．当ｎ≥０时，根据平方根的意义可求出它的根为 槡ｘ＝－ｍ± ｎ． 二、配方法的步骤 如果方程的二次项系数是１，且一次项系数是２的 整数倍，比如ｘ２－４ｘ＋１＝０，那么一般可按以下步骤解 方程： （１）移项：使方程的左边为含有未知数的项（即二 次项与一次项），右边为不含未知数的项（即常数项）， 得ｘ２－４ｘ＝－１； （２）配方：在方程的两边都加上一次项系数一半的 平方，把方程左边写成完全平方的形式，即 ｘ２－４ｘ＋ （－４２） ２ ＝－１＋（－４２） ２，（ｘ－２）２ ＝３； （３）开方：根据平方根的意义，直接开平方得到两 个一元一次方程，从而达到“降次”的目的，由此可得 ｘ－２＝槡３或ｘ－２＝－槡３； （４）求解：解两个一元一次方程，得 ｘ１ ＝２＋槡３， ｘ２ ＝２－槡３． 温馨提示：（１）如果方程的二次项系数不是１，要先 利用等式的基本性质将其化为１； （２）若一个方程完成配方后，方程右边的常数项是 负数，这说明原方程在实数范围内无解． 练习：用配方法解一元二次方程：３ｘ２－６ｘ＋２＝０． ［答案：ｘ１ ＝ ３－槡３ ３ ，ｘ２ ＝ ３＋槡３ ３ ］ 书 若 ａｘ２０＋ｂｘ０＋ｃ＝０，则ｘ０是一元二次方程ａｘ ２＋ｂｘ ＋ｃ＝０（ａ≠０）的一个根；反之，若ｘ０是一元二次方程 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的一个根，则可得ａｘ２０＋ｂｘ０＋ｃ ＝０．这就是一元二次方程根的定义，利用一元二次方程 根的定义解题是中考的常见考点． 例题呈现 例１　已知３是一元二次方程ｘ２－２ｘ＋ａ＝０的一 个根，求ａ的值和方程的另一根． 解：将ｘ＝３代入ｘ２－２ｘ＋ａ＝０中，得９－６＋ａ＝ ０，解得ａ＝－３，将ａ＝－３代入ｘ２－２ｘ＋ａ＝０中，得ｘ２ －２ｘ－３＝０，解得ｘ１ ＝３，ｘ２ ＝－１，所以ａ＝－３，方程 的另一根为 －１． 例２　若ｘ＝１是关于ｘ的一元二次方程ｘ２＋ａｘ＋ ２ｂ＝０的解，则２ａ＋４ｂ＝ （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．－２ Ｂ．－３ Ｃ．４ Ｄ．－６ 解：把ｘ＝１代入方程ｘ２＋ａｘ＋２ｂ＝０，得１＋ａ＋ ２ｂ＝０，所以ａ＋２ｂ＝－１，所以２ａ＋４ｂ＝２（ａ＋２ｂ）＝ ２×（－１）＝－２．故选Ａ． 例３　若关于ｘ的一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ－３＝０（ａ ≠０）有一个根为ｘ＝２０２３，则方程ａ（ｘ－１）２＋ｂｘ－３ ＝ｂ必有一根为 （　　） Ａ．２０２１ Ｂ．２０２２ Ｃ．２０２３ Ｄ．２０２４ 解：因为ａ（ｘ－１）２＋ｂｘ－３＝ｂ可化为ａ（ｘ－１）２＋ ｂ（ｘ－１）－３＝０，关于ｘ的一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ－３＝ ０（ａ≠０）有一个根为ｘ＝２０２３，所以ｘ－１＝２０２３，解 得ｘ＝２０２４，所以ａ（ｘ－１）２＋ｂｘ－３＝ｂ必有一根为ｘ ＝２０２４．故选Ｄ． 变式训练 １．若ｍ是一元二次方程ｘ２－ｘ－２＝０的一个根，则 代数式２ｍ２－２ｍ的值为 （　　） Ａ．－１ Ｂ．－２ Ｃ．２ Ｄ．４ ２．关于ｘ的方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０），其中ａ，ｂ， ｃ满足ａ＋ｂ＋ｃ＝０和４ａ－２ｂ＋ｃ＝０，则该方程的根是 （　　） Ａ．ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝２ Ｂ．ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝－２ Ｃ．ｘ１ ＝－１，ｘ２ ＝２ Ｄ．ｘ１ ＝－１，ｘ２ ＝－２ ３．已知关于ｘ的一元二次方程（ｍ－１）ｘ２＋２ｘ＋ｍ２ －１＝０有一个根是０，则ｍ的值是 ． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!" ! ! " !!!!!!!!!!!!!!!!!!!" ! ! " !"#$%&' !"#($"%)&"'!" !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 书 重点集训营 １．用公式法解方程： （１）３ｘ２＋１＝４ｘ； （２）２ｘ２＋ｘ－３＝０； （３）５ｘ２－５ｘ＋３＝０； （４）ｘ２－５ｘ－１０＝０； （５）１２ｘ ２－７ｘ＋２０＝０； （６）ｘ２－ 槡２６ｘ－５＝０． ２．已知关于ｘ的方程ｘ２－２（ｋ－３）ｘ＋ｋ２－４ｋ－１＝０． （１）若这个方程有实数根，求ｋ的取值范围； （２）若这个方程有一个根为１，求ｋ的值． 书 一、分清ａ，ｂ，ｃ的符号 例１　解方程：ｘ２＋３ｘ－１＝０． 解：因为ａ＝１，ｂ＝３，ｃ＝－１， 所以ｂ２－４ａｃ＝３２－４×１×（－１）＝１３， 所以 ｘ＝ －ｂ± ｂ ２－４槡 ａｃ ２ａ ＝ －３±槡１３ ２×１ ＝ －３±槡１３ ２ ， 解得ｘ１ ＝ －３＋槡１３ ２ ，ｘ２ ＝ －３－槡１３ ２ ． 二、将方程化为一般形式 例２　解方程：３ｘ（ｘ－１）－２＝２ｘ． 解：方程整理为３ｘ２－５ｘ－２＝０， 所以ａ＝３，ｂ＝－５，ｃ＝－２， 所以ｂ２－４ａｃ＝（－５）２－４×３×（－２）＝４９， 所以ｘ＝－ｂ± ｂ ２－４槡 ａｃ ２ａ ＝ ５±槡４９ ２×３ ＝ ５±７ ６ ， 解得ｘ１ ＝２，ｘ２ ＝－ １ ３． 三、ｂ２－４ａｃ≥０的方程才有实数根 例３　解方程：２ｘ２＋３ｘ＋５＝０． 解：因为ａ＝２，ｂ＝３，ｃ＝５， 所以ｂ２－４ａｃ＝３２－４×２×５＝－３１＜０， 所以方程没有实数根． 【对应练习见《重点集训营》】 辅助线专项练习 １．如图１，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＡＤ＝６，点Ｅ为 边 ＢＣ上的动点，连结ＡＥ，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＡＥ，且ＥＦ＝ ＡＥ，连结ＣＦ，则线段ＣＦ长度的最小值为 ． ２．如图２，正方形ＡＢＣＤ的边长为２槡２，点Ｅ是ＡＢ 边上的一个动点，点Ｆ是ＣＤ边上的一个动点，且ＡＥ＝ ＣＦ，过点Ｂ作ＢＧ⊥ＥＦ于点Ｇ，连结ＡＧ，则ＡＧ长的最小 值为 ． 【提示】 １．在ＢＡ上取一点Ｔ，使得ＢＴ＝ＢＥ，连结ＥＴ，在 ＥＣ上取一点Ｋ，使得∠ＦＫＣ＝４５°，连结ＦＫ，利用全 等三角形的性质证明ＢＫ＝ＡＢ＝４，由矩形的性质可 得ＣＤ＝ＡＢ＝４，ＢＣ＝ＡＤ＝６，进而推出点Ｆ在射线 ＫＦ上运动，当ＣＦ⊥ＫＦ时，ＣＦ值最小． ２．连结ＡＦ，ＣＥ，ＡＣ，设ＡＣ与ＥＦ的交点为点 Ｏ， 得到平行四边形ＡＥＣＦ，点Ｏ是ＡＣ的中点，连结ＢＤ， 则ＢＤ经过点Ｏ，且ＯＡ⊥ＯＢ，取ＯＢ的中点Ｈ，连结 ＡＨ，ＧＨ，根据三角形的三边关系，计算最值即可． 书 一、分清ａ，ｂ，ｃ的符号 例１　解方程：ｘ ２ ＋３ｘ－１＝０． 解：因为ａ＝１，ｂ＝３，ｃ＝－１， 所以ｂ ２ －４ａｃ＝３ ２ －４×１×（－１）＝１３， 所以ｘ＝－ｂ±ｂ ２ －４ 槡ａｃ ２ａ＝－３±槡１３ ２×１＝ －３±槡１３ ２ ， 解得ｘ１＝－３＋槡１３ ２ ，ｘ２＝－３－槡１３ ２． 二、将方程化为一般形式 例２　解方程：３ｘ（ｘ－１）－２＝２ｘ． 解：方程整理为３ｘ ２ －５ｘ－２＝０， 所以ａ＝３，ｂ＝－５，ｃ＝－２， 所以ｂ ２ －４ａｃ＝（－５） ２ －４×３×（－２）＝４９， 所以ｘ＝－ｂ±ｂ ２ －４ 槡ａｃ ２ａ＝５±槡４９ ２×３＝５±７ ６ ， 解得ｘ１＝２，ｘ２＝－１ ３． 三、ｂ ２ －４ａｃ≥０的方程才有实数根 例３　解方程：２ｘ ２ ＋３ｘ＋５＝０． 解：因为ａ＝２，ｂ＝３，ｃ＝５， 所以ｂ ２ －４ａｃ＝３ ２ －４×２×５＝－３１＜０， 所以方程没有实数根． 【对应练习见《重点集训营》】 辅助线专项练习 １．如图１，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＡＤ＝６，点Ｅ为 边ＢＣ上的动点，连结ＡＥ，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＡＥ，且ＥＦ＝ ＡＥ，连结ＣＦ，则线段ＣＦ长度的最小值为． ２．如图２，正方形ＡＢＣＤ的边长为２槡２，点Ｅ是ＡＢ 边上的一个动点，点Ｆ是ＣＤ边上的一个动点，且ＡＥ＝ ＣＦ，过点Ｂ作ＢＧ⊥ＥＦ于点Ｇ，连结ＡＧ，则ＡＧ长的最小 值为． 【提示】 １．在ＢＡ上取一点Ｔ，使得ＢＴ＝ＢＥ，连结ＥＴ，在 ＥＣ上取一点Ｋ，使得∠ＦＫＣ＝４５°，连结ＦＫ，利用全 等三角形的性质证明ＢＫ＝ＡＢ＝４，由矩形的性质可 得ＣＤ＝ＡＢ＝４，ＢＣ＝ＡＤ＝６，进而推出点Ｆ在射线 ＫＦ上运动，当ＣＦ⊥ＫＦ时，ＣＦ值最小． ２．连结ＡＦ，ＣＥ，ＡＣ，设ＡＣ与ＥＦ的交点为点Ｏ， 得到平行四边形ＡＥＣＦ，点Ｏ是ＡＣ的中点，连结ＢＤ， 则ＢＤ经过点Ｏ，且ＯＡ⊥ＯＢ，取ＯＢ的中点Ｈ，连结 ＡＨ，ＧＨ，根据三角形的三边关系，计算最值即可． *+!,-./0 123%&4567 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! # 89 : ; ! " # $ % & ! ! $ ' " ! ! $ & ( % 书 !"#$%&' ｘ２＋ｐｘ＋ｑ， ()*+,-.& ｑ /01234. ａ，ｂ 56 ， 78 ａ＋ｂ 9":$&;. ｐ， <=>?@A/04' ， B ｘ２＋ｐｘ＋ｑ＝ｘ２＋（ａ＋ ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）． C ｑ＞０ D ，ｑ /054. ａ，ｂ EF ， 8 ａ，ｂ GFH ｐ GFIE ， ( ｘ２＋１４ｘ＋４５＝（ｘ＋５）（ｘ＋９），ｘ２－９ｘ ＋１４＝（ｘ－２）（ｘ－７）． C ｑ＜０ D ，ｑ /054. ａ，ｂ JF ， 8KLM!N OP54.GFH ｐ GFIE ， ( ｘ２－７ｘ－６０＝（ｘ－ １２）（ｘ＋５），ｘ２＋ｘ－７２＝（ｘ－８）（ｘ＋９）． :QR ，（ａ１ｘ＋ｃ１）（ａ２ｘ＋ｃ２）＝ａ１ａ２ｘ ２＋ａ１ｃ２ｘ＋ ａ２ｃ１ｘ＋ｃ１ｃ２ ＝ａ１ａ２ｘ ２＋（ａ１ｃ２＋ａ２ｃ１）ｘ＋ｃ１ｃ２． STU ， ?VW ａ１ａ２ｘ ２＋（ａ１ｃ２＋ａ２ｃ１）ｘ＋ｃ１ｃ２ ＝ （ａ１ｘ＋ｃ１）（ａ２ｘ＋ｃ２）． XYZ[ ， #$& ａｘ２ /01 ａ１ｘａ２ｘ，-.&ｃ/0 1 ｃ１ｃ２，78,ａ１ｘ，ａ２ｘ，ｃ１，ｃ２\](^： ａ１ｘ ａ２ｘ ｃ１ ｃ２ _`abcdeIf ， gIh ， ?VW ａ１ｘｃ２ ＋ ａ２ｘｃ１，()>Yij9"ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ 5:$& ｂｘ， <= ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ ?@A/01 （ａ１ｘ＋ｃ１）（ａ２ｘ＋ｃ２），KL ａ１ｘ，ｃ１k"lm5l:n，ａ２ｘ，ｃ２k"^:n． o_pqrstude/0;. ， vwxrXY ,#$%&'/04'5yz ， {-|}tuIfz ． :QR ， XY~@A_pyz0:€#$y ， ‚ƒ^„5…† ． ! 　 tuIfz0^]y ： （１）ｘ２＋６ｘ－７＝０；　（２）２ｘ２－５ｘ－３＝０． "# ： !"#$%&'()*+,-./ ， 01& '23% ， 456 ． $ ：（１）ｘ２＋６ｘ－ ７ ＝ ０； 　  　ｘ 　ｘ ７ －１ 4‡ －ｘ＋７ｘ＝６ｘ， ˆA （ｘ＋７）（ｘ－１）＝０， 0V ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝－７． （２）２ｘ２－５ｘ－ ３ ＝ ０． 　  　２ｘ 　ｘ １ －３ 4‡ ２ｘ×（－３）＋ｘ＝－６ｘ＋ｘ＝－５ｘ， ˆA （２ｘ＋１）（ｘ－３）＝０， 0V ｘ１＝－ １ ２，ｘ２＝３． {Tl„5…† ， @A‰tuIfz0:€#$ y/‡A^Š‹ ：（１） Œ/#$&H-.& ；（２） d eIf ， 6Ih ；（３） Ž ， ‘’“) ． B”2• ， –L— ， ”/-.& ， Ž˜:$& ． # <= >?@ # AB CDE ! 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É7/#f0¹#1234/fçè,-ÙáÑ5é67 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! # 89 šŸ: 书 ２２．１一元二次方程 １．一元二次方程５ｘ２－２ｘ＋２＝０的一次项系数是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．５ Ｂ．－２ Ｃ．２ Ｄ．０ ２．已知关于ｘ的一元二次方程ｋｘ２－（ｋ－２）ｘ＋４＝ ０的一个根是２，则ｋ的值是 （　　） Ａ．２ Ｂ．－２ Ｃ．４ Ｄ．－４ ３．关于ｘ的方程（ｍ＋１）ｘ｜ｍ｜＋１－ｍｘ＋６＝０是一元 二次方程，则ｍ的值是 （　　） Ａ．－１ Ｂ．３ Ｃ．１ Ｄ．１或 －１ ４．某校截止到２０２２年底，校园绿化面积为１０００平 方米．为美化环境，该校计划２０２４年底绿化面积达到 １４４０平方米．利用方程思想，设这两年绿化面积的年 平均增长率为ｘ，则依题意列方程为 ． ５．方程ｘ２＋ａｘ＋１＝０和ｘ２－ｘ－ａ＝０有一个公 共根，则ａ的值是 ． ６．若关于ｘ的一元二次方程ａｘ２＋２ｂｘ－２＝０的一 个根是ｘ＝２０２４，则一元二次方程 ａ２（ｘ＋２） ２＋ｂｘ＋２ｂ ＝１必有一根为 ． ７．关于ｘ的一元二次方程２（ｘ－１）２＋ｂ（ｘ－１）＋ ｃ＝０化为一般形式后为２ｘ２－３ｘ－１＝０，试求ｂ，ｃ的 值． ２２．２．１直接开平方法和因式分解法 １．解方程ｘ２－９７ｘ＝０较为合适的方法是（　　） Ａ．直接开平方法 Ｂ．配方法 Ｃ．公式法 Ｄ．因式分解法 ２．方程ｘ２－４＝０的根为 （　　） 槡Ａ．２ Ｂ．２ Ｃ．±２ Ｄ．±槡２ ３．用因式分解法解方程９ｘ２ ＝（ｘ－２）２时，因式分 解结果正确的是 （　　） Ａ．４（２ｘ－１）（ｘ－１）＝０ Ｂ．４（２ｘ＋１）（ｘ－１）＝０ Ｃ．４（２ｘ－１）（ｘ＋１）＝０ Ｄ．４（２ｘ＋１）（ｘ＋１）＝０ ４．若关于ｘ的方程（ｘ－２）２＝１－ｍ无实数根，那么 ｍ满足的条件是 ． ５．在平面直角坐标系中，已知点 Ｐ（ｍ，ｎ），ｍ，ｎ满 足（ｍ２＋ｎ２ ＋１）（ｍ２ ＋ｎ２ ＋３）＝１５，则 ＯＰ的长为 ． ６．解方程： （１）（ｘ＋３）２－２５＝０； （２）ｘ２－ｘ－１２＝０． ７．由多项式乘法：（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）＝ｘ２＋（ａ＋ｂ）ｘ ＋ａｂ，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进 行因式分解的公式：ｘ２＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ ｂ）．示例：分解因式：ｘ２＋５ｘ＋６＝ｘ２＋（２＋３）ｘ＋２×３ ＝（ｘ＋２）（ｘ＋３）． （１）尝试：分解因式：ｘ２ ＋６ｘ＋８ ＝ （ｘ＋ ）（ｘ＋ ）； （２）应用：①请用上述方法解方程：ｘ２－５ｘ－６＝０； ②如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＣ＝８，且ＡＢ的长 是方程ｘ２－９ｘ＋２０＝０的一个根，求等腰三角形ＡＢＣ的 面积． ２２．２．２配方法 １．用配方法解方程ｘ２－４ｘ－１＝０时，配方后正确 的是 （　　） Ａ．（ｘ＋２）２ ＝３ Ｂ．（ｘ＋２）２ ＝１７ Ｃ．（ｘ－２）２ ＝５ Ｄ．（ｘ－２）２ ＝１７ ２．对于两个不相等的实数 ａ，ｂ，我们规定符号 ｍａｘ（ａ，ｂ）表示 ａ，ｂ中的较大值，如：ｍａｘ（３，５）＝５， ｍａｘ（－３，－５）＝－３．按照这个规定，若ｍａｘ｛ｘ，－ｘ｝＝ ｘ２－３ｘ－５，则ｘ的值是 （　　） Ａ．５ Ｂ．５或 槡１－ ６ Ｃ．－１或 槡１－ ６ Ｄ．５或１＋槡６ ３．把一元二次方程ｘ２－４ｘ－８＝０化成（ｘ－ｍ）２＝ ｎ的形式，则ｍ＋ｎ的值为 ． ４．小刚在解关于ｘ的方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０） 时，只抄对了ａ＝１，ｂ＝４，解出其中一个根是ｘ＝－１． 他核对时发现所抄ｃ的值比原方程的 ｃ值小１，则原方 程的根为 ． ５．解方程： （１）２ｘ２－４ｘ－１＝０； （２）ｘ（ｘ－６）＝６． ６．已知代数式Ａ＝２ｘ２＋５ｘ－３，Ｂ＝ｘ２＋ｘ－８． （１）当ｘ为何值时，代数式Ａ比Ｂ的值大２； （２）求证：对于任意的ｘ值，代数式Ａ－Ｂ的值恒为 正数． ２２．２．３公式法 １．用公式法解方程ｘ２－２＝－３ｘ时，ａ，ｂ，ｃ的值依 次是 （　　） Ａ．０，－２，－３ Ｂ．１，３，－２ Ｃ．１，－３，－２ Ｄ．１，－２，－３ ２．对于实数ａ，ｂ，定义运算“※“：ａ※ｂ＝ａ２－５ｂ－ ３，如３※１＝３２－５×１－３＝１．若３ｘ※２ｘ＝－５，则ｘ的 值为 （　　） Ａ．５＋槡７９ Ｂ． ５－槡７ ９ Ｃ．５＋槡７９ 或 ５－槡７ ９ Ｄ． 槡７－５ ９ ３．解一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０，其中一个根为 －ｂ± ｂ２＋槡 ４ ２ ，则ｃ等于 （　　） Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．０ Ｄ．２ ４．若关于ｘ的一元二次方程ｘ２－（ｋ＋４）ｘ＋３＋ｋ ＝０恰有一个根小于０，则ｋ的取值范围是 ． ５．嘉琪准备完成题目：解一元二次方程ｘ２－６ｘ＋□ ＝０．若“□”表示一个数字，且一元二次方程ｘ２－６ｘ＋ □ ＝０有实数根，则“□”的最大值为 ，此时方 程的解为 ． ６．将关于ｘ的一元二次方程ｘ２－ｐｘ＋ｑ＝０变形为 ｘ２＝ｐｘ－ｑ，就可以将ｘ２表示为关于ｘ的一次多项式，从 而达到“降次”的目的，又如ｘ３＝ｘ·ｘ２＝ｘ（ｐｘ－ｑ）＝ …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以 化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知ｘ２＋ｘ－１ ＝０，且ｘ＞０，则ｘ４－２ｘ３＋３ｘ的值为 ． ７．解方程： （１）２ｘ２＋ｘ－２＝０； （２）（ｘ－２）２ ＝６－ｘ． ８．已知关于ｘ的一元二次方程（ａ＋ｃ）ｘ２＋２ｂｘ＋（ａ －ｃ）＝０，其中ａ，ｂ，ｃ分别为△ＡＢＣ三边的长． （１）如果ｘ＝－１是方程的根，试判断△ＡＢＣ的形 状，并说明理由； （２）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ＡＢＣ 的形状，并说明理由； （３）如果△ＡＢＣ是等边三角形，试求这个一元二次 方程的根 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 （满分：１２０分） 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．将方程４ｘ２＋８ｘ＝２５化成ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的形 式，则ａ，ｂ，ｃ的值分别为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．４，８，２５ Ｂ．４，２，－２５ Ｃ．４，８，－２５ Ｄ．１，２，２５ ２．将一元二次方程ｘ２＋６ｘ－２＝０配方后可化为 （　　） Ａ．（ｘ＋３）２ ＝１１ Ｂ．（ｘ－３）２ ＝１１ Ｃ．（ｘ＋３）２ ＝２ Ｄ．（ｘ－３）２ ＝２ ３．一元二次方程２ｘ２＋ｘ－ａ＝０的一根是３，则另外 一根是 （　　） Ａ．－７２ Ｂ．１ Ｃ．－３ Ｄ．３ ４．２０２０年 ～２０２２年无锡居民人均可支配收入由 ５７６万元增长至６．５８万元，设人均可支配收入的平均 增长率为ｘ，下列方程正确的是 （　　） Ａ．５．７６（１＋ｘ）２ ＝６．５８ Ｂ．５．７６（１＋ｘ２）＝６．５８ Ｃ．５．７６（１＋２ｘ）＝６．５８ Ｄ．５．７６ｘ２ ＝６．５８ ５．已知方程ｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的解是ｘ１＝２，ｘ２＝－４， 那么方程（ｘ＋１）２＋ｂ（ｘ＋１）＋ｃ＝０的解是 （　　） Ａ．ｘ１ ＝－１，ｘ２ ＝５ Ｂ．ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝５ Ｃ．ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝－５ Ｄ．ｘ１ ＝－１，ｘ２ ＝－５ ６．已知ｋ，ｂ是一元二次方程（２ｘ＋１）（３ｘ－１）＝０的 两个根，且ｋ＞ｂ，则函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象不经过 （　　） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 ７．若ａ是方程ｘ２－ｘ－１＝０的一个根，则 －ａ３＋２ａ ＋２０２２的值为 （　　） Ａ．２０２１ Ｂ．－２０２３ Ｃ．２０１９ Ｄ．－２０１９ ８．三角形两边的长是３和４，第三边的长是方程ｘ２－ １２ｘ＋３５＝０的根，则该三角形的周长为 （　　） Ａ．１４ Ｂ．１２ Ｃ．１２或１４ Ｄ．以上都不对 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．若一元二次方程的二次项系数为１，常数项为０， 它的一个根为２，则该方程可以为 ． １０．若ｎ（ｎ≠０）是关于ｘ的方程ｘ２－ｍｘ＋２ｎ＝０ 的根，则ｍ－ｎ的值为 ． １１．已知关于ｘ的一元二次方程（ｍ－１）ｘ２＋２ｘ＋１ ＝０有实数根，则ｍ的取值范围是 ． １２．代数式４ｘ２＋８ｘ＋３的最小值为 ． １３．在解一元二次方程ｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０时，小明看错 了一次项系数ｂ，得到的解为ｘ１＝２，ｘ２＝３；小刚看错了 常数项ｃ，得到的解为ｘ１＝１，ｘ２＝５．请你写出正确的一 元二次方程 ． １４．定义新运算“ ! ”如下：当ａ≥ｂ时，ａ!ｂ＝ａｂ ＋ｂ；当ａ＜ｂ时，ａ ! ｂ＝ａｂ－ａ．若（２ｘ－１） ! （ｘ＋２） ＝０，则ｘ＝ ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１２分）解方程： （１）（ｘ－２）２ ＝４； （２）ｘ２－６ｘ＋５＝０； （３）４ｘ２－ 槡２３ｘ－１＝０． １６．（１０分）小敏与小霞两位同学解方程３（ｘ－３） ＝（ｘ－３）２的过程如下框： 小敏： 两边同除以（ｘ－３），得 ３＝ｘ－３， 则ｘ＝６． 小霞： 移项，得３（ｘ－３）－（ｘ－３）２ ＝０， 提取公因式，得（ｘ－３）（３－ｘ－３）＝０， 则ｘ－３＝０或３－ｘ－３＝０， 解得ｘ１ ＝３，ｘ２ ＝０． 判断他们的解法是否正确？并写出你的解答过程． １７．（１０分）请仔细阅读材料，并解答相应问题： 定义 槡Ａ＝ａ＋ｂ ｍ， 槡Ｂ＝ａ－ｂ ｍ（ａ，ｂ，ｍ均为正有 理数）都是无理数，若满足①Ａ＋Ｂ＝２ａ为有理数，②ＡＢ ＝ａ２－ｍｂ２为有理数，则称 Ａ，Ｂ两数为姐妹数（如３＋ 槡２２与３－槡２２，因为３＋槡２２＋３－槡２２＝６，（３＋槡２２）（３ － 槡２２）＝３ ２－（槡２２） ２＝９－８＝１，又因为６，１为有理 数，所以３＋ 槡２２，３－ 槡２２为姐妹数． （１）已知ｘ１，ｘ２是ｘ ２－４ｘ＝２的两个根，求ｘ１，ｘ２的 值，并通过以上方法判断ｘ１，ｘ２是否是一对姐妹数； （２）在（１）条件下请继续判断ｘ２１，ｘ ２ ２是否是一对姐 妹数． １８．（１０分）定义：如果关于ｘ的一元二次方程ａｘ２＋ ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）满足ｂ＝ａ＋ｃ，那么我们称这个方程 为“完美方程”． （１）下面方程是“完美方程”的是 （填序 号）； ①ｘ２－４ｘ＋３＝０；②２ｘ２＋ｘ＋３＝０；③２ｘ２－ｘ－３ ＝０． （２）已知３ｘ２＋ｍｘ＋ｎ＝０是关于ｘ的“完美方程”， 若ｍ是此“完美方程”的一个根，求ｍ的值． １９．（１０分）小明在解一元二次方程时，发现有这样 一种解法，如：解方程ｘ（ｘ＋４）＝６． 解：原方程可变形，得［（ｘ＋２）－２］［（ｘ＋２）＋２］＝ ６，即（ｘ＋２）２－２２ ＝６，移项得（ｘ＋２）２ ＝１０，直接开平 方并整理，得ｘ１ ＝－２＋槡１０，ｘ２ ＝－２－槡１０． 我们称小明这种解法为“平均数法”． （１）下面是小明用“平均数法”解方程（ｘ＋５）（ｘ＋ ９）＝５时写的解题过程． 解：原方程可变形，得［（ｘ＋ａ）－ｂ］［（ｘ＋ａ）＋ｂ］＝ ５，即（ｘ＋ａ）２－ｂ２＝５，移项得（ｘ＋ａ）２＝５＋ｂ２，直接开 平方并整理，得ｘ１ ＝ｃ，ｘ２ ＝ｄ． 上述过程中的 ａ，ｂ，ｃ，ｄ表示的数分别为 ， ， ， ； （２）请用“平均数法”解方程：（ｘ－５）（ｘ＋７）＝１２． ２０．（１２分）定义：如果一个数的平方等于 －１，记为 ｉ２ ＝－１，这个数ｉ叫做虚数单位．我们把形如ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ 为实数）的数称为复数，ａ叫做这个复数的实部，ｂ叫做 这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加 法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程ｘ２ ＝－１，解得ｘ１ ＝ｉ，ｘ２ ＝－ｉ． 同样我们也可以化简 －槡 ４ ＝ ４×（－１槡 ） ＝ ２２×ｉ槡 ２ ＝２ｉ； 读完这段文字，请你解答以下问题： （１）填空：ｉ３ ＝ ，ｉ４ ＝ ，ｉ６ ＝ ，ｉ２０２４ ＝ ； （２）在复数范围内解方程：（ｘ－１）２ ＝－１； （３）在复数范围内解方程：ｘ２－４ｘ＋８＝０                                                                                                                                                                 ． !"!#$%&' ()*+,-./0 !" #$ %& !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# 123456""#$%""&"&'7 ! 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