第1期 21.1 二次根式 21.2 二次根式的乘除（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（华东师大版）

书 二次根式，其实质是一个非负数的算术平方根，即 槡ａ（ａ≥０）是一个非负数．这里包含两个非负性：ａ非负 和槡ａ非负． 一、二次根式的被开方数的非负性 例１　若ｙ＝ ｘ－槡 ３＋ ３槡 －ｘ＋４，则 ｘ＋ｙ＝ ． 分析：先根据二次根式有意义的条件列出关于 ｘ的 不等式组，即可确定ｘ的值，从而求出ｙ的值，再代入ｘ＋ ｙ进行计算即可． 解：根据题意，得 ｘ－３≥０， ３－ｘ≥０{ ．解得ｘ＝３． 所以ｙ＝４．所以ｘ＋ｙ＝７． 故填７． 二、二次根式的非负性 例２　如果 （ｘ－２）槡 ２ ＝２－ｘ，那么ｘ的取值范围 是 （　　） Ａ．ｘ≤２ Ｂ．ｘ＜２ Ｃ．ｘ≥２ Ｄ．ｘ＞２ 分析：根据二次根式是一个非负数可得不等式，求 解即可． 解：根据题意，得２－ｘ≥０．解得ｘ≤２． 故选Ａ． 例３　若｜ａ－ｂ＋１｜与 ａ＋２ｂ＋槡 ４互为相反数， 则（ａ－ｂ）２０２４ ＝ ． 分析：根据“几个非负数的和为０，则这几个数都为 ０”即可得解． 解：因为｜ａ－ｂ＋１｜与 ａ＋２ｂ＋槡 ４互为相反数，所 以｜ａ－ｂ＋１｜＋ ａ＋２ｂ＋槡 ４＝０． 因为｜ａ－ｂ＋１｜≥０， ａ＋２ｂ＋槡 ４≥０， 所以 ａ－ｂ＋１＝０， ａ＋２ｂ＋４＝０{ ．解得 ａ＝－２， ｂ＝－１{ ． 所以（ａ－ｂ）２０２４＝（－２＋１）２０２４＝（－１）２０２４＝１． 故填１． 书 求解二次根式的问题时， 灵活运用不等式、不等式组、分 式的相关知识，可找到很好的 解题途径．下面举例说明，供同 学们参考． 实验室一、一元一次不等 式参与 例１　若 ａ－槡 ４有意义， 则ａ的值可以是 （　　） Ａ．－１　 　　Ｂ．０ Ｃ．２　　 　 Ｄ．６ 分析：利用二次根式有意 义的条件得出 ａ的取值范围， 进而得出答案． 解：因为 ａ－槡 ４有意义，所以ａ－４≥０． 解得ａ≥４． 所以ａ的值可以是６． 故选Ｄ． 实验室二、一元一次不等式组加入 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例 ２ 已知 ２，５，ｍ是某三角形三边的长，则 （ｍ－３）槡 ２ ＋ （ｍ－７）槡 ２ ＝ （　　） Ａ．２ｍ－１０ Ｂ．１０－２ｍ Ｃ．１０ Ｄ．４ 分析：利用三角形的三边关系得出ｍ的取值范围， 再利用二次根式的性质化简得出答案． 解：根据三角形的三边关系，得３＜ｍ＜７． 所以ｍ－３＞０，ｍ－７＜０． 所以 （ｍ－３）槡 ２＋ （ｍ－７）槡 ２ ＝ｍ－３＋７－ｍ＝４． 故选Ｄ． 实验室三、分式介入 例３　若ａ２－３ａｂ＋ｂ２＝０，且ａ＞ｂ＞０，则ｂ－ａｂ＋ａ 的值为 （　　） Ａ．－槡５２ Ｂ．－ 槡２ ２ Ｃ．－槡５５ Ｄ．槡２ 分析：根据分式的基本性质结合二次根式的除法 运算即可得解． 解：因为ａ２－３ａｂ＋ｂ２ ＝０， 所以（ｂ－ａ）２＝ａ２－２ａｂ＋ｂ２＝ａｂ，（ｂ＋ａ）２＝ａ２ ＋２ａｂ＋ｂ２ ＝５ａｂ． 因为ａ＞ｂ＞０， 所以ｂ－ａ＝－槡ａｂ，ｂ＋ａ＝ ５槡ａｂ． 所以 ｂ－ａ ｂ＋ａ＝ －槡ａｂ ５槡ａｂ ＝－槡５５． 故选Ｃ． 书 一、开放型 例１　如果一个无理数ａ与槡８的积是一个有理数， 写出ａ的一个值是 ． 分析：根据二次根式的乘法法则即可得解． 解：因为槡８＝２槡２，（槡２） ２＝２，所以ａ是化简成最简 二次根式后含有槡２的数．故填槡２（答案不惟一）． 小结：此类题不仅能巩固知识，形成技能，而且能启 发思维，培养能力．解题时，既要考虑问题及明确的条件， 又要考虑隐藏的条件． 二、实际应用型 例２　秦九韶公式是我国 南宋数学家秦九韶曾经提出的 利用三角形的三边求面积的计 算公式，如果一个三角形的三 边长分别是ａ，ｂ，ｃ，记ｐ＝ａ＋ｂ＋ｃ２ ，那么三角形的面积 为Ｓ＝ ｐ（ｐ－ａ）（ｐ－ｂ）（ｐ－ｃ槡 ），这个公式在西方也 被称为海伦公式．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ所对 的边分别为ａ，ｂ，ｃ．若ａ＝５，ｂ＝６，ｃ＝７，则△ＡＢＣ的面 积为 （　　） Ａ．６槡６ Ｂ．６槡３ Ｃ．１８ Ｄ． １９ ２ 分析：利用已知求出 ｐ的值，再利用三角形的面积 公式得出答案． 解：根据题意，得ｐ＝ａ＋ｂ＋ｃ２ ＝９． 所以Ｓ△ＡＢＣ ＝ ｐ（ｐ－ａ）（ｐ－ｂ）（ｐ－ｃ槡 ） ＝ ９×（９－５）×（９－６）×（９－７槡 ）＝６槡６． 故选Ａ． 小结：此类题型注重知识的应用．解题时，特别要注 意实际情况． 三、规律型 例３　观察下列各式： ① １＋１槡 ３ ＝２ １ 槡３； ② ２＋１槡 ４ ＝３ １ 槡４； ③ ３＋１槡 ５ ＝４ １ 槡５；… （１）请观察规律，并写出第④个等式： ； （２）请用含ｎ（ｎ≥１）的式子写出你猜想的规律： ； （３）请证明（２）中的结论． 分析：（１）认真观察题中所给的式子，得出其规律 并写出第④个等式； （２）根据规律写出含ｎ的式子即可； （３）结合二次根式的性质进行验证即可． 解：（１） ４＋１槡 ６ ＝５ １ 槡６． （２） ｎ＋ １ｎ＋槡 ２＝（ｎ＋１） １ ｎ＋槡 ２． （３） ｎ＋ １ｎ＋槡 ２＝ ｎ２＋２ｎ＋１ ｎ＋槡 ２ ＝ （ｎ＋１）２ ｎ＋槡 ２ ＝（ｎ＋１） １ｎ＋槡 ２． 小结：此类题型考查归纳总结能力．解题时，要专注 细节，重视变形和转化，多方位地分析观察． 书 重点集训营 计算下列各题： （１）槡８×槡３２； （２）－槡２７÷（ ３ １０槡 ３ ８）； （３） 槡３３４ ×槡２÷ 槡３３ ２ ×槡２； （４）２３ １６槡 ａ÷（－ ２ ３槡ａｂ）× １ ６ ４槡ｂ（ａ＞０，ｂ＞０）． １．如图１，菱形ＡＢＣＤ的边长为４，且∠ＤＡＢ＝６０°， Ｅ是ＢＣ边的中点，Ｐ为ＢＤ上一动点，若△ＰＣＥ的周长最 小，则其最小值为 ． 　　　　 　　　　 　　　　 　　　 ２．如图２，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＢＣ＝８．点Ｏ为矩 形ＡＢＣＤ的对称中心，点Ｅ为边ＡＢ上的动点，连接ＥＯ并延 长交ＣＤ于点Ｆ．将四边形ＡＥＦＤ沿着ＥＦ翻折，得到四边形 Ａ′ＥＦＤ′，边Ａ′Ｅ交边ＢＣ于点Ｇ，连接ＯＧ，ＯＣ，则△ＯＧＣ面 积的最小值为 ． 【提示】 １．由菱形的性质可得点Ａ与点Ｃ关于ＢＤ对称，连 接ＡＥ交ＢＤ于点Ｐ，连接ＰＣ，则△ＰＣＥ的周长 ＝ＰＣ＋ ＰＥ＋ＣＥ＝ＡＥ＋ＣＥ，此时△ＰＣＥ的周长最小，过点Ｅ作 ＥＧ⊥ＡＢ交ＡＢ的延长线于点Ｇ，由菱形的性质和∠ＤＡＢ ＝６０°可得∠ＥＢＧ＝６０°，从而可得ＢＧ＝１，ＥＧ＝槡３，最 后由勾股定理计算得出ＡＥ＝ 槡２７，即可得出答案． ２．在ＥＡ上截取ＥＭ＝ＥＧ，连接ＯＭ，易证△ＭＯＥ≌ △ＧＯＥ，所以ＯＭ＝ＯＧ，当ＯＭ最短时，ＯＧ也最短，而当 ＯＭ⊥ＡＢ时，ＯＭ最短，且ＯＭ＝４＝ＯＧ，过点Ｏ作ＯＨ ⊥ＢＣ，得ＯＨ＝３，ＨＣ＝４，根据勾股定理计算ＧＨ的长， 即可计算出最小面积． 书 在利用二次根式的乘、除法法则进行计算时，需要 根据题目类型灵活选用法则或其逆变形进行计算．下面 举例说明． 一、槡ａ·槡ｂ型式子的计算方法 当ａ，ｂ都不是平方数或者ａ，ｂ相乘可以约分时，使 用法则槡ａ·槡 槡ｂ＝ ａｂ计算；当ａ，ｂ中有平方因数时，则 可以先利用 ａ槡 ２ ＝｜ａ｜化简，然后再求积． 例１　计算：－槡２×槡３＝ ． 分析：根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 解：原式 ＝－ ２×槡 ３＝－槡６． 故填 －槡６． 例２　计算槡１８×槡 １ ２的结果为 ． 分析：此题的二次根式的乘法中，有一个被开方数 是分数，另一个被开方数有平方因数，先化简再计算比 较繁琐，通过观察可知这两个被开方数相乘的结果是平方 数，直接利用二次根式的乘法法则进行运算即可得解． 解：原式 ＝ １８×槡 １ ２ ＝槡９＝３． 故填３． 二、槡 槡 ａ ｂ 型式子的计算方法 当ｂ是ａ的约数时，可用槡 槡 ａ ｂ ＝ ａ槡ｂ进行计算；当ｂ 不是ａ的约数且ａ，ｂ都不是平方数时，可以先类比分数 的基本性质用槡 槡 ａ ｂ ＝槡ａ·槡ｂ 槡ｂ·槡ｂ 变形，然后用（槡ａ） ２ ＝ａ进 行化简． 例３　计算：槡１５÷槡３＝ ． 分析：根据二次根式的除法法则进行计算即可． 解：原式 ＝ １５÷槡 ３＝槡５． 故填槡５． 三、二次根式的乘除混合运算 在进行二次根式的乘除混合运算时，有括号的，先 算括号里的，然后按照从左到右的顺序进行，注意结果 要写成最简二次根式的形式． 例４　计算：槡３０÷槡３×槡２． 分析：根据二次根式的乘除法法则进行计算即可， 注意同级运算要按照从左到右的顺序进行． 解：原式 ＝ ３０÷３×槡 ２＝槡２０＝ 槡２５． 【对应练习见《重点集训营》】 ! !" #$% """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 书 利用二次根式的性质化简二次根式，不仅要掌握二 次根式的运算性质，而且还要把握化简中的一些要点． 一、将被开方数分解 例１　化简：槡２７＝ ． 分析：在化简时可将２７分解成３与９的积，根据二 次根式的性质化简． 解：原式 ＝ ３×槡 ９＝槡３×槡９＝３槡３． 故填３槡３． 二、将分母化为平方数 例２　计算２ １槡２的结果是 ． 分析：要化简２ １槡２，可以将 １ ２的分子、分母都乘 以２，即 １２ ＝ ２ ４，这样就把分母变成平方数４． 解：原式 ＝２ １×２２×槡 ２＝２× 槡２ 槡４ ＝２×槡２２ ＝槡２． 故填槡２． 三、将带分数化为假分数 例３　化简： １１槡８． 分析：因为１１８是带分数，不能直接进行开方运算， 应先将其化为假分数 ９ ８，再运用例２的方法化简． 解：原式 ＝ ９槡８ ＝ ９×２ ８×槡 ２＝ ３２×槡 ２ 槡１６ ＝３槡２４． 四、将小数化为分数 例４　化简： ０．槡 ２４． 分析：０．２４是一个小数，在化简时应先将０．２４化为 分数 ２４ １００，然后再进行化简． 解：原式 ＝ ２４槡１００＝ 槡２４ 槡１００ ＝ ２ ２×槡 ６ １０ ＝ 槡６ ５． 五、运用积的算术平方根的性质 例５　已知ａｂ＜０，则 －ａ２槡 ｂ化简后为 （　　） Ａ．－ａ槡－ｂ Ｂ．－ａ槡ｂ Ｃ．ａ槡ｂ Ｄ．ａ槡－ｂ 分析：根据二次根式的性质即可得解． 解：因为ａｂ＜０，－ａ２ｂ≥０，所以ａ＞０，ｂ＜０． 所以原式 ＝ ａ槡 ２·槡－ｂ＝ａ槡－ｂ． 故选Ｄ． 六、运用商的算术平方根的性质 例６　化简： ７ｃ １２ａｂ槡 ２（ｂ＞０）． 分析：将分式的分子、分母同时乘以３ａ，从而使分母 变成能开得尽方的因式，然后运用商的算术平方根的性 质进行化简． 解：原式 ＝ ７ｃ １２ａｂ槡 ２ ＝ ７ｃ·３ａ １２ａｂ２·３槡 ａ＝ ２１槡 ａｃ ３６ａ２ｂ槡 ２ ＝ ２１槡 ａｃ ６ａｂ． """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! &' ()* ! ! !"#$ #+,-.-/ " #06-7/ #89:;<4$%#!&#'(!'#) #=>:;<4$%#!!#'(!'## #+,?@4&'ABCDEFGHIJ !%' KLM,NOPLQ89: #RS8T4$%$$$) #DU:V,WX4$%#!!#'(!!'# $%#!!#'(!'%(YZ[\ #V]4^_+,DU:@`abcdeRfYg\ #RSV]WX4!!!*# #hijkVlmVnoV #+,pbcdAYD\qrstu, #=>vwxhyK4!+,,,,+,,,!!, #z{4---"./0123456758 #+,|}~€Z‚ƒ„…†‡Yˆ‰DŠ‹GŒŽ‘’“ !! 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Šüýþÿ!" ë#ô$A!"#$%&'()*+,-./ ,*01234&'()5678*9 :;<=>?7@A" %&"+,'›( Y)«*+,¢1\ ! & - . ! - / 0 1 书 重点集训营 计算下列各题： （１）槡８×槡３２； （２）－槡２７÷（３ １０槡 ３ ８ ）； （３）槡３３ ４×槡２÷槡３３ ２×槡２； （４）２ ３１６槡ａ÷（－２ ３槡ａｂ）×１ ６４槡ｂ（ａ＞０，ｂ＞０）． １．如图１，菱形ＡＢＣＤ的边长为４，且∠ＤＡＢ＝６０°， Ｅ是ＢＣ边的中点，Ｐ为ＢＤ上一动点，若△ＰＣＥ的周长最 小，则其最小值为． 　　　　　　　　　　　　　　　 ２．如图２，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＢＣ＝８．点Ｏ为矩 形ＡＢＣＤ的对称中心，点Ｅ为边ＡＢ上的动点，连接ＥＯ并延 长交ＣＤ于点Ｆ．将四边形ＡＥＦＤ沿着ＥＦ翻折，得到四边形 Ａ′ＥＦＤ′，边Ａ′Ｅ交边ＢＣ于点Ｇ，连接ＯＧ，ＯＣ，则△ＯＧＣ面 积的最小值为． 【提示】 １．由菱形的性质可得点Ａ与点关于ＢＤ对称，连 接ＡＥ交ＢＤ于点Ｐ，连接ＰＣ，则△ＰＣＥ的周长＝ＰＣ＋ ＰＥ＋ＣＥ＝ＡＥ＋ＣＥ，此时△ＰＣＥ的周长最小，过点Ｅ作 ＥＧ⊥ＡＢ交ＡＢ的延长线于点Ｇ，由菱形的性质和∠ＤＡＢ ＝６０°可得∠ＥＢＧ＝６０°，从而可得ＢＧ＝１，ＥＧ＝槡３，最 后由勾股定理计算得出ＡＥ＝槡２７，即可得出答案． ２．在ＥＡ上截取ＥＭ＝ＥＧ，连接ＯＭ，易证△ＭＯＥ≌ △ＧＯＥ，所以ＯＭ＝ＯＧ，当ＯＭ最短时，ＯＧ也最短，而当 ＯＭ⊥ＡＢ时，ＯＭ最短，且ＯＭ＝４＝ＯＧ，过点Ｏ作ＯＨ ⊥ＢＣ，得ＯＨ＝３，Ｈ＝４，根据勾股定理计算ＧＨ的长， 即可计算出最小面积． 书 （满分：１２０分） 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．二次根式 １槡 －ｘ在实数范围内有意义，则实数ｘ 的取值范围在数轴上表示为 （　　） ２．下列二次根式中，是最简二次根式的是 （　　） Ａ．槡２０ Ｂ．槡２ Ｃ．槡 １ ２ Ｄ． ０．槡 ２ ３．将槡４８化简后的结果是 （　　） 槡 槡Ａ．４３ Ｂ．２６ 槡Ｃ．６２ Ｄ．槡８３ ４．已知ａ＝槡２，ｂ＝槡１０，用含 ａ，ｂ的代数式表示 槡２０，则这个代数式是 （　　） Ａ．ａ＋ｂ Ｂ．ａｂ Ｃ．２ａ Ｄ．２ｂ ５．若２＜ａ＜３，则 ａ２－４ａ＋槡 ４－ （ａ－３）槡 ２ ＝ （　　） Ａ．５－２ａ Ｂ．１－２ａ Ｃ．２ａ－５ Ｄ．２ａ－１ ６．如图１，将一个小正方形放入 一个大正方形中，阴影部分的面积等 于小正方形的面积，则大正方形与小 正方形的边长之比为 （　　） 槡Ａ．２∶１ 　　Ｂ．２∶１ 槡Ｃ．４∶１ 　　Ｄ．３∶１ ７．下列表示的是四位同学的运算结果，其中正确的 是 （　　） Ａ． ５２＋１２槡 ２ ＝１７ Ｂ．２槡ａ·３槡ａ＝６槡ａ Ｃ．槡４２÷ 槡２２＝ 槡２２ Ｄ．槡４ 槡３ ＝ 槡２３３ ８．如果ａｂ＞０，ａ＋ｂ＜０，那么下面各式：① ａ槡ｂ ＝ 槡 槡 ａ ｂ ；② ａ槡ｂ· ｂ 槡ａ ＝１；③ 槡ａｂ÷ ａ 槡ｂ ＝－ｂ，其中正 确的是 （　　） Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．①③ Ｄ．①②③ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．计算：槡８÷槡２＝ ． １０．比较大小：槡 槡３２ １７（填“＞”“＝”或 “＜”）． １１．若槡２×槡２０＝槡２×ｍ槡５ 槡＝ｍ ｎ，则ｍ－ｎ＝ ． １２．不等式 －槡６ｘ－１＞０的解集是 ． １３．已知 ｍ为正整数，若 １８９槡 ｍ是整数，则根据 １８９槡 ｍ ＝ ３×３×３×７槡 ｍ ＝３ ３×７槡 ｍ可知ｍ有最 小值３×７＝２１．设ｎ为正整数，若 ２００槡ｎ 是大于１的整 数，则ｎ的最小值为 ． １４．已知实数ａ满足 ａ－槡 ２０２４＋｜２０２３－ａ｜＝ａ， 则ａ－２０２３２ ＝ ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１２分）计算： （１）槡５× ９ 槡２０； （２）（槡３） ２×槡１５÷槡５； （３）２ ａｂ槡 ３ ×３４ ａ ３ 槡 ｂ÷ １ 槡ａ． １６．（１０分）婷婷对“化简：槡８×槡１８”的解答过程 如下： 解：原式 ＝ 槡２２× 槡３２＝（２×３）×（槡２） ２ ＝６×２ ＝１２． 试问婷婷的解答过程是否正确？若正确，请再写出 一种解答过程；若有错误，请写出正确的解答过程． １７．（１０分）解答下列问题： （１）已知一个长方体的长、宽、高的比为４∶３∶１，且 高为槡２ｃｍ，求这个长方体的体积； （２）如图２，从正方形ＡＢＣＤ中裁去两个面积分别为 ２４ｃｍ２和１５ｃｍ２的正方形ＢＥＯＨ和ＤＦＯＧ，求留下部分 的总面积． １８．（１０分）二次根式槡ａ的双重非负性是指被开方 数ａ≥０，其化简的结果槡ａ≥０，利用槡ａ的双重非负性解 决以下问题： （１）已知 ａ－槡 ２＋ ５槡 ＋ｂ＝０，则 ２ａｂ的值为 ； （２）已知实数ｍ，ｎ满足｜２ｍ－４｜＋ ２ｎ＋槡 ６＝０， 求ｍ－ｎ的值； （３）若ｘ，ｙ为实数，且ｘ２＝ ｙ－槡 ５＋ ５槡 －ｙ＋６４， 求ｘ＋ｙ的值． １９．（１０分）先来看一个有趣的现象： ２槡 ２ ３ ＝ 槡 ８ ３ ＝ ２２×２ 槡３ ＝２槡 ２ ３，这里根号里的因数２经过 适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种 现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如： ３槡 ３ ８ ＝３槡 ３ ８， ４ ４ 槡１５＝４ ４ 槡１５等等． （１）请你写一个有“穿墙”现象的数，并验证； （２）你能只用一个正整数ｎ（ｎ≥２）来表示含有上 述规律的等式吗？证明你找到的规律． ２０．（１２分）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐 含条件，并解答下面的问题： 化简：（ １－３槡 ｘ） ２－｜１－ｘ｜． 解：隐含条件１－３ｘ≥０．解得ｘ≤ １３．所以１－ｘ＞ ０．所以原式 ＝１－３ｘ－（１－ｘ）＝－２ｘ． 【启发应用】 （１）按 照 上 面 的 解 法，化 简： （ｘ－３）槡 ２ － （ ２槡 －ｘ） ２； 【类比迁移】 （２）实数ａ，ｂ在数轴上的位 置如图 ３所示，化简： ａ槡 ２ ＋ （ａ＋ｂ）槡 ２ －｜ｂ－ａ｜； （３）已 知 ａ，ｂ，ｃ为 △ＡＢＣ的 三 边 长，化 简： （ａ＋ｂ＋ｃ）槡 ２ ＋ （ａ－ｂ－ｃ）槡 ２ ＋ （ｂ－ａ－ｃ）槡 ２ ＋ （ｃ－ｂ－ａ）槡 ２                                                                                                                                                                 ． 书 ２１．１二次根式 １．二次根式槡ｘ中，ｘ的值不能是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．π Ｂ．１ Ｃ．０ Ｄ．－１ ２．当ａ＝－２时，二次根式 ２槡 －ａ的值为 （　　） 槡 槡Ａ．２ Ｂ．２ Ｃ．± ２ Ｄ．±２ ３．若ｙ＝ ｘ－槡 ４＋ ８－２槡 ｘ－４，则点Ｐ（ｘ，ｙ）在 （　　） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 ４．计算： （－８）槡 ２ ＝ ． ５．实数 ａ，ｂ在数轴上对应 点的位置如图所示，化简 ａ＋ （ａ－ｂ）槡 ２的结果是 ． ６．当ｘ为何值时，下列各式有意义？ （１） １－２槡 ｘ； （２） １ｘ＋槡 １； （３） ３ｘ－槡 ７＋ ５槡 －ｘ． ７．计算： （１） （－ 槡２６）槡 ２； （２） （槡３－２）槡 ２； （３） ９－６ｘ＋ｘ槡 ２ ＋（ ２ｘ－槡 ７） ２． ８．若ａ为正数，且 ２３槡 －ａ为正整数，求 ２３槡 －ａ 的最大值及此时ａ的值． ２１．２．１二次根式的乘法；２１．２．２积的算术平方根 １．计算：－槡２×槡７＝ （　　） Ａ．槡１４ Ｂ．－槡１４ Ｃ．槡２７ Ｄ．－ 槡２７ ２．计算 （－７）２×１６×槡 ２的结果是 （　　） 槡 槡Ａ．７ ３２ Ｂ．－７ ３２ 槡 槡Ｃ．２８２ Ｄ．－２８２ ３．如果 ９－ｘ槡 ２ ＝ ３槡 －ｘ· ３槡 ＋ｘ成立，则ｘ的 取值范围是 （　　） Ａ．－３≤ｘ≤３ Ｂ．ｘ＞－３ Ｃ．ｘ＜３ Ｄ．－３＜ｘ＜３ ４．下列运算正确的是 （　　） 槡Ａ．２×槡５＝槡７ 槡Ｂ．８２× １ 槡１６＝１ 槡Ｃ．２×槡６＝１２ Ｄ．槡１２×槡 ３ ４ ＝３ ５．若 槡４４ ＝２槡ａ，槡５０ ＝ｂ槡２，则 ａ＋ｂ＝ ． ６．若一个长方体的长、宽、高分别为 槡１０ｃｍ， 槡５ｃｍ，槡 ２２ ２ ｃｍ，则它的体积为 ｃｍ ３． ７．将１，槡２，槡３，槡６按下列方式排列．若规定（ｍ，ｎ） 表示第ｍ排从左向右第ｎ个数，则（１５，７）与（１００，９）表 示的两数之积是 ． １ 第一排 槡 槡２ ３ 第二排 槡６ １ 槡２ 第三排 槡 槡３ ６ １ 槡２ 第四排 槡 槡３ ６ １ 槡 槡２ ３ 第五排 …… ８．计算： （１）槡６×槡７； （２）槡８×槡１５×槡２０； （３）－５ ８槡２７× １槡 １ ４ ×槡２７． ２１．２．３二次根式的除法 １．－槡２０２４的倒数是 （　　） Ａ．－槡２０２４ Ｂ．槡２０２４ Ｃ．－槡２０２４２０２４ Ｄ． 槡２０２４ ２０２４ ２．化简 １２＋槡 １ ３的结果是 （　　） Ａ．槡３０６ Ｂ． 槡６ ３０ Ｃ．槡５６ Ｄ．槡６５ ３．若二次根式 ２ｘ＋槡 ７是最简二次根式，则ｘ可取 的最小整数是 ． ４．计算： （１）槡７２÷槡６； （２）槡６×槡５０÷槡３； （３） ３ａ槡 ２ ÷ ａ槡２ ÷ １ ２ ２ａ 槡３． ５．阅读材料，并回答问题： 小君在学习二次根式时，化简 １ 槡１２的过程如下： 解： １ 槡１２＝ 槡１ 槡１２ 　　　第①步 ＝ １ 槡４３ 第②步 ＝ １× 槡４３ 槡４３× 槡４３ 第③步 ＝槡３３． 第④步 （１）上述解答过程中，从第 步开始出现了 错误（填序号）； （２）在下面的空白处，写出正确的解答过程 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． ! ! !"#$ !" ! #$%&' ()*+,-./0 ! %&'( ! 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