第8期 22.3 相似三角形的性质 22.4 图形的位似变换（参考答案见10期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（沪科版）

书 １７．证明：（１）因为 ＡＣ平分 ∠ＤＡＢ，所以 ∠ＤＡＣ＝∠ＣＡＢ．因为 ∠ＡＤＣ ＝ ∠ＡＣＢ ＝ ９０°，所 以 △ＡＤＣ∽ △ＡＣＢ，所以ＡＤ∶ＡＣ＝ ＡＣ∶ＡＢ，所以 ＡＣ２ ＝ ＡＢ·ＡＤ． （２）因为 Ｅ为 ＡＢ 的中点，所以 ＣＥ＝ＢＥ ＝ＡＥ，所以 ∠ＥＡＣ＝ ∠ＥＣＡ．因为 ∠ＤＡＣ＝ ∠ＣＡＢ，所以 ∠ＤＡＣ＝ ∠ＥＣＡ．又因为 ∠ＡＦＤ ＝∠ＣＦＥ，所以 △ＡＦＤ ∽△ＣＦＥ． １８．（１）证明：因为 ＡＢ ＡＤ＝ ＢＣ ＤＥ＝ ＡＣ ＡＥ，所以 △ＡＢＣ∽ △ＡＤＥ，所以 ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ，所以 ∠ＢＡＣ － ∠ＤＡＦ ＝ ∠ＤＡＥ－∠ＤＡＦ，所以 ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ． （２）因为△ＡＢＣ∽ △ＡＤＥ，所以 ∠ＡＢＣ＝ ∠ＡＤＥ．因为 ∠ＡＢＣ＝ ∠ＡＢＥ＋∠ＥＢＣ，∠ＡＤＥ ＝∠ＡＢＥ＋∠ＢＡＤ，所以 ∠ＥＢＣ＝∠ＢＡＤ＝２１°． （３）证明：由（１）知 ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ．因为 ＡＢ ＡＤ ＝ ＡＣ ＡＥ，所以 ＡＢ ＡＣ ＝ ＡＤ ＡＥ， 所 以 △ＡＢＤ ∽ △ＡＣＥ． １９．（１）证明：因为 四边形 ＡＢＣＤ是正方 形，所以 ＡＢ ＝ ＢＣ， ∠ＢＡＥ ＝ ∠ＢＣＦ ＝ ４５°．因为 ＢＥ＝ＢＦ，所 以∠ＢＥＦ＝∠ＢＦＥ．所 以∠ＡＥＢ＝∠ＣＦＢ．所 以△ＡＢＥ≌△ＣＢＦ．所 以ＡＥ＝ＣＦ． （２）证 明：因 为 ∠ＢＥＣ ＝ ∠ＢＡＥ ＋ 书 上期２版 ２２．２相似三角形的判定（第一课时） 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．２５；　４．４∶２１． ５．ＧＨ的长为 ６５． ２２．２相似三角形的判定（第二课时） 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ；　３．７０；　４．１．４；　５．４． 能力提高　６．（１）作图略． （２）证明：因为 ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ，所以 ∠ＢＡＤ ＝ １ ２∠ＢＡＣ，因为∠ＢＡＣ＝２∠Ｃ，所以∠Ｃ＝ １ ２∠ＢＡＣ， 所以∠ＢＡＤ＝∠Ｃ，又因为∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＡ， 所以△ＡＢＤ∽△ＣＢＡ． ２２．２相似三角形的判定（第三课时） 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．２或８； ４．（１，４）或（３，４）． 能力提高　５．（１）证明：因为四边形ＡＢＣＤ是正方 形，所以∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°，ＡＢ＝ＣＤ， 因为ＣＦ＝３ＦＤ，所以ＦＤ＝ １４ＣＤ， 因为Ｅ是ＡＤ的中点，所以ＡＥ＝ＥＤ＝ １２ＡＤ， 所以 ＡＥ ＡＢ＝ ＤＦ ＥＤ＝ １ ２，所以△ＡＢＥ∽△ＤＥＦ． （２）△ＡＢＥ与△ＢＥＦ相似，理由如下： 设ＡＢ＝ＡＤ＝ＣＤ＝４ａ， 因为Ｅ为边ＡＤ的中点，ＣＦ＝３ＦＤ， 所以ＡＥ＝ＤＥ＝２ａ，ＤＦ＝ａ， 所以ＢＥ＝ 槡２５ａ，ＥＦ＝槡５ａ，ＢＦ＝５ａ， 所以ＢＦ２ ＝ＥＦ２＋ＢＥ２，即∠ＢＥＦ＝９０°， 所以∠Ａ＝∠ＢＥＦ＝９０°， 因为 ＡＢ ＡＥ＝ ４ａ ２ａ＝２， ＢＥ ＥＦ＝ 槡２５ａ 槡５ａ ＝２， 所以 ＡＢ ＡＥ＝ ＢＥ ＥＦ，所以△ＡＢＥ∽△ＥＢＦ． ２２．２相似三角形的判定（第四课时） 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．１８；　４．①③； ５．ＢＣＡＣ＝ ＡＢ ＣＤ（答案不惟一）． 能力提高　６．证明：由Ａ，Ｂ，Ｃ三点的坐标可以得到 ＯＡ＝３，ＯＢ＝４，ＡＤ＝１，ＣＤ＝２，所以ＡＢ＝５，ＡＣ＝槡５， ＢＣ＝ 槡２５，在△ＡＢＣ和△ＡＣＤ中，因为 ＡＣ ＡＤ＝ 槡５ １ ＝槡５， ＢＣ ＣＤ＝ 槡２５ ２ ＝槡５， ＡＢ ＡＣ＝ ５ 槡５ ＝槡５，所以 ＡＣ ＡＤ＝ ＢＣ ＣＤ＝ ＡＢ ＡＣ， 所以△ＡＢＣ∽△ＡＣＤ． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｃ Ｂ Ｃ Ｃ Ｂ Ｂ Ｂ 二、９．∠ＡＥＤ＝∠Ｂ（答案不惟一）；　１０．３５； １１．丁；　１２．３０°或６０°；　１３．槡１０３ ；　１４．４或７． 三、１５．证明：因为ＣＤ⊥ＡＢ，ＥＦ⊥ＡＥ，所以∠ＦＤＧ ＝∠ＦＥＧ＝９０°，所以 ∠ＤＧＥ＋∠ＤＦＥ＝１８０°，因为 ∠ＢＦＥ＋∠ＤＦＥ＝１８０°，所以∠ＢＦＥ＝∠ＤＧＥ，又因为 ∠ＤＧＥ＝∠ＡＧＣ，所以∠ＡＧＣ＝∠ＢＦＥ，又因为∠ＡＣＢ ＝∠ＦＥＧ＝９０°，所以 ∠ＡＥＣ＋∠ＢＥＦ ＝∠ＡＥＣ＋ ∠ＥＡＣ＝９０°，所以 ∠ＥＡＣ＝∠ＢＥＦ，所以 △ＡＧＣ∽ △ＥＦＢ． １６．（１）证明：因为 ＡＤ，ＢＥ是 △ＡＢＣ的高，所以 ∠ＡＤＣ＝∠ＢＥＣ＝９０°，因为∠Ｃ＝∠Ｃ，所以△ＡＣＤ∽ △ＢＣＥ，所以ＣＤＣＥ＝ ＡＣ ＢＣ，即 ＣＤ ＡＣ＝ ＣＥ ＢＣ，又因为∠Ｃ＝∠Ｃ， 所以△ＣＡＢ∽△ＣＤＥ． （２）因为点Ｄ是ＢＣ的中点，ＡＤ⊥ ＢＣ，所以 ＡＢ＝ ＡＣ，在Ｒｔ△ＢＥＣ中，因为ＣＥ＝６，ＢＥ＝８，所以ＢＣ＝１０， 所以ＣＤ＝１２ＢＣ＝５，因为△ＡＣＤ∽△ＢＣＥ，所以 ＡＤ ＣＤ＝ ＢＥ ＥＣ，所以ＡＤ＝ ２０ ３，所以ＡＣ＝ ２５ ３，所以ＡＢ＝ＡＣ＝ ２５ ３． 书 【提示】 １．以ＡＢ为斜边向上作等腰Ｒｔ△ＡＢＦ，延长ＡＦ至 点Ｅ，使ＡＦ＝ＥＦ，连接ＥＰ，ＢＥ，ＤＦ，根据等腰直角三 角形的性质和勾股定理得到ＢＣ ＢＤ＝ＢＡ ＢＦ＝槡２，∠ＣＢＤ ＝∠ＡＢＦ＝４５°，由△ＡＢＣ∽△ＦＢＤ得ＤＦ＝槡２，ＥＰ ＝２ＤＦ＝槡２２，根据线段垂直平分线的性质得到ＢＡ ＝ＢＥ，当Ｂ，Ｅ，Ｐ三点共线时，ＰＢ的值最大． ２．取ＣＤ中点Ｍ，连接ＯＭ，过点Ｏ作ＯＮ⊥ＢＥ于 点Ｎ，证明四边形ＡＢＣＤ是菱形，进而得出ＣＥ＝ＯＣ ＝４，再利用相似三角形的性质，得到ＯＭ＝１ ２ＢＣ＝ ５ ２ ，ＯＭ∥ＢＣ，证明△ＦＯＭ∽△ＦＥＣ，推出ＯＦ ＯＥ＝５ １３ ， 最后利用勾股定理求解即可． 书 １．如图１，△ＯＡＢ与△ＯＡ′Ｂ′位似，其中Ａ，Ｂ的对应 点分别为Ａ′，Ｂ′，Ａ′，Ｂ′均在图中正方形网格格点上，若 线段ＡＢ上有一点Ｐ（ｍ，ｎ），则点Ｐ在Ａ′Ｂ′上的对应点 Ｐ′的坐标为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．（ｍ２， ｎ ２） Ｂ．（ｍ，ｎ） Ｃ．（２ｍ，２ｎ） Ｄ．（２ｎ，２ｍ） ２．如图２，在平面直角坐标系中，正方形 ＡＢＣＤ与 正方形ＢＥＦＧ是以原点Ｏ为位似中心的位似图形，且相 似比为１∶３，点Ａ，Ｂ，Ｅ在ｘ轴上，若正方形ＢＥＦＧ的边 长为３，则Ｄ点坐标为 ． ３．如图３，在平面直角坐标系中，△ＡＢＣ的三个顶 点的坐标分别为Ｃ（１，２），Ｂ（２，３），Ａ（４，１）． （１）以原点 Ｏ为 位似中心，在第三象限 内画一个△Ａ１Ｂ１Ｃ１，使 它与△ＡＢＣ的相似比 为２∶１； （２）点Ｂ１的坐标 为 ． 书 １．如图１所示，ＡＢ＝４，ＡＣ＝２，以ＢＣ为底边向上 构造等腰直角三角形 ＢＣＤ，连接 ＡＤ并延长至点 Ｐ，使 ＰＤ＝ＡＤ，则ＰＢ的最大值为 ． ２．如图２，在ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ和ＢＤ相交于 点Ｏ，ＡＤ＝５，ＡＣ＝８，ＢＤ＝６，延长ＢＣ至点Ｅ，连接ＯＥ 交ＣＤ于点 Ｆ，若 ∠Ｅ＝ １２∠ＡＣＤ，则线段 ＯＦ的长为 ． 书 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位 似中心，变换后的图形与变换前图形的相似比为ｋ，那么 原图上点（ｘ，ｙ）的对应点的坐标为（ｋｘ，ｋｙ）或（－ｋｘ， －ｋｙ）；对于位似中心非原点的位似变换，解题时要充分 发挥位似图形的定义和相似三角形的性质的作用． 一、位似中心是原点，求图形上点的坐标 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ 如图１，△ＡＢＯ的顶点坐标 是Ａ（２，６），Ｂ（３，１），Ｏ（０，０），以点Ｏ为 位似中心，将△ＡＢＯ缩小为原来的 １３， 得到 △Ａ′Ｂ′Ｏ，则 点 Ａ′的 坐 标 为 ． 解析：因为以点Ｏ为位似中心，将△ＡＢＯ缩小为原来 的 １ ３，得到△Ａ′Ｂ′Ｏ，Ａ（２，６），所以当△Ａ′Ｂ′Ｏ在第一象限 时，点Ａ′的坐标为（１３×２， １ ３×６），即（ ２ ３，２）；当△Ａ′Ｂ′Ｏ 在第三象限时，点Ａ′的坐标为（－１３×２，－ １ ３×６），即 （－２３，－２）．故填（ ２ ３，２）或（－ ２ ３，－２）． 二、位似中心非原点，求图 形上点的坐标 例２　如图２，在平面直角 坐标系中，△ＡＢＣ与 △ＡＢ′Ｃ′的 相似比为１∶２，点 Ａ是位似中心，已知点 Ａ（２，０），点 Ｃ（ａ，ｂ），∠Ｃ＝９０°，则点Ｃ′的坐标为 （结果用 含ａ，ｂ的式子表示）． 解析：过点Ｃ，Ｃ′分别作ｘ轴的垂线 ＣＤ，Ｃ′Ｄ′，垂足 分别为Ｄ，Ｄ′，因为△ＡＢＣ与△ＡＢ′Ｃ′的相似比为１∶２， 点Ａ是位似中心，Ａ（２，０），所以 ＡＤ′＝２ＡＤ，因为 Ｃ（ａ， ｂ），所以ＡＤ＝ａ－２，ＣＤ＝ｂ，所以ＡＤ′＝２ａ－４，Ｃ′Ｄ′＝ ２ｂ，所以Ｄ′（２－２ａ＋４，０），所以Ｃ′（６－２ａ，－２ｂ）．故填 （６－２ａ，－２ｂ）． 三、求位似中心的坐标 例３　如图３，已知矩形 ＡＢＣＯ与矩形ＯＤＥＦ是位似图 形，Ｍ是位似中心，若点 Ｂ的 坐标为（４，３），点 Ｅ的坐标为 （－２，３２），则图中点 Ｍ的坐 标为 ． 解析：因为点 Ｂ的坐标为（４，３），点 Ｅ的坐标为 （－２，３２），所以 ＡＢ＝３，ＯＡ＝４，ＯＤ＝ ３ ２，因为矩形 ＡＢＣＯ与矩形 ＯＤＥＦ是位似图形，Ｍ是位似中心，所以 ＭＯ ＭＡ＝ ＯＤ ＡＢ＝ ３ ２ ３ ＝ １ ２，所以ＭＯ＝ＯＡ＝４，所以Ｍ点坐 标为（－４，０）．故填（－４，０）． 书 一、利用相似求运动时间 例１　如图１所示，在Ｒｔ△ＡＢＣ中， ∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝４ｃｍ，ＢＣ＝３ｃｍ．动点 Ｍ从点Ｃ出发，以１ｃｍ／ｓ的速度沿 ＣＡ 向终点Ａ移动，同时动点Ｐ从点Ｂ出发， 以２ｃｍ／ｓ的速度沿 ＢＡ向终点 Ａ移动， 连接 ＰＭ，设移动时间为 ｔｓ（０＜ｔ＜ ２．５），求当 ｔ为何值时，以 Ａ，Ｐ，Ｍ为顶点的三角形与 △ＡＢＣ相似？ 解析：在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝４ｃｍ，ＢＣ＝ ３ｃｍ，根据勾股定理，得 ＡＢ＝５ｃｍ，所以 ＡＭ ＝（４－ ｔ）ｃｍ，ＡＰ＝（５－２ｔ）ｃｍ，①当△ＡＭＰ∽△ＡＢＣ时，ＡＰＡＣ＝ ＡＭ ＡＢ，即 ５－２ｔ ４ ＝ ４－ｔ ５ ，解得 ｔ＝ ３ ２；② 当 △ＡＰＭ∽ △ＡＢＣ时，ＡＭＡＣ＝ ＡＰ ＡＢ，即 ４－ｔ ４ ＝ ５－２ｔ ５ ，解得ｔ＝０（不合 题意，舍去）． 综上所述，当ｔ＝３２时，以Ａ，Ｐ，Ｍ为顶点的三角形 与△ＡＢＣ相似． 二、利用相似求线段的长 例２　 如图 ２，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中， ∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝６，ＡＣ＝８，点 Ｅ 是ＡＣ上一个动点，点Ｄ在ＢＣ上，且 ＣＤ＝５，若以 Ｃ，Ｄ，Ｅ为顶点的三角 形与 △ＡＢＣ相似，则 ＣＥ的长度为 ． 　　　　　　　　　　　　　　　解析：因为∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝６，ＡＣ＝８，所以ＢＣ ＝１０，① 当 ∠ＥＤＣ＝９０°时，因为 ∠ＤＣＥ＝∠ＡＣＢ， ∠ＥＤＣ＝∠Ａ，所以△ＣＤＥ∽△ＣＡＢ，所以ＣＥＣＢ＝ ＣＤ ＣＡ，即 ＣＥ １０＝ ５ ８，解得 ＣＥ＝ ２５ ４；② 当 ∠ＤＥＣ＝９０°时，因为 ∠ＤＣＥ＝∠ＡＣＢ，∠ＤＥＣ＝∠Ａ，所以△ＣＥＤ∽△ＣＡＢ， 所以 ＣＥ ＣＡ＝ ＣＤ ＣＢ，即 ＣＥ ８ ＝ ５ １０，解得ＣＥ＝４． 综上所述，ＣＥ的长为４或２５４．故填４或 ２５ ４． 三、利用相似求函数表达式 例３　 如图 ３，梯形 ＡＢＣＤ 中，ＡＤ∥ＢＣ，对角线ＡＣ⊥ＢＣ， ＡＤ＝９，ＡＣ＝１２，ＢＣ＝１６，点Ｅ 是边ＢＣ上一个动点，∠ＥＡＦ＝ ∠ＢＡＣ，ＡＦ交ＣＤ于点 Ｆ，交 ＢＣ 延长线于点Ｇ，设ＢＥ＝ｘ． （１）用含ｘ的代数式表示ＦＣ； （２）设ＦＧＥＦ＝ｙ，求ｙ关于ｘ的函数关系式，并求ｘ的 取值范围． 解析：（１）因为ＡＣ⊥ＢＣ，所以∠ＡＣＢ＝９０°．因为 ＡＤ∥ＢＣ，所以∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＢ＝９０°．因为ＡＤ＝９，ＡＣ ＝１２，ＢＣ＝１６，所以ＡＢ＝２０，ＤＣ＝１５．因为ＢＣＡＣ＝ ＡＣ ＤＡ＝ ４ ３，∠ＡＣＢ＝∠ＤＡＣ，所以△ＡＢＣ∽△ＤＣＡ，所以∠Ｂ＝ ∠ＡＣＤ．因为∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＣ，所以∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＦ，所 以△ＡＢＥ∽△ＡＣＦ，所以ＡＢＡＣ＝ ＢＥ ＣＦ，所以 ２０ １２＝ ｘ ＣＦ，所以 ＣＦ＝ ３５ｘ． （２）因为 △ＡＢＥ∽ △ＡＣＦ，所以ＡＢＡＣ＝ ＡＥ ＡＦ，又因为 ∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＣ，所以△ＡＥＦ∽△ＡＢＣ，所以ＥＦＡＦ＝ ＢＣ ＡＣ＝ １６ １２＝ ４ ３，所以ＥＦ＝ ４ ３ＡＦ．因为 ＡＤ∥ ＣＧ，所以 ＦＧ ＦＡ＝ ＣＦ ＤＦ，所以ｙ＝ ＦＧ ＥＦ＝ ＦＧ ４ ３ＡＦ ＝３４· ＣＦ ＤＦ＝ ３ ４· ３ ５ｘ １５－３５ｘ ，整 理得ｙ＝ ３ｘ１００－４ｘ（０＜ｘ≤１６）． 书 相似三角形的知识在日常生活中有着十分广泛的 应用，尤其是在测量高度和距离方面．现从试题中选取 三例解析如下，供同学们学习时参考． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ 在《数书九章》（宋· 秦九韶）中记载了一个测量塔高 的问题：如图１所示，ＡＢ表示塔的 高度，ＣＤ表示竹竿顶端到地面的 高度，ＥＦ表示人眼到地面的高 度，ＡＢ，ＣＤ，ＥＦ在同一平面内，点 Ａ，Ｃ，Ｅ在一条水平直线上．已知 ＡＣ＝２０米，ＣＥ＝ １０米，ＣＤ＝７米，ＥＦ＝１．４米，人从点Ｆ远眺塔顶Ｂ，视 线恰好经过竹竿的顶端Ｄ，可求出塔的高度．根据以上 信息，塔的高度为 米． 解析：过Ｆ作ＦＱ⊥ＡＢ于Ｑ，交ＣＤ于Ｈ，则ＦＨ＝ ＣＥ＝１０米，ＱＨ＝ＡＣ＝２０米，ＦＱ＝ＡＥ＝ＡＣ＋ＣＥ＝ ３０米，ＥＦ＝ＣＨ＝ＡＱ＝１．４米，所以ＤＨ＝ＣＤ－ＣＨ＝ ７－１．４＝５．６米，因为 ＤＣ∥ ＢＡ，所以 △ＦＤＨ∽ △ＦＢＱ，所以ＤＨＢＱ ＝ ＦＨ ＦＱ，所以 １０ ３０＝ ５．６ ＱＢ，解得 ＱＢ＝ １６．８（米），经检验符合题意，所以ＡＢ＝ＡＱ＋ＱＢ＝１．４ ＋１６．８＝１８．２（米）． 故填１８．２． 例２　如图２是凸透镜成 像示意图，ＣＤ是蜡烛 ＡＢ通过 凸透镜ＭＮ所成的虚像，已知蜡 烛的高 ＡＢ为４．８ｃｍ，蜡烛 ＡＢ 离凸透镜 ＭＮ的水平距离 ＯＢ ＝６ｃｍ，该凸透镜的焦距ＯＦ为 １０ｃｍ，ＡＥ∥ＯＦ，则像ＣＤ的高为 ｃｍ． 解析：因为ＡＥ∥ＯＦ，所以△ＣＡＥ∽△ＣＯＦ，所以 ＡＥ ＯＦ＝ ＣＡ ＣＯ＝ ６ １０＝ ３ ５，所以 ＯＡ ＯＣ＝ ２ ５，因为ＡＢ∥ＣＤ，所 以△ＯＡＢ∽△ＯＣＤ，所以ＯＡＯＣ＝ ＡＢ ＣＤ，所以 ２ ５ ＝ ４．８ ＣＤ，解 得ＣＤ＝１２ｃｍ，所以像ＣＤ的高为１２ｃｍ． 故填１２． 例３　漯河某景区内建有供游 客休息的凉亭．某数学小组欲测量 凉亭的高度，故抽象出如图３所示的 平面几何图形，已知点 Ｄ，Ａ，Ｅ在地 面的同一水平线上，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ ＝２．５米，ＢＣ＝３米，点Ｃ到地面的距离是２．４米．求凉 亭最高点 Ｂ到地面的距离 ＢＮ的长（结果精确到 ０．１米）． 解析：过点Ｃ作ＣＧ⊥ＤＥ于Ｇ，ＣＨ⊥ＢＮ于Ｈ，则四 边形ＣＧＮＨ是矩形，所以∠ＧＣＨ＝∠ＣＨＢ＝９０°，ＮＨ＝ ＣＧ＝２．４米，在 Ｒｔ△ＡＧＣ中，由勾股定理，得 ＡＧ＝ ＡＣ２－ＣＧ槡 ２ ＝０．７米，因为∠ＡＣＢ＝９０°，所以∠ＡＣＧ ＝∠ＢＣＨ，又因为∠ＡＧＣ＝∠ＢＨＣ＝９０°，所以△ＡＧＣ ∽△ＢＨＣ，所以ＢＨＡＧ＝ ＢＣ ＡＣ，即 ＢＨ ０．７＝ ３ ２．５，所以 ＢＨ＝ ０．８４米，所以ＢＮ＝ＢＨ＋ＮＨ≈３．２米． 答：凉亭最高点Ｂ到地面的距离ＢＮ的长约为３．２米． 书 相似三角形具有“周长比等于相似比；对应中线的 比、对应角平分线的比、对应高的比都等于相似比；面积 比等于相似比的平方”等性质，灵活运用上述性质，可 以帮助同学们解决许多相关问题． 应用一：相似三角形周长的比等于相似比 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ 若两个相似三角形周长的比为１∶４，则这两 个三角形对应边的比是 （　　） Ａ．１∶２ Ｂ．１∶４ Ｃ．１∶８ Ｄ．１∶１６ 解析：因为两个相似三角形周长的比为１∶４，所以 相似三角形对应边的比为１∶４．故选Ｂ． 应用二：相似三角形面积的比 等于相似比的平方 例 ２　 如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，Ｅ是线段ＡＢ上一点，连接 ＡＣ，ＤＥ交于点Ｆ．若ＡＥＥＢ＝ ２ ３，则 Ｓ△ＡＥＦ Ｓ△ＣＤＦ ＝ ． 解析：因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ＝ ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ，所以∠ＡＥＦ＝∠ＣＤＦ，∠ＥＡＦ＝∠ＤＣＦ， 所以△ＥＡＦ∽△ＤＣＦ，因为ＡＥＥＢ＝ ２ ３，所以 ＡＥ ＡＢ＝ ＡＥ ＣＤ＝ ２ ５，所以 Ｓ△ＡＥＦ Ｓ△ＣＤＦ ＝（ＡＥＣＤ） ２ ＝ ４２５．故填 ４ ２５． 应用三：相似三角形对应高的比等于相似比 例３　已知△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ，且ＡＣ∶ＤＦ＝２∶３，ＢＣ 与ＥＦ边上的高分别记为 ｈ１和 ｈ２，则 ｈ１ ∶ｈ２等于 ． 解析：因为△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ，ＡＣ∶ＤＦ＝２∶３，所以 ｈ１∶ｈ２ ＝ＡＣ∶ＤＦ＝２∶３．故填２∶３． ! ! " #! !!""" $"% ! !"!#&$'!!( !"# !$"%&'( )&*+,-.&/0 " 1 ! ! !"#$ !"#$%&'" ()*+,-'. "#$% %&'()* + , - . 23456+78 23469:.;<=>? 2346@ABCDEFG7H *IJKLMN% KOPQRS TUVWXYN%Z[P%&'#()*)*+!,( ) *+ QRS , ) *+ \]^ , # - .+ _`S , ) *+ a b , ) *+ c d -./01+ _ e 23/01+ _fg -4506+ h i -4578+ jkl ]mn o p qrs t u vwx \yz t{f | k }~s €R o‚ ƒ„ \R… †d& ‡ˆp ‰ x Š‹Œ ]Ž 91-.+ \ 91:;+ ‘~’ <=-.+ \ “ >?-.+ ” • @ABC+ –—˜ !™Jš›š% !œƒšN% !LM ¡¢P"0/-1/!*'!/2 !™J£¤P23¥¦§¨r©ª«¬­ -0![*IJK)&*+LM  !®¯L°P"0"""2 !¨± ²J³´P"0/-#/!*--!/ "0/-#/!*-!0*µ<¶( !²·P¸¹™J¨± ¤º»¼T½¾®¿ÀÁ( !®¯²·³´P---$/ !ÂÃÄŲÆDzÈɲ !™JʼT½¥µ̈ ËÌ9ÍÎÏJ !ÐÑBCÒÂÓ[P-#""""#"""--" !ÐÑ ¡¢P"0/-#/!*-!// !™JÔÕÖ×Ø<=ÙÚDEFGµÛܨÝÞªßàáâã.;ä -- [ËåÙ$æDÙçèéêë$¸¹™J¨± ¤ºìí """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" # 2× oRî $ ÕÖ cïð $ñ3 còó $ 23 \ ô %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% õö#™J÷ëø Àù/úûü -" 1Ë ! " # $ % & ! " # ' ( ! - ! " ) $ % & # ! 0 ! - ! " * + , ! 0 ! " # $ % ( & * + , ! ! * + , "! ! " # #! ! 0 121/1#101!1- - ! 0 # / 1- 1! 10 1# 1/ 12 + , * ! " # / # 0 ! - 1$1* ! ! ! " * + , # $ %) & ! - ! " # $ ' ! ! ! " # $ % * & " ! # $ % & ! - ! " # $ % & % ! * - ( ! ! ! " # $ - & ! 0 ! " # $ ! ! & ! - + , "! !! ! " * À"# -$#%&'Ë Àýþ #%ù/úû( ÿ! #$ü%&'>(C)* 书 （满分：１２０分） 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是 （　　） ２．如果两个相似三角形的相似比为１６∶９，那么这 两个三角形对应边上的高之比为 （　　） Ａ．１６∶９ Ｂ．４∶３ Ｃ．９∶１６ Ｄ．２５６∶８１ ３．如图１，嘉嘉要测量池塘两岸Ａ，Ｂ两点间的距离， 先在ＡＢ的延长线上选定点Ｃ，测得ＢＣ＝５ｍ，再选一点 Ｄ，连接ＡＤ，ＣＤ，作ＢＥ∥ＡＤ，交ＣＤ于点 Ｅ，测得 ＣＤ＝ ８ｍ，ＤＥ＝４ｍ，则ＡＢ＝ （　　） Ａ．３ｍ Ｂ．４ｍ Ｃ．５ｍ Ｄ．６ｍ ４．如图２，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＢＣ边上，连接ＡＤ，点 Ｇ在线段ＡＤ上，ＧＥ∥ＢＤ且交ＡＢ于点Ｅ，ＧＦ∥ＡＣ且交 ＣＤ于点Ｆ，若 Ｓ△ＡＥＧ Ｓ四边形ＥＢＤＧ ＝ ４５，ＡＣ＝９，则ＧＦ的长为 （　　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．９２ Ｄ．６ ５．如图３是一个铁夹子的侧面示意图，点Ｃ是连接夹 面的轴上一点，ＣＤ⊥ＯＡ于点Ｄ．这个侧面图是轴对称图 形，直线ＯＣ是它的对称轴．若ＤＡ＝１５ｍｍ，ＤＯ＝２４ｍｍ， ＤＣ＝１０ｍｍ，则点Ａ与点Ｂ之间的距离为 （　　） Ａ．２０ｍｍ Ｂ．３０ｍｍ Ｃ．４０ｍｍ Ｄ．５０ｍｍ ６．如图４，在平面直角坐标系中，已知点 Ｏ（０，０）， Ａ（６，０），Ｂ（０，８），以某点为位似中心，作出与 △ＡＯＢ的 相似比为ｋ的位似△ＣＤＥ，若点Ｄ（１，１），点Ｃ（４，１），则 位似中心的坐标和ｋ的值分别为 （　　） Ａ．（０，０），２ Ｂ．（２，２），１２ Ｃ．（２，２），２ Ｄ．（１，１），１２ ７．有一块锐角三角形余料 △ＡＢＣ，边 ＢＣ为１５ｃｍ， ＢＣ边上的高为１２ｃｍ，现要把它分割成若干个邻边长分 别为５ｃｍ和２ｃｍ的小长方形零件，分割方式如图５所示 （分割线的耗料不计），使最底层的小长方形的长为５ｃｍ 的边在ＢＣ上，则按如图方式分割成的小长方形零件最 多有 （　　） Ａ．３个 Ｂ．４个 Ｃ．５个 Ｄ．６个 ８．如图６，ＤＥ平分等边△ＡＢＣ的面积，折叠△ＢＤＥ 得到△ＦＤＥ，ＡＣ分别与ＤＦ，ＥＦ相交于Ｇ，Ｈ两点．若ＤＧ ＝１，ＥＨ＝槡３，则ＧＨ的长为 （　　） 槡 槡Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．２３ Ｄ．４ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．如图７，在平面直角坐标系中，△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′ 是以原点 Ｏ为位似中心的位似图形，ＡＢＡ′Ｂ′＝ １ ２，已知 Ａ（１，２），则顶点Ａ′的坐标为 ． １０．如图８，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡 （看作一个点），它发出的光线照射桌面后，在地面上形 成圆形阴影，经测量得，地面上圆形阴影的半径比桌面 半径大０．５米，桌面的直径为２米，桌面距离地面的高度 为１．５米，则灯泡到桌面的距离为 米． １１．如图９，在平面直角坐标系中，ＯＡＢＣ的顶点Ｏ 在坐标原点，点Ｅ是对角线ＡＣ上一点，过点Ｅ作ＥＦ∥ ＢＣ，交ＡＢ于点Ｆ，ＯＣ＝２，∠ＡＯＣ＝４５°，点Ａ的坐标为 （４，０），点Ｆ的横坐标为５，则ＥＦ的长为 ． １２．四分仪是一种十分古老的测量仪器，其出现可 追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．如图１０是古代 测量员用四分仪测量一方井深度的示意图，将四分仪置 于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点 Ｆ，窥衡杆与 四分仪的一边ＢＣ交于点 Ｈ，四分仪为正方形 ＡＢＣＤ，方 井为矩形ＢＥＦＧ．若测量员从四分仪中读得 ＡＢ为１，ＢＨ 为０．５，实地测得ＢＥ为２，则井深ＢＧ为 ． １３．如图１１，△ＡＯＣ中三个顶点的坐标分别为Ａ（４， ０），Ｏ（０，０），Ｃ（４，３），ＡＰ为△ＡＯＣ的一条中线，以 Ｏ为 位似中心，把 △ＡＯＰ每条边扩大到原来的 ２倍，得到 △Ａ′ＯＰ′，则ＰＰ′的长为 ． １４．如图１２，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝５，ＢＣ＝６，点 Ｄ为ＡＣ边的中点，点Ｅ为ＢＣ边上一动点，连接ＥＤ并延 长，交ＢＡ的延长线于点Ｆ，当点Ａ恰好为ＢＦ的中点时， ＤＥ的长为 ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１０分）已知△ＡＢＣ在平面直角坐标系中的位 置如图１３所示，其中点Ａ和点Ｂ的坐标分别为Ａ（２，６）， Ｂ（６，２）． （１）在第一象限画出△ＡＢＣ以原点Ｏ为位似中心的位 似图形△Ａ１Ｂ１Ｃ１，使△ＡＢＣ与△Ａ１Ｂ１Ｃ１的相似比为２∶１； （２）画出△Ａ１Ｂ１Ｃ１绕点Ａ１按逆时针方向旋转９０° 后的△Ａ１Ｂ２Ｃ２． １６．（１０分）小言家窗外有一个路灯，每天晚上灯光 都会透过窗户照进房间里，小言一直想知道这个路灯的 准确高度，当学了相似三角形的知识后，她意识到自己 可以解决这个问题了！如图１４，路灯顶部Ａ处发光，光线 透过窗子ＢＣ照亮地面的长度为ＤＥ，小言测得窗户距离 地面高度ＢＦ＝０．７ｍ，窗高ＢＣ＝１．４ｍ，某一时刻，ＦＤ ＝０．７ｍ，ＤＥ＝２．１ｍ，请你根据小言测得的数据，求出 路灯的高度ＯＡ． １７．（１０分）如图１５，△ＡＢＣ中，ＤＥ∥ＢＣ，ＢＥ与ＣＤ交 于点Ｏ，ＡＯ与ＤＥ，ＢＣ分别交于点Ｎ，Ｍ． （１）若点Ｍ是ＢＣ的中点，求证：ＤＮ＝ＥＮ； （２）若ＯＮ∶ＯＭ＝２∶５，四边形ＢＣＥＤ的面积为４２， 求△ＡＢＣ的面积． １８．（１０分）小明和几位同学做手的影子游戏时，发 现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有 关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源 到物体的位置．于是，他们做了以下尝试． （１）如图１６－①，垂直于地面放置的正方形框架 ＡＢＣＤ，边长ＡＢ为３０ｃｍ，在其上方点 Ｐ处有一灯泡，在 灯泡的照射下，正方形框架的横向影子Ａ′Ｂ，Ｄ′Ｃ的长度 和为６ｃｍ．那么灯泡离地面的高度ＰＭ为多少？ （２）不改变图１６－①中灯泡的高度，将两个边长为 ３０ｃｍ的正方形框架按图１６－②摆放，请计算此时横向 影子Ａ′Ｂ，Ｄ′Ｃ的长度和为多少？ １９．（１２分）如图１７，在菱形ＡＢＣＤ中，Ｍ为ＡＤ的中 点，ＢＭ与ＡＣ的交点为Ｅ，点Ｆ在边ＢＣ上，ＡＦ交ＢＭ于 点Ｇ，且∠ＢＧＦ＝∠ＡＢＣ． （１）求证：△ＢＡＧ∽△ＢＭＡ； （２）若∠ＡＢＣ＝６０°，连接ＣＧ，求证：ＣＧ⊥ＢＭ． ２０．（１２分）如图１８，矩形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相 交于点Ｆ，延长ＢＣ到点Ｅ，使ＣＥ＝ＢＣ，连接ＤＥ，连接ＡＥ 交ＢＤ于点Ｇ，交ＣＤ于点Ｈ． （１）求证：ＤＧ２ ＝ＦＧ·ＢＧ； （２）若ＡＢ＝１４，ＢＣ＝２４，求线段ＧＨ的长度                                                                                                                                                                 ． 书 ２２．３相似三角形的性质（第一课时） １．若两个相似三角形的相似比为２∶３，其中较小的 三角形的周长为８，则较大的三角形的周长为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．６ Ｂ．８ Ｃ．１２ Ｄ．１６３ ２．如图１，在△ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ分别在边ＡＢ和ＡＣ 上，连接ＤＥ，若ＤＥＢＣ＝ １ ２，则Ｓ△ＡＤＥ∶Ｓ四边形ＤＢＣＥ的值为 （　　） Ａ．１∶２ Ｂ．１∶３ Ｃ．１∶４ Ｄ．２∶３ ３．两个相似三角形的面积之比为１∶４，小三角形一 条边上的中线长为４，则另一个三角形对应边上的中线 长为 （　　） Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．５ ４．如图２所示的是某家用晾衣架的侧面示意图，已 知ＡＢ∥ＰＱ，根据图中数据，Ｐ，Ｑ两点间的距离是 （　　） Ａ．０．６ｍ Ｂ．０．８ｍ Ｃ．０．９ｍ Ｄ．１ｍ ５．如图３，Ｄ，Ｅ分别是△ＡＢＣ的边ＡＢ，ＢＣ上的点， ＤＥ∥ＡＣ，若Ｓ△ＢＤＥ∶Ｓ△ＣＤＥ ＝１∶３，则Ｓ△ＤＯＥ∶Ｓ△ＡＯＣ的值 为 ． ６．如图４，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，棱长为１的立 方体的表面展开图有两条边分别在 ＡＣ，ＢＣ上，有两个 顶点在斜边ＡＢ上，则△ＡＢＣ的面积为 ． ７．如图 ５，有一块三角形余料 ＡＢＣ，它的边 ＢＣ＝１８ｃｍ，高 ＡＤ＝ １２ｃｍ，现在要把它加工成长与宽的 比为３∶２的矩形零件ＥＦＣＨ，要求一 条长边在ＢＣ上，其余两个顶点分别 在ＡＢ，ＡＣ上，则矩形ＥＦＧＨ的周长为 ｃｍ． ８．如图６，Ｄ，Ｅ，Ｆ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ上 的点，ＤＥ∥ＡＢ，∠Ａ＝∠ＥＤＦ．若ＢＤＣＤ＝ ２ ３，Ｓ△ＡＢＣ ＝５０， 求四边形ＡＦＤＥ的面积． ２２．３相似三角形的性质（第二课时） １．如图１－①，“矩”在古代指两条边成直角的曲 尺，它的两边长分别为 ａ，ｂ．中国古老的天文和数学著 作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如 “偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的 高度，如图１－②，从“矩”ＡＦＥ的一端Ａ望向树顶端的 点Ｃ，使视线通过“矩”的另一端 Ｅ，测得 ＡＢ＝１．５ｍ， ＢＤ＝６．２ｍ．若“矩”的边ＥＦ＝３０ｃｍ，边ＡＦ＝６０ｃｍ， 则树高ＣＤ为 （　　） Ａ．３．１ｍ Ｂ．４．６ｍ Ｃ．５．３ｍ Ｄ．４．２ｍ ２．如图２，数学兴趣小组下午测得一根长为０．８ｍ 的竹竿影长是１ｍ，同一时刻测量树高时发现树的影子 有一部分落在教学楼的墙壁上，测得留在墙壁上的影 高１．２ｍ，地面上的影长为３ｍ，请你帮算一下，树高是 ｍ． ３．如图３，ＡＤ，ＢＣ为两路灯， 身高均为１．８ｍ的小明、小亮站 在两路灯之间，两人相距６．５ｍ， 小明站在Ｐ处，小亮站在Ｑ处，小 明在路灯Ｃ下的影长ＡＰ为２ｍ， 路灯ＢＣ高９ｍ，则路灯ＡＤ的高为 ｍ． ４．龙是中国等东亚区域古代神话传说中的神异动 物，是中华民族最具代表性的传统文化之一．恰逢龙 年，政府部门在某广场上做了一个龙形雕像．某数学兴 趣小组想要利用所学知识测量该雕像的高度．如图４， 雕像的高度为ＡＢ，在地面ＢＣ上取Ｅ，Ｇ两点，分别竖立 两根高均为１．５ｍ的标杆ＥＦ和ＧＨ，两标杆间隔ＥＧ为 ８ｍ，并且雕像ＡＢ，标杆ＥＦ和ＧＨ在同一竖直平面内．从 标杆ＥＦ后退２ｍ到Ｄ处（即ＥＤ＝２ｍ），从Ｄ处观察Ａ 点，Ａ，Ｆ，Ｄ三点在一条直线上；从标杆ＧＨ后退３ｍ到Ｃ 处（即ＣＧ＝３ｍ），从Ｃ处观察Ａ点，Ａ，Ｈ，Ｃ三点也在一 条直线上．已知 Ｂ，Ｅ，Ｄ，Ｇ，Ｃ在同一直线上，ＡＢ⊥ ＢＣ， ＥＦ⊥ＢＣ，ＧＨ⊥ＢＣ，请你根据以上测量数据，帮助兴趣 小组求出该龙形雕像的高度． ２２．４图形的位似变换 １．如图１，在正方形网格中，以点 Ｏ为位似中心， △ＡＢＣ的位似图形可以是 （　　） Ａ．△ＤＥＦ Ｂ．△ＤＦＨ Ｃ．△ＧＥＨ Ｄ．△ＧＤＪ ２．如图２，在正方形网格中，两个阴影部分的格点 三角形位似，则位似中心为 （　　） Ａ．点Ｍ Ｂ．点Ｎ Ｃ．点Ｐ Ｄ．点Ｑ ３．如图３，△ＡＢＣ与△ＤＥＦ是位似图形，点Ｏ为位 似中心，且 ＯＡ∶ＯＤ＝１∶２，若 △ＡＢＣ的周长为８，则 △ＤＥＦ的周长为 （　　） 槡Ａ．４ Ｂ．２２ Ｃ．１６ Ｄ．３２ ４．在平面直角坐标系中，△ＡＢＣ与 △Ａ１Ｂ１Ｃ１关于 原点Ｏ位似，点 Ａ及其对应点 Ａ１的坐标分别为（－１， ２），（３，－６），则 △ＡＢＣ与 △Ａ１Ｂ１Ｃ１ 的相似比为 ． ５．如图４，四边形ＡＢＣＤ与四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′是以点 Ｏ为位似中心的位似图形，已知ＯＡＯＡ′＝ ２ ５，若四边形 ＡＢＣＤ的面积是 ２，则四边形 Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的面积为 ． ６．已知 △ＡＢＣ在平面直角坐标系中的位置如图５ 所示． （１）在图中画出△ＡＢＣ沿ｘ轴翻折后的△Ａ１Ｂ１Ｃ１； （２）以点 Ｍ（１，２）为位似中心，作出 △Ａ１Ｂ１Ｃ１按 １∶２放大后的位似图形△Ａ２Ｂ２Ｃ２； （３）求点Ａ２的坐标以及△ＡＢＣ与△Ａ２Ｂ２Ｃ２的周长 比 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． ! ! ! " # $ % & ' 书 ∠ＡＢＥ＝４５°＋∠ＡＢＥ， ∠ＡＢＦ ＝ ∠ＥＢＦ ＋ ∠ＡＢＥ＝４５°＋∠ＡＢＥ， 所以 ∠ＢＥＣ＝∠ＡＢＦ． 因为 ∠ＢＡＦ ＝∠ＢＣＥ ＝４５°，所以 △ＡＢＦ∽ △ＣＥＢ． （３）ＥＢ ＝ ＥＧ，ＢＥ ⊥ＥＧ．理由如下： 因 为 ∠ＥＢＦ ＝ ∠ＧＣＦ＝４５°，∠ＥＦＢ＝ ∠ＧＦＣ，所以 △ＢＥＦ∽ △ＣＧＦ，所以ＥＦＧＦ＝ ＢＦ ＣＦ， 即 ＥＦ ＢＦ ＝ ＧＦ ＣＦ． 因 为 ∠ＥＦＧ＝∠ＢＦＣ，所以 △ＥＦＧ∽ △ＢＦＣ．所以 ∠ＥＧＦ ＝ ∠ＢＣＦ ＝ ４５°．所 以 ∠ＥＢＦ ＝ ∠ＥＧＦ＝４５°．所以 ＥＢ ＝ＥＧ，∠ＢＥＧ＝９０°，所 以ＢＥ⊥ＥＧ． ２０．（１）证明：因为 在 △ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝ ９０°，ＡＢ＝ＡＣ，所以∠Ｂ ＝∠Ｃ＝４５°．因为∠Ｂ ＋∠ＢＰＥ＋∠ＢＥＰ ＝ １８０°，所以 ∠ＢＰＥ ＋ ∠ＢＥＰ ＝１３５°．因为 ∠ＥＰＦ＝４５°，∠ＢＰＥ＋ ∠ＥＰＦ ＋ ∠ＣＰＦ ＝ １８０°，所以 ∠ＢＰＥ ＋ ∠ＣＰＦ ＝１３５°，所以 ∠ＢＥＰ＝∠ＣＰＦ，又因 为 ∠Ｂ ＝∠Ｃ，所以 △ＢＰＥ∽△ＣＦＰ． （２）△ＢＰＥ ∽ △ＣＦＰ．理由如下： 因为在 △ＡＢＣ中， ∠ＢＡＣ ＝ ９０°，ＡＢ ＝ ＡＣ，所以 ∠Ｂ＝∠Ｃ＝ ４５°．因为 ∠Ｂ＋∠ＢＰＥ ＋∠ＢＥＰ＝１８０°，所以 ∠ＢＰＥ ＋ ∠ＢＥＰ ＝ １３５°．因为 ∠ＥＰＦ ＝ ４５°，∠ＢＰＥ＋∠ＥＰＦ＋ ∠ＣＰＦ ＝１８０°，所以 ∠ＢＰＥ ＋ ∠ＣＰＦ ＝ １３５°，所以 ∠ＢＥＰ ＝ ∠ＣＰＦ，又因为 ∠Ｂ＝ ∠Ｃ，所以 △ＢＰＥ∽ △ＣＦＰ． （３）动点Ｐ运动到 ＢＣ中点位置时，△ＢＰＥ 与△ＰＦＥ相似，理由如 下： 同 （２）， 可 证 △ＢＰＥ∽ △ＣＦＰ，得 ＣＰ∶ＢＥ＝ＰＦ∶ＰＥ，而 ＣＰ＝ＢＰ，因此ＰＢ∶ＢＥ ＝ＰＦ∶ＰＥ．又因为 ∠ＥＢＰ＝∠ＥＰＦ，所以 △ＢＰＥ∽△ＰＦＥ． 上期４版 重点集训营 １．Ｄ；　２．２或１２７． ３．证明：（１）因为 ＡＢ＝ＡＣ，所以 ∠Ｂ＝ ∠Ｃ，因为ＣＥ＝ＢＦ，所以 △ＡＣＥ≌ △ＡＢＦ，所以 ∠ＣＡＥ＝∠ＢＡＦ． （２）因为△ＡＣＥ≌ △ＡＢＦ，所以 ＡＥ＝ＡＦ， ∠ＣＡＥ＝∠ＢＡＦ，因为 ＡＥ２ ＝ＡＱ·ＡＢ，ＡＣ＝ ＡＢ，所以ＡＥＡＱ ＝ ＡＢ ＡＥ，即 ＡＥ ＡＱ＝ ＡＣ ＡＦ，所以 △ＡＣＥ ∽△ＡＦＱ．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