第7期 22.2 相似三角形的判定（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（沪科版）

书 一、条件开放题 例１　如图１，∠１＝∠２， 添加一个条件使得△ＡＤＥ∽ △ＡＣＢ： ． 解析：由 ∠１＝∠２，得 ∠１ ＋ ∠ＢＡＥ ＝ ∠２ ＋ ∠ＢＡＥ，即∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＣ． 两个三角形已有一组角对应 相等，只要再添一组角对应 相等即可，如 ∠Ｄ＝∠Ｃ或 ∠Ｅ＝∠Ｂ；也可以添加边对 应成比例，如 ＡＤ ＡＣ＝ ＡＥ ＡＢ． 故填∠Ｄ＝∠Ｃ或∠Ｅ ＝∠Ｂ或ＡＤＡＣ＝ ＡＥ ＡＢ． 二、结论开放题 例２　如图２，在平面直角坐标系中，点 Ａ（０，２）， Ｂ（４，４），Ｃ（１，０），Ｄ（９，４），Ｅ（５，０），Ｆ（１１，２）． （１）判断由点 Ａ，Ｂ，Ｃ构成的三角形 ＡＢＣ与由点 Ｄ，Ｅ，Ｆ构成的三角形ＤＥＦ是否相似，并说明理由； （２）若点 Ｐ１（８，３），Ｐ２（７，２），Ｐ３（６，１），Ｐ４（８，１）， Ｐ５（１０，３），则在点Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４，Ｐ５，Ｄ，Ｆ这７个点中选 取３个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与 △ＡＢＣ相似（要求写出２个符合条件的三角形，并在图 中连接相应线段，不必说明理由）． 解析：（１）△ＡＢＣ和△ＤＥＦ相似． 理由：根据勾股定理，得ＡＢ＝ 槡２５，ＡＣ＝槡５，ＢＣ＝ ５；ＤＥ＝ 槡４２，ＤＦ＝ 槡２２，ＥＦ＝ 槡２ １０．因为 ＡＢ ＤＥ＝ ＡＣ ＤＦ＝ ＢＣ ＥＦ＝ 槡１０ ４ ，所以△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ． （２）答案不惟一．如图３，下面６个三角形中的任 意２个均可． △Ｐ２Ｐ５Ｄ，△Ｐ４Ｐ５Ｆ，△Ｐ２Ｐ４Ｄ，△Ｐ４Ｐ５Ｄ，△Ｐ２Ｐ４Ｐ５， △Ｐ１ＦＤ． 【练一练】 １．如图４，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＞ＡＣ，点Ｄ在ＡＢ边上， 点Ｅ在ＡＣ边上且ＡＤ＜ＡＥ．只需添加一个条件即可证 明△ＡＢＣ∽△ＡＥＤ，这个条件可以是 （写出一 个即可）． ２．如图５，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ⊥ＡＢ，垂 足是Ｄ，写出图中的一组相似三角形为 ． !" # $ % ! " ! ! ! " $ & # ' # ( ' $ ' " ' ! ' % ) * ! " % ! " $ & # ' # ( ' $' " ' ! ' % ) * ! # % ! ! " # $ % $ " ! % # " ! ! # $ " ! % ! $ 书 １６．（１）ａ＝２，ｂ＝ ６，ｃ＝１０． （２）由（１）知 ａ＝ ２，ｂ＝６，又因为ｍ是ａ， ｂ的比例中项，所以 ｍ２ ＝ａｂ，即ｍ２ ＝１２，所以 ｍ＝±槡２３，因为ｍ＞０， 所以ｍ＝ 槡２３． １７．（１）证明：因为 ＥＣ平分 ∠ＦＥＢ，所以 ∠ＦＥＣ＝∠ＢＥＣ，因为 ＥＦ∥ ＢＣ，所以 ∠ＢＣＥ ＝∠ＦＥＣ，所以 ∠ＢＣＥ ＝∠ＢＥＣ，所以 ＢＥ＝ ＢＣ． （２）ＡＥ ＝ＢＣ．理 由：因为ＡＤ∥ＥＦ，所以 ＤＦ ＣＦ＝ ＡＥ ＢＥ，因为 ＤＦ＝ ＦＣ，所以ＡＥ＝ＢＥ，又因 为ＢＥ＝ＢＣ，所以ＡＥ＝ ＢＣ． １８．（１）过点 Ｄ作 ＤＧ∥ＣＦ，交ＡＢ于点Ｇ． 因为ＤＧ∥ＣＦ，所以ＢＧＧＦ ＝ ＢＤＤＣ， 因 为 ＡＤ 是 △ＡＢＣ的中线，所以ＢＤ ＝ＤＣ，所以 ＢＧ＝ＧＦ， 因为ＤＧ∥ＣＦ，所以ＡＦＦＧ ＝ＡＥＥＤ，因为 Ｅ为 ＡＤ的 中点，所以ＡＥ＝ＥＤ，所 以ＡＦ＝ＦＧ＝ＢＧ，所以 ＡＦ ＢＦ＝ １ ２． （２）过点 Ｄ作 ＤＨ ∥ＣＦ，交ＡＢ于点Ｈ．因 为ＤＨ∥ＣＦ，所以ＡＦＦＨ＝ ＡＥ ＥＤ，因为 ＡＥ ＥＤ＝ １ ｋ，所以 ＡＦ ＦＨ＝ １ ｋ，所以 ＦＨ ＝ ｋＡＦ，由（１）知 ＦＨ ＝ ＢＨ，所以 ＢＨ＝ＦＨ ＝ ｋＡＦ，所以 ＢＦ＝２ｋＡＦ， 所以 ＡＦ ＢＦ＝ ＡＦ ２ｋＡＦ＝ １ ２ｋ． １９．（１）如图，设ＡＢ ＝ｘ，由翻折的性质得， ∠ＡＣＦ ＝ ∠ＨＤＦ， 书 上期２版 ２２．１．１相似多边形 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．槡２２；　４．６； ５．２ｙ＝３ｘ或３ｙ－２ｘ＝１０． ６．设运动ｔｓ能使矩形ＣＦＮＭ与矩形ＡＥＦＤ相似，由 题意得 １６ ２ｔ＝ ８ ４或 １６ ４ ＝ ８ ２ｔ，解得ｔ＝４或ｔ＝１．所以当 Ｍ，Ｎ运动４ｓ或１ｓ能使矩形ＣＦＮＭ与矩形ＡＥＦＤ相似． ２２．１．２成比例线段 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ；　３．２；　４．（槡２５－２）； ５．１０或１８５或 ５ ２． 能力提高　６．（１）ＢＤ＝１２． （２）根据题意可设ＡＤ＝ｘ，则ＢＤ＝５ｘ，所以ＡＢ＝ ６ｘ．因为点 Ｃ把线段 ＡＢ分为２∶３的两段，所以 ＡＣ＝ ２ ５ＡＢ＝ １２ ５ｘ，所以ＣＤ＝ＡＣ－ＡＤ＝ １２ ５ｘ－ｘ＝ ７ ５ｘ．因 为ＣＤ＝７，所以 ７５ｘ＝７，解得ｘ＝５．所以ＡＢ＝６ｘ＝３０． ２２．１．３比例的性质 基础训练　１．Ｄ；　２．Ａ；　３．（ 槡４５５－４５）；　４．３； ５．６． 能力提高　６．（１）证明：因为 Ｓ△ＡＢＤ Ｓ△ＡＢＣ ＝ＢＤＢＣ， Ｓ△ＡＣＤ Ｓ△ＡＢＤ ＝ ＣＤ ＢＤ，又因为 Ｓ△ＡＢＤ Ｓ△ＡＢＣ ＝ Ｓ△ＡＣＤ Ｓ△ＡＢＤ ，所以 ＢＤ ＢＣ＝ ＣＤ ＢＤ，所以Ｄ是ＢＣ 的黄金分割点． （２）由（１）知ＢＤＢＣ＝ ＣＤ ＢＤ，所以ＢＤ＝ 槡５－１ ２ ＢＣ，所以 ＤＣ＝ＢＣ－ＢＤ＝ＢＣ－槡５－１２ ＢＣ＝ ３－槡５ ２ ＢＣ，因为 Ｓ△ＡＣＤ Ｓ△ＡＢＣ ＝ＣＤＢＣ＝ ３－槡５ ２ ，所以Ｓ△ＡＣＤ ＝ ３－槡５ ２ Ｓ△ＡＢＣ ＝３０－ 槡１０５． ２２．１．４平行线分线段成比例 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ；　３．２；　４．６；　５．４３． ６．（１）因为ＡＤ∥ＢＥ∥ＣＦ，所以ＡＢＡＣ＝ ＤＥ ＤＦ＝ ２ ７，所 以 ＤＥ ＤＥ＋１０＝ ２ ７，所以ＤＥ＝４，所以ＤＦ＝ＤＥ＋ＥＦ＝４ ＋１０＝１４． （２）因为点Ｇ是ＤＥ的中点，ＡＤ∥ＢＥ，ＱＧ＝３，所以 ＤＧ ＤＥ＝ ＱＧ ＱＨ＝ １ ２，所以ＱＨ＝６，因为ＡＤ∥ＢＥ∥ＣＦ，所 以 ＱＨ ＰＨ＝ ＡＢ ＢＣ，所以 ６ ＰＨ＝ ２ ５，所以ＰＨ＝１５． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ｄ Ｂ Ｂ 二、９．７５；　１０．８；　１１．１８；　１２． ２ ３或 －２； １３．５１．２；　１４．槡２２． 三、１５．证明：因为菱形 ＡＥＦＧ∽ 菱形 ＡＢＣＤ，所以 ∠ＤＡＢ＝∠ＥＡＧ，所以 ∠ＤＡＢ＋∠ＧＡＢ ＝∠ＥＡＧ＋ ∠ＧＡＢ，即∠ＥＡＢ＝∠ＧＡＤ，因为四边形ＡＢＣＤ，ＡＥＦＧ都 是菱形，所以ＡＥ＝ＡＧ，ＡＢ＝ＡＤ，所以△ＥＡＢ≌△ＧＡＤ， 所以ＧＤ＝ＥＢ． 书 【提示】 １．过Ｂ作ＢＨ⊥ＢＣ交ＤＥ的延长线于Ｈ，易证得 △ＡＤＥ∽△ＢＨＥ，所以ＡＥ ＥＢ＝ＡＤ ＢＨ ，根据平行线的性质 及等量代换得到∠Ｈ＝∠ＤＢＨ，于是得到ＤＨ＝ＢＤ， 过Ｄ作ＤＭ⊥ＢＨ于Ｍ，根据等腰三角形的性质和矩 形的性质得到ＢＭ＝１ ２ＢＨ＝ＣＤ，设ＣＤ＝ｘ，则ＢＨ ＝２ｘ，根据余角相等证明△ＢＨＥ≌△ＢＦＥ，由ＢＨ＝ ＢＦ即可得到结论． ２．延长ＤＡ，过Ｂ作ＢＭ⊥ＤＡ于Ｍ，旋转△ＢＣＥ 到△ＢＭＮ，易证得△ＡＮＢ和△ＡＥＢ全等，故ＡＥ＝ＡＮ ＝１０，设ＣＥ＝ｘ，用ｘ表示ＡＤ，ＤＥ，再根据勾股定理 建立关于ｘ的方程，求出ｘ，根据相似即可求出Ｓ△ＡＤＥ ＋Ｓ△ＣＥＦ的值． 书 １．如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ， 在ＡＣ上取一点 Ｄ，在 ＡＢ上取一点 Ｅ，使 ∠ＢＤＣ＝ ∠ＥＤＡ，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＢＤ于点Ｎ，交ＢＣ于点Ｆ，若ＣＦ ＝８，ＡＤ＝１１，则ＣＤ的长为 ． ２．如图２，梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｄ＝９０°，ＢＣ ＝ＣＤ＝１２，∠ＡＢＥ＝４５°，点Ｅ在ＤＣ上，ＡＥ，ＢＣ的延长 线相交于点 Ｆ，若 ＡＥ＝１０，则 Ｓ△ＡＤＥ ＋Ｓ△ＣＥＦ的值是 ． 书 １．在△ＡＢＣ纸片中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝５，ＡＣ＝７，将 该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不 相似的是 （　　） ２．将三角形纸片△ＡＢＣ按如图 １的方式折叠，使点Ｂ落在边ＡＣ上， 记为点Ｂ′，折痕为ＥＦ．已知ＡＢ＝ＡＣ ＝３，ＢＣ＝４，若以点Ｂ′，Ｆ，Ｃ为顶点 的三角形与 △ＡＢＣ相似，则 ＢＦ＝ ． ３．如图２所示，在等腰△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｅ，Ｆ在 线段ＢＣ上，ＣＥ＝ＢＦ，点Ｑ在线段ＡＢ上，且ＡＥ２ ＝ＡＱ· ＡＢ．求证： （１）∠ＣＡＥ＝∠ＢＡＦ； （２）△ＡＣＥ∽△ＡＦＱ． 书 类型１：已知条件涉及平行线 例 １　 如图 １，在 △ＡＢＣ中， ∠ＤＥＦ ＝ ∠Ｂ，ＤＥ∥ ＢＣ．求证： △ＡＤＥ∽△ＥＦＣ． 证明：因为 ＤＥ∥ ＢＣ，所以 ∠ＤＥＦ＝∠ＥＦＣ，△ＡＤＥ∽ △ＡＢＣ． 因为∠ＤＥＦ＝∠Ｂ，所以∠ＥＦＣ＝∠Ｂ，所以ＥＦ∥ＡＢ， 所以△ＥＦＣ∽△ＡＢＣ，所以△ＡＤＥ∽△ＥＦＣ． 温馨提示：当已知条件涉及平行线时，可直接利用 “平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长 线）相交，截得的三角形与原三角形相似”来证明两个 三角形相似． 类型２：已知条件只涉及角 例２　 如图２，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ＡＣ，点 Ｄ，Ｅ分别在 ＢＣ，ＡＢ上，且 ∠ＢＤＥ＝∠ＣＡＤ，△ＡＤＥ与△ＡＢＤ相 似吗？为什么？ 解：△ＡＤＥ∽△ＡＢＤ，理由如下： 因为在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，所以∠Ｂ＝∠Ｃ， 因为∠ＡＤＢ＝∠Ｃ＋∠ＣＡＤ＝∠ＡＤＥ＋∠ＢＤＥ，而 ∠ＢＤＥ＝∠ＣＡＤ，所以∠ＡＤＥ＝∠Ｃ＝∠Ｂ， 因为∠ＤＡＥ＝∠ＤＡＥ，所以△ＡＤＥ∽△ＡＢＤ． 温馨提示：当已知条件只涉及角时，可用“两角分别 相等的两个三角形相似”来证明两个三角形相似．解决 这类题时，要注意图中公共角、对顶角等隐含条件． 类型３：已知条件既有角又有边 例３　如图３，在△ＡＢＣ中，ＣＤ ＝ＣＥ，２ＡＤ＝３ＡＥ，２ＢＤ＝３ＣＤ，求 证：△ＡＢＤ∽△ＡＣＥ． 证明：因为 ＣＤ＝ＣＥ，所以 ∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ，所以 ∠ＡＤＢ＝∠ＡＥＣ， 因为２ＡＤ＝３ＡＥ，２ＢＤ＝３ＣＤ， 所以 ＡＤ ＡＥ＝ ＢＤ ＣＤ＝ ＢＤ ＣＥ＝ ３ ２， 所以△ＡＢＤ∽△ＡＣＥ． 温馨提示：当已知两个三角形的两边对应成比例 时，要考虑其夹角是否相等，利用“两边成比例且夹角相 等的两个三角形相似”来证明三角形相似． 类型４：已知条件只涉及边 例４　如图４，在△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′中，点Ｄ，Ｄ′分 别是ＡＢ，Ａ′Ｂ′上的点，ＡＤＡＢ＝ Ａ′Ｄ′ Ａ′Ｂ′，当 ＣＤ Ｃ′Ｄ′＝ ＡＣ Ａ′Ｃ′＝ ＡＢ Ａ′Ｂ′ 时，求证：△ＡＤＣ∽△Ａ′Ｄ′Ｃ′． 证明：因为 ＡＤ ＡＢ＝ Ａ′Ｄ′ Ａ′Ｂ′，所以 ＡＤ Ａ′Ｄ′＝ ＡＢ Ａ′Ｂ′． 因为 ＣＤ Ｃ′Ｄ′＝ ＡＣ Ａ′Ｃ′＝ ＡＢ Ａ′Ｂ′，所以 ＣＤ Ｃ′Ｄ′＝ ＡＣ Ａ′Ｃ′＝ ＡＤ Ａ′Ｄ′， 所以△ＡＤＣ∽△Ａ′Ｄ′Ｃ′． 温馨提示：当已知条件只涉及边时，利用“三边成比 例的两个三角形相似”来证明两个三角形相似是常用 方法．判断三边是否成比例时，可先将三角形的边按大 小顺序排列． " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! # ! % $ " !! %! $! "! !&" ' ( """""""""""""""""""" )*!+,-./ 012345678 """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 9:;<=5>?@ABCDE $ " ! % # ! % $ " ! % # ! ! $ ! " $ ! " $ ! " !&$ %&$ $ ! " ! % ' ( ) * $ "! + # ( ! ! ( $ " ! # "! ! " $ " ! % # ( ! ! $ " ! % # ( , ! " 书 在近几年的各种考试中，网格中的格点三角形（顶 点在网格交点处）相似问题频频出现．这些试题，将相 似三角形的基础知识的考查寓于新颖的情境之中，既开 拓了同学们的视野，又考查了同学们知识的迁移、类比 能力，对培养同学们的创新意识和创新能力有很好的导 向作用．以下几例供同学们参考． 一、确定相似比 例１　如图１是一个４×４的正方 形网格，△ＡＢＣ与 △Ａ１Ｂ１Ｃ１都是格点 三角形，并且 △ＡＢＣ∽ △Ａ１Ｂ１Ｃ１，则 △ＡＢＣ 与 △Ａ１Ｂ１Ｃ１ 的 相 似 比 是 ． 解析：由勾股定理，得Ａ１Ｃ１＝１，Ａ１Ｂ１＝２，ＡＣ＝槡２， ＡＢ＝ 槡２ ２，由 △ＡＢＣ∽ △Ａ１Ｂ１Ｃ１ 可知，△ＡＢＣ与 △Ａ１Ｂ１Ｃ１的相似比 ＝ＡＣ∶Ａ１Ｃ１ ＝ＡＢ∶Ａ１Ｂ１ ＝槡２∶１． 故填槡２∶１． 二、识别相似三角形 例２　在如图２所示的中国象棋棋盘（各个小正方 形的边长相等）的格点上有 Ａ，Ｂ， Ｃ，Ｄ，Ｆ五点，则能使格点Ｄ，Ｆ与下 列格点构成的三角形与由格点 Ａ， Ｂ，Ｃ围成的△ＡＢＣ相似的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．①处 Ｂ．②处 Ｃ．③处 　　Ｄ．④处 解析：根据网格特点和勾股定理可以求出对应三角 形的边长，ＢＣ＝１，ＡＢ＝槡５，ＡＣ＝ 槡２２，ＤＦ＝ 槡４２，Ａ．点 Ｆ与①的距离为槡２，点Ｄ与①的距离为槡３４，与△ＡＢＣ 不相似，故此选项不符合题意；Ｂ．点Ｆ与②的距离为２， 点 Ｄ与②的距离为 槡２５，则 槡 ２５ 槡５ ＝２１ ＝ 槡４２ 槡２２ ，与△ＡＢＣ 相似，故此选项符合题意；Ｃ．点 Ｆ与 ③ 的距离为槡１３， 点Ｄ与③的距离为槡５，与△ＡＢＣ不相似，故此选项不符 合题意；Ｄ．点Ｆ与④的距离为槡１７，点Ｄ与④的距离为 ３，与△ＡＢＣ不相似，故此选项不符合题意．故选Ｂ． 书 探究发现：如图１，在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＣＤ平分 ∠ＢＣＡ， 作ＡＥ⊥ＣＤ交ＢＣ于点Ｅ，垂足为Ｆ， 作ＢＧ⊥ＡＥ，垂足为Ｇ．求证：ＡＣ２ ＝ ＣＦ·ＣＤ． 思路分析：根据比例的基本性 质，欲证ＡＣ２＝ＣＦ·ＣＤ，只需证明ＡＣＣＦ＝ ＣＤ ＡＣ，而相似三角 形的对应边成比例，所以只需证明由这四条线段所确定 的两个三角形相似即可．由线段ＡＣ，ＣＦ确定的三角形是 △ＡＣＦ，由线段 ＣＤ，ＡＣ确定的三角形是 △ＡＣＤ，根据题 意和图形可知这两个三角形已有两组对应角相等，于是 问题得证（同学们自己完成证明过程）． 方法归纳：上述证明等积式的方法我们称之为“三 点定形法”，一般步骤是：（１）把等积式转化为比例式； （２）观察成比例的四条线段确定可能相似的两个三角 形；（３）找出使这两个三角形相似的条件． 若在步骤（２）中，发现四条线段不在两个三角形 中，我们可以用相等的量替换其中一个或两个量，包括 等比替换，等积替换等． 变式探究 一、等比替换 例１　如图２，Ｅ为平行四边形 ＡＢＣＤ的边ＣＤ延长线上的一点，连 接ＢＥ，交 ＡＣ于 Ｏ，交 ＡＤ于 Ｆ．求 证：ＢＯ２ ＝ＯＥ·ＯＦ． 证明：因为ＡＢ∥ＤＣ，所以∠ＢＡＯ＝∠ＯＣＥ，又因为 ∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＥ，所以△ＡＯＢ∽△ＣＯＥ，所以ＯＥＯＢ＝ ＯＣ ＯＡ， 因为ＡＤ∥ＢＣ，所以∠ＡＦＯ＝∠ＣＢＯ， 因为∠ＡＯＦ＝∠ＣＯＢ，所以△ＡＯＦ∽△ＣＯＢ，所以 ＯＢ ＯＦ＝ ＯＣ ＯＡ，所以 ＯＥ ＯＢ＝ ＯＢ ＯＦ，所以ＢＯ ２ ＝ＯＥ·ＯＦ． 二、等积替换 例 ２　 如 图 ３， 已 知 ＣＥ是 Ｒｔ△ＡＢＣ的斜边ＡＢ上的高，点Ｐ是ＣＥ 的延长线上任意一点，ＢＧ⊥ＡＰ．求证： ＣＥ２ ＝ＥＤ·ＥＰ． 证明：因为ＣＥ是Ｒｔ△ＡＢＣ的斜边 ＡＢ上的高，ＢＧ⊥ ＡＰ，所以 ∠Ｐ＋ ∠ＰＡＥ＝９０°，∠ＤＢＥ＋∠ＰＡＥ ＝９０°，所以 ∠Ｐ ＝ ∠ＤＢＥ． 又因为 ∠ＡＥＰ＝∠ＤＥＢ＝９０°，所以 △ＡＥＰ∽ △ＤＥＢ，所以ＡＥＤＥ＝ ＥＰ ＥＢ，即ＡＥ·ＥＢ＝ＤＥ·ＥＰ． 因为ＣＥ是Ｒｔ△ＡＢＣ斜边ＡＢ上的高，所以∠ＡＥＣ＝ ∠ＣＥＢ＝９０°． 因为∠ＡＣＥ＋∠ＥＣＢ＝９０°，∠ＣＡＥ＋∠ＡＣＥ＝９０°， 所以∠ＥＣＢ＝∠ＣＡＥ，所以△ＡＣＥ∽△ＣＢＥ，所以ＣＥＢＥ＝ ＡＥ ＣＥ，即ＣＥ ２ ＝ＡＥ·ＢＥ． 又因为ＡＥ·ＥＢ＝ＤＥ·ＥＰ，所以ＣＥ２ ＝ＤＥ·ＥＰ． ! 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" ( 书 （满分：１２０分） 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．如图１，在 △ＡＢＣ中，点 Ｄ 在ＡＢ上，点Ｅ在ＡＣ上，ＤＥ∥ＢＣ， 若ＡＥ＝４，ＥＣ＝２，则ＤＥＢＣ的值为 （　　） Ａ．２３ Ｂ． １ ２ Ｃ．１３ Ｄ． １ ４ ２．如图２，Ｄ是△ＡＢＣ边ＡＢ上一点，连接ＣＤ，则添 加下列条件后，仍不能判定△ＡＣＤ∽△ＡＢＣ的是 （　　） Ａ．∠ＡＣＤ＝∠Ｂ Ｂ．∠ＡＤＣ＝∠ＡＣＢ Ｃ．ＡＤＡＣ＝ ＣＤ ＢＣ Ｄ．ＡＣ ２ ＝ＡＤ·ＡＢ ３．如图３，在ＡＢＣＤ中，Ｅ是ＡＢ的中点，ＥＣ交ＢＤ 于点Ｆ，那么ＥＦ与ＣＦ的比是 （　　） Ａ．２∶１ Ｂ．１∶２ Ｃ．１∶３ Ｄ．３∶１ ４．下列各组图形必相似的是 （　　） Ａ．任意两个等腰三角形 Ｂ．有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两个 三角形 Ｃ．两边及其中一边上的中线对应成比例的两个三 角形 Ｄ．两边为４和５的直角三角形与两边为８和１０的直 角三角形 ５．在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，用直尺和圆规在边 ＡＢ上确定一点Ｄ，使△ＡＣＤ∽△ＣＢＤ，根据作图痕迹判 断，下列正确的是 （　　） ６．如图４，在平行四边形ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别在边 ＡＤ，ＢＣ上，且ＥＦ∥ＣＤ，Ｇ为边ＡＤ延长线上一点，连接 ＢＧ，则图中与△ＡＢＧ相似的三角形有 （　　） Ａ．３个 Ｂ．４个 Ｃ．５个 Ｄ．６个 ７．如图５，在三边都不相等的△ＡＢＣ的边ＡＢ上有一 点Ｄ，过点Ｄ画一条直线，与三角形的另一边相交所截得 的三角形与△ＡＢＣ相似，这样的直线最多可以画 （　　） Ａ．５条 Ｂ．４条 Ｃ．３条 Ｄ．２条 ８．如图６，在四边形 ＡＢＣＤ中， ∠Ａ＝∠Ｃ＝９０°，ＤＦ∥ＢＣ，∠ＡＢＣ 的平分线 ＢＥ交 ＤＦ于点 Ｇ，ＧＨ⊥ ＤＦ，点Ｅ恰好为ＤＨ的中点，若ＡＥ＝ ３，ＣＤ＝２，则ＧＨ的长为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．如图７，在△ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ分别在ＡＢ，ＡＣ边上， 要使 △ＡＢＣ∽ △ＡＥＤ，则需要添加的一个条件是 （写出一个即可）． １０．如图８，ＡＢ与ＣＤ相交于点Ｅ，点Ｆ在线段ＡＤ上， 且ＢＤ∥ＥＦ∥ＡＣ．若ＤＥ＝５，ＤＦ＝３，ＣＥ＝ＡＤ，则ＥＦＢＤ 的值为 ． １１．如图９所示，棋盘上有 Ａ，Ｂ，Ｃ三个黑子与 Ｐ，Ｑ 两个白子，要使△ＡＢＣ∽△ＲＰＱ，则第三个白子Ｒ应放 的位置是 （填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． １２．如图 １０，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，∠Ｃ＝ ６０°，ＢＣ＝２４，点Ｐ是ＢＣ边上的动点（点Ｐ与点Ｂ，Ｃ不 重合），过动点Ｐ作ＰＤ∥ＢＡ交ＡＣ于点Ｄ．若△ＡＢＣ与 △ＤＡＰ相似，则∠ＡＰＤ＝ ． １３．如图１１，已知矩形ＡＢＣＤ，ＡＤ＝３，ＡＢ＝１，将其 折叠，使点Ｄ与点Ｂ重合，折痕是ＥＦ，那么折痕ＥＦ的长 是 ． １４．如图１２，等边△ＡＢＣ的边长为６，点Ｄ在ＡＣ上且 ＤＣ＝２，点Ｅ在ＢＣ上，连接ＡＥ交ＢＤ于点Ｆ，且∠ＡＦＤ ＝６０°，若点Ｍ是射线ＢＣ上一点，当以Ｂ，Ｄ，Ｍ为顶点的 三角形与△ＡＢＦ相似时，ＢＭ的长为 ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１０分）如图１３，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°， ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｄ，Ｅ为ＢＣ上一点，连接ＡＥ，作ＥＦ⊥ ＡＥ交ＡＢ于Ｆ．求证：△ＡＧＣ∽△ＥＦＢ． １６．（１０分）如图１４，ＡＤ和ＢＥ都是△ＡＢＣ的高，相 交于Ｆ点，连接ＤＥ． （１）求证：△ＣＡＢ∽△ＣＤＥ； （２）若点Ｄ是ＢＣ的中点，ＣＥ＝６ｃ，ＢＥ＝８ｃ，求ＡＢ 的长． １７．（１０分）如图 １５，四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＣ平分 ∠ＤＡＢ，∠ＡＤＣ＝∠ＡＣＢ＝９０°，Ｅ为 ＡＢ的中点，连接 ＣＥ．求证： （１）ＡＣ２ ＝ＡＢ·ＡＤ； （２）△ＡＦＤ∽△ＣＦＥ． １８．（１０分）如图１６，点Ｂ，Ｄ，Ｅ在一条直线上，ＢＥ与 ＡＣ相交于点Ｆ，ＡＢＡＤ＝ ＢＣ ＤＥ＝ ＡＣ ＡＥ． （１）求证：∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ； （２）若∠ＢＡＤ＝２１°，求∠ＥＢＣ的度数； （３）连接ＥＣ，求证：△ＡＢＤ∽△ＡＣＥ． １９．（１２分）如图１７－①，点Ｅ，Ｆ在正方形ＡＢＣＤ的 对角线ＡＣ上，∠ＥＢＦ＝４５°． （１）当ＢＥ＝ＢＦ时，求证：ＡＥ＝ＣＦ； （２）求证：△ＡＢＦ∽△ＣＥＢ； （３）如图１７－②，延长ＢＦ交ＣＤ于点Ｇ，连接ＥＧ，判 断线段ＢＥ与ＥＧ的关系，并说明理由． ２０．（１２分）在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°，Ｐ 为ＢＣ上的动点，小慧拿含４５°角的透明三角板，使４５° 角的顶点落在点Ｐ处，三角板可绕Ｐ点旋转． （１）如图１８－①，当三角板的两边分别交ＡＢ，ＡＣ于 点Ｅ，Ｆ时，求证：△ＢＰＥ∽△ＣＦＰ； （２）将三角板绕点Ｐ旋转到图１８－②情形时，三角 板的直角顶点交ＢＡ的延长线于点Ｅ，斜边交ＡＣ于点Ｆ， 则△ＢＰＥ与△ＣＦＰ还相似吗（只需写出结论）？ （３）在（２）的条件下，连接 ＥＦ，则动点 Ｐ运动到什 么位置时，△ＢＰＥ与△ＰＦＥ相似？请说明理由                                                                                                                                                                 ． 书 ２２．２相似三角形的判定（第一课时） １．如图１，在△ＡＢＣ中，ＤＥ∥ＢＣ，ＧＦ∥ＡＣ，ＧＦ，ＤＥ 相交于Ｍ点，则图中与△ＡＢＣ相似的三角形共有 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．４个 Ｂ．３个 Ｃ．２个 Ｄ．１个 ２．如图２，ＡＤ∥ＥＦ∥ＢＣ，点Ｇ是ＥＦ的中点，ＥＦＢＣ＝ ３ ５，若ＥＦ＝６，则ＡＤ的长为 （　　） Ａ．６ Ｂ．１３２ Ｃ．７ Ｄ． １５ ２ ３．如图３，ＢＤ是△ＡＢＣ的中线，点Ｅ在线段ＢＣ上， 连接ＡＥ交ＢＤ于点Ｆ，过点Ｄ作ＤＧ∥ＢＣ，若ＢＦＤＦ＝ ４ ３， 则 ＢＥ ＢＣ＝ ． ４．如图４，ＡＤ是△ＡＢＣ的中线，Ｅ是ＡＤ上一点，且 ＡＤ＝４ＡＥ，连接ＢＥ并延长交ＡＣ于点Ｆ，过点Ａ作ＡＧ∥ ＢＣ交ＢＦ的延长线于点Ｇ，则ＧＦ∶ＢＥ＝ ． ５．如图５，ＡＢ∥ＧＨ∥ＣＤ，点Ｈ在ＢＣ上，ＡＣ与ＢＤ 交于点Ｇ，ＡＢ＝２，ＣＤ＝３，求ＧＨ的长． ２２．２相似三角形的判定（第二课时） １．如图１，在矩形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是ＣＤ，ＢＣ上的 点．若∠ＡＥＦ＝９０°，则一定有 （　　） Ａ．△ＡＥＦ∽△ＡＢＦ Ｂ．△ＡＢＦ∽△ＥＣＦ Ｃ．△ＡＤＥ∽△ＡＥＦ Ｄ．△ＡＤＥ∽△ＥＣＦ ２．如图２，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，Ｄ是ＡＢ边 的中点，ＡＦ⊥ＣＤ于点Ｅ，交ＢＣ边于点Ｆ，连接ＤＦ，则图 中与△ＡＣＥ相似的三角形共有 （　　） Ａ．２个 Ｂ．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个 ３．如图３，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝４０°，点 Ｄ是边ＡＣ上的动点（点Ｄ不与点Ａ，Ｃ重合），当∠ＢＤＣ ＝ 度时，△ＡＢＣ∽△ＢＤＣ． ４．如图４，在矩形ＡＢＣＤ中，Ｅ是边ＢＣ的中点，连接 ＡＥ，ＤＦ⊥ＡＥ于点Ｆ．若ＡＢ＝４，ＢＣ＝６，则ＥＦ的长为 ． ５．如图５，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＣＤ是斜边 ＡＢ上的高，ＤＥ⊥ＢＣ于点Ｅ．除Ｒｔ△ＡＢＣ 自身外，图中与 Ｒｔ△ＡＢＣ相似的三角形 的个数是 ． ６．如图６，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝２∠Ｃ． （１）在图中作出△ＡＢＣ的内角平分线ＡＤ（要求：尺 规作图，保留作图痕迹，不写证明）； （２）求证：△ＡＢＤ∽△ＣＢＡ． ２２．２相似三角形的判定（第三课时） １．如图１，下列条件不能判定△ＡＤＢ∽△ＡＢＣ的是 （　　） Ａ．∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＢ Ｂ．∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＣ Ｃ．ＡＢ２ ＝ＡＤ·ＡＣ Ｄ．ＡＢ·ＢＣ＝ＡＤ·ＤＢ ２．下列四个三角形中，与如图２中△ＡＢＣ相似的是 （　　） ３．如图３，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝８，ＢＣ＝１６，点Ｐ是ＡＢ 边的中点，点Ｑ是ＢＣ边上一个动点，当ＢＱ＝ 时，△ＢＰＱ与△ＢＡＣ相似． ４．如图４，在已建立直角坐标系的４×４的正方形方 格中，△ＡＢＣ是格点三角形（三角形的三个顶点是小正 方形的顶点），若以格点 Ｐ，Ａ，Ｂ为顶点的三角形与 △ＡＢＣ相似（全等除外），则格点Ｐ的坐标是 ． ５．如图５，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ是ＡＤ的中点，点Ｆ 在ＣＤ上，且ＣＦ＝３ＦＤ． （１）求证：△ＡＢＥ∽△ＤＥＦ； （２）△ＡＢＥ与△ＢＥＦ相似吗？为什么？ ２２．２相似三角形的判定（第四课时） １．已知△ＡＢＣ三边长分别是１，槡２，槡３，与△ＡＢＣ相 似的三角形三边长可能是 （　　） 槡Ａ．２，２，槡６ Ｂ．槡 ２ ２，１，槡３ Ｃ．１，槡６２，槡３ Ｄ． 槡３ ３，１，槡３ ２．如图１，在４×４的正方形网格中，是相似三角形 的是 （　　） Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．①和③ Ｄ．无法确定 ３．已知一个三角形的三边长分别为 ６ｃｍ，９ｃｍ， ７．５ｃｍ，另一个三角形的三边长分别为１２ｃｍ，１５ｃｍ， ｃｍ时，这两个三角形相似． ４．在如图２所示的格点图中有５个格点三角形，分别 是：①△ＡＢＣ，②△ＡＣＤ，③△ＡＤＥ，④△ＡＥＦ，⑤△ＡＧＨ，其 中与⑤相似的三角形是 （只填序号）． ５．如图３，在四边形ＡＢＣＤ中， ∠ＢＡＣ＝∠ＡＤＣ＝９０°，添加一个 条件 ，可以利用定理“斜 边和直角边对应成比例，两个直 角三角形相似”证明 Ｒｔ△ＤＣＡ∽ Ｒｔ△ＡＢＣ． ６．如图 ４，在平面直角坐标系中，已知 Ａ（３，０）， Ｂ（０，４），Ｃ（４，２），作ＣＤ⊥ｘ轴，垂足为点 Ｄ，连接 ＡＢ， ＢＣ，ＡＣ．求证：△ＡＢＣ∽△ 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ＡＣＤ． 书 ∠ＡＣＢ ＝ ∠ＨＤＢ， ∠ＢＣＦ＝∠ＢＤＦ＝９０°． 因 为 ∠ＡＣＥ ＝ ∠ＡＣＢ ＋ ∠ＥＣＢ ＝ ∠ＢＣＦ ＝ ∠ＢＣＥ ＋ ∠ＥＣＦ，∠ＥＣＦ ＝４５°， 所以 ∠ＡＣＢ ＝∠ＥＣＦ ＝４５°，所以ＢＣ＝槡２ｘ， 所以 ＢＤ＝ＢＣ＝槡２ｘ， 所以ＡＤ＝ＡＢ＋ＢＤ＝ （槡２＋１）ｘ，所以 ＥＦ＝ ＣＥ＝ＡＤ＝（槡２＋１）ｘ， 因为ＤＥ＝ＡＣ＝ＡＢ＝ ｘ，所以 ＤＦ＝ＤＥ＋ＥＦ ＝（槡２＋２）ｘ，所以 ＤＦ ＡＤ ＝（槡２＋２）ｘ （槡２＋１）ｘ ＝槡２＋２ 槡２＋１ ＝槡２． （２）相似．理由：由 （１）知：Ａ５纸长边为Ａ４ 纸短边，长为 （槡２ ＋ １）ｘ，Ａ５纸 短 边 长 为 （槡 ２＋２ ２ ）ｘ，所以在 Ａ５ 纸中，长边 ∶短边 ＝ （槡２＋１）ｘ （槡 ２＋２ ２ ）ｘ ＝槡２，所以 Ａ４纸与Ａ５纸相似． ２０．（１）过点 Ｄ作 ＤＥ∥ＰＭ交ＡＢ于Ｅ，因 为点Ｄ为ＢＣ中点，所以 点Ｅ是 ＡＢ中点，且ＡＭＡＥ ＝ＡＰＡＤ，所以 ＡＭ ＡＢ ＝ ＡＭ ２ＡＥ ＝ １３． （２）证明：延长 ＡＤ 至点Ｑ，使ＤＱ＝ＡＤ，连 接 ＢＱ，ＣＱ，则四边形 ＡＢＱＣ是平行四边形， 所以 ＰＭ∥ ＢＱ，ＰＮ∥ ＣＱ，所以ＡＭＡＢ＝ ＡＰ ＡＱ， ＡＮ ＡＣ ＝ＡＰＡＱ，所以 ＡＭ ＡＢ＝ ＡＮ ＡＣ． （３）证明：过点 Ｄ 作ＤＥ∥ＰＭ交ＡＢ于Ｅ， 所以 ＡＭ ＡＥ ＝ ＡＰ ＡＤ．又因为 ＰＭ∥ ＡＣ，所以 ＤＥ∥ ＡＣ，所以ＡＥＡＢ＝ ＣＤ ＢＣ，所以 ＡＭ ＡＢ＝ ＡＭ ＡＥ× ＡＥ ＡＢ＝ ＡＰ ＡＤ× ＣＤ ＢＣ．同理可得 ＡＮ ＡＣ＝ ＡＰ ＡＤ ×ＢＤＢＣ，所以 ＡＭ ＡＢ＋ ＡＮ ＡＣ＝ ＡＰ ＡＤ×（ ＣＤ ＢＣ＋ ＢＤ ＢＣ）＝ ＡＰ ＡＤ． 上期４版 重点集训营 １．４ｃｍ；　２．１６； ３．槡５３；　４．１３；　５．２６． ! !" #$ %& !""#$%&' ()*+,-./0 !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ 12345672*8 # / %&'( ! 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