第6期 22.1 比例线段（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（沪科版）

书 五、１９． （１）Ｐ（６， ６）． （２）这条抛物线的 函数 表 达 式 为 ｙ ＝ －１６ｘ ２＋２ｘ． （３）ＡＢ，ＡＤ，ＤＣ 的 长度之和的最大值为 １５米． ２０．（１）反比例函 数的表达式为 ｙ＝ ６ｘ， 一次函数的表达式为 ｙ ＝ １２ｘ＋２． （２）因为四边形 ＭＣＤＯ为平行四边形， Ｍ（０，２），所以ＣＤ＝ＯＭ ＝２．设点 Ｃ的坐标为 （ａ，１２ａ＋２），所以点Ｄ 的坐标为（ａ，１２ａ），所 以ａ·１２ａ＝６，解得ａ１ ＝ 槡２３，ａ２ ＝－ 槡２３（舍 去），所以点Ｃ的坐标为 （槡２３，槡３＋２）． 六、２１．（１）绳子对 应的抛物线的表达式为 ｙ＝－１６ｘ ２＋２３ｘ＋１． （２）身高１．７０ｍ的 小兵，不能站在绳子的 正下方，让绳子通过他 的头顶，理由：因为 ｙ ＝－１６ｘ ２＋２３ｘ＋１＝ －１６（ｘ－２） ２＋５３，所 以当ｘ＝２时，ｙ有最大 值为 ５ ３．因为 ５ ３≈１６７ ＜１．７０，所以绳子能碰 到小兵的头，小兵不能 站在绳子的正下方，让 绳子通过他的头顶． （３）当 ｙ＝１．６４ 时，即 －１６ｘ ２＋２３ｘ＋１ ＝１．６４，整理，得ｘ２－４ｘ ＋３．８４＝０，解得 ｘ１ ＝ ２．４，ｘ２ ＝１．６，所以ｓ的 取值范围为１．６＜ｓ＜ ２．４． 七、２２．（１）反比例 函数表达式为ｙ＝ 槡３３ｘ． 书 上期２版 重点集训营 题型一：１．Ｄ；　２．Ａ；　３．Ｄ． 题型二：４．Ｃ． ５．（１）由题易得，抛物线的顶点为（１０，６），设水流 形成的抛物线的表达式为ｙ＝ａ（ｘ－１０）２＋６，将点（０， １）代入可得 ａ＝－１２０，所以抛物线的表达式为 ｙ＝ －１２０（ｘ－１０） ２＋６，当ｘ＝１５时，ｙ＝－１２０×２５＋６＝ ４．７５＞４．２，所以能浇灌到小树后面的草坪． （２）喷射架应向后平移１米． （３）ｙ１－ｙ２的最大值为 ２１ ５． ６．（１）抛物线的表达式为ｙ＝ｘ２＋２ｘ－３． （２）令ｙ＝０，则ｘ２＋２ｘ－３＝０，解得ｘ＝－３或ｘ ＝１，所以抛物线Ｌ１与ｘ轴的交点为（－３，０）或（１，０）， 因为ｙ＝ｘ２＋２ｘ－３＝（ｘ＋１）２－４，所以抛物线Ｌ１的 顶点为（－１，－４），所以顶点关于ｘ轴的对称点为（－１， ４），设抛物线Ｌ２的表达式为ｙ＝ｎ（ｘ＋１） ２＋４，因为抛物 线Ｌ２经过点（－３，０）或（１，０），所以ｎ＝－１，所以抛物线 Ｌ２的表达式为ｙ＝－ｘ ２－２ｘ＋３． （３）因为点Ｍ是ｘ轴上方的抛物线Ｌ２上一动点，且 Ｍ的横坐标为ｍ，所以 －３＜ｍ＜１，Ｍ（ｍ，－ｍ２－２ｍ＋ ３），Ｎ（ｍ，０），所以ＭＮ＝－ｍ２－２ｍ＋３，ＯＮ＝｜ｍ｜，当 －３＜ｘ≤０时，Ｗ ＝ＭＮ－２ＯＮ＝－ｍ２－２ｍ＋３＋２ｍ ＝－ｍ２＋３，所以当ｍ＝０时，Ｗ有最大值３；当０≤ｘ＜ １时，Ｗ＝ＭＮ－２ＯＮ＝－ｍ２－２ｍ＋３－２ｍ＝－ｍ２－４ｍ ＋３＝－（ｍ＋２）２＋７，所以当ｍ＝０时，Ｗ有最大值３． 综上所述，Ｗ的最大值为３． 上期３，４版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ｃ Ｄ Ｂ Ａ Ｃ Ｃ Ａ Ｃ Ｃ 二、１１．ｍ＜３；　１２．２２０；　１３．槡２３；　１４． ２７ ８． 三、１５．新抛物线不经过点Ｐ（１，－５）．理由略． １６．（１）ｍ＝３，ａ＝６，点Ｂ的坐标为（－３，－２）． （２）设点Ｐ的坐标为（ｐ，０），在ｙ＝ｘ＋１中，令ｙ＝ ０，得ｘ＝－１，所以点Ｄ的坐标为（－１，０），Ｓ△ＰＡＢ ＝Ｓ△ＰＡＤ ＋Ｓ△ＰＢＤ ＝ １ ２×｜ｐ＋１｜×３＋ １ ２×｜ｐ＋１｜×２＝５，所 以｜ｐ＋１｜＝２，所以ｐ＝１或 －３，所以点 Ｐ的坐标为 （－３，０）或（１，０）． 四、１７．（１）证明：因为Δ＝（－２ａ）２－４（ａ２－３）＝１２ ＞０，所以不论ａ为何值，函数的图象与ｘ轴有两个公共点． （２）因为ｙ＝ｘ２－２ａｘ＋ａ２－３＝（ｘ－ａ）２－３，所 以顶点是（ａ，－３），所以把函数的图象沿 ｙ轴向上平移 ３个单位长度后，得到的函数的图象与ｘ轴只有一个公 共点，若公共点在ｘ轴负半轴，则ａ的取值范围为ａ＜０． １８．（１）依题意，设 ＯＡ的表达式为 ｙ＝ｋ１ｘ，将点 （ １ ３，２０）代入解得ｋ１＝６０，所以ｙ＝６０ｘ，当ｘ＝ ３ ２时， ｙ＝９０，即Ａ（３２，９０），所以Ｂ（３，９０），设双曲线ＢＣ段的 表达式为ｙ＝ ｋ２ ｘ，将点Ｂ（３，９０）代入解得ｋ２＝２７０，所以 双曲线ＢＣ段的表达式为ｙ＝２７０ｘ（ｘ≥３）． （２）不能．理由：在ｙ＝２７０ｘ中，当ｙ＝２０时，ｘ＝１３．５， 从晚上２０：００到第二天早上９：００时间间距为１３小时，因 为１３＜１３．５，所以第二天早上９：００不能驾车出行． 书 【提示】 １．过点Ｆ作ＢＣ的垂线交ＢＣ于点Ｈ，根据平行线 分线段成比例定理可得ＢＨ＝ＨＣ，再根据勾股定理 得ＢＣ，比例关系得ＡＥ，再通过直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半解题即可． ２．连接ＡＣ交ＢＤ于点Ｏ，连接ＣＦ，ＤＦ，ＮＦ，过点 Ｃ作ＮＦ的垂线，交ＮＦ于点Ｈ，先根据折叠的性质以 及菱形的性质，得出△ＡＯＮ为等腰直角三角形，推出 四边形ＣＨＮＭ为正方形，进而得到△ＤＦＮ为等腰直 角三角形，ＦＮ＝２ＯＮ＝２ＯＡ，根据ＡＯ ＦＮ＝ＯＭ ＭＮ＝１ ２ ， 从而求出ＡＮ的长度． 书 重点集训营 １．如图１，在菱形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ与ＢＤ相交 于点Ｏ，ＯＥ∥ＤＣ交ＢＣ于点Ｅ．若ＡＤ＝８ｃｍ，则ＯＥ的 长为 ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ２．如图２，ＡＤ是△ＡＢＣ的中线，Ｅ是ＡＤ上一点，ＡＥ ＝ １４ＡＤ，ＢＥ的延长线交 ＡＣ于 Ｆ，则 ＡＦ ＦＣ的值为 ． ３．如图３，正方形ＡＢＣＤ的边长为６，Ｅ为 ＣＤ边中 点，Ｇ为ＢＣ边上一点，连接 ＡＥ，ＤＧ，相交于点 Ｆ．若ＤＦＦＧ ＝ ４５，则ＦＥ的长度是 ． ４．如图４，在△ＡＢＣ中，Ｅ是ＢＣ中点，ＡＤ是∠ＢＡＣ 的平分线，ＥＦ∥ＡＤ交ＡＣ于点Ｆ．若ＡＢ＝１１，ＡＣ＝１５， 则ＦＣ的长为 ． ５．如图５，以△ＥＢＣ的边ＢＣ为边 作正方形ＡＢＣＤ，ＡＤ与ＢＥ，ＣＥ分别交 于点Ｆ，Ｇ，若ＢＦ＝ＥＦ，ＡＦ＝１，ＢＣ＝ １２，则ＣＥ的长为 ． 书 １．如图１，在矩形ＡＢＣＤ中，点Ｅ在ＡＢ上，且ＢＥ＝ ２ＡＥ，连接ＥＤ，点Ｆ为ＥＤ的中点，连接 ＡＦ，ＢＦ，ＦＣ，若 ∠ＢＦＣ＝９０°，ＢＦ＝５，则ＡＦ的长为 ． ２．如图２，四边形ＡＢＣＤ是菱形，点Ｅ是ＣＤ的中点， 连接ＡＥ，将△ＡＤＥ沿ＡＥ折叠得△ＡＦＥ，连接ＢＤ，分别 交ＡＦ于点Ｍ，交ＡＥ于点Ｎ．若ＡＦ⊥ＣＤ于点Ｇ，ＭＮ＝ 槡２，则ＡＮ的长度为 ． ! ! ! " # $ % & 书 平行线分线段成比例的基本事实及其推论是研究 相似形时最基本的理论，学习的关键是找准图形中的对 应线段．下面从两个方面说明，供同学们学习时参考． 一、“口诀”帮你找对应线段 １．基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的 对应线段成比例． ２．如图１，当ｌ１∥ｌ２∥ｌ３时，都可得到 ＡＢ ＢＣ ＝ＤＥＥＦ．由比例的性质，还可得到 ＢＣ ＡＢ＝ ＥＦ ＤＥ， ＡＢ ＡＣ＝ ＤＥ ＤＦ， ＡＣ ＡＢ＝ ＤＦ ＤＥ， ＢＣ ＡＣ＝ ＥＦ ＤＦ， ＡＣ ＢＣ＝ ＤＦ ＥＦ． 为了便于记忆，上述６个比例可使用一些简单的形 象化的语言来表示： 上 下 ＝上 下 ， 下 上 ＝下 上 ， 上 全 ＝上 全 ， 全 上 ＝ 全 上 ， 下 全 ＝下 全 ， 全 下 ＝全 下 ．另外，根据比例的性质，还可得 到 ＡＢ ＤＥ＝ ＢＣ ＥＦ＝ ＡＣ ＤＦ，即满足“ 左 右 ＝左 右 ”． 例１　 一个三层折叠花架如图２所 示，已知ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ，ＡＣ＝３０ｃｍ，ＣＥ ＝５０ｃｍ，ＢＤ ＝４５ｃｍ，则 ＢＦ的长为 ｃｍ． 解析：因为ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ，所以ＡＣＡＥ＝ ＢＤ ＢＦ，又因为ＡＣ＝３０ｃｍ，ＣＥ＝５０ｃｍ，ＢＤ ＝４５ｃｍ，所以 ３０３０＋５０＝ ４５ ＢＦ，所以ＢＦ＝１２０（ｃｍ）．故填 １２０． 二、基本图形帮你学推论 １．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或 两边延长线），所得的对应线段成比例． ２．已知△ＡＢＣ，ＤＥ是截线，上述推论包含了如图３ 所示的三种情况，可以简单称为“Ａ”型和“Ｘ”型，上面 的口诀同样适用于这些基本图形． 例２　如图４，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝ ∠Ｃ＝６０°，点Ｄ为ＡＢ边的中点，ＤＥ⊥ ＢＣ于 Ｅ，若 ＢＥ＝ １２，则 ＡＣ的长为 ． 解析：作ＡＦ⊥ＢＣ于点Ｆ，因为ＤＥ ⊥ＢＣ于点Ｅ，所以ＡＦ∥ＤＥ，所以ＢＤＡＤ＝ ＢＥ ＥＦ，因为点Ｄ为 ＡＢ边的中点，所以ＢＤＡＤ＝ ＢＥ ＥＦ＝１，所以ＢＥ＝ＥＦ＝ １ ２， 因为∠Ｂ＝∠Ｃ＝６０°，所以△ＡＢＣ为等边三角形，所以 ＢＦ＝ＣＦ＝１，所以ＡＣ＝ＢＣ＝２．故填２． 书 绝招一、运用比例的性质 对已知的等式，利用比例的性质进行变形，进而求 出所求式子的值． 例１　若 ａｂ ＝ １ ２，则 ａ ａ＋ｂ的值为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１３ Ｂ． ２ ３ Ｃ．２ Ｄ．３ 解法一：因为 ａ ｂ ＝ １ ２，所以ａ＝ １ ２ｂ，所以 ａ ａ＋ｂ＝ １ ２ｂ １ ２ｂ＋ｂ ＝ １ ２ｂ ３ ２ｂ ＝ １３．故选Ａ． 解法二：因为 ａ ｂ＝ １ ２，所以 ｂ ａ＝２，所以 ｂ ａ＋１＝２ ＋１＝３，所以ａ＋ｂａ ＝３，所以 ａ ａ＋ｂ＝ １ ３．故选Ａ． 绝招二、等比设值法 对于有等比条件求比值的题目，可设比值为ｋ，用含ｋ 的式子来表示未知数，然后将其代入所求式中求值即可． 例２　已知 ａ３ ＝ ｂ ５，则 ３ａ ａ＋２ｂ的值为 ． 解：设 ａ ３＝ ｂ ５＝ｋ，则ａ＝３ｋ，ｂ＝５ｋ，所以 ３ａ ａ＋２ｂ＝ ３×３ｋ ３ｋ＋２×５ｋ＝ ９ｋ １３ｋ＝ ９ １３．故填 ９ １３． 绝招三、代入消元法 在求一个比例式的值时，可根据已知等式，用其中 一个字母表示其他字母，并代人所求的比例式中，约去 这个字母，即可求出其值． 例３　若 ｘ∶ｙ∶ｚ＝１∶２∶３，则２ｘ＋ｚｙ－ｚ的值是 ． 解：因为ｘ∶ｙ＝１∶２，所以ｙ＝２ｘ，因为ｘ∶ｚ＝１∶ ３，所以ｚ＝３ｘ， 所以 ２ｘ＋ｚ ｙ－ｚ＝ ２ｘ＋３ｘ ２ｘ－３ｘ＝－５．故填 －５． 绝招四、特殊值法 例４　若 ａ３ ＝ ｂ ４ ＝ ｃ ５，则 ａ－ｂ ｃ ＝ ． 解：取ａ＝３，ｂ＝４，ｃ＝５，易知 ａ，ｂ，ｃ满足已知条 件，所以原式 ＝３－４５ ＝－ １ ５．故填 － １ ５． 书 特殊矩形一：对折后与原矩形相似 例１　如图１，一般书本的纸 张是原纸张多次对开得到的，矩 形ＡＢＣＤ沿ＥＦ对开后，再把矩形 ＥＦＣＤ沿ＭＮ对开，依此类推，若 各种开本的矩形都相似，那么 ＡＤ ＡＢ 等于 （　　） Ａ．０．６１８　　　Ｂ．槡２２ 槡　　　Ｃ．２　　　Ｄ．２ 解析：设ＡＢ＝ａ，ＡＤ＝ｂ， 根据折叠的性质可得ＡＥ＝ ｂ２． 因为矩形ＡＥＦＢ∽矩形ＡＢＣＤ，所以ＡＥＡＢ＝ ＡＢ ＡＤ． 所以 ｂ ２ ａ ＝ ａ ｂ，即 １ ２ｂ ２ ＝ａ２． 所以 ｂ２ ａ２ ＝ ２１． 所以 ｂ ａ ＝ 槡２ １，即 ＡＤ ＡＢ＝ 槡２ １． 故选Ｃ． 特殊矩形二：截去一个矩形后与原矩形相似 例２　如图２，在矩形ＡＢＣＤ 中，点 Ｅ，Ｆ分别在边 ＢＣ，ＡＤ上， 沿ＦＥ截去矩形ＡＢＥＦ后，得到的 矩形 ＥＣＤＦ与原矩形 ＡＢＣＤ相 似，且矩形 ＡＢＣＤ的面积是矩形 ＥＣＤＦ面积的３倍，ＡＢ＝４，求矩 形ＡＢＣＤ的面积． 解析：因为ＡＢ＝４，所以ＣＤ＝ＡＢ＝４． 因为Ｓ矩形ＡＢＣＤ ＝３Ｓ矩形ＥＣＤＦ， 所以ＡＦ＝２ＤＦ， 所以ＡＤ＝３ＤＦ． 因为矩形ＡＢＣＤ∽矩形ＤＦＥＣ， 所以 ＡＢ ＤＦ＝ ＡＤ ＣＤ，即 ４ ＤＦ＝ ＡＤ ４， 所以３ＤＦ２ ＝１６， 解得ＤＦ＝ 槡４３３， 所以ＡＤ＝３× 槡４３３ ＝ 槡４３， 所以Ｓ矩形ＡＢＣＤ ＝ＡＢ·ＡＤ＝４× 槡４３＝ 槡１６３． 书 各角对应相等，各边对应 成比例的两个多边形叫做相似 多边形，相似多边形对应边的 比叫做相似比．由定义可知，两 个多边形相似需同时满足：① 对应角相等；②对应边成比例． 利用它可求相似多边形的边或 角，下面举例说明． 例 １　 如图 １，四边形 ＡＢＣＤ∽ 四边形 ＧＦＥＨ，且 ∠Ａ ＝∠Ｇ＝７０°，∠Ｂ＝６０°，∠Ｅ ＝１２０°，ＤＣ＝２４，ＨＥ＝１８，ＨＧ ＝２１．求∠Ｄ，∠Ｆ的大小和ＡＤ 的长． 解：因为四边形 ＡＢＣＤ∽ 四边形 ＧＦＥＨ，∠Ｂ＝ ６０°，∠Ｅ＝１２０°，所以∠Ｃ＝∠Ｅ＝１２０°，∠Ｆ＝∠Ｂ＝ ６０°，因为∠Ａ＝∠Ｇ＝７０°，所以∠Ｄ＝１１０°，因为四边 形ＡＢＣＤ∽四边形 ＧＦＥＨ，所以ＤＣＨＥ＝ ＡＤ ＨＧ，所以 ２４ １８＝ ＡＤ ２１，解得ＡＤ＝２８．所以∠Ｄ＝１１０°，∠Ｆ＝６０°，ＡＤ＝ ２８． 例２　如图２，在四边形ＡＢＣＤ 的边ＡＢ上任取一点Ｏ（不与点Ａ，Ｂ 重合），连接 ＯＣ，ＯＤ，分别取 ＯＡ， ＯＢ，ＯＣ，ＯＤ的中点 Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，Ｄ′， 连 接 Ａ′Ｄ′，Ｄ′Ｃ′，Ｃ′Ｂ′， 四 边 形 Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′与四边形 ＡＢＣＤ相似吗？ 为什么？ 解：四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′∽ 四边形 ＡＢＣＤ，理由：因为 Ａ′，Ｄ′是 ＯＡ，ＯＤ的中点，所以 Ａ′Ｄ′∥ ＡＤ，Ａ′Ｄ′＝ １ ２ＡＤ，所以 Ａ′Ｄ′ ＡＤ ＝ １ ２，同理 Ｃ′Ｄ′ ＣＤ ＝ Ｂ′Ｃ′ ＢＣ ＝ Ａ′Ｂ′ ＡＢ ＝ １ ２， 所以 Ｃ′Ｄ′ ＣＤ ＝ Ｂ′Ｃ′ ＢＣ ＝ Ａ′Ｂ′ ＡＢ ＝ Ａ′Ｄ′ ＡＤ ＝ １ ２，因为 Ａ′Ｄ′∥ ＡＤ，所以 ∠ＯＡ′Ｄ′＝∠ＯＡＤ，∠ＯＤ′Ａ′＝∠ＯＤＡ，同理 ∠ＯＤ′Ｃ′＝ ∠ＯＤＣ，∠ＯＣ′Ｄ′＝ ∠ＯＣＤ，∠ＯＣ′Ｂ′＝ ∠ＯＣＢ，∠ＯＢ′Ｃ′＝∠ＯＢＣ，所以 ∠Ａ′Ｄ′Ｃ′＝∠ＡＤＣ， ∠Ｄ′Ｃ′Ｂ′＝∠ＤＣＢ，所以四边形 Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′∽ 四边形 ＡＢＣＤ． 例３　 如图 ３，把一个矩形 ＡＢＣＤ划分成三个全等的小矩形． （１）若原矩形ＡＢＣＤ的长ＡＢ ＝６，宽ＢＣ＝４．问：每个小矩形与 原矩形相似吗？请说明理由． （２）若原矩形的长 ＡＢ＝ａ， 宽ＢＣ＝ｂ，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长ａ与 宽ｂ应满足的关系式． 解：（１）不相似．理由：因为原矩形 ＡＢＣＤ的长 ＡＢ ＝６，宽ＢＣ＝４，所以划分后小矩形的长为ＡＤ＝４，宽 为ＡＥ＝２，因为ＡＢＢＣ＝ ６ ４≠ ４ ２ ＝ ＡＤ ＡＥ，即原矩形与每个 小矩形的边不成比例，所以每个小矩形与原矩形不相 似． （２）因为原矩形的长ＡＢ＝ａ，宽ＢＣ＝ｂ，所以划分后 小矩形的长为ＡＤ＝ｂ，宽为ＡＥ＝ ａ３，又因为每个小矩形 与原矩形相似，所以 ＡＢ ＢＣ＝ ＡＤ ＡＥ，所以 ａ ｂ＝ ｂ ａ ３ ，即ａ２＝３ｂ２． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! # % ' $ & ( " ! 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CDZ[\U]^ CDZ\_`Xabc/d CDZ\efg1hijk]l Tmnopqrs otuvwx yz{|}~rs€u)*%"+(,(,-;.R ) *+ vwx , ) *+ K‚ , # - .+ #ƒx , ) *+ „ … , ) *+ † ‡ -./01+ # ˆ 23/01+ #‰Š -4506+ ‹ Œ -4578+ Ž K‘ ’ “ ”•– — ˜ ™šL ›œ —‰ ž Ž Ÿ – ¡¢w ’£¤ ¥£¦ w§ ¨‡P ©ª“ « L ¬­® K¯° 91-.+ ±² 91:;+ ³ ´ <=-.+  µ >?-.+ ¶ · @ABC+ ¸¹º #67»¼»s / #½¥»rO #pqÁÂÃu(&'%+'$,%$'0 #6nÄÅuCDÆÇÈɕÊËÌÍÎ %&$ €TmnoSPTUpqÁ #ÏÐpÑu(&(((0 #ÉÒÁÓnÔÕu(&'%#'$,%%$' (&'%#'$,%$&,;bÖR #Ó×uØÙ6nÉÒÁÅÚÛÜyÝÞÏß;àR #ÏÐÓ×ÔÕu%%%#' #áâãäÓåæÓçèÓ #6néÜyÝÆ;ÉRê_ëìín #îïg1ðáñ€u%"(((("(((%%( #îïÁÂÃu(&'%#'$,%$'' #6nòó"Hôbcõöhijk;÷øÉùúËûüýþÿXa! %% €R"õN#hõ$%&'9NØÙ67ÉÒÁÅÚ() ;@M %N" sPQR ;*+ " s<=>?R ! " # $ & % ! " 书 （满分：１２０分） 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．在比例尺为１∶３６０００的某市旅游地图上，某条道 路的长为５ｃｍ，则这条道路的实际长度为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．０．１８ｋｍ Ｂ．１．８ｋｍ Ｃ．１８ｋｍ Ｄ．１８０ｋｍ ２．黄金矩形的宽、长之比为槡５－１２ ，若一个黄金矩 形的长为８，则宽ｍ的值最接近的是 （　　） Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７ ３．如图１，某位同学用带有 刻度的直尺在数轴上作图，若 ＰＱ∥ＭＮ，点Ｑ，点Ｍ在直尺上， 且分别与直尺上的刻度１和３对 齐，在数轴上点 Ｎ表示的数是 １０，则点Ｐ表示的数是 （　　） Ａ．５２ Ｂ．３ Ｃ． １０ ３ Ｄ．５ ４．如果ｘ∶ｙ＝１∶２，那么下列各式中不成立的是 （　　） Ａ．ｘ＋ｙｘ ＝ ３ １ Ｂ． ｙ－ｘ ｙ ＝ １ ２ Ｃ．ｙｘ ＝ ２ １ Ｄ． ｘ＋１ ｙ＋１＝ ２ ３ ５．已知成比例的四条线段的长度分别为 ６ｃｍ， １２ｃｍ，ｘｃｍ，８ｃｍ，且 △ＡＢＣ的三边长分别为 ｘｃｍ， ３ｃｍ，５ｃｍ，则△ＡＢＣ是 （　　） Ａ．等边三角形 Ｂ．等腰直角三角形 Ｃ．直角三角形 Ｄ．无法判定 ６．如图２，Ｄ是△ＡＢＣ的边ＡＢ的中点，过点Ｄ作ＢＣ 的平行线交ＡＣ于点Ｅ，连接ＢＥ，过点Ｄ作ＢＥ的平行线 交ＡＣ于点Ｆ，若ＥＦ＝１，则ＡＣ的长为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ７．如图３，矩形ＥＦＧＨ的四个顶点分别在菱形ＡＢＣＤ 的四条边上，ＢＥ＝ＢＦ．将△ＡＥＨ，△ＣＦＧ分别沿边ＥＨ， ＦＧ折叠，当重叠部分与菱形ＡＢＣＤ相似且相似比为１∶４ 时，则 ＥＢ ＡＥ的值为 （　　） Ａ．５３ Ｂ． ３ ５ Ｃ． １ ４ Ｄ．４ ８．如图４，已知正方形ＡＢＣＤ 的边长为ａ，延长 ＢＣ到点 Ｅ，使 ＣＥ＝ＢＣ，取ＣＤ的中点 Ｆ，连接 ＤＥ，ＢＦ，ＤＥ与ＢＦ的延长线相交 于点Ｇ，则ＢＧ的长为 （　　） Ａ．槡５３ａ Ｂ． 槡２５ ３ａ Ｃ．槡６３ａ Ｄ． 槡２６ ３ａ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．已知５ｘ＝７ｙ（ｘｙ≠０），则 ｘｙ ＝ ． １０．五线谱是一种记谱法，通过在 五根等距离的平行横线上标以不同时 值的音符及其他记号来记载音乐．如 图５，Ａ，Ｂ，Ｃ为直线与五线谱横线相交 的三个点，若 ＡＣ＝１２，则 ＡＢ的长为 ． １１．已知两个相似多边形的相似比为３∶４，且它们 的周长之差是６，则较小的多边形的周长是 ． １２．已知 ２ａｂ＋ｃ＋ｄ ＝ ２ｂ ａ＋ｃ＋ｄ ＝ ２ｃ ａ＋ｂ＋ｄ ＝ ２ｄ ａ＋ｂ＋ｃ＝ｋ，则ｋ＝ ． １３．如图６所示，在长为１０，宽为８的矩形中，截去一 个矩形（图中阴影部分），若矩形ＡＢＣＤ∽矩形ＦＣＤＥ，那 么截去矩形的面积是 ． １４．如图７是一张矩形纸片ＡＢＣＤ，点Ｅ为ＡＤ中点， 点Ｆ在ＢＣ上，把该纸片沿ＥＦ折叠，点Ａ，Ｂ的对应点分 别为Ａ′，Ｂ′，Ａ′Ｅ与ＢＣ相交于点Ｇ，Ｂ′Ａ′的延长线过点Ｃ． 若 ＢＦ ＧＣ＝ ２ ３，则 ＡＤ ＡＢ的值为 ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１０分）如图８，点Ｅ是菱形ＡＢＣＤ对角线ＣＡ的 延长线上任意一点，以线段 ＡＥ为边作一个菱形 ＡＥＦＧ， 且菱形ＡＥＦＧ∽ 菱形 ＡＢＣＤ，连接 ＥＢ，ＧＤ，求证：ＧＤ＝ ＥＢ． １６．（１０分）已知线段ａ，ｂ，ｃ满足ａ∶ｂ∶ｃ＝１∶３∶５， 且ａ－ｂ＋ｃ＝６． （１）求线段ａ，ｂ，ｃ的长； （２）若线段ｍ是线段ａ，ｂ的比例中项，求线段ｍ的 长． １７．（１０分）如图９，在四边形ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别 在边ＡＢ，ＣＤ上，连接ＥＣ，ＥＦ，ＥＣ平分∠ＦＥＢ，ＥＦ∥ＢＣ． （１）求证：ＥＢ＝ＢＣ； （２）若ＡＤ∥ＥＦ，ＤＦ＝ＦＣ，请判断ＡＥ与ＢＣ的大小 关系，并说明理由． １８．（１０分）如图１０，ＡＤ是△ＡＢＣ的中线． （１）若Ｅ为ＡＤ的中点，射线ＣＥ交ＡＢ于点Ｆ，求ＡＦＢＦ； （２）若Ｅ为ＡＤ上一点，且ＡＥＥＤ＝ １ ｋ，射线ＣＥ交ＡＢ 于点Ｆ，求ＡＦＢＦ． １９．（１２分）如图１１－①，将Ａ４纸进行２次折叠后， 第一次的折痕与 Ａ４纸较长的边重合，如图１１－②，将 １张Ａ４纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开， 可得２张Ａ５纸． （１）求Ａ４纸较长边与较短边的比； （２）Ａ４纸与Ａ５纸是否为相似图形？请说明理由． ２０．（１２分）如图１２，在 △ＡＢＣ中，点 Ｄ为 ＢＣ上一 点，点Ｐ在ＡＤ上，过点Ｐ作ＰＭ∥ＡＣ交ＡＢ于点Ｍ，作ＰＮ ∥ＡＢ交ＡＣ于点Ｎ． （１）若点Ｄ是ＢＣ的中点，且ＡＰ∶ＰＤ＝２∶１，求ＡＭ∶ ＡＢ的值； （２）若点Ｄ是ＢＣ的中点，试证明ＡＭＡＢ＝ ＡＮ ＡＣ； （３）若点Ｄ是ＢＣ上任意一点，试证明ＡＭＡＢ＋ ＡＮ ＡＣ＝ ＡＰ ＡＤ                                                                                                                                                                 ． 书 ２２．１．１相似多边形 １．下列多边形一定相似的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．两个等腰三角形 Ｂ．两个平行四边形 Ｃ．两个正五边形 Ｄ．两个六边形 ２．如图１，四边形ＡＢＣＤ和ＥＦＧＨ相似，则α和ｘ的 大小分别为 （　　） Ａ．７５°，３０ Ｂ．７５°，３３ Ｃ．８０°，３０ Ｄ．８０°，３３ ３．如图２，将一张ＡＢＣＤ（ＡＤ＜ＡＢ＜２ＡＤ）纸片， 以它的一边为边长剪去一个菱形ＡＤＥＨ，在余下的平行 四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形 ＦＥＣＧ， 若剪去两个菱形后所剩下的 ＦＨＢＧ∽ ＡＢＣＤ，则 ＡＢＣＤ的相邻两边ＡＤ与ＡＢ的比值是 ． ４．秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所 以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花．” 如图 ３是两片形状相同的枫叶图案，则 ｘ的值为 ． ５．如图４，矩形相框的外框矩形的长为１２ｄｍ，宽为 ８ｄｍ，上下边框的宽度都为ｘｄｍ，左右边框的宽度都为 ｙｄｍ；若内边框矩形和外边框矩形相似，则 ｘ，ｙ应符合 的条件是 ． ６．如图５，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１２，ＢＣ＝１６，Ｅ，Ｆ 分别是ＡＢ，ＣＤ上的点，且ＡＥ＝ＤＦ＝８，两动点Ｍ，Ｎ都 以２ｃｍ／ｓ的速度分别从Ｃ，Ｆ两点沿ＣＢ，ＦＥ向Ｂ，Ｅ两点 运动，判断当Ｍ，Ｎ运动多长时间能使矩形 ＣＦＮＭ与矩 形ＡＥＦＤ相似，并证明你的结论． ２２．１．２成比例线段 １．已知ａ，ｄ，ｂ，ｃ依次成比例线段，其中ａ＝３ｃｍ，ｂ ＝４ｃｍ，ｃ＝６ｃｍ，则ｄ的值为 （　　） Ａ．８ｃｍ Ｂ．１９２ｃｍ Ｃ．４ｃｍ Ｄ．９２ｃｍ ２．若线段ｂ是 ａ，ｃ的比例中项，且 ａ＝４ｃｍ，ｃ＝ ９ｃｍ，则线段ｂ＝ （　　） Ａ．４ｃｍ Ｂ．６ｃｍ Ｃ．８ｃｍ Ｄ．３６ｃｍ ３．在比例尺为１∶１０００００的地图上，Ａ，Ｂ两地的距 离为２ｃｍ，那么Ａ，Ｂ两地的实际距离为 ｋｍ． ４．线段ＡＢ长为４ｃｍ，点Ｐ在线段ＡＢ上，且满足ＢＰＡＰ ＝ＡＰＡＢ，那么ＡＰ的长为 ｃｍ． ５．已知三条线段的长度分别是３，６，５，试写出另一 条线段的长度： ，使这四条线段成比例线段． ６．点Ｃ，点Ｄ是线段ＡＢ上任意两点． （１）如图１，若点Ｄ是线段ＢＣ的中点，ＡＤ＝１８，ＡＣ ＝６，求线段ＢＤ的长； （２）如图２，若点Ｃ把线段ＡＢ分为２∶３的两段（ＡＣ ＜ＢＣ），点Ｄ分线段ＡＢ为１∶５的两段（ＡＤ＜ＢＤ），ＤＣ ＝７，求线段ＡＢ的长． ２２．１．３比例的性质 １．已知３ａ＝４ｂ（ａ≠０，ｂ≠０），下列变形正确的是 （　　） Ａ．ａｂ ＝ ３ ４ Ｂ． ａ ３ ＝ ｂ ４ Ｃ．ｂａ ＝ ４ ３ Ｄ． ａ ４ ＝ ｂ ３ ２．在设计人体雕像时，为了增加视觉美 感，会使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部 以下）的高度比等于下部与全部的高度比等 于槡 ５－１ ２ （ 槡５－１ ２ ≈０．６１８，称为黄金分割比 例），按此比例设计一座如图１的高度为２ｍ 的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是 （　　） Ａ．（槡５－１）ｍ Ｂ．（ 槡３－ ５）ｍ Ｃ．（槡３－１）ｍ Ｄ．（ 槡３－ ３）ｍ ３．古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是 汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上有 一根弦ＡＢ＝９０ｃｍ，支撑点Ｃ是靠近点Ａ的一个黄金分 割点，则ＢＣ＝ ｃｍ（结果保留根号）． ４．已知２ｂ＋ｃａ ＝ ２ｃ＋ａ ｂ ＝ ２ａ＋ｂ ｃ ＝ｍ，且ａ＋ｂ＋ｃ ≠０，则ｍ＝ ． ５．已知ａ，ｂ，ｃ三条线段满足 ａｂ＝ ｃ ｄ ＝ ｅ ｆ＝２，若 ｂ＋ｄ＋ｆ＝３，则ａ＋ｃ＋ｅ的值为 ． ６．如图２，在△ＡＢＣ中，Ｄ是ＢＣ上一点，若 Ｓ△ＡＢＤ Ｓ△ＡＢＣ ＝ Ｓ△ＡＣＤ Ｓ△ＡＢＤ ，则称ＡＤ为△ＡＢＣ的黄金分割线． （１）求证：若ＡＤ为△ＡＢＣ的黄金分割线，则Ｄ是 ＢＣ的黄金分割点； （２）若Ｓ△ＡＢＣ ＝２０，求 △ＡＣＤ的面积（结果保留根 号）． ２２．１．４平行线分线段成比例 １．如图１，ｌ１∥ｌ２∥ｌ３，两条直线与这三条平行线分 别交于点Ａ，Ｂ，Ｃ和Ｄ，Ｅ，Ｆ，已知ＡＢＢＣ＝ ３ ２，若ＤＦ＝１０， 则ＤＥ的长为 （　　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．５ Ｄ．６ ２．如图２，ＤＥ∥ＦＧ∥ＢＣ，若ＥＧ＝３ＣＧ，则ＢＤ与 ＢＦ之间的数量关系是 （　　） Ａ．ＢＤ＝３ＢＦ Ｂ．ＢＤ＝４ＢＦ Ｃ．ＢＤ＝ ５２ＢＦ Ｄ．ＢＤ＝２ＢＦ ３．在△ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ分别在边ＢＡ，ＣＡ的延长线 上，若ＡＤ∶ＡＢ＝１∶２，ＡＣ＝４，那么当ＡＥ＝ 时，ＤＥ∥ＢＣ． ４．如图３，练习本中的横格线都平行，且相邻两条 横格线间的距离都相等，若 ＡＢ＝２ｃｍ，则线段 ＢＣ＝ ｃｍ． ５．作业本中有一道题：“如图４，在 △ＡＢＣ中，点 Ｄ 为 ＡＣ的中点，点Ｅ在ＢＣ上，且ＢＥ＝３ＣＥ，ＡＥ，ＢＤ交于 点Ｆ，求ＡＦ∶ＥＦ的值”，小明解决时碰到了困难，哥哥提 示他过点Ｅ作ＥＧ∥ＢＤ，交ＡＣ于点Ｇ．最后小明求解正 确，则ＡＦ∶ＥＦ的值为 ． ６．如图５，已知ＡＤ∥ＢＥ∥ＣＦ，它们依次交直线ｌ１， ｌ２，ｌ３于点Ａ，Ｂ，Ｃ和点Ｄ，Ｅ，Ｆ和点Ｑ，Ｈ，Ｐ，ｌ２与ｌ３相交 于ＤＥ的中点Ｇ，若ＡＢＡＣ＝ ２ ７． （１）如果ＥＦ＝１０，求ＤＥ，ＤＦ的长； （２）如果ＱＧ＝３，求ＰＨ的长 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 （２） 因 为 Ｂ（３， 槡３）， 所 以 ＯＢ ＝ ３２＋（槡３）槡 ２ ＝ 槡２３， ①当Ｏ为顶点时，ＯＤ＝ ＯＢ ＝ 槡２ ３， 所 以 Ｄ（槡２３，０）或（－ 槡２３， ０）；② 当 Ｄ为顶点时， ＯＤ＝ＤＢ，因为四边形 ＡＢＣＯ是菱形，所以 ＡＣ 是 ＯＢ的垂直平分线， 所以点Ｄ与 Ｃ重合，所 以Ｄ（２，０）；③当Ｂ为顶 点时，ＢＯ＝ＢＤ，过点 Ｂ 作ＢＧ⊥ｘ轴于点Ｇ，则 ＯＧ＝ＤＧ＝３，所以ＯＤ ＝６，所以 Ｄ（６，０）．综 上所述，Ｄ的坐 标 为 （槡２３，０），（－ 槡２３，０）， （２，０）或（６，０）． （３） 因 为 Ｂ（３， 槡３），所 以 Ｆ（－ ３， －槡３），所以ＢＦ ２ ＝４８． 设Ｑ（ｔ，０），则ＢＱ２ ＝（ｔ －３）２＋３，ＦＱ２ ＝（ｔ＋ ３）２＋３，① 以 ＢＦ为斜 边时，有 ＢＱ２＋ＦＱ２ ＝ ＢＦ２，所以（ｔ－３）２＋３＋ （ｔ＋３）２＋３＝４８，解得 ｔ１＝ 槡２３，ｔ２＝－槡２３，所 以 Ｑ（ 槡２ ３，０） 或 （－ 槡２３，０）；②以ＢＱ为 斜边时，有 ＢＦ２ ＋ＦＱ２ ＝ＢＱ２，所以４８＋（ｔ＋ ３）２＋３＝（ｔ－３）２＋３， 解得 ｔ＝－４，所 以 Ｑ（－４，０）；③ 以 ＦＱ为 斜边时，有 ＢＦ２ ＋ＢＱ２ ＝ＦＱ２，所以４８＋（ｔ－ ３）２＋３＝（ｔ＋３）２＋３， 解得 ｔ＝４，所以 Ｑ（４， ０）．综上所述，Ｑ的坐标 为（槡２３，０），（－ 槡２３， ０），（－４，０）或（４，０）． 八、２３．（１）抛物线 Ｃ１的顶点坐标为（２， －７）． （２）因为ｙ＝ａｘ２－ ４ａｘ－３＝ａｘ（ｘ－４）－ ３，所以抛物线 Ｃ１过点 （４，－３）和（０，－３），因 为直线ｙ＝ｍ与抛物线 Ｃ１ 相交所得的线段 ＥＦ（点Ｅ在点 Ｆ左侧） 的长度不变，所以当 ｙ ＝－３时，ＥＦ＝４，所以 ｍ的值为 －３，ＥＦ的长 为４． （３）存在实数ａ，使 得以点 Ｅ，Ｆ，Ｐ，Ｑ为顶 点的四边形为正方形， 理由：因为 ｙ＝ａｘ２ － ４ａｘ－３＝ａ（ｘ－２）２－ ４ａ－３，所以抛物线 Ｃ１ 的顶点坐标为（２，－４ａ －３），由（２）可知ＥＦ＝ ４，且点Ｅ，Ｆ均在直线 ｙ ＝－３上，根据翻折的性 质得 Ｐ，Ｑ两点关于 ＥＦ 对称，即Ｐ，Ｑ在ＥＦ的两 侧，因为使Ｅ，Ｆ，Ｐ，Ｑ四 点构成的四边形为正方 形，所以ＥＦ与ＰＱ为正 方形的对角线，所以ＰＱ ＝ＥＦ＝４，即点Ｐ到直 线ｙ＝－３的距离为２， 所以 ｜（－４ａ－３）－ （－３）｜＝２，解得 ａ＝ －１２或 １ ２． ! !" #$ %& !""#$%&' ()*+,-./0 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