第4期 21.5.3 反比例函数的应用（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（沪科版）

书 【提示】 １．过Ｃ，Ｄ两点作ｘ轴的垂线，垂足为Ｆ，Ｇ，ＤＧ交 ＢＣ于点Ｍ，过点Ｃ作ＣＨ⊥ＤＧ，垂足为Ｈ，证明 △ＣＤＨ≌△ＡＢＯ，再根据已知条件可设点Ｃ和Ｄ的 坐标，根据待定系数法求出直线ＡＤ的表达式，再根 据四边形ＢＣＤＥ的面积是△ＡＢＥ面积的７倍，求出点 Ｃ或点Ｄ坐标，然后代入双曲线表达式即可求解． ２．作ＣＰ⊥ｙ轴于点Ｐ，ＤＱ⊥ｘ轴于点Ｑ，Ａ１Ｍ⊥ ｘ轴于点Ｍ，Ａ１Ｎ⊥ＤＱ于点Ｎ，设Ｃ（ａ，８ ａ ），则ＣＰ＝ ａ，ＯＰ＝８ ａ ，证明Ｒｔ△ＣＢＰ≌Ｒｔ△ＢＡＯ≌Ｒｔ△ＡＤＱ， 求出点Ｄ的坐标（８ ａ ，８ ａ－ａ），然后代入反比例函 数，求出ａ的方程，得出Ｄ的坐标；设Ａ１（ｂ，８ ｂ ），同理 证明△ＤＡ１Ｎ≌△Ｂ１Ａ１Ｍ，则Ａ１Ｍ＝Ａ１Ｎ＝ＱＭ＝ ８ ｂ ，ＯＭ＝ＯＱ＋ＱＭ＝４＋８ ｂ ，求出ｂ的方程，得出Ａ１ 的坐标． 书 辅助线周周练 １．如图１，平行四边形ＡＢＣＤ的顶点Ａ，Ｂ的坐标分 别是Ａ（－１，０），Ｂ（０，－２），顶点Ｃ，Ｄ在双曲线ｙ＝ ｋｘ 上，边 ＡＤ交 ｙ轴于 Ｅ点，且四边形 ＢＣＤＥ的面积是 △ＡＢＥ面积的７倍，则ｋ＝ ． ２．如图２，正方形ＡＢＣＤ的顶点Ａ在ｘ轴上，顶点Ｂ 在ｙ轴上，顶点Ｃ，Ｄ在反比例函数ｙ＝８ｘ（ｘ＞０）的图 象上，Ａ１是反比例函数图象上点Ｄ右侧的一点，以ＤＡ１ 为边作正方形ＤＡ１Ｂ１Ｃ１，若Ｂ１恰好在ｘ轴上，则Ａ１的坐 标为 ． 书 １８．（１）函数 ｙ１的 表达式为ｙ１＝ ３ ｘ，函数 ｙ２的表达式为 ｙ２ ＝－ｘ ＋４． （２）由平移的性质 可得点Ｄ坐标为（－３，ｎ －３），因为点 Ｄ在函数 ｙ１ 的 图 象 上， 所 以 －３（ｎ－３）＝２ｎ，解得 ｎ＝ ９５，所以 ｎ的值为 ９ ５． １９．（１）一次函数 的表达式为ｙ１ ＝－ｘ＋ ３． （２）①因为点 Ｂ，Ｃ 都在第一象限，ｋ＝－１， 联立ｙ１，ｙ２得－ｘ＋ｂ＝ ｍ ｘ，整理，得 －ｘ ２＋ｂｘ－ ｍ＝０，由题意知该方程 有解，所以 ｂ２ －４× （－１）×（－ｍ）＝ｂ２－ ４ｍ≥０． ②因为ｍ－ｂ＝２， 所以 ｍ ＝ｂ＋２，由 ① 知，当ｂ２－４ｍ＝０时， Ｂ，Ｃ重合，此时 ＢＣ最 小，所以 ｂ２－４（ｂ＋２） ＝０，解得ｂ＝２± 槡２３， 又因为ｂ≥６，而２±槡２３ ＜６，所以当ｂ＝６，ｍ＝ ８时，ＢＣ有最小值，令 －ｘ＋６＝ ８ｘ，整理，得 －ｘ２＋６ｘ－８＝０，解得ｘ１ ＝２，ｘ２ ＝４，故Ｂ（４，２）， Ｃ（２，４），所以 ＢＣｍｉｎ ＝ （４－２）２＋（２－４）槡 ２ ＝ 槡２２． 书 上期２版 ２１．５．１认识反比例函数 基础训练　１．Ａ；　２．Ａ； ３．－２；　４．ａ≠－３；　５．反． ６．（１）由题意，可得ｓ＝６０ｔ（０≤ｔ≤２７７６０），是正比 例函数，比例系数为６０； （２）由题意，可得ｙ＝２０ｘ（ｘ＞０），是反比例函数，比 例系数为２０； （３）由题意，可得ｙ＝１０００ａｘ （ｘ＞０），是反比例函 数，比例系数为１０００ａ． 能力提高 　７．因为反比例函数的关系式为 ｙ＝ ａ＋３ ｘ｜ａ｜－２ ，所以｜ａ｜－２＝１，ａ＋３≠０，解得 ａ１ ＝３，ａ２ ＝ －３（不合题意，舍去）．所以该函数关系式为ｙ＝ ６ｘ． ２１．５．２反比例函数的图象和性质（第一课时） 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ａ； ４．ｘ＜－２或０＜ｘ＜３；　５．ｙ＝－５ｘ； ６．ｋ１ ＜ｋ２ ＜ｋ３． 能力提高　７．（１）－３２，－６，－２，－ ３ ２． （２）图略． （３）该函数的性质有：①该函数图象关于ｙ轴对称； ②图象均在ｘ轴的下方；③ｘ＜０时，ｙ随ｘ增大而减小； ｘ＞０时，ｙ随ｘ增大而增大（选其中两个即可）． ２１．５．２反比例函数的图象和性质（第二课时） 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｄ；　４．３；　５．３． 能力提高　６．（１）反比例函数的表达式为ｙ＝３２ｘ． （２）存在．设 Ｐ点的横坐标为 ｍ，因为 Ｓ菱形ＯＡＢＣ ＝ ＢＣ·｜ｘＣ｜＝５×４＝２０，所以Ｓ△ＯＡＰ ＝ １ ２ＯＡ·｜ｘＰ｜＝ １ ２ ×５｜ｍ｜＝２０，解得ｍ＝±８，当ｍ＝８时，ｙ＝３２８ ＝４， 即Ｐ（８，４），当 ｍ ＝－８时，ｙ＝ ３２－８＝－４，即 Ｐ（－８， －４）．综上，存在点Ｐ（８，４）或Ｐ（－８，－４），使得△ＯＡＰ 的面积等于菱形ＯＡＢＣ的面积． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｄ Ｃ Ｃ Ｄ Ａ Ｃ Ｄ 二、９．－２；　１０．ｙ＝ ２ｘ；　１１．８；　１２．（２，６）； １３．４；　１４．５２． 三、１５．由题意，设ｙ１ ＝ｋ１ｘ，ｙ２ ＝ ｋ２ ｘ－２，因为ｙ＝ｙ１ －ｙ２，所以ｙ＝ｋ１ｘ－ ｋ２ ｘ－２，因为当ｘ＝１时，ｙ＝１；当ｘ ＝３时，ｙ＝５，所以 ｋ１＋ｋ２ ＝１， ３ｋ１－ｋ２ ＝５ { ， 解得 ｋ１ ＝ ３ ２， ｋ２ ＝－ １ ２ { ，所 以ｙ＝ ３２ｘ＋ １ ２ｘ－４． １６．（１）ｙ＝－３６ｘ． （２）ｙ的取值范围为 －９≤ｙ＜－６． １７．（１）过点Ｃ作ＣＭ⊥ｙ轴于点Ｍ．因为∠ＡＯＢ＝ ∠ＣＭＡ＝∠ＢＡＣ＝９０°，所以 ∠ＢＡＯ＋∠ＣＡＭ ＝９０°， ∠ＡＢＯ＋∠ＢＡＯ＝９０°，所以∠ＡＢＯ＝∠ＣＡＭ．因为ＢＡ ＝ＡＣ，所以△ＡＯＢ≌△ＣＭＡ，所以ＯＢ＝ＡＭ，ＯＡ＝ＣＭ， 因为点Ａ的坐标是（０，６），点Ｂ的坐标是（－２，０），所以 ＯＡ＝６，ＯＢ＝２，所以ＣＭ＝６，ＡＭ＝２，所以ＯＭ＝４，所 以点Ｃ的坐标是（６，４）． （２）因为点 Ａ的坐标是（０，６），点 Ｃ的坐标是（６， ４），Ｄ为ＡＣ的中点，所以点Ｄ（３，５），因为反比例函数 ｙ ＝ ｋｘ的图象经过点Ｄ，所以５＝ ｋ ３，解得ｋ＝１５，故ｋ的 值是１５． 书 重点集训营 １．已知三个点（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２），（ｘ３，ｙ３）在反比例 函数ｙ＝－２ｘ的图象上，其中ｘ１＜ｘ２＜０＜ｘ３，则下列 结论中正确的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｙ２ ＜ｙ１ ＜０＜ｙ３ Ｂ．ｙ１ ＜ｙ２ ＜０＜ｙ３ Ｃ．ｙ３ ＜０＜ｙ２ ＜ｙ１ Ｄ．ｙ３ ＜０＜ｙ１ ＜ｙ２ ２．已知点（ｍ，ｎ）在第三象限，点 Ａ（ｘ１，ｙ１）和 Ｂ（ｘ２，ｙ２）在反比例函数ｙ＝ ｍｎ ｘ的图象上，且ｘ１＜０＜ ｘ２，则ｙ１ ｙ２（填“＞”“＜”或“＝”）． ３．若点Ａ（ａ－１，ｙ１），Ｂ（ａ＋１，ｙ２）在反比例函数ｙ ＝ １ｘ的图象上，且 ｙ１ ＞ｙ２，则 ａ的取值范围是 ． ４．如图，已知反比例函数 ｙ１ ＝ ｋｘ（ｘ＞０）的图象与一次函数 ｙ２＝－ １ ２ｘ＋４的图象交于Ａ（２，ｂ） 和Ｂ（６，ｎ）两点． （１）ｋ＝ ，ｎ＝ ； （２）直接写出当 ｙ１ ＞ｙ２时，ｘ的取值范围为 ． 书 一、计算法 例１　若点Ａ（－３，ｙ１），Ｂ（－１，ｙ２）都在反比例函数 ｙ＝ ６ｘ的图象上，则ｙ１ ｙ２（填“＞”或“＜”）． 解析：因为点Ａ（－３，ｙ１），Ｂ（－１，ｙ２）都在反比例函 数ｙ＝ ６ｘ的图象上，所以ｙ１ ＝ ６ －３＝－２，ｙ２ ＝ ６ －１＝ －６，因为 －２＞－６，所以ｙ１ ＞ｙ２． 故填 ＞． 二、性质法 例２　已知点Ａ（－４，ｙ１），Ｂ（－２，ｙ２），Ｃ（３，ｙ３）都在 反比例函数ｙ＝ ｋｘ（ｋ＜０）的图象上，则ｙ１，ｙ２，ｙ３的大 小关系为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｙ３ ＜ｙ２ ＜ｙ１ Ｂ．ｙ１ ＜ｙ３ ＜ｙ２ Ｃ．ｙ３ ＜ｙ１ ＜ｙ２ Ｄ．ｙ２ ＜ｙ３ ＜ｙ１ 解析：因为在反比例函数ｙ＝ ｋｘ（ｋ＜０）中，ｋ＜０， 所以此函数图象在二、四象限，且在第二象限内ｙ随ｘ的 增大而增大，因为 －４＜－２＜０，所以０＜ｙ１ ＜ｙ２． 因为３＞０，所以Ｃ（３，ｙ３）点在第四象限，所以ｙ３＜ ０， 所以ｙ１，ｙ２，ｙ３的大小关系为ｙ３ ＜ｙ１ ＜ｙ２． 故选Ｃ． 三、图象法 例３　如图，正比例函数 ｙ１ ＝ ｋ１ｘ（ｋ１＜０）的图象与反比例函数ｙ２ ＝ ｋ２ ｘ（ｋ２＜０）的图象相交于Ａ，Ｂ两 点，点Ｂ的横坐标为２，当ｙ１＞ｙ２时， ｘ的取值范围是 （　　） Ａ．ｘ＜－２或ｘ＞２ Ｂ．－２＜ｘ＜０或ｘ＞２ Ｃ．ｘ＜－２或０＜ｘ＜２ Ｄ．－２＜ｘ＜０或０＜ｘ＜２ 解析：因为反比例函数与正比例函数相交于点Ａ，Ｂ， 所以点Ａ的坐标与点Ｂ的坐标关于原点对称， 所以点Ａ的横坐标为 －２． 当ｙ１ ＞ｙ２时，即正比例函数图象在反比例函数图 象上方， 观察图象可得，当ｘ＜－２或０＜ｘ＜２时满足题意． 故选Ｃ． 书 利用反比例函数解决实际问题一般按照以下三个 环节进行： ①“求式”，建立一个反比例函数的数学模型，即利 用待定系数法求出反比例函数的表达式； ②“应用”，应用反比例函数的性质解决实际问题； ③“注意”，在解答实际问题时，要注意自变量的取 值范围． 下面举例进行说明，供同学们参考． 例１　已知甲、乙两地相距 ｓ（单位：ｋｍ），汽车从甲 地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间ｔ（单位：ｈ）关于 行驶速度ｖ（单位：ｋｍ／ｈ）的函数图象是 （　　） 分析：根据实际意义，写出函数表达式，根据函数的 类型以及自变量的取值范围即可进行判断． 解：根据题意有ｖ·ｔ＝ｓ，所以ｔ＝ ｓｖ， 故ｔ与ｖ之间的函数图象为反比例函数图象，且根据 实际意义ｖ＞０，ｔ＞０， 所以其图象在第一象限． 故选Ｃ． 例２　办公区域的自动饮水机，开机加热时水温每 分钟上升２０℃，水温到１００℃时停止加热，此后水温开 始下降．水温ｙ（℃）与开机通电时间 ｘ（ｍｉｎ）成反比例 关系．若水温在２０℃时接通电源，一段时间内，水温ｙ与 通电时间ｘ之间的函数关系如图所示． （１）水温从２０℃ 加热到 １００℃，需要 ｍｉｎ； （２）求水温下降过程中，ｙ 与ｘ的函数关系式，并写出自 变量ｘ的取值范围； （３）如果上午８点接通电 源，那么８：２０之前，水温不低于８０℃的时间有多长？ 分析：（１）根据开机加热时水温每分钟上升２０℃即 可求出水温从２０℃加热到１００℃所需时间； （２）根据反比例函数过点（４，１００），可求出关系式； （３）分别计算出水温达到１００℃前达到８０℃和达 到１００℃后再降到８０℃所需时间即可． 解：（１）因为开机加热时水温每分钟上升２０℃， 所以水温从 ２０℃ 加热到 １００℃，所需时间为 １００－２０ ２０ ＝４（ｍｉｎ）． 故填４． （２）由题可得，点（４，１００）在反比例函数图象上， 设反比例函数关系式为ｙ＝ ｋｘ， 将点（４，１００）代入可得ｋ＝４００， 所以ｙ＝４００ｘ， 当ｙ＝２０时，ｘ＝４００２０ ＝２０， 所以水温下降过程中，ｙ与 ｘ的函数关系式是 ｙ＝ ４００ ｘ（４≤ｘ≤２０）． （３）当０＜ｘ＜４时，设ｙ＝ｋｘ＋２０， 将（４，１００）代入，可得４ｋ＋２０＝１００， 解得ｋ＝２０， 所以当０＜ｘ＜４时，ｙ＝２０ｘ＋２０， 当ｙ＝８０时，即２０ｘ＋２０＝８０， 解得ｘ＝３， 当ｙ＝８０时，４００ｘ ＝８０， 解得ｘ＝５， 所以水温不低于８０℃的时间为５－３＝２（分钟）． 答：水温不低于８０℃的时间有２分钟． 书 在近几年的中考试题中，总会出现一些将反比例函 数的图象与几何图形综合到一起考查的问题，这类问题 在考查反比例函数的同时，又考查了同学们对几何图形 性质的掌握程度，下面我们一起来看几道例题． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ 如图１，△ＡＢＣ是等腰 直角三角形，直角顶点 Ｃ与坐标 原点重合，若点Ｂ在反比例函数ｙ ＝１ｘ（ｘ＞０）的图象上，则经过点 Ａ的 反 比 例 函 数 表 达 式 为 ． 解析：过点Ａ作ＡＥ⊥ｘ轴于点Ｅ，过点Ｂ作ＢＤ⊥ｘ 轴于点Ｄ，则∠ＡＥＯ＝∠ＯＤＢ＝９０°， 由题意得 ＯＡ＝ＯＢ，∠ＡＯＢ＝９０°，所以 ∠ＥＡＯ＋ ∠ＥＯＡ＝∠ＡＯＥ＋∠ＢＯＤ ＝９０°，所以 ∠ＥＡＯ ＝ ∠ＤＯＢ，所以 △ＡＥＯ≌ △ＯＤＢ，所以 ＡＥ＝ＯＤ，ＯＥ＝ ＢＤ． 设点Ｂ的坐标为（ａ，ｂ），则ＡＥ＝ＯＤ＝ａ，ＯＥ＝ＢＤ ＝ｂ，所以点Ａ的坐标为（－ｂ，ａ）， 因为点Ｂ在反比例函数ｙ＝ １ｘ上，所以ａｂ＝１， 所以经过点Ａ的反比例函数表达式为ｙ＝－１ｘ． 故填ｙ＝－１ｘ． 例２　如图２，正方形 ＡＢＣＤ 的边长为５，点Ａ的坐标为（４，０）， 点Ｂ在ｙ轴上，若反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ（ｋ≠０）的图象过点Ｃ，则ｋ的 值为 （　　） Ａ．４ Ｂ．－４ Ｃ．－３ Ｄ．３ 解析：过点Ｃ作ＣＥ⊥ｙ轴于点Ｅ， 在正方形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＣ＝９０°，所以 ∠ＡＢＯ＋∠ＣＢＥ＝９０°，因为∠ＯＡＢ＋∠ＡＢＯ＝９０°，所 以∠ＯＡＢ＝∠ＣＢＥ，因为点Ａ的坐标为（４，０），所以ＯＡ ＝４， 因为ＡＢ＝５，所以由勾股定理，得ＯＢ＝ ５２－４槡 ２ ＝３， 在 △ＡＢＯ和 △ＢＣＥ中， ∠ＯＡＢ＝∠ＣＢＥ， ∠ＡＯＢ＝∠ＢＥＣ， ＡＢ＝ＢＣ { ， 所以 △ＡＢＯ≌△ＢＣＥ，所以ＯＡ＝ＢＥ＝４，ＣＥ＝ＯＢ＝３， 所以ＯＥ＝ＢＥ－ＯＢ＝４－３＝１，所以点Ｃ的坐标 为（－３，１）， 因为反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的图象过点Ｃ，所以 ｋ＝ｘｙ＝－３×１＝－３． 故选Ｃ． 例３　如图３，点Ｄ是ＯＡＢＣ 内一点，ＡＤ与ｘ轴平行，ＢＤ与ｙ轴 平行，ＢＤ ＝槡３，∠ＢＤＣ ＝１２０°， Ｓ△ＢＣＤ ＝ 槡 ９３ ２，若反比例函数 ｙ＝ ｋ ｘ（ｘ＜０）的图象经过 Ｃ，Ｄ两点， 则ｋ的值是 （　　） Ａ．－ 槡６３ Ｂ．－６ Ｃ．－ 槡１２３ Ｄ．－１２ 解析：过点Ｃ作ＣＥ⊥ｙ轴于点Ｅ，延长ＢＤ交ＣＥ于 点Ｆ， 因为四边形ＯＡＢＣ为平行四边形，所以ＡＢ∥ＯＣ，ＡＢ ＝ＯＣ，又因为ＢＤ∥ｙ轴，所以∠ＣＯＥ＝∠ＡＢＤ， 因为ＡＤ∥ｘ轴，所以∠ＡＤＢ＝９０°，所以△ＣＯＥ≌ △ＡＢＤ，所以ＯＥ＝ＢＤ＝槡３， 因为Ｓ△ＢＤＣ ＝ １ ２ＢＤ·ＣＦ＝ 槡９３ ２，所以ＣＦ＝９， 因为∠ＢＤＣ＝１２０°，所以∠ＣＤＦ＝６０°， 所以∠ＤＣＦ＝３０°，所以由勾股定理，得ＤＦ＝ 槡３３， 所以点Ｄ的纵坐标为 槡４３． 设Ｃ（ｍ，槡３），Ｄ（ｍ＋９，槡４３）， 因为反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｘ＜０）的图象经过Ｃ，Ｄ两 点，所以ｋ＝槡３ｍ＝ 槡４３（ｍ＋９），解得ｍ＝－１２，所以ｋ ＝－ 槡１２３． 故选Ｃ． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! " # $ % & ' ! ! ! $ " % ( ' & ! " " !" #$% ! #$%" $ &'' !' &!!" ( ) * + ) * ) * ) * ) $ * $$$ ! ( & $ + ! " !'" " &' ()) ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! " #! !"#$" $"% ! !'!,&-'!.( *+, #-$./01 2/34567/89 " : ! ! !"#$ !"#$%&'" ()*+,-'. "#$% %&'()* + , - . ;<#=>?@A BC8DEF+:1 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! &GHIJ4KL &GHJMN7OPQRS &GHJTUVWXYZ[K\ 3]>^_`a. ^bcdef ghijkla.mnc*/&,0'-'-1o2p *+, &-,./0p *qr ,.C8DEp #=>sts. 3 #uysa. #_`z{|c'".&0.!-&!.4 #=>}~c&G€‚ƒ„…†‡ˆ &"! n3]>^2/34_`z #‰Š_‹c'"'''4 #‚Œz>Žc'".&%.!-&&!. 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( ' & , ! & $ " ( ' % ! & 书 ２０．（１）①（４，２）． ② ＝． （２）①因为Ｓ１＝Ｓ２ ＝ １２ｋ，且Ｓ１＋Ｓ２ ＝２， 所以ｋ＝２．因为 Ｓ１ ＝ １ ２ＡＤ·ＡＯ＝ １ ２ＡＤ·２ ＝１，解得ＡＤ＝１，所以 点 Ｄ的坐标为（１，２）． 因为Ｓ２＝ １ ２ＣＯ·ＥＣ＝ １ ２·４·ＥＣ＝１，解得ＥＣ ＝１２，所以点Ｅ的坐标 为（４，１２）． ②△ＯＤＥ是直 角 三角形，理由：因为 ＯＡ ＝２，ＯＣ＝４，ＡＤ＝１， ＥＣ＝１２，所以ＢＤ＝３， ＢＥ＝ ３２．在 Ｒｔ△ＡＤＯ 中，ＤＯ２＝ＡＯ２＋ＡＤ２＝ ５，在 Ｒｔ△ＢＤＥ中，ＤＥ２ ＝ＤＢ２＋ＢＥ２ ＝４５４，在 Ｒｔ△ＣＥＯ 中，ＯＥ２ ＝ ＣＯ２＋ＣＥ２ ＝６５４，所以 ＤＯ２＋ＤＥ２＝ＯＥ２，所以 △ＯＤＥ是直角三角形． 因为 ＤＯ ＝槡５，ＤＥ ＝ 槡３５ ２，所以Ｓ△ＯＤＥ ＝ １ ２· ＤＯ·ＤＥ＝ １２ ×槡５× 槡３５ ２ ＝ １５ ４． 上期４版 重点集训营 １．Ｂ； ２．－４＜ｙ＜－４３． ３．（１）一次函数的 关系式为ｙ１＝ｘ－４，反 比例函数的关系式为ｙ２ ＝１２ｘ． （２）对于ｙ１ ＝ｘ－ ４，令ｘ＝０，则ｙ１＝－４， 所以Ｃ（０，－４）， 因为点Ｅ是点Ｃ关 于 ｘ轴的对称点，所以 Ｅ（０，４）， 所以ＥＣ＝８， 所以Ｓ△ＡＢＥ ＝Ｓ△ＣＥＢ ＋Ｓ△ＣＥＡ ＝ １ ２×８×２＋ １ ２×８×６＝３２． 书 （满分：１２０分） 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．下面四个关系式中，ｙ是ｘ的反比例函数的是 （　　） Ａ．ｙ＝２ｘ－１ Ｂ．ｙ＝ｘ２＋ｘ Ｃ．ｙ＝ ３ｘ Ｄ．ｙ＝－ １ ３ｘ ２．反比例函数ｙ＝ ｋｘ（ｋ≠０）的图象经过点（－４， ３），这个反比例函数的图象一定经过 （　　） Ａ．（－４，－３） Ｂ．（３，－４） Ｃ．（３，４） Ｄ．（－３，－４） ３．《传》曰：篇之世，宋员外，家有良田百顷，今也以 田溉田，阴灌之，其源二万方，译：“据古书记载：在北宋 时期，有一宋员外，家有良田百顷，现需修一蓄水池用以 农田的灌溉，已知每年灌溉农田所需水量为２００００立方 米．”设宋员外所修圆柱形水池底面积为ｓ平方米，水池 高为ｈ米，则其高与底面积之间的函数关系式为（　　） Ａ．ｈ＝２００００ｓ Ｂ．ｈ＝２００００－ｓ Ｃ．ｈ＝２００００ｓ Ｄ．ｓ＝２００００ｈ ４．已知点Ａ（－１，６），Ｂ（ｍ，ｙ１），Ｃ（ｍ＋１，ｙ２）在反比 例函数ｙ＝ｋｘ的图象上，若０＜ｍ＜１，则下列大小关系 正确的是 （　　） Ａ．ｙ２ ＞ｙ１ ＞－６ Ｂ．ｙ１ ＞ｙ２ ＞－６ Ｃ．ｙ２ ＞－６＞ｙ１ Ｄ．－６＞ｙ２ ＞ｙ１ ５．如图 １，在 △ＡＯＢ中， Ｓ△ＡＯＢ ＝２，ＡＢ∥ｘ轴，点Ａ在反 比例函数ｙ＝ １ｘ的图象上．若 点Ｂ在反比例函数ｙ＝ ｋｘ的图 象上，则ｋ的值为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．－３２ Ｂ． ３ ２ Ｃ．３ Ｄ．－３ ６．若反比例函数 ｙ＝ ｋｘ的图象过点（ａ，ａ－２＋ １ ａ），则下列说法正确的是 （　　） Ａ．反比例函数ｙ＝ ｋｘ的图象位于二、四象限 Ｂ．ｙ随ｘ的增大而增大 Ｃ．ｘ＝－１时，ｙ＜０ Ｄ．ｋ有最小值 ７．如图２，直线 ｙ＝－１４ｘ与 双曲线ｙ＝ｋｘ（ｋ＜０，ｘ＜０）交于 点Ａ，将直线ｙ＝－１４ｘ向上平移 ２个单位长度后，与ｙ轴交于点Ｃ， 与双曲线交于点Ｂ，若ＯＡ＝２ＢＣ，则ｋ的值为 （　　） Ａ．－７ Ｂ．－２２３ Ｃ．－ ６４ ９ Ｄ．－ ６５ ８ ８．函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ与函数ｙ＝ｋｂｘ在同一坐标系中的 大致图象正确的是 （　　） 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．已知反比例函数 ｙ＝ｋ＋３ｘ 的图象在第二、四象 限，则ｋ的取值范围是 ． １０．如图３，反比例函数ｙ１＝ ｋ ｘ 与一次函数ｙ２＝ａｘ＋ｂ的图象交于 点Ａ（３，２），Ｂ（－１，ｍ），当ｎ＜ｘ＜ｎ ＋４时，ｙ１ ＞ｙ２，则 ｎ的取值范围为 ． １１．青藏铁路是当今世界上海拔最高、线路最长的 高原铁路，因路况、季节、天气等原因行车的平均速度在 ２５０～３６０（千米／时）之间变化，铁路运行全程所需要的 时间（小时）与运行的平均速度（千米 ／时）满足如图４ 所示的函数关系，列车运行的平均速度最大和列车运行 的平均速度最小时全程所用时间相差 小时． １２．若点Ａ（ｘ１，１３），Ｂ（ｘ２，－３），Ｃ（ｘ３，１１）都在反比 例函数ｙ＝ｋ ２＋１ ｘ 的图象上，则ｘ１，ｘ２，ｘ３的大小关系是 （用“＜”连接）． １３．如图５，矩形ＯＡＢＣ与反比例函数ｙ１＝ ｋ１ ｘ（ｋ１≠ ０，ｘ＞０）的图象交于点Ｍ，Ｎ，与反比例函数ｙ２＝ ｋ２ ｘ（ｋ２ ≠０，ｘ＞０）的图象交于点 Ｂ，连接 ＯＭ，ＯＮ．若四边形 ＯＭＢＮ的面积为３，则２ｋ２－２ｋ１ ＝ ． １４．在平面直角坐标系中，函数ｙ＝ｍｘ（ｘ＞０，ｍ是 不为０常数）的图象经过点Ａ（１，４），点Ｂ（ａ，ｂ），其中 ａ ＞１．过点Ａ作ｘ轴的垂线，垂足为Ｃ，过点Ｂ作ｙ轴的垂 线，垂足为 Ｄ，ＡＣ与 ＢＤ相交于点 Ｍ，连接 ＡＤ，ＤＣ，ＣＢ， ＡＢ．若ＡＤ＝ＢＣ，则ｂ的值为 ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１０分）如图６，根据小孔成像的科学原理，当像 距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时， 火焰的像高 ｙ（单位：ｃｍ）是物距（小孔到蜡烛的距 离）ｘ（单位：ｃｍ）的反比例函数，当ｘ＝６时，ｙ＝２． （１）求ｙ关于ｘ的函数表达式； （２）若某一时刻像高为３ｃｍ，则此时小孔到蜡烛的 距离为多少？ １６．（１０分）如图７，一次函数ｙ＝１２ｘ－２的图象分 别交 ｘ轴、ｙ轴于点 Ａ，Ｂ，点 Ｐ为 ＡＢ上一点且 ＰＣ为 △ＡＯＢ的中位线，ＰＣ的延长线交反比例函数 ｙ＝ ｋｘ（ｋ ＞０）的图象于点Ｑ，Ｓ△ＯＱＣ ＝ ３ ２． （１）求点Ａ和点Ｂ的坐标； （２）求ｋ的值和点Ｑ的坐标． １７．（１０分）如图８，反比例函数ｙ＝ｍｘ的图象与一 次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象交于Ａ，Ｂ两点，点Ａ的坐标为 （２，４），点Ｂ的坐标为（ｎ，２）． （１）求反比例函数和一次函数的表达式； （２）点Ｅ为ｘ轴上一个动点，若Ｓ△ＡＥＢ ＝５，试求点Ｅ 的坐标． １８．（１０分）如图９是某型号冷柜循环制冷过程中温 度变化的部分示意图，该冷柜的工作过程是：当冷柜温 度达到 －４℃ 时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度 下降到 －２０℃时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度 上升到 －４℃时，制冷再次开始，…，按照以上方式循环 工作．通过分析发现，当０≤ｘ＜４时，温度ｙ是时间ｘ的 一次函数；当４≤ｘ≤ｔ时，温度ｙ是时间ｘ的反比例函 数． （１）求ｔ的值； （２）当前冷柜的温度为－２０℃，冷柜继续工作３６分 钟后，求此时冷柜中的温度． １９．（１２分）如图１０，在平面直角坐标系中，Ａ（－１， ２），Ｂ（－１，－２），以ＡＢ为边向右作正方形ＡＢＣＤ，边ＡＤ， ＢＣ分别与ｙ轴交于点Ｅ，Ｆ，反比例函数ｙ＝ ｋｘ（ｋ≠０） 的图象经过点Ｄ． （１）求反比例函数的表达式； （２）在反比例函数的图象上是否存在点 Ｐ，使得 △ＰＥＦ的面积等于正方形ＡＢＣＤ面积的一半？若存在，请 求出点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由． ２０．（１２分）如图１１，一次函数ｙ＝ｘ＋１与反比例函 数ｙ＝ ｋｘ的图象相交于点Ａ（２，３）和点Ｂ． （１）求反比例函数的关系式； （２）过点Ｂ作ＢＣ⊥ｘ轴于点Ｃ，求Ｓ△ＡＢＣ； （３）是否在ｙ轴上存在一点Ｄ，使得ＢＤ＋ＣＤ的值最 小，请求出点Ｄ的坐标                                                                                                                                                                 ． 书 ２１．５．３反比例函数的应用（第一课时） １．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个 地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识 ———杠杆原理，即“阻力 ×阻力臂 ＝动力 ×动力臂”． 若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为 １２００Ｎ和 ０．５ｍ，则这一杠杆的动力Ｆ和动力臂 Ｌ之间的函数图 象大致是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ２．如图１，曲线表示温度Ｔ（℃）与时间ｔ（ｈ）之间的 函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支．当温度 Ｔ≤２℃时，时间ｔ应 （　　） Ａ．不小于 ２３ｈ Ｂ．不大于 ２ ３ｈ Ｃ．不小于 ３２ｈ Ｄ．不大于 ３ ２ｈ ３．根据某商场对一款运动鞋五天中的售价与销售 量关系的调查显示，售价是销售量的反比例函数（统计 数据见下表）．已知该运动鞋的进价为１８０元 ／双，要使 该款运动鞋每天的销售利润达到２４００元，则其售价应 定为 元． 售价ｘ（元 ／双） ２００ ２５０ ３００ ４００ 销售量ｙ（双） ３０ ２４ ２０ １５ ４．如图２，一块砖的Ａ，Ｂ，Ｃ三个面的面积比是４∶２∶ １，如果Ｂ面向下放在地上，地面所受压强为ａＰａ，那么Ａ 面向下放在地上时，地面所受压强为 Ｐａ． ５．如图３是某种电子 理疗设备工作原理的示意 图，其开始工作时的温度是 ２０℃，然后按照一次函数 关系一直增加到７０℃，这 样有利于打通病灶部位的 血液循环，在此温度下再沿反比例函数关系缓慢下降 至３５℃，然后在此基础上又沿着一次函数关系一直将 温度升至７０℃，再在此温度下沿着反比例函数关系缓 慢下降至３５℃，如此循环下去． （１）ｔ的值为 ； （２）如果在０～ｔ分钟内温度大于或等于５０℃时， 治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为 分钟． ６．如图４是４个台阶的 示意图，每个台阶的高和宽 分别是１和２，每个台阶凸 出的角的顶点记作 Ｔｍ（ｍ 为１～４的整数），函数ｙ＝ ｋ ｘ（ｘ＞０）的图象为曲线 Ｌ，若曲线Ｌ使得Ｔ１～Ｔ４，这些点分布在它的两侧，每侧 各２个点，则ｋ的取值范围是 ． ２１．５．３反比例函数的应用（第二课时） １．某游泳池有１２００立方米水，设放水的平均速度 为ｖ立方米 ／时，将池内的水放完需ｔ小时． （１）求ｖ关于ｔ的函数表达式； （２）若要求在３小时之内把游泳池的水放完，则每 小时应至少放水多少立方米？ ２．环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示： 所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过 最高允许的１０ｍｇ／Ｌ．环保局要求该企业立即整改，在 １５天以内（含１５天）排污达标．整改过程中，所排污水 中硫化物的浓度ｙ（ｍｇ／Ｌ）与时间ｘ（天）的变化规律如 图１所示，其中线段 ＡＢ表示前３天的变化规律，从第 ３天起，所排污水中硫化物的浓度ｙ与时间ｘ成反比例 关系． （１）求整改过程中硫化物的浓度ｙ与时间ｘ的函数 表达式； （２）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在 １５天以内达到不超过最高允许的１．０ｍｇ／Ｌ？为什么？ ３．华鑫公司投资５４０万元购进一条生产线生产销 售某产品，假定产销平衡，没有产品积压，生产销售这 种产品的成本为４元 ／件，在销售过程中发现：每年的 年销售量ｙ（万件）与销售价格ｘ（元 ／件）的关系如图 ２，其中ＡＢ段为反比例函数图象的一部分，设华鑫公司 生产销售这种产品的年利润为ｗ（万元）． （１）请求出ｙ（万件）与ｘ（元／件）之间的函数关系 式； （２）求出这种产品的年利润ｗ（万元）与ｘ（元／件） 之间的函数关系式，并求出年利润的最大值； （３）华鑫公司计划五年刚好收回投资，如何确定售 价（假定每年收回投资一样多）？ 拓展训练 １．如图１，点Ａ，Ｄ分别在反比例函数 ｙ＝ ｋｘ（ｘ＜ ０），ｙ＝６ｘ（ｘ＞０）的图象上，点Ｂ，Ｃ在ｘ轴上．若四边 形ＡＢＣＤ为正方形，且 Ｄ的坐标是（２，ｎ），则 ｋ的值为 ． ２．如图２，菱形 ＯＡＢＣ的一边 ＯＡ在 ｘ轴的负半轴 上，Ｏ是坐标原点，Ａ点坐标为（－５，０），对角线ＡＣ和ＯＢ 相交于点Ｄ，且ＡＣ·ＯＢ＝４０．若反比例函数ｙ＝ ｋｘ（ｘ ＜０）的图象经过点Ｄ，并与 ＢＣ的延长线交于点 Ｅ，则 Ｓ△ＯＣＥ ＝ ． ３．如图３，在平面直角坐标 系中，已知双曲线ｙ＝ｋｘ（ｋ＜０， ｘ＜０）把 Ｒｔ△ＡＯＢ分成 Ｗ１，Ｗ２ 两部分，且与 ＡＢ，ＯＡ交于点 Ｃ， Ｄ，点 Ａ的坐标为（－６，４）．连接 ＯＣ，若Ｓ△ＯＡＣ ＝９，则ｋ的值为 ，点Ｄ的坐标为 ． ４．如图４，点Ａ在反比例函数ｙ＝ ｋｘ（ｘ＜０）图象 上，过点Ａ作ＡＢ⊥ｙ轴于点Ｂ，点Ｃ在ｘ轴上，△ＡＢＣ的 面积为２． （１）求反比例函数的表达式； （２）若ＯＢ＝ＢＡ，点Ｐ（－１，ｍ）在该反比例函数的 图象上，求△ＰＡＢ的面积． ５．如图５，在平面直角坐标系中，反比例函数 ｙ＝ ｋ ｘ（ｘ＞０）的图象与矩形ＯＡＢＣ的边ＡＢ，ＢＣ分别交于 点Ｍ，Ｎ，且Ｍ为ＡＢ的中点，点Ｂ（４，３）． （１）求反比例函数的表达式； （２）连接ＯＭ，ＯＮ，ＭＮ，求△ＭＯＮ的面积 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． ! 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