第3期 21.5.1 认识反比例函数 21.5.2 反比例函数的图象和性质（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（沪科版）

书 三、１５．（１）方程 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的根为 ｘ１ ＝－３，ｘ２ ＝１． （２）因为方程 ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ＝ｋ有实数根， 所以抛物线 ｙ＝ａｘ２＋ ｂｘ＋ｃ与直线ｙ＝ｋ有交 点，由函数图象可知 ｋ ≥－３． １６．（１）ｂ＝２，ｃ＝ ３，ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３． （２）ｙ＞０时，－１ ＜ｘ＜３． （３）ｙ的最大值为 ３． １７．（１）抛物线的 函数 表 达 式 为 ｙ ＝ －２（ｘ－０．４）２＋３．３２． （２）ＯＤ＝１ｍ． １８．（１）ｙ＝－４ｘ２＋ ３４ｘ（６．２５≤ｘ＜８．５）． （２）宽为 ６２５ｍ 时，花圃的面积最大． １９． （１）（６００ － １０ｘ）． （２）这种台灯的售 价应定为５０元，这时应 进台灯５００个． （３）设每月的销售 利润为ｗ元，根据题意， 得 ｗ ＝ （４０－３０＋ ｘ）（６００ － １０ｘ） ＝ －１０（ｘ － ２５）２ ＋ １２２５０， 因为０＜ｘ＜２０，所 以当ｘ＝２０时，ｗ有最 大值，最大值为１２０００． 答：台灯售价定为 ２０元时，每月销售利润 最大． ２０．（１）顶点 Ｃ的 坐标为（ａ，１２ａ）． （２）ｙ＝２ｘ２－８ｘ＋ ９． （３）因为顶点Ｃ的 坐标为（ａ，１２ａ），所以 点 Ｐ的坐标为（ａ＋１， 书 上期２版 ２１．３二次函数与一元二次方程 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｃ； ４．ｘ１＝－３，ｘ２＝１；　５．（５，０）；　６．ｘ１＝－３，ｘ２＝１． 能力提高　７．（１）证明：令ｙ＝０，则ｘ２－（ｍ＋２）ｘ＋ ２ｍ－１＝０，所以Δ＝［－（ｍ＋２）］２－４（２ｍ－１）＝ｍ２ ＋４ｍ＋４－８ｍ＋４＝ｍ２－４ｍ＋８＝（ｍ－２）２＋４≥４， 所以Δ＞０，所以方程总有两个不相等的实数根，即抛物 线与ｘ轴总有两个交点． （２）因为函数的图象与ｙ轴交于点（０，３），所以２ｍ －１＝３，所以ｍ＝２，所以抛物线的表达式为ｙ＝ｘ２－４ｘ ＋３，因为ｙ＝ｘ２－４ｘ＋３＝（ｘ－２）２－１，所以抛物线的 开口向上，当ｘ＝２时，函数ｙ的最小值为－１，当ｘ＝０ 时，ｙ＝３，当ｘ＝５时，ｙ＝２５－２０＋３＝８，所以当０＜ ｘ＜５时，ｙ的取值范围为 －１≤ｙ＜８． ２１．４二次函数的应用（第一课时） 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．３３８；　４．１６；　５．１５． 能力提高　６．（１）销售量ｙ与该天的售价ｘ之间的 函数关系为ｙ＝－５０ｘ＋１５００（１４≤ｘ≤２５）． （２）这天该大米的售价为１８元 ／千克． （３）由题意得ｗ＝ｙ（ｘ－１４）＝（－５０ｘ＋１５００）（ｘ －１４）＝－５０ｘ２＋２２００ｘ－２１０００＝－５０（ｘ－２２）２＋ ３２００，因为 －５０＜０，１４≤ｘ≤２５，所以ｘ＝２２时，ｗ取 得最大值，最大值为３２００． 答：该有机大米售价定为２２元 ／千克时，当天获利 最大，最大利润为３２００元． ２１．４二次函数的应用（第二课时） 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．１． ４．（１）喷出的水流距水面的最大高度是２．２５米． （２）解方程 －ｘ２＋２ｘ＋５４ ＝０，得ｘ１＝－ １ ２，ｘ２＝ ５ ２，所以Ｂ点坐标为（ ５ ２，０），所以ＯＢ＝ ５ ２．故不计其他 因素，水池的半径至少要２．５米，才能使喷出的水流不 至于落在水池外． 能力提高　５．（１）建立 如图所示的平面直角坐标 系，根据题意，得ＡＥ＝ＢＥ＝ ＤＦ＝ＣＦ＝４ｍ，ＡＤ＝ＥＦ＝ ＢＣ＝２ｍ，ＯＦ＝６ｍ，所以 ＯＥ＝６－２＝４（ｍ），所以 Ａ（－４，－４），Ｂ（４，－４），设抛物线的表达式为ｙ＝ａｘ２， 将点Ａ代入得 －４＝１６ａ，解得ａ＝－１４，所以抛物线的 表达式为ｙ＝－１４ｘ ２，因为隧洞限高４ｍ，隧洞道路正中 间标有一条实线，所以当ｙ＝－２时满足条件，即 －２＝ －１４ｘ ２，解得ｘ＝±槡２２，所以限高杆的最小长度为 槡４２ｍ． （２）不能不跨越标线通过隧道．理由如下： 因为集装箱箱宽３ｍ，且不跨越标线通过隧道，所以 当ｘ＝３时，ｙ＝－９４ ＝－２．２５，因为６－２２５＝３．７５＜ ３．８，所以不能不跨越标线通过隧道． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｃ Ｄ Ｃ Ｃ Ｄ Ｄ Ｄ 二、９．ｍ＞９；　１０．－１≤ｘ≤９；　１１．３２；　１２．２４； １３．槡４２；　１４．－ １ ６． 书 重点集训营 １．一次函数ｙ＝ａｘ＋１与反比例函数ｙ＝－ａｘ在 同一坐标系中的大致图象是 （　　） ２．正比例函数ｙ＝ｘ的图象与反比例函数ｙ＝ ｋｘ 的图象有一个交点的纵坐标是２，当 －３＜ｘ＜－１时， 反比例函数ｙ＝ ｋｘ的取值范围是 ． ３．如图，一次函数ｙ１＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的图象与反 比例函数ｙ２＝ ｍ ｘ（ｍ≠０）的图象交于点Ａ，Ｂ，与ｘ轴交 于点Ｆ，与ｙ轴交于点Ｃ，点Ａ的坐标为（６，２），点Ｂ的坐 标为（ａ，－６）． （１）求一次函数和反比例函数的关系式； （２）若点Ｅ是点Ｃ关于ｘ轴的对称点，求△ＡＢＥ的 面积． 辅助线周周练 １．如图１，在平面直角坐标系中，正方形 ＡＢＣＤ的 顶点Ａ的坐标为（－１，２），点Ｂ在ｘ轴正半轴上，点Ｄ在 第三象限的双曲线ｙ＝１５ｘ上，过点Ｃ作ＣＥ∥ｘ轴交双 曲线于点Ｅ，则ＣＥ的长为 ． ２．如图２，菱形ＯＡＢＣ的两个顶点Ａ，Ｃ在反比例函 数ｙ＝ ｋｘ（ｋ≠０）的第一象限内的图象上，已知菱形 ＯＡＢＣ的面积为６，点Ｂ坐标为（槡３２，槡３２），则ｋ的值为 ． 书 一、图象问题 例１　在同一平面直角坐标系中，函数ｙ＝ｋｘ＋１（ｋ ≠０）和ｙ＝ ｋｘ（ｋ≠０）的图象大致是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解：当ｋ＞０时，一次函数ｙ＝ｋｘ＋１经过第一、二、 三象限，反比例函数ｙ＝ ｋｘ位于第一、三象限； 当ｋ＜０时，一次函数ｙ＝ｋｘ＋１经过第一、二、四象 限，反比例函数ｙ＝ ｋｘ位于第二、四象限．故选Ｄ． 二、取值范围问题 例２　如图１，正比例函数 ｙ ＝ｋ１ｘ与反比例函数ｙ＝ ｋ２ ｘ的图 象交于Ａ（１，ｍ），Ｂ两点，当ｋ１ｘ≤ ｋ２ ｘ时，ｘ的取值范围是 （　　） Ａ．－１≤ｘ＜０或ｘ≥１ Ｂ．ｘ≤－１或０＜ｘ≤１ Ｃ．ｘ≤－１或ｘ≥１ Ｄ．－１≤ｘ＜０或０＜ｘ≤１ 解：因为正比例函数ｙ＝ｋ１ｘ与反比例函数 ｙ＝ ｋ２ ｘ 的图象交于Ａ（１，ｍ），Ｂ两点，所以Ｂ（－１，－ｍ）， 由图象可知，当ｋ１ｘ≤ ｋ２ ｘ时，ｘ的取值范围是 －１≤ ｘ＜０或ｘ≥１．故选Ａ． 三、综合问题 例３　如图２，一次函数ｙ１ ＝ ｋｘ＋ｂ的图象与反比例函数 ｙ２ ＝ ６ ｘ的图象交于点 Ａ（１，ｍ）和点 Ｂ（ｎ，－２）． （１）求一次函数的表达式； （２）结合图象，写出当 ｘ＞０ 时，满足ｙ１ ＞ｙ２的ｘ的取值范围； （３）将一次函数的图象平移，使其经过坐标原点，请 直接写出一个反比例函数表达式，使它的图象与平移后 的一次函数图象无交点． 解：（１）由题意，得 ｍ ＝６，ｎ＝－３，所以 Ａ（１，６）， Ｂ（－３，－２）， 由题意得 ｋ＋ｂ＝６， －３ｋ＋ｂ＝－２{ ，解得 ｋ＝２， ｂ＝４{ ，所以一次 函数的表达式为ｙ＝２ｘ＋４． （２）由图象可知，当ｘ＞０时，满足ｙ１＞ｙ２的ｘ的取 值范围为ｘ＞１． （３）一次函数ｙ＝２ｘ＋４的图象平移后为ｙ＝２ｘ，函数 图象经过第一、三象限，要使正比例函数ｙ＝２ｘ与反比例函 数没有交点，则反比例的函数图象经过第二、四象限，则反 比例函数的ｋ＜０，所以当ｋ＝－１时，满足条件， 所以反比例函数的表达式为ｙ＝－１ｘ（答案不惟一， ｋ＜０即可）． 【对应练习见《重点集训营》】 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! " # ! " # ! " # ! " # ! " # $ ! $ " % # ! ! ! $ " % # ! % ! $ & ' " ( % # ' " ( ) $ # ! ! ! % ! ' % $ " # ! % ! " ! " ! " ! " # $ ! " # # # # " !" #$% 书 反比例函数的表达式 形如 ｙ＝ ｋｘ（ｋ为常数，ｋ ≠０），要确定反比例函数 的表达式，就需要确定反 比例函数的比例系数ｋ的 值，现详细分类解析如下， 供同学们学习时参考． 一、定义型 例 １　 若函数 ｙ＝ ｋｘ｜ｋ｜－２的图象是双曲线， 且图象在第二、四象限内， 那么该函数的表达式为 ． 解析：由题意可得 ｜ｋ｜－２＝－１，且ｋ＜０， 解得ｋ＝－１，所以该函数 的表达式为ｙ＝－１ｘ．故填 ｙ＝－１ｘ． 二、一点型 例２　已知点Ａ（－２， ｍ）在反比例函数ｙ＝ ｋｘ 的图象上，点Ａ′与点Ａ关 于ｙ轴对称．若点 Ａ′在正 比例函数ｙ＝１２ｘ的图象 上，则这个反比例函数的表达式为 ． 解析：因为点Ａ（－２，ｍ）与点Ａ′关于ｙ轴对称，所 以Ａ′（２，ｍ），因为点Ａ′在正比例函数ｙ＝ １２ｘ的图象 上，所以ｍ＝１，所以Ａ（－２，１）．因为Ａ（－２，１）在反比 例函数ｙ＝ ｋｘ的图象上，所以ｋ＝－２，所以这个反比 例函数的表达式为ｙ＝－２ｘ．故填ｙ＝－ ２ ｘ． 三、图示型 例３　 如图１，Ｏ是坐标原 点，点Ｂ在ｘ轴上，在△ＯＡＢ中， ＡＯ＝ＡＢ＝５，ＯＢ＝６，点Ａ在反 比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的图象 上，则反比例函数的表达式为 ． 解析：过点Ａ作ＡＣ⊥ＯＢ于 点Ｃ，因为ＡＯ＝ＡＢ，所以△ＡＢＯ是等腰三角形，因为 ＡＣ⊥ ＯＢ，ＯＢ＝６，所以 ＯＣ＝ＢＣ＝ １２ＯＢ＝３，在 Ｒｔ△ＡＯＣ中，ＯＡ ＝ ５， 由 勾 股 定 理， 得 ＡＣ ＝ ＯＡ２－ＯＣ槡 ２ ＝４，所以点Ａ（－３，４），把Ａ（－３，４）代 入ｙ＝ ｋｘ中，得ｋ＝－１２，所以反比例函数的表达式为 ｙ＝－１２ｘ．故填ｙ＝－ １２ ｘ． 四、面积型 例４　如图２，菱形ＯＡＢＣ 的顶点 Ｏ是原点，顶点 Ｂ在 ｙ 轴上，反比例函数ｙ＝ ｋｘ的图 象经过顶点 Ａ．若菱形的面积 为２０，则该反比例函数的表达 式为 ． 解析：设菱形对角线交于 点Ｈ，点 Ａ（ａ，ｂ），因为 Ｓ四边形ＯＡＢＣ ＝２０，所以 Ｓ△ＢＨＡ ＝ Ｓ△ＡＨＯ ＝Ｓ△ＢＨＣ ＝Ｓ△ＣＨＯ ＝５，所以 １ ２ＡＨ·ＨＯ＝ １ ２ａｂ＝ ５，所以ａｂ＝１０，又因为Ａ点在反比例函数上，所以ｋ＝ ａｂ＝１０，所以反比例函数的表达式为 ｙ＝１０ｘ．故填 ｙ ＝１０ｘ． 书 一、轴对称性 例１　互不重合的两点Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）皆落于 反比例函数ｙ＝ ７ｘ的图象上，当直线ＡＢ与第二象限角 平分线垂直时，ｘ１ｘ２的值等于 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．－１ Ｂ．１ Ｃ．－７ Ｄ．７ 解析：由直线ＡＢ与第二象限角平分线垂直可知Ａ，Ｂ 关于直线ｙ＝－ｘ对称，所以ｘ１ ＝－ｙ２，ｘ２ ＝－ｙ１， 因为互不重合的两点Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）皆落于反 比例函数ｙ＝ ７ｘ的图象上，所以ｘ１ｙ１ ＝ｘ２ｙ２ ＝７， 所以ｘ１ｘ２ ＝ｘ１（－ｙ１）＝－ｘ１ｙ１ ＝－７．故选Ｃ． 二、中心对称性 例２　已知正比例函数ｙ＝ａｘ与反比例函数ｙ＝ｂｘ 的图象交于点 Ａ（ｍ，ｎ），则这个函数图象的另一个交点 为 （　　） Ａ．（ｂ，ａ） Ｂ．（－ａ，ｂ） Ｃ．（ｍ，－ｎ） Ｄ．（－ｍ，－ｎ） 解析：因为正比例函数ｙ＝ａｘ与反比例函数ｙ＝ ｂｘ 的图象都关于原点对称，两函数图象交于点Ａ（ｍ，ｎ）， 所以这个函数图象的另一个交点为（－ｍ，－ｎ）．故 选Ｄ． 例３　 如图，点 Ｐ（３ａ，ａ）是反 比例函数ｙ＝ ｋｘ（ｋ＞０）的图象与 ⊙Ｏ的一个交点，若图中阴影部分 的面积为５π，则反比例函数的表达 式为 ． 解析：因为反比例函数ｙ＝ ｋｘ（ｋ＞０）的图象是中 心对称图形，所以 １ ４π·ＯＰ ２＝５π，解得ＯＰ＝ 槡２５，故有 （３ａ）２＋ａ２ ＝（槡２５） ２，解得ａ＝槡２（负值舍去），所以点 Ｐ（槡３２，槡２），把点Ｐ（槡３２，槡２）代入ｙ＝ ｋ ｘ中，解得ｋ＝ ６，所以反比例函数的表达式为ｙ＝ ６ｘ．故填ｙ＝ ６ ｘ． 书 如图１，过反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）图象上任意一 点Ａ作ＡＭ⊥ ｘ轴，ＡＮ⊥ ｙ轴，连接 ＡＯ，则 Ｓ矩形ＡＭＯＮ ＝ ｜ｋ｜，Ｓ△ＡＯＭ ＝Ｓ△ＡＯＮ ＝ ｜ｋ｜ ２ ，这就是反比例函数ｋ的几何 意义．下面举例加以说明． 例１　如图２，反比例函数ｙ＝ ｋｘ的图象经过矩形 ＡＢＣＤ对角线的交点Ｅ和点Ａ，点Ｂ，Ｃ在ｘ轴上，△ＯＣＥ的 面积为６，则ｋ＝ ． 解析：过点Ｅ作ＥＦ⊥ＢＣ，则ＥＦ＝ １２ＡＢ， 设Ｅ点坐标为（ａ，ｂ），则Ａ点的纵坐标为２ｂ，则可设 Ａ点坐标为（ｃ，２ｂ）， 因为点Ａ，Ｅ在反比例函数ｙ＝ｋｘ上，所以ａｂ＝ｋ＝ ２ｂｃ，解得ａ＝２ｃ，故ＢＦ＝ＦＣ＝ｃ，所以ＯＣ＝３ｃ，故Ｓ△ＯＣＥ ＝ １２×ＯＣ×ＥＦ＝ １ ２×３ｃ×ｂ＝６，解得ｂｃ＝４，所以 ｋ＝２ｂｃ＝８．故填８． 例２　如图３，Ａ是双曲线ｙ＝８ｘ（ｘ＞０）上的一点， 点Ｃ是ＯＡ的中点，过点Ｃ作ｙ轴的 垂线，垂足为 Ｄ，交双曲线于点 Ｂ， 则△ＡＢＤ的面积是 ． 解析：因为点Ｃ是ＯＡ的中点， 所以 Ｓ△ＡＣＤ ＝ Ｓ△ＯＣＤ，Ｓ△ＡＣＢ ＝ Ｓ△ＯＣＢ，所以Ｓ△ＡＣＤ ＋Ｓ△ＡＣＢ ＝Ｓ△ＯＣＤ ＋Ｓ△ＯＣＢ，所以Ｓ△ＡＢＤ ＝Ｓ△ＯＢＤ， 因为点Ｂ在双曲线ｙ＝８ｘ上，ＢＤ⊥ｙ轴，所以Ｓ△ＯＢＤ ＝ １２×８＝４，所以Ｓ△ＡＢＤ ＝４．故填４． 例３　如图４，平行于 ｙ轴的 直线与函数ｙ１＝ ｋ ｘ（ｘ＞０）和ｙ２ ＝２ｘ（ｘ＞０）的图象分别交于Ａ， Ｂ两点，ＯＡ交双曲线ｙ２＝ ２ ｘ于点 Ｃ，连接ＣＤ，若△ＯＣＤ的面积为２，则ｋ＝ ． 解析：设 Ａ（ｍ，ｋｍ），Ｃ（ｎ， ２ ｎ），则 Ｂ（ｍ， ２ ｍ），Ｄ（ｍ， ０），因为Ｓ△ＯＣＤ ＝ １ ２ＯＤ·ｙＣ ＝ １ ２·ｍ· ２ ｎ ＝２，所以 ｍ ｎ ＝２，即 ｎｍ ＝ １ ２． 又因为Ｓ△ＯＣＤ ＝Ｓ△ＯＡＤ－Ｓ△ＡＣＤ ＝ １ ２ｋ－ １ ２· ｋ ｍ·（ｍ －ｎ）＝１２ｋ· ｎ ｍ ＝ １ ４ｋ，所以 １ ４ｋ＝２，解得ｋ＝８．故填８． ! ! " #! !"#!" $"% ! %&%'&('!"( &'( #)$ *+,- .+/0123+45 " 6 ! ! !"#$ !"#$%&'" ()*+,-'. "#$% %&'()* + , - . 78#9:;<= >?4@AB'6- !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! CDEFG0HI CDEGJK3LMNOP CDEGQRSTUVWXHY /Z:[\]^* [_`abc defghi^*jk`#)*'+&(&(,>-- ! * " # " lm n o " C D p q r !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! # * # % ) % $ ' " # ! ' " st u v ! % $ ' " ) # ! . ! # " $ % ! % ! $ " % # ' ! % ! ' % ( ) $ " # ! % ! + " $ , # ! / 书 【提示】 １．过点Ｄ作ｘ轴的垂线交ＣＥ于点Ｇ，过点Ａ作ｘ 轴的平行线交ＧＤ的延长线于点Ｈ，过点Ａ作ＡＮ⊥ｘ 轴于点Ｎ，可证得△ＤＨＡ≌△ＣＧＤ，△ＡＮＢ≌ △ＤＧＣ，得到ＡＮ＝ＤＧ＝ＡＨ，求得点Ｄ的坐标，即可 求解． ２．连接ＯＢ，ＡＣ，交于点Ｑ，作ＡＤ⊥ｙ轴于点Ｄ， ＡＦ⊥ｘ轴于点Ｆ，ＣＥ⊥ｘ轴于点Ｅ，根据菱形的性质 证得△ＡＯＤ≌△ＣＯＥ，得到ＡＤ＝ＣＥ，ＯＤ＝ＯＥ，设 Ａ（ｍ，ｎ），则Ｃ（ｎ，ｍ），利用中点性质及菱形ＯＡＢＣ的 面积为６求出ｍ，ｎ，即可得到ｋ． &'( /w'*+,x &yz '*?4@Ax #9:{|{* #}{^* #\]‚ƒ„`2.1*+1%(*%13 #9:…†`CD‡ˆ‰Š‹ŒŽ *.% k/Z:[.+/0\]‚ #‘’\“`2.2223 #Š”‚•:–—`2.1*&1%(**%1 2.1*&1%(*%.(>M˜- #•™`š›9:Š”‚†œždŸ ‘¡>¢- #‘’•™–—`***41 #£¤¥¦•§¨•©ª• #9:«ždŸ‡>Š-¬J­®¯: #°±ST²£³k`*'2222'222**2 #°±‚ƒ„`2.1*&1%(*%11 #9:´µ"¶·MN¸¹UVWX>º»Š¼½¾¿ÀÁÂ3Là ** k-ĸ)ÅU¸ÆÇÈÉ<)š›9:Š”‚†œÊË ) *+ abc , ) *+ ÌÍÎ , # - .+ ÏÐc , ) *+ Ñ Ò , ) *+ n Ó -./01+ Ï Ô 23/01+ ÏÕÖ -4506+ × Ø -4578+ ÙÚÛ ÍÜÝ Þ ß à‹á â ã äqå Ìæç âèÕ é Ú êëá ìíb Þîï îð Ìbñ òÓ+ óôß õ å ö÷ø Íùr 91-.+ Ìúû 91:;+ üëý <=-.+ Ì þ >?-.+ ÿ ! @ABC+ "#$ 4 5 % 5 3 5 ' ) & ( % $ " # ! 书 ２１．５．１认识反比例函数 １．下列函数中，是反比例函数的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｙ＝２０２４ｘ Ｂ．ｙ＝２０２４ｘ Ｃ．ｙ＝２０２３ｘ２＋２０２４ｘ Ｄ．ｙ＝－ ｘ２０２４ ２．下面每个选项中的两种量成反比例关系的是 （　　） Ａ．ａ和ｂ互为倒数 Ｂ．圆柱的高一定，体积和底面积 Ｃ．被减数一定，减数和差 Ｄ．除数一定，商和被除数 ３．已知函数ｙ＝（ｋ－２）ｘ｜ｋ｜－３（ｋ为整数），当 ｋ为 时，ｙ是ｘ的反比例函数． ４．若函数ｙ＝ａ＋３ｘ 是关于ｘ的反比例函数，则ａ满 足的条件是 ． ５．已知ｙ与２ｚ成反比例，比例系数为ｋ１，ｚ与 １ ２ｘ成 正比例，比例系数为ｋ２，ｋ１和ｋ２是已知数，且ｋ１·ｋ２≠０， 则ｙ关于ｘ成 比例（填“正”或“反”）． ６．写出下列函数关系式，指出其中的正比例函数 和反比例函数，并写出它们的比例系数． （１）火车从石家庄驶往相距约２７７ｋｍ的北京，若 火车的平均速度为 ６０ｋｍ／ｈ，求火车距石家庄的距离 ｓ（ｋｍ）与行驶的时间ｔ（ｈ）之间的函数关系式； （２）某中学现有存煤２０ｔ，如果平均每天烧煤 ｘｔ， 共烧了ｙ天，求ｙ与ｘ之间的函数关系式； （３）一个游泳池容积为１０００ａ（ｍ３），注满游泳池所 用的时间ｙ（ｈ）随注水速度ｘ（ｍ３／ｈ）的变化而变化，求 ｙ与ｘ之间的函数关系式． ７．已知关于 ｘ，ｙ的反比例函数的关系式为 ｙ＝ ａ＋３ ｘ｜ａ｜－２ ，确定ａ的值，求这个函数关系式． ２１．５．２反比例函数的图象与性质（第一课时） １．若反比例函数ｙ＝４－２ｍｘ 的图象在一、三象限， 则ｍ的值可以是 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ２．已知函数ｙ＝（ｍ＋１）ｘｍ２－５是反比例函数，且其 图象在第二、四象限内，则ｍ的值是 （　　） Ａ．２ Ｂ．－２ Ｃ．±２ Ｄ．－１２ ３．在同一平面直角坐标系中反比例函数ｙ＝３ｘ与 一次函数ｙ＝ｘ＋３的图象大致是 （　　） ４．直线ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ与双曲线 ｙ＝ ｋ２ ｘ在同一平面直角坐标系 中的图象如图１所示，则关于ｘ的 不等式 ｋ２ ｘ ＞ｋ１ｘ＋ｂ的解集为 ． ５．如图２，反比例函数的图象与一次函数 ｙ＝－２ｘ ＋３的图象相交于点Ｐ，点Ｐ到ｙ轴的距离是１，则这个 反比例函数的关系式是 ． ６．如图３是三个反比例函数ｙ１＝ ｋ１ ｘ，ｙ２＝ ｋ２ ｘ，ｙ３＝ ｋ３ ｘ在 ｘ轴上方的图象，则 ｋ１，ｋ２，ｋ３的大小关系为 ． ７．已知函数ｙ＝－ ６｜ｘ｜，小明研究该函数的图象及 性质时，列出 ｙ与 ｘ的几组对应值如下表，请解答下列 问题： ｘ … －４－３－２－１ １ ２ ３ ４ … ｙ … －２－３ －６－３ （１）完成表格； （２）在如图４所示的平面直角坐标系ｘＯｙ中，描出 以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （３）观察图象，写出该函数的两条性质． ２１．５．２反比例函数的图象与性质（第二课时） １．在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，反比例函数 ｙ＝ ｋｘ 图象经过点Ｐ（１，ｍ），且在每一个象限内，ｙ随ｘ的增大 而减小，则点Ｐ在 （　　） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 ２．在反比例函数ｙ＝－ｋ ２－槡３ ｘ （ｋ为常数）的图象 上有三个点（π，ｙ１），（－２，ｙ２），（－槡１０，ｙ３），则函数值 ｙ１，ｙ２，ｙ３的大小关系为 （　　） Ａ．ｙ１ ＜ｙ２ ＜ｙ３ Ｂ．ｙ１ ＜ｙ３ ＜ｙ２ Ｃ．ｙ２ ＜ｙ３ ＜ｙ１ Ｄ．ｙ３ ＜ｙ１ ＜ｙ２ ３．反比例函数ｙ＝ ｋｘ（ｘ＜０）的图象如图１所示， ＡＢ∥ｙ轴，若△ＡＢＣ的面积为３，则ｋ的值为 （　　） Ａ．１２ Ｂ． ３ ２ Ｃ．３ Ｄ．－６ ４．如图２，点Ａ是反比例函数ｙ２＝ ８ ｘ（ｘ＞０）的图 象上的一动点，过点Ａ分别作ｘ轴、ｙ轴的平行线，与反 比例函数ｙ１＝ ｋ ｘ（ｋ≠０，ｘ＞０）的图象交于点Ｂ，点Ｃ， 连接 ＯＢ，ＯＣ．若四边形 ＯＢＡＣ的面积为 ５，则 ｋ＝ ． ５．如图３，点 Ａ，Ｃ在反比例函 数ｙ＝ ｋ１ ｘ（ｘ＞０）的图象上，点Ｂ， Ｄ在反比例函数ｙ＝ ｋ２ ｘ的图象上， 且点Ａ是线段ＯＢ的中点，ＢＣ⊥ｘ 轴，ＡＤ⊥ｙ轴，若△ＥＣＤ的面积是 １２，则ｋ２－ｋ１的值为 ． ６．如图４，在平面直角坐标系中，菱形ＯＡＢＣ的顶点 Ａ在ｙ轴正半轴上，点Ｃ的坐标为（４，３），反比例函数ｙ ＝ ｋｘ（ｋ≠０）的图象经过点Ｂ． （１）求反比例函数的表达式； （２）在反比例函数的图象上是否存在点 Ｐ，使得 △ＯＡＰ的面积等于菱形 ＯＡＢＣ的面积？若存在，请求出 点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 （满分：１２０分） 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．下列函数中不是反比例函数的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｙ＝ ２ｘ Ｂ．ｙ＝ｘ －１ Ｃ．ｘｙ＝３ Ｄ．ｙ＝ １２ｘ ２．已知反比例函数ｙ＝ｋ－２ｘ 的图象位于第二、第四 象限，则ｋ的取值范围是 （　　） Ａ．ｋ≥２ Ｂ．ｋ＞２ Ｃ．ｋ≤２ Ｄ．ｋ＜２ ３．如图１，点 Ａ是反比例函数 ｙ ＝－８ｘ（ｘ＜０）的图象上的一点，过 点Ａ作平行四边形ＡＢＣＤ．使点Ｂ，Ｃ在 ｘ轴上，点Ｄ在ｙ轴上，则平行四边形 ＡＢＣＤ的面积为 （　　） Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．８ Ｄ．１６ ４．已知反比例函数ｙ＝－５ｘ，则下列描述正确的是 （　　） Ａ．图象位于第一、三象限 Ｂ．ｙ随ｘ的增大而增大 Ｃ．图象不可能与坐标轴相交 Ｄ．图象必经过点（３２，－ ５ ３） ５．若点Ａ（ｘ１，－１），Ｂ（ｘ２，２），Ｃ（ｘ３，３）在反比例函 数ｙ＝－ｍ ２－１ ｘ 的图象上，则ｘ１，ｘ２，ｘ３的大小关系是 （　　） Ａ．ｘ３ ＞ｘ２ ＞ｘ１ Ｂ．ｘ３ ＞ｘ１ ＞ｘ２ Ｃ．ｘ１ ＞ｘ２ ＞ｘ３ Ｄ．ｘ１ ＞ｘ３ ＞ｘ２ ６．如图２，正比例函数ｙ＝ｋｘ与反比例函数ｙ＝ｍｘ 的图象相交于Ａ，Ｂ两点，ＡＣ⊥ｙ轴，垂足为Ｃ，若△ＡＢＣ 的面积为１０，则此反比例函数表达式为 （　　） Ａ．ｙ＝１０ｘ Ｂ．ｙ＝－ １０ ｘ Ｃ．ｙ＝ ５ｘ Ｄ．ｙ＝－ ５ ｘ ７．如图３，动点Ｐ在反比例函数ｙ＝４ｘ（ｘ＞０）的图 象上，ＰＡ⊥ｘ轴于点Ａ，Ｂ是ｙ轴上一动点．当点Ｂ从原点 向ｙ轴正半轴运动时，△ＰＡＢ的面积将会 （　　） Ａ．逐渐减小，接近０ Ｂ．不变，永远是４ Ｃ．不变，永远是２ Ｄ．不变，但不知道具体值 ８．若ａｂ＜０，则反比例函数ｙ＝ａｂｘ与一次函数ｙ＝ ａｘ＋ｂ在同一坐标系中的大致图象可能是 （　　） 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．若反比例函数ｙ＝４ｘ的图象经过点（－２，ｍ），则 ｍ的值是 ． １０．如图４，四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，点Ａ（１，０）， Ｂ（３，１），Ｃ（３，３），反比例函数的图象经过点 Ｄ，则反比 例函数的表达式是 ． １１．如图５，正比例函数ｙ＝ｘ与反比例函数ｙ＝４ｘ 的图象相交于Ａ，Ｃ两点，ＡＢ⊥ｘ轴于点Ｂ，ＣＤ⊥ｘ轴于 点Ｄ，则四边形ＡＢＣＤ的面积为 ． １２．如图６，点Ｄ是矩形ＡＯＢＣ的对称中心，Ａ（０，６）， Ｂ（８，０），若反比例函数ｙ＝ｋｘ的图象经过点Ｄ，交ＡＣ于 点Ｍ，则点Ｍ的坐标为 ． １３．如图７，点Ｂ和点Ｃ是反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０） 在第一象限上的点，过点Ｂ的直线ｙ＝ｘ－２与ｘ轴交于 点Ａ，ＣＤ⊥ｘ轴，垂足为Ｄ，ＣＤ与ＡＢ交于点Ｅ，ＯＡ＝ＡＤ， ＣＤ＝６，则Ｓ△ＢＣＥ ＝ ． １４．如图８，在平面直角坐标 系中，Ｏ为坐标原点，直线ｙ＝－ｘ ＋ｂ交反比例函数ｙ＝３ｘ（ｘ＞０） 的图象于点Ａ，Ｂ（点Ａ在Ｂ的左上 方），分别交 ｘ轴，ｙ轴于点 Ｃ，Ｄ， ＡＥ⊥ｘ轴于点Ｅ，交ＯＢ于点Ｆ．若 图中四边形ＢＣＥＦ与△ＡＯＦ的面 积差为 １ ２，则△ＡＢＦ与△ＯＥＦ的面积差为 ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１０分）已知函数ｙ＝ｙ１－ｙ２，其中ｙ１与ｘ成正 比例，ｙ２与ｘ－２成反比例，且当ｘ＝１时，ｙ＝１；当ｘ＝ ３时，ｙ＝５．求ｙ关于ｘ的函数表达式． １６．（１０分）已知关于ｘ的反比例函数ｙ＝ｍｘ的图象 经过点Ｐ（－２，１８）． （１）求这个反比例函数的表达式； （２）当４≤ｘ＜６时，请直接写出ｙ的取值范围． １７．（１０分）如图９，点Ａ的坐标是（０，６），点Ｂ的坐 标是（－２，０），将线段ＡＢ绕点Ａ逆时针旋转９０°后得到 线段ＡＣ． （１）求点Ｃ的坐标； （２）若反比例函数ｙ＝ ｋｘ的图象恰好经过ＡＣ的中 点Ｄ，求ｋ的值． １８．（１０分）设函数ｙ１ ＝ ｋ１ ｘ，函数ｙ２ ＝ｋ２ｘ＋ｂ（ｋ１， ｋ２，ｂ是常数，ｋ１≠０，ｋ２≠０）． （１）如图１０，若函数 ｙ１和函数 ｙ２的图象交于点 Ａ（１，ｍ），点Ｂ（３，１），求函数ｙ１，ｙ２的表达式； （２）若点Ｃ（２，ｎ）在函数ｙ１的图象上，将点Ｃ先向 下平移３个单位，再向左平移５个单位后得到点Ｄ，点Ｄ 恰好落在函数ｙ１的图象上，求ｎ的值． １９．（１２分）如图１１，一次函数ｙ１＝ｋｘ＋ｂ（ｋ，ｂ为常 数，ｋ≠０）的图象与反比例函数ｙ２＝ ｍ ｘ的图象交于Ｂ， Ｃ两点，且与ｘ轴交于点Ａ，与ｙ轴交于点Ｄ． （１）若Ｃ点的横坐标与Ｂ点的纵坐标都是１，ｍ＝２， 求一次函数的表达式； （２）若点Ｂ，Ｃ都在第一象限，ｋ＝－１， ①求ｂ２－４ｍ的取值范围； ②若ｂ≥６，且ｍ－ｂ＝２，求ＢＣ的最小值． ２０．（１２分）如图１２，反比例函数ｙ＝ ｋｘ（ｋ＞０）与 长方形ＯＡＢＣ在第一象限相交于Ｄ，Ｅ两点，ＯＡ＝２，ＯＣ ＝４，连接ＯＤ，ＯＥ，ＤＥ．记△ＯＡＤ，△ＯＣＥ的面积分别为 Ｓ１，Ｓ２． （１）填空： ①点Ｂ坐标为 ； ②Ｓ１ Ｓ２（填“＞”“＜”或“＝”）； （２）当Ｓ１＋Ｓ２ ＝２时， ①求ｋ的值及点Ｄ，Ｅ的坐标； ②试判断△ＯＤＥ的形状，并求△ＯＤＥ的面积                                                                                                                                                                 ． 书 １ ２ａ－ １ ２）． 把ｘ＝ａ＋１代入ｙ ＝－ｘ＋５，得ｙ＝－ａ＋ ４， 所 以 ０＜ａ＋１＜５， ０＜１２ａ－ １ ２ ＜－ａ＋４ { ， 解得１＜ａ＜３． 上期４版 重点集训营 因为抛物线 ｙ＝ ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴相交 于点 Ａ（－１，０），所以 ａ －ｂ＋ｃ＝０． （１）①Ｐ的坐标为 （１，－４）． ② 根据抛物线的 对称性，得 Ｂ（３，０）．设 直线 ＢＰ的表达式为 ｙ ＝ｋｘ＋ｎ，易得直线 ＢＰ 的表达式为ｙ＝２ｘ－６． 设点 Ｍ（ｍ，ｍ２ －２ｍ－ ３），则Ｇ（ｍ，２ｍ－６）．所 以ＭＧ＝２ｍ－６－（ｍ２ －２ｍ－３）＝－ｍ２＋４ｍ －３＝－（ｍ－２）２＋１． 所以当ｍ＝２时，ＭＧ取 得最大值 １，此时，点 Ｍ（２，－３），Ｇ（２，－２）． （２）因为３ｂ＝２ｃ，ａ －ｂ＋ｃ＝０，所以 ｂ＝ －２ａ，ｃ＝－３ａ（ａ＞０）． 所以抛物线的表达式为 ｙ＝ａｘ２ －２ａｘ－３ａ＝ ａ（ｘ－１）２－４ａ，所以顶 点 Ｐ 的 坐 标 为 （１， －４ａ）．因为直线 ｘ＝２ 与抛物线相交于点 Ｎ， 所以点Ｎ的坐标为（２， －３ａ）．作点Ｐ关于ｙ轴 的对称点 Ｐ′，作点 Ｎ关 于ｘ轴的对称点 Ｎ′，连 接Ｐ′Ｎ′，交ｘ轴于点Ｅ， 交ｙ轴于点 Ｆ，此时 ＰＦ ＋ＦＥ＋ＥＮ取得最小值 ５，所以点 Ｐ′的坐标为 （－１，－４ａ），点Ｎ′的坐 标为（２，３ａ）．延长 Ｐ′Ｐ， 交直线ｘ＝２于点Ｈ，则 Ｐ′Ｈ ⊥ Ｎ′Ｈ． 在 Ｒｔ△Ｐ′ＨＮ′中，Ｐ′Ｈ＝３， ＨＮ′＝３ａ－（－４ａ）＝ ７ａ，所以 Ｐ′Ｎ′２ ＝Ｐ′Ｈ２ ＋ＨＮ′２ ＝９＋４９ａ２ ＝ ２５，解得 ａ１ ＝ ４ ７，ａ２ ＝－４７（舍去），所以点 Ｐ′（－１， －１６７）， 点 Ｎ′（２，１２７）．所以易求得 直线Ｐ′Ｎ′的表达式为ｙ ＝ ４３ｘ－ ２０ ２１．所以点 Ｅ（５７，０）， 点 Ｆ（０， －２０２１）． ! !" #$ %& !""#$%&' ()*+,-./0 !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ 12345672*8 # / %&'( ! 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