21.6 综合与实践 获取最大利润-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（沪科版)

数学　九年级　上册 ７８　 0  0 ２１．６　综合与实践　获取最大利润 (１)最大利润问题一般用二次 函数解决． (２)一般步骤:先求出二次函 数表达式,再利用二次函数最 值的求法求解． 知识点　利用二次函数解决最大利润问题 出售产品的年总收入＝年销售量×产品的销售单价 出售产品的年利润＝年总收入－生产这些产品的总 成本 【例】某宾馆拥有客房１００间,经营中发现:每天入住 的客房数y(间)与其价格x(元)(１８０≤x≤３００)满 足一次函数关系,部分对应值如下表: x/元 １８０ ２６０ ２８０ ３００ y/间 １００ ６０ ５０ ４０ (１)求y 与x 之间的函数表达式． (２)已知每间入住的客房,宾馆每日需支出各种费用 １００元;每日空置的客房需支出各种费用６０元,当 房价为多少元时,宾馆当日利润最大? 求出最大值． (宾馆当日利润＝当日房费收入－当日支出) 解 (１)设一次函数表达式为y＝kx＋b(k≠０), 依题意,得 １８０k＋b＝１００ , ２６０k＋b＝６０,{ 解得 k＝－ １ ２ , b＝１９０, ì î í ï ï ïï 所以y 与x 之间的函数表达式为y＝－ １ ２x＋１９０ (１８０≤x≤３００)． (２)设房价为x 元(１８０≤x≤３００)时,宾馆当日利润 为w 元． 依题意,得w＝ ( － １ ２x＋１９０) 􀅰(x－１００)－６０× 第２１章　二次函数与反比例函数 ７９　 0  0 １００－ ( － １ ２x＋１９０) é ë ê ê ù û ú ú ＝ － １ ２x ２＋２１０x－１３６００＝ － １ ２ (x－２１０)２＋８４５０, 所以当x＝２１０时,w 取最大值,最大值为８４５０元． 答:当房价为２１０元时,宾馆当日利润最大,最大利润 为８４５０元． 常考题型解读 　 题型　 建立二次函数模型,利用二次函数的性质 解决利润最大问题 【例】某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并 销售,每年产销x 件．已知产销两种产品的有关信息 如下表: 产品 每件售 价/万元 每件成 本/万元 每年其他费 用/万元 每年最大产 销量/件 甲 ６ a ２０ ２００ 乙 ２０ １０ ４０＋０．０５x２ ８０ 其中a 为常数,且３≤a≤５． (１)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y１万元、 y２万元,直接写出y１,y２与x 的函数表达式． (２)分别求出产销两种产品的最大年利润． (３)为获得最大年利润,该公司应该选择产销哪种产 品? 请说明理由． 思路分析 解答本题的关键是由实际问题构建二次函数 模型,再利用二次函数的性质求最值． (１)根据“利润＝销售数量×每件的利润－其他费用” 即可解决问题． 九(１)班数学兴趣小组经过市 场调查,整理出某种商品在第 x(１≤x≤９０)天 的 售 价 与 销 量的相关信息如下表: 时间 x/天 １≤x＜ ５０ ５０≤x≤ ９０ 售价/ (元/件) x＋４０ ９０ 每天销 量/件 ２００－２x 已知该商品的进价为每件３０ 元,设销售该商品每天的利润 为y 元． (１)求 出 y 与x 的 函 数 表 达式． 数学　九年级　上册 ８０　 0  0 (２)销售该商品第几天时, 当天销售利润最大? 最大 利润是多少? (３)该商品在销售过程中, 共有多少天每天销售利润 不低于４８００元? (２)根据一次函数的增减性、二次函数的增减性即可 解决问题． (３)根据题意分三种情形分别求解即可． 解 (１)y１＝(６－a)x－２０,０＜x≤２００, y２＝－０．０５x２＋１０x－４０,０＜x≤８０． (２)对于y１＝(６－a)x－２０, 因为６－a＞０, 所以当x＝２００时,y１取得最大值,为(１１８０－２００a)万元． 对于y２＝－０．０５(x－１００)２＋４６０, 因为０＜x≤８０,所以当x＝８０时,y２取得最大值,为 ４４０万元． (３)①１１８０－２００a＝４４０,解得a＝３．７; ②１１８０－２００a＞４４０,解得a＜３．７; ③１１８０－２００a＜４４０,解得a＞３．７． 因为３≤a≤５,所以当a＝３．７时,生产甲、乙两种产 品的利润相同． 当３≤a＜３．７时,生产甲产品利润比较高． 当３．７＜a≤５时,生产乙产品利润比较高． 4 　　解答本题的关键是根据已知条件,找出两种产品 的年利润与产销量的变化规律,从而求出两种产品各 自的最大年利润,然后比较两种产品的最大年利润的 大小,最后作出判断． 易错易混解读 易错诊断　忽视自变量的取值范围 【例】某水果批发商销售每箱进价为４０ 元的苹果,物价部门规定每箱售价不 得高于５５元．市场调查发现,若以每箱 ５０元的价格销售,平均每天可销售９０ 箱,价格每提高１元,平均每天少销售 ３箱．设售价为x 元/箱．