第2期 21.3 二次函数与一元二次方程 21.4 二次函数的应用（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（沪科版）

书 【提示】 １．连接ＢＤ交ＡＣ于点Ｏ，连接ＯＧ，令ＡＣ与ＢＦ交 于点Ｍ，根据三角形中位线定理、平行线的性质、对 顶角相等和余角的性质可得∠ＯＭＧ＝∠ＣＭＦ＝ ∠ＡＣＤ＝∠ＣＯＧ，设ＯＧ＝ｘ，ＤＦ＝２ｘ，则ＯＧ＝ＧＭ ＝ＭＦ＝ＦＣ＝ｘ，解方程求出ｘ的值，利用勾股定理 即可求出ＢＣ的值． ２．连接ＢＤ交ＡＣ于点Ｏ，连接ＦＯ，取ＯＢ的中点 Ｈ，连接ＨＧ和ＡＨ，易证得ＯＦ和ＧＨ分别为△ＡＣＥ和 △ＢＯＦ的中位线，求得ＯＦ和ＧＨ的长度，在Ｒｔ△ＯＡＨ 中，利用勾股定理求得ＡＨ的长，再利用三角形的三 边关系可得，当ＡＧ＝ＡＨ＋ＨＧ时有最大值． 书 重点集训营 已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ，ｂ，ｃ是常数，ａ＞０） 的顶点为Ｐ，与ｘ轴相交于点Ａ（－１，０）和点Ｂ． （１）若ｂ＝－２，ｃ＝－３． ①求点Ｐ的坐标； ②直线ｘ＝ｍ（ｍ是常数，１＜ｍ＜３）与抛物线相 交于点Ｍ，与ＢＰ相交于点Ｇ，当ＭＧ取得最大值时，求 点Ｍ，Ｇ的坐标． （２）若３ｂ＝２ｃ，直线ｘ＝２与抛物线相交于点Ｎ， 点Ｅ是ｘ轴的正半轴上的动点，点Ｆ是ｙ轴的负半轴上 的动点，当ＰＦ＋ＦＥ＋ＥＮ的最小值为５时，求点Ｅ，Ｆ的 坐标． 辅助线周周练 １．如图１，在矩形ＡＢＣＤ中，ＤＥ⊥ＡＣ交ＢＣ于点Ｅ， 点Ｆ在ＣＤ上，连接ＢＦ交ＤＥ于点Ｇ，且ＢＧ＝ＧＦ＝ＤＦ， 若ＡＣ＝ 槡６２，则ＢＣ的值为 ． ２．如图２，在菱形ＡＢＣＤ中，∠Ｄ＝６０°，ＣＤ＝４，Ｅ 为菱形内部一点，且ＡＥ＝２，连接ＣＥ，点Ｆ为ＣＥ中点， 连接ＢＦ，取 ＢＦ中点 Ｇ，连接 ＡＧ，则 ＡＧ的最大值为 ． 书 二、９．ｙ＝５０（１－ ｘ）２；　１０．４；　１１．－１； 　１２．ａ２ ＜ ａ３ ＜ ａ１； 　１３．４；　１４．２２． 三、１５．（１）根据题 意得ｋ＋２≠０且ｋ２＋ｋ －４＝２，解得ｋ１＝－３， ｋ２ ＝２，因为二次函数 当ｘ＜０时，ｙ随ｘ的增 大而增大，所以二次函 数的图象开口向下，即 ｋ＋２＜０，所以ｋ＝－３． （２）由（１）得 ｙ＝ －ｘ２，所以顶点坐标为 （０，０），对称轴为ｙ轴． １６．（１）－１；－１． （２） 联 立 ｙ＝－ｘ－２， ｙ＝－ｘ２{ ， 解 得 ｘ＝－１， ｙ＝－{ １ 或 ｘ＝２， ｙ＝－４{ ，所以点 Ｂ的 坐标为（２，－４）． （３）由图象可得 ｘ ＜－１或ｘ＞２． １７．（１）由图象可 知Ａ点坐标为（－４，０）， 将Ａ（－４，０）代入 ｙ＝ ａ（ｘ＋１）２＋４中，解得ａ ＝－４９． （２）因为二次函数 ｙ＝ａ（ｘ＋１）２＋４，所以 顶点坐标为 Ｐ（－１，４）， 设点 Ｂ的坐标为（ｍ， ０），所以ＡＢ＝｜ｍ＋４｜， 因为△ＰＡＢ的面积为６， 所以 １ ２×４×｜ｍ＋４｜＝ ６，解得 ｍ１ ＝－１，ｍ２ ＝－７，所以点Ｂ的坐标 为（－１，０）或（－７，０）． １８．（１）过点 Ｃ作 ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｄ，设ＡＤ 为 ａ，因为 △ＡＢＣ为等 边三角形，ＣＤ⊥ ＡＢ，所 以ＡＤ＝ＤＢ＝ａ，∠ＡＣＤ ＝３０°，所以 ＡＣ＝２ａ， 由勾股定理，得 ＣＤ ＝ 槡３ａ，所以点Ｂ坐标为（２ ＋ａ，槡３ａ），因为点 Ｂ在 抛物线上，所以槡３ａ＝ ２（２＋ａ－２）２，解得ａ＝ 槡３ ２或ａ＝０（舍去），所 以Ｂ（４＋槡３２ ， ３ ２）． 书 上期２版 ２１．１二次函数 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．＜；　４．３． ５．（１）正方体的体积ｙ与棱长ｘ之间的关系是ｙ＝ ｘ３，不是二次函数； （２）该商品８月的售价 ｙ与 ｘ之间的关系是 ｙ＝ ３０（１－ｘ）２，是二次函数； （３）汽车匀速行驶的时间ｙ与速度ｘ之间的关系是 ｙ＝ ｓｘ，不是二次函数； （４）等腰三角形的顶角度数ｙ与底角度数ｘ之间的 关系是ｙ＝１８０°－２ｘ，不是二次函数． 能力提高　６．（１）因为函数ｙ＝ｍ（ｍ＋２）ｘ２＋ｍｘ ＋ｍ＋１是一次函数，所以ｍ（ｍ＋２）＝０且ｍ≠０，解得 ｍ＝－２，所以当ｍ＝－２时，此函数是一次函数． （２）因为函数ｙ＝ｍ（ｍ＋２）ｘ２＋ｍｘ＋ｍ＋１是二次 函数，所以ｍ（ｍ＋２）≠０，解得ｍ≠－２且ｍ≠０，所以 当ｍ≠－２且ｍ≠０时，此函数是二次函数． ２１．２．１二次函数ｙ＝ａｘ２的图象和性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ；　３．Ｄ；　４．２；　５．增大； ６．９２． ７．（１）把Ｂ（２，２）代入到直线ｙ＝－ｘ＋ｂ中，解得ｂ ＝４；把Ｂ（２，２）代入到抛物线ｙ＝ａｘ２中，解得ａ＝１２， 所以ａ的值是 １２，ｂ的值是４． （２）因 为 ｂ ＝ ４，所 以 点 Ａ（０，４）．联 立 得 ｙ＝－ｘ＋４， ｙ＝ １２ｘ ２{ ， 解得 ｘ＝２，ｙ＝{ ２或 ｘ＝－４，ｙ＝８{ ， 所以点 Ｃ的坐 标为（－４，８），所以Ｓ△ＢＯＣ ＝ １ ２×４×６＝１２． ２１．２．２二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象和性质 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｂ；　３．Ｃ　４．＞；　５．１２； ６．２≤ｙ＜１８． ７．（１）因为ａ＝３，ｂ＝６，且二次函数ｙ＝２（ｘ－ｍ）２ －２（ｍ是常数）的图象经过点 Ｐ（ａ，ｂ），所以把点 Ｐ（３， ６）代入关系式，得２（３－ｍ）２－２＝６，解得ｍ１ ＝５，ｍ２ ＝１，所以ｍ的值为５或１． （２）因为二次函数ｙ＝２（ｘ－ｍ）２－２的图象的对称 轴为直线ｘ＝ｍ，点Ｐ到对称轴的距离为１，所以ａ＝ｍ ＋１或ｍ－１，当ａ＝ｍ＋１时，ｂ＝２（ｍ＋１－ｍ）２－２＝ ０，当ａ＝ｍ－１时，ｂ＝２（ｍ－１－ｍ）２－２＝０，综上，ｂ 的值为０． 能力提高　８．（１）当ｙ＝０时，即 －２３ｘ＋２＝０，解 得ｘ＝３，所以Ａ（３，０），Ｂ（０，２），代入抛物线关系式，解 得ｂ＝７３，ｃ＝２，所以抛物线关系式为ｙ＝－ｘ ２＋７３ｘ＋２． （２）过Ｍ作ＭＣ⊥ｘ轴，交ＡＢ于Ｄ，设Ｍ（ｍ，－ｍ２ ＋７３ｍ＋２），则Ｄ（ｍ，－ ２ ３ｍ＋２），所以ＤＭ ＝－ｍ ２＋ ７ ３ｍ＋２＋ ２ ３ｍ－２＝－ｍ ２＋３ｍ，所以Ｓ＝Ｓ△ＢＤＭ ＋Ｓ△ＡＤＭ ＝ １２（－ｍ ２＋３ｍ）×３＝－３２ｍ ２＋９２ｍ，因为Ｍ是抛物 线上的一点，且在直线ＡＢ上方，所以０＜ｍ＜３．所以Ｓ 与ｍ的函数关系式为Ｓ＝－３２ｍ ２＋９２ｍ，其中０＜ｍ＜３． ２１．２．３二次函数表达式的确定 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ； ３．答案不惟一，如ｙ＝（ｘ－１）２． ４．此二次函数的表达式为ｙ＝ｘ２－２ｘ－３． 能力提高　５．（１）二次函数表达式为ｙ＝ｘ２－４ｘ＋ ３，对称轴为直线ｘ＝２． （２）因为ｍ＞２，所以当ｍ≤ｘ≤ｍ＋１时，ｙ随着ｘ 的增大而增大，所以ｙ最大 ＝（ｍ＋１） ２－４（ｍ＋１）＋３， ｙ最小 ＝ｍ ２－４ｍ＋３．因为函数的最大值与最小值的差为 ５，所以（ｍ＋１）２－４（ｍ＋１）＋３－ｍ２＋４ｍ－３＝５，解 得ｍ＝４． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｂ Ａ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ｂ 书 二次函数常常作为中考数学的压轴题出现，难度较 大，综合性较强，下面举例说明，供同学们参考． 例　已知二次函数ｙ＝ｘ２＋ （ｍ－２）ｘ＋ｍ－４，其中ｍ＞２． （１）当该函数的图象经过原 点Ｏ（０，０），求此时函数图象的顶 点Ａ的坐标； （２）求证：二次函数ｙ＝ｘ２＋ （ｍ－２）ｘ＋ｍ－４的顶点在第三象 限； （３）如图，在（１）的条件下，若平移该二次函数的图 象，使其顶点在直线ｙ＝－ｘ－２上运动，平移后所得函数 的图象与ｙ轴的负半轴的交点为 Ｂ，求 △ＡＯＢ面积的最 大值． 解：（１）把Ｏ（０，０）代入ｙ＝ｘ２＋（ｍ－２）ｘ＋ｍ－４， 得ｍ－４＝０，解得ｍ＝４， 所以ｙ＝ｘ２＋２ｘ＝（ｘ＋１）２－１， 所以此时函数图象的顶点Ａ的坐标为（－１，－１）． （２）证明：由抛物线的顶点坐标公式得，ｙ＝ｘ２＋（ｍ －２）ｘ＋ｍ－４的顶点为（２－ｍ２ ， －ｍ２＋８ｍ－２０ ４ ）． 因为ｍ＞２，所以２－ｍ＜０，所以２－ｍ２ ＜０． 因为 －ｍ２＋８ｍ－２０ ４ ＝－ １ ４（ｍ－４） ２－１≤ －１＜ ０，所以二次函数ｙ＝ｘ２＋（ｍ－２）ｘ＋ｍ－４的顶点在第 三象限． （３）设平移后图象对应的二次函数的表达式为ｙ＝ ｘ２＋ｂｘ＋ｃ，其顶点为（－ｂ２， ４ｃ－ｂ２ ４ ）． 当ｘ＝０时，Ｂ（０，ｃ）． 将（－ｂ２， ４ｃ－ｂ２ ４ ）代入ｙ＝－ｘ－２，得 ４ｃ－ｂ２ ４ ＝ ｂ ２ －２， 所以ｃ＝ｂ ２＋２ｂ－８ ４ ． 因为Ｂ（０，ｃ）在ｙ轴的负半轴上，所以ｃ＜０． 所以ＯＢ＝－ｃ＝－ｂ ２＋２ｂ－８ ４ ． 过点Ａ作ＡＨ⊥ＯＢ于点Ｈ． 因为Ａ（－１，－１），所以ＡＨ＝１． 所以Ｓ△ＡＯＢ ＝ １ ２ＯＢ·ＡＨ＝ １ ２×（－ ｂ２＋２ｂ－８ ４ ）× １＝－１８ｂ ２－１４ｂ＋１＝－ １ ８（ｂ＋１） ２＋９８． 因为 －１８ ＜０，所以当 ｂ＝－１时，Ｓ△ＡＯＢ取得最大 值，为 ９ ８，此时ｃ＜０，满足条件． 所以△ＡＯＢ面积的最大值是 ９８． 【对应练习见《重点集训营》】 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " # $ % " !" #$% 书 一、销售问题 例１　某食品零售店新 上架一款冷饮产品，每个成本 为８元，在销售过程中，每天 的销售量ｙ（个）与销售价格 ｘ（元 ／个）的关系如图１所 示，当１０≤ｘ≤２０时，其图象是线段ＡＢ，则该食品零售 店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元 （利润 ＝总销售额 －总成本）． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　解析：当１０≤ｘ≤２０时，设ｙ＝ｋｘ＋ｂ， 把（１０，２０），（２０，１０）代入可得 １０ｋ＋ｂ＝２０， ２０ｋ＋ｂ＝１０{ ，解 得 ｋ＝－１， ｂ＝３０{ ． 所以每天的销售量ｙ（个）与销售价格ｘ（元 ／个） 的函数表达式为ｙ＝－ｘ＋３０， 设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为 ｗ元， 则ｗ＝（ｘ－８）ｙ＝（ｘ－８）（－ｘ＋３０）＝－ｘ２＋３８ｘ －２４０＝－（ｘ－１９）２＋１２１， 因为 －１＜０，所以当 ｘ＝１９时，ｗ有最大值，为 １２１．故填１２１． 二、体育问题 例２　如图２，一位篮球运 动员投篮，球沿抛物线 ｙ＝ －０．２ｘ２＋ｘ＋２．２５运行，然后 准确落入篮筐内，已知篮筐的 中心离地面的高度为３．０５ｍ， 则他距篮筐中心的水平距离 ＯＨ是 ｍ． 解析：当ｙ＝３．０５时，３．０５＝－０．２ｘ２＋ｘ＋２．２５，整 理得ｘ２－５ｘ＋４＝０， 解得ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝４， 故他距篮筐中心的水平距离ＯＨ是４ｍ．故填４． 三、拱桥问题 例３　 如图３，一抛物线 形拱桥，当拱顶到水面的距离 为２ｍ时，水面宽度为４ｍ，那 么水位下降１ｍ时，水面的宽 度为 （　　） 槡 槡Ａ．６ｍ Ｂ．２６ｍ Ｃ．（槡６－４）ｍ Ｄ．（槡２６－８）ｍ 解析：以拱顶为原点，拱顶所在的水平直线为ｘ轴， 过拱顶垂直于水面的直线为 ｙ轴，建立平面直角坐标 系，设抛物线表达式为ｙ＝ａｘ２， 把（２，－２）代入解得ａ＝－１２，所以抛物线表达式 为ｙ＝－１２ｘ ２， 把ｙ＝－３代入解得 ｘ＝±槡６，则水面的宽度是 槡２６ｍ．故选Ｂ． 书 抛物线的对称性是二次函数的一个重要特征，即若 抛物线上有两个对称点的坐标为（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２），则一 定有ｙ１ ＝ｙ２，且其对称轴为直线ｘ＝ ｘ１＋ｘ２ ２ ． 例１　二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）图象上部 分点的坐标（ｘ，ｙ）对应值如下表所示，则该函数图象的 对称轴是直线 ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘ … －３ －２ －１ ０ １ … ｙ … －３ －２ －３ －６ －１１ … 解析：由表格中的数据可得，ｘ１ ＝－３和ｘ２ ＝－１的 函数值都是 －３，所以二次函数的对称轴为直线 ｘ＝ －３－１ ２ ＝－２．故填ｘ＝－２． 例２　已知抛物线ｙ＝－３ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴只有一 个交点，且过点 Ａ（ｍ－２，ｎ），Ｂ（ｍ＋４，ｎ），则 ｎ的值为 ． 解析：因为抛物线ｙ＝－３ｘ２＋ｂｘ＋ｃ过点Ａ（ｍ－２， ｎ），Ｂ（ｍ＋４，ｎ），所以对称轴为直线ｘ＝ｍ＋１，又因为抛 物线ｙ＝－３ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴只有一个交点，所以顶点为 （ｍ＋１，０），所以设抛物线表达式为ｙ＝－３（ｘ－ｍ－１）２， 把Ａ（ｍ－２，ｎ）代入，得ｎ＝－３（ｍ－２－ｍ－１）２＝－２７， 即ｎ＝－２７．故填 －２７． 例３　 已知点 Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２）在抛物线 ｙ＝ ｍｘ２－２ｍ２ｘ＋ｎ（ｍ≠０）上，当ｘ１＋ｘ２＞４且ｘ１＜ｘ２时， 都有ｙ１ ＜ｙ２，则ｍ的取值范围为 （　　） Ａ．０＜ｍ≤２ Ｂ．－２≤ｍ＜０ Ｃ．ｍ＞２ Ｄ．ｍ＜－２ 解析：由题易得该抛物线的对称轴为直线 ｘ＝ －－２ｍ ２ ２ｍ ＝ｍ，因为当ｘ１＋ｘ２ ＞４且ｘ１ ＜ｘ２时，都有ｙ１ ＜ｙ２，所以当ｍ＞０时，０＜２ｍ≤４，解得０＜ｍ≤２；当 ｍ＜０时，２ｍ＞４，此时ｍ无解．综上所述，ｍ的取值范围 为０＜ｍ≤２．故选Ａ． 例４　对于二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ，令ｆ（ｘ）＝ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ，则ｆ（ｘ０）表示当自变量ｘ＝ｘ０时的函数值．若 ｆ（５）＝ｆ（－３），且ｆ（－２０２２）＝２０２３，则ｆ（２０２４）＝ （　　） Ａ．２０２２ Ｂ．２０２３ Ｃ．－２０２２ Ｄ．－２０２３ 解析：因为ｆ（５）＝ｆ（－３），所以函数对称轴为直线ｘ ＝５＋（－３）２ ＝１，所以 ２０２４＋ｘ１ ２ ＝１，解得 ｘ１ ＝ －２０２２，所以ｆ（２０２４）＝ｆ（－２０２２）＝２０２３．故选Ｂ． 书 二次函数与一元二次方程本是一家，两者关系密 切，相互渗透，在解题运用中相辅相成，相得益彰，常常 携手出现在中考的舞台上． 例１　已知函数ｙ＝ｍｘ２＋３ｍｘ＋ｍ－１的图象与坐 标轴恰有两个公共点，则实数ｍ的值为 ． 解析：当ｍ＝０时，ｙ＝－１，与坐标轴只有一个交点， 不符合题意；当ｍ≠０时，因为函数ｙ＝ｍｘ２＋３ｍｘ＋ｍ－ １的图象与坐标轴恰有两个公共点，若过坐标原点，则ｍ －１＝０，解得ｍ＝１，若与ｘ，ｙ轴各一个交点，则Δ＝０， ｍ≠０，即（３ｍ）２－４ｍ（ｍ－１）＝０，解得ｍ＝－４５，综上 所述，ｍ的值为１或 －４５．故填１或 － ４ ５． 例２　把二次函数ｙ＝ｘ２＋４ｘ＋ｍ的图象向上平移 １个单位长度，再向右平移３个单位长度，如果平移后所 得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么ｍ应满足 的条件为 ． 解析：由题意，可得平移后的表达式为ｙ＝（ｘ＋２－ ３）２＋ｍ－４＋１＝ｘ２－２ｘ＋ｍ－２，所以对称轴为直线ｘ ＝１，因为平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公 共点，所以Δ＝４－４（ｍ－２）＜０，解得ｍ＞３．故填ｍ＞３． 例３　 小明在学习“二次函数” 内容后，进行了反思总结．如图，二次 函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）图象的 一部分与 ｘ轴的一个交点坐标为（１， ０），对称轴为直线ｘ＝－１，结合图象 他得出下列结论：①ａｂ＞０且 ｃ＞０； ②ａ＋ｂ＋ｃ＝０；③关于ｘ的一元二次 方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的两根分别为 －３和１；④ 若点（－４，ｙ１），（－２，ｙ２），（３，ｙ３）均在二次函数图象上， 则ｙ１ ＜ｙ２ ＜ｙ３；⑤３ａ＋ｃ＜０，其中正确的结论有 （填序号，多选、少选、错选都不得分）． 解析：由图知抛物线对称轴在 ｙ轴的左侧，所以 ａｂ ＞０，因为抛物线与ｙ轴交点在ｘ轴上方，所以ｃ＞０，① 正确；因为抛物线经过（１，０），所以ａ＋ｂ＋ｃ＝０，②正 确；因为抛物线与ｘ轴的一个交点坐标为（１，０），对称轴 为直线ｘ＝－１，所以另一个交点为（－３，０），所以关于ｘ 的一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的两根分别为 －３和１，③正确；因为 －１－（－２）＜－１－（－４）＜３ －（－１），抛物线开口向下，所以ｙ２＞ｙ１＞ｙ３，④错误；因 为ａ＋ｂ＋ｃ＝０，－ｂ２ａ＝－１，所以ｂ＝２ａ，所以３ａ＋ｃ＝ ０，⑤错误．故填①②③． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !&!" ! !" " ' $ " &' ()* " +, -./ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " #! !"#$" $"% ! #$#%&&'""( 012 !3"4567 859:;<=5>? " @ ! ! !"#$ !"#$%&'" ()*+,-'. "#$% %&'()* + , - . AB#CDEFG HI>JKL1@M !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! # !' "'#$ "( #( " % $'% #( "( ' ! $ ( ' ! # % ) # ) ! * " NO PQR H12 "S%456M HTU %4V>JK7 WXYZ[:\] WXY[^_=`abcd WXY[efghijkl\m 9nDopqr4 ostu.v wxyz{|r4}~t+,"%-(&(&'H.M ) *+ u.v , ) *+ #- , # - .+ €v , ) *+ ‚ ƒ , ) *+ ( „ -./01+ € R 23/01+ €…† -4506+ ‡ ˆ -4578+ ‰Š‹ -Œ Ž  ‘’ “ ” •–— #˜$ “™… š Š ›œ’ ž. 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７．已知二次函数ｙ＝ｘ２－（ｍ＋２）ｘ＋２ｍ－１． （１）求证：不论ｍ取何值，该函数图象与 ｘ轴总有 两个公共点； （２）若该函数的图象与ｙ轴交于点（０，３），当０＜ｘ ＜５时，求ｙ的取值范围． ２１．４二次函数的应用（第一课时） １．某种商品每件进价为２０元，调查表明：在某段时 间内若以每件ｘ元（２０≤ｘ≤３０，且ｘ为整数）出售，可 卖出（３０－ｘ）件，要使利润最大，每件的售价应为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２４元 Ｂ．２５元 Ｃ．２８元 Ｄ．３０元 ２．将进货单价为３０元的某种商品按零售价１００元 １件卖出时，每天能卖出２０件．若这种商品的零售价在 一定范围内每降价１元，其日销售量就增加１件，为了 获得最大的利润，则应降价 （　　） Ａ．５元 Ｂ．１５元 Ｃ．２５元 Ｄ．３５元 ３．如图１，某学校拟建一块矩 形花圃，打算一边利用学校现有的 墙（墙足够长），其余三边除门外用 栅栏围成，栅栏总长度为５０ｍ，门 宽为２ｍ．这个矩形花圃的最大面 积是 ｍ２． ４．某电商平台１１月１日起开始销售一款新品牌手 机，当月的日销售额ｙ（万元）和销售时间第ｘ天（１≤ｘ ≤３０且ｘ为整数）之间满足二次函数关系ｙ＝－（ｘ－ ｈ）２＋ｋ，根据市场调查可以确定在当月中旬日销售额 达到最大值．若第１８天的销售额比第１９天的销售额多 ５万元，则第 天的日销售额最大． ５．如图 ２，在 △ＡＢＣ中，∠Ｃ＝ ９０°，ＡＢ＝１０ｃｍ，ＢＣ＝８ｃｍ，点Ｐ从 点Ａ沿ＡＣ向点Ｃ以１ｃｍ／ｓ的速度运 动，同时点Ｑ从点 Ｃ沿 ＣＢ向点 Ｂ以 ２ｃｍ／ｓ的速度运动（点Ｑ运动到点 Ｂ 停止），在运动过程中，四边形 ＰＡＢＱ 的面积的最小值为 ｃｍ２． ６．金秋十月，我省某农业合作社有机水稻再获丰 收，加工成有机大米后通过实体和电商两种渠道进行 销售．该有机大米成本为每千克１４元，销售价格不低于 成本，且不超过２５元 ／千克，根据各销售渠道的反馈， 发现该有机大米一天的销售量ｙ（千克）是该天的售价 ｘ（元 ／千克）的一次函数，部分情况如表： 售价ｘ（元 ／千克） １４ １６ １８ … 销售量ｙ（千克） ８００ ７００ ６００ … （１）求一天的销售量ｙ（千克）与售价ｘ（元 ／千克） 之间的函数关系式并写出ｘ的取值范围； （２）若某天销售这种大米获利２４００元，那么这天 该大米的售价为多少？ （３）该有机大米售价定为多少时，当天获利 ｗ最 大？最大利润为多少？ ２１．４二次函数的应用（第二课时） １．《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车 道行驶的机动车，后车应与前车保持足以采取紧急制 动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识 来解释．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离 ｓ（ｍ） 与时间ｔ（ｓ）的函数关系式为ｓ＝１６ｔ－４ｔ２，当遇到紧急 情况刹车时，由于惯性的作用，汽车停下的时候滑行了 （　　） Ａ．０ｍ Ｂ．４ｍ Ｃ．１６ｍ Ｄ．８ｍ ２．如图１，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似 地看成抛物线，喷水头的高度（即ＯＢ的长度）是１米． 当喷射出的水流距离喷水头 ８米时，达到最大高度 １．８米，则水流喷射的最远水平距离ＯＣ是 （　　） Ａ．１６米 Ｂ．１８米 Ｃ．２０米 Ｄ．２４米 ３．中国石拱桥是我国古代人民建筑艺术上的智慧 象征，如图２所示，某桥拱是抛物线形，正常水位时，水 面宽ＡＢ为２０ｍ，由于持续降雨，水位上升３ｍ，若水面 ＣＤ宽为１０ｍ，则此时水面距桥面距离 ＯＥ的长为 ｍ． ４．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直 于水面安装一个花形柱子ＯＡ，Ｏ恰好在水面中心，安装 在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿 形状相同的抛物线路径落下，且在过 ＯＡ的任一平面 上，如图３－①，建立直角坐标系如图３－②，水流喷出 的高度ｙ（米）与水平距离ｘ（米）之间的关系式是ｙ＝－ ｘ２＋２ｘ＋５４． （１）求喷出的水流距水平面的最大高度； （２）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米， 才能使喷出的水流不至于落在池外？ ５．某高速公路的某单向通行隧道设计图由抛物线 与矩形的三边组成，尺寸如图４所示，隧洞限高４ｍ，隧 洞道路正中间标有一条实线． （１）水平安置一根限高杆，两端固定在洞门上，求 限高杆的最小长度； （２）某卡车若装载一集装箱，已知箱宽３ｍ，车与车 箱共高３．８ｍ，此车能否不跨越标线通过隧道（标线宽 度不计）？请说明理由 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 （满分：１２０分） 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．抛物线ｙ＝ｘ２－５ｘ＋６与ｘ轴的交点情况是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．有两个交点 Ｂ．只有一个交点 Ｃ．没有交点 Ｄ．无法判断 ２．关于ｘ的一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０） 的两个根分别为 －１和５，则二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ ≠０）的对称轴是直线 （　　） Ａ．ｘ＝－３ Ｂ．ｘ＝－１ Ｃ．ｘ＝２ Ｄ．ｘ＝３ ３．已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ经过点Ａ（－３，－３），且 该抛物线的对称轴经过点Ａ，则该抛物线的表达式为 （　　） Ａ．ｙ＝－１３ｘ ２－２ｘ Ｂ．ｙ＝－１３ｘ ２＋２ｘ Ｃ．ｙ＝ １３ｘ ２－２ｘ Ｄ．ｙ＝ １３ｘ ２＋２ｘ ４．向空中发射一枚炮弹，经过ｘ秒后的高度为ｙ米， 且时间与高度ｙ的关系式为ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０），若 此炮弹在第６秒与第１４秒时的高度相等，则下列时间中 炮弹所在高度最高的是 （　　） Ａ．第８秒 Ｂ．第９秒 Ｃ．第１０秒 Ｄ．第１１秒 ５．根据下列表格中二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的自变 量ｘ与函数值ｙ的对应值， ｘ ６．１７ ６．１８ ６．１９ ６．２０ ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ －０．０３ －０．０１ ０．０２ ０．０４ 判断方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０，ａ，ｂ，ｃ为常数）的 一个解ｘ的范围可能是 （　　） Ａ．６＜ｘ＜６．１７ Ｂ．６．１７＜ｘ＜６．１８ Ｃ．６．１８＜ｘ＜６．１９ Ｄ．６．１９＜ｘ＜６．２０ ６．如图１，隧道的截面由抛物 线和长方形 ＯＡＢＣ构成，已知抛物 线的表达式为ｙ＝－１６ｘ ２＋２ｘ＋４， 需要在抛物线形拱壁上安装两排 灯，如果灯离地面的高度为８ｍ，那 么两排灯的水平距离是 （　　） 槡 槡Ａ．２ｍ Ｂ．４ｍ Ｃ．４２ｍ Ｄ．４３ｍ ７．某景区旅店有３０张床位，每床每天收费１０元时， 可全部租出，若每床每天收费提高５元，则有１张床位不 能租出；若每床每天收费再提高５元，则再有１张床位不 能租出；若每次按提高５元的这种方法变化下去，则该 旅店每天营业收入最多为 （　　） Ａ．３１２５元 Ｂ．２１２０元 Ｃ．２９５０元 Ｄ．１２８０元 ８．对于一个函数，自变量ｘ取ｃ时，函数值为０，则称 ｃ为这个函数的零点．若关于ｘ的二次函数ｙ＝ｘ２－６ｘ＋ ｍ（ｍ≠０）有两个不相等的零点ｘ１，ｘ２（ｘ１ ＜ｘ２），关于ｘ 的方程 －ｘ２＋６ｘ－ｍ－２＝０有两个不相等的非零实数 根ｘ３和ｘ４（ｘ３ ＜ｘ４），则下列式子一定正确的是（　　） Ａ．０＜ ｘ１ ｘ３ ＜１ Ｂ． ｘ１ ｘ３ ＞１ Ｃ．０＜ ｘ２ ｘ４ ＜１ Ｄ． ｘ２ ｘ４ ＞１ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．抛物线ｙ＝ｘ２＋６ｘ＋ｍ与ｘ轴无公共点，则ｍ的 取值范围为 ． １０．如图２，一次函数ｙ１＝ ｋｘ＋ｎ（ｋ≠０）与二次函数 ｙ２ ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的图象 相交于 Ａ（－１，５），Ｂ（９，２）两 点，则关于 ｘ的不等式 ｋｘ＋ｎ ≥ ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ的解集为 ． １１．如图３用一段长为１６ｍ的篱笆围成一个一边靠 墙的矩形围栏（墙长 ９ｍ），则这个围栏的最大面积为 ｍ２． １２．某抛物线形拱桥的示意图如图４所示，已知桥长 ＡＢ＝４８米，拱桥最高处点Ｃ到水面ＡＢ的距离为１２米， 在该抛物线上的点Ｅ，Ｆ处要安装两盏警示灯（点Ｅ，Ｆ关 于ｙ轴对称），警示灯Ｆ距水面ＡＢ的高度是９米，则这两 盏灯的水平距离ＥＦ是 米． １３．有一个抛物线形蔬菜大棚，将其截面放在如图５ 所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数 ｙ＝ －３１６ｘ ２＋ｂｘ来表示，已知ＯＫ＝８米．若借助横梁ＳＴ（ＳＴ ∥ＯＫ）建一个门，要求门的高度为１．５米，则横梁ＳＴ的 长度是 米． １４．如图６，抛物线ｙ＝ａｘ２－５ａｘ＋４经过△ＡＢＣ的 三个顶点，已知ＢＣ∥ｘ轴，点Ａ在ｘ轴上，点Ｃ在ｙ轴上， 且ＡＣ＝ＢＣ，则ａ的值为 ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１０分）如图７，二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠ ０）的图象的顶点 Ｃ的坐标为（－１，－３），与 ｘ轴交于 Ａ（－３，０），Ｂ（１，０），根据图象回答下列问题： （１）写出方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的根； （２）若方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝ｋ有实数根，写出实数ｋ的 取值范围． １６．（１０分）已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象如 图８所示，它与ｘ轴的一个交点坐标为（－１，０），与ｙ轴的 交点坐标为（０，３），对称轴为直线ｘ＝１． （１）求出ｂ，ｃ的值，并写出此二次函数的关系式； （２）根据图象，直接写出函数值ｙ为正数时，自变量 ｘ的取值范围； （３）当２≤ｘ≤４时，求ｙ的最大值． １７．（１０分）如图９，在篮球比赛中，东东投出的球在 点Ａ处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分， 抛物线顶点为点Ｂ． （１）求该抛物线的函数表达式； （２）当球运动到点Ｃ时被东东抢到，已知ＣＤ⊥ｘ轴 于点Ｄ，ＣＤ＝２．６ｍ，求ＯＤ的长． １８．（１０分）如图１０，小明家门前有一空地，空地外 有一面长１０ｍ的围墙，小明的爸爸准备一面靠墙建一个 矩形花圃，他买回３２ｍ长的不锈钢管准备全部作为花圃 的围栏．为了浇花和赏花方便，在花圃的正中间留一条 宽为１ｍ的通道及在左右花圃各放一个１ｍ宽的门．设 花圃宽为ｘ（ｍ），花圃总面积为ｙ（ｍ２）． （１）求ｙ与ｘ之间的函数关系式，并写出ｘ的取值范 围； （２）求宽为多少时，花圃的面积最大？ １９．（１２分）某商场将进货价为３０元的台灯以４０元售 出，平均每月能售出６００个，调查表明：售价在４０元至 ６０元范围内，这种台灯的售价每上涨１元，其销售量就将 减少１０个，设该商场决定把售价上涨ｘ（０＜ｘ＜２０）元． （１）售价上涨 ｘ元后，该商场平均每月可售出 个台灯（用含ｘ的代数式表示）； （２）为了实现平均每月１００００元的销售利润，这种 台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？ （３）台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？ ２０．（１２分）如图１１，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，直 线ｙ＝－ｘ＋５与ｘ轴交于点Ａ，与ｙ轴交于点Ｂ，点Ｃ为 抛物线ｙ＝ａｘ２－２ａ２ｘ＋ａ３＋１２ａ的顶点． （１）用含ａ的代数式表示顶点Ｃ的坐标； （２）当顶点Ｃ在△ＡＯＢ内部，且Ｓ△ＡＯＣ ＝ ５ ２时，求 抛物线的表达式； （３）如果将抛物线向右平移１个单位，再向下平移 １ ２个单位后，平移后的抛物线的顶点Ｐ仍在△ＡＯＢ内， 求ａ的取值范围                                                                                                                                                                 ． 书 （２）因为 ａ＝槡３２， 所以 ＡＤ ＝ＤＢ＝槡３２， ＣＤ＝ ３２，所以 ＡＢ＝ 槡３，所以 Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２· ＡＢ·ＣＤ＝ 槡３３４． １９．（１）因为 ｙ＝ ａｘ２＋２，所以抛物线顶 点Ａ的坐标为（０，２），所 以点Ｃ坐标为（０，０），所 以点Ｂ坐标为（－１，１）， 点 Ｄ坐标为（１，１），将 （１，１）代入ｙ＝ａｘ２＋２ 中解得 ａ＝－１，故填 －１． （２） 因 为 ｙ ＝ －１２（ｘ－１） ２＋ｋ，所以 抛物线顶点Ａ的坐标为 （１，ｋ），点 Ｃ坐标为（１， ０），所以点 Ｄ坐标为（１ ＋ １２ｋ， １ ２ｋ），将（１＋ １ ２ｋ， １ ２ｋ）代入 ｙ＝ －１２（ｘ－１） ２＋ｋ中，解 得ｋ１ ＝０（舍去），ｋ２ ＝ ４．故填４． （３）由题意易得抛 物线经过点（ｈ＋１２ｋ， １ ２ｋ），所以 １ ２ｋ＝ａ（ｈ＋ １ ２ｋ－ｈ） ２＋ｋ，解得 ａｋ ＝－２，故ａ，ｋ之间的数 量关系为ａｋ＝－２． ２０．（１）因为抛物 线与 ｘ轴交于 Ａ（－３， ０），Ｂ（１，０）两点，所以 函数关系式为 ｙ＝ａ（ｘ ＋３）（ｘ－１），由题易得 Ｃ（０，３），所以－３ａ＝３， 解得 ａ＝－１，所以 ｙ ＝－（ｘ＋３）（ｘ－１）＝ －ｘ２－２ｘ＋３，所以抛物 线的关系式为 ｙ＝－ｘ２ －２ｘ＋３． （２）△ＡＣＭ是直角 三角形，理由如下： 因为ｙ＝－ｘ２－２ｘ ＋３＝－（ｘ＋１）２＋４，所 以 抛 物 线 的 顶 点 Ｍ（－１，４），因为Ａ（－３， ０），Ｃ（０，３），所以 ＡＣ２ ＝１８，ＡＭ２＝２０，ＣＭ２＝ ２，所以 ＡＣ２ ＋ＣＭ２ ＝ ＡＭ２，所以 △ＡＣＭ是直 角三角形． （３）存在，理由如 下： 因为 Ａ（－３，０）， Ｂ（１，０），所以 ＡＢ＝４， 设点Ｐ的横坐标为ｔ，则 Ｐ（ｔ，－ｔ２－２ｔ＋３），所以 Ｓ△ＰＡＢ ＝ １ ２ＡＢ·ｙＰ ＝８， 即 １ ２·４·（－ｔ ２－２ｔ＋ ３）＝８，解得 ｔ１ ＝ｔ２ ＝ －１，所以点Ｐ的坐标为 （－１，４）． 上期４版 重点集训营 题型一：１．Ｃ；　２． Ａ． 题型二：３．Ｄ；　４． Ｂ． ! !" #$ %& !""#$%&' ()*+,-./0 !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ 12345672*8 # / %&'( ! 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