第1期 21.1 二次函数 21.2 二次函数的图象和性质（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（沪科版）

书 二次函数是函数大家族中极为重要的成员，它的许 多性质在我们实际生活中有着广泛应用，因此同学们学 习时一定要深刻领会二次函数的概念，通过对问题情境 的分析确定二次函数的表达式，为运用二次函数及其性 质解决实际问题打下坚实的基础． 一、二次函数的概念 一般地，形如ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ，ｂ，ｃ是常数，ａ≠０） 的函数，叫做二次函数．其中，ｘ是自变量，ａ，ｂ，ｃ分别是 函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项． 注意： （１）二次函数的自变量ｘ的最高次数是２； （２）特别要注意ａ≠０这一个条件．若ａ＝０，表达式 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ中就不含有二次项，它就成了一次函数 ｙ＝ｂｘ＋ｃ； （３）当ｂ＝０，ｃ＝０时，ｙ＝ａｘ２是特殊的二次函数． 例１　下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是二 次函数？ （１）ｙ＝ｘ＋１ｘ；　（２）ｙ＝（３ｘ－１） ２－９ｘ２； （３）ｙ＝１０πｒ２；　（４）ｙ＝槡３ｘ ３＋２ｘ２－５； （５）ｙ＝３（ｘ－１）２＋２０２４；　（６）ｙ＝ １ ２ｘ２ ＋４ｘ． 分析：（１）的最高次数不是２，且含有自变量的式子 包含分式；（２）利用去括号与合并同类项后得ｙ＝－６ｘ＋ １，是一次函数；（３）是二次函数；（４）的自变量的最高次 数是３；（５）整理后可得ｙ＝３ｘ２－６ｘ＋２０２７，符合二次 函数的定义；（６）的最高次数是２，但含有自变量的式子 包含分式． 解：（３）（５）是二次函数，（１）（２）（４）（６）不是二次函数． 方法指导：识别二次函数的关键是：（１）函数的关 系式是整式；（２）经化简整理后，自变量的最高次数是 ２；（３）二次项系数不等于零． 二、建立二次函数模型 解有关二次函数的应用题，与一次函数应用题类 似，都是寻找等量关系，如总利润 ＝单件利润×数量，长 方形的面积 ＝长 ×宽等． 例２　用一根长为８００ｃｍ的木条做一个矩形窗框， 若宽为ｘｃｍ，写出它的面积ｙ与ｘ之间的函数关系式，并 判断ｙ是ｘ的二次函数吗？ 分析：根据矩形的周长表示出长，根据面积 ＝长 × 宽即可得出ｙ与ｘ之间的函数关系式． 解：由题意得，矩形的周长为８００ｃｍ， 所以矩形的长为 ８００－２ｘ ２ ｃｍ， 所以ｙ＝ｘ×８００－２ｘ２ ＝－ｘ ２＋４００ｘ（０＜ｘ＜４００）． 所以ｙ是ｘ的二次函数． 方法指导：列二次函数的表达式要遵循以下步骤： （１）审清题意，找出实际问题中的已知量、未知量，并把 未知量用字母表示；（２）找出已知量、未知量之间的数 量关系，用代数式表示；（３）找出等量关系，把文字语 言、图形语言等用等式表示，并把等式化为ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ ＋ｃ（ａ≠０）的形式． 书 纵观近年全国各地的中考试卷，我们从考查二次函 数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）相关知识的一些题目中发现 了一个亮点，那就是利用其图象（抛物线）来确定ａ，ｂ，ｃ 的符号．解题的关键在于把二次函数的性质和图象有效 地结合起来，即运用数形结合的思想方法加以解决． 一、明确作用 对于二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的图象， （１）ａ决定开口方向．当ａ＞０时，抛物线开口向上； 当ａ＜０时，抛物线开口向下． （２）ｂ和ａ共同决定抛物线对称轴的位置．由于抛物 线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的对称轴是直线ｘ＝－ｂ２ａ， 故当ｂ＝０时，对称轴为ｙ轴；当 ｂａ＞０时，对称轴在ｙ轴 的左侧；当 ｂ ａ ＜０时，对称轴在ｙ轴的右侧． （３）ｃ的大小决定抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）与 ｙ轴交点的位置．当ｃ＝０时，抛物线经过原点；当ｃ＞０ 时，与ｙ轴交于正半轴；当ｃ＜０时，与ｙ轴交于负半轴． 温馨提示：以上三点中，当条件和结论互换时，就可 以确定ａ，ｂ，ｃ的符号了． 二、典例精析 例１　函数ｙ＝｜ａｘ２＋ｂｘ＋ ｃ｜（ａ＞０，ｂ２－４ａｃ＞０）的图象 是由函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＞０， ｂ２－４ａｃ＞０）的图象ｘ轴上方部 分不变，下方部分沿 ｘ轴向上翻 折而成，如图１所示，则下列结论 正确的是 （　　） ①２ａ＋ｂ＝０；②ｃ＝３；③ａｂｃ ＞０；④ 将图象向上平移１个单 位后与直线ｙ＝５有３个交点． 　　　　　 　　　　　 　　　　　Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③④ Ｄ．①③④ 解析：由函数图象易得ｙ＝｜ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ｜的对称轴 为直线ｘ＝－１＋３２ ＝１，即 － ｂ ２ａ＝１，所以２ａ＋ｂ＝０， 故①正确；因为该函数图象与ｙ轴的交点坐标为（０，３）， 由翻折的性质可得ｃ＝－３，故②错误；因为ａ＞０，－ｂ２ａ ＝１，所以ｂ＜０，又因为ｃ＝－３＜０，所以ａｂｃ＞０，故③ 正确；根据图象设翻折后抛物线的表达式为 ｙ＝ａ（ｘ＋ １）（ｘ－３），代入（０，３），解得 ａ＝－１，所以 ｙ＝－（ｘ＋ １）（ｘ－３）＝－ｘ２＋２ｘ＋３＝－（ｘ－１）２＋４，所以顶点坐 标为（１，４），因为点（１，４）向上平移１个单位后的坐标为 （１，５），所以将图象向上平移１个单位后与直线ｙ＝５有 ３个交点，故④正确．故选Ｄ． 例２　已知二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ ｂｘ＋ｃ（ａ，ｂ，ｃ是常数，且ａ≠０）的图 象如图２所示，则一次函数ｙ＝ｃｘ＋ ｂ ２ａ与反比例函数ｙ＝ ａｂ ｘ在同一坐标 系内的大致图象是 （　　） 解析：因为抛物线对称轴在ｙ轴右侧，所以 ｂ２ａ＜０， ａｂ＜０．因为抛物线与ｙ轴的交点在ｘ轴下方，所以ｃ＜ ０．对于一次函数ｙ＝ｃｘ＋ｂ２ａ图象经过第二、四象限，与ｙ 轴的交点在ｘ轴下方．对于反比例函数 ｙ＝ａｂｘ，图象分 布在第二、四象限．故选Ｂ． 书 一、ｙ＝ａｘ２（ａ≠０）的图象及性质 二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ≠０）的图象是一条抛物线，它 的对称轴是ｙ轴，顶点是原点（０，０）． （１）用描点法作二次函数的图象：①列表；②描点； ③连线． （２）当ａ＞０和ａ＜０时，二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ≠０） 的图象具有不同的性质，现总结如下： 二次项 系数 图象 开口 方向 对称 轴 顶点 坐标 增减性 ａ＞０ 向上 ｙ轴 （０，０）， 为最 低点 当ｘ＜０时，ｙ随 ｘ的增大而减 小；当ｘ＞０时， ｙ随 ｘ的增大而 增大 ａ＜０ 向下 ｙ轴 （０，０）， 为最 高点 当ｘ＜０时，ｙ随 ｘ的增大而增 大；当ｘ＞０时， ｙ随 ｘ的增大而 减小 抛物线ｙ＝ａｘ２的开口大小与｜ａ｜的关系非常密切， 当｜ａ｜越大时，抛物线的开口越小；当｜ａ｜越小时，抛物 线的开口越大． 二、ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ（ａ≠０）的图象及性质 二次函数ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ（ａ≠０）的图象是一条 抛物线，它的对称轴是直线ｘ＝ｈ，顶点坐标为（ｈ，ｋ）．二 次函数ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ（ａ≠０）的性质与ａ，ｈ，ｋ的关 系密切，现总结如下： 二次项 系数 图象 开口 方向 对称 轴 顶点 坐标 增减性 ａ＞０ 向上 直线 ｘ＝ｈ （ｈ，ｋ） 当ｘ＜ｈ时，ｙ随ｘ 的增大而减小； 当ｘ＞ｈ时，ｙ随ｘ 的增大而增大； 当 ｘ＝ｈ时，ｙ有 最小值，其最小 值为ｋ ａ＜０ 向下 直线 ｘ＝ｈ （ｈ，ｋ） 当ｘ＜ｈ时，ｙ随ｘ 的增大而增大； 当ｘ＞ｈ时，ｙ随ｘ 的增大而减小； 当 ｘ＝ｈ时，ｙ有 最大值，其最大 值为ｋ 【对应练习见《重点集训营》】 书 重点集训营 题型一：函数图象 １．在同一坐标系中，一次函数ｙ＝ａｘ＋ｋ与二次函 数ｙ＝ｋｘ２＋ａ的图象可能是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ２．若二次函数ｙ＝２（ｘ－１）２－ １的图象如图１所示，则坐标原点可 能是 （　　） Ａ．点Ｍ Ｂ．点Ｎ Ｃ．点Ｐ Ｄ．点Ｑ 题型二：比较大小 ３．已知点（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２）（两 点不重合）均在抛物线ｙ＝ｘ２－１上，则下列说法正确 的是 （　　） Ａ．若ｙ１ ＝ｙ２，则ｘ１ ＝ｘ２ Ｂ．若ｘ１ ＝－ｘ２，则ｙ１ ＝－ｙ２ Ｃ．若０＜ｘ１ ＜ｘ２，则ｙ１ ＞ｙ２ Ｄ．若ｘ１ ＜ｘ２ ＜０，则ｙ１ ＞ｙ２ ４．如图２所示，在同一 平面直角坐标系中，两条 抛物线有相同的对称轴， 下列关系不正确的是 （　　） Ａ．ｈ＝ｍ Ｂ．ｋ＝ｎ Ｃ．ｋ＞ｎ Ｄ．ｋ＞０，ｎ＜０ 辅助线周周练 １．如图１，在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，点Ｅ为 平行四边形内一点且 ∠ＡＥＤ ＝∠ＢＥＣ ＝９０°，若 ∠ＤＥＣ＝４５°，则ＡＤ的长为 ． ２．如图２，已知菱形 ＡＢＣＤ的边长为２，∠ＤＡＢ＝ ６０°，Ｅ为ＡＢ的中点，Ｆ为ＣＥ的中点，ＡＦ与ＤＥ相交于点 Ｇ，则ＧＦ的长等于 ． 书 【提示】 １．取ＡＤ，ＢＣ的中点Ｍ，Ｎ，连接ＭＮ，ＭＥ，ＮＥ，根 据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得 ＥＭ＝１ ２ＡＤ＝ＭＤ，ＥＮ＝１ ２ＢＣ＝ＮＣ，过点Ｅ作ＥＰ ∥ＡＤ交ＣＤ于点Ｐ，根据平行线的性质证明△ＭＥＮ 为等腰直角三角形，进而可得结果． ２．过点Ｆ作ＦＨ∥ＣＤ，交ＤＥ于点Ｈ，过点Ｃ作 ＣＭ⊥ＡＢ，交ＡＢ的延长线于点Ｍ，连接ＦＢ，先证明 ＦＨ是△ＣＤＥ的中位线，得ＦＨ＝１，再证明△ＡＥＧ≌ △ＦＨＧ，得ＡＧ＝ＦＧ，在Ｒｔ△ＣＢＭ中计算ＢＭ和ＣＭ的 长，再证明ＢＦ是中位线求得ＢＦ的长，由勾股定理可 得ＡＦ的长，从而得结论． ! " # $ % ! ! 书 二次函数的图象形象直观地反映了二次函数的性 质，含有大量的有用信息，是考查数形结合思想和获取 图象信息能力的好素材． 一、单图象问题 例１　在同一平面直角坐标系中，一次函数ｙ＝ａｘ ＋ｂ与二次函数ｙ＝ｂ（ｘ－ａ）２的图象大致为 （　　） 分析：本题可先由一次函数ｙ＝ａｘ＋ｂ图象得到字 母系数的正负，再与二次函数ｙ＝ｂ（ｘ－ａ）２的图象相比 较看是否一致． 解：Ａ．由一次函数图象可知，经过一、二、三象限，则 ａ＞０，ｂ＞０，由抛物线可知，开口向上，对称轴在ｙ轴的 右侧，可得ｂ＞０，ａ＞０，故此选项正确； Ｂ．由一次函数图象可知，经过一、二、四象限，则 ａ ＜０，ｂ＞０，由抛物线可知，开口向上，对称轴在ｙ轴的右 侧，可得ｂ＞０，ａ＞０，故此选项错误； Ｃ．由一次函数图象可知，经过二、三、四象限，则 ａ ＜０，ｂ＜０，由抛物线可知，开口向上，对称轴在ｙ轴的右 侧，可得ｂ＞０，ａ＞０，故此选项错误； Ｄ．由一次函数图象可知，经过一、三、四象限，则 ａ ＞０，ｂ＜０，由抛物线可知，开口向下，对称轴在ｙ轴的左 侧，可得ｂ＜０，ａ＜０，故此选项错误．故选Ａ． 例２　二次函数ｙ＝ａ（ｘ＋ ３）２＋ｋ的图象如图１所示，已知 点 Ａ（－１，ｙ１），Ｂ（－２，ｙ２）和 Ｃ（－６．５，ｙ３）都在该图象上，则 ｙ１，ｙ２，ｙ３的大小关系是 （　　） Ａ．ｙ３ ＞ｙ１ ＞ｙ２ Ｂ．ｙ３ ＞ｙ２ ＞ｙ１ Ｃ．ｙ２ ＞ｙ１ ＞ｙ３ Ｄ．ｙ２ ＞ｙ３ ＞ｙ１ 分析：根据函数表达式可知，其对称轴为直线 ｘ＝ －３，图象开口向下；根据二次函数图象的对称性，利用 在对称轴的左侧，ｙ随ｘ的增大而增大，可判断ｙ２＞ｙ１＞ ｙ３． 解：由二次函数ｙ＝ａ（ｘ＋３）２＋ｋ，可知对称轴为直 线ｘ＝－３，根据二次函数图象的对称性可知，点Ａ（－１， ｙ１）与点（－５，ｙ１）对称，点Ｂ（－２，ｙ２）与点（－４，ｙ２）对称． 因为点（－５，ｙ１），Ｃ（－６５，ｙ３）与点（－４，ｙ２）在对 称轴的左侧，所以ｙ随ｘ的增大而增大． 因为 －４＞－５＞－６．５，所以ｙ２＞ｙ１＞ｙ３．故选Ｃ． 二、双图象问题 例３　 如图２，抛物线 ｙ１ ＝ａ（ｘ＋２）２＋ｍ过原点，与抛 物线ｙ２＝ １ ２（ｘ－３） ２＋ｎ交于 点Ａ（１，３），过点Ａ作ｘ轴的平 行线，分别交两条抛物线于点 Ｂ，Ｃ．下列结论：①两条抛物线的对称轴距离为５；②ｘ＝ ０时，ｙ２＝５；③当ｘ＞３时，ｙ１－ｙ２＞０；④ｙ轴是线段ＢＣ 的中垂线，结论正确的是 （填写正确结论的序 号）． 分析：根据二次函数的对称轴判定 ①；令 ｘ＝０，求 出ｙ２的值，比较判定②；观察图象，判定③；令ｙ＝３，求 出Ａ，Ｂ，Ｃ的横坐标，然后求出ＡＢ，ＡＣ的长，判定④． 解：因为抛物线ｙ１ ＝ａ（ｘ＋２） ２＋ｍ与抛物线ｙ２ ＝ １ ２（ｘ－３） ２＋ｎ的对称轴分别为直线ｘ＝－２，直线ｘ＝３， 所以两条抛物线的对称轴距离为５，故①正确； 因为抛物线ｙ２＝ １ ２（ｘ－３） ２＋ｎ交于点Ａ（１，３），所 以２＋ｎ＝３，解得ｎ＝１，所以ｙ２ ＝ １ ２（ｘ－３） ２＋１． 把ｘ＝０代入ｙ２＝ １ ２（ｘ－３） ２＋１，得ｙ２＝ １１ ２≠５， 故②错误； 由图象可知，当ｘ＞３时，ｙ１ ＞ｙ２，所以当ｘ＞３时， ｙ１－ｙ２ ＞０，故③正确； 因为抛物线ｙ１ ＝ａ（ｘ＋２） ２＋ｍ过原点和点Ａ（１，３）， 所以 ４ａ＋ｍ＝０， ９ａ＋ｍ＝３{ ，解得 ａ＝ ３５， ｍ＝－１２５ { ， 所以ｙ１ ＝ ３ ５（ｘ＋２） ２－１２５． 令ｙ１ ＝３，则３＝ ３ ５（ｘ＋２） ２－１２５， 解得ｘ１ ＝－５，ｘ２ ＝１，所以ＡＢ＝１－（－５）＝６． 令ｙ２ ＝３，则 １ ２（ｘ－３） ２＋１＝３， 解得ｘ１ ＝５，ｘ２ ＝１， 所以ＡＣ＝５－１＝４，所以ＢＣ＝１０， 所以ｙ轴是线段ＢＣ的中垂线，故④正确． 故填①③④． 练一练：已知二次函数 ｙ＝（ｘ－２ａ）２＋ａ－１（ａ为 常数），当 ａ取不同的值时， 其图象构成一个“抛物线 系”．如图 ３分别是当 ａ＝ －１，ａ＝０，ａ＝１，ａ＝２时 二次函数的图象．它们的顶 点在一条直线上，这条直线的表达式是 ． ! ! 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６．已知抛物线ｙ＝ａ（ｘ－１）２＋ｋ（ａ＜０，ａ，ｋ为常 数），Ａ（－３，ｙ１），Ｂ（－１，ｙ２），Ｃ（２，ｙ３）是抛物线上三点， 则ｙ１，ｙ２，ｙ３由小到大依序排列为 （　　） Ａ．ｙ１ ＜ｙ２ ＜ｙ３ Ｂ．ｙ２ ＜ｙ１ ＜ｙ３ Ｃ．ｙ２ ＜ｙ３ ＜ｙ１ Ｄ．ｙ３ ＜ｙ２ ＜ｙ１ ７．关于抛物线ｙ＝－４（ｘ＋６）２－５的图象，下列结论 正确的是 （　　） Ａ．对称轴是直线ｘ＝６ Ｂ．当ｘ＜－６时，ｙ随ｘ的增大而增大 Ｃ．与ｙ轴的交点坐标是（０，－５） Ｄ．顶点坐标是（－６，５） ８．在正比例函数ｙ＝ｋｘ中，ｙ随ｘ的增大而减小，则 二次函数ｙ＝ｋ（ｘ－１）２的图象大致是 （　　） 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．一台机器原价５０万元，如果每年的折旧率是 ｘ， 两年后这台机器的价格为ｙ万元，则ｙ与ｘ的函数关系式 为 ． １０．已知抛物线ｙ＝ａｘ２的图象开口向上，且｜ａ｜＝ ４，则ａ＝ ． １１．已知关于ｘ的二次函数ｙ＝（ｍ－１）ｘ２－ｘ＋ｍ２ －１的图象经过原点，则ｍ的值为 ． １２．已知函数ｙ１＝ａ１ｘ ２，ｙ２＝ａ２ｘ ２，ｙ３＝ａ３ｘ ２的图象 如图１所示，则ａ１，ａ２，ａ３由小到大的顺序为 ． １３．已知二次函数ｙ＝ｘ２－２ｘ，当ａ≤ｘ≤ｂ时，其最 小值为－１，最大值为３，则ｂ－ａ的最大值是 ． １４．二次函数ｙ＝ｘ２的函数图象如图２，点Ａ０位于坐 标原点，点Ａ１，Ａ２，Ａ３，Ａ４，…都在ｙ轴的正半轴上，点Ｂ１， Ｂ２，Ｂ３，Ｂ４，…都在二次函数ｙ＝ｘ ２位于第一象限的图象 上，且 △Ａ０Ｂ１Ａ１，△Ａ１Ｂ２Ａ２，△Ａ２Ｂ３Ａ３，… 都是直角顶点 在抛物线上的等腰直角三角形，则△Ａ１０Ｂ１１Ａ１１的斜边长 为 ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１０分）已知ｙ＝（ｋ＋２）ｘｋ２＋ｋ－４是二次函数，且 当ｘ＜０时，ｙ随ｘ的增大而增大． （１）求ｋ的值； （２）求该函数的顶点坐标和对称轴． １６．（１０分）如图３，已知二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ≠０） 与一次函数ｙ＝ｋｘ－２的图象相交于Ａ（－１，－１），Ｂ两 点． （１）ａ＝ ，ｋ＝ ； （２）求点Ｂ的坐标； （３）直接写出ａｘ２ ＜ｋｘ－２时ｘ的取值范围． １７．（１０分）如图４，是二次函数ｙ＝ａ（ｘ＋１）２＋４的 图象的一部分，根据图象回答下列问题： （１）确定ａ的值； （２）设抛物线的顶点是Ｐ，点Ｂ是ｘ轴上的一个点， 若△ＰＡＢ的面积为６，求点Ｂ的坐标． １８．（１０分）如图５，抛物线ｙ＝２（ｘ－２）２与平行于 ｘ轴的直线交于点Ａ，Ｂ，抛物线顶点为 Ｃ，△ＡＢＣ为等边 三角形，求： （１）点Ｂ的坐标； （２）△ＡＢＣ的面积． １９．（１２分）如图６，抛物线ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ（ａ＜ ０，ｋ＞０）的顶点为Ａ，对称轴与ｘ轴交于点Ｃ，当以ＡＣ为 对角线的正方形ＡＢＣＤ的另外两个顶点Ｂ，Ｄ恰好在抛物 线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方 形ＡＢＣＤ为它的内接正方形． （１）当抛物线ｙ＝ａｘ２＋２是“美丽抛物线”时，则ａ ＝ ； （２）当抛物线ｙ＝－１２（ｘ－１） ２＋ｋ是“美丽抛物 线”时，则ｋ＝ ； （３）若抛物线ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ是“美丽抛物线”， 求ａ，ｋ之间的数量关系． ２０．（１２分）如图７，已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３与 ｘ轴交于Ａ（－３，０）和Ｂ（１，０）两点，与ｙ轴交于点Ｃ． （１）求抛物线的关系式； （２）设抛物线的顶点为Ｍ，试判断△ＡＣＭ的形状； （３）在ｘ轴上方的抛物线上是否存在一点 Ｐ，使 △ＰＡＢ的面积为８，若存在，请直接写出点 Ｐ的坐标；若 不存在，请说明理由                                                                                                                                                                 ． 书 ２１．１二次函数 １．设ａ，ｂ，ｃ分别是二次函数ｙ＝－ｘ２＋３的二次项 系数、一次项系数、常数项，则 （　　） Ａ．ａ＝－１，ｂ＝３，ｃ＝０ Ｂ．ａ＝－１，ｂ＝０，ｃ＝３ Ｃ．ａ＝－１，ｂ＝３，ｃ＝３ Ｄ．ａ＝１，ｂ＝０，ｃ＝３ ２．据安徽省统计局公布的数据，初步核算２０２１年 安徽省生产总值为４２９５９．２亿元，若设２０２３年安徽省 生产总值为ｙ亿元，平均年增长的百分率为ｘ，则ｙ关于 ｘ的函数表达式是 （　　） Ａ．ｙ＝４２９５９．２（１＋２ｘ） Ｂ．ｙ＝４２９５９．２（１－ｘ）２ Ｃ．ｙ＝４２９５９．２ｘ２ Ｄ．ｙ＝４２９５９．２（１＋ｘ）２ ３．若二次函数ｙ＝（２ｘ－１）２＋１的二次项系数为 ａ，一次项系数为 ｂ，常数项为 ｃ，则 ｂ２－４ａｃ ０（填“＞”“＜”或“＝”）． ４．若函数ｙ＝ｘｍ－１＋ｘ－３是关于ｘ的二次函数，则 ｍ＝ ． ５．根据下面的描述列出函数关系式，并判断列出 的关系式是否为二次函数． （１）正方体的体积ｙ与棱长ｘ之间的关系； （２）某商品在６月的售价为３０元，７月和８月连续 两次降价销售，平均每月降价的百分率为ｘ，该商品８月 的售价ｙ与ｘ之间的关系； （３）距离ｓ一定时，汽车匀速行驶的时间ｙ与速度ｘ 之间的关系； （４）等腰三角形的顶角度数ｙ与底角度数ｘ之间的 关系． ６．已知函数ｙ＝ｍ（ｍ＋２）ｘ２＋ｍｘ＋ｍ＋１． （１）当ｍ为何值时，此函数是一次函数？ （２）当ｍ为何值时，此函数是二次函数？ ２１．２．１二次函数ｙ＝ａｘ２的图象和性质 １．抛物线ｙ＝－ｘ２＋１的顶点坐标是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．（－１，０） Ｂ．（０，０） Ｃ．（０，１） Ｄ．（１，１） ２．下列抛物线，开口最大的是 （　　） Ａ．ｙ＝ １４ｘ ２ Ｂ．ｙ＝ｘ２ Ｃ．ｙ＝２ｘ２ Ｄ．ｙ＝－３ｘ２ ３．当ａｂ＞０时，ｙ＝ａｘ２与ｙ＝ａｘ＋ｂ的图象大致 是 （　　） ４．已知点（－１，２）在二次函数ｙ＝ｋｘ２的图象上，则 ｋ的值是 ． ５．在函数ｙ＝（ｘ－１）２中，当ｘ＞１时，ｙ随ｘ的增 大而 （填“增大”或“减小”）． ６．如图１，正方形的边长为 ３，以正方形的中心为原点建立平 面直角坐标系，作出函数ｙ＝２ｘ２ 与ｙ＝－２ｘ２的图象，则图中阴影 部分的面积是 ． ７．如图２，直线ｙ＝－ｘ＋ｂ与 ｙ轴交于点 Ａ，与抛物线 ｙ＝ａｘ２ 交于Ｂ，Ｃ两点，且点Ｂ坐标为（２，２）． （１）求ａ，ｂ的值； （２）连接ＯＣ，ＯＢ，求△ＢＯＣ的面积． ２１．２．２二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象和性质 １．抛物线ｙ＝２（ｘ＋９）２－３的顶点坐标是 （　　） Ａ．（９，－３） Ｂ．（－９，－３） Ｃ．（９，３） Ｄ．（－９，３） ２．已知二次函数ｙ＝２ｘ２－４ｘ＋５，当ｙ随ｘ的增大 而增大时，ｘ的取值范围是 （　　） Ａ．ｘ≤－１ Ｂ．ｘ≥１ Ｃ．ｘ≤１ Ｄ．ｘ≥－１ ３．二次函数ｙ＝（ｘ－３２） ２＋３４ 的图象（１≤ｘ≤３）如图１所示，则该 函数在所给自变量的取值范围内，函 数值ｙ的取值范围是 （　　） Ａ．ｙ≥ ３４ Ｂ．３４ ＜ｙ＜３ Ｃ．３４≤ｙ≤３ Ｄ．０≤ｙ≤３ ４．已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＞０）图象的对 称轴为直线 ｘ＝１，且经过点（－１，ｙ１），（０，ｙ２），则 ｙ１ ｙ２（填“＞”“＜”或“＝”）． ５．如果二次函数ｙ＝３（ｘ－２）２－ｍ的图象经过坐 标原点，那么ｍ的值为 ． ６．二次函数ｙ＝（ｘ－１）２＋２，当 －３＜ｘ＜２时， ｙ的取值范围是 ． ７．已知二次函数ｙ＝２（ｘ－ｍ）２－２（ｍ是常数）的 图象经过点Ｐ（ａ，ｂ）． （１）若ａ＝３，ｂ＝６，求ｍ的值； （２）若点Ｐ到对称轴的距离为１，求ｂ的值． ８．如图２，直线ｙ＝－２３ｘ＋２分别交ｘ轴、ｙ轴于Ａ， Ｂ两点，抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ过点Ａ，Ｂ． （１）求抛物线的关系式； （２）点Ｍ是抛物线上的一点，且在直线ＡＢ上方，连 接ＡＭ，ＢＭ．设点Ｍ横坐标为ｍ，△ＡＢＭ的面积为Ｓ，求Ｓ 与ｍ之间的函数关系式，并直接写出自变量 ｍ的取值 范围． ２１．２．３二次函数表达式的确定 １．已知二次函数的图象经过（－１，０），（２，０），（０， ２）三点，则该函数的表达式为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｙ＝－ｘ２＋ｘ＋２ Ｂ．ｙ＝ｘ２＋ｘ－２ Ｃ．ｙ＝ｘ２＋３ｘ＋２ Ｄ．ｙ＝－ｘ２－ｘ＋２ ２．二次函数的图象如图所示， 则这个二次函数的表达式为（　　） Ａ．ｙ＝ｘ２＋２ｘ－３ Ｂ．ｙ＝ｘ２－２ｘ－３ Ｃ．ｙ＝－ｘ２＋２ｘ－３ Ｄ．ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋３ ３．老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各 指出这个函数的一个性质． 甲：函数图象的顶点在ｘ轴上；乙：当ｘ＜１时，ｙ随 ｘ的增大而减小；丙：该函数的开口大小、形状均与函数 ｙ＝ｘ２的图象相同． 已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上 述所有性质的一个二次函数表达式 ． ４．已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ图象的对称轴是 直线ｘ＝１，且图象过点Ａ（３，０）和点Ｂ（－２，５），求此函 数的表达式． ５．二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３（ａ≠０）的图象经过点 Ａ（１，０），Ｂ（３，０）． （１）求该二次函数的表达式和对称轴； （２）设Ｐ（ｍ，ｙ１），Ｑ（ｍ＋１，ｙ２）（ｍ＞２）是该二次 函数图象上的两点．当ｍ≤ｘ≤ｍ＋１时，函数的最大值 与最小值的差为５，求ｍ的值 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． ! !" #$ %& !""#$%&' ()*+,-./0 !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ 12345672*8 ! / %&'( ! 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