第8期 4.1 整式（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年七年级上册数学学案（青岛版2024）

书 情境引入　趣味感知 小明房间窗户的装饰物如图１所示（阴影部分），它 由两个四分之一圆组成． （１）用代数式表示图１窗户能射进阳光部分的面积 （窗框面积忽略不计）； （２）为了更加美观，小明重新设计了房间窗户的装 饰物，如图 ２所示（由两个四分之一圆和一个半圆组 成），用代数式表示图２窗户能射进阳光部分的面积（窗 框面积忽略不计）． 自主探究　潜能开发 单项式 分一分：你能将下列式子分成两类吗？若按是否含 运算符号“＋”号或“－”号来分，结果是什么？ ａ３，１２ａｂ－πｒ ２，２．５ｘ，－ｎ，２ｘ－３，３ｘ＋５ｙ＋２ｚ，３πｘ， ｘｙ＋１２． ①不含运算符号“＋”号或“－”号的代数式有： ； ②包含运算符号“＋”号或“－”号的代数式有： ． 学一学：①中的代数式都是数与字母的乘积，像这 样的代数式叫作单项式．单独的一个数或一个字母也是 单项式．对于单独的一个非零的数，规定它的次数为０． 你能再举几个单项式的例子吗？ 想一想： １ ｘ是单项式吗？ 点一点：（１）单项式中可以含有乘法和乘方运算， 不能含有加减运算． （２）单项式中可以含有除以数的运算，但不能含有 除数是字母的运算． 写一写：请写出①中各代数式的数字因数． 学一学：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系 数． 点一点：（１）单项式的系数是１或 －１时，１通常省 略不写．如ｘ２不能误认为系数为０，其系数是１． （２）单项式的系数应包括它前面的符号和所有数 字因数．如－２ａｂｘ的系数是 －２． （３）若单项式中出现表示圆周率的 π，在数学中 π 是一个固定的常数，不能当成字母，它是系数的一部分． 如 －５πｘｙ的系数是 －５π． 学一学：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作 这个单项式的次数．如－ｘ２ｙ的字母是ｘ，ｙ，其中ｘ的指数 是２，ｙ的指数是１，所以 －ｘ２ｙ的次数是２＋１＝３． 点一点：（１）指数是１时可省略不写，不能误认为次 数是０．如单项式３ｘ的次数是１． （２）系数的指数不能相加作为单项式的次数．如单 项式３２ｘｙ的次数为２． 练一练：（１）－ａ４的系数是 ，次数是 ， －π７ａｂ的系数是 ，次数是 ； （２）每包书有１２册，ｎ包书有 册，这个代数 式的系数是 ，次数是 ； （３）底边长为 ａ，高为 ｈ的三角形的面积是 ，这个代数式的系数是 ，次数是 ． 多项式 学一学：几个单项式的和叫作多项式．如② 中的代 数式． 点一点：多项式中的每一项必须是单项式．如２ａ＋ ｂ ｘ，因为 ｂ ｘ不是单项式，所以２ａ＋ ｂ ｘ就不是多项式． 学一学：多项式中的每个单项式都叫作这个多项式 的项，其中不含字母的项叫作常数项． 点一点：（１）确定多项式的项时必须加上它前面的 符号．如多项式 －３ｘ３ ＋２ｘ２ －４有三项，它们分别是 －３ｘ３，２ｘ２，－４，其中 －４是常数项． （２）一个多项式中含有几个单项式，就说这个多项 式是几项式．如 －３ｘ３＋２ｘ２－４就是一个三项式． 学一学：多项式中次数最高的项的次数，叫作这个 多项式的次数． 点一点：（１）多项式的次数取决于多项式中次数最 高的单项式的次数．如在多项式－ｘ５＋３ｘｙ３－４ｘ３＋７中， 次数最高的项是 －ｘ５，该项的次数是５，所以这个多项式 的次数是５． （２）一个多项式中的最高次项不止一个时，确定最 高次项时应都写上． 练一练：１．下列关于多项式２ａ２ｂ＋ａｂ－１的说法中， 正确的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．次数是５ Ｂ．二次项的系数是０ Ｃ．最高次项是２ａ２ｂ Ｄ．常数项是１ ２．指出下列多项式的项和次数： （１）３ｘ－１＋３ｘ２；（２）４ｘ３＋２ｘ－２ｙ２；（３）２３ｘ－ｂｙ ３． 整式 学一学：单项式和多项式统称为整式． 练一练：下列式子：（１）１８ｙ；（２）２ｘ＋ｙ；（３） １ ３ａ ２ｂ； （４）ｘ－ｙ π ；（５）０．５；（６）ａ．哪些是整式？哪些是单项式？哪 些是多项式？ 典例精析　知识巩固 例　下列说法错误的是 （　　） Ａ．－３πａ ３ １０ 的系数是 － ３ １０π Ｂ．ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２是二次三项式 Ｃ．ａ可以表示负数，ａ的系数为０ Ｄ．－１是单项式 分析：直接根据单项式的概念以及单项式的次数、 系数，多项式的次数、项数的确定方法判断即可． 解：－３πａ ３ １０的系数是 － ３ １０π，故选项Ａ正确，不符合 题意；ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２是二次三项式，故选项Ｂ正确，不符合 题意；ａ可以表示负数，但ａ的系数为１，故选项Ｃ错误， 符合题意；－１是单项式，故选项Ｄ正确，不符合题意．故 选Ｃ． 知识综合　学以致用 下面我们来解决“情境引入”中的问题． （１）由图可得，窗户能射进阳光部分的面积为 ：ａｂ －１４π×（ ｂ ２） ２×２＝ａｂ－１８πｂ ２； （２）由图可得，窗户能射进阳光部分的面积为：ａｂ－ π×（ｂ４） ２ ＝ａｂ－１１６πｂ ２． 开拓视野　挑战技能 有一个多项式为ａ１０－ａ９ｂ＋ａ８ｂ２－ａ７ｂ３＋，…，按这 种规律排列下去，写出它的第七项和最后一项，这个多 项式是几次几项式？ 书 ２０．由题意，得ｘ－３ ＝０，ｙ＋４＝０，ａ＋ｂ＝ ０，ｃｄ＝１．所以ｘ＝３，ｙ ＝－４．所以（ １ｘ＋ｙ） ２００＋ ３ａ＋３ｂ＋２ｃｄ＋１＝ （－１）２００＋３（ａ＋ｂ）＋２ ＋１＝４． ２１．（１）当卖出商 品数量为４０件时，义卖 收入是２００元； （２）在这个问题 中，变量为：卖出商品的 数量ｎ、义卖收入Ｒ； （３）Ｒ＝５ｎ． ２２．（１）广场空地 的面积为：ａｂ－１４πｒ ２× ２－１２ｒ ２ ×２＝（ａｂ－ １ ２πｒ ２－ｒ２）ｍ２； （２）当ａ＝５０，ｂ＝ ３０，ｒ＝６时，广场空地 的面积为：５０×３０－１２ ×３ × ６２ － ６２ ＝ １４１０（ｍ２）． ２３．（１）２１； （２）用去正方形地 砖（５ｎ＋１）块，用去三 角形地砖（４ｎ＋２）块； （３）当 ｎ＝５０时， 用去三角形地砖的数量 为：４ × ５０ ＋ ２ ＝ ２０２（块）． ２４． （１）（１００ｘ ＋ ２００００）， （８０ｘ ＋ ２４０００）； （２）当ｘ＝１５０时， 方案一需付款：１００× １５０ ＋ ２０ ０００ ＝ ３５０００（元），方案二需 付款：８０×１５０＋２４０００ ＝３６０００（元）．因为 ３５０００＜３６０００，所以 方案一更划算． （３）能．先按方案 一购买１００件运动外套 （可赠送 １００件卫衣）， 再按方案二购买２００件 卫衣，共需付款：１００× ３００＋２００×１００×０．８＝ ４６０００（元）． 书 上期２版 ３．１用字母表示数 基础训练　１．Ａ；　２．（１００－３ｍ）． ３．阴影部分的面积为ａ２－２ａｈ． 能力提高　４．ｎ（ｎ＋１）２ ． ３．２代数式 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｂ； ３．答案不惟一，如每支钢笔３元，买ｎ支钢笔所需的 钱数． ４．（１）ｘ＋ｙ２；　（２）２（ａ－ｂ）－５；　（３）１２ａ＋３ｂ． 能力提高　５．－３０２４３，（－１） ｎｎ（ｎ＋１） ３ｎ ． ３．３代数式的值 １．Ｄ；　２．答案不惟一，如 －｜ａ｜－１． ３．（１）当ａ＝－３，ｂ＝－２时，２ａ２ｂ＋３ａｂ－４＝２× （－３）２×（－２）＋３×（－３）×（－２）－４＝－２２． （２）当ａ＝－３２，ｂ＝ １ ２时，２ａ ２ｂ＋３ａｂ－４＝２× （－３２） ２×１２＋３×（－ ３ ２）× １ ２－４＝－４． ４．（１）阴影部分的面积为ｘ２－ｙ２； （２）当ｘ＝４，ｙ＝３时，阴影部分的面积是：４２－３２ ＝７． ３．４生活中的常量与变量 基础训练　１．Ｄ；　２．Ａ． ３．（１）０．５２为常量，ｙ，ｘ为变量； （２）３为常量，ｌ，ａ为变量； （３）６０为常量，ａ，ｂ为变量． ４．（１）在这个问题中，变量为：时间、水的温度； （２）根据表格，当时间为１６分钟和１８分钟时，水的 温度均为１００℃； （３）为了节约能源，应在１０分钟后停止烧水． 上期３，４版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｄ Ｂ Ａ Ｄ Ｃ Ｃ Ｄ 二、９．５；　１０．答案不惟一，如原计划生产ａ个零件， 实际比计划少生产２５％，则实际生产了多少个零件； １１．１０ｂ＋ａ；　１２．５ｘ－４８ ；　１３．２２０；　１４．１． 三、１５．（１）１ｘ－ １ ｙ； （２）丙配送车这天投送快递［１２（ｍ＋６）＋２］件． １６．（１）ｘ与ｙ的和的５倍； （２）ａ的平方与ｂ的倒数的差； （３）ｍ的４倍与ｎ的差的平方． １７．（１）当ｘ＝－１２，ｙ＝－ ５ ２时，原式 ＝［－ １ ２＋ （－５２）］ ２－４×（－１２）×（－ ５ ２）＝４． （２）当 ａ ＝１，ｂ＝－２，ｃ＝－３时，原式 ＝ １２＋（－２）２＋（－３）２ １×（－２）×（－３） ＝ ７ ３． １８．由题意，得ｇ（－３）＝－２×（－３）２－３×（－３） ＋１＝－８，ｈ（１２）＝－１６×（ １ ２） ３＋２×（１２） ２－１２－ １２＝－１４．所以ｇ（－３）＋ｈ（１２）＝－８＋（－１４）＝－２２． １９．将ｘ＝２代入代数式ａｘ３＋ｂｘ＋１，得８ａ＋２ｂ＋ １＝１０．所以８ａ＋２ｂ＝９．将ｘ＝－２代入代数式ａｘ３＋ｂｘ ＋１，得 －８ａ－２ｂ＋１＝－（８ａ＋２ｂ）＋１＝－９＋１＝－８． 书 同学们在学习整式 时，由于对所学概念理 解不透、方法掌握不牢， 解题时常常会出现一些 错误．现将常见错误归 纳如下，以引起同学们 的重视． 易错点一：识别单 项式时出错 例１　请找出下列 式子中的单项式：－ａｂ， ０，２ｘ，ｍ－２ｎ， ａ ２， ２ ３（ｍ －ｎ）２． 错解：单项式有： －ａｂ，２ｘ， ａ ２， ２ ３（ｍ－ ｎ）２． 剖析：因为单项式 是数与字母的乘积，单 独的一个数或一个字母也是单项式，所以 －ａｂ，０，ａ２ 是单项式．因为 ２ｘ中的数与字母不是乘积关系，ｍ－２ｎ 和 ２ ３（ｍ－ｎ） ２中含有减法运算，所以它们不是单项 式． 正解：单项式有：－ａｂ，０，ａ２． 易错点二：识别多项式时出错 例２　式子３ｘ＋ｘ２，ａ－１３ ，１０ａ＋ ２ ａ中，是多项式 的是 ． 错解：１０ａ＋２ａ． 剖析：多项式是几个单项式的和．因为３ｘ＋ｘ２是 两个单项式３ｘ与ｘ２的和，所以它是多项式；因为ａ－１３ ＝１３ａ－ １ ３，所以它是多项式；因为 ２ ａ不是单项式，所 以１０ａ＋２ａ不是多项式． 正解：３ｘ＋ｘ２，ａ－１３ ． 易错点三：确定单项式的系数和次数时出错 例３　分别指出单项式 ｘ４，２ ３ｘ２ｙ的系数和次数． 错解： ｘ ４的系数是１，次数是０；２ ３ｘ２ｙ的系数是２， 次数是６． 剖析：单项式的系数是指单项式中的数字因数，次 数是指单项式中所有字母的指数的和，与系数无关． ｘ ４就是 １ ４ｘ，其系数应为 １ ４，ｘ的指数是１；２ ３ｘ２ｙ中虽 然数字因数是幂的形式，但也只能作为系数，所以 ２３ｘ２ｙ的系数是２３，即８，次数是２＋１＝３． 正解： ｘ ４的系数是 １ ４，次数是１；２ ３ｘ２ｙ的系数是８， 次数是３． 易错点四：确定多项式的次数和项时出错 例４　写出多项式５ｘ２ｙ－２ｘｙ－１的项，并指出它 是几次几项式． 错解：５ｘ２ｙ－２ｘｙ－１的项分别是５ｘ２ｙ，２ｘｙ，１，它是 五次三项式． 剖析：多项式的项是指在多项式中的每个单项式， 特别注意多项式的项包括它前面的符号；多项式的次 数是指多项式中次数最高的项的次 数，而不是各项次数的和，这里次数 最高的项是５ｘ２ｙ，它的次数是３． 正解：５ｘ２ｙ－２ｘｙ－１的项分别 是５ｘ２ｙ，－２ｘｙ，－１，它是三次三 项式． ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !"#$ %&'( )*+, -./0 1234 (567 /89: ;<=. !"#>? 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H I J K L MNOPQR@AS% !"#$%&'()*+,()- ,()*./( )%01234-5678-'9:;<=:*.>,:- >,:*./?@A%B,CD&/CE3F1G-HI G-JEKLM%LMKN,OPQ-RLMSTUV >,->,:SWXYGZO[\]D^_]%`a+ bSTcdGZeGOLMfg $%hijZ-klG'mUVno-Up,qr% &%shAtuvPQOwh-xyz{OL|]% }P~hO€D‚ƒO„…†‡ˆ6‰Š‹Œ %Ž‘P~Oh’o-}P~k“O‘O” •-–ˆ—˜GZO\™% '% shAš1PQw=›OeG2œOž-Ÿ oˆ atJ¡2¢-J¡O£¤K¥¡UpO-*¦ §¨“GZO©™% !%}ª«¬p­%lRG®†K¯°±o²AU p¬³´µO-eGª«¶µ·¸ž°p­-¹R¬ ž°STºkª«O»=¼°½¾- SWz¿ÀeG E?ÁÂ% TNUV@AWXYZ[@A\] jZ;sw;ÃZ;ÄZ;ÅÆKGZOÇÈÉÊ% tu!?P~w(iË$·G-kRÌ'mÍÀr ARe% vw!Ë$swÎÏJÊhOÐÑ-ÒÓ'mO ÔÕ% xu!Ë$ÃZÎÏÖ×'mØÙÒÓ-Ö×'m ÚÛ?nÑ-Ük'mÍÝÞß»% yu!?ÃZàáOâãäÔvåæ & çBè éh0Ë$ÄZ·êëìGZíî-Žïžo ²-܎ðñ% z{!Ôvåæ ' çB°òóÄ0ÅƲëÅ· ôk'mOÒÓõö- ÷ø·ôOeGT™ùú- ûüýþÿ(R!OGZ"#Dð$%&% ^N_V̀ aNbNcNdefg@Ah |!Ë$'()ÍÀv*håT+Ä,4-h åA.6ÊO'm/0- èÚ)'6×1¢2 3-45‡6% v!Ë$hswÒÓ'mOÐÑ-=7'm OnÑ-’8eGT™%?swOè}åÊhOÐ Ñ9:Ñ9nÑ9;ƒO<²=Z²9>?O'm@ ABµ-CDhEÃZF% }!'(9sw9ÄZ†)ŸoGHˆIa- ¹RŸJö9ŸKL,2¢-STïž:Ñ=nÑ- ’8)F'm=7o²OT™% ~‘P~O’o9ÍÄZDMNO1PÅÆ †KÍ% ¹RË$Í- ST'9“k'mOÒÓõ ö-STÛ?Oo²-*Ë$QROÄZ-' mK´*ÀàáO%Ͳ)SÄ-tT6UV-Ë$ 69²tkWÌO'm$ÿ6LÝÞOÃZ% X(-eGKYZ2[O\-èG]?GZ eG'mOètš1cd·ôO2[T™9^_ œ`T™O °aT™DbcT™d-N efÀ·ôg£heGT™O ihïj% " fi jck ! lm nop ! 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